1 s
nt u g e Pr
a
ta s e u p s Pro
Geometría A) 15º B) 20º C) 25º D) 30º E) 35º
Triángulos
1. En el gráfico, calcule x.
5. En la región externa y relativo al lado AC
del triángulo ABC, se ubican los puntos E y D, tal que la m ABE=20º, m EBD=40º y m DBC=80º. En la prolongación de AE se ubica el punto P, de modo que m CAP=60º, m DEP=30º y AB=BC. Calcule la m ACD.
42º
α
2x
θ θ
α
A) 15º B) 20º C) 30º D) 37º E) 40º
x
6. En el interior de un triángulo ABC, se ubica
A) 24º B) 21º C) 32º D) 42º E) 48º
2. En el triángulo ABC, calcule x si la mSACB=40º. B
interiores BD y BE (D ∈ AE ), tal que m ABD=m ACB=2(m DBE)=2(m EBC) Si AD=EC, calcule la m BCA.
m m
α
n
x
A) 15º B) 18º C) 20º D) 25º E) 36º
n
A
C
A) 40º B) 50º C) 25º D) 35º E) 20º
3. En un triángulo ABC, sobre AC se ubica E, tal que AE=BC, mBAC=2(mACB)=40º. Calcule m EBC.
...
A) 30º B) 25º C) 32º D) 20º E) 15º
7. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas
β β
α
el punto P, tal que mSABP=3(mSPBC) y mSACP=3(mSBCP). Calcule la medida del ángulo entre las bisectrices de los ángulos BPC y BAC si se sabe que mSABC – mSBCA=40º.
A) 5º B) 8º C) 10º D) 12º E) 15º
4. En la región interna de un triángulo ABC, se ubica E, tal que AE=BC, m AEC=120º, m BCE=16º, m EBC=66º. Calcule m ABE.
8. En los lados AB y BC de un triángulo ABC, se
ubican los puntos M y N, respectivamente, de modo que AM+CN=8. Calcule el mínimo valor entero de AN+MC.
A) 8 B) 7 C) 9 D) 15 E) 17
9. En la prolongación del lado AC de un triángulo
ABC, se ubica el punto D; luego, en AB se ubica el punto P tal que DP ∩ BC={R}; PB=BR; AP=RD y mSABC=4(mSPDC). Calcule el máximo valor entero de la medida del ángulo PDC.
A) 21º B) 22º C) 23º D) 30º E) 26º 2
Geometría 10. En los lados AB, BC y AC de un triángulo ABC
15. En un triángulo rectángulo ABC, recto en
se ubican los puntos P, Q y M, respectivamente, de modo que el perímetro de la región MQP es 10. Calcule el mínimo perímetro entero de la región triangular ABC.
B, en BC y AC se ubican los puntos E y D, respectivamente, de modo que EC=2(BE); AD=DC y 3(m AED)=2(m BEA). Calcule m DEC.
A) 9 B) 10 D) 19
C) 11 E) 21
B, se traza la ceviana CP, de modo que 4(mS BAC)=3(mS PCA); luego, las distancias de B y P hacia PC y AC son 3 y 6, respectivamente. Calcule mS PAC.
11. Según el gráfico AB=BC y BD=CE. Calcule x.
A) 50º B) 60º C) 70º D) 80º E) 65º
x
B
A α θ
α θ
D
C) 60º E) 52º30'
16. En un triángulo rectángulo ABC, recto en
Congruencia
A) 67º30' B) 45º D) 82º30'
C
C) 30º E) 37º
17. En un triángulo ABC donde m ABC=2(m BAC),
E
12. En un triángulo ABC se traza la cevia-
A) 15º B) 18º D) 36º
na AD, de modo que DC=AB+AD y la mS DAC=2(mS ACD)=2(mS DAB). Calcule la mS ABC.
se traza la ceviana interior CD, tal que AD=2(BD). En el triángulo ADC, se traza la mediana DM, tal que m MDC=2(m DCB). Calcule la m DCB. A) 12º B) 15º C) 18º 30’ D) 25º E) 26º 30’
A) 60º B) 80º C) 100º D) 120º E) 110º
18. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B,
13. En un triángulo ABC se traza la altura BH, tal
que AH=2; HC=6 y mS BAC=2(mS BCA). Calcule la mS BCA.
A) 30º B) 37º D) 53º
C) 45º E) 60º
A) 28º 30’ B) 30º C) 38º 30’ D) 40º 30’ E) 53º
19. En el exterior y relativo al lado BC de un
14. En la región exterior relativo al lado BC de un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se ubica el punto P, tal que AB=PC y mS ABC=2(mS APC). Calcule mS PAC.
