GEOMETRIA (Dibujo tecnico)).pdf

TEMA 2. GEOMETRÍA 3º ESO

Departamento de Artes Plásticas y Dibujo

1

P o di

O

diá

et

ro

segm

(r)

o1 O

O

O

ra

m

ircular

ento c

nte

seca

tg

o3

o2

(d

)

tange

o1 circunferencia secante o2 circunferencia tangente o3 circunferencia exterior

sec

b ángulo inscrito ángulo central d

o1

lar

rcu

ci tor

g) nte (t

a

a ángulo exterior ángulo central w d

O

a

b

tg o3

O

b = d / 2

w O d

d

o2 o1 circunferencia interior o2 circunferencia tangente exterior o3 circunferencia tangente interior

a

d w a = 2

A si d entonces b = 1 8 0 = 9 0

B ARCO CAPAZ 3

2

a

1

M

1

2

3

N

ARCO CAPAZ de 90º Polígono INSCRITO

Polígono CIRCUNSCRITO

TEOREMA THALES

r A

r A

r

P r

P

PARALELA a una recta r por un punto A exterior

PERPENDICULAR por el Extremo de una semirrecta

PERPENDICULAR a una recta r por un punto P de r

PERPENDICULAR a una recta r por un punto A exterior r

M

N t

BISECTRIZ de un ANGULO

BISECTRIZ de un ANGULO

POLÍGONO IRREGULAR

MEDIATRIZ de un SEGMENTO

POLÍGONO REGULAR

POLÍGONO EXTRELLADO

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina

REPASO GEOMETRÍA PLANA

DIAGONALES de un polígono

APONEMA de un polígono

Curso

Nota Departamento de Artes Plásticas

Según sus lados

C b

a A

b

a

b

a c

B

c

c TRIÁNGULO EQUILÁTERO

TRIÁNGULO ESCALENO

TRIÁNGULO ISÓSCELES

a=b=c

a=b=c

a=b=c

Según sus ángulos

B

A

C

TRIÁNGULO ACUTÁNGULO

A TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO

a b c < 90º

a > 90º

A TRIÁNGULO RECTÁNGULO

a=90º

circunferencias EXINSCRITAS

Puntos y rectas NOTABLES de un triángulo

O

b

m

a = ALTURAS O = ORTOCENTRO

d

I

B

a

m = MEDIANAS B = BARICENTRO

C

d = MEDIATRICES C = CIRCUNCENTRO circunferencia circunscrita

b = BISECTRICES I = INCENTRO circunferencia inscrita

HORIZONTALES

º

90

VERTICALES

OBLICUAS Lineas rectasPARALELAS

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina

REPASO GEOMETRÍA PLANA

Lineas curvas PARALELAS

PERPENDICULARES

Curso

Nota Departamento de Artes Plásticas

MATERIALES UTILIZADOS EN DIBUJO TÉCNICO

Mesa de dibujo técnico y paralex

Escalímetros y plantillas de letras.

Paralex casero

Cuchillas, rotuladores y estilógrafos

Reglas y plantillas: escuadra, cartabón, bigotera, plantilla de curvas

Plantillas de letras, círculos, curvas y elipses.

NOMENCLATURA LÁPICES GRAFITO LÁPIZ

DUREZA

8B,7B 6B 5B,4B 3B 2B, B HB F-H 2H, 3H 4H, 5H

EXTRA BLANDA MUY BLANDA

SOMBREAR. DIBUJO ARTÍSTICO

APLICACIÓN

BLANDA

DIBUJOS, ESCRITURA

CROQUIS DIBUJO ARQUITECTURA

DUROS O DIBUJOS TÉCNICOS MUY CARTOGRAFÍA DUROS PLANOS

RELACIÓN DE NUMERACIÓN

2B B HB 2H 4H

0 1 2 4 6

medidores de curvas y LÁPICES

Cómo sacar punta a un compás o lápiz

Compases

enlaces al archivo de materiales. 6

TEMA 1. CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS BÁSICAS. Ideas: Los elementos que vamos a ver durante todo el curso son objetos que se distribuyen a lo largo de un plano con diferentes objetivos: representar la realidad del espacio en dos dimensiones o bien representar las tres dimensiones. Todas estas representaciones o dibujos están bajo ciertos condicionantes muy importantes: primero han de ser muy precisos para que sean realmente útiles. Segundo, han de seguir una Norma, es decir un acuerdo internacional para que en todas partes sea igual. Hay que tener en cuenta que el dibujo técnico es un lenguaje gráfico universal y como medio de expresión se tiene que entender por todos los que participen en este lenguaje. Por todo ello el resultado de nuestro trabajo ha de ser CLARO y LIMPIO, que no ofrezca confusión ni que hayan elementos que nos puedan distraer. Todos los datos han de ser rigurosos y ofrecernos toda la información necesaria. Los elementos que antes mencionábamos y en lo que está basado el dibujo técnico son, por orden de simpleza: EL PUNTO: El punto en realidad sólamente existe como idea filosófica, puesto que realmente no existe: no tiene dimensiones. Sin embargo nosotros lo vamos a utilizar mucho. La forma más usual de representar El punto será como una mancha muy pequeña, redonda y rellena o bien como la intersección de dos rectas también pequeñas. Se se nombra con letras mayúsculas, A, B, C, M, N, O. P,...... Un punto en el plano, es un punto PROPIO. Un punto en el infinito será un punto IMPROPIO. LA LÍNEA: La línea solamente exíste a medias, un poco también como idea filosófica pero que también se utiliza bastante: solamente tiene una dimensión (1d): la longitud. Por lo tanto se puede medir su longitud. La forma de representar la línea se mediante la consecución de multitud de puntos muy juntos y alineados: la línea es una consecución alineada de puntos. Puesto que la linea está compuesta por un punto detrás del otro, cuando dos línea se cortan, su intersección, obviamente, será un punto. Las líneas pueden ser: curvas, rectas, quebradas, mixtas. Hay una línea recta cuando se unen dos puntos en su mínima distancia. No tienen principio ni final; el inicio y el final de una recta estará en el infinito, en un punto impropio. La forma de denominar a una recta es con letras minúsculas, normalmente consonantes: r, s, t, u , v, etc. Cuando un recta tiene un inicio en el plano y el final en el infinito se llama semirecta. Cuando se acota una recta por medio de dos puntos el resultado se llama SEGMENTO. Los segmento más normales que vamos a utilizar son los segmento rectos. Los segmentos se denominan con los nombres de los puntos que acotan dicho segmento: AB. MN, PQ,. También se pueden nombrar con una letra minúscula. Según la disposicion espacial en el plano y el ángulo que forman con otras rectas tenemos la siguiente clasificación:

A dos puntos

P

linea recta

linea curva

s linea quebrada

t linea mixta

u

A

Vertical

a

Paralelas

Forman 90º entre sí.

N

Segmento MN

Perpendiculares

licu

Ob

Segmento AB

B M

Horizontal

r

tipos de líneas

P

Semirecta

al

No se cortan nunca y si lo hacen es en un punto Impropio

on

iag

D

7

a

r

t

s

Hexaedro o cubo

do

un

of Pr

EL VOLUMEN: Cuando trabajamos con tres dimensiones (3D), estamos ante el volumen o el espacio. Una figura con volumen tiene ancho, alto y profundo y ocupa un lugar en el espacio. El espacio y el volumen se pueden representar en el plano mediante los diferentes SISTEMAS DE REPRESENTACION que estudiaremos en temas posteriores.

Plano alfa

Alto

EL PLANO: El plano existe a medias puesto que solamente tiene dos dimensiones (2D): el ancho y el alto. A los planos los llamamos por medio de letras griegas: a , b , w , etc. Los planos también son infinitos y los acotamos por donde a nosotros nos conviene. Un plano se puede definir como la intersección de tres rectas entre sí. Dos planos pueden cortarse. La intersección de dos planos que se cortan es una recta. Los planos también se representan mediante las rectas que forman en las intersecciones de otros planos. Todo lo estudiado en este tema serán las construcciones geométricas que precisamente solamente tienen dos dimensiones y se representan precisamente en un plano (que se puede considerar nuestras láminas de dibujo).

Ancho

CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS BÁSICAS. Para la correcta realización de los diferentes trazados geométricos necesitamos saber el manejo preciso de todos los instrumentos de dibujo: escuadra y cartabón, compás, lápices, transportador de ángulos, etc. Además se necesita una cierta actitud como limpieza, orden, precisión, claridad, ... En todo trazado geométrico distinguiremos siempre tres fases de realización: 1.- El conocimiento de los datos previos. 2.- Las operaciones gráficas. 3.- El resultado final. En la representación gráfica (dibujo) diferenciaremos cada una de estas fases del proceso por el grosor y la visualización del trazado de las líneas: los datos de partida y las líneas auxiliares que nos ayudan a construir irán en línea muy fina y en un tono muy claro; los datos o elementos importantes irán en líneas de grosor medio o tono medio; el resultado final irá en línea gruesa y en un tono oscuro. Para ello utilizaremos un lápiz de grafito duro, como puede ser el 4H, siempre sin apretar y con suavidad, afilado y marcando más fuerte el resultado.

Primeras construcciones: PARALELAS con las reglas. Las rectas paralelas NUNCA se cortan. Para empezar construiremos paralelas con la escuadra y el cartabón. Mira atentamente el gráfico donde se explica como utilizar las reglas para hacer paralelas horizontales, verticales y diagonales, así como los ángulos que se pueden construir con ellas. Angulo: 90º

Angulo: 90º

Angulo: 45º

Angulo: 45º ESCUADRA

Angulo: 60º

Angulo: 30º CARTABÓN

Para dibujar utilizaremos un lápiz afilado, fino y de dureza alta: un 4H o bien portaminas de 0,5 mm. Datos: fino y gris medio. Construcciones: fino y claro Resultados: más oscuro y grueso Tanto el lápiz como el compás han de estar siempre bien afilados

papel de lija Método para coger bien las reglas

Lámina Nº 1: PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS I. ÁNGULOS CON REGLAS MATERIALES: Lápiz grafito 4H. Escuadra y cartabón. Láminas de dibujo técnico. REALIZACIÓN: Una sesión 50 minutos PASOS: 1. Dividir la lámina en cuatro (4) partes iguales 2. En la primera parte dibujar líneas rectas paralelas horizontales a 0,5 cm de distancia. 2.2. Dibujar una linea diagonal que forme con las horizontales un ángulo de 75º. Este ángulo se realizará con la escuadra y el cartabón. (figura 1) 3. En la segunda parte dibujar líneas rectas verticales a 0,5 cm de distancia. 3.2. . Dibujar una linea diagonal que forme con la horizontal un ángulo de 60º. Este ángulo se realizará con el cartabón. (figura 2) 4. En la tercera parte dibujar líneas rectas diagonales a 0,5 cm de distancia con un ángulo sobre la horizontal de 30º. Realizarlo con el cartabón. (figura 3) 4.2. . Dibujar una linea diagonal que forme con las paralelas de 90º (ángulo recto). Este ángulo se realizará con la escuadra y el cartabón. (figura 3)

75º

1 cm 1 cm

º

60º

º 45

90

º

90º

º

60

90º

(figura 2)

60º

90

º 90 90º

90

60º

º

5. En la cuarta parte dibujar líneas rectas diagonales a 0,5 cm de distancia con un ángulo sobre la horizontal de 45º en los dos sentidos. Realizarlo con la escuadra y el cartabón. (figura 4) 5.2. . Las diagonales deberán formar entre sí cuadrados de 0,5 cm de lado por lo tanto las dos diagonales deberán formar un ángulo de 90º. (figura 4) (figura 1)

(figura 1)

75º

90º (figura 3)

30º

Fecha

30º Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina

45º

(figura 4)

45º

Curso

Nota

PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS. ÁNGULOS

º

45

º

30

(figura 3)

45º

30º

45º

º

90

º

75º

60

90º

30º

90º

60º

30º

90º

45º

45º

0º

(figura 2)

3

45º

45º

90º

45 º 90º

120º

(figura 4)

60º

30º

45º

45º

90 º

45 º

60º

90º

45º

45º

45º

30º

60º

90º

90º

REALIZACIÓN del CASILLERO para anotar los DATOS de la LÁMINA y del AUTOR: Se realizará un casillero con dos rectas paralelas horizontales a 1 cm de separación entre ellas. Dentro del margen. Dibujar dos paralelas verticales a 30 mm. de los márgenes derecho e izquierdo respectivamente. El casillero se realizará a lápiz 2H o 4H sin apretar y los datos se escribirán en MAYÚSCULAS y con letra pequeña.

