Fundamentos de Dibujo Tecnico y Geometria Descriptiva

UNIVERSIDAD INCA GARCILASO DE LA VEGA FACULTAD DE INGENIERIA ADMINISTRATIVA E INDUSTRIAL

FUNDAMENTOS TEORÍCOSDE DIBUJO EN INGENIERÍA Y GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Ing. Enrique Miguel Pardo Esquerre

2,012

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INDICE 1. Conceptos generales …………………………………………………………… ……………………………………………………………3 3 2. Materiales ………………………………………………………………………... 7 3. Elementos básicos de la geometría …………………………………………..1 …………………………………………..18 8 4. Normalización Normalizac ión de líneas………………………………………………………… líneas …………………………………………………………31 31 5. División de segmentos …………………………………………………………3 …………………………………………………………37 7 6. Construcción de triángulos y cuadriláteros cuadriláteros ………………………………….4 ………………………………….42 2 7. Construcción de polígonos polígonos regulares regulares inscritos inscritos en una circunferencia circunferencia….. …......48 ....48 8. Construcción de polígonos regulares dado el lado lado ………………………… ………………………….53 .53 9. Construcción de curvas ………………………………………………………. .59 10. Proyecciones ………………………………………………………………… …………………………………………………………………...70 ...70 11. Proyección de rectas …………………………………………………………. .82 12. Proyección de planos ………………………………………………………… ………………………………………………………….93 .93 13. Bibliografía …………………………………………………………………….101 …………………………………………………………………….10 1

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INDICE 1. Conceptos generales …………………………………………………………… ……………………………………………………………3 3 2. Materiales ………………………………………………………………………... 7 3. Elementos básicos de la geometría …………………………………………..1 …………………………………………..18 8 4. Normalización Normalizac ión de líneas………………………………………………………… líneas …………………………………………………………31 31 5. División de segmentos …………………………………………………………3 …………………………………………………………37 7 6. Construcción de triángulos y cuadriláteros cuadriláteros ………………………………….4 ………………………………….42 2 7. Construcción de polígonos polígonos regulares regulares inscritos inscritos en una circunferencia circunferencia….. …......48 ....48 8. Construcción de polígonos regulares dado el lado lado ………………………… ………………………….53 .53 9. Construcción de curvas ………………………………………………………. .59 10. Proyecciones ………………………………………………………………… …………………………………………………………………...70 ...70 11. Proyección de rectas …………………………………………………………. .82 12. Proyección de planos ………………………………………………………… ………………………………………………………….93 .93 13. Bibliografía …………………………………………………………………….101 …………………………………………………………………….10 1


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UNIDAD 1 CONCEPTOS GENERALES

Comenzaremos a desarrollar el curso partiendo del concepto de dibujo para pasar a tratar luego su clasificación, concepto de dibujo técnico, importancia y características para pasar luego a la definición de geometría descriptiva. descriptiva. Además como complemento complemento a esta primera lección, veremos una reseña histórica del de l dibujo.

Etimología de dibujo Se considera que el término dibujo se deriva del latín “designare” que significa trazar, señalar, representar. representar.

Concepto de dibujo Los principales autores que han escrito sobre dibujo, manifiestan que es un lenguaje gráfico mediante el cual una persona transmite un mensaje entendible universalmente utilizando representaciones puramente geométricas (objetos planos) y en perspectiva (volúmenes). En concepto del autor, se puede decir que el dibujo es la representación gráfica de algo. Este “algo” puede ser un objeto real así como una idea, emoción, sentimiento, etc.

Clasificación del dibujo Tomando en cuanta a casi la generalidad de autores en la materia, el autor clasifica al dibujo en dos grandes grupos: a) Dibujo Art Artístico ístico Es el dibujo que se ejecuta libremente, sin aplicación de reglas ni normas. Sirve para representar sentimientos, emociones, ideas así como paisajes, seres humanos, plantas, animales, etc. Su fin es la trasmisión del goce estético. b) Dibujo Técnico Es el dibujo mediante el cual se representa objetos reales, piezas de maquinaria, trabajos de ingeniería, edificios y topografía, etc. manteniendo sus formas y dimensio dimensiones. nes.


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Mediante el dibujo técnico se proporciona información suficiente sobre el objeto para facilitar su análisis, ayudar a elaborar su diseño y posibilitar su futura construcción. El dibujo técnico, se encuentra sujeto a normas fijas y preestablecidas para que sea posible la descripción exacta y clara de dimensiones, formas, características de un objeto, de tal manera que puedan ser comprendidas por quien los observa. Para realizar el dibujo técnico se requiere de instrumentos de precisión. El dibujo técnico abarca trabajos como bosquejos o croquis, esquemas, diagramas, planos eléctricos y electrónicos, representaciones de todo tipo de piezas mecánicas, planos de arquitectura, urbanismo, etc., resueltos mediante conceptos geométricos, diversos tipos de perspectivas, escalas, etc.

Importancia del dibujo técnico El dibujo técnico es importante en la medida que se constituye en un lenguaje universal por medio del cual nos podemos comunicar con otras personas, sin importar el idioma. Emplea signos gráficos, regidos por normas internacionales que lo hacen más entendible. Para que un dibujo técnico represente un elemento de comunicación completo y eficiente, debe ser claro, preciso y constar de todos sus datos; todo esto depende de la experiencia del dibujante en la expresión gráfica que realice.

Características del Dibujo Técnico Es casi generalmente aceptado que el dibujo técnico posee tres características que deben ser respetadas al momento de realizar un trabajo: a) Precisión b) Representación gráfica c) Comprensión universal En dibujo técnico, las normas de aplicación se refieren a los sistemas de representación, presentaciones (líneas, formatos, rotulación, etc.), representación de los elementos de las piezas (cortes, secciones, vistas, etc.), etc.

Geometría descriptiva Según Cayo L. Villanueva (1,984) en su libro “Manual de Geometría Descriptiva”, la geometría descriptiva se define como la ciencia del trazado geométrico que nos permite solucionar problemas en el campo tridimensional haciendo uso de la proyección ortogonal sobre planos de proyección


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Evolución Histórica El hombre desde su aparición sobre la tierra, siempre buscó comunicarse, y una de las primeras manifestaciones fue el dibujo cuyos primeros registros representan a gente ejecutando labores cotidianas de caza, pesca y recolección. Las representaciones más antiguas, entre otras, son las siguientes: - Las cavernas de Chauvet (Francia) que data de 30,000 años A.C. - Altamira (España) y Lascaux (Francia) que datan de 20,000 años A.C. - Toquepala (Perú) que data de 7,000 años A.C. María R. Bonilla (2,011) en su publicación en la página técnica www.scribd.com “Dibujo de Ingeniería” hace un recuento de la evolución del dibujo a lo largo de la historia de la humanidad. Manifiesta que al desarrollarse la escritura los dibujos se liberaron en f orma gradual de su uso primigenio y desde entonces fueron util izados primordialmente por diseñadores de las primeras manifestaciones de ingeniería (como un medio de establecer ideas para la construcción de pirámides, fortalezas, castillos, edificios, carros de guerra, piezas de máquinas, etc.) y artistas. Explica además que la primera manifestación del dibujo técnico data del año 2,450 A.C., en un dibujo de construcción que aparece esculpido en la estatua del rey sumerio Gudea. En dicha escultura, de forma esquemática se representan los planos del edificio. También señala que el escriba Ahmes, en el año 1,650 A.C. redactó en un papiro una presentación de contenido geométrico dividida: aritmética, esteorotomía, geometría y cálculo de pirámides. Por otro lado menciona que en el año 600 A.C. Tales, filósofo griego y considerado como uno de los Siete Sabios de Grecia, introdujo la geometría en Grecia, sus conocimientos, le sirvieron para descubrir importantes propiedades geométricas. Esta ciencia la aprendió en Egipto. Así mismo manifiesta que a Pitágorasy a su movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismose le atribuye el estudio y trazado de los tres primeros poliedros regulares: tetraedro, hexaedro y octaedro. Pero quizás su contribución más conocida en el campo de la geometría es el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que "en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Manifiesta también que en el año 300 A.C. encontramos a Euclides, matemático griego cuya obra "Elementos de geometría", es un extenso tratado de matemáticas en 13 volúmenes sobre materias tales como: geometría plana, magnitudes inconmensurables y geometría del espacio. Menciona del mismo modo a Arquímedes (287 al 212 A.C.), matemático griego, quien escribió importantes obras sobre geometría plana y del espacio, aritmética y mecánica. Inventó formas de medir el área de figuras curvas, así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo, etc. Universidad Inca Garcilaso de la Vega Facultad de Ing. Administrativa e Industrial Fundamentos Teóricos de Dibujo en Ingeniería y Geometría Descriptiva Ing. Enrique Pardo Esquerre

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Incluye en su presentación a Apolonio de Perga, matemático griego, llamado el "Gran Geómetra" quien vivió durante los últimos años del siglo III y principios del siglo II A.C. cuyo aporte a la geometría fue el estudio de las curvas cónicas. Bonilla manifiesta que es durante el Renacimientocuando las representaciones técnicas, adquieren una verdadera madurez, con los trabajos del arquitecto Brunelleschi, los dibujos de Leonardo de Vinci, y tantos otros. Pero no es, hasta bien entrado el siglo XVIII, cuando se produce un significativo avance en las representaciones técnicas. Así tenemos al matemático francés Gaspar Monge (1746-1818) quien es considerado el inventor de la geometría descriptiva, la misma que nos permite representar sobre una superficie bidimensional, las superficies tridimensionales de los objetos. Por otro lado se tiene al también francés Jean Víctor Poncelet (1788-1867). A él se debe a introducción en la geometría del concepto de infinito, que ya había sido incluido en matemáticas. En la geometría de Poncellet, dos rectas, o se cortan o se cruzan, pero no pueden ser paralelas, ya que se cortarían en el infinito. Según Bonilla el último gran aporte al dibujo técnico, que lo ha definido, tal y como hoy lo conocemos, ha sido la normalización que podemos definirla como "el conjunto de reglas y preceptos aplicables al diseño y fabricación de ciertos productos". Si bien, ya las civilizaciones caldea y egipcia utilizaron este concepto para la fabricación de ladrillos y piedras, sometidos a unas dimensiones preestablecidas, es a finales del siglo XIX en plena Revolución Industrial, cuando se empezó a aplicar el concepto de norma, en la representación de planos y la fabricación de piezas. Sin embargo fue durante la 1ª Guerra Mundial, ante la necesidad de abastecer a los ejércitos y reparar los armamentos, que la normalización adquiere su impulso definitivo, con la creación en Alemania en 1917, del Comité Alemán de Normalización. Finalmente es necesario destacar que existen en la actualidad una serie de normas establecidas para la realización de dibujos técnicos según su naturaleza, es decir mapas topográficos, planos arquitectónicos y dibujos mecánicos y técnicos, etc.


