UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA”
AREA DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE FISICA Y MATEMATICA UNIDAD CURRICULAR: FISICA I
GUIA ELABORADA POR: PROF. LEXIMARTH VALLES PROF. FRANCYS SAAVEDRA Mayo; 2013
Tema 1. Cinemática en una un a Dimensión
El fenómeno más obvio y fundamental que observamos a nuestro alrededor es el de movimiento. de movimiento. En En el trabajo, la escuela, la vida diaria, todo está dotado de movimiento. El viento, las olas, los pájaros que vuelan, los animales los animales que corren, las hojas que caen, una persona caminando, un motor girando, un avión en vuelo, en fin. Prácticamente todos los procesos inimaginables pueden describirse como el movimiento de ciertos objetos. Para analizar y predecir la naturaleza de los movimientos, es necesario definir ¿qué se quiere investigar? Por tal motivo, nos preguntamos: ¿Dónde ¿Dónde ocurre?, ¿Cuándo ocurre? Y ¿Por qué ocurre? Para su estudio se toma en cuenta: ¿Donde ocurre? (Espacio) y ¿cuando ocurre? (Tiempo), más adelante, trataremos otra unidad para responder el ¿por qué ocurre? Este fenómeno se llama cinemática. CINEMATICA: es la parte de la mecánica clásica que estudia el movimiento de los cuerpos sin tomar en cuenta las causas que lo producen, es decir, describe los movimientos de los cuerpos en función del espacio y el tiempo. El espacio como un sistema de referencia especifico, el cual puede ser Horizontal, y también Vertical y en ambos a la vez; otra manera de estudio de movimientos es en un espacio Circular. A continuación se muestra un esquema de los movimientos que se van a e studiar en esta sección. Según la trayectoria, el movimiento puede ser:
RECTILINEO RECTILINEO
CURVILINEO CURVILINEO
PARABOLICO PARABOLICO
Según la Dimensión , el movimiento puede ser: Movimiento horizontal
MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL
Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U) Movimiento Rectilíneo Variado(M.R.U.V)
Movimiento vertical
uniformemente
Caída Libre Lanzamiento vertical
Movimiento en el plano
Lanzamiento horizontal Lanzamiento oblicuo
MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL
Movimiento circular
Movimiento Circular Uniforme(Eje radial) Movimiento Circular Uniformemente variado(Eje radial y tangencial) tange ncial)
CONCEPTOS BÁSICOS: Sistema de Coordenadas: es un conjunto de valores que permiten definir la posición de un punto en el espacio para su mejor análisis. Y pueden ser: Cartesianas, polares y curvilíneas. En Física I, es usado normalmente el Sistema de Coordenadas Cartesianas, teniendo en cuenta que también se usan con menor frecuencia los sistemas de coordenadas polares y curvilíneas.
Sistema de Coordenadas Cartesianas: se utilizan para representar la posición de una partícula, a través de tres rectas perpendiculares entre si, con valores x,y y z, llamados coordenadas de posición.
Sistema de Referencia: es el punto considerado fijo, cuya ubicación se conoce con exactitud y a partir del cual un cuerpo cambia su posición.
Posición: es un punto del espacio a partir del cual se puede conocer la ubicación de una partícula en un determinado tiempo. La posición de una partícula queda determinada por los valores de los ejes coordenados (x,y,z)
Vector posición ( r ): es el vector que une el origen del sistema de coordenadas con el punto donde se ubica la partícula, como es una cantidad vectorial, este tiene una magnitud, dirección y sentido.
Sus componentes son:
r xi y j z k ˆ
ˆ
ˆ
Si una partícula realiza un cambio de posición, está experimentando un desplazamiento.
Desplazamiento: es el cambio de posición que experimenta un cuerpo al pasar de un lugar a otro. Es una magnitud vectorial, que se representa gráficamente por un vector trazado desde una posición inicial hasta la posición final de la partícula en movimiento, como se muestra en la fig ura.
Vector Desplazamiento: es una recta trazada desde la posición inicial de la partícula hasta su posición final. Distancia recorrida: es la longitud que se mide sobre el trayecto que ha recorrido una partícula, también se puede decir que es la suma de todos los desplazamientos sucesivos.
Rapidez: es el número de metros que re corre un móvil en un segundo y, por tanto, es una magnitud escalar. Velocidad: es la distancia recorrida en la unidad de tiempo, con dirección y el sentido en que se realiza el movimiento; en consecuencia, la velocidad es una magnitud vectorial.