1 cm

3 cm

Fecha

Nombre de Alumno

Curso

1 cm

3 cm

Nº de lámina

Título de lámina

Nota


60º

90 º

75º

90º

45º

30º Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina

Departamento de Artes Plásticas

Curso

Nota

PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLASI. ÁNGULOS 10

vertical

45º

45º

30

60

º

º

90º

º

90º

1

60

º

30

º

45º

90

1

45º

horizontal

90

90

º 45

º

30

90

45

º

º

º

30

º

º

2

60

º

90

45

º

45

º

2 60

º

90

º

º

45

º

90

45

º

90º

60º

º 90

º

º

45

30º

3 45

º

60º

30º

3

90º

45º 135º

75º-105º

1

30º

60º

0º

9

90º

º

1

60

º 90 45º

45º

135º

90º º

30

45º

2

45º

75º

90º

45º

45º

30º

45º 90º

90º

45º

60º-120º

45º

60º

60º

2

30º

45

º

90º

105º

45

90

º

º

30º

3 º

45

90º

120º

60º

105º

120º

90º

60º

30º

45º

45º

45 º

90 º

60º

90º

150º-30º

cuadrado

1

º

º

45

90

90º

º

45

º

45º

60

º

º

30

90

º

45º

150º 30

150º

60

º

90

º

45º

30º

º

90º

45º

2

60º

30º

30

90º

45º

45º

60

º

90º

90

º

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina


Curso:

Nota:

PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS. ÁNGULOS 11

vertical

45º

45º

30

60

º

º

90º

º

90º

1

60

º

30

º

45º

90

1

45º

horizontal

90

90

º 45

º

30

90

45

º

º

º

30

º

º

2

60

º

90

45

º

45

º

2 60

º

90

º

º

45

º

90

45

º

90º

60º

º 90

º

º

45

30º

3 45

º

60º

30º

3

90º

45º 135º

75º-105º

1

30º

60º

0º

9

90º

º

1

60

º 90 45º

45º

135º

90º º

30

45º

2

45º

75º

90º

45º

45º

30º

45º 90º

90º

45º

60º-120º

45º

60º

60º

2

30º

45

º

90º

105º

45

90

º

º

30º

3 º

45

90º

120º

60º

105º

120º

90º

60º

30º

45º

45º

45 º

90 º

60º

90º

150º-30º

cuadrado

1

º

º

45

90

90º

º

45

º

45º

60

º

º

30

90

º

45º

150º 30

150º

60

º

90

º

45º

30º

º

90º

45º

2

60º

30º

30

90º

45º

45º

60

º

90º

90

º

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina


Curso:

Nota:

PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS. ÁNGULOS 12

Lámina Nº 2: PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS II. FIGURAS MATERIALES: Lápiz grafito 4H. Escuadra y cartabón. Láminas de dibujo técnico. REALIZACIÓN: sesiones de 30 minutos cada figura. ENUNCIADO Y PASOS: 1º Dibujar la figura propuesta con la escuadra y cartabón, según las cotas y los ángulos dados.

1.- Dibujar una línea recta en la base del recuadro donde se va a ralizar el diseño. En la línea recta se marcan las medidas principales: 30mm. y tres de 20 mm.

2.- Dibujar los ángulos con la escuadra y el cartabón. Desde el punto indicado del vértice del ángulo poner el ángulo de 60º con el cartabón. El ángulo de 135º puede realizarse con la combinación de las reglas o bien con el ángulo suplementario: 45º con la escuadra.

135º 60º

90º

45º

20 mm.

20 mm.

20 mm.

30 mm.

45º

20 mm.

3.- Realizar la verticales y paralelas por las zonas marcadas. 4.- Marcar las cotas verticales 50 mm, 20 mm, 16 mm. 5.- Marcar los ángulos en los vértices indicados como en el punto 2.

60º

90º

º 90 45º

60º

45º

20 mm.

20 mm.

30 mm.

6.- Unir los extremos superiores, los puntos A y B. Hallar el punto medio con la mediatriz de AB. Dibujar un arco de circunferencia de diámetro AB

A

B

30º 60º

30º

60º

16 mm.

50 mm.

20 mm.

30º

7. Realizar paralelas a 0,5 cm en el interior de toda la figura. Marcar más oscuro o a color la figura completa.

Para realizar la SEGUNDA figura, elegir UNA, la que más te guste o diseña tú una nueva. Se trata de que utilices la escuadra y el cartabón para realizar horizontales, verticales y oblicuas, paralelas, perpendiculares y diagonales. La figura puede decorarse en blanco y negro, con manchas negras o bien pintarlos y realizar una decoración en color.

30º

60º

50 mm.

20 mm.

Realiza la siguiente figura con la escuadra y cartabón, según las cotas y los ángulos dados.

º

º

20 mm.

60

20 mm.

16 mm.

135

20 mm.

30 mm.

70 mm.

Elige una figura de las de abajo, o bien diseña tu una nueva. Ten en cuenta las paralelas.

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina

Curso

Nota

PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS II

LÁMINAS DE DIBUJO TÉCNICO: Lámina nº : PARALELAS Y PERPENDICULARES III. Con compás

Suma los siguientes segmentos Datos:

Para la realización de las siguientes construcciones hay que tener en

A

cuenta todo los visto anteriormente y seguir los pasos meticulosamente. 1.- Suma de segmentos. Los segmentos se pueden medir. Es la

B

B C

Realización:

distancia que hay de un punto de un extremo al otro extremo. Esa distancia puede ser métrica (en cm, mm, etc.) o bien solamente gráfica

C

A B

Resultado

(la distancia que se puede medir mediante el compás). Para realizar este ejercicio se utilizará el compás y se sumaran las distancias gráficas.

Resta los siguientes segmentos Datos: A B

2.-Resta de segmentos: El ejercicio es igual que el anterior pero en este caso se resta a la primera distancia la segunda distancia con el compás.

A

C

Realización: Resultado

A

B

C

3.-Multiplicar un segmento: Como en matemáticas, se suman consecutivamente las unidades tantas veces como se quiera multiplicar.

Multiplica el siguiente segmento por 3. B

A

4.- Dividir un segmento por 2 (MEDIATRIZ de un segmento) Para realizar una mediatriz de un segmento se pone el compás en un extremo del segmento y se abre éste un poco más de la mitad del segmento. Se traza una semicircunferencia. Estos mismos pasos se

B

A

Divide el segmento MN por 2 (MEDIATRIZ de MN)

realizan en el otro extremo del segmento. La mediatriz es el primer elemento complejo de geometría y se utiliza muchísimo en dibujo. La característica geométrica de la mediatriz es que si de cualquier punto de ella lo unimos a los extremos del segmento la distancia del punto a un extremo y al otro es la misma.

M

N

LUGAR GEOMÉTRICO: Un lugar geométrico es cuando hay una agrupación de puntos que tienen en común alguna ley matemática o geométrica. Lugar geométrico son: la mediatriz, la bisectriz, la circunferencia, la potencia de un punto, el arco capaz, etc. Ejemplo: La MEDIATRIZ es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que unidos a los extremos de un segmento son equidistantes. 5.- Dividir un segmento en partes iguales. (Teorema de Thales). Para dividir un segmento en cualquier número de partes iguales hemos

División de un segmento en partes iguales. (TEOREMA DE THALES) c b

de dibujar una recta por el extremo del segmento. La distancia y el a

ángulo pueden ser cualquiera. En esa recta y con el compás, poner la misma medida tantas veces como queramos dividir el segmento (ver

M

a´

b´

c´

a´

b´

c´

N

suma de segmentos). Con la última medida: unirla con una recta al otro extremo del segmento. Por último dibujar paralelas a esta última recta. TEOREMA DE THALES: Si un haz de rectas paralelas son cortadas por dos recta no paralelas (que se corten entre sí) todos los segmentos resultantes son PROPORCIONALES. Esta es una proporcion directa: varian de tal forma que se razón permanece constante. a/b=c/d=p/q= k

M

N

Relación de proporcionalidad: a b c = = a´ b´ c´

(se verá más adelante en la PROPORCIONALIDAD DIRECTA).

14

División de un segmento en partes proporcionales.

6.- Dividir un segmento en partes proporcionales. (Teorema de Thales). Para dividir un segmento en partes proporcionales a otros segmentos

Segmentos dados

dados hemos de actuar igual que con el ejercicio 5: hemos de dibujar

A B

una recta por el extremo del segmento. La distancia y el ángulo pueden

C

ser cualquiera. En esa recta y con el compás, poner las medidas de los

a

B

b

C c

c

D

Ejercicio

segmentos dados (se hace con el compás). Con la última medida del

b

último segmento: unirla con una recta al otro extremo del segmento. Por último dibujar paralelas a esta última recta por los extremos de los

a b c = = a´ b´ c´

a

segmentos dados.

M

a´

7.- Levantar una perpendicular por el extremo de una semirecta: Poner el compás en el extremo de la semirrecta (A). Abrir el compás

N

c´

b´

Perpendicular a una semirecta.

P

con una medida cualquiera. Dibujar una semicircunferencia. Donde la mover la anchura,

N

O

semicircunferencia corta a la semirecta, punto M, poner el compás, y sin dibujar otro arco que corte al primero en N.

r A

Igualmente, desde N, dibujar otro arco que vaya desde el extremo de la

M

semirecta. Cortará al primer arco en O. Desde O, dibujar otro arco hasta que corte en P. Se unen P y A con una recta. 8.-Dibujar una perpendicular a la recta s por un punto de la recta dado P. Se pone el compás en P y se abre con una distancia cualquiera. Se dibuja un arco de circunferenica que corte a s en dos partes. M y N son dos puntos que equidistan de P, luego P es el centro de un

N

P s

M

segmento formado por M y N. Para hallar la perpendicular se dibuja la mediatriz de MN. 9.- Dibujar una perpendicular a la recta t por un punto exterior a la recta dado P. El ejercicio es idéntico al primero, pero en este caso el punto P está P

fuera de la recta. 10.- Dibujar una recta paralela a otra y que pase por un punto. Dada la recta u y el punto P, exterior a ella. Dibujar un arco de circunferenica, con centro en P y que corte a u, con

t M

N

un radio cualquiera. Este arco corta a u en M. Desde M dibujar el mismo arco, esta vez que pase por P, cortará a u en N. Con el compás se mide la distancia que hay de N a P y trasladar esa distancia desde M hasta que corte al arco que pasa por M = O. Unir O y P mediante una recta. P

TEORIA DE LAS PARALELAS: Cuando un par de rectas paralelas son cortadas por un haz de rectas también paralelas, los segmentos

N

producidos son IGUALES y los ángulos también. M

a=b=c=d

u

a a b c b d En un trapecio la base menor es igual que el producido por dos lados paralelos desde uno de sus vértices.

16

1.- Suma los siguientes segmentos B

A

2.- Resta los siguientes segmentos

B

C

C

A

D

3.- Multiplica el siguiente segmento a por 3 (ABx3)

B

A

C

4.- Divide el segmento MN por 2 (mediatriz de MN)

B

A

M

6.- Divide el segmento AD en partes proporcionales a los siguientes segmentos (teorema de Tales)

5.- Divide el segmento MN por 3 División de un segmento en partes iguales (teorema de Tales)

A B

a

B

b

C c

C

M

N

D

N M

7.- Perpendicular por el extremo de una semirecta

N

8.-Perpendicular por el punto P perteneciente a la recta r

P

r A

s

9.-Dibuja una perpendicular a la recta r por un punto A exterior a ella.

10. Dibuja una paralela a la recta r por un punto A exterior a ella.

P P

u t

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina


Curso

Nota

OPERACIONES CON SEGMENTOS y RECTAS 17

1.- Suma los siguientes segmentos B

A

A

2.- Resta los siguientes segmentos

B

C

C

3.- Multiplica el siguiente segmento a por 3 (ABx3) a

A

A

B

AD

D

C

B

A

D

C

B

A

C


B

a

a

a

M

D

A

6.- Divide el segmento AD en partes proporcionales a los siguientes segmentos (teorema de Tales)


a b c = = a´ b´ c´ a= b = c a´= b´= c´

N

T

c

A B

a

B

b

C

c

c

C

D

b b

a M

a´

b´

N

c´

a M


a´

N

c´

b´

8.-Perpendicular por el punto P perteneciente a la recta r

P N

N

O

P

r A

M s

M


10. Dibuja una paralela a la recta r por un punto A exterior a ella.

M

P P

N N

M

u

t

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina


Curso

Nota

OPERACIONES CON SEGMENTOS y RECTAS. 18

1.- Suma de segmentos. Los segmentos se pueden medir.