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UNIDAD 2 MATERIALES MATERIALES PARA DIBUJO TÉCNICO Para obtener buenos resultados en la elaboración del dibujo técnico es necesario contar con materiales de buena calidad y la habilidad necesaria para usarlos. Por convención tenemos que los materiales se clasifican en: a) Elementos. Permiten dibujar, sin ellos no existe la posibilidad de que se pueda realizar un dibujo. En este grupo se puede distinguir el papel, el lápiz y las plumillas. b)

Instrumentos. Permiten mejorar la calidad del dibujo. En este grupo se puede distinguir la regla T, la regla recta, las escuadras, el compás, plantillas curvas, el tajador, el borrador, el transportador, el escalímetro, etc.

A criterio del autor se puede agregar además una tercera clasificación: c)

Materiales Intermedios. Son aquellos que a veces se comportan como elementos y a veces como instrumentos. Es decir a veces son indispensables para dibujar (sin ellos no existe la posibilidad de hacerlo) y a veces ayudan a mejorar la calidad del dibujo. En este grupo se puede considerar la iluminación (si trabajamos de noche la iluminación se convierte en un elemento ya que sin ella no se podrá dibujar, si trabajamos de día la iluminación se convierte en instrumento ya que si bien se podrá dibujar ayudará a eliminar los errores), el tablero de dibujo (si la superficie donde se dibujará es uniforme entonces el tablero es un instrumento pero si la superficie sobre la cual se apoyará la lámina es irregular, el tablero se convertirá en un elemento) y el dibujo asistido por computadora (si dibujamos partes y/o pieza mecánicas o planos de ingeniería el dibujo asistido por computadora se considerará un elemento pero si vamos a darle acabados especiales o vistas de diferentes posiciones, el dibujo asistido por computadora se constituye en un instrumento).

Es necesario destacar, que todos los materiales están confeccionados para ayudar en el desarrollo y solución de problemas gráficos, por lo que su cuidado, mantenimiento, limpieza y conservación son de suma importancia.En ese sentido deberán evitarse las caídas, golpes, roces y otras acciones que pueden causar su deterioro. A continuación describiremos los principales materiales:

Regla Es un instrumento fundamental para toda aquella persona que está relacionada con en el dibujo. Las reglas pueden ser graduadas de acuerdo con el Sistema Métrico Decimal o de acuerdo con el Sistema Inglés de medida. Universidad Inca Garcilaso de la Vega Facultad de Ing. Administrativa e Industrial Fundamentos Teóricos de Dibujo en Ingeniería y Geometría Descriptiva Ing. Enrique Pardo Esquerre

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Los tipos más comunes son: de madera, metal y plástico; graduada en centímetros, con indicación de los milímetros; de 30 centímetros de longitud; planas o de formas diversas, según el fabricante. El uso de la regla es para trabajar con escala normal, 1: 1, y es un instrumento necesario para el estudiante de dibujo y otros fines. Debe utilizarse solamente para medir, nunca para trazar.

Regla T Es un instrumento considerado básico para los trabajos de dibujo. Los dibujantes profesionales la utilizan para el trazado de líneas horizontales y para apoyar las escuadras al trazar líneas verticales e inclinadas. Como todos los instrumentos de dibujo, la regla T es delicada y requiere de un trato adecuado. Para su conservación se recomiendan las precauciones siguientes: Mantenerla apoyada en su totalidad sobre una superficie plana.  Evitar que sus cantos sufran daños.  Al trazar con lápiz debe evitarse hacer presión exagerada contra el canto.  Al trazar con tiralíneas debe cuidarse de que éste no cause daños al canto.  La Regla T debe limpiarse con un trapo seco y lavarse con bencina. 


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Escuadras Las escuadras son utilizadas con la Regla T y con la Regla simple.

Se utilizan fundamentalmente para el trazado de líneas paralelas y para el trazado de ángulos. En el primer caso, se alinea una de ellas a la recta que es la base del trazado, la otra escuadra se coloca de base tal como se observa en la figura 1.

A partir de ahí se desliza la primera escuadra hasta los puntos por donde se tenga que trazar la paralela tal como se observa en la figura 2.


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Para el segundo caso se utilizan las escuadras de 60°, 45° y 30° y sus combinaciones tal como se puede apreciar en el gráfico siguiente.

Compás Instrumento que se utiliza para el trazado de circunferencias y arcos. El compás se fabrica de diferentes materiales que van desde el bronce o de acero hasta el plástico. Los tornillos para su ensamblado deben mantenerse ajustados y para lograrlo cada estuche contiene una pequeña herramienta. Cuando se posee un estuche que contenga varios instrumentos y sus correspondientes piezas intercambiables, es requisito indispensable cuidarlo y evitar pérdidas de piezas que acarrearían la inutilización de todo el equipo.


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Para lograr un rendimiento máximo del compás es necesario recordar sus aplicaciones y las posibilidades de cada tipo. Además, como todo instrumento de precisión, deben tomarse algunas precauciones para evitar su deterioro, las cuales pueden resumirse así: Proteger constantemente la punta de acero. Su deterioro arruina todo el instrumento. Proteger la punta de grafito para evitar su rotura. Mantener afilada la punta de grafito para lograr la perfección del trazado.

Tablero de Dibujo Para realizar un dibujo es necesario disponer de una superficie apropiada y dotada de algunos auxiliares básicos. Esta superficie es el tablero de dibujo, el cual puede disponer de su propia armadura de apoyo o ser, simplemente, un tablero que debe ser apoyado sobre una mesa o armadura. El tablero es de madera y construido de modo tal que no se produzcan dobladuras ni pandeos. Cuando se estudia dibujo es conveniente que se trabaje en un tablero apropiado para lograr adquirir el hábito y la destreza en la utilización de los instrumentos apropiados. En la actualidad, con los progresos alcanzados por la industria del plástico, se ofrecen en el comercio tableros de dibujo fabricados en material sintético.


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Plumas para tinta china Son instrumentos que utilizan la tinta china para el trazado de líneas, ayudan a la perfección y limpieza del trabajo. Para trabajar con plumillas de tinta china se debe tener cuidado con la precisión ya que es sumamente difícil su borrado. Este tipo de pluma se le puede adquirir individualmente, en estuches de varias y hasta en estuches complejos, donde está hasta la tinta para recargarlas

Plantillas para Curvas Las plantillas para curvas se utilizan para trazar aquellas líneas con radios de curvaturas variables. Universidad Inca Garcilaso de la Vega Facultad de Ing. Administrativa e Industrial Fundamentos Teóricos de Dibujo en Ingeniería y Geometría Descriptiva Ing. Enrique Pardo Esquerre

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Los contornos de estas plantillas están hechos mediante el sistema de combinación de elipses, espirales y otras curvas matemáticas. Para utilizar estas plantillas el dibujante debe trazar primeramente la sucesión de puntos que determinan el rumbo de la curva. Luego hace coincidir la plantilla con los puntos, lo cual se logra solamente por aproximación.

Lápices El lápiz es fundamental para todo dibujante. Pero no todos los lápices sirven para dibujar. Es necesario utilizar aquellos fabricados específicamente para este f in. Los lápices para dibujar están fabricados con minas de grafito, las cuales se pueden adquirir en una escala de dureza que va desde el más suave hasta el más duro.

La denominación, según su grado de dureza, es la siguiente: Blandos (para croquis y dibujo artístico) 7B, 6B, 5B, 4B, 3B y 2B Medios (para delineado de piezas, sólidos y formas geométricas) B, HB, F, H, 2H y 3H Duros (para trabajos de alta precisión como mapas, planos) 4H, 5H, 6H, 7H, 8H Y 9H

9H 8H 7H 6H 5H 4H

3H 2H H F HB B

2B 3B 4B 5B 6B 7B


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Borradores Todo trabajo de dibujo requiere del trazado de líneas provisionales, o auxiliares, que deben eliminarse al realizar el trazado definitivo.Además, hay que tomar en cuenta que siempre habrá la necesidad de enmendar o corregir determinados trazos. Por ambas razones, se requiere de un material apropiado, denominado borrador el mismo que es un compuesto derivado del plástico los mismos que se fabrican de diferentes tipos, de acuerdo con las necesidades de cada trabajo.

Transportador El transportador es un instrumento para medir ángulos. Consiste en un círculo con divisiones de grados y minutos. Cuando se les fabrica sobre una circunferencia completa, consta de 360°. Cada grado está subdividido en 10'. En algunos instrumentos cada minuto tiene una subdivisión, que indica 30”. También es muy común un transportador fabricado de medio círculo. En este caso solamente tiene indicados 180°. Como todo instrumento de dibujo, el transportador requiere un cuidado muy especial. El daño que sufra su borde impide apreciar correctamente la indicación en la lectura.


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Escalímetros Los escalímetros son instrumentos de medición, semejantes a una regla, generalmente de forma triangular aunque también los hay planos. Comúnmente se construyen de madera, metal, material plástico. El escalímetro más utilizado es el de forma triangular; tiene, generalmente, una longitud de 30 cms., consta de tres caras y en cada cara posee dos escalas. En consecuencia, con un escalímetro triangular podemos manejar seis escalas diferentes, sus vértices forman ángulos agudos sin curvaturas que nos permiten realizar una lectura más exacta de la escala utilizada.

Papel La hoja de papel es una lámina consistente en fibras f ibras de celulosa reducidas a pasta por procedimientos químicos y mecánicos la misma que se obtenien de madera, bagazo (residuo de la molienda de la caña de azúcar), etc. Se usa para escribir, dibujar, imprimir, etc. Principalmente Principalmente para el dibujo se distinguen dos tipos de papel: Papel Opaco: Su color varía desde el blanco hasta el amarillento y es ligeramente brillante. Papel Traslúcido o Vegetal: Esta clase de papel es notablemente transparente y de tono blanco azulado. Tiene la característica de permitir el paso de la luz a través de él, lo que facilita ver con claridad cualquier dibujo que esté debajo del mismo. Además, es el adecuado para trabajar con tinta china, la cual se puede borrar, si es necesario, con bastante facilidad facilidad sin que se deteriore el papel. El formato base o formato de origen de la serie DIN A es el A0, cuyas dimensiones brutas son: base = 880 Altura = 1.230 y cuya área es, aproximadamente, aproximadamente, un metro cuadrado (1m2). Las dimensiones finales de este formato son: base = 841 Altura = 1.189


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Entre los tipos de formatos se pueden destacar: 

Formatos Industriales Se presentan en rollos o bobinas. Es el formato en el que el papel sale de las empresas que lo producen.

