INDICE INTRODUCCIÓN
PAG. 4
OBJETIVOS
PAG. 5
CAPITULO 1: VECTORES
PAG. 6
OPERACIONES VECTORIALES DESCOMPOSICION DE UN VECTOR EN SUS COMPONENTES VECTOR UNITARIO COMPONENTES RECTANGULARES PRODUCTO ESCALAR PRODUCTO VECTORIAL REPRESENTACION VECTORIAL DE UN SUPERFICIE PROBLEMAS RESUELTOS REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA Y ANEXOS
PAG. 42
INTRODUCCIÓN El estudio sobre vectores presentado en este capítulo es un enfoque moderno y sirve como introducción tanto desde el punto de vista del algebra lineal como del análisis vectorial clásico. El estudio de los vectores es importante en cualquier curso de física. Muchas de las magnitudes físicas tienen las propiedades de los vectores y algunas de las relaciones entre esas magnitudes (leyes de la física) adoptan la forma más simple si se expresan en forma vectorial. En los siguientes apartados repasaremos los conceptos y aplicaciones más relevantes del análisis vectorial de cara a un primer curso universitario de física.
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INTRODUCCIÓN El estudio sobre vectores presentado en este capítulo es un enfoque moderno y sirve como introducción tanto desde el punto de vista del algebra lineal como del análisis vectorial clásico. El estudio de los vectores es importante en cualquier curso de física. Muchas de las magnitudes físicas tienen las propiedades de los vectores y algunas de las relaciones entre esas magnitudes (leyes de la física) adoptan la forma más simple si se expresan en forma vectorial. En los siguientes apartados repasaremos los conceptos y aplicaciones más relevantes del análisis vectorial de cara a un primer curso universitario de física.
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OBJETIVOS Informarnos acerca de los conceptos y nociones básicas del tema de vectores para un mayor entendimiento de la materia.
El principal objetivo es el de ayudar a los estudiantes de ciencias e ingeniería a complementar y consolidar los conocimientos de nivel superior. Contribuyendo a afianzar y aclarar los conocimientos previos, para que así podamos obtener un nivel superior con respecto al tema a tratar.
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Vectores
VECTORES Se define un vector, como una expresión matemática que tiene magnitud, dirección y sentido. Gráficamente un vector se representa por una flecha, que nos define la dirección y la punta de la flecha el sentido; la magnitud está indicada por la longitud de la flecha. Analíticamente un vector se representa por una letra con una flecha en su parte superior como A , y su magnitud se indica por A o simplemente A .
=
ESCALARES Se define un escalar, como una expresión matemática que solo tiene magnitud. Ejemplos: El tiempo, la temperatura, el volumen, etc.
DESCRIPCION DE VECTORES Un vector que tiene la misma magnitud, la misma dirección, pero sentido opuesto al vector
A ,
se
4
indica por - A .
OPERACIONES VECTORIALES SUMA DE VECTORES Utilizando la ley del paralelogramo, se pueden sumar dos vectores a y b de la siguiente manera: de un punto conveniente O , podemos dibujar OA y OB representando los vectores a y b respectivamente, y construir el paralelogramo OACB .
La diagonal OC, que representa al vector c , es la suma de los vectores a y b . Una sencilla alternativa para sumar vectores, consiste en la construcción de un triangulo. Empezando de un punto conveniente O , se dibuja el segmento OA , que representa al vector a . Del punto extremo A dibujamos el segmento AC que representa al vector b . Entonces OC representa también la suma de los vectores a y b .
Suma de más de dos vectores 5
En la suma de más de dos vectores por ejemplo a y b + c , se pueden sumar a y b , y a este resultado adicionarle el vector c . Un procedimiento que utiliza la construcción del triangulo y que además puede simplificarse omitiendo los pasos intermedios, se conoce como construcción del polígono.
SUSTRACCION DE VECTORES La sustracción del vector b del vector a , a – b se define como a b .