1.- Suma los siguientes segmentos

Es la distancia que hay de un punto de un extremo al otro extremo. Esa distancia puede ser métrica (en cm, mm, etc.) o

B

A

B

C

C

D

bien sólo gráfica, es decir, la medida del segmento se traslada con el compás y no nos importa cuánto mide en cm.

AD

D

C

B

A

Para realizar el ejercicio se dibuja una línea recta cualquiera y sobre ella se traslada, con el compás, las diferentes medidas de AB, BC y CD.

2.- Resta los siguientes segmentos 2.- Resta de segmentos. AC-AB. Sobre una línea recta cualquiera situar la medida del

A

B

A

C

segmento mayor AC y después desde A situar la medida de B

AB. El resto de AC-AB será BC.

A

C

3.- Multiplica el siguiente segmento a por 3 (ABx3) 3.- Multiplicación de segmentos. AB X 3 Sobre una línea recta cualquiera situar la medida del

a

A

B

segmento a (AB) son el compás tres veces de forma consecutiva.

a

a

a

A

4.- División de un segmento en dos partes iguales. Dibujar la MEDIATRIZ de un segmento, (MN). 1. Se dibuja un arco de circunferencia cuyo centro es un extremo del segmento, M por ejemplo, y cuyo radio es mayor que la mitad del segmento (se abre el compás a ojo claramente mayor que la mitad. Se puede coger como radio NM). 2. Sin tocar el compás y con el mismo radio se coloca en N y se dibuja otro arco. 3. Se une P y Q que son los puntos donde se cortan los arcos. Ser precisos al unir los puntos y que pasen solo por P y Q. Señalar más oscuro o con color fino la mediatriz.

5.- División de un segmento en diversas partes IGUALES. 1. Dibujar el segmento MN. 2.Trazar una línea recta desde M y con cualquier ángulo (no te quedes corto, da igual que pase de N. 3. Poner medidas IGUALES sobre la recta dibujada. En este caso del ejercicio 3 medidas iguales. 4. Por el último extremo de las 3 medidas, el punto T, dibujar una línea que lo una con N. 5. Trazar PARALELAS a TN por los puntos anteriormente marcados. 6. Estas paralelas cortarán al segmento MN en tantas partes IGUALES como nos piden en el ejercicio. - El ejercicio estará MAL si primero intentamos o ponemos las medidas en MN y luego hacemos paralelas para cortar MT. - El ángulo que forma NT NO TIENE POR QUE SER RECTO 90º. por lo tanto no dibujar la perpendicular primero y luego dividir, si MT queda antes o después de N no importa. Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina

D


P

M

N

Q


a b c = = a´ b´ c´ a= b = c a´= b´= c´

c

T

b

a M

OPERACIONES CON SEGMENTOS y RECTAS.

a´

b´


c´

Curso

Nota

N

6.- División de un segmento en diversas partes PROPORCIONALES. Teorema de Thales. 1.Dibujar el segmento MN. 2.Dibujar una línea recta desde M y con cualquier ángulo. La distancia de esta recta es suficiente para contener a, b y c. 3.Desde M situar en la recta anterior, y con el compás, las medidas de los segmentos a, b y c. Empezar por ejemplo por AB. Desde M situar la medida de AB. 4. Desde B situar la medida de BC y desde C situar con el compás la medida de CD. 5.Unir D con N mediante una línea recta. 6.Dibujar paralelar a DN por C y por B hasta que corten a MN. - El ejercicio estará MAL si primero intentamos o ponemos las medidas en MN y luego hacemos paralelas para cortar MT. - La suma de a+b+c NO ES IGUAL que MN, es PROPORCIONAL - El ángulo que forma NT NO TIENE POR QUE SER RECTO 90º. por lo tanto no dibujar la perpendicular primero y luego dividir, si MT queda antes o después de N no importa. 7.- Dibujar una perpendicular por el extremo de una semirecta. A 1. Poner el compás en el punto A y abrirlo con un radio cualquiera. 2. Trazar un arco hasta que corte a r. (la semirecta) 3. Donde a cortado el arco a la semirecta, el punto M, y con el mismo radio anterior, poner el compás( sin mover el radio). Este nuevo arco cortará al primero en el punto N. 4. Poner como antes el compás en N y dibujar un nuevo arco que pasará por el punto A y que cortará al arco anterior en el punto O. 5. Poner el compás en O y dibujar un nuevo arco que corte al anterior en el punto P. 6. Unir el punto P con el punto A. 7. Marcar más oscuro o en color fino la perpendicular.

6.- Divide el segmento AD en partes proporcionales a los siguientes segmentos (teorema de Tales) A B

a

B

b

C

D

c

C

D c

a b c = = a´ b´ c´

C b

B A M A´

a a´

b´ B´

C´

N D´

c´


P

N

O

r A

M

8.-Perpendicular por el punto P perteneciente a la recta r 8.- Dibujar una PERPENDICULAR a la recta s y que pase por el punto P perteneciente a s. 1. Poner el compás en el punto P y abrirlo con cualquier radio. 2.Dibujar un arco cualquiera que corte la recta s en dos puntos M y N. 3. Los punto M y N son los extremos de un segmento el MN. 4. Dibujar la MEDIATRIZ del segmento MN como en el ejercicio 4. La mediatriz de MN será la PERPENDICULAR a s que además pasa por P.

N P

M s


M P N

9.- Dibujar una PERPENDICULAR a la recta t y que pase por el punto P exterior a la recta t. Igual que en el ejercicio 8 1. Poner el compás en el punto P y abrirlo con cualquier radio siempre que corte a la recta t holgadamente. 2.Dibujar un arco cualquiera que corte la recta t en dos puntos M y N. 3. Los punto M y N son los extremos de un segmento el MN. 4. Dibujar la MEDIATRIZ del segmento MN como en el ejercicio 4. La mediatriz de MN será la PERPENDICULAR a t que además pasa por P.

t

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina

OPERACIONES CON SEGMENTOS y RECTAS.


Curso

Nota

LÁMINAS DE DIBUJO TÉCNICO: Lámina nº 6: ÁNGULOS Un ángulo se forma cuando dos rectas se cortan. El punto de intersección es el vértice y las rectas los lados de los ángulos que se

90º

180º

recto

llano

forman. Se puede decir que un ángulo es la parte del plano limitada por dos semirectas, llamadas lados, que parten de un mismo punto, llamado vértice. Los ángulos se nombran con letras griegas a , b , c , minúsculas o con la misma letra que su vértice (que es un punto). Los ángulos se miden en grados, con un transportador. Cada grado tiene 60 minutos y cada minuto 60 segundos. - Cuando un ángulo mide 90º se llama ángulo recto. - Si mide 180º, ángulo llano. -Los ángulo de menos de 90º se llaman agudos y los que tienen más de 90º obtusos. -Dos ángulos son complementarios, si su suma es un ángulo recto y

>90º

<90º Agudo

Obtuso

a b

b a Suplementarios

Complementarios

se llaman suplementarios si su suma es un ángulo llano. -Cuando una recta corta a otras dos paralelas forman ángulos con las

b a a b

siguientes propiedades: Todos los ángulos a y los b son iguales. Observar en los otros dibujos como coinciden los ángulos en

b a a b

determinadas figuras geométricas. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO: La bisectriz es una recta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Es el Lugar Geométrico de los ángulo. Para dibujarla se traza un arco con centro en V que corte a los lados en los puntos M y N.

a b

a

puntos del plano que equidistan de dos rectas llamadas lados del

b a

a aa

La bisectriz coincide con la mediatriz del

segmento MN. Para trazar la bisectriz de dos rectas que no se cortan en el papel: 1. Se traza la bisectriz de dos rectas paralelas a los lados del ángulo a

b

b

igual distancia. 2. También se puede hacer cortando con una recta los dos lados del ángulo y trazando las bisectrices de los ángulos que forman.

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Para trazar ángulos con las reglas ya se ha visto en el primer ejercicio o lámina. Para trazar ángulos con el compás: - ángulos de 90º, vistos en la lámina anterior. -Para un ángulo de 45: trazar la bisectriz del de 90º -ángulo de 60º: dibujar un triángulo equilátero, trazando dos arcos con

M

V N

el mismo radio y con centro en V y P.

V

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO CUANDO LOS LADOS NO SE CORTAN EN EL PAPEL

ADYACENTE Y/O

Los ángulos se miden en grados, minutos y segundos 60º35´42´´

bCONSECUTIVO

a

b 180º

105º

6O º

90º

90º

Ángulo AGUDO

= 90º

Ángulo OBTUSO

Ángulo RECTO

Ángulo LLANO

COMPLEMENTARIOS

SUPLEMENTARIOS

Construcción de ángulos con la escuadra y el cartabón.

Ángulos de las reglas

90º

ab

a

90º

º

90

º

90º

60

30º

60º

135º

90º

90º

90º

45º

45º

60º

º 90 45º

30

45º

Cartabón

Escuadra

45º

º

30º

45º

45º

45º

135º

75º

º

90

º 45

30

60

º

90º

45º 60º

30º

30º

60º

165º

º 90

45º 90º

90º

º 45

º

30º

45º

45º

105º

60º 120º

Ángulos de la circunferencia

120º

120º

Ángulo Seminscrito

o

aw

o

Ángulo Exterior

Ángulo Exterior

V

b

g

o

b a = b / 2

o

a = ( b g ) / 2

g

b

g

b a = b / 2

a

a

a

Tg a b

Ángulo Interior

V

o

Ángulo Inscrito a a =w = 90º Ángulo Central bb =180º

o

º 45

º 90

60º

30º

150º

60º

30º

a = b / 2

90º

90º

150º

a

90º

Algunos ángulos se pueden construir con el ángulo suplementario.

º 45

15º

a = ( b g ) / 2

a = ( b g ) / 2

El ángulo inscrito siempre es la mitad del ángulo central, por eso cualquier punto de la semicircunferencia es un ángulo de 90º con respecto al diámetro de la misma. Opuestos por el vértice

Correspondencia de ángulos cuando dos rectas paralelas son cortadas por otra recta cualquiera.

b 6

3 b

Alternos:1-2,3-4, ... correspondientes: 2-5, 3-8, ...

b

4

8

b

7a

BISECTRIZ de un ángulo División de un ángulo en dos partes iguales.

E E´

B C

a b b a

A,B,C,..interiores de un polígono. E´ exterior.

30º

A es cóncavo D convexo.

ag b

aa

w

Suma de ángulos de un cuadrilátero: 360º.

90º

b

a + b + g + w = 180º

Ejemplo: si b mide 75º entonces 75º+75º=150º ¿cuánto mide a ?. 360º-150º=210º/2=105º.

90º t

Ángulos iguales a a

Nombre de Alumno

Título de lámina

o

b B

Arco Capaz. t

aw

o

o A

Nº de lámina

a + b + g = 180º

Ángulos de un trapecio isósceles

30º

Fecha

g b Suma de ángulos de un triángulo:180º

b

Bisectriz cuando el vértice está fuera del papel. r

a

D

D

Ángulos de lados perpendiculares

r

A

F

Ángulos de lados paralelos

División de un ángulo en partes iguales

Polígono convexo

A

a

1a 2 a

Polígono cóncavo.

a

5 a

Arco Capaz de 90º

Departamento de Curso Artes Plásticas y Dibujo Nota

Resumen recordatorio de ÁNGULOS 23

Lámina Nº 4: ÁNGULOS CON EL COMPÁS. MATERIALES: Lápiz grafito 4H. Escuadra y cartabón. Láminas de dibujo técnico. La lámina se deberá realizar en una sesión de 55 minutos.. EJERCICIOS: 1.- Construir un ángulo con el semicírculo que sea de 60º y otro de 120º 2.- Medir con el transportador de ángulos los cuatro ángulos dibujados en la ficha. 3.- Dibujar la BISECTRIZ del ángulo dado. 4.- Dividir un ángulo el ángulo de 90º dado en tres partes iguales. 5.- Sumar los ángulos a yb dados. 6. Construir los siguientes ángulos con el compás: 15º, 22º30´, 30º, 45º, 60º, 75º, 90º,105º, 120º, 135º.

BISECTRIZ de un ángulo. 1. Lo primero que debemos hacer es un ARCO con centro en el vértice V y radio cualquiera. Este arco cortará a los lados del ángulo en dos punto P y Q. 2. Desde P y desde Q dibujar dos arcos con el mismo radio. 3. Estos arcos se cortarán entre sí en F. 4. Unir F con V y marcar más oscuro o en color.