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Formatos Comerciales Entre los que se puede destacar el formato A4, que tienen las siguientes dimensiones: formato bruto (medidas mínimas):240 x 330 mm.y formato final (cortado) 210 x 297 mm.; estas dimensiones del papel nos permiten trabajar directamente sobre los pupitres.

INDICACIONES INDICACIONES EN LAS LÁMINAS Márgenes: En los formatos se debe dibujar un recuadro interior, que delimite la zona útil de d ibujo. Este recuadro deja unos márgenes en el formato, que la norma establece que no sea inferior a 20 mm para los formatos A0 y A1, y 10 mm para los formatos A2, A3 y A4. Si se prevé un plegado para archivado con perforaciones en el papel, se debe definir un margen de archivado de una anchura mínima de 20 mm, en el lado opuesto al cuadro de rotulación. rotulación. En nuestro caso trabajaremos con un formato A4 el cual ubicaremos en forma horizontal. El margen que se establecerá para el extremo superior superior es de 20 mm y para el extremo inferior, derecho e izquierdo izquierdo será de 10 mm Cuadro de Rotulación: Rotulación: Conocido también como cajetín, se debe colocar dentro de la zona de dibujo, y en la parte inferior derecha. La información que contiene depende de las necesidades para Universidad Inca Garcilaso de la Vega Facultad de Ing. Administrativa e Industrial Fundamentos Teóricos de Dibujo en Ingeniería y Geometría Descriptiva Ing. Enrique Pardo Esquerre

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las que se ejecute la lámina. Las dimensiones para nuestro caso se establecerán en un ancho máximo 120 mm y una altura de no más de 40 mm

Tomando en cuenta el rótulo de nuestro ejemplo debemos indicar complementariamente complemen tariamente que el ancho de los cuadros de la última línea (inferior) son de izquierda a derecha: 30 mm, 30 mm, 10 mm, 10 mm, 10 mm y 30 mm respectivamente respectivamente Además, de acuerdo al tipo de representación, representación, se tienen tienen las siguientes siguientes señales: Señales de Centrado: Señales de centrado. Son unos trazos colocados en los extremos de los ejes de simetría del formato, en los dos sentidos. De un grosor mínimo de 0,5 mm y sobrepasando sobrepasando el recuadro en 5 mm. Debe observarse observarse una tolerancia en la posición de 0,5 mm. Estas marcas sirven para facilitar la reproducción y microfilmado. Señales de Orientación: Orientación: Señales de orientación. Son dos flechas o triángulos equiláteros dibujados sobre las señales de centrado, para indicar la posición de la hoja sobre el tablero. Graduación Métrica de la Referencia: Referencia: Graduación métrica de referencia. Es una reglilla de 100 mm de longitud, dividida en centímetros, que permitirá comprobar la reducción del origina en casos de reproducción. Universidad Inca Garcilaso de la Vega Facultad de Ing. Administrativa e Industrial Fundamentos Teóricos de Dibujo en Ingeniería y Geometría Descriptiva Ing. Enrique Pardo Esquerre

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UNIDAD 3 ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Los elementos geométricos son los conceptos a partir de los cuales se desarrollará todo el trabajo referente al dibujo técnico. Estos elementos son: el punto, la línea, la superficie y el cuerpo. De acuerdo a lo planteado por el Ing. Alberto Pérez García en su tutorial geometriadescriptiva.com, cualquier objeto puede sintetizarse mediante sus elementos geométricos más simples: puntos, líneas, superficies, ángulos, etc. Es por lo tanto necesario que el estudiante de dibujo técnico domine y exprese estos conceptos en forma correcta, razón por la cual se desarrolla esta unidad, en el cual se describen en forma simple los conceptos geométricos básicos de mayor uso en el estudio del dibujo técnico y la geometría descriptiva.

Punto Es la representación de una posición fija del espacio. No es un objeto físico, por lo tanto carece de forma y dimensiones.

Algunas formas de representar un punto

Línea Es una sucesión infinita de puntos.Tiene una sola dimensión, el largo. Las líneas se clasifican básicamente en:


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a) Recta Línea de dirección constante. Una recta puede ser definida como la porción de línea limitada por dos puntos. Del concepto de recta podemos desprender dos conceptos adicionales: i. Semirrecta: cada una de las dos partes en que divide a una recta uno cualquiera de sus puntos, ii. Segmento: porción de una recta comprendida entre dos de sus puntos.

b) Poligonal Línea formada por segmentos rectos consecutivos no alineados. Se clasifican en: i. Poligonal abierta: si el primer y último segmentos no están unidos ii. Poligonal cerrada: si cada segmento esta unido a otros dos.

c) Curva Línea del plano o del espacio que no tiene segmentos rectos. Las curvas se clasifican en: i. Cónicas Es la curva que se genera al seccionar un cono recto de revolución con un plano. Las cónicas son cuatro y su formación depende de la relación entre los ángulos del plano seccionante con el plano ba se del cono.


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El estudio de las cónicas es de gran importancia en los campos de la óptica, astronomía, física, biología, informática e ingeniería, entre otras, ya que son la base del diseño de lentes, espejos, y superficies elípticas, circulares parabólicas e hiperbólicas; componentes esenciales de: microscopios, telescopios, radares, antenas parabólicas, teodolitos, distanciómetros y muchos otros instrumentos de gran uso en estas ciencias. ii. Curva Matemática, Física, Estadística, etc. Estas curvas son generadas por ecuaciones propias de cada una de estas ciencias y su estudio es de gran utilidad en la solución de problemas relacionados con las mismas.

Curva trigonométrica

iii. Espiral de Arquímedes Curva del plano, generada por un punto (P) que se mueve con velocidad lineal constante (v), a lo largo de una recta (a); mientras esta gira, con velocidad angular uniforme (B), alrededor de un punto fijo contenido en ella.


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Superficie Configuración geométrica que se puede definir como la proyección de una línea. Posee dos dimensiones, el largo y el alto. Entre las superficies principales se pueden mencionar: a) Círculo Superficie plana limitada por una circunferencia.

b) Superficie reglada Superficie generada por el movimiento de una recta, denominada generatriz, manteniéndose en contacto con otra u otras líneas, denominadas directrices, cumpliendo además en su desplazamiento ciertas condiciones particulares.


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Entre las superficies regladas se pueden mencionar: i.

Plano Superficie reglada generada por el movimiento de una generatriz (g), que se mantiene en contacto con una directriz (d) recta, siendo paralelas todas las posiciones de la generatriz.

ii.

Superficie de curvatura simple Superficie reglada en la cual cada dos posiciones adyacentes de la generatriz (g) son coplanares (son paralelas o se cortan). Las superficies de curvatura simple son superficies desarrollables, es decir, pueden extenderse sobre un plano. Las superficies de curvatura simple pueden ser:  Cilíndricas Se genera por el movimiento de una generatriz (g) que se mantiene en contacto con una directriz (d) curva, además todas las posiciones de la generatriz son paralelas. Las superficies de curvatura simple cilíndricas pueden ser:  Superficies cilíndricas de revolución Todas las posiciones de la generatriz son paralelas a un eje.  Superficies cilíndricas de no revolución No se puede definir un eje que equidiste de la generatriz. 

Cónicas Generadas por el movimiento de una generatriz (g) la misma que se mantiene en contacto con una directriz (d) curva, teniendo todas las posiciones de la generatriz un punto en común denominado vértice. Universidad Inca Garcilaso de la Vega Facultad de Ing. Administrativa e Industrial Fundamentos Teóricos de Dibujo en Ingeniería y Geometría Descriptiva Ing. Enrique Pardo Esquerre

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Las superficies de curvatura simple cónicas pueden ser:  Superficies cilíndricas de revolución Todas las posiciones de la generatriz forman el mismo ángulo con un eje que pasa por el vértice  Superficies cilíndricas de no revolución No se puede definir un eje que forme el mismo ángulo con todas las posiciones de la generatriz.

iii.

Superficie alabeada Es una superficie reglada no desarrollable, es decir, que dos posiciones sucesivas de la generatriz no son coplanares. Las superficies alabeadas pueden ser:  Cilindroide La generatriz (g) se desplaza manteniéndose paralela a un plano director y apoyada sobre dos directrices curvas (d 1 y d2) 

Conoide La generatriz (g) se desplaza manteniéndose paralela a un plano director y apoyada sobre dos directrices siendo una de ellas recta (d1) y la otra curva (d2).



Superficie doblemente reglada Son aquellas superficies alabeadas en la cual por cada uno de sus puntos pasan dos generatrices (g 1 y g2). Las superficies doblemente regladas pueden ser:  Paraboloide hiperbólico La generatriz (g) se desplaza manteniéndose paralela a un plano director y apoyada sobre dos directrices rectas (d1 y d2) que se cruzan. Universidad Inca Garcilaso de la Vega Facultad de Ing. Administrativa e Industrial Fundamentos Teóricos de Dibujo en Ingeniería y Geometría Descriptiva Ing. Enrique Pardo Esquerre

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

Hiperboloide de revolución La generatriz (g) se apoya sobre dos directrices (d1 y d2) circulares, paralelas y se mueve manteniendo constante el ángulo que forman.

c) Superficie de curvatura doble Son superficies generadas por el movimiento de una generatriz (g) curva. Estas superficies no contienen líneas rectas y por lo tanto no son desarrollables. Entre ellas son muy conocidas las cuádricas, las cuales son superficies generadas por la rotación de una curva cónica alrededor de uno de sus ejes. Las cuádricas son: i. ii. iii. iv.

esfera: la generatriz (g) es una circunferencia, elipsoide: la generatriz (g) es una elipse, paraboloide: la generatriz (g) es una parábola, hiperboloide: La generatriz (g) es una hipérbola.


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Polígono Es la superficie plana o figura geométrica plana, limitada por una poligonal cerrada que no se corta a sí misma. Los polígonos se clasifican en: a)

Polígono Regular Son aquellos en los cuales todos sus lados y sus ángulos interiores son iguales Se clasifican en: i. triángulo equilátero: polígono regular de 3 lados, ii. cuadrado: polígono regular de 4 lados, iii. pentágono regular: polígono regular de 5, iv. hexágono regular: polígono regular de 6 lados, v. heptágono regular: polígono regular de 7 lados, vi. octágono regular: polígono regular de 8 lados,... y así sucesivamente.

b)

Polígono Irregular Son aquellos en los cuales sus lados y sus ángulos interiores no son iguales, además sus vértices no están contenidos en una circunferencia. De acuerdo al número de sus lados, se denominan: i. triángulo: polígono de 3 lados, ii. cuadrilátero: polígono de 4 lados, iii. pentágono: polígono de 5 lados, iv. hexágono: polígono de 6 lados, v. heptágono: polígono de 7 lados, vi. octágono: polígono de 8 lados,... y así sucesivamente.