Velocidad Media: está definida como la razón entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo, es decir, el cambio de posición en función del tiempo en que se realiza el movimiento. Como el desplazamiento es una cantidad vectorial y el intervalo de tiempo es una cantidad escalar, concluimos que la velocidad promedio es una cantidad vectorial dirigida a lo largo de la recta donde ocurre el desplazamiento.
V
X X x V t t t f
0
f
0
Velocidad Instantánea: es la tasa instantánea de cambio de posición con el tiempo. Como la velocidad media es medida en un transcurso de tiempo más largo o mayor a cero, en el caso de la velocidad instantánea, se dice que su valor es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo se acerca a cero. Y el límite del cambio de posición en un intervalo de tiempo más corto o cuando se acerca a cero es la derivada de x respecto a t y se escribe:
dx x V dt t
V lim t 0
La velocidad media, se puede observar más detalladamente en un ejemplo del siguiente gráfico, supongamos que una partícula se desplaza desde un punto P 1 a un punto P2 , se puede calcular la variación de la posición y el tiempo en el transcurso de los 4s, restando la posición final de X 2 aproximadamente 290m menos la posición inicial de X1 aproximadamente 1m, y dividiendo esto entre la diferencia de los tiempos t 2=4s menos t1=1s.
La pendiente de la recta representa la velocidad media y la tangente de la curva en cualquier punto representa la velocidad en ese instante donde se trazo la recta tangente.
Aceleración media: se define como la variación o el cambio de la velocidad de una partícula en el transcurso del tiempo. Y se puede calcular como:
a
v v v a f t f t t
0
0
Aceleración Instantánea: también es la variación de la velocidad de una partícula pero en una variación de tiempo infinitesimalmente corto, tan corta es la variación del tiempo que su valor tie nde a ser cero. Y se obtiene mediante:
a lim t
0
dv v a dt t
Movimiento Movimi ento rectilíneo uniforme (M.R.U) Se presenta cuando un móvil describe una trayectoria rectilínea y recorre distancias iguales en tiempos iguales. Por tanto, su velocidad es constante; es decir, no cambia, ni aumenta ni dism inuye. En esta unidad se deducirán ecuaciones para el movimiento rectilíneo con velocidad constante, las cuales serán útiles para la resolución de muchos problemas. Para el cálculo del espacio recorrido o distancia recorrida, sabiendo que la velocidad es constante y de acuerdo con la definición de velocidad, tenemos,
Separando variables,
Integrando, Y realizando la integral, queda que
x x v.t Ecuación de la posición en función del tiempo con velocidad ctte. 0
Donde instante
es la constante de integración, que corresponde a la posición del móvil para , el móvil esta en el origen de coordenadas, entonces
. Si en el
.
Movimiento Movimi ento Rectilíneo Uniformemente Variado En mecánica clásica el Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV) se presenta cuando la aceleración y la la fuerza resultante sobre la partícula son constantes. Siendo descrito por una trayectoria en línea recta sea el caso horizontal ó vertical. Además, la la velocidad varía linealmente respecto del tiempo y la posición varía según una relación cuadrática respecto del tiempo. En el caso de la aceleración, una vez que
esta aumenta se dice que el movimiento es Acelerado (MRUA) y si su magnitud disminuye, entonces el movimiento es Retardado (MRUR). Para estudiar este tipo de movimiento, es indispensable relacionar las magnitudes velocidad, posición,
aceleración y tiempo según lo conocido anteriormente, es por ello que se presentan a continuación las relaciones matemáticas, que define el MRUV, conocidas como ecuaciones cinemáticas
ECUACIONES CINEMATICAS Sabiendo que la aceleración es,
Y se integra esta ecuación diferencial lineal de primer orden, ordenado términos,
Al resolver la integral
Donde
es la velocidad del móvil en el instante
En el caso de que el instante inicial corresponda a
v v a.t 0
. , será
(1) Ecuación de la velocidad en función del tiempo
A partir de la definición de velocidad
Se invierten los términos para integrar
Se sustituye el valor obtenido anteriormente para
Y resolviendo la integral
Donde
la posición del móvil en el instante
.
En el caso de que en el tiempo inicial sea
la ecuación será:
2
x x v .t 0
0
a.t
(2) Ecuación de la posición en función del tiempo y la aceleración
2
Otra ecuación del movimiento movimiento seria para tratar de relacionar relacionar la posición, posición, la velocidad y la aceleración, sin que aparezca el tiempo. Con la definición de aceleración, multiplicando y dividiendo por
se puede eliminar el tiempo
Se separan las variables y se prepara la integración teniendo en cuenta que
Se integra
Resultando
Y ordenando, nos queda que
v v 2a. x x 2
2
0
0
(3)Ecuación de la velocidad en función de la aceleración y la posición.