1.- BISECTRIZ de un ángulo División de un ángulo en dos partes iguales. P

F

V Dividir un ángulo recto en tres partes iguales.

Q

2.- Dividir un ángulo de 90º en tres partes iguales con el compás

Un ángulo recto es de 90º. Dividir un ángulo de 90º en tres partes iguales saldría a 30º cada uno. El ejercicio consiste en realizar ángulo de 60º. Pasos: 1. Dibujar un arco cualquiera que corte a los lados del ángulo en los punto M y N 2. Con el mismo radio que el arco anterior poner el compás en M y en N y dibujar dos arcos iguales que cortarán al primero en los puntos P y Q. 3. Unir V con P y con Q.

M

30

P 30

Q 30

90

V

N

3.- Suma los siguientes angulos a y b

Sumar o restar ángulos. En este ejercicio sumaremos dos ángulos a y b, que serán trasladados y se pondrán uno después de otro. 1. Dibujar una recta cualquiera en el lugar que nos interese. Poner un punto que será el vértice V. (si ya están puestos estos datos realizarlo desde allí) 2. Dibujar un arco IGUAL para los dos ángulos a y b y dibujarlo igualmente desde V. 3. Con el compás medir el arco a y ponerlo a partir de M. 4. Medir con el compás el arco b y ponerlo a partir de N. 5. Desde P, dibujar una recta hasta V. 6. Marcar más oscuro o en color el ángulo resultante.

b

a V

V

P

aa + b N

b V

M

t

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina

OPERACIONES CON ANGULOS.


Curso

Nota

Lámina Nº 4: ÁNGULOS CON EL COMPÁS. 6. Construir los siguientes ángulos con el compás: 15º, 22º30´, 30º, 45º, 60º, 75º, 90º,105º, 120º, 135º. La construcción de ángulos con el compás está basado en la geometría. Algunos los hemos visto ya como es el de 90º (perpendicular a una recta con el compás), el de 45º (bisectriz de 90º), 22º 30´ (bisectriz de 45º) y otros están basados en la costrucción de triángulos, por ejemplo los relacionados con ángulos de 60º (la mitad 30º, la mitad de 30º, 15º, etc.). Un triángulo equilátero (tiene los tres lados iguales y por lo tanto los tres ángulos iguales) tiene tres ángulos de 60º, puesto que 60º x 3 = 180º, que es la suma de los ángulos de los triángulos. Los demás ángulos como 75º, 135º, etc. están basados en la suma de diferentes ángulos o en ángulos complementarios o suplementarios. Ejemplo: 75º = 45º + 30º, para construir un ángulo de 75º hay que sumar un ángulo de 45º y otro de 30º. ÁNGULO DE 60º y de 120º

1.- ÁNGULO DE 6Oº y 120º grados

1. Como hemos dicho anteriormente un ángulo de 60º es el de un triángulo equilátero, por lo tanto la solución estará en construir uno, de las medidas del lado que queramos. 2. Dibujar una recta cualquiera como base. 3. Poner el compás donde queramos de la recta, por ejemplo A. 4. Abrir el compás con un radio aleatorio, por ejemplo hasta B. 5. Trazar un arco. Sin mover el radio poner el compás en B y trazar otro arco (de radio BA). 6. Unir A con P, punto donde se cruzan los dos arcos. 7. Señalar mediante un arco más pequeño el ángulo de 60º.

P

A

- El ángulo de 120º será el suplementario de 60º. Es decir, la recta es un ángulo llano de 180º, si construimos unos de 60º, lo que nos queda será un ángulo de 120º; 60º + 120º = 180º. ÁNGULO DE 30º, de 15º y de 150º. 1. El ángulo de 30º es la mitad de 60º. Por lo tanto para construir uno habrá que trazar la BISECTRIZ de un ángulo de 60º. 2. Sobre una recta cualquiera como base construir un ángulo de 60º y trazarle posteriormente la bisectriz. 3. Si a este ángulo de 30º construido le trazamos la bisectriz igualmente obtendremos dos ángulos de 15º. 4. El ángulo SUPLEMENTARIO de 30º es el de 150º.

6O º

120º

B

2.- ÁNGULO DE 30º y 15º grados. Ángulo de 150º.

150º

30º

165º 15º

Una vez construido el de 30º

ÁNGULO DE 90º y de 45º.

3.- ÁNGULO DE 90º, de 45º y de 135º grados

1. Para construir el ángulo de 90º, realizar el ejercicio nº 7 de la lámina de “Paralelas y perpendiculares con el compás” visto anteriormente. 2. Para construir el ángulo de 45º, hallar o dibujar la BISECTRIZ del ángulo de 90º. 3. El ángulo 22º30' es la bisectriz de 45º. 4. El ángulo 135º es el suplementario de 45º.

90º 135º

ÁNGULO DE 75º. 1. Para realizar el ángulo de 75º tienes dos opciones: a) Suma los ángulos de 30º + 45º construidos anteriormente con el procedimiento aprendido en la ficha. b) De un ángulo de 90º divídelo en tres partes, como en el ejercicio 2 de la página anterior y dibuja la bisectriz de uno de los ángulos de 30º resultantes. Suma entonces 15º (bisectriz de 30º) + 60º (30º + 30º) Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina

OPERACIONES CON ANGULOS.

45º

ÁNGULO DE 105º. 1. También tienes dos opciones: una es que sumes los ángulos 45º + 60º, y la otra opción es que dibujes un ángulo de 75º, el ángulo suplementario es el de 105º buscado.


Curso

Nota

Mide los siguientes angulos con el transportador

Construcción de un ÁNGULO DE 6Oº con el semicirculo

90

75

60

20

1

45 30

22. 0

180

5

ANGULOS CONSTRUIDOS CON EL COMPÁS

2.- Dividir un angulo de 90º con el compás

3.- Suma y resta de angulos

a b

1.- BISECTRIZ de un ángulo

V

V

90

V

V

CONSTRUIR LOS SIGUIENTES ÁNGULOS CON EL COMPAS 1.- ÁNGULO DE 6Oº y 120º grados

V

15º, 22º30´ ,30º ,45º , 60º , 75º , 90º , 120º y 135º

2.- ÁNGULO DE 30º y 15º grados, Ángulos de 150º y 165º.

3.- ÁNGULO DE 90º, 45º y 22º30´ grados

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina

5.- ÁNGULO DE 45º + 30º = 75º

6.- ÁNGULO DE 105º


Curso

Nota

ÁNGULOS CON EL COMPÁS 22

Medidas de ángulos con el Transportador de ángulos o



90

75

60

0

12

45 30

0

180

5 22.


2.- Dividir un ángulo de 90º en tres partes iguales con el compás


1.- BISECTRIZ de un ángulo División de un ángulo en dos partes iguales.

a b V

V 30

30

+ b aa

30 90

b

V

V

V CONSTRUIR LOS SIGUIENTES ÁNGULOS CON EL COMPAS 1.- ÁNGULO DE 6Oº y 120º grados

15º, 22º30´ ,30º ,45º , 60º , 75º , 90º , 120º y 135º

2.- ÁNGULO DE 30º y 15º grados, Ángulos de 150º y 165º.

P

165º 150º

6O º

120º

15º 30º

A

B

3.- ÁNGULO DE 90º, 45º y 22º30´ grados

5.- ÁNGULO DE 45º + 30º = 75º


15º 105º

75º 30º

75º 45º

90º 135º

45º

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina

6Oº

45º

ÁNGULOS CON EL COMPÁS


GEOMETRÍA PLANA. 3º de ESO Relación de láminas de geometría plana de la primera evaluación Estas láminas las tienes a tu disposición en la página de internet: http:/intercentres.gva.es/iesnouderramador

2

Realiza la siguiente figura con la escuadra y cartabón, según las cotas y los ángulos dados.

20

1

30º


60º

50

0º

15 16

30

135º

60º 30

20 70

20

Elige una figura de las de abajo, o bien diseña tu una nueva. Ten en cuenta las paralelas.

60º

90

º

75º

90º

Fecha

30º Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina

45º Curso

Fecha

Nombre de Alumno

Curso

Nota

Nº de lámina

Título de lámina

Nota


Suma los siguientes segmentos

Resta los siguientes segmentos

B

C

C

A

D

B



A

C

4 90

75

60

0

12

45 30

Multiplica el siguientes segmento por 3

Divide el segmento MN por 2 (mediatriz de MN)

22.5

B

A

M

N

Divide el segmento AD en partes proporcionales a los siguientes segmentos (teorema de Tales)

Divide el segmento MN por 3 División de un segmento en partes iguales (teorema de Tales)

0

180

3

B

A

PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS II


2.- Dividir un angulo de 90º con el compás


1.- BISECTRIZ de un ángulo b

a

A B

a

B

b

C c

C

30

D

30

a+ b

a

b

30 90

M

N

D

A

CONSTRUIR LOS SIGUIENTES ÁNGULOS CON EL COMPAS

15º, 22º30´ ,30º ,45º , 60º , 75º , 90º , 120º y 135º

Perpendicular por el punto P perteneciente a la recta r

Perpendicular por el extremo de una semirecta

1.- ÁNGULO DE 6Oº y 120º grados

P

2.- ÁNGULO DE 30º y 15º grados

r 90º

6O º

120º

r

Dibuja una perpendicular a la recta r por un punto A exterior a ella. P

3.- ÁNGULO DE 90º grados

30º

4.- ÁNGULO DE 45º grados

5.- ÁNGULO DE 45º + 30º = 75º


Dibuja una paralela a la recta r por un punto A exterior a ella. A

105

75 45

r

45 6O

r

Fecha

Nombre de Alumno

Curso

Fecha

Nombre de Alumno

Curso

Nº de lámina

Título de lámina

Nota

Nº de lámina

Título de lámina

Nota

OPERACIONES CON SEGMENTOS.

ÁNGULOS CON EL COMPÁS

GEOMETRÍA PLANA. 3º de ESO Relación de láminas de geometría plana de la primera evaluación Estas láminas las tienes a tu disposición en la página de internet: http:/intercentres.gva.es/iesnouderramador


5

2.- Inscribir un TRIÁNGULO EQUILÁTERO en una circunferencia de radio r = 25 mm.

1. Dibujar un TRIANGULO EQUILATERO de lado L= 50 mm.

C

C

6

2.- Dibujar un CUADRADO dada la diagonal.

1.- Dibujar un CUADRADO de lado L= 38 mm.

d

D

B

B

A

A A

d

C

C

D

B

L

B

A 3. Dibujar un TRIÁNGULO ISÓSCELES con las siguientes medidas:. BASE = 25 mm y lados iguales L = 55 mm.

4. Dibujar un TRIANGULO ESCALENO de lados: a = 55 mm b = 45 mm c = 65 mm

3. Dibujar un RECTÁNGULO de lados: L1

b

b

a

L

4. Dibujar un RECTÁNGULO de medidas:

B

A

C

d

DIAGONAL d = LADO AB =

L2

c D

C

L2

L2

d A

C

c

L1

b

a

b

B

A

D

6.-Dibujar un ROMBO dado el lado y la diagonal:

5.-Dibujar un ROMBO dadas las diagonales:

B

C

d1

a B

A

7.-Dibuajr el ROMBO dado el lado y el ángulo: ángulo A 60º

L

L

d

d2 D

c

D

6.-Dados los siguientes lados, dibujar un TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

5. Hallar la circunferencia circunscrita al siguiente triángulo:

C

L L

d1

A

a = un lado

C

D

C

d

A

C

d2

c= hipotenusa.

60º

L

A

B

A

B

B

8.-TRAPECIO ISÓSCELES. dado:

9.-TRAPECIO RECTÁNGULO:

L BM h

10.-TRAPEZOIDE:

BM bm D

B

L1 L2 L3 L4 d

h

C

bm

bm

c b

L2 L3

L

h

L

h

d

L4

A L1

B

C

A

a

Fecha


Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina

BM

B

BM

Curso

Fecha

Nombre de Alumno

Nota:

Nº de lámina

Título de lámina


CUADRILÁTEROS

TRIÁNGULOS

1.- PENTÁGONO dado el RADIO

7

r = 25 mm.

2.- PENTÁGONO dado el LADO

AB = 30 mm.

8

D A

POLIGONO DE 9 LADOS DADA LA CIRCUNFERENCIA DE RADIO = 40 mm METODO GENERAL A

C

E

1

M

E

B

2 3 2

4

r

5

L 6

A

D

C

B

Q

7 8

4.- OCTOGONO DE RADIO R=30 mm.