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Del concepto de polígonos podemos destacar dos figuras específicas: a)

Triángulo Polígono de tres lados. De acuerdo a la magnitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:

De acuerdo a sus lados los triángulos se clasifican en:

b)

Cuadrilátero Polígono de 4 lados. Se clasifican en:


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Sólido Espacio limitado por superficies. Los sólidos poseen tres dimensiones: largo, alto y profundidad. Los sólidos también son conocidos como cuerpos, se clasifican en: a) Poliedros Son los sólidos limitados por superficies planas. Sus partes se denominan: Caras: polígonos que limitan al poliedro, Aristas: lados de las caras del poliedro, unión de las caras de un poliedro Vértices: puntos donde concurren varias aristas.

Los poliedros se clasifican en: i.

Poliedro Regular Poliedro cuyas caras son polígonos regulares iguales y todas sus aristas son de igual longitud; en consecuencia, todos sus vértices están contenidos en una esfera. Los poliedros regulares son cinco y se denominan:


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ii.

Poliedro Irregular Poliedro definido por polígonos que no son todos iguales. Los poliedros irregulares se clasifican básicamente en: 

Poliedros de n lados Se denominan según el número de sus lados, así tenemos:

 Pirámide

Poliedro definido por un polígono base y cuyas caras laterales son triángulos que poseen un vértice común (V), denominado vértice de la pirámide, que no está contenido en el plano base. La recta que pasa por el vértice de la pirámide y el centro geométrico de la base se denomina eje de la pirámide ( e). Las pirámides se clasifican en: 

Pirámides regulares Su base es un polígono regular. Se clasifican en: Pirámide regular recta Es aquella que tiene como base un polígono regular y el eje es perpendicular a la misma. Pirámide regular oblicua Es aquella cuya base es un polígono regular y el eje no es perpendicular a la misma.



Pirámides irregulares Son aquellos cuya base es un polígono irregular. Se clasifican en: Pirámide irregular recta Es aquella que tiene como base un polígono irregular y el eje es perpendicular a la misma. Pirámide irregular oblicua Es aquella cuya base es un polígono irregular y el eje no es perpendicular a la misma.


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 Prisma

Poliedro definido por dos polígonos iguales y paralelos ( bases) y cuyas caras laterales, en consecuencia, son paralelogramos. La recta que une los centros geométricos de las bases se denomina eje del prisma (e). Los prismas se clasifican en: 

Prismas regulares Su base es un polígono regular. Se clasifican en: Prisma regular recto Es aquel que tiene como base un polígono regular y el eje es perpendicular al mismo. Prisma regular oblicuo Es aquel cuya base es un polígono regular y el eje no es perpendicular al mismo.



Prismas irregulares Son aquellos cuya base es un polígono irregular. Se clasifican en: Prismairregular recto Es aquel que tiene como base un polígono irregular y el eje es perpendicular al mismo. Prismairregular oblicuo Es aquel cuya base es un polígono irregular y el eje no es perpendicular al mismo.

b) Cuerpos redondos Se denomina cuerpos redondos a aquellos que contienen superficies curvas. Los cuerpos redondos se clasifican en: i. Cilindros Cuerpo redondo limitado por una superficie cilíndrica y dos bases planas paralelas. La recta que pasa por los centros geométricos de las bases se denomina eje del cilindro (e), y es paralela a la generatriz (g) de la superficie cilíndrica. Los cilindros pueden ser:  Cilindros de revolución Es aquel cuya base es un círculo  Cilindros de no revolución Es aquel cuya base no es un círculo En ambos casos los cilindros pueden ser rectos (si el eje es perpendicular a la base) u oblicuos (si el eje no es perpendicular a la base).


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ii. Conos Cuerpo redondo limitado por una superficie cónica y por una base plana. La recta que pasa por el vértice (V), de la superficie cónica y el centro geométrico de la base se denomina eje del cono (e). Los conos pueden ser:  

Conos de revolución Es aquel cuya base es un círculo Conos de no revolución Es aquel cuya base no es un círculo

En ambos casos los cilindros pueden ser rectos (si el eje es perpendicular a la base) u oblicuos (si el eje no es perpendicular a la base).


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UNIDAD 4 NORMALIZACIÓN DE LINEAS Líneas En los dibujos técnicos se utilizan diferentes tipos de líneas, las cuales han sido normalizadas en sus tipos y espesor por convenciones internacionales. En el desarrollo del curso, utilizaremos los principales tipos, espesores y usos los mismos que se indican en la siguiente tabla: Designación

Línea

Aplicaciones generales A1 Contornos A2 Aristas vistas

Llena gruesa

B1 B2 B3 B4 B5 B6

ficticias vistas de cota de proyección de referencia Rayados Contornos de secciones abatidas sobre la superficie del dibujo B7 Ejes cortos

Llena fina (recta o curva

Llena fina a mano alzada Llena fina (recta) con zigzag

Gruesa

de

vistos

(2)

trazos

Fina de trazos

Líneas Líneas Líneas Líneas

C1 Límites de vistas o cortes parciales o interrumpidos, si estos límites D1 no son líneas a trazos y puntos

E1 Contornos E2 Aristas F1 Contornos F2 Aristas ocultas

Fina de trazos y puntos

G1 Ejes G2 Trazas de G3 Trayectorias

Fina de trazos y puntos, gruesa en los extremos y en los cambios de dirección

H1 Trazas de plano de corte

J1 Gruesa de trazos y puntos

Fina de trazos y doble punto

de plano

ocultos ocultas ocultos

de

revolución simetría

Indicación de líneas o superficies que son objeto de especificaciones particulares

K1 Contornos de piezas adyacentes K2 Posiciones intermedias y extremos de piezas móviles K3 Líneas de centros de gravedad K4 Contornos iniciales antes del conformado K5 Partes situadas delante de un plano de corte

(1) Este tipo de línea se utiliza particularmente para los dibujos ejecutados de una manera automatizada (2) Aunque haya disponibles dos variantes, sólo hay que utilizar un tipo de línea en un mi smo dibujo.

Fuente: www.dibujotecnico.com


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Ancho de las líneas Además de la diferenciación por su trazado, las líneas se diferencian por su anchura o grosor. En los trazados a lápiz, esta diferenciación se hace variando la presión del lápiz, o mediante la utilización de lápices de diferentes durezas. En los trazados a tinta, la anchura de la línea deberá elegirse, en función de las dimensiones o del tipo de dibujo, entre la gama siguiente:  0,18 mm  0,25 mm  0,35 mm  0,5 mm  0,7 mm  1 mm  1,4 mm  2,0 mm Estos valores de anchuras, que pueden parecer aleatorios, en realidad responden a la necesidad de ampliación y reducción de los planos, ya que la relación entre un formato A4 y un A3, es aproximadamente de: . De esta forma al ampliar un formato A4 con líneas de espesor 0,5 a un formato A3, dichas líneas pasarían a ser de 5 x = 0,7 mm. La relación entre las anchuras de las líneas finas y gruesas en un mismo dibujo, no debe ser inferior a 2. Deben conservarse la misma anchura de línea para las diferentes vistas de una pieza, dibujadas con la misma escala.

Espacio entre líneas El espaciado mínimo entre líneas paralelas (comprendida la representación de los rayados) no debe nunca ser inferior a dos veces la anchura de la línea más gruesa. Se recomienda que este espacio no sea nunca inferior a 0,7 mm.

Orden de prioridad de las líneas coincidentes En la representación de un dibujo, puede suceder que se superpongan diferentes tipos de líneas, por ello la norma ha establecido un orden de preferencias a la hora de representarlas, dicho orden es el siguiente: 1 - Contornos y aristas vistos. 2 - Contornos y aristas ocultos. 3 - Trazas de planos de corte. 4 - Ejes de revolución y trazas de plano de simetría. 5 - Líneas de centros de gravedad. 6 - Líneas de proyección


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Los contornos contiguos de piezas ensambladas o unidas deben coincidir, excepto en el caso de secciones delgadas negras.

Terminación de las líneas de referencia Una línea de referencia sirve para indicar un elemento (línea de cota, objeto, contorno, etc.). Las líneas de referencia deben terminar: 1 - En un punto, si acaban en el interior del contorno del objeto representado 2 - En una flecha, si acaban en el contorno del objeto representado. 3 - Sin punto ni flecha, si acaban en una línea de cota.

1

2

3

Orientación sobre la utilización de las líneas 1. Las líneas de ejes de simetría, tienen que sobresalir ligeramente del contorno de la pieza y también las de centro de circunferencias, pero no deben continuar de una vista a otra. 2. En las circunferencias, los ejes se han de cortar, y no cruzarse, si las circunferencias son muy pequeñas se dibujarán líneas continuas finas. 3. El eje de simetría puede omitirse en piezas cuya simetría se perciba con toda claridad. 4. Los ejes de simetría, cuando representemos media vista o un cuarto, llevarán en sus extremos, dos pequeños trazos paralelos. 5. Cuando dos líneas de trazos sean paralelas y estén muy próximas, los trazos de dibujarán alternados. 6. Las líneas de trazos, tanto si acaban en una línea continua o de trazos, acabarán en trazo. 7. Una línea de trazos, no cortará, al cruzarse, a una línea continua ni a otra de trazos. 8. Los arcos de trazos acabarán en los puntos de tangencia.


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Posición de las líneas Las líneas se clasifican según: a) Su situación en el espacio  Horizontales Cuando mantienen una separación constante con respecto al horizonte que se forma mirando al mar.



Verticales Cuando forman un ángulo de 90º con respecto al horizonte que se forma mirando al mar.


35



Inclinadas Cuando forman un ángulo cualquiera, diferente a 90º, con el horizonte que se forma mirando al mar.

b) Su situación con otras líneas  Paralelas Son aquellas que mantienen una distancia constante de separación entre ellas.


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

Perpendiculares Son aquellas que forman un ángulo de 90º.



Secantes Son aquellas que tienen un punto en común.



Convergentes – Divergentes Son aquellas que en sus extremos tienden a acercarse (convergentes) o a separarse (divergentes). Esta tendencia no se llega a concretar.


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UNIDAD5 DIVISIÓN DE SEGMENTOS I. Trazar la perpendicular que pase por el punto medio de un segmento dado 1. Dado el segmento AB, con el compás hacemos centro en A y con una abertura de compás mayor a la mitad, trazamos un arco. 2. Repetimos la operación pero haciendo centro en B. 3. Estos dos arcos generan los puntos C y D. 4. Unimos los puntos C y D y obtenemos la perpendicular solicitada.

