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ASIGNATURA: FÍSICA 1 SEMESTRE 1 CARRERA DE INGENIERÍA
UNIDAD 1: Vectores Magnitud Física: es todo aquello que siendo capaz de aumento o disminución es susceptible de medición. Las magnitudes físicas son de dos tipos: escalares y vectoriales
Magnitudes físicas escalares: son aquellas que quedan bien definidas únicamente mencionando su módulo y unidad de medida, ejemplos: Longitud, masa, tiempo, área, volumen, temperatura, potencia, energía, entre e ntre otras.
Magnitudes físicas vectoriales: son aquellas que para quedar bien definidas requieren a más de su módulo y unidad de medida, indicar la dirección, sentido y en algunos casos su punto de aplicación, ejemplos: Fuerza, posición, desplazamiento, velocidad, aceleración, impulso, cantidad de movimiento lineal, torque, entre otras.
Representación de las magnitudes físicas vectoriales: A los vectores se los puede representar gráficamente mediante un segmento dirigido trazado a escala en un sistema de referencia, en el que el módulo del vector esta expresado por el tamaño del segmento trazado a cierta escala, su dirección estará dada por el ángulo que forme el segmento dirigido con los ejes del sistema de referencia, el sentido viene representado por la saeta (cabeza de flecha) del segmento dirigido. Sistema unidimensional
Sistema bidimensional
Sistema tridimensional
0
0
: módulo o tamaño Dirección: horizontal Sentido: derecha
0
: módulo o tamaño Dirección: θ, ≤ ≤ °
Sentido: saeta
: módulo o tamaño Dirección: α, ≤ ≤ ° β, ≤ ≤ ° γ, ≤ ≤ °
Sentido: saeta
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Expresión de un vector en distintos tipos de coordenadas: 1. Coordenadas escalares rectangulares
; ; : Es la componente sobre el eje horizontal
; ;
y: Es la componente sobre el eje vertical z: Es la componente sobre el eje z r: Es el tamaño o módulo del vector OP
= √2 + 2 + 2
2. Coordenadas polares
; ; : = : Es el módulo del vector
; ; ;
α: es el menor ángulo que forma el vector con el eje x β: es el menor ángulo que forma el vector con el eje y γ: es el menor ángulo que forma el vector con el eje z
α, β, γ: Se denominan ángulos directores
2 + 2 + 2 = 1
3. Coordenadas geográficas
; ; : Es el módulo del vector R: Es el rumbo o ángulo agudo en el plano geográfico que forma la proyección (0´ = ´) del vector con el eje norte – sur. δ: Es el ángulo agudo formado entre el plano geográfico xz y el radio vector, sobre el plano es
ángulo de elevación (+) y bajo el plano es ángulo de depresión (-)
; ;
´
∅
´
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Elevación: δ = 90° − β Depresión: δ = β − 90° 4. Coordenadas cilíndricas
; ∅; : Es el módulo del vector
∅: Es el ángulo que forma la proyección del radio vector sobre el plano xz, con el eje positivo z y: Es la distancia, con signo, desde el punto P al plano
y
∅
5.
0° ≤ ∅ ≤ 360°
Coordenadas esféricas
(; ∅; ) : Es el módulo del vector ∅: Es el ángulo que forma la proyección del radio vector sobre el plano , con el eje positivo : Es el menor ángulo que forma el vector con el eje z Y
P
. y
P
∅
r x z Z
X
0° ≤ ∅ ≤ 360°
Tipos de vectores 1. Vectores iguales: dos o más vectores son iguales cuando tiene igual tamaño o módulo, dirección y sentido: = = , − , = ; −; ,
=
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2.
Vector opuesto: el opuesto de un vector es otro vector de igual tamaño y dirección pero de sentido contrario:
= −,
= , − ,
o
− = ,
= − ; ; −°
= −
−=
(): es aquel vector que no tiene tamaño, dirección ni sentido, su punto de origen coincide con su punto extremo, el vector nulo es un punto. = , ,
3. Vector nulo
4.