3.- HEXAGONO dado el RADIO r = 35 mm.

9

A

A

H B

B

F

B

UNDECAGONO DE LADO = 36 mm. r

G

METODO GENERAL C

G

F

H

F E

D

C I

E

E

D El lado del hexagono es igual al radio

El radio del octógono es la circunferencia del cuadrado.

12

6.- HEPTAGONO ESTRELLADO DE RADIO r = 30 mm.

5.- PENTAGONO ESTRELLADO DE RADIO r = 30 mm.

A

B

11 10

A

D

J 9 8 7

E

B

C

G 6

C

K

D F

A

D

C

B

E Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina


POLÍGONOS REGULARES

Curso

Fecha

Nombre de Alumno

Nota

Nº de lámina

Título de lámina

POLÍGONOS REGULARES MÉTODO GENERAL


Curso

Nota

GEOMETRÍA PLANA. 3º de ESO Relación de láminas de geometría plana de la primera evaluación Departamento de Artes Plásticas

1

2

3

Estas láminas y las soluciones las tienes a tu disposición en la página de internet: http:/intercentres.gva.es/iesnouderramador

LÁMINA 1. PARALELAS Y PERPENDICULARES CON LAS REGLAS 1. (ángulos con la escuadra y cartabón) Realizar las paralelas con la escuadra y cartabón a 5 mm. de separación. Añadir los ángulos indicados: Dividir la lámina en 4 partes iguales. 1. En el primer recuadro dibujar paralelas horizontales. Dibujar una diagonal a 75º que corte a las paralelas. 2. En el segundo recuadro dibujar paralelas verticales. Dibujar una diagonal a 30º 3.- En el tercer recuadro dibujar paralelas diagonales con un ángulo de 60º. Dibujar una recta perpendicular a paralelar (ángulo 90º). 4. En el cuarto recuadro dibujar cuadrados con una inclinación con respecto a la horizontal de 45º.

las

LÁMINA 2. PARALELAS Y PERPENDICULARES CON LAS REGLAS 2. (Construcción de figuras geométricas) A.- Realizar la figura propuesta a escala 1:1 según las medidas de las acotaciones. Tomar las medidas del croquis de la fotocopia. B.- A continuación realizar un diseño inventado como los que aparecen abajo de ejemplo. La condición es que debe reflejar líneas rectas paralelas y ángulos, realizando una composición geométrica.

LÁMINA 3. SEGMENTOS. PARALELAS Y PERPENDICULARES CON EL COMPÁS. Realizar los ejercicios propuestos: 1.- Sumar tres segmentos dados. Se colocan de forma consecutiva uno después del otro unidos por los puntos en común. Primero se dibuja una recta y después se coloca sobre ella las medidas de AB, BC, CD que se han tomado una a una con el compás. 2.- Restar dos segmentos dados. Se coloca el segmento más grande y se le resta el más pequeño. (se cogen las medidas con el compás) 3.- Multiplicar un segmento por 3. Se dibuja una recta. Se toma la medida del segmento con el compás. Se pone esa medida tantas veces como se pida sobre la recta. 4.- Dividir un segmento en dos partes iguales (Mediatriz de un segmento). Se pone el compás sobre M o N y se abre más de la mitad del segmento. Se dibuja un arco arriba y abajo del segmento. La misma operación se realiza en el otro extremo del segmento. Unir las intersecciones de de los arcos que se cortan mediante una recta. 5.- Dividir un segmento en PARTES IGUALES (Teorema de Tales). Se dibuja una recta (r) desde cualquier extremo del segmento y con cualquier ángulo (por ejemplo desde M). Sobre ella (r) poner con el compás, abierto con cualquier apertura, tantas medidas como nos propongan dividir el segmento original (sumar las medidas, segmentos, uno tras otro desde M). Unir la última parte de estas divisiones con el otro extremo del segmento (N): se obtiene una recta (t). Dibujar paralelas a esta recta (t) por las divisiones que hemos dibujado al principio hasta que corten al segmento MN. 6.- Dividir un segmento en PARTES PROPORCIONALES (Teorema de Tales). El procedimiento es igual que el anterior pero en la recta r sumanos los segmentos, a partir de M, que nos da el enunciado. En el ejercicio anterior sobre r se sumaban segmentos iguales, y en este ejercicio se suman segmentos diferentes. 7.- Construir una PERPENDICULAR por el extrema de una semirecta (ángulo de 90º).Se dibuja un arco de circunferencia de radio cualquiera y con centro en el extremo de la semirecta. A partir de ahora, y sin mover el radio del compás, se van haciendo los mismos arcos con centro donde vayan cortando los anteriores. 8.- Dibujar una perpendicular a una recta por un punto de la misma. Se trata de hacer una perpendicular a un segmento cualquiera cuyo centro es el punto que nos dan. m9.- Dibujar una perpendicular a una recta por un punto exterior a la misma. Idem anterior pero en este caso el punto está fuera de la recta. 10.- Trazar una paralela a una recta dada por un punto exterior a ella. Varios métodos.

4

LÁMINA 4. ÁNGULOS (ángulos con el transportador y construcción de ángulos con el compás) 1.- Medir los cuatro ángulos dibujados con el transportador de ángulos si señalarlos en la ficha. 2.- Realizar los tres ejercicios propuestos: a. Dividir un ángulo cualquiera en dos partes iguales (BISECTRIZ de un ángulo). Se abre el compás con cualquier radio. Se coloca en el vértice del ángulo y se traza un arco que corte a los dos lados del ángulo. Con centro en estos lado, donde cortó el arco anterior y abriendo el compás lo suficiente, se trazan dos arcos que se cortan en un punto de la bisectriz. Unir mediante una recta este punto último con el vértice del ángulo. b. Dividir un ángulo de 90º en tres partes iguales (3 ángulos de 60º). Dibujar ángulo de 60º iguales (o triángulos equiláteros) desde el vértice del ángulo. c. Sumar o restar dos o más ángulos. 3.- Dibujar o construir los siguientes ángulos con el compás: 15º, 22º y 30´, 30º 45º, 60º, 75º, 90º, 120º, 135º. Se trata de dibujar para los de 90º una perpendicular a una recta. El de 45º la bisectriz del ángulo anterior. etc. Para el de 60º un triángulo equilátero. Para el de 30º la bisectriz del de 60º, etc. También se puede hacer con el ejercicio 2.b. Para los demás ángulo se trata de sumar o rectar lo ángulos anteriores o bien pensar como saldrían si resto a 180º (una recta) un ángulo ya construido (por ejemplo para hallar el de 135º, 120º, etc ya estudiados.

GEOMETRÍA PLANA. 3º de ESO Relación de láminas de geometría plana de la primera evaluación Departamento de Artes Plásticas

Estas láminas y las soluciones las tienes a tu disposición en la página de internet: http:/intercentres.gva.es/iesnouderramador

Construir las siguientes figuras geométricas según los datos de cada enunciado: Cuando los datos sean numéricos realizarlos con las reglas milimetradas. Cuando los datos son gráficos utilizar el compás para trasladar las medidas. (Ejemplo: si los lados de un triángulo están dibujados como segmentos, coger las medidas con el compás. No utiliar las reglas para medirlo porque puede ser que no sean números enteros.)

5

LÁMINA 5. TRIÁNGULOS. 1.- Dibujar un triángulo EQUILÁTERO de lado 50 mm. (todos los lados iguales. Sus ángulos forman 60º, recordar ángulos). Dibujar el segmento AB = 5 cm. en la parte inferior. Poner el compás en A y abrir hasta B, dibujar un arco. Realizar la misma operación poniendo el compás en B. Unir donde se cortan los dos arcos con A y con B. 2.- Dibujar un triángulo EQUILÁTERO que está inscrito en una circunferencia (El triángulo está dentro de la circunferencia y sus vértices pertenecen a la misma). Radio de la circunferencia 25 mm. El lado de un hexágono es igual que el radio de la circunferencia circunscrita. Un triángulo es la mitad de un hexágono. Dibujar un diámetro a la circunferencia. Poner el compás en un extremo del diámetro. Abrir el compás hasta el centro de la circunferencia y dibujar un arco hasta que corte a ésta en ambos lados. Unir el extremo del diámetro con estos dos puntos. 3.- Dibujar un triángulo ISÓSCELES de base 25 mm y de lado 55 mm. Dibujar la base. Con el compás y de radio el lado dibujar dos arcos con centro en A y en B. 4.- Dibujar un triángulo escaleno de lados: a=55mm. b=45mm, c=65mm. 5.- Circunscribir una circunferencia a un triángulo cualquiera. Considerar sus vértices como tres puntos. El ejercicio se resuelve como si fuera pasar una circunferencia por tres puntos. Hallar las mediatrices de cada uno de los lados del triángulo. Donde se crucen las mediatrices será un punto (llamado Circuncentro) que es el centro de la circunferencia que se pide. La circunferencia ha de pasar por los punto A,B y C. 6.- Dibujar un triángulo rectángulo de medidas dadas. Los lados son a=cateto y b=hipotenusa. Dibujar primero un ángulo de 90º. Colocar en uno de los lados el cateto y en su extremo, con el compás hacer un arco igual a la medida de la hipotenusa. LAMINA 6. CUADRILÁTEROS.

6 1.- Dibujar un cuadrado de lado 38 mm. Dibuja un lado con la medida. Por cada extremo de este segmento dibuja dos perpendiculares. Lleva con el compás la medida del lado a cada perpendicular. 2.- Dibujar un cuadrado dada la diagonal. Primero hallar la mediatriz de la diagonal. Después dibujar una circunferencia con la diagonal (radio la mitad de la diagonal). Por la mitad de la diagonal trazar una perpendicular. Por cada extremo de cada diagonal unir para hallar los lados del cuadrado. 3.-Dibujar un rectángulo de lados dados. Primero dibujar el lado mayor y en cada extremo levantar perpendiculares donde se pone el lado menor. 4.-Dibujar un rectángulo dada la diagonal y un lado. Con la diagonal, y como hemos explicado con el cuadrado, se dibuja una circunferencia. Los extremos de la diagonal son los puntos-vértices A y C. Poner el compás en A y dibujar un arco con radio el lado del rectángulo AB. Hacer lo mismo con el extremo C. 5.-Dibujar un rombo dadas las dos diagonales. Dibujar las dos diagonales perpendiculares y que se corten por la mitad. Unir cada extremo de las diagonales. 6.-Dibujar un rombo dado el lado y la diagonal. Primero se dibuja la diagonal y con el compás y de radio el lado, se hacen arcos con centro en los extremos de la diagonal. 7.-Dibujar un rombo dado el lado y un ángulo. Se dibuja un lado y en su extremo se dibuja el ángulo. En cada lado se pone la medida del lado y para finalizar hay dos opciones, o bien se dibujar paralelas a cada lado o bien en cada extremo de los lados dibujados y con el compás se dibujan arcos con el radio el lado. 8.- Dibujar un trapecio isósceles dado la base mayor, el lado y la altura del trapecio (distancia entre las dos bases). Se coloca el lado mayor en la parte inferior, por la mitad se levanta un perpendicular con la medida de la altura. Con esa distancia se dibuja una paralela a la base mayor (o perpendicular a la altura). Con el compás y de radio el lado se dibuja un arco hasta que corte a la paralela anterior. El compás hay que ponerlo en los extremos de la base mayor. 9.-Dibujar un trapecio rectángulo dada la base mayor, la base menor y la altura. Construir un ángulo de 90º y poner en cada lado del ángulo las medidas de la base mayor y de la altura. Perpendicular a la altura (o paralela a la base mayor) se dibuja la base menor. Unir el extremo libre de la base mayor con el de la base menor. 10.- Dibujar un trapezoide con las medidas dadas. La solución consiste en dibujar triángulos con los datos que nos dan. Vamos a empezar con la diagonal y dos de los lados, L2 y L3. Si tomamos como base la diagonal ya dibujada, construimos otro triángulo con los lados que nos faltan.

SEGÚN SUS LADOS

LADOS

Equilátero C

Todos iguales

A

Rectángulo

Iguales. Son los tres de 60º

a=b=c

b

a

SEGÚN SUS ÁNGULOS

ÁNGULOS

A

Isósceles

a=b=c

c

Escaleno

Menores de 90º Ángulos agudos

B

A

ABC < 90º

C

Obtusángulo

Los tres diferentes.

Los tres diferentes

A=90º

Acutángulo

Dos iguales. Uno, el opuesto a la base, diferente.