C

D

II. Trazar una perpendicular que pase por un punto dado sobre una recta 1. Supongamos que tenemos una recta cualquiera y sobre ella el punto P. 2. Hacemos centro en P y con una abertura de compás cualquiera, trazamos dos arcos que van cortar el segmento en los puntos A y B. 3. Luego procedemos como en el caso I.


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III. Trazar una perpendicular a una recta que pase por un punto externo a ella 1. Supongamos que tenemos una recta cualquiera y un punto P ubicado fuera de ella. 2. Hacemos centro en P y con cualquier abertura de compás trazamos un arco que va a dividir a la recta en dos puntos A y B. 3. Luego procedemos como en el caso I.

IV. Trazar la perpendicular que pase por el extremo de un segmento 1. Tenemos el segmento AB. 2. Señalamos un punto cualquiera fuera del segmento al que denominaremos “D”. 3. Haciendo centro en “B” y con una abertura de compás igual a DB, trazamos una circunferencia que va a cortar al segmento AB en el punto C. 4. Luego procedemos como en el caso I.


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V. Dividir un segmento en “n” partes iguales 1. Supongamos que tenemos el segmento AB. 2. Trazamos una recta “r” de cualquier longitud y co n un ángulo de inclinación cualquiera. 3. Con una abertura de compás cualquiera y haciendo centro en A, trazamos un arco que corta a la recta en el punto C. 4. Con la misma abertura de compás pero haciendo centro C, trazamos otro arco que corta a la recta en el punto D. 5. Manteniendo la abertura de compás y haciendo centro en D, repetimos la operación que va a formar sobre la recta el punto E. 6. Repetimos esta operación las veces que sea necesaria hasta obtener el punto “n”. 7. Luego unimos el punto “n” con el punto B. (En el gráfico, el punto E) 8. Trazamos paralelas a EB que corten al segmento AB. 9. Estas paralelas van a indicar las partes iguales solicitadas.

VI. Trasladar un ángulo dado sobre una recta dada 1. Supongamos que tenemos una recta RS y un ángulo ALFA fuera de ella. 2. Señalamos un punto B cualquiera sobre la recta. 3. Con cualquier abertura de compás y haciendo centro en B, trazamos un arco que va a cortar a la recta en el punto Q. 4. Manteniendo la misma abertura de compás del paso anterior, ahora hacemos centro en el vértice del ángulo ALFA y trazamos un arco que va a cortar a los lados del mismo. 5. Con el compás tomamos la medida de este nuevo arco trazado sobre el ángulo y haciendo centro en Q trazamos un arco que junto con el arco que trazamos en el acápite 3 formará un nuevo punto el que al unirlo con B, formará el ángulo solicitado.

R

S B

Q


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VII. Trazar la bisectriz de un ángulo 1. Supongamos que tenemos el ángulo V. 2. Con cualquier abertura de compás y haciendo centro en el vértice del ángulo trazamos un arco que corte a sus lados en los puntos A y B. 3. Haciendo centro en A y con cualquier abertura de compás, trazamos un arco. 4. Con la misma abertura de compás pero haciendo centro en B trazamos otro arco que con el anterior van a formar el punto C. 5. Unimos C con el vértice del ángulo y obtenemos la bisectriz solicitada.

VIII. Dividir un ángulo en tres partes iguales 1. Supongamos que tenemos el ángulo ABC. 2. Haciendo centro en el vértice B del ángulo y con un radio cualquiera trazamos un arco que va a formar sobre los lados del ángulo los puntos D y E. 3. Prolongamos uno de los lados del ángulo, en este caso el lado BC. 4. Desde el punto B y sobre la prolongación del lado BC, trazamos el punto F a una distancia que equivale a dos veces el radio del arco trazado en el paso 2. 5. Unimos los puntos F y D mediante una recta. 6. Trazamos una paralela a FD que pase por el vértice B. 7. Esta paralela va a cortar el arco trazado en el paso 2 en el punto G. 8. El ángulo EBG es un tercio del ángulo ABC 9. Finalmente trazamos la bisectriz del ángulo ABG


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IX. Dividir un ángulo recto en tres partes iguales 1. Supongamos que tenemos un ángulo recto de vértice V. 2. Con el compás, hacemos centro en V y con una abertura de compás cualquiera trazamos un arco que va a cortar los lados del ángulo recto en los puntos A y B. 3. Con la misma abertura de compás, hacemos centro en B y trazamos otro arco que pase por V y que con el anterior arco van a formar el punto C. 4. Unimos el punto C con V. 5. El ángulo AVC es un tercio del ángulo AVB 6. Trazamos la bisectriz del ángulo CVB conforme lo explicado en el caso VII. 7. De esta manera hemos dividido un ángulo recto en tres partes iguales.


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UNIDAD6 CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS I. Construcción de un triángulo rectángulo conocidos un cateto y la hipotenusa 1. 2. 3. 4.

Supongamos que tenemos como dato los lados a y c. Trazamos el lado c cuyos extremos denominaremos A y B. Por el punto A levantamos una perpendicular. Con el compás, tomamos la medida de a y haciendo centro en B trazamos un arco que cortará a la perpendicular en el punto C. 5. Unimos C con B y obtenemos el triángulo solicitado.

II. Construcción de un triángulo rectángulo conocidos sus dos catetos 1. 2. 3. 4.

Supongamos que tenemos como dato los lados b y c. Trazamos b cuyos extremos denominaremos A y C. Por el punto A levantamos una perpendicular. Con el compás tomamos la medida de c y haciendo centro en el punto A, trazamos un arco que con la perpendicular va a formar el punto B. 5. Unimos B con C y obtenemos el triángulo solicitado.


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III. Construcción de un conocidos sus tres lados

triángulo

oblicuángulo

1. Supongamos que tenemos como dato los lados a, b y c. 2. Trazamos el lado c cuyos extremos denominaremos A y B. 3. Con el compás tomamos la distancia de b y haciendo centro en el punto A, trazamos un arco. 4. Luego tomamos la distancia de a y haciendo centro B, trazamos otro arco que con el anterior formará en punto C. 5. Unimos C con los punto A y B obteniéndose el triángulo solicitado.

IV. Construcción de un triángulo oblicuángulo conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos 1. Supongamos que tenemos los lados b y c además del ángulo BETA. 2. Trazamos el lado c cuyos extremos denominaremos A y B. 3. Por el extremo A trazamos el ángulo BETA tal como lo hemos visto en el caso VI de este capítulo. 4. Con el compás tomamos la medida de b y haciendo centro en A, que es el vértice del ángulo, trazamos un arco que corta al lado b en el punto C. 5. Unimos C con B y obtenemos el triángulo solicitado.


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V. Construcción de un triángulo oblicuángulo conocidos dos lados y el ángulo no comprendido entre ellos 1. Supongamos que tenemos los lados a y c y el ángulo BETA. 2. Trazamos el lado c cuyos extremos denominaremos A y B. 3. Por el punto A trazamos el ángulo BETA tal como se ha visto en el caso VI del presente capítulo. 4. Con el compás, tomamos la medida de a y haciendo centro en B, trazamos un arco que cortará al lado del ángulo en el punto C. 5. Unimos C con el punto B y obtenemos el triángulo solicitado.

VI. Construcción de un triángulo oblicuángulo conocidos dos ángulos y el lado comprendido entre ellos 1. Supongamos que tenemos como dato el lado c y los ángulos ALFA y BETA. 2. Trazamos el lado c cuyos extremos denominaremos A y B. 3. Sobre estos puntos trazamos los ángulos ALFA y BETA de acuerdo a lo especificado en el caso VI del presente capítulo. 4. Los lados de los ángulos ALFA y BETA se cortarán en el punto C. 5. Unimos el punto C con los puntos A y B obteniéndose el triángulo solicitado.


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VII. Construcción de un cuadrado conocido su lado 1. 2. 3. 4.

Supongamos que tenemos como dato el lado AB. Trazamos el lado AB. Por los puntos A y B levantamos dos perpendiculares. Con el compás tomamos la medida de AB y haciendo centro en A, trazamos un arco que va a cortar a la perpendicular levantada sobre A en el punto D. 5. Con la misma abertura de compás, ahora hacemos centro en B y trazamos otro arco que va a cortar a la perpendicular que se levanta por el punto B, en el punto C. 6. Unimos D con C y obtenemos el cuadrado solicitado.

VIII. Construir un cuadrado conocida su diagonal 1. Supongamos que tenemos el segmento AC, diagonal del cuadrado y lo trazamos. 2. Trazamos una perpendicular que pase por el punto medio de AC. 3. Esta perpendicular forma con el segmento AC el punto “O”. 4. Haciendo centro en “O” y con una abertura de compás igual a AO, trazamos una circunferencia. 5. Esta circunferencia formará con la perpendicular trazada los puntos B y D. 6. Unimos A, B, C y D y obtenemos el cuadrado solicitado.


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IX. Construir un rectángulo conocidos sus lados 1. 2. 3. 4.

Supongamos que tenemos como dato los lados a y b. Trazamos el lado a cuyos extremos denominaremos A y B Por los puntos A y B, levantamos dos perpendiculares. Con el compás tomamos la medida de “b” y haciendo centro en el punto A trazamos un arco que con la perpendicular formará el punto D. 5. Con la misma abertura de compás, hacemos centro en B y trazamos otro arco sobre la segunda perpendicular, el mismo que formará el punto C 6. Unimos C con D y tenemos el rectángulo solicitado.

X. Construir un rectángulo conocidos su diagonal y un lado 1. Supongamos que tenemos como dato el segmento a, lado del rectángulo y su diagonal, el segmento DB. 2. Trazamos el segmento DB. 3. Levantamos la perpendicular que pase por el punto medio de DB (que lo podemos obtener de acuerdo a lo explicado en el caso I del presente capítulo) cuyo punto de intersección denominaremos O. 4. Haciendo centro en O y con radio igual a OD trazamos una circunferencia que pase por los puntos D y B y que cortará a la perpendicular en los puntos A y C. 5. Con el compás tomamos la medida del lado a y haciendo centro en D y en B respectivamente, trazamos dos arcos que cortarán a la circunferencia en dos puntos. 6. Unimos D con uno de los puntos formados y B con el otro. 7. Trazamos perpendiculares que se levanten por D y B y que se cortan con los puntos hallados en el acápite 5 y habremos hallado el rectángulo solicitado


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XI. Construir un rombo conocidas sus diagonales 1. Supongamos que tenemos como dato los segmentos AC y BD diagonales del rombo. 2. Trazamos AC. 3. Por el punto medio de AC trazamos BD. 4. Unimos los puntos A, B, C y D y hemos obtenido el rombo solicitado.