MULTIPLICACION DE UN VECTOR POR UN ESCALAR El producto de un vector A por un escalar “m”, es un vector m A, con
magnitud m veces la magnitud de A la misma dirección y el mismo sentido o sentido opuesto, de acuerdo a si “m”, es positivo o
negativo. 6
DESCOMPOSICION DE UN VECTOR EN SUS COMPONENTES El proceso de descomponer un vector en sus componentes, es el proceso inverso de sumar vectores. Consideramos los siguientes casos: 1 Descomposición de un vector
v
, en dos direcciones arbitrarias
contenidas en el plano del vector.
Se ilustra la descomposición de un vector en dos direcciones utilizando la ley del paralelogramo. En el caso particular en que las direcciones sean mutuamente perpendiculares, v y v2 son las componentes ortogonales de v . 1
(2) descomposición de un vector perpendiculares.
v
, en tres direcciones mutuamente
Nuevamente, utilizando la ley del paralelogramo por dos veces consecutivas, se puede descomponer el vector v .
7
Luego las componentes ortogonales del vector v son:
v x , v y
,
v z .
Donde: , , son
los ángulos que hace el vector v con los ejes x, y, z respectivamente y a los cosenos de estos ángulos se les denomina los cosenos directores del vector v x .
VECTOR UNITARIO Se da el nombre de vector unitario de un vector dado, a otro vector colineal o paralelo a él, cuya magnitud es la unidad.
=
Todo vector es igual al producto de su magnitud, por su vector unitario A = A e A .
VECTORES UNITARIOS RECTANGULARES Hemos visto que los vectores unitarios pueden ser definidos en cualquier dirección. Sin embargo, los mas útiles son aquellos que tienen la dirección positiva de los ejes x; y; z de un sistema de 8
coordenadas rectangulares; y se les conoce por respectivamente.
i
;
j ;
k
Magnitud: =1 =1 =1
EXPRESION DE UN VECTOR EN SUS COMPONENTES RECTANGULARES
= = = =
Por lo tanto: v v x i vy j vz k
Y la magnitud esta dado por: v v x2 v y2 vz 2
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ALGEBRA VECTORIAL EN FORMA DE SUS COMPONENTES Suma de vectores: Si: C = A + B En donde:
A A xi Ay j Az k B B x i By j Bz k
Entonces:
C A x Bx i AY
By j AZ Bz k
Sustracción de vectores: Si: Entonces:
C A B A x i AY j AZ k C A x Bx i AY
B i B x
Y
j BZ k
By j AZ Bz k
Multiplicación de vectores por un escalar: Si: Entonces:
C C x i CY j CZ k ; mC m C x i CY j C Z k
mC mC x i mCY j mCZ k
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES: Por definición, el producto escalar de dos vectores A y B es un escalar cuya magnitud es igual al producto de la magnitud del vector A por la magnitud del vector B y el coseno del ángulo entre ellos. . = A B cos A, B
A B
Producto escalar de los vectores unitarios: i.i j. j k.k 1 i. j
j.k k.i 0
paralelismo perpendicularidad 1
Se cumple que:
= proyección del vector , sobre el vector .
Producto escalar de dos vectores en función de sus componentes rectangulares.
A A x i A y j
A z k
B B x i B y j B z k
A.B A xi
Ay j Azk . Bxi B y j B z k
A xi . Bxi By j Bzk Ay j . Bxi B y j B zk Azk .B xi B y j B z k A x Bxi .i AxByi . j AxB zi .k A yB x j .i A yB y j . j A yB z j .k A zB xk .i A zB yk . j
AzB z k .k
A.B A x Bx Ay B y AzB z
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES Por definición, el producto vectorial de dos vectores vector C .
A
y B es un tercer
C A B
Donde:
.
1 La magnitud de
C
es
2 La dirección de
C
es perpendicular al plano que contiene a
C A . B sen A, B
A
y B . 1
3 El sentido de
C
se determina aplicando la regla de la mano
derecha. -colocar la mano en el plano de los vectores y , como se muestra en la figura. Plano formado por y
-girar los dedos, siguiendo el orden de los vectores . -el dedo pulgar, nos indica el sentido del vector: .