Podemos obtener una ecuación más útil, igualando las expresiones para la velocidad media y multiplicando por t.
v v ve locidad y el tiempo. Quedando, x x .t (4 )Ecuación de la posición en función de la velocidad 2 0
0
Caída libre y Aceleración de la Gravedad. Un fenómeno físico que se presenta con frecuencia en nuestro alrededor es el de caída libre de los cuerpos. La causa de este movimiento es la atracción que que ejerce la Tierra sobre los cuerpos que se encuentran en su superficie. Esta fuerza de atracción recibe el nombre de fuerza de gravedad Galileo realizó muchos y muy simples experimentos sobre la caída libre de los cuerpos; se cuenta que dejó caer varios objetos desde diferentes niveles de la Torre inclinada de Pisa y llegó a la siguiente conclusión: “Todos los cuerpos, sea cual sea su masa o tamaño, caen al vacío de forma que emplean el mismo tiempo en
recorrer alturas idénticas. Cuando se observa el movimiento de un cuerpo en caída libre, se aprecia que su trayectoria es rectilínea y que su velocidad de caída aumenta con el tiempo. El cambio de velocidad en la unidad de tiempo recibe el nombre de aceleración; para este caso, aceleración de la gravedad, y se representa con la letra g. El valor de la aceleración de la gravedad, en el nivel del mar, es g= 9.8 m/s². La influencia del aire hace que algunos cuerpos se retrasen respecto a otros en su caída. Este valor es usado generalmente, aunque es importante hacer notar que varía en función de la latitud y la altura en los diferentes lugares de la Tierra. La caída libre, recibe el nombre de movimiento vertical y se estudia como un Movimiento Unidimensional, haciendo énfasis en que el movimiento se realiza con una aceleración constante pero siendo esta el valor de la aceleración de la gravedad, entonces para calcular los diferentes elementos que pueden influir en este fenómeno, como lo son la posición, la velocidad y el tiempo, se utilizarán las ecuaciones deducidas anteriormente; en el movimiento horizontal, solo que ahora cambiara la letra a por la letra g en sus ecuaciones.
v v g .t 0
2
y y v .t 0
0
g .t 2
v v 2 g . y y 2
2
0
0
v v y y .t 2 0
0
Gráficas del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V).
PARABOLA
Tema 2. Cinemática en dos Dimensiones Movimiento bidimensional: Movimiento Parabólico. Enfrentando el hecho de que el mundo es tridimensional y estamos sobre un plano (bidimensional), debemos buscar la manera de responder las frecuentes preguntas que solo con lo estudiado anteriormente en una línea recta se describían, ahora no es suficiente. Tomando en cuenta que ocurren movimientos que no son precisamente en el plano horizontal y mucho menos en el plano vertical, como por ejemplo, el vuelo de un avión al despegar de tierra, ya deja de estar en el piso pero tampoco vuela directamente al cielo. Otro caso, sería el movimiento de una pelota cuando es bateada, el encestar en balón en básquetbol desde lo lejos de la cesta. Y muchos casos más que serán estudiados a continuación. Usando aun las cantidades físicas
desplazamiento, velocidad y aceleración, pero ahora tendrán dos componentes y no estarán en la misma línea, es decir, puede variar su dirección con respecto al eje en que se encuentren localizadas. Cuando nos referimos al movimiento Bidimensional, estamos analizando aquellos cuerpos o partículas que describen su movimiento en el plano (X, Y), pero que inicialmente les imprimen una velocidad inicial dejándolos libre en el aire. Bajo efectos de la aceleración de la gravedad. En esta unidad, se hará uso de un movimiento muy común que describe en su trayecto una línea curva, esta línea curva recibe el nombre de parábola y es precisamente el movimiento que vamos a estudiar. Conocido como MOVIMIENTO PARABOLICO O MOVIMIENTO DE PROYECTILES.