XII. Construir un rombo conocidos el lado y un ángulo 1. Supongamos que tenemos como dato el segmento AB y el ángulo A. 2. Trazamos el segmento AB. 3. Por el punto A trazamos el ángulo que figura como dato ( de acuerdo a lo establecido en el caso VI) 4. Con el compás tomamos la medida de AB y haciendo centro en A trazamos un arco sobre el lado del ángulo. 5. Este arco formará el punto D. 6. Trazamos una paralela a AB que pase por D. 7. Trazamos una paralelas a AD que pase por B. 8. Ambas paralelas formarán el punto C y se habrá obtenido el rombo solicitado.


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UNIDAD7 CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS INSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA I.

Construcción de un triangulo equilátero 1. Trazamos una circunferencia con radio arbitrario y centro en O. 2. Señalamos sobre la circunferencia un punto que denominaremos 1. 3. Trazamos el segmento O-1 y lo prolongamos hasta cortar la circunferencia en el punto 4. 4. Haciendo centro en 1 con una distancia O-1 trazamos un arco que cortará a la circunferencia en los puntos 2 y 6. 5. Haciendo centro en 4 y con la misma abertura de compás, trazamos otro arco que cortará a la circunferencia en los puntos 3 y 5. 6. Unimos los puntos 2, 4, 6 y 2 y habremos obtenido el triángulo equilátero solicitado.

II. Construcción de un cuadrado 1. Trazamos una circunferencia con centro en O. 2. Trazamos un segmento que pase por O y corte a la circunferencia en dos puntos: 1 y 3. 3. Haciendo centro en 1 y con una abertura de compás 1-3, trazamos un arco. 4. Con la misma abertura de compás pero haciendo centro en 3, trazamos otro arco que con el anterior formarán los puntos N y P. 5. Unimos los puntos N y P con un segmento que cortará a la circunferencia en los puntos 2 y 4. 6. Unimos los puntos 1, 2, 3, 4 y 1 y obtenemos el cuadrado solicitado.


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III. Construcción de un pentágono 1. Trazamos una circunferencia con centro en O. 2. Aplicamos el procedimiento mencionado en el caso II y determinamos sobre la circunferencia los puntos 1, A, B y C. 3. Unimos el punto A con el punto B y el punto 1 con el punto C, ambos segmentosse cortarán en el punto O, centro de la circunferencia. 4. Utilizando el procedimiento descrito en el caso I de la lección 5, ubicamos el punto medio del segmento AO al que denominaremos F. 5. Haciendo centro en F y con una distancia 1-F se traza un arco que cortará a OB en el punto G. 6. Haciendo centro en 1 con una distancia 1-G trazamos un arco que corta a la circunferencia en el punto 5. 7. Haciendo centro en el punto 5 y con una distancia 5-1, trazamos un arco que formará con la circunferencia el punto 4. 8. Con esa misma abertura de compás, hacemos centro en 4 y hallamos el punto 3. 9. Manteniendo la misma abertura de compás, hacemos centro en 3 y hallamos el punto 2. 10. Unimos 1, 2, 3, 4, 5 y 1 y habremos hallado el pentágono solicitado.


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IV. Construcción de un hexágono 1. Ejecutamos los pasos 1, 2, 3, 4 y 5 del caso I de la presente lección 2. Habremos determinado sobre la circunferencia los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y 6. 3. Unimos estos puntos y habremos hallado el hexágono solicitado.

V. Construcción de un heptágono 1. Trazamos una circunferencia con centro en O 2. Sobre la circunferencia señalamos un punto al que denominaremos A. 3. Haciendo centro en A y con radio O-A, trazamos un arco que cortará a la circunferencia en los puntos 1 y C. 4. Se trazan los segmentos 1C y AO. Ambos segmentos se cortarán en el punto que denominaremos D. 5. Haciendo centro en 1 y con radio 1-D, trazamos un arco que cortará a la circunferencia en el punto 7. 6. Con el compás tomamos la distancia 1-7 y haciendo centro en 7 trazamos un arco que cortará a la circunferencia en el punto 6. 7. Manteniendo la misma abertura de compás, hacemos centro en 6 y trazamos un arco que cortará a la circunferencia en el punto 5. 8. Repetimos la operación para hallar los puntos 4, 3 y 2. 9. Unimos los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 1 y habremos obtenido el heptágono solicitado.


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VI. Construcción de un octágono 1. Ejecutamos los pasos 1, 2, 3, 4 y 5 del caso II de la presente lección y hallaremos cuatro puntos sobre la circunferencia a los que denominaremos 1, 3, 5 y 7. 2. Haciendo centro en 1 y con una distancia 1-3 trazamos un arco. 3. Con centro en 3 y la misma abertura de compás trazamos otro arco que con el anterior formarán el punto A. 4. Unimos A con el centro de la circunferencia y prolongamos. Este segmento cortará a la circunferencia en los puntos 2 y 6. 5. Luego, hacemos centro en 3 y con radio 3-5, trazamos un arco. 6. Con la misma abertura de compás y ahora haciendo centro 5 trazamos otro arco que con el anterior va a formar el punto B. 7. Unimos este punto con el centro O de la circunferencia y prolongamos. Este segmento cortará a la circunferencia en los puntos 4 y 8. 8. Unimos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 1 y habremos obtenido el octágono solicitado.

VII. Construcción de un eneágono 1. Trazamos una circunferencia con centro en O y sobre ella trazamos el segmento 1P, que pase por el centro O. 2. Dividimos el segmento 1P en 9 partes iguales siguiendo el procedimiento establecido en el caso V de la lección 5. Esta división formará los puntos A, B, C, D, E, F, G y H 3. Haciendo centro en 1 con radio 1-P trazamos un arco. 4. Con la misma abertura de compás pero haciendo centro en P, trazamos otro arco que con el anterior formará los puntos M y N. 5. Unimos el punto M con los puntos B, D, F y H y prolongamos los segmentos hasta cortar la circunferencia en los puntos 9, 8, 7 y 6 respectivamente. 6. Luego unimos el punto N con los puntos B, D, F y H y prolongamos los segmentos hasta cortar la circunferencia en los puntos 2, 3, 4 y 5 respectivamente. 7. Finalmente unimos los puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 1 y habremos obtenido el eneágono solicitado.


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VIII. Construcción de un decágono 1. Ejecutamos los pasos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 del caso III de la presente lección. 2. Unimos el punto 2 con el centro O y prolongamos hasta cortar la circunferencia en el punto 2’. 3. Ahora, unimos el punto 3 con el centro O y prolongamos hasta cortar la circunferencia en el punto 3’. 4. Luego, unimos el punto 4 con el centro O y prolongamos hasta cortar la circunferencia en el punto 4’. 5. Finalmente, unimos el punto 5 con el centro O y prolongamos hasta cortar la circunferencia en el punto 5’. 6. Unimos los puntos 1, 3’, 5, 2’, 4, C, 3, 5’, 2, 4’ y 1; así habremos hallado el decágono solicitado.


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UNIDAD8 CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS DADO EL LADO IX.

Construcción de un triangulo equilátero 7. Sobre la horizontal, trazamos el lado “L” del triángulo cuyos extremos denominaremos A y B. 8. Haciendo centro en A y con una abertura de compás A-B trazamos un arco. 9. Con la misma abertura de compás pero haciendo centro en B, trazamos otro arco que con el anterior formará en punto C 10. Unimos C con A y B y obtenemos el triangulo solicitado.

X. Construcción de un cuadrado 7. Trazamos la horizontal y sobre ella el lado “L” del cuadrado, cuyos extremos denominaremos A y B. 8. Utilizando las escuadras, levantamos dos perpendiculares por los puntos A y B respectivamente. 9. Haciendo centro en A y con una abertura de compás A-B trazamos un arco que formará, con la perpendicular levantada por el punto A, el punto D. 10. Con la misma abertura de compás pero haciendo centro en B, trazamos otro arco que formará, con la perpendicular levantada por el punto B, el punto C. 11. Unimos C con D y obtenemos el cuadrado solicitado.


54

XI. Construcción de un pentágono 11. Trazamos la horizontal y sobre ella el lado “L” del pentágono cuyos extremos denominaremos A y B. 12. Por el punto B, prolongamos el lado del pentágono sobre la horizontal. 13. Trazamos la perpendicular que pasa por el punto medio del segmento AB. 14. Por el punto B levantamos otra perpendicular. 15. Haciendo centro en B y con una abertura de compás A-B, trazamos un arco que va a cortar a la perpendicular levantada por el punto B en el punto D. 16. Haciendo centro en el punto C y con radio C-D, trazamos un arco que va a cortar a la prolongación del lado del pentágono sobre la horizontal en E. 17. Haciendo centro en el punto A y con una abertura de compás A-E, trazamos un arco que va a formar, con el arco trazado en el paso 5 y con la perpendicular levantada por el punto medio de AB, los puntos F y G respectivamente. 18. Con la misma abertura de compás pero haciendo centro en B, trazamos un arco. 19. Haciendo centro en A y con una abertura de compás A-B, trazamos un arco que con el anterior formará el punto H. 20. Unimos los puntos A, H, G, F y B y hallaremos el pentágono solicitado.

XII. Construcción de un hexágono 4. Hacemos centro en el punto O y con radio igual al lado de hexágono, trazamos una circunferencia. 5. Procedemos con en el caso de construcción de un hexágono circunscrito en una circunferencia.


55

XIII. Construcción de un heptágono 10. Trazamos una horizontal y sobre ella el lado “L” del heptágono cuyos extremos denominaremos A y B. 11. Por el punto B levantamos una perpendicular. 12. Haciendo centro en A y con una abertura de compás A-B, trazamos un arco. 13. Con la misma abertura de compás, hacemos centro en B y trazamos otro arco, que con el anterior formarán el punto C. 14. Trazamos la bisectriz “b” del ángulo CAB que formará, con la perpendicular que se levanta por el punto B, le punto D. 15. Levantamos la perpendicular “m” por el punto medio de AB. 16. Hacemos centro en A y con una abertura de compás A-D, trazamos un arco que cortará a la perpendicular “m” en el punto O. 17. Haciendo centro en O y con una abertura de compás O-A trazamos una circunferencia. 18. Haciendo centro en A, y con una abertura de compás A-B, trazamos un arco que cortará a la circunferencia en el punto 1. 19. Con la misma abertura de compás, hacemos centro en 1 y trazamos un arco que cortará a la circunferencia en el punto 2 y así sucesivamente hasta hallar los puntos 3, 4 y 5. 20. Unimos los puntos A, 1, 2, 3, 4, 5 y B y hallaremos el heptágono solicitado.