Vector unitario ( ): es aquel vector que tiene un tamaño igual a la unidad, carece de unidad de medida y conserva la dirección del vector original: Sea un vector, su unitario está dado por:
= = , 5.
: = .
Vector unitario base o versor: las proyecciones rectangulares de un vector tiene la dirección de los ejes coordenados y el sentido viene dado por su signo, por tanto constituyen otro vector sobre los ejes coordenados:
Y
X
Z
Los unitarios de los vectores coordenados rectangulares son los vectores unitarios base: = = = , = = = , = = , =
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El vector se puede expresar con sus componentes vectoriales rectangulares de la siguiente manera: = + +
Ejercicios. 1. Un avión vuela en dirección 70°, si la distancia a la que se encuentra el avión con respecto a la torre de control es de 5 y el ángulo de elevación es de 45°. Calcular las coordenadas rectangulares, polares y cilíndricas de la posición del avión. 2. Dado el punto −8 ; 6 ; −5 )a b ) c) ) d e) ) f ) g ) h
Dibujar el vector Expresar el vector en función de sus componentes escalares rectangulares Expresar el vector en función de sus vectores unitarios Calcule el módulo del vector Determine los cosenos directores y ángulos directores Calcular el vector unitario Exprese el vector en coordenadas cilíndricas Exprese el vector en coordenadas geográficas
3. Dados los puntos 4 , −5 , 3 y −6 ,8 , 4 Dibujar el vector Expresar el vector en función de sus componentes rectangulares y de sus unitarios c) Hallar el módulo del vector ) Calcular los cosenos directores d e) Determinar el vector unitario en la dirección de
)a b )
4. Una fuerza de 200 pasa por los puntos −4 ; 5 ; −3 = 6 ; −4 ; 3 a) b) c) d) e) f) g) h)
Dibujar el vector fuerza Expresar el vector fuerza en función de su módulo y unitario Expresar en función de sus componentes rectangulares Calcular los ángulos directores. Expresar el vector fuerza en función de sus componentes polares Expresar el vector fuerza en función de sus componentes geográficas Expresar el vector fuerza en función de sus componentes esféricas Expresar el vector fuerza en función de sus componentes cilíndricas
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VECTOR EN TRES DIMENSIONES (EXPERIMENTAL) TEMA: Vectores en el espacio. Objetivos 1. 2. 3.
Analizar experimentalmente los elementos de un vector en el espacio. Medir el módulo, los ángulos directores y los componentes de un vector. Expresar un vector en distintos tipos de coordenadas.
Equipo de Experimentación
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Armadura de soporte Cuerda Portamasas Masas calibradas Regla A =0,001m Plomada Cartulinas Escuadras geométricas
1
2
3 4
7 5 6 F igura 1. Vector tensión en tres dimensiones
Procedimiento 1. 2. 3. 4.
5.
6.
Armar el equipo de acuerdo a la Figura 1. En el extremo de la cuerda coloque el portamasas y una masa adicional de 0,10 kg; el peso del conjunto representa el módulo de la tensión. Identificar el sistema de ejes coordenados y medir los ángulos directores (α, β, γ) con la ayuda de la cartulina; registrar los valores en la Tabla 1. Marcar un punto sobre la cuerda a una longitud aproximada de = , Desde el origen de coordenadas, este valor representará el tamaño del vector posición. Con la ayuda de la plomada y desde el punto previamente marcado en la cuerda, señalar su proyección sobre la cartulina colocada en la mesa. Utilizando las escuadras medir las componentes escalares , , , del vector posición . Repetir el procedimiento para una segunda disposición.
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Registro de Datos Tabla 1: Módulo y ángulos directores del vector tensión
| | =
α
β
(N)
(°)
(°)
(°)
Tabla 2: Módulo y componentes escalares rectangulares del vector posición
|
|
(m)
1. 2.