Producto vectorial de los vectores unitarios.
Producto Vectorial de dos vectores en función de sus componentes rectangulares.
A A x i A y j
A z k
B B x i B y j B z k
1
A B A xi Ay j Az k Bxi By j Bz k
A xi Bxi By j Bzk Ay j Bxi By j Bzk Az k Bxi By j Bz k
A xBxi i AxB yi j AxBz i k Ay Bx j i Ay By j j Ay Bz j k A z Bxk i AzB yk j AzB z k k
A xB y k AxB z j A y Bxk Ay Bzi AzBx j AzB yi
A B A y Bz AzB y i AzB x AxB z j AxB y Ay Bx k
- También se llega a esta expresión desarrollando el siguiente
determinante:
i
j
k
A B A x A y
A z
B x B y B z
- Algunas veces, es conveniente utilizar dos columnas adicionales,
en la forma siguiente:
i
j
A B A x A y
k
i
j
A z A x
A y
B x B y B z B x B y
Se obtiene el producto vectorial, sumando los productos a lo largo de las diagonales dirigidas hacia la derecha, y luego restando la suma de los productos a lo largo de las diagonales dirigidas hacia la izquierda.
A B A y B z i
A z B x j A x B y k A y B x k A z B y i A x B z j
A B A y B z A z B y i
A z B x A x B z j A x B y A y B x k
1
REPRESENTACION VECTORIAL DE UNA SUPERFICE Se tiene el vector A B ,
A y
el vector B ; como se sabe el producto vectorial
se define como un vector C , cuya magnitud es:
C A B sen A, B .
El área de la superficie del paralelogramo, formado por los vectores A y B , es: S Ah
Como: h B sen
Luego: S A B sen ; si este valor lo comparamos con
C ,
encontramos:
S C A B
Esta expresión nos indica que podemos asociar un vector con una superficie. Luego una superficie se puede representar por un vector , cuya magnitud es igual al área de la superficie y cuya dirección es perpendicular a la superficie. El sentido del vector se puede adoptar que es siempre saliendo de la superficie. En el cubo de aristas, a, b y c se tiene: S1 ab S 2 ac S3 ab S 4 ac
1
PROBLEMA N01
Si ABCDEF son los vértices del hexágono regular. Determinar la resultante de las fuerzas representadas por los vectores
AB, AC , AD, AE y AF .De
su respuesta en función de
AD
Solución: Nótese que los vectores
AB AC ; BC FE ; CD AF
S AB AC AD AE AF
AB BC CD AD ; AB AD BC CD AC CD AD ; AC AD CD AD AD ; AD AD
AE ED AD ; AE AD ED AD AB
AF FE ED AD ; AF AD FE ED AD BC AB
1
AB AC AD AE AF 5 AD 2 AB BC CD
S 5 AD 2 AD S 3 AD
PROBLEMA N02 A 6i
10 j 16k
B 2i
3 j
¿Cuál es la suma siguiente grupo de vectores?
Es un vector situado en el plano XY , con una inclinación de 45 con el eje positivo de X , está dirigido hacia el origen y tiene una magnitud de 25. C
Solución:
PROBLEMA N03
Si A y B son dos vectores dados. Demostrar que:
a) A B A B b) A B A B
1
Solución: Aplicando la ley de cosenos, tenemos: A2 B 2 2 AB cos
C 2
Recuérdese que: 1 cos 1 Por lo tanto: B 2 2 AB cos A2 B 2 2 AB
2
A
A B 2 2 C A B 2
C
A B
D
2
2
A
B
2
A B
2 AB cos
En donde: A 2 B 2 2 AB cos A2 B 2 2 AB 2
D 2 A B D A B A B A B
PROBLEMA N04 Dados dos vectores no colineales , ni paralelos a y b .Determinar una expresión para cualquier vector r que descanse en el plano determinado por a y b .