Un proyectil es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego sigue una trayectoria determinada por los efectos de la gravedad y la resistencia del aire. Como la partícula alcanza una aceleración constante en magnitud y dirección, para su estudio no se tomara en cuenta los efectos de la resistencia del aire. Ya que no se estudiaran aquellos cuerpos que tengan alturas consideradas de mucha magnitud. En primer lugar, debemos considerar que el movimiento de proyectiles está limitado a un plano vertical determinado por la dirección de la velocidad inicial. Ya que, la aceleración de la gravedad es exclusivamente vertical y la gravedad no puede mover un proyectil lateralmente. Siguiendo ciertas características, podemos decir que, en el Movimiento de proyectiles:
Se estudian o se toman en cuenta las coordenadas por separado.
La dirección de la componente de la velocidad en Y , varia en todo el movimiento.
La dirección de la componente de la velocidad en X en X se se mantiene constante en todo el movimiento.
La componente x de la aceleración es cero.
La componente y de la aceleración es constante e igual a –g, –g, porque la componente vertical de la aceleración es hacia arriba.
Es una combinación de un movimiento horizontal con velocidad constante y un movimiento vertical con aceleración constante.
Se despreciará la resistencia del aire.
Si observan, en el grafico siguiente se muestra la trayectoria parabólica que describe una partícula determinada. Desde el origen del sistema de referencias hasta el punto marcado en el eje horizontal y un punto más hacia abajo. En todo el movimiento la dirección de la componente de la velocidad en el plano horizontal es constante, mientras que a medida que avanza la dirección de la componente de la velocidad en el plano vertical varía. Observándose además, que la aceleración vertical está dirigida hacia abajo. Determinando los siguientes parámetros:
X” , La distancia máxima a la cual llega la partícula horizontalmente se le denomina Alcance horizontal R ó “ X”
El punto más alto que alcanza verticalmente el proyectil se denomina Altura máxima “h” ó Ymáx .
Cuando el proyectil alcanza su máxima altura, la velocidad en ese punto es cero y de ahí vuelve a descender.
Ahora, vamos a deducir las ecuaciones que se van a utilizar en el movimiento de proyectiles. Sabiendo que existen:
Dos distancias una horizontal y una vertical.
Dos componentes de la velocidad “Vx y Vy” y la aceleración “ax=0 y ay= -g” y como esta última es constante, podemos utilizar las ecuaciones deducidas para el movimiento horizontal y vertical con aceleración constante.
Estudiando primero el MOVIMIENTO HORIZONTAL con velocidad constante; Se tiene que;
vx vx ax.t Pero como ax 0 0
Entonces
vx vx
0
y si inicialmente la velocidad tiene componentes y tiene una dirección α 0 , obteniendo
cos vx vx.cos 0
0
Componente horizontal de la velocidad inicial
Y la posición o alcance horizontal es R o x;
x x vx .t Alcance horizontal 0
0
Para el MOVIMIENTO MOVIMIENTO VERTICAL con aceleración constante; Se tiene que;
vy vy g .t 0
vy vy. sen 0
0
Componente vertical de la velocidad inicial.
Quedando que;
vy vy. sen sen g .t Velocidad vertical en un instante t después del lanzamiento. 0
Y la máxima distancia se calcula mediante la ecuación de distancia con aceleración constante; 2
y y vy 0
0
g .t 2
Sustituyendo la componente vertical de la velocidad inicial; 2
y y vy. sen .t 0
0
g .t 2
Altura en un instante t, después del lanzamiento
Como en el punto más alto la componente de la velocidad vertical vy es es cero entonces; 2
ymáx
g .t 2
Altura máxima.
ECUACIO NES D DEL M MOVIMIE NTO Movimiento Rectilíneo Uniforme(M.R.U)
x x 0 v.t
v
x x0 t
Movimiento Movimiento horizontal(M.R.U.V) horizontal(M.R.U.V)
Movimiento Movimiento Vertical(M.R.U.V) Vertical(M.R.U.V)
v v0 a.t
v v0 g.t
x x 0 v 0.t
a.t 2
y y0 v0.t
2
2
g.t 2 2
2
v 2 v0 2a.x x 0
v 2 v0 2g.y y0
v0 v .t 2
v 0 v .t 2
x x0
y y0 Movimiento Parabólico
Movimiento horizontal(M.R.U)
Movimiento Vertical(M.R.U.V) Vertical(M.R. U.V)
vx vx0
vx0 vx. cos 0 x x 0 vx0 .t
vy0 vy.sen 0
vy vy.sen0 g.t 2
vy2 v0 2g.y y0 y y 0 vy.sen 0 .t ymax
2 1
g.x 2
2
v0 . cos 2
y (tan g).x . t max
2
g.t 2
Ecuación de la parábola
Tiempo de subida o máximo
g.t 2
v0.sen g
2
