UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA UNIDAD DE CIENCIAS BASICAS
Materia: Matemática III Ciclo: I/2012 GUÍA Nº 6: Integrales Múltiples Evalúe las siguientes integrales iteradas. 3 2
1.
x 2 ∫0 ∫ 0 4 − 9 −
y
2
16
2
2 2 x
∫ ∫
xy 3 dydx
2.
∫∫
+ y 2
9
R/
dxdy dxdy
98
1 1
5.
R/
0 0
6.
3
4 s
8 + 2 ) dsdt dsdt R/
8.
9.
∫ ∫ π
11.
R/ 2π
3 costdudt
∫ ∫
∫ ∫
r 3 drd θ
R/
π 2
3 π
0
12.
2
+
π 2
+1
R/ 8
v
3 π 4
2cos θ
0
∫ ∫ 2 dpdv
10.
0
2
8
cos 2 θ 5 π 43 cos
sect sect
− π 3
3π
−v
−2
0 t 2
π 3
∫ ∫ 8
∫ ∫ (
5
x sin dxdy dxdy R/ y 0
π 2
t
4
7.
1
49 R/ −
dxdy
y 2
π
∫∫
x
1 y 2
0 0
x − y dxdy dxdy
y
∫ ∫
4.
3
R/ 42
1 0
4 y
4 y
3.
R/
dydx
43
8
0
2
∫ ∫
r
0
9 π
R/
rdrd θ
4 −r
2
cos
2
θdrd θ
0
R/
16 3
En los siguientes ejercicios trace la región de integración. integración. Invierta el orden de integración integración y evalúe. ππ
13.
sin sin y
∫∫ 0
x
y
1 1
dydx
R/ 2
14.
0
1 16 1 2
15.
∫ ∫ 0 y 1 4
∫∫
(
cos 16 π x
5
dxdy )dx
R/
1 80 π
π
16.
xy
x 2 e dxdy
y
si sinx
∫ ∫ 0
R/
0
yd ydydx
R/
e−2 2
π 4
1
En los ejercicios siguientes, cambie la integral cartesiana por una integral polar equivalente. Luego evalúe la integral polar.
17.
19.
0
2
1 − x
1
∫ ∫
0−1
0
1
1 − y
dydx
18.
2
0
∫ ∫
−1 −
2
2 1− x
1 + x
2
dydx
+
R/ π ( 1 − ln 2 )
y2
2
∫ ∫ −1
R/
π
(
ln x 2
+ y 2 + 1)
dxdy
R/ π ( ln 4 − 1)
− 1 − y 2
En los siguientes ejercicios dibuje la región de integración. π
∫ ∫
20.
0
π
22.
3π 4 2 sin θ
4 cos2 θ
4
21.
rdrd θ
∫ ∫ π 4
0
rdrd θ
θ csc
1
∫∫
2
e r rdrd θ
0 0
En los siguientes ejercicios evalúe la integral doble 23.
∫∫
sin xdA R es la región acotada por las siguientes rectas: y = 2 x , y = x y x = π R/ 3 π 2
R
24.
∫∫
x 2
9 −y
2
dA ,R
es la región acotada por la circunferencia x 2
2
+ y 2 = 9 R/
R
25.
∫∫ (
x 2
4e
−5 sin y ) dA;
R es la región limitada por las gráficas de y = x ,
y
864 5
= 0 y x = 4
R
R/ 2 e16 + 5 sin 4 − 22 26.