Solución: Utilizando la ley del paralelogramo descomponemos el vector r . En sus componentes en las direcciones del vector a y del vector b .
Donde x e y son escalares:
; r x a y b
OR OD OC
1
PROBLEMA N05
Demostrar que si los vectores
y
a
son no
b
colineales, ni paralelos. Entonces: x a y b 0 . Implica que x y 0
Solución: Supongamos:
x 0
Entonces: x a y b 0
Implica:
a
y b x
Si el vector a puede ser expresado en función del vector b , quiere decir que ambos vectores tienen la misma dirección, lo que es contrario al enunciado del problema.
Por lo tanto: x 0 ;
PROBLEMA N06
y b 0 de
donde:
y
0
Demostrar que si los vectores
a
coplanares, ni paralelos al mismo plano, entonces : Implica que x y z 0 .
,
b
y
c no
x a y b z c
son 0.
Solución: Supongamos: x 0
Entonces: x a y b z c 0
Implica:
a
y z b c x x
Si el vector a puede ser expresado en función de los vectores b y c , quiere decir que el vector a descansa en el plano b y c (ver el problema N04 ); lo que es contrario al enunciado del problema.
Por lo tanto: x 0 Por un razonamiento similar se obtiene
y=0 ; x=0
1
PROBLEMA N07 Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. Solución:
AB BD AD ; BD AD AB
BP x BD x AD AB x b a
AC AD DC
AP y AC y AD DC y b a
AB BP AP ;
a x b a y b a
1 x y a x y b 0
Como los vectores
a yb
no son colineales, ni paralelos.
Entonces: 1 x y 0 ; x y 0 Resolviendo: x y 1 2 ; y P es el punto medio de ambas diagonales
1 BP x BD BD 2
y
1 AP y AC AC 2
Sea ABCD un paralelogramo, P y Q los puntos PROBLEMA N08 medios de los lados BC y CD respectivamente. Demostrar que AP y AQ trisecan la diagonal BD en los puntos E y F.
1
Solución:
DE x DB; EF y DB; FB z DB
DE EQ DQ; EQ AQ; DQ
x DB AQ
1 b 2
1 b ...(1) 2
DB DC CB b a
1 DA AQ DQ; AQ DQ DA b a 2
Remplazando en (1): Como los vectores a y b no son colineales, ni paralelos.
Entonces: x 0 ; x 2 1 2 0 Resolviendo: x
1 3
; DE x DB
1 DB 3
Por un razonamiento análogo se puede obtener Por lo tanto:
y
1
3
; z
1
3
3 DB ; FB 13 DB
EF 1
Determinar el vector posición para el punto PROBLEMA N09 P(x;y;z) y hallar la magnitud de dicho vector.
Solución:
OA x i ; AB y j ; BP z k
r OP OA AB BP
r x i y j z k
La magnitud del vector r se puede obtener aplicando el teorema de Pitágoras. 2
2
2
2
2
2
2
OP OB BP
r OP :
OB OA AB
2
2
2
2
Por lo tanto: OP OA AB BP ; OP 2
2
2
2
OA AB BP
r OP x 2 y 2 z 2
Determinar el vector, cuyo punto inicial es P PROBLEMA N010 (x1;y1;z1) y cuyo punto terminal es Q(x 2;y2;z2),y hallar la magnitud de dicho vector.
Solución: El vector posición de P es:
r 1 x1 i y1 j z 1 k
El vector posición de Q es:
r 2 x2 i y 2 j z 2 k
r 1 PQ r 2 ;
Por lo tanto: PQ r 2 r 1
PQ x2 i y 2 j z 2 k x1 i y1 j z 1 k
Luego se tiene: PQ x2 x1 i y2 y1 j z 2 z 1 k …. (I) La magnitud esta dad por
PQ
x2 x1 2 y2 y1 2 z 2 z 1 2
2
Nota: La expresión (I) nos permite escribir la expresión vectorial de cualquier vector. PROBLEMA N011 a) Demostrar que los vectores
A 3i
j 2k , B i 3 j 4k y
formar los lados de un triangulo. b) Determinar las longitudes de las medianas del triangulo.