Dos iguales = lados Una diferente = base

b

a

Un ángulo recto. El lado mayor = hipotenusa. Dos lados menores = catetos.

B

c

Uno de los ángulos mayor de 90º

b

a

ÁNGULOS

Un ángulo obtuso

a=b=c

A

A > 90º

c

C

En un triángulo el vértice y el lado opuesto se nombran con la misma letra, en mayúsculas y minúsculas respectivamente.

La altura de un triángulo (h) es la recta perpendicular a un lado hasta el vértice opuesto.

b

a

A

c

h

h

B

OTRAS PROPIEDADES - La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º - Cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos, pero mayor que su diferencia. - En un triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cada uno de los lados (catetos). - La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2 meces su mediana. Recta de Euler: recta que pasa por el baricentro, ortocentro y circuncentro de un triángulo. - Si dividimos la mediana de un triángulo en tres partes iguales, el baricentro estará a 2/3 de esa recta. PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

C

a

b B

A

B

c

C CIRCUNCENTRO MEDIATRICES. Las mediatrices de sus lados. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita.

a

ORTOCENTRO ALTURAS b

O

A

A

B

c

Las mediatrices y las alturas se pueden cortar fuera del triángulo, por lo que el circuncentro y el ortocentro pueden estar fuera también.

b

hc = ALTURAS

I

mc

b

INCENTRO BISECTRICES. Bisectrices de los a ángulos del triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita.

C

hc

mc

BARICENTRO. MEDIANAS. Las medianas son las rectas que van de el punto medio de un lado hasta el vértice opuesto.

Se cumple que CB = 2 cB

bc

C

B

c

C

A c O

N

P

M

Q

TRIÁNGULO PODAR

TRIÁNGULO COMPLEMENTAARIO

Resultado de unir los pies de las perpendiculares desde un punto cualquiera P Fecha

Resultado de unir los pies de las medianas (baricentro)

Nombre de Alumno

TRIÁNGULO ÓRTICO Resultado de unir los pies de las alturas (ortocentro) Curso 2º BACHILLERATO

Nº de lámina

Nota

Título de lámina ESQUEMA TRIÁNGULOS. CARACTERÍSTICAS



3. Dibujar un TRIÁNGULO ISÓSCELES con las siguientes medidas:.


BASE = 25 mm y lados iguales L = 55 mm. base = c

b a

L = lado a y b

c

5. Dada la hipotenusa AB de un triángulo rectángulo, se pide: Dibujar el triángulo rectángulo sabiendo que un cateto mide 5 cm. El vértice C estará más próximo de A que de B.

6.-Dados los siguientes lados, dibujar un TRIÁNGULO RECTÁNGULO. a = un lado c= hipotenusa.

A

B

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina


Curso

Nota:

TRIÁNGULOS



C

C

B

A A

B

3. Dibujar un TRIÁNGULO ISÓSCELES con las siguientes medidas:. BASE = 25 mm y lados iguales L = 55 mm.


b

base = c

a

L = lado a y b

c

A

C

c a

b

b

L = lado

B

C B

A

a

c base

5. Dada la hipotenusa AB de un triángulo rectángulo, se pide: Dibujar el triángulo rectángulo sabiendo que un cateto mide 5 cm. El vértice C estará más próximo de A que de B.

6.-Dados los siguientes lados, dibujar un TRIÁNGULO RECTÁNGULO. a = un lado c= hipotenusa.

A

C

c b

A

o

B B

C a

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina


Curso

Nota:

TRIÁNGULOS

Construcción de un triángulo equilátero conociendo el lado.

Figura 1

A

B

Como los tres lados son iguales sobre una recta cualquiera se sitúa uno de ellos AB. Desde A y desde B se trazan arcos como radio el lado AB y donde se cruzan los arcos se encuentra el tercer vértice C Inscribir un TRIÁNGULO EQUILÁTERO en una circunferencia Figura 2 1. Dibujar la circunferencia con el radio indicado. 2. Dibujar un Diámetro (que pase por el centro de la circunferencia O). 3.El diámetro corta a la circunferencia en C y en M. C es un vértice del triángulo. 4. Poner el compás en M, y con radio igual que el de la circunferencia, dibujar un arco (debe de pasar por O), que cortará a ésta en A y B, los vértices del triángulo. 5. Dibujar el triángulo uniendo A, B y C.

C

Figura 1 C

A

B

o

B

A

Figura 2 M

Lado Dibujar un TRIÁNGULO ISÓSCELES dado el lado igual y la base (lado desigual)

C

base

1. Dibujar la base en la parte inferior del recuadro. 2. Con el compás medir el lado L, bien de forma gráfica si nos dan el lado dibujado o bien midiendo con el compás la medida que nos den numérica. 3. Con la medida del lado y poniendo el compás en cada uno de los extremos de la base ( A y B) dibujar dos arcos que se cortarán en el vértice C. 4. Dibujar el triángulo isósceles uniendo A, B y C. 5. Poner la nomenclatura de los lados a, b y c.

a

b

Dibujar un TRIANGULO ESCALENO cuando nos dan los tres lados.

B

A

1. En una recta cualquiera dibujar uno de los lados en la base del espacio donde tengamos que colocarlo. En este ejemplo se dibuja el lado a (CB) 2. Tomar la medida de uno de los lado (por ejemplo el lado b - CA) y colocando el compás con esta medida en C dibujar un arco de circunferencia. 3. Tomar la medida con el compás del otro lado que nos queda, el lado c - AB y sobre el vértice B dibujar un arco de circunferencia. 4.Donde se corten los dos arcos de circunferenicia que hemos dibujado estará el vértice A. 5. Dibujar el triángulo uniendo los vértices A, B y C. 6. Poner la nomenclatura de los lados y los vértices.

c b a

A

c

c

b

Dos de los lados del triángulo deben de sumar más que el tercer lado.

B

C a

Dibujar un TRIANGULO RECTÁNGULO, cuando nos dan la hipotenusa y un cateto. 1. La semicircunferencia es es ARCO CAPAZ de un ángulo de 90º, es decir que cualquier punto que cojamos de una semicircunferencia será vértice de un triángulo rectángulo y el diámetro de la semicircunferencia será la hipotenusa. 1. Hallar el punto medio de la hipotenusa. 2. Con centro en ese punto dibujar una semicircunferencia que pase por A y por B. 3. Con la medida que nos den del cateto o lado hacer un arco desde A que corte a la semicircunferencia: ese punto será el vértice C.

C

A

B

o A

a = un lado

Dibujar un TRIÁNGULO RECTÁNGULO dado un lado y la hipotenusa. 1. Sobre una recta cualquiera colocar el lado a. 2. Por un extremo de a dibujar una perpendicular. (en el ejemplo es el punto C) 3. Por el otro extremo de a (el punto B) y con la medida de la hipotenusa dibujar con el compás un arco de circunferencia hasta que corte a la perpendicular en el punto A, vértice del triángulo. 4. Unir los puntos C, B y A para dibujar el triángulo buscado.

c= hipotenusa.

C Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina

c

b

a

B


TRIÁNGULOS

Curso

Nota

1. Dibujar las medianas y hallar el BARICENTRO del siguiente triángulo: Comprobar que si divides una mediana del triángulo, el baricentro estará a 2/3 del vértice.

2. Hallar las bisectrices y el INCENTRO del siguiente triángulo. Dibujar la circunferencia INSCRITA

C

C

B

A B

A

3. Hallar el ORTOCENTRO del siguiente triángulo.

3. Dibujar la circunferencia CIRCUNSCRITA al siguiente triángulo Dí cómo se llama el punto Notable, centro de la circunferencia: ______________________________________________ Dí cómo se llama las rectas notables que definen en punto notable anterior___________________________________.

C A

B C

B

A

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina


Curso

Nota:

TRIÁNGULOS. PUNTOS NOTABLES

1. Dibujar las medianas y hallar el BARICENTRO del siguiente triángulo: Comprobar que si divides una mediana del triángulo, el baricentro estará a 2/3 del vértice.

2. Hallar las bisectrices y el INCENTRO del siguiente triángulo. Dibujar la circunferencia INSCRITA

C

C

a

b

B

I

bc B

A B

A

c Se cumple que CB = 2 cB

3. Hallar el ORTOCENTRO del siguiente triángulo.

3. Dibujar la circunferencia CIRCUNSCRITA al siguiente triángulo Dí cómo se llama el punto Notable, centro de la circunferencia: ______________________________________________ Dí cómo se llama las rectas notables que definen en punto notable anterior___________________________________.

C A

hc

B

m

c

O

C

B

A

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina


Curso

Nota:


Dibujar las MEDIANAS y el BARICENTRO del triángulo dado.

C

1. Para dibujar un MEDIANA del lado de un triángulo hay que hallar el PUNTO MEDIO del lado, por medio de una mediatriz. Unir este punto P con el vértice opuesto C. 2. Hay que dibujar las tres medianas del triángulo, una por cada lado. 3. Donde se cortan las tres medianas es el punto llamado BARICENTRO. 4. Para comprobar que PB es 1/3 de PC, coger con el compás la medida PB y comprobar que se puede poner dos veces desde B hasta C.

Se cumple que CB = 2 cB

a

b B

A

c

B

P

C

Dibujar las BISECTRICES y el INCENTRO del triángulo dado. Dibujar la circunferencia INSCRITA. 1. Para dibujar las bisectrices del triángulo hay que dibujar las bisectrices de cada uno de los ángulos. 2. Donde se corten las bisectrices estará el punto notable que llamamos INCENTRO, centro de la circunferencia inscrita. 3. Desde el incentro dibujar perpendiculares a los lados para hallar los puntos de tangencia = radio de la circunferencia que hay que dibujar.

I bc B

A

C

Hallar el ORTOCENTRO del siguiente triángulo. 1. Las rectas notables de un triángulo para hallar el ortocentro son las ALTURAS. La altura de un triángulo es la recta que es perpendicular a un lado del triángulo y que pasa por el vértice opuesto. 2. Para hallar el ortocentro hay que dibujar las tres alturas de los tres lados del triángulo.

hc

B

O A

Hallar el CIRCUNCENTRO de un triángulo dado.

A

c m

1. El circuncentro es un punto Notable de los triángulos desde el cual se puede dibujar una circunferencia que sea CIRCUNSCRITA al triángulo y que pasará por sus tres vértices A, B y C. Por lo tanto si el radio de dicha circunferenica es el mismo hasta A, hasta B y hasta C significa que estarán en sus respectivas MEDIATRICES. 2. Las mediatrices son por lo tanto las rectas notables de un triángulo para hallar el circuncentro. 3. Desde B dibujar una circunferencia que pase de la mitad de BC. 4. Desde C y con el mismo radio que la circunferencia anterior dibujar un arco que corte a la anterior. 5. Desde A dibujar otro arco con el mismo radio y que también corte al primer arco. 6. Unir con rectas los puntos de cortes de los respectivos arcos: mediatrices. 7. Una vez hallado el circuncentro dibujar la circunferencia que pase por A, B y C.

C

B Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina


Curso

Nota


vértice

lado diám

etro

(d)

ángulo interior

POLÍGONO REGULAR

POLÍGONO IRREGULAR

POLÍGONO CONVEXO

POLÍGONO CÓNCAVO

dio

-

POLÍGONO EXTRELLADO

a

m

te

o ap

ángulo exterior

rad

io

ra

Polígono CIRCUNSCRITO r = apotema del polígono r = radio de la circunferencia incrita

Polígono INSCRITO r = radio circunferencia circunscrita

DIAGONALES de un polígono

Las formas poligonales están en la estructura de muchos objetos y construcciones. La palabra polígono es de origen griego y quiere decir “varios ángulos”. Un polígono es: una superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada. Se llama perímetro de un polígono a la suma de las medidas de sus lados. Los elementos básicos de los polígonos son: vértices, diagonales, ángulos interiores y exteriores. El número de lados de los polígonos determina su nombre: triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, etc.