3. 4. 5. 6. 7. 8.
(m)
(m)
(m)
Cuestionario De acuerdo a las mediciones obtenidas expresar el vector tensión en coordenadas polares. Expresar el vector tensión en función de su módulo y unitario Compruebe que = ∝ + + . Expresar el vector tensión en coordenadas geográficas. Expresar el vector posición en función de sus vectores base. Calcule los ángulos directores del vector posición y exprese en coordenadas polares. Compare los ángulos directores del vector tensión y del vector posición. Comprueba que el modulo del vector posición es igual a: = √ 2 + 2 + 2
Operaciones vectoriales: 1. Adición de vectores: para sumar dos o más vectores existen dos métodos: - gráfico - analítico Método analítico: Sean ∈ , ⟹ + ∈ Si =
+ + y = + + . ( + ) = + + + + +
La diferencia − , se define:
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( − Si =
) = + −
+ + y = + + . ( − ) = − + − + −
2. Productos 2.1 Producto por escalar : Sean ∈ , ∈ ⟹ . ∈ Si =
+ + y ∈ .
⟹ . = + +
Dónde:
Si > 0, el nuevo vector tiene p veces el tamaño del vector en la misma dirección y sentido Si = 0, se obtiene el vector nulo Si < 0, el nuevo vector tiene p veces el tamaño del vector en la misma dirección y sentido contrario.
2.2 Producto escalar: Sean ∈ , ⟹ ⨀ ∈ El producto escalar ⨀ se define como ⨀ = . , donde es el menor ángulo comprendido entre los dos vectores. Si =
+ + y = + + , el producto e scalar ⨀, se
define: ⨀ = + + ⊙ + +
⨀ = ⊙ + ⊙ + ⊙ + ⊙ + ⊙ + ⊙ + ⊙ + ⊙ + ⊙ ⨀ = + + Porque el producto escalar de vectores unitarios iguales es: ⊙ = 1.1. 0° = 1 = ⊙ = ⊙ Y el producto escalar entre vectores unitarios base diferentes es: ⊙ = 1.1. 90° = 0 = ⊙ = ⊙ = ⊙ = ⊙ = ⊙
2.3 Producto vectorial: Sean ∈ , ⟹ × ∈
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El producto escalar × = ; donde: El módulo o tamaño de se define: | | = . , donde es el menor ángulo comprendido entre los dos vectores. La dirección de es perpendicular al plano formado por los vectores El sentido viene dado por la regla de la mano derecha, que consiste en: colocar la mano derecha sobre el primer vector factor, simular girar el menor ángulo hasta colocarle sobre el segundo vector y el pulgar extendido da el sentido del vector
-
Si =
+ + y = + + , el producto e scalar × , se
define: × = + + × + + × = | |
2.4 Producto triple escalar: Sean , ∈ , ⟹ ⊙ × ∈ Si =
+ + , = + + y = + + , el producto triple escalar ⊙ × se define: ⨀ × = + + ⊙ ( + + × + + ) ⨀ × = | | 2.5 Producto triple vectorial Sean , ∈ , ⟹ × × ∈ Si =
+ + , = + + y = + + , el producto triple vectorial × × , se define: × × = + + × ( + + × + + )
× × = + + × (| |) | × × = + + × |
| − |
| + |
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× × =
|
| | | | | − |
Aplicaciones de las operaciones entre vectores: Operación Aplicación Adición Primer principio de Newton: ∑
=
Segundo principio de Newton: ∑
Diferencia
≠
Vector desplazamiento: ∆ = − Posición relativa: ⁄ = − Velocidad relativa: ⁄ = − Aceleración relativa: ⁄ = −
Producto por escalar
Velocidad tangencial:
= . Aceleración tangencial
= . = .