C 4i
2 j 6k pueden
Solución: a)
De las figuras se puede deducir que los vectores pueden formar un triangulo si: I. II.
La suma de los tres vectores es cero. Uno de los vectores es la suma de los otros dos. Después de hacerse algunas tentativas se encuentra que:
A B C
;
A
i 3 j 4k 4i 2 j 6k 3i j 2k
Por lo tanto: Los tres vectores forman un triangulo.
2
Medianas: MP ; NQ ;
OR
MP MN NP B C 2
MP
i 3 j 4k 12 4i 2 j 6k i 2 j k
MP 12 2 2 12
Por un razonamiento análogo se obtiene:
NQ
1 150 2
6
;
OR
1 2
114
Determinar los ángulos , y que el vector PROBLEMA N012 r xi y j z k hace con las direcciones positivas de los ejes coordenados y demostrar que:
cos 2
cos 2 cos 2 1
Solución: De la figura se deduce que los triángulos OAP, OBP y OCP ason figura se deducerectángulos. que los triángulos triángulos OAP.
2
Luego, elevando al cuadrado y sumándolos, tenemos: cos cos cos 2
2
2
x
2
y2 z2 r
2
2
r
2
r
1
PROBLEMA N013
Las magnitudes de los componentes en las direcciones “x” y “Z” de la fuerza F mostrada en la figura son: 1000N y 3000 N respectivamente.
¿Cuál es la magnitud de la fuerza F y cuáles son los valores de sus cosenos directores?
Solución: AB 10002 3002 1044
También: sen30 0 Luego:
OB sen30
0
AB OB
AB sen30
0
1044 0,5
2088
2088 N F OB
Cosenos Directores: F x 1000 0, 48eje : OX F 2088 F y cos cos 30 0 0,86 eje : OY F 300 F 0,14 eje : OZ cos z F 2088
cos
2
Expresar la fuerza mostrada en la figura en PROBLEMA N014 términos de los vectores unitarios i , j , k . F= 1000 N
Solución: Los vectores
OP Y F ;
tienen el mismo vector unitario:
eop
OP 10i 12 j 6k
eop
10i 12 j 6 k
1 10i 12 j 6k 1,67
10 2 12 2 6 2 1 10i 12 j 6k F F e op 1000 1,67
F 599i 718 j 359k
2
PROBLEMA N015
Referente a la figura escribir la expresión
A 520 N
A
y
B .
B 250 N
;
Solución:
PQ 3 0 i 12 0 j 0 4k 3i 12 j 4 k
e A
PQ
3 2 12 2 4 2
A A e A 520
3i 12 j 4 k
PQ
3i 12 j 4 k 13
3i 12 j 4 k 13
A 120i 480 j 160k
2
QR 3 0 i
e B
QR
QR
B B e B
12 12 j 4 0 k 3i 4k
3i 4k 3i 4k 2 2 5 3 4
250
luego : B 150i
3i 4k 5
200k
PROBLEMA N016 Dados los siguientes vectores:
A 10i
20 j 3k ; B 10 j 12k
¿Cuánto es A . B ?
¿Cuánto vale el cos( A , B )?
¿Cuánto vale la proyección de
A
sobre B ?
Solución:
A. B 10i
20 j 3k . 10 j 12 k
A. B 10 0 20 10 312 A. B 164
Luego:
A. B A Bcos ; A 10
2
cos
A. B
202 32 22,6; B 102 122 15,6
164
A B 22 ,615,6
0,464 90 0
Proyección de: A sobre B A cos También: A. B AB cos ; de donde:
A cos
A.B B
2
A
sobre B
A. B B
A.eb
Proyección de: 10 j 12k A sobre B A.eb 10i 20 j 3k . 15,6 100 2010 312 164 10,5
15,6
15,6
0
Para qué valores de a; PROBLEMA N 17 B 2ai a j 4k son perpendiculares.