A) 15º B) 30º D) 45º
C) 37º E) 60º 3
m BAC=53º. En AB, BC y AC se ubican los puntos R, P y M, tal que PM ⊥ BC y AR=AM=MC. Calcule la m MRP.
triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubica el punto P, tal que m PCB=m BCA; en BC se ubica el punto T , tal que AB=BT. Si m BAC=2(m CBP)=2(mTPC) calcule la m PBC. A) 15º B) 18º 30’ C) 20º D) 22º 30’ E) 26º 30’
Geometría 20. Del gráfico, calcule m.
nos regulares se diferencian en 720º y las medidas de sus ángulos centrales se diferencian en 7,5º. Calcule la razón entre la cantidad de sus lados.
x
x+y m m
24. La suma de los ángulos internos de dos polígo-
z
y
x+z
A) 10º B) 12º D) 18º
C) 16º E) 20º
21. Indique el valor de verdad de los enunciados.
I. Un pentágono equilátero siempre es convexo. II. En un polígono, la máxima cantidad de ángulos internos agudos es 4. III. Solo existen 3 polígonos regulares cuyo ángulo central es congruente con su ángulo interior.
que el ángulo central de uno de ellos es igual a la medida del ángulo interior del otro. Calcule la suma de las diagonales de ambos polígonos.
I. Si un cuadrilátero tiene sus diagonales perpendiculares y congruentes, entonces es un cuadrado. II. Si un trapecio presenta 2 lados de igual longitud, entonces es trapecio isósceles. III. Si 2 rombos comparten su centro y una diagonal, entonces son congruentes. IV. Un trapezoide simétrico puede presentar diagonales congruentes. A) FFFF B) VVFF C) VVFV D) FFVV E) FFFV
A) VFV B) VFF C) FVV D) FVF E) FFF
22. En 2 polígonos regulares diferentes se cumple
26. En el gráfico, ABCD es un paralelogramo, además, O es punto medio de BD. Si CM=MN; AQ=a y ON=b, calcule OG. B
A) 8 B) 9 C) 12 D) 20 E) 37
...
A) 1 B) 2 D) 4
C) 3 E) 5
α
2α
G
C
O M Q
A
23. Se tiene un polígono regular, donde las medidas del ángulo interior y del ángulo exterior son a y ka. Halle el número de valores enteros que puede tomar k.
C) 3/4 E) 3/8
25. Indique el valor de verdad de los enunciados.
Polígonos y cuadriláteros
B) 1/3 A) 1/2 D) 2/5
D
N
2b + a b+ a 2b − a B) C) A) 2 2 2 3b + a 3b − a E) D) 2 2 4
Geometría 27. En un romboide ABCD, la mediatriz de AD interseca a AC y BC en M y N, respectivamente. Si 2(MN)=AM=AB, calcule mACB.
Circunferencia PQ = 2 ( m AB ) = 80º, calcule x. 31. Si m P
A) 8º B) 15º C) 16º D) 18º E) 53º/2
B
28. Se tiene un romboide ABCD, de centro O, en
x
BC se ubica E, tal que BE=2(OE), mCOE=90º, mACD=2(mECO). Calcule mECO. (Considere ABC es obtuso.) A) 5º B) 8º C) 10º D) 15º E) 37º/2
A
Q
A) 10º B) 12º C) 15º D) 18º E) 20º
32. En el gráfico, B, C, D y E son puntos de tangen = 30º, calcule q. PQ = 80º y mEF cia. Si m
29. En el gráfico, BMNQ es un rombo. Calcule x.
D
B
x
x A Q
A
M 32º 32º
N
P
F
C
B E Q
C
A) 24º B) 16º C) 32º D) 28º E) 18º
A) 10º B) 20º D) 40º
C) 30º E) 50º
33. En el gráfico, indique la relación entre a, b y q. α
30. Se tiene un cuadrado ABCD de centro O, en
β
la prolongación de BC y OD se ubican M y N, tal que, OMN es equilátero. Si OM y CD se intersecan en E, calcule mONE. A) 8º B) 10º C) 12º D) 15º E) 53º/2
5
θ
A) q=2b+a α= D)
B) β =
θ+β 2
θ+β C) a+b=q 2 E) q=2a+b
Geometría 34. Del gráfico mostrado, calcule R si se sabe que = 180º m AB + m BC
37. Del gráfico que se muestra, calcule x si se sabe que T es punto de tangencia.
B
P
x
T
3 2 A
C
2α
R α
θ
A) 3 B) 3 2 C) 3 3 D) 4 E) 5
A) q+a D)
35. Del gráfico T, Q y R son puntos de tangencia, calcule q.
B) q – a C) 2a – q
θ+α E) 2a 2
38. Según el gráfico, P, Q y T son puntos de tangencia. Si AM=MB y BN=NC, calcule x. B
T r
Q
Q
θ R
A
A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) 60º
36. En una circunferencia de centro O se ubican
...