56

XIV. Construcción de un octágono 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

19.

Trazamos una horizontal y sobre ella el lado “L” del octágono cuyos extremos denominaremos A y B. Levantamos la perpendicular “m” por el punto medio de AB y dos perpendiculares mas por los punto A y B respectivamente. Haciendo centro en A con una abertura de compás A-B trazamos un arco que cortará a la perpendicular levantada por el punto A en el punto D. Con la misma abertura de compás, pero haciendo centro en B, trazamos otro arco que cortará a la perpendicular levantada por el punto B en el punto C. Unimos C con D y obtenemos el cuadrado ABCD. Unimos los puntos B con D encontrando la diagonal que corta a la perpendicular “m” en el punto E. Haciendo centro en E y con una abertura de compás igual a E-A, trazamos una circunferencia que cortará a la perpendicular “m” en el punto O. Haciendo centro en O y con una abertura de compás O-A, trazamos otra circunferencia. Haciendo centro en A, y con una abertura de compás A-B, trazamos un arco que cortará a la circunferencia en el punto 1. Con la misma abertura de compás, hacemos centro en 1 y trazamos un arco que cortará a la circunferencia en el punto 2 y así sucesivamente hasta hallar los puntos 3, 4, 5 y 6. Unimos los puntos A, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y B y hallaremos el octágono solicitado.


57

XV. Construcción de un eneágono 8. Trazamos una horizontal y sobre ella el lado “L” del eneágono. 9. Haciendo centro en A y con una abertura de compás A-B trazamos un arco. 10. Con la misma abertura de compás, hacemos centro en B y trazamos otro arco que con el anterior formarán el punto C. 11. Unimos A con C y B con C prolongando los segmentos 12. Trazamos la bisectriz del ángulo CAB 13. Luego, por el punto medio de AB levantamos una perpendicular que con la bisectriz del ángulo CAB formará el punto D. 14. Haciendo centro en C y con una abertura de compás C-D, trazamos una circunferencia que cortará a los segmentos trazados en el paso 4 en los puntos E y F. 15. Unimos E con F y hallamos sobre la perpendicular trazada por el punto medio de AB, el punto O. 16. Haciendo centro en O y con una abertura de compás OA, trazamos una circunferencia. 17. Haciendo centro en A, y con una abertura de compás A-B, trazamos un arco que cortará a la circunferencia en el punto 1. 18. Con la misma abertura de compás, hacemos centro en 1 y trazamos un arco que cortará a la circunferencia en el punto 2 y así sucesivamente hasta hallar los puntos 3, 4, 5, 6 y 7. 19. Unimos los puntos A, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y B y hallaremos el eneágono solicitado.


58

XVI. Construcción de un decágono 7. Trazamos una hor izontal y sobre ella el lado “L” del decágono cuyos extremos denominaremos A y B. 8. Sobre la base del lado, construimos un pentágono de vértices A, 2, O, 1 y B. 9. Haciendo centro en O y con una abertura de compás OA, trazamos una circunferencia. 10. Haciendo centro en A, y con una abertura de compás A-B, trazamos un arco que cortará a la circunferencia en el punto 3. 11. Con la misma abertura de compás, hacemos centro en 3 y trazamos un arco que cortará a la circunferencia en el punto 4 y así sucesivamente hasta hallar los puntos 5, 6, 7, 8, 9 y 10. 12. Unimos los puntos A, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y B y hallaremos el decágono solicitado.


59

UNIDAD9 CONSTRUCCIÓN DE CURVAS

I. Dados tres puntos circunferencia

trazar

un

arco

o

una

1. Supongamos que tenemos los puntos A, B y C. 2. Unimos mediante una recta los puntos A con B y luego unimos B con C. 3. Trazamos la perpendicular que pase por el punto medio de los segmentos AB y BC siguiendo el procedimiento establecido en el caso I de la lección 5. 4. Ambas perpendiculares se unirán en el punto O. 5. Hacemos centro en O y con una abertura de compás O-A, trazamos el arco o la circunferencia solicitada.

II. Trazar dos tangentes a un círculo desde un punto exterior al mismo 1. Supongamos que tenemos como dato el círculo con centro “O” y el punto P externo a este. 2. Unimos el punto P con el centro O del círculo generándose el segmento OP. 3. Ubicamos el punto medio del segmento OP (tomamos como base el procedimiento tratado en el caso I de la lección 5). 4. A este punto medio se le denominará el punto M. 5. Haciendo centro en M y con una abertura de compás igual a la distancia M-P, trazamos una circunferencia que cortará al círculo (dato del problema) en los puntos T(1) y T(2). 6. Unimos T(1) con P y T(2) con P y obtenemos las tangentes solicitadas.


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III. Trazar una tangente a un círculo que pase por un punto dado del mismo 1. Supongamos que tenemos como dato el círculo con centro en O y el punto P sobre la circunferencia. 2. Trazamos el segmento OP. 3. En un punto cualquiera de la circunferencia, señalamos el punto M (en un cuadrante menor a 90º desde P) 4. Haciendo centro en M y con una distancia M-P trazamos un arco y que cortará al segmento OP en el punto A. 5. Unimos el punto A con el punto M y prolongamos el segmento hasta cortar el arco trazado en el paso anterior en el punto B. 6. Unimos el punto B con el punto P y habremos trazado la tangente solicitada


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IV. Trazar una recta circunferencias

tangente

exterior

a

dos

1. Supongamos que tenemos las circunferencias con centro en A y B y radios R 1 y R2 respectivamente. 2. Haciendo centro en A y con radio R 3 (R3 = R1 – R2) trazamos una circunferencia. 3. Unimos los centros A y B y hallamos el punto medio de AB al que denominaremos “O”. 4. Haciendo centro en O y con radio O-A trazamos un arco que formará sobre la circunferencia de radio R 3 el punto T. 5. Unimos el centro B con el punto T y obtendremos la tangente a la circunferencia de radio R 3. 6. Unimos el centro A con el punto T y prolongamos hasta formar sobre la circunferencia de radio R 1 el punto T1. 7. Por el centro B trazamos la paralela a AT 1 obteniendo sobre la circunferencia de radio R2, el punto T2. 8. Unimos T1 y T2 y obtenemos la recta tangente a las circunferencias.

V. Trazar una recta circunferencias

tangente

interior

a

dos

1. Supongamos que tenemos dos circunferencias con centros en A y B y radios R1 y R2 respectivamente. 2. Haciendo centro en A y con radio R3 (R3 = R1 + R2) trazamos una circunferencia. 3. Unimos los centros A y B y hallamos el punto medio de AB al que denominaremos “O”. 4. Haciendo centro en O y con radio O-A trazamos un arco que formará sobre la circunferencia de radio R 3 el punto T. 5. Unimos el centro B con el punto T y obtendremos la tangente a la circunferencia de radio R 3. 6. Unimos A y T y formamos el punto T2 sobre la circunferencia de centro R 1. 7. Por el punto B trazamos una paralela a AT formando sobre la circunferencia de radio R2, el punto T1. 8. Unimos T1 y T2 y obtenemos la recta tangente a las circunferencias.


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VI. Trazar el empalme de dos rectas paralelas 1. Supongamos que tenemos como datos las rectas m y n. 2. Por uno de sus extremos trazamos una perpendicular que corte a ambas rectas en los puntos A y B. 3. Ubicamos el punto medio del segmento AB al que denominaremos O. Para esto utilizamos el procedimiento establecido en el caso I de la lección 5. 4. Haciendo centro en O con una distancia O-A trazamos un arco que una los puntos A y B y habremos obtenido empalme solicitado.

V.

Trazar un arco tangente a dos rectas que forman un ángulo recto 1. Supongamos que tenemos las rectas AB y AD y el radio R del arco tangente a trazar. 2. Haciendo dentro en A y con radio R, trazamos un arco que cortará a las rectas AD y AB en los puntos T1 y T2 respectivamente. 3. Con el mismo radio y haciendo centro en T 1 y T2 respectivamente, trazamos dos arcos que al cruzarse formarán el punto C. 4. Haciendo centro en C y con radio R, se traza el arco tangente solicitado.


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VI.

Trazar un arco tangente a dos rectas que forman un ángulo menor a 90º 1. 2. 3. 4.

Supongamos que tenemos las rectas AB y AC y el radio R 1 del arco por trazar. Con una distancia igual a R1, se trazan paralelas a AB y AC respectivamente. Dichas paralelas se cortarán en el punto “O”. Haciendo centro en O y con radio R1 se traza el arco tangente.

NOTA: Si el ángulo es mayor a 90º se procede como en el caso anterior.

VII.

Trazar un arco tangente a una recta y a un arco dados de tal manera que este resulte interior al arco por trazar 1. Supongamos que tenemos como dato el arco con centro en “O” y radio R, además la recta MN y el punto T. 2. Por el punto T levantamos una perpendicular a la recta MN. 3. A partir de T y sobre la perpendicular trazada, se lleva una distancia igual a R, formándose el punto A. 4. Unimos el punto O con el punto A y trazamos la perpendicular que pasa por el punto medio de OA que va a cortar a la perpendicular levantada en el paso 2 en el punto O 1. 5. Haciendo centro en O1 y con radio O 1T, trazamos el arco tangente solicitado. Universidad Inca Garcilaso de la Vega Facultad de Ing. Administrativa e Industrial Fundamentos Teóricos de Dibujo en Ingeniería y Geometría Descriptiva Ing. Enrique Pardo Esquerre

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VIII.

Trazar el empalme de dos rectas convergentes 1. Supongamos que tenemos como dato las rectas r 1 y r 2. 2. Por los puntos extremos de r 1 y r 2 a los que denominaremos T 1 y T2 respectivamente, trazamos dos perpendiculares. 3. La intersección de ambas perpendiculares formarán el punto O. 4. Haciendo centro en O y con radio O-T 1 trazamos un arco que pase por los puntos T1 y T2. 5. Ese arco es el empalme solicitado.