A ai 2 j k
y
Solución: 0 A. B A B cos AB cos 90
0
Luego: A. B ai 2 j k 2ai a j 4k 0
a 2a 2a 1 4 0 2a 2 2 a 4 0
… Ecuación de 20 grado
a = 2 ; a = -1
PROBLEMA N018
Demostrar la ley de coseno para un triangulo.
Solución:
A B C C A B
C.C A B . A B
C.C A. A B.B 2 AB C
2
A2 B 2 2 A B cos
2
0
Demostrar que los vectores A 3i 2 j k , PROBLEMA N 19 B i 3 j 5k , C 2i j 4k forman un triángulo.
Solución: Primero se tiene que demostrar que los vectores forman un triangulo (ver problema N 011).Los vectores pueden formar un triangulo si: a) La suma de los tres vectores es cero. b) Uno de los vectores es la suma de los otros dos. Después de hacerse algunas tentativas se encuentra que: A B C ; por lo tanto, los tres vectores forman un triangulo.
Ahora, para que el triangulo sea triangulo rectángulo, dos de los vectores deben ser perpendiculares.
Se concluye que
A.B 31 2 3 1 5
14
A.C 3 2 21 1 4
0
B.C 1 2 31 5 4
21
A
y
C
son perpendiculares, y el triangulo es un
triangulo rectángulo.
PROBLEMA N020
Dado un paralelogramo ABCD. Demostrar que: AB
2
2
2
2
2
BC CD DA AC BD
2
Solución:
2
AC AB BC
AC . AC AB BC . AB BC
AC . AC AB . AB BC . BC 2 AB . BC 2
2
2
AB BC 2 AB. BC …(1)
AC
BD AD AB AD DC
BD . BD AD DC . AD DC
2
BD
2
2
AD DC 2 AD. DC …(2)
Sumando (1) y (2) obtenemos: AC AC
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
BD AB BC AD DC 2 AD . DC 2 AB .BC
2
BD AB BC AD DC 2 a . b 2 b . a 2
2
2
2
2
2
L.q.q.d.
AC BD AB BC AD DC
PROBLEMA N021 plano de
Determinar un vector unitario perpendicular al
A 4i j 3k
y B 2i j 2k
Resolver mediante: a) El producto escalar b) El producto vectorial
Solución: a) Dado el vector Por lo tanto: Entonces:
C
C C xi
C y j C z k perpendicular al plano
es perpendicular a
C . A C xi
A y B
A y B
C y j C z k . 4i j 3k 0
3
4C x
C . B C xi
C y 3C z k 0
…(1)
C y j C z k . 2i j 2k 0
2C x C y 2C z k 0
Resolviendo (1) y (2) se obtiene:
…(2) 1 C x C z ; C z C y 2
1 C C z i C z j C z k 2
De donde:
Y el vector unitario en la dirección de 1 C z i j k 2
e
será:
2
1 C z 12 12 2
2 1 1 i j k i 2 j 2 k 3 2 3
b) El producto vectorial de A y B
C
A por B ,
es un vector perpendicular al plano
i
A B 4
2
A B 2i
A B i
j
k
i
j
1
3
4
1
2 2
1
1
6 j 4k 2k 3i 8 j
2 j 2k
Y el vector unitario será: i 2 j 2k i 2 j 2k 1 e 12 22 22
9
3
i 2 j 2k
3
PROBLEMA N022
Haciendo uso del producto vectorial. Determinar el vector unitario e , normal a la superficie
C
n
inclinada ABC de la figura.
10 8
B
A
Solución:
10
Primero se tiene que calcular las coordenadas del punto AOA, O , O
8
OA OBtg 30 0 OA
8 3 4, 6 3
AB 4,6 i 8 j
AC 4,6 i 10 j
8 Multiplicando vectorialmente
AB Y AC ,
se obtiene un vector perpendicular al plano formando por ambos, es decir, perpendicular a la superficie ABC.