Producto escalar
Producto vectorial
Trabajo mecánico: = ⨀∆= . ∆ Potencia mecánica : = ⨀= . Angulo entre vectores: ⨀ ⨀ = . , = . Paralelismo y perpendicularidad: ∥ , ⨀ = ± . ⊥ , ⨀ = 0 Proyección de un vector: = ⨀ = ⨀ Vector proyección: = ⨀ = (⨀ ) Torque, momento de fuerza o girógeno: 0 = × Área del paralelogramo:
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= | × |, = × , á Área del triángulo: 1
⊿ = |× | 2
Distancia de un punto a un vector: 0 × 0 0 × 0 |, | 0 = | 0 = | 0 0 Volumen del paralelepípedo: = ⨀( × ) Volumen del tetraedro:
Producto triple escalar
1
= [ ⨀( × )] 6
Ejercicios propuestos:
1. Expresar el vector cuyas componentes escalares rectangulares son: ; −; − en: a) Coordenadas polares b) Coordenadas geográficas c) Coordenadas cilíndricas d) En función de su módulo y unitario
2. Dado el vector ( ; ° ; ∡ = °) expresar el vector en:
a) Coordenadas escalares rectangulares b) Coordenadas polares c) Coordenadas cilíndricas d) En función de sus vectores base e) En función de su módulo y unitario
3. Conociendo que la fuerza en el cable es de y en el cable , determine la magnitud y la dirección de la resultante ejercidas por los dos cables en
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4. Determine a) las componentes , de la fuerza de y los ángulos ; que forma la fuerza con los ejes coordenados, b) las componentes , de la fuerza de y los ángulos ; que forma la fuerza con los ejes coordenados
5. Un marco se sostiene en parte mediante el cable , que pasa a través de un anillo sin fricción en . Si se sabe que la tensión en el cable es de , determine a) las componentes de la fuerza ejercida por el cable sobre el soporte en , b) sobre el soporte en
6. Si se sabe que = y = , exprese los vectores en: a) Coordenadas escalares rectangulares b) Coordenadas polares c) Coordenadas geográficas d) Coordenadas cilíndricas e) En función de su módulo y unitario
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7. El extremo del cable coaxial se une al poste , el cual está sostenido por los tirantes de alambre y . Si se sabe que la tensión en el alambre es de , determine: a) Las componentes de la fuerza ejercida por este alambre sobre el poste b) Los ángulos ; que forma la fuerza con los ejes coordenados
8. Determinar la distancia entre los puntos P (4, 3, -5) y B (-4, 3, 7) 9. Determinar el vector unitario perpendicular al plano formado por = – − y = + – 10. De la figura, escribir; (a) , , (b) || (c) (d) Los cosenos directores de (e) + + (f) | − | (g) Los cosenos directores del inciso (e), (h) +
11. Hallar la longitud y los cosenos directores de la suma de los vectores , , donde: A (-1,2,-1), B(-3,6,6), C(4,3,1), D(0,0,2)
, 12. Dados los vectores = − + , = + + , = − calcular a) + + b) – c) ⨀ d) ⨀ e) coseno del ángulo comprendido entre , ⨀ ⨀ . f) ⨀ g) × h) ⨀ × ) i) || j) || k) + − – ⨀
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13. Hallar la componente de + + en la dirección del origen al punto (1,-2, 3) 14. ¿Qué fuerza se necesita aplicar en la dirección + + componente de en la dirección + − ?