∫∫ (
6 y
+x2
) dA; R
es la región limitada por las gráficas de y = cos x y y
= x 2 R/ ≈ − 3.66
R
En los siguientes ejercicios utilice integrales dobles para calcular el área de la región limitada por las curvas del plano xy . Dibuje también la región. 27. y = x 3 , y = x 2
R/
1
28)
12
29. y = x , y = x 2 en el primer cuadrante R/
31. x = − y 2 , y = x + 2 R/
9 2
1 6
y
30. y
= x2 − 9 ,
y
= 9 − x 2 R/ 72
= x2 , y = x + 2
32b. y
= e x
R/
9 2
, y = 0 , x = 0 , x = ln 2
R/ 1 2
32a. x = y 2 , x = 2 y − y 2
R/
1 3
En los siguientes ejercicios calcule el área de la región polar usando integrales dobles. Dibuje la región. 33. Interior a una hoja de la rosa r 34. Interior al círculo r
= 4 sinθ
= cos 2 θ
y exterior al círculo r = 2
2π
R/
+3
3
3
35. Encerrada por la gráfica de r
= 3 cos 3θ R/
36. Interior a r = 4 y exterior a r = 2
R/
4 π + 6
=
3
3
9 π 4
12 π
En los siguientes ejercicios escriba y evalúe una integral doble que represente el volumen del sólido descrito. 37. Limitado por el cilindro x 2
+ y 2 = 16 , el plano z = 4 x
38. Limitado por los cilindros x 2
+ y2 = 4
39. Limitado por las superficies x + z 2
y z 2
=1 , x = y
=4
y z = 0
R/
512 3
3
2 , x = y en el primer octante.
Sólido del primer octante cortado en el cilindro x 2
+ y2 = 9
41.
Sólido del primer octante limitado por z = r y el cilindro r
= 3 sinθ R/
42.
Sólido cortado en la esfera z 2
= 4 cosθ R/
por el cilindro r
R/
15 π − 32 120
por el plano x = z R/ 9
40.
+ r 2 = 16
16
R/
en el primer octante.
6 128 9
( 3 π − 4 )
En los siguientes ejercicios dibuje el sólido cuyo volumen esta dado por la integral doble dada. 2 4
43.
∫∫
2 4− x
y 2
− 4x 2 dydx
44.
0 2 x
1
45.
∫∫ 0 0
∫ ∫ ( 0
x
1
1
∫∫ −
1 − x dydx+ 2
1
0
x
2
y dydx
6
46.
2
2
) dydx
0
4
3 x 2
∫ ∫ 0
4 − x
0
x y 2 − 3 − 2
dydx
3
2 π 5
47.
2 π 2
∫ ∫
r 3 drd θ
∫ ∫ (
48.
r r cos
0 0
4 y
4
49.
0
−
+ 2 )drdθ
1
−y 2
∫ ∫ 2
θ
4 y− y
4 y
− y 2 − x 2 dxdy
2
Utilice una integral doble en coordenadas polares para encontrar el volumen del sólido descrito. 50. Región formada por la intersección de los cilindros y = 3 x 2 51. Región formada por la intersección de los cilindros x = y 2 eje x positivo R/
+ 3 z 2
+ z 2
y y
= 4 − x 2 − z 2 R/
y 2 y = y2
2 π
+ z 2 en la dirección del
3 π 2
Evalúe las siguientes integrales triples 2 2 2
52.
1 1 1
∫∫∫
x y zdxd yd z
R/ 8
53.
0 0 0
∫∫∫ 1 1 1
x 2
+ y 2 + z 2 ) d z d yd x R/ 1
0 0 0
e e e
54.
∫∫∫ (
1
xyz
3
dxdydz
R/ 1
55.
9 − x
2
9− x
2
∫ ∫ ∫ 0
0
R/ 18
0
1
56. La siguiente es la región de integración de la integral
dxdydz
1 1 − y
∫ ∫ ∫
−1 x 2
dzd yd x . Escriba los 5 restantes
0
órdenes de integración.
Calcule el volumen de cada una de las siguientes regiones. 57. Región entre el cilindro z = y 2 y el plano xy que está acotada por los planos x = 0 , x = 1 ,
y = − 1 , y = 1
R/
2 3
4
58. Región del primer octante acotada por los planos coordenados, el plano y 20 R/ x = 4 − y 2 3
+ z = 2
y el cilindro
59. El tetraedro el primer octante acotado por los planos coordenados y el plano que pasa por ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0) y ( 0 , 0 , 3) R/ 1 60. La región del primer octante acotada por los planos coordenados, el plano y 4 π x superficie z = cos , 0 ≤ x ≤ 1 R/ 2 2 x 61.