Fecha

Nombre de Alumno

Curso 2º BACHILLERATO

Nº de lámina

Título de lámina

Nota

CUADRADO

RECTÁNGULO

L

PARALELOGRAMO

B

B d

2

A

A

L

d

d

d1

Área: L

2

Área: AxB

Área: AxB

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

TRIÁNGULO ACUTÁNGULO

TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO

b

b

b

Área: b x h 2

c = a2+ b 2

Área: b x a/2

h

h

a

h

c

TRAPECIO

Área: b x h 2

TRAPEZOIDE

PENTÁGONO

b H

r

d

h

h

d

d1

2

R

d1

8º

10 b

a

L

2

c

B Área: (h + H)a +bh +cH

Área: B+b x h 2

Área: perímetro x apotema (r)

2

2

TRIÁNGULO INSCRIBIBLE

HEXÁGONO

A

R

b O

L

60º

r

120º

a D

C

B

AREAS Y PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS POLÍGONO: Es la porción del plano limitada por rectas que se cortan. - Polígono regular: tiene todos los lados y ángulos iguales. -Polígono irregular: no son iguales todos los lados ni todos los ángulos. -Polígono inscrito: es el que tiene sus vértices en una circunferencia. -Polígono circunscrito: sus lados son tangentes a una circunferencia. -Polígonos estrellados: tienen forma de estrella y se obtienen al unir de 2 en 2, 3 en 3, etc. los vértices del polígono regular. Fecha

Nombre de Alumno


Nº de lámina

Título de lámina

Nota

CUADRILÁTEROS LADOS

ÁNGULOS

Iguales paralelos dos a dos

Iguales. Son todos rectos.

Iguales. Perpendiculares Se cortan en el punto medio.

Rectángulo

Son Iguales los lados paralelos.

Iguales. Son todos rectos.

Iguales. No perpendiculares Se cortan en el punto medio.

Rombo

Los cuatro iguales. Paralelos dos a dos.

Iguales los opuestos. No son rectos.

Distintas, perpendiculares y se cortan en un punto medio.

Romboide

Son iguales los lados paralelos.

Iguales los opuestos. No son rectos.

Distintas, No perpendiculares Se cortan en un punto medio.

PARALELOGRAMOS

Cuadrado

Los trapecios tienen siempre dos lados paralelos: son las bases.

Trapecios Lado Base Menor

Los trapezoides no tienen ningún lado paralelo

DIAGONALES

Trapezoide Lado Diagonales

Base Mayor

Trapecio Isósceles

Son iguales

Los que se apoyan en la misma base son iguales.

Son iguales. No se cortan en el punto medio.

Son distintos

Son todos distintos No son rectos

Son distintos. No se cortan en un punto medio.

Son distintos Un lado es perpendicular a las bases

Tienen dos ángulos rectos.

Son distintos. No se cortan en un punto medio.

TRAPECIO

Es el único tipo de trapecios que es inscriptible en una circunferencia. Trapecio Escaleno

Trapecio Rectángulo

Fecha

Nombre de Alumno


Nº de lámina

Nota

Título de lámina ESQUEMA CUADRILÁTEROS. CARACTERÍSTICAS

POLÍGONOS Los polígonos se designan por el número de sus lados. T ria con t

CLASIFICACIÓN. POLÍGONO

LADOS

POLÍGONO

triángulo

3

Endecágono

LADOS 11

Icoságono o Isodecágono

POLÍGONO

LADOS 20

cuadrado

4

Dodecágono

12

T riacon tágono

30

pentágono

5

Tridecágono

13

Tetracon tágono

40

hexágono

6

Tetradecágono

14

Pen tacon tágono

50

heptágono

7

Pentadecágono

15

Hexacon tágono

60

octágono

8

Hexadecágono

16

Hep tacon tágono

70

eneágono

9

Heptadecágono

17

O c tacon tágono

80

decágono

10

Octadecágono

18

Eneacon tágono

90

Eneadecágono

19

Hec tágono

100

Chiliágono

1.000

M iriágono

10 .000

M egágono

1.000 .000

triángulo

cuadrado

pentágono

hexágono

heptágono

octágono

eneágono

decágono

NOMBRE DE UN POLÍGONO MENOR DE 100 LADOS. Polígono de 22 lados: Icosakaidígono.

DECENAS 20:Icosa-

2:dí

30:Triaconta-

3:trí

40:Tetraconta-

4:tetrá

50:Pentaconta-

Fecha

UNIDAD 1:hená

kai

5:pentá

60:Hexaconta-

6:hexá

70:Heptaconta-

7:heptá

80:Octaconta-

8:octá

90:Eneaconta-

9:eneá

Nombre de Alumno

gono


Nº de lámina

Nota

Título de lámina ESQUEMA CUADRILÁTEROS. CARACTERÍSTICAS

L Dibujar un cuadrado cuando nos dan el lado.

B

A

1. El cuadrado tiene sus cuatro lados iguales y sus dos diagonales iguales. 2. La medida del lado (puede ser numérica o gráfica) se traslada sobre una recta cualquiera. 3. Se dibujar perpendiculares desde el punto A y desde el B. 4 Con el compás en el punto A se traza un arco con el radio AB hasta que corta a la perpendicular en el punto D. 5. Se hace lo mismo desde el punto B para obtener el punto C. 6. Se unen D y C

Dibujar un cuadrado cuando nos dan la diagonal.

D

C

A

B

diagonal d

- El cuadrado tiene sus dos diagonales iguales y perpendiculares (forman 90º). - Por lo tanto los extremos de la diagonal son dos puntos opuestos del cuadrado, por ejemplo B y D. - Si cogemos la diagonal y la giramos, de forma perpendicular por el centro, tendremos los otros dos puntos del cuadrado A y C. 1. Para realizar estas operaciones lo primero que haremos es poner la medida de la diagonal en una recta cualquiera (tener en cuenta que esté más o menos en el centro del recuadro a dibujar el cuadrado), 2. Dibujamos la mediatriz de la diagonal. 3. Ponemos el compás en el punto medio y dibujamos una circunferencia de radio la mitad de la diagonal. Esta circunferencia nos cortará a la mediatriz en los puntos A y C.

C

d

pm

B

D

A

Dibujar un RECTÁNGULO cuando nos dan los dos lados. - El rectángulo tiene sus cuatro lados perpendiculares - El rectángulo tiene sus lados iguales dos a dos. - Por lo tanto si ponemos los dos lados que nos dan de forma perpendicular, tendremos medio rectángulo dibujado. 1. Colocar sobre una recta cualquiera el lado L1, más grande, y desde un extremo, por ejemplo el punto A, levantar una perpendicular. Colocar en esta perpendicular, y desde A, la medida del otro lado L2, más pequeño. Con esto tenemos dibujado A, B y C. 2. Para finalizar se pueden hacer dos cosas: o bien ponemos el compás en C con la medida de L1 y desde B con la medida de L2 y donde se corten los dos arcos que dibujemos estará el punto D. O bien, otra alternativa es dibujar paralelas a L1 y L2 respectivamente y donde se corten las paralelas estará el punto D.

L1 L2

D

C

L2

A

d

Dibujar un RECTÁNGULO cuando nos dan la diagonal y un lado. 1. El rectángulo tiene sus cuatro lados perpendiculares y sus lados paralelos dos a dos. 2. La semicircunferencia, como vimos con los triángulos, es el arco capaz de 90º, es decir que cualquier punto que cojamos de la semicircunferencia, unido a los extremos del segmento que la conforma, formará un ángulo de 90º. 3. Valiendonos de esta propiedad, pondremos la diagonal sobre una recta cualquiera en el centro del recuadro a dibujar y hallaremos el punto medio (pm) de la diagonal. 4. Pondremos el compás en el punto medio (pm) y dibujaremos una circunferencia con radio Pm A, por ejemplo. 5. Pondremos el compás en el punto A, con la medida del lado del rectángulo, y dibujaremos un arco hasta que corte a la circunferencia. Este será el punto B. Haremos lo mismo desde el punto C para hallar D, pero en sentido inverso (hacia abajo). 6. Para acabar con el rectángulo, uniremos A con B, B con C, C con D y D con A.

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina

B

L1

L

B

d

A

C

pm

D


Curso

Nota

CUADRILÁTEROS. Cuadrado y Rectángulo.

d1

A Dibujar un rombo cuando nos dan las diagonales.

d2

B

El rombo tiene los cuatro lados iguales y las diagonales perpendiculares. Sabiendo esto deberemos colocar las dos diagonales que nos dan de forma perpendicular y que se corten en el centro. 1. Para ello pondremos una de las diagonales, por ejemplo d1 sobre una recta cualquiera en el centro del recuadro donde se debe de dibujar el rombo. 2. Dibujaremos las mediatrices de las dos diagonales. 3. Sobre la mediatriz de d1 pondremos la medida de d2, con el compás y desde el punto medio (pm). 4. Unir los puntos vértices A,B,C y D para dibujar el rombo.

C

D D d1

A

C

d2

B B

D pm

diagonal

A

Dibujar un rombo cuando nos dan el lado y la diagonal.

Lado

B El rombo tiene los cuatro lados iguales por la tanto, si tenemos la diagonal, solamente tendremos que poner en cada extremo los lados con el compás. 1. En primer lugar colocaremos sobre una recta, la diagonal d. 2. Desde los extremos A y C y con el compás con la medida del lado, dibujaremos sendos arcos. 3. Donde se cortan los arcos serán los puntos B y D. 4. Unir los puntos para dibujar el rombo.

C

D D L d

A

C B

Dibujar un rombo cuando nos dan el lado y un ángulo. 1. En una recta colocamos el vértice A y desde este punto dibujamos un ángulo de 60º como ya hemos visto anteriormente en el tema de ángulos o en triángulos (triángulo equilátero). Para realizar los arcos de circunferencia cogeremos la medida del lado AB. 2. Al dibujar el ángulo de 60º hemos hallado a la vez el vértice D del rombo. 3. Para concluir hay dos opciones: la primera sería dibujar paralelas a AB y a AD respectivamente y obtendríamos así el punto C. La segunda opción es coger la medida del lado con el compás (recordar que ya la tenemos para dibujar el ángulo) y dibujar dos arcos, uno desde D y otro desde B. Donde se corten estos dos arcos será el punto C. 4. Dibujar correctamente el rombo y marcarlo más oscuro o en color fino. Poner nomenclatura (A,B,C, etc.)

60º

El trapecio rectángulo tiene un ángulo de 90º. 1. Colocar la base mayor AB sobre una recta. 2. Dibujar una perpendicular por un extremo de la base mayor, por ejemplo por A. 3. Dibujar una paralela a la base mayor con la medida de la altura. Donde corte la paralela a la perpendicular anterior será el Vértice D. 4. Desde D colocar la medida de la base menor bm (DC). Unir C con B. Repasar.

BM h

A

B D

D

C

Lado

A

El trapecio tiene dos lados paralelos que son las bases. El trapecio isósceles tiene los lados no paralelos iguales. El trapecio isósceles es simétrico. 1. Colocar la base mayor sobre una recta. 2. Dibujar una paralela a la base mayor a una distancia igual a la altura. 3. Desde los extremos de la base mayor, A y B, con el compás dibujar arcos con un radio igual a el lado. Donde corten los arcos a la paralela serán los vértices D y C. L

A

C

Dibujar un trapecio rectángulo. Los datos que nos dan son: Base mayor, base menor y la altura.

A D

60º

B D

Dibujar un trapecio isósceles. Los datos que nos dan son: Un lado, la base mayor y la altura.

BM bm h

Lado

A

B C

B

Dibujar un trapezoide dados los cuatro lados y una diagonal.. Un trapezoide no tiene ningún lado paralelo y sus medidas son distintas. Si miramos atentamente, los lados con la diagonal forman dos triángulos. Se trata de dibujar dichos triángulos. 1. Se dibuja la diagonal. 2. Con las medidas de L3 y L2 se dibujan arcos desde A y C respectivamente. Donde se cortan los arcos tenemos el vértice D. 3. Se hace lo mismo desde A y C con las medidas de L1 y L4, para hallar el vértice B. Se unen los vértices. L1 L2 L3 L4 d

A C A B A

B D D C C

C

bm

C

L2 D

L

h

L

h

L

A A

BM

B

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina

A

BM

L4

d

L3 B

B L1


Curso

Nota

CUADRILÁTEROS. Rombo, trapecio y romboide.