M
r
>m AB. Sea los puntos A, B y C, tal que la m BC H el pie de la perpendicular trazada por el punto medio Q del arco AC, a BC. Calcule BH si se sabe que HC=a y AB=b. a+ b A) a+b B) a – b C) 2 3 ( a + b) D) 2(a – b) E) 2
Px
N
T
C
A) 37º B) 30º C) 45º D) 60º E) 53º
39. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia; en el arco AB se ubica el punto P y en el arco BC se ubica el punto Q, luego se trazan PM; PH; QN y QL perpendiculares a AB; PBQ = θ AC; BC y AC, respectivamente. Si m calcule la medida del ángulo que determinan HM y LN . A) q/3 B) q/2 C) q D) 90º – q E) 180º – q 6
Geometría 40. Se tiene un cuadrilátero inscriptible ABCD, don-
A) 30º B) 60º C) 45º D) 90º E) 75º
de las diagonales son perpendiculares, además, se intersecan en H. Si se trazan HM; HN; HQ y HL perpendiculares a AB; BC; CD y AD, respectiva-
44. Del gráfico, ¿qué punto notable es R del triángulo AEH ?
mente, ¿qué tipo de cuadrilátero es MNQL?
E
A) trapezoide B) trapecio C) inscriptible D) paralelogramo E) bicéntrico
R A H
Puntos notables
41. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, además, G es su baricentro, tal que AC . mBAC=2(mBCG). Calcule AB A) 2 B) 3/2 C) 3 D) 4/3 E) 5/4
42. Del gráfico, T es punto de tangencia, además,
MT . G es baricentro de la región ABC, calcule m A
A) ortocentro B) baricentro C) circuncentro D) incentro E) punto de nagel
45. En un triángulo ABC, se traza la altura BM y en BC y MC, se ubican P y N, tal que AHPC es un trapecio isósceles (H es ortocentro del triángulo ABC). ¿Qué punto notable es el centro del cuadrado MHPN para el triángulo ABC?
T G
B
C
M
A) 120º B) 127º C) 137º D) 143º E) 150º
43. Se tiene un rombo ABCD, en AC, se ubica M y en la región exterior a CD, se ubica N, tal que AMND es un rombo. Si BD y AN se intersecan en P, calcule la medida del ángulo entre AD y MP. 7
A) ortocentro B) incentro C) excentro D) circuncentro E) baricentro
46. Se tiene un triángulo ABC de ortocentro H, E es punto medio de AC, y se forma el rombo BHEF, de lado igual a 2. Calcule la distancia del centro de dicho rombo al circuncentro de dicho triángulo. A) 1/2 B) 1/4 C) 1 D) 2 E) 2
Geometría 47. En la prolongación de DA y en la región exterior
49. En la región exterior de una circunferencia
relativa a BC, de un cuadrado ABCD, se ubican E y H, respectivamente, tal que EHD es equilátero y B pertenece a EH. Si M es el punto medio de EH, G es baricentro de EHD, calcule mBMN, siendo N la intersección de BD y HG.
de centro O, se ubica P, tal que PA y PB son tangentes a dicha circunferencia; además, OP interseca a dicha circunferencia en M, y en AM se ubica N, tal que mNPB=3(m APN). Calcule mNCM si C es la intersección de AB y OP.
A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) 60º
A) 15º
48. Se tiene un triángulo isósceles ABC, de base AB, AB=6 y la longitud del radio de la circunferencia exinscrita relativa a BC es 4, calcule mBAC.
B) 30º C) 45º
D) 53º E) 60º
50. En un triángulo ABC, su recta de Euler es paralela a AC; además, M es punto medio de AC. Si mBHM=mBGO, calcule mHBG. (H, G y O son ortocentro, baricentro y circuncentro del
A) 30º B) 37º C) 53º D) 127º/2 E) 74º
triángulo ABC respectivamente). A) 15º
B) 16º C) 53º/2
D) 30º E) 37º/2
Claves ...
01 - C
08 - C
15 - A
22 - B
29 - C
36 - A
43 - D
02 - D
09 - B
16 - C
23 - B
30 - D
37 - B
44 - A
03 - C
10 - C
17 - C
24 - C
31 - E
38 - C
45 - D
04 - D
11 - B
18 - D
25 - E
32 - B
39 - B
46 - C
05 - C
12 - C
19 - E
26 - C
33 - C
40 - E
47 - C
06 - E
13 - A
20 - E
27 - D
34 - A
41 - B
48 - C
07 - E
14 - B
21 - E
28 - C
35 - C
42 - A
49 - C
8
50 - D