3
j
k
i
j
4,6 8 80 i 36,8k 46 j 4,6 0 10 4,6 0
AB AC 4,6
i
8
0
AB AC 80 i 46 j 36,8k
en
80 i 46 j 36,8k
80 46 36,8 2
2
2
1 80 i 46 j 36,8k 99, 4
PROBLEMA N023 Demostrar que el área de un paralelogramo con lados A y B es:
A B
.
Solución: Área del paralelogramo
Bh
B A sen
ABsen
Área del paralelogramo A B
Nótese que el área de un triangulo con lados
A y B es: S A
1 2
A B
Determinar el área de un triangulo con vértices PROBLEMA N024 en P 3;1;2 , Q1;1;3 y R4; 3;1
Solución:
3
Área del triangulo
PQ 1 3i
PR 4 3i
2
3 1 j 1 2 k i 2 j k
i
2 1
Área del triangulo
1 1 j 3 2k 2i 5k
PQ PR
Luego:
1
PQ PR
j
k
i
j
5 2 0 2 1 1 2 0
= 5 j 4k 10i 2 j 10i 7 j 4k PQR
1 1 10 2 7 2 4 2 165 2 2
PROBLEMA N025 Demostrar que si se une el punto medio de los lados no paralelos de un trapecio con los extremos del lado opuesto, se obtiene un triangulo cuya área es la mitad del área de dicho trapecio. Solución:
Área del triangulo
3
CMD
1 MC MD 2
1 MC MB BC AB BC 2 1 MD AD AM AD AB 2 1 1 MC MD AB BC AD AB 2 2
1 2
1 2
1 4
BC AD BC AB AB AD AB AB ;
donde BC AD 0 (paralelos)
BC 1 1 AD AB BC AB AD AB ; También: 2 BC AB 2 AB BC 2 2 2
1
1
Luego: BC BC AD AD sen MC MD AB AB 2 2 2
1
2 (Área del Triangulo CMD)
BC AD AB sen (Área = 2
del Trapecio
ABCD); donde: h AB sen
PROBLEMA N026 Deducir la ley de senos de un triangulo Solución:
3
b a c
c a b
c c c b c a
0 c b c a
c b c a
c b senA c a sen 1800 B c a sen B b senB
a senA
a b c
a a a b a c
0 a b a c
a b
a c
a b senC ac sen1800 B ac sen B b senB
c senC
…(2)
Igualando (1) y (2); a senA
b senB
c senC
determinar la distancia mas corta del punto PROBLEMA N027 A(6; 4;4) a la línea que une los puntos B(2;1;2) y C (3; 1;4) .
3
Solución: La distancia mas corta del punto A a la línea BC, es la línea perpendicular AD.
BA 6 2 i 4 1 j 4 2 k
4i 5 j 2k
BC 3 2 i 1 1 j 4 2 k
i 2 j 2k
BC 1
2
22 22 3 i
j
k
i
j
BA BC 4
5 2 4 5 1 2 2 1 2
AD
BA BC BC
62 62 32 3
9
3 3
PROBLEMA N028 determinar el area de un paraleogramo que tiene como diagonales los vectores: A 3i j 2 k y B i 3 j 4k .
Solución:
Área del paralelogramo = 3
AC AB BC a b ; BD AD AB b a
AC BD a b
b a a b a a b b b a ;
Como:
b a ab
Se tiene:
a b a b 2 ab
Luego se deduce (1) y (2): área del paralelogramo= i
j
k
AC BD 3
1
2 3
1 3
4
i
AC BD
2
j
1 4i 2 j 9k k 6i 12 j
1 3
AC BD 2i 14 j 10 k
Área del paralelogramo 1
2
22 142 102 5 3
3
REFERENCIA BIBLIOGRAFICA Y ANEXOS NAVARRO, A., & F.TAYPE. (2010). FISICA - VOLUMEN 1. LIMA: GOMEZ.
3