para producir una
15. Dados A (1, 1, -1), B (3, 3, 2), y C (3, -1, -2), hallar un vector N perpendicular al plano de ABC. Proyectando, sobre N, un vector del origen a A, hallar la distancia del origen al plano. 16. Una fuerza tiene componentes de en la dirección y en la dirección . Hallar el trabajo realizado por esta fuerza sobre un objeto que se mueve sobre una recta desde = , = hasta = , = , las coordenadas están dadas en metros. 17. Dados los puntos A (1 , 2, 2), B (0, 1, 0) y C (2,-l, 1), hallar (a) las componentes rectangulares de , (b) tamaño de (c) × (d) El ángulo (e) El área del triángulo 18. Con relación a la figura del problema 3, hallar (a) el ángulo entre (b) la componente de en la dirección de (c) el área del triángulo formado por los extremos de y el origen, (d) el momento de con respecto a
= − + , calcular las 19. Dados los vectores = − , = + + expresiones (a) × (b) × (c) × × (d) ( × ) × (e) × ⨀ (f) × × (g) × × (h) × × (i) ⨀ × Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores = + − = – − = − + + 20.
Usando el producto escalar, deducir una fórmula para la distancia más corta entre un punto y una recta. El punto está dado por a y se conocen dos puntos de la recta dados por b y c. Posteriormente, hallar la distancia del punto , , a la recta que pasa por , , y , −, 21.
Dados los vértices de un tetraedro , , , , , , , , −, , − (a) hallar el volumen, 22.
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Hallar las coordenadas de E que es el punto en que la altura trazada desde corta a la base (b)
= AB , = AC , y Dado un tetraedro con vértices A, B, C, y D , sean = AD. Expresar las siguientes cantidades en términos de , : (a) el volumen del tetraedro, (b) el área del triángulo (c) Obtener los valores numéricos cuando: A (1, 2, 2), B (-1, 0, 0), C (l, 0, 1) y D (-2, 3, 0). 23.
24. Hallar el ángulo formado por (a) = + − = – + (b) = – + = – – ¿Para qué valores de son perpendiculares? 25.
= − +
= + −
Hallar los ángulos agudos formados por la recta que une los puntos , −, , −, ) con los ejes coordenados
26.
= + — = — + , hallar: (a) − , (b) | |, (c)|| , (d) | + | (e) + × — 27. Si
Hallar los cosenos directores de la recta que pasa por los puntos , , − ,
28.
Dos lados de un triángulo son los vectores = + − , = − + . Hallar los ángulos del triángulo.
29.
Las diagonales de un paralelogramo son = − − = + − . Demostrar que dicho paralelogramo es un rombo y hallar sus ángulos y la longitud de sus lados. 30.
31.
Hallar la proyección del vector − + sobre el vector + +
Hallar la proyección del vector − + puntos , , − − , − , 32.
sobre la recta que pasa por los
Si = − + = − + − , hallar el vector unitario perpendicular a los vectores y 33.
34. Demostrar que = − + , = + + y = + — son vectores unitarios mutuamente perpendiculares.
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35. Hallar el trabajo realizado para desplazar un cuerpo a lo largo de la recta que pasa por , , − , −, ). Si la fuerza aplicada es = — + 36. Calcular el área del paralelogramo cuyas diagonales son los vectores = + — = — + 37. Demostrar que la recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al tercer lado y es igual a la mitad de la longitud de dicho tercer lado. 38. Si y son vectores con un origen común O y extremos , en términos de a y b hallar el vector , donde C es el punto medio de AB .
39. Se dibujan vectores desde el centro de un pentágono regular a sus vértices. Demostrar que su suma es cero. 40. Hallar el ángulo agudo formado por dos diagonales de un cubo. 41. Hallar el vector unitario paralelo al plano y perpendicular al vector — + 41.- El ángulo entre el resorte AB y el poste DA es de 30°. Si la tensión en el resorte es de 220N, determínese a) las componentes x; y y z de la fuerza ejercida por este resorte sobre la placa circular en B b) los ángulos que definen la dirección de la fuerza en B.
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42. Un marco ABC se sostiene en parte mediante el cable DBE, que pasa a través de un anillo sin fricción en B. Si se sabe que la tensión en el cable es de 385 N, determine las componentes de la fuerza ejercida por el cable sobre el soporte en D.