3. Dibujar un RECTÁNGULO de lados: L1

4. Dibujar un RECTÁNGULO de medidas:

d1

d


L2

5.-Dibujar un ROMBO dadas las diagonales:

d

6.-Dibujar un ROMBO dado el lado y la diagonal: d

L

7.-Dibuajr el ROMBO dado el lado y el ángulo: ángulo A 60º L

d2

B

8.-TRAPECIO ISÓSCELES. dado: L BM h

9.-TRAPECIO RECTÁNGULO: BM bm h

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina

10.-TRAPEZOIDE: L1 L2 L3 L4 d


CUADRILÁTEROS



C

C

D

d

D

A

d

B

B

L

A 3. Dibujar un RECTÁNGULO de lados: L1

4. Dibujar un RECTÁNGULO de medidas: d


L2

B D

C

L2

L2

d A

C

L1 B

A

D

6.-Dibujar un ROMBO dado el lado y la diagonal:

5.-Dibujar un ROMBO dadas las diagonales: d1

7.-Dibuajr el ROMBO dado el lado y el ángulo: ángulo A 60º

L

L

d

d2 D D

D C

L L

d1

A

C

d

A

C

d2 60º

L

A

B

B

B

8.-TRAPECIO ISÓSCELES. dado:

9.-TRAPECIO RECTÁNGULO:

L BM h

BM bm D

bm

L1 L2 L3 L4 d

h

C

10.-TRAPEZOIDE:

bm

L2 L3

L

h

L

h

d

L4 L1

A

BM

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina

B

BM


CUADRILÁTEROS

1. Dibujar una circunferencia de radio el que nos dan. 2. Dibujar dos diámetros perpendiculares (ojo que pasen por el centro de la circunferencia). 3. Dibujar la mediatriz de uno de los radios (por ejemplo OP). La mediatriz corta al radio en M. 4. Dibujar un arco de radio MA (poner el compás en M y abrir hasta el punto A). Este arco cortará en el punto K al diámetro horizontal. 5.La medida AK es la medida del lado del pentágono. L5. Ponerlo 5 veces alrededor de la circunferencia. 6. Desde A se realiza un arco con la medida (radio) AK que corta a la circunferencia en B y E. 7. Desde B y desde E se dibujar arcos con radio L5 o AB hasta cortar en el vértice C y D. 8. Unir todos los vértices y repasar más oscuro o en color fino. Hay que tener precisión a la hora de unir los vértices. Realizarlo con limpieza y claridad. Si dibujamos las mediatrices de los lados obtendremos un decágono. También es el segmento KO. Dibujar un PENTÁGONO cuando nos dan el LADO.

E O

k r

D

C B

D

E

r A

Nº de lámina

Título de lámina

B

pm

M

A

F

B r N

M

O E

C


L A

B D

E

C

F

o

A Nombre de Alumno

C

P

El radio de la circunferencia es igual lado del hexágono. 1. Dibujar la circunferencia con el radio dado. Poner el radio seis veces sobre la circunferencia. 2. Para realizar el ejercicio correctamente y de forma más exacta, a parte que nos va a servir para realizar otros polígonos es la siguiente: dibujar dos diámetros perpendiculares. 3. Desde el punto A (el diámetro vertical corta a la circunferencia en A y en D) poner el compás y con el radio dado dibujar un arco que corte a la circunferencia en los vértices B y F. El arco debe de pasar por el centro O. 4. Dibujar otro arco desde D para hallar C y E. (el arco debe de pasar por el centro O) 5. Unir los vértices A,B,C,D,E y F. Marcar más oscuro o de color fino. Si realizamos esta operación desde los extremos del diámetro horizontal M y N obtendremos otros seis puntos con lo que obtendremos un dodecágono (polígono de doce vértices). Si en vez de coger todos los vértices, unimos de dos en dos (por ejemplo A con C, C con E y E con A) obtendremos un triángulo equilátero.

Fecha

P

M

r

Dibujar un HEXÁGONO cuando nos dan el RADIO.

Como el lado del hexágono es igual al radio, lo que tendremos que hacer es buscar el centro de la circunferencia donde esté inscrito el hexágono. Debemos de saber también que si dividimos una circunferenica (360º) en seis partes iguales obtendremos ángulos de 60º. Un triángulo equilátero tiene tres ángulos de 60º. 1. Pondremos el lado AB sobre una recta r. 2. Dibujaremos un triángulo equilátero de lado AB: poner el compás en A y con radio AB realizar un arco. Hacer lo mismo desde B. 3. Donde se cortan los dos arcos tendremos el punto O, centro de la circunferencia del hexágono. 4. Dibujar la circunferencia que pase por A y por B (ojo, que pase por A y por B). 5. Hallar los vértices del hexágono como en el ejercicio anterior.

L5

B

A

1. Poner el lado AB sobre una recta horizontal r. 2. Por el punto B, levantar una perpendicular. 3. Dibujar la mediatriz del lado AB, se halla de este modo el punto medio (pm) 4. Desde el punto B abrir el compás hasta A y dibujar un arco que corte a la perpendicular anterior en el punto P. Prolongar un poco más el arco. 5. Desde el punto medio de AB (pm) abrir el compás hasta P y dibujar un arco que corte a la recta r en el punto M. 6. Desde el punto A abrir el compás hasta el punto M y dibujar un arco que corte al primer arco dibujardo (BAP) en el punto C y también cortará a la mediatriz en el punto D. C y D son vértices del pentágono. 7. Desde el punto D y con la medida del lado del pentágono dibujar un arco. 8. Desde el punto A y con la medida del lado del pentágono dibujar un arco. Donde se cortan los arcos anteriores será el punto y vértice final del pentágono: E.

Dibujar un HEXÁGONO cuando nos dan el LADO.

A

r

Dibujar un PENTÁGONO cuando nos dan el RADIO.


B Curso

Nota


r

A

Dibujar un OCTÓGONO dado el radio.

B

1. Lo primero que haremos es dibujar la circunferencia con el radio dado. 2.Después dibujar dos diámetros perpendiculares. (ojo, que pasen por el punto O) 3. Los diámetros cortarán a la circunferenica en los puntos A, C, E y G, vértices de un cuadrado. 4. Dibujar la mediatriz de AC y de CE para obtener los puntos B, D, F, H. Tambien se pueden dibujar las bisectrices de los cuatro ángulos que forman las diagonales. 5. Unir los vértices y márcar más oscuro o de color, fino.

H

r C

G

O

F

D El radio del octógono es la circunferencia del cuadrado.

E

Polígonos estrellados. Un polígono regular estrellado es un polígono cóncavo en forma de estrella con diferentes vértices o puntas. Para construir un polígono estrellado hay varios métodos. El que se utiliza más en dibujo técnico es el El Método de Reducción: consiste en trazar la estrella inscrita dentro del polígono regular. Por lo tanto hay que dibujar primero su polígono regular en el que está sustentado, y unir los vértices de éste de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro, de cinco en cinco, etc. Otro método es El Método de Extensión: consiste en utilizar el polígono regular como centro, trazándose las puntas de las estrella mediante la prolongación de los lados del polígono regular. El número de polígonos estrellados que se pueden dibujar con un número de vértices diferente, es igual la cantidad de números primos con el número de vértices del polígono base dividido por dos. Un número es primo respecto a otro cuando ambos no tienen divisores comunes. Por ejemplo: para el pentágono (5 lados), los números menores que la mitad de sus lados son el 2 y el 1, y de ellos, primos respecto a 5 solo tendremos el 2, por lo tanto podremos afirmar que el pentágono tiene un único estrellado, que se obtendrá uniendo los vértices de 2 en 2.

A

Dibujar un pentágono estrellado. Para construir un pentágono estrellado de cinco puntas hay que construir el pentágono regular como ya hemos aprendido, dependiendo ello de si nos dan el radio o el lado. Después hay que unir los vértices de dos en dos, por ejemplo A con C, C don E, E con B, y así continuamente hasta que se cierra el polígono (hasta que se lleva a A al final).

B

E O

Dibujar un heptágono estrellado (de siete puntas). Para construir un polígono estrellado de siete puntas, hay que dibujar primero el heptágono regular. Para construir el heptágono se realiza con los primeros pasos del pentágono según el radio. 1. Se dibuja la circunferencia con el radio dado. 2. Se dibujar dos diámetros perpendiculares. 3. Se dibuja la mediatriz del radio OP. 4. El lado del heptágono será KM. 5. Se coge la medida de KM y se pone 7 veces desde A.

C

D

Para construir un polígono estrellado de siete puntas, unir los vértices de dos en dos (en rojo), o si se prefiere de tres en tres (polígono verde) puesto que este polígono tiene dos estrellados.

A k

B

B

L7

B

A

G C

C O

M

A

O

P

G

G O

F

C

D

D

F

F

E D

E

E

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina


Curso

Nota



r = 25 mm.


AB = 30 mm.

O

A

B

L



O O

El lado del hexagono es igual al radio




O O

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina




r = 25 mm.


AB = 30 mm. D

A

C

E E

B

O r L A

D

C

B



A

A

H B F

B r

C

G

O

O

F E

D

C E





A

B

E

B

A

C

G O

O

D F D

C

E Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina



Dibujar polígonos regulares con EL MÉTODO GENERAL. Hay que tener en cuenta que el método general es un método inexacto. Por lo tanto para construir polígonos en dibujo técnico se utiliza el método específico de cada uno de ellos. Estos métodos se pueden utilizar para grandes polígonos de un número elevado de lados pero el resultado casi siempre tiene que ajustarse o tiene que ser rectificado. MÉTODO GENERAL cuando nos dan el RADIO. 1. Dibuja un diámetro vertical (ojo, que pase por el centro O) 2. divídelo por el teorema de tales en tantas partes como lados deba de tener el polígono que queremos construir, en nuestro ejemplo 9. 3. Desde A, extremo del diámetro se dibuja un arco de rado AP (el diámetro). Desde el otro extremo P se realiza otro arco igual que el primero. 4. Donde se cortan los dos arcos será el punto M. 5. Unir mediante una recta M y el punto 2 de la división de la circunferencia. Ojo, no confundir el 2 del diámetro con el nº 2 de la división del teorema de tales. 6. La prolongación de esta recta, M2, cortará a la circunferencia en el punto B primera división de la circunferencia. La recta AB será el lado del eneágono. 7. Ir colocando la medida AB consecutivamente desde A.

A 1

B

I

2 3

2

4 5

C

H

6

M

O

7 8 9

G

D

E

F

P

A tener en cuenta: Si el polígono es de lados impar como es el caso, el lado EF en este caso ha de estar partido por la mitad por el diámetro. Si al acabar el polígono no coincide la última medida con el punto A, hay que rectificar AB, más grande o más pequeño según el caso. Tener en cuenta que cualquier error por muy pequeño que sea en AB se multiplicará por 9 en este caso.

MÉTODO GENERAL cuando nos dan el LADO. 1. Poner el lado AB en una recta, en la parte inferior del recuadro a dibujar el polígono. 2. Como el polígono que vamos a dibujar es de 11 lados vamos a dibujar en primer lugar una circunferencia de 6 lados y otra de 12 lados. El polígono de 11 estará entre estos dos últimos, luego el centro de la circunferencia circunscrita también. (ver hexágono según el lado) 3. Dibujar un arco desde A con radio AB y desde B igual. 4. Donde se cortan los dos arcos será el centro de la circunferencia de 6 lados (hexágono). Dibujamos la circunferencia 5. Dibujamos el diámetro de dicha circunferencia. Este diámetro corta a la circunferencia en 12, centro de la circunferencia de 12 lados (dodecágono). 6. Dividimos el segmento que va de 6 a 12 en seis partes iguales. 7. Cada una de las partes en que se divide será un centro de una circunferencia del número señalado en el que caben tantos lados AB como divisiones marcadas (por ejemplo la división 7 será el polígono de siete lados AB) 8. Nosotros cogeremos el punto 11. Ponemos el compás en 11 y dibujamos una circunferencia. 9. Ponemos en la circunferencia dibujada 11 veces el lado AB. 10. Repasar siempre la figura un poco más oscuro o con un color con el lápiz bien afilado.

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina

G H

F

I

E 12

11 10 9 8 7 6

J

D

C

K

A

B


Curso

Nota


POLIGONO DE 9 LADOS DADA LA CIRCUNFERENCIA DE RADIO = 40 mm METODO GENERAL

O

UNDECAGONO DE LADO = 36 mm. METODO GENERAL

A

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina

B



POLIGONO DE 9 LADOS DADA LA CIRCUNFERENCIA DE RADIO = 40 mm METODO GENERAL A 1

M 2 3

2

4 5 6

Q

O

7 8 9

B

UNDECAGONO DE LADO = 36 mm.

G

METODO GENERAL F

I

E

12

11 10

D

J 9 8 7

6

C

K

A

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina

B



Dibujar un polígono estrellado cualquiera y decorarlo bien en blanco y negro o bien en color. Técnica libre. El polígono deberá abarcar toda la lámina.

Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina




Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina




Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina




Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina




Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina




Fecha

Nombre de Alumno

Nº de lámina

Título de lámina



GEOMETRIA (Dibujo tecnico)).pdf

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