La región común, en el primer octante, a los interiores de los cilindros
R/
x
2
+
y
2
= 1− x
y la
= 1 y x 2 + z 2 = 1
16 3
+ y2 = 4
por el plano z = 0 y el plano x + z = 3 R/ 12 π
62.
La región cortada en el cilindro x 2
63.
Región cortada en el cilindro elíptico sólido x 2
+ 4 y2 ≤ 4
por el plano z = 0 y el plano z
=x+2
R/ 4 π
= 2 sin θ
y el plano xy y cuya parte
64.
Cilindro circular recto cuya base es la circunferencia r superior está en el plano z = 4 − y
65.
Cilindro circular recto sólido cuya base es la región del plano xy que está dentro de la cardioide r = 1 + cosθ y fuera de la circunferencia r = 1 y cuya parte superior está en el plano z = 4
R/ π + 8 66.
Escriba las 6 integrales que representan el volumen del sólido limitado por z plano x + z = 1 y debajo de
z = 1 .
Calcule el volumen. R/
= x + y 2 , arriba del
4 15
67. Utilice coordenadas esféricas para calcular el volumen del sólido cuyo volumen, en coordenadas cartesianas está dada por 4 y
4
−y2
∫ ∫ 2
68.
−
4 y − y
4 y− y
2
∫ 2
−x2
dzdxdy
R/
8 π 3
0
Utilice una integral triple en coordenadas esféricas para calcular el volumen del sólido limitado 2π por x 2 + y 2 + z 2 = 4 , y = x , y = 3 x , z = 0 R/ 9 2 π π 4 cosφ
69.
Dibuje el sólido cuyo volumen está representado por
∫ ∫ ∫ ρ 0
0
2
θ sinφ dρ dφ d
0
5
70.
Utilice coordenadas esféricas para calcular el volumen del sólido limitado por el cilindro
x
2
+ y = 4 , la superficie z = 2
8− x
2
−y
2
y el plano z = 0 .
32 R/ π
− 16 3
2
71. Utilice coordenadas cilíndricas para calcular el volumen del sólido del problema 19. 72.
Escriba una integral triple en coordenadas esféricas que represente el volumen del sólido entre la 31π esfera ρ = cos φ y el hemisferio ρ = 2 , z ≥ 0 R/ 6 8π 73. Calcule el volumen del sólido encerrado por la cardiode de revolución ρ = 1 − cosφ . R/ 3
74.
Calcule el volumen del sólido acotado abajo por la esfera ρ
z = 75.
x2
+ y2
R/
= 2 cosφ
y arriba por el cono
π 3
Sea Q el casquete de una esfera sólida de radio 2, cortado por el plano z = 1 . Exprese el volumen de Q como una integral triple en coordenadas: a) esféricas, b) cilíndricas y 5π c) cartesianas. Calcule además el volumen evaluando la integral más sencilla. R/ 3
76.
Un depósito semiesférico de 5 cm de radio se llena con agua hasta 3 cm de la parte superior. Calcule el volumen de agua en el tazón utilizando una integral triple en coordenadas esféricas. R/ 36 π
77.
Calcule el volumen para el depósito del problema 25 si ahora se llena completamente R/
250π 3
6
78.
4 − r
2
2 π
∫ ∫ ∫
Transforme
0
2
3 dzdrd θ a coordenadas cartesianas en el orden
dzdxdy y a
r
0
(
coordenadas esféricas. Evalúe la integral que le resulte más sencilla. R/ 2 π 8 − 4 2 79.
Dibuje el sólido cuyo volumen está representado por la integral triple: π 2 1
+ θ cos
4
∫ ∫ ∫ − π 2 80.
1
rdzdrd
θ
0
Dibuje el sólido cuyo volumen está representado por la integral triple: π
π 23
4
cos − 1 φ
∫ ∫ ∫ 0
81.
)
0
ρ 2 sin φ d ρ φd θ d
0
Evalúe la siguiente integral cambiando el sistema de coordenadas.
1
1 − x
2
∫ ∫ 0
1 −
2 x−
y2
∫ 2
− 1− x − −1
x 2
− x
y
2
+y 2 + z 2 dzdydz
R/
π 2
2
7