43. El cable AB mide 65 pies de largo, y la tensión en dicho alambre es de 3 900 lb. Determine: a) Las componentes de la fuerza ejercida por el cable sobre el anclaje B b) Los ángulos directores de esa fuerza
44. El cable AC mide 70 pies de largo y la tensión en dicho cable es de 5 250 lb. Determine: a) Las componentes de la fuerza ejercida por el cable sobre el anclaje C b) Los ángulos ; que forma la fuerza con los ejes coordenados 45. Si se sabe que la tensión en el cable AB es de 1 425 N, determine las componentes de la fuerza ejercida sobre la placa en B
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46. Si se sabe que la tensión en el cable AC es de 2 130 N, determine las componentes de la fuerza ejercida sobre la placa en C. 47. El vector = + + , es perpendicular al vector = − + + , si el módulo del vector A es 10 determine los valores de m y n. 48. Desde la base de un edificio E se ubica la terraza de otro edificio F a una distancia de 120m en dirección NO, con un ángulo de elevación de 37°, desde esta terraza F se ubica la terraza de otro edificio G a una distancia 100m en dirección 0,5i – 0,24j + nk. Si los tres edificios están construidos en el mismo plano X-Z, determinar: a) El número de pisos de cada edificio, si se conoce que cada piso tiene una altura de 3m, y que el edificio E es 6m más bajo que el edificio G. b) La mínima distancia que deberá recorrer una persona si desea ir de E a F, luego a G y regresar a E 49. Sean los vectores A y B en el plano X-Y, si los vectores estan expresados en sus componentes rectangulares con los vectores unitarios base, demuestre que el módulo de la suma (A + B) es : √2 + 2 + 2 , y que el módulo de (A – B) es: √2 + 2 − 2 50. Dados los vectores unitarios , , , orientados como se ve el Fig. P – A.24, en el plano xy, a) deducir las fórmulas para el seno y el coseno de la suma y diferencia de dos ángulos, mediantes el uso de los productos escalar y vectorial.
b. Demostrar la ley de los senos utilizando un triángulo en donde el tercer lado sea sea igual a − . 51. Si el producto vectorial de dos vectores es: = 3 − 6 + 2 Y sus módulos son = 4, = 7, respectivamente, calcular su producto escalar ⊙ =?. 52. Dos vectores y , están representados por la altura y la base de un rectángulo res pectivamente. Determinar el tamaño y dirección del vector + 2, se conoce que y se encuentran en el primer cuadrante. 53. En un sistema de dos vectores y , el tamaño de es 10 unidades, y el tamaño de − es 15 unidades, si el ángulo que forman los vectores y − es 30°, determine: a) El tamaño del vector , b) El ángulo comprendido ente el vector .
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54. Un niño eleva una cometa desde un punto O en el plano XZ. Cuando ha desenrollado 50m de cuerda en dirección N37°E y la cometa se encuentra a 30m sobre el suelo (Posición A), el niño se mueve 10m en dirección S - E hasta una posición P. Posteriormente el viento obliga a la cometa a realizar un desplazamiento = − − + desde la posición A hasta una nueva posición B. determinar: a) ¿Cuánta cuerda tiene que enrollar o desenrollar el niño para ir de O hasta P. de modo que la cometa siga en la posición A? b) ¿Cuál es la altura de la cometa sobre el suelo, cuando se encuentra en la posición B? 5 .Se tienen los vectores
de tamaño 700 unidades y de de 350 unidades en las direcciones que se indican en la figura. Determinar: a) Los vectores en términos de sus vectores unitarios base. b) El ángulo formado por los dos vectores.
6 5i .S
las longitudes del horario y de los minutos de un reloj es 10cm y 15cm respectivamente, determine la posición del extremo libre del horario respecto al extremo libre de la aguja de los minutos a las: a) 9h b) 2h30 7 5 n la figura AB = BE = 6m, determinar: a) el ángulo formado por los vectores AC y EC, .E
b) el vector proyección de OC sobre CE
,