IX. Empalmar dos rectas paralelas con arcos tangentes de curvatura invertida de igual radio 1. Supongamos que tenemos como dato las rectas AB y CD. 2. Unimos los puntos B y C mediante un segmento. 3. Ubicamos el punto medio del segmento BC al que determinaremos T (para esto utilizamos el procedimiento establecido en el caso I de la lección 5. 4. A continuación trazamos la perpendicular que pasa por el punto medio de los segmentos BT y CT 5. Desde B trazamos una perpendicular al segmento AB y que corte a la perpendicular que pasa por el punto medio de BT en el punto O 1. Universidad Inca Garcilaso de la Vega Facultad de Ing. Administrativa e Industrial Fundamentos Teóricos de Dibujo en Ingeniería y Geometría Descriptiva Ing. Enrique Pardo Esquerre

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6. Luego desde el punto C trazamos una perpendicular al segmento CD y que corte a la perpendicular que pasa por el punto medio de TC en el punto O 2. 7. Haciendo centro en O 1 y con una abertura de compás O 1-B trazamos un arco desde el punto B hasta el punto T. 8. A continuación hacemos centro en O 2 y con una abertura de compás O 2-C trazamos un arco desde el punto C hasta el punto T. 9. De esta manera habremos obtenido el empalme solicitado

X. Empalmar dos rectas no paralelas con arcos tangentes de curvatura invertida de igual radio 1. Sean las rectas AB y CD. 2. Por los puntos B y C se trazan dos perpendiculares. 3. Desde el punto B y sobre la perpendicular trazada en el paso anterior, llevamos la medida de R con lo que se obtiene el punto O 1. 4. Desde el punto C y sobre la perpendicular trazada en el paso 2, llevamos la medida de R con lo que se obtiene el punto E. 5. Luego unimos O 1 con E y trazamos la perpendicular que pasa por su punto medio el mismo que forma con la perpendicular levantada por C el punto O 2. 6. A continuación unimos los puntos O1 y O2. 7. Hacemos centro en O 1 y con una abertura de compás O 1-B trazamos un arco hasta el segmento O 1O2, formando el punto T. 8. Luego, hacemos centro en O 2 y con una abertura de compás O 2-C trazamos otro arco desde C hasta T. 9. De esta manera habremos obtenido el empalme solicitado.


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XI. Trazar el empalme de dos circunferencias dadas mediante un arco de radio también dado 1. Supongamos que tenemos como dato dos circunferencias de centro A y B y sus radios (R 1 y R2) respectivamente además de un radio R. 2. Haciendo centro en A y con radio R + R 1 trazamos un arco. 3. Luego, hacemos centro B y con radio R + R 2 trazamos otro arco que con el anterior forma el punto O. 4. Unimos el punto O con los puntos A y B formando sobre las circunferencias los puntos de tangencia T 1 y T2. 5. Hacemos centro en O y con una abertura de compás igual a O-T 1 trazamos un arco que será el empalme solicitado


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XII. Trazar el empalme de dos circunferencias que resulten interiores al arco por trazar cuyo radio es conocido 1. Supongamos que tenemos dos circunferencias de centros A y B, radios R 1 y R2 respectivamente además de un radio R. 2. Determinamos los radios R 3 y R4 que resultan de restar R – R1 y R – R2 respectivamente. 3. Haciendo centro en A y con radio R3 trazamos un arco. 4. Luego, hacemos centro B y con radio R 4 trazamos otro arco que con el anterior va a formar el punto O. 5. Unimos el punto O con los puntos A y B y prolongamos hasta cortar las circunferencias en los puntos T 1 y T2 respectivamente. 6. Haciendo centro en O y con radio R trazamos un arco que unirá los puntos T 1 y T2 y obtendremos el empalme solicitado.

XIII. Enlazar el extremo de la recta AB con los puntos C, D y E mediante arcos tangentes 1. Unimos los puntos B con C, C con D y D con E y trazamos las perpendiculares que pasen por los puntos medios de los segmentos BC, CD y DE 2. Por el punto B se levanta una perpendicular a la recta AB que corta a la perpendicular que pasa por el punto medio de la recta BC en el punto O. 3. Unimos el punto O con el punto C y prolongamos hasta cortar la perpendicular que pasa por el punto medio de la recta CD en el punto O 1. 4. Luego unimos el punto O 1 con el punto D y prolongamos hasta cortar la perpendicular que pasa por el punto medio de la recta DE en el punto O 2. 5. Haciendo centro en O y con una abertura de compás O-B, trazamos un arco desde el punto B hasta el punto C. 6. Haciendo centro en O 1 y con una abertura de compás O 1-C, trazamos un arco desde el punto C hasta el punto D. 7. Haciendo centro en O 2 y con una abertura de compás O 2-D, trazamos un arco desde el punto D hasta el punto E y habremos enlazado la recta y los puntos dados.


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XIV. Enlazar los puntos T y T 1 de las rectas dadas mediante dos arcos tangentes y radio de uno de ellos 1. 2. 3.

Supongamos que tenemos dos rectas cuyos extremos son los puntos T y T1. Por el punto T se traza una perpendicular a la recta. Sobre esa perpendicular, se lleva una distancia igual al radio del arco con lo que se forma el punto O. 4. Haciendo centro en O y con una abertura de compás O-T se traza un arco. 5. Por el punto T1 se traza una perpendicular a la otra recta presentada como dato del problema. 6. Desde T1 se toma una distancia igual al radio del arco que es dato del problema y se encuentra el punto A. 7. Unimos el punto A y el punto O. 8. Trazamos la perpendicular que pasa por el punto medio del segmento AO la misma que proyectándola forma, con la perpendicular levantada por T 1, el punto O1. 9. Unimos el punto O con el punto O 1, este segmento va a formar con el arco trazado en el paso 4, el punto T 2. 10. Haciendo centro en O1 y con una distancia O 1 –T1 trazamos un arco que unirá el punto T1 y el punto T 2 y habremos enlazado los puntos T y T 1.


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XV. Construir una involuta de un cuadrado 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Tenemos las rectas R1, R2, R3 y R4, los cuales forman los puntos 1, 2, 3 y 4. Haciendo centro en 1 y con una abertura de compás 1-4 trazamos un arco hasta la recta R3 con lo que se formará el punto A. Haciendo centro 2 y con una abertura de compás 2-A, trazamos un arco hasta la recta R2, formándose el punto B. Haciendo centro en 3 y con una abertura de compás 3-B se traza un arco hasta la recta R4 con lo que se formará el punto C. Haciendo centro 4 y con una abertura de compás 4-C trazamos un arco hasta la recta R1 formándose el punto D. Este procedimiento se sigue hasta completar el requerimiento del problema.


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UNIDAD10 PROYECCIONES I.

Proyecciones de un punto Partamos definiendo el concepto de proyectar. Proyectar es plasmar los objetos, en su forma y dimensiones reales, sobre un plano. Las proyecciones están compuestas por seis elementos: 1.

Foco Es el punto desde donde se emite el rayo visual que contiene a las rectas (visual y proyectante).

2.

Recta visual Es la línea por se considera que transita la mirada del observador hasta encontrar el objeto.

3.

Objeto Cuerpo o volumen.

4.

Recta proyectante Es la línea por donde se fija la imagen en el plano.

5.

Plano Superficie bi dimensional sobre la cual se proyecta la imagen de un objeto.

6.

Proyección Imagen que resulta de proyectar los puntos que se observan del objeto.


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II. Tipos de proyecciones Las proyecciones se clasifican en dos grandes grupos 1.

Proyección cónica Es aquella en la cual las rectas visuales parten de un foco cercano al objeto formando un haz divergente de rayos visuales.

2.

Proyección cilíndrica Es aquella en la cual se supone que el foco se ubica en el infinito, de modo que el haz de rayos son paralelos cuando llegan a proyectar la imagen. A su vez, estas se clasifican en: a)

Proyección Oblicua Es aquella en la cual la recta proyectante llega al plano en un ángulo diferente a los 90°.

b)

Proyección Ortogonal Es aquella en la cual la recta proyectante llega al plano en forma perpendicular.

III. Principales elementos de un sólido Como lo hemos visto y explicado en la página 27 del presente manual, los principales elementos de un sólido son: cara, arista y vértice, tal y como se muestra es la figura siguiente:


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IV. Sistemas de vistas DIN y ASA Para plasmar las vistas de un objeto sobre el papel, se utilizan dos métodos de las proyecciones ortogonales, el método del primer cuadrante y el método del tercer cuadrante. En el método del primer cuadrante, llamado también método europeo o sistema de vistas DIN, el objeto se encuentra entre el observador y el plano de proyección. En el método del tercer cuadrante, llamado también método americano o sistema de vistas ASA, el plano de proyección se encuentra entre el observador y el objeto.

Vistas de un sólido en el primer cuadrante o sistema DIN


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Vistas de un sólido en el tercer cuadrante o sistema ASA

Para efectos de nuestro trabajo y por convención, utilizaremos el sistema americano de vistas o sistema ASA.

V. Planos principales de proyección Existen tres posiciones claramente definidas que se conocen como los planos principales de proyección. El primero es el plano horizontal que es el se utilizará para determinar la proyección cuando el observador está encima del objeto. El segundo es el plano frontal que se empleará cuando el observador está frente al objeto. El tercero es el plano de perfil que se utilizará cuando el observador está ubicado al lado derecho del objeto. Como se puede observar, estos planos son perpendiculares entre sí.


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Para trabajar con vistas de sólidos, debemos tener siempre presente dos aspectos: a) Qué la vista horizontal se obtiene si imaginariamente nos ubicamos sobre el objeto; la vista frontal se obtiene si es que imaginariamente nos ubicamos frente al objeto y finalmente la vista de perfil se obtiene si es que nos ubicamos al costado derecho del objeto. b) Qué se debe prolongar mediante las líneas de proyección, todos los vértices del sólido, teniendo cuidado de proyectar tanto los vértices que se ven como los que no se ven. Estas líneas de proyección deben ser perpendiculares a los planos y siempre se representan por líneas continuas.


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c) Qué los planos siempre se ubican en el siguiente orden

VI. Depurado de un punto En la figura continua, se muestran las proyecciones de un punto A ubicado en el espacio sobre los planos Horizontal, Frontal y Perfil así como las líneas de proyección.


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Estas proyecciones se denominan A H, A F A Psi se ubican en los planos Horizontal, Frontal y de Perfil, respectivamente. Luego se efectúa el giro de los planos Horizontal (hacia arriba) y Perfil (hacia adelante), como en el punto anterior, hasta que ocupen la misma dirección del plano frontal. De esta manera se obtiene el depurado de un punto.

VII. Ubicación de un punto por coordenadas Supongamos que tenemos el punto A, ubicado con una orientación N45°O, a una distancia “d” del eje de planos y a una distancia “d 1” debajo del eje HF. Con el propósito de determinar la ubicación de un punto en los planos de proyección, se comienza trabajando en el plano horizontal. Así, en el cruce de los ejes Horizontal-Frontal y Frontal-Perfil se ubica imaginariamente una brújula, a partir de ahí abrimos desde el Norte, 45° hacia el Oeste (dato del problema) y sobre esa línea de orientación medimos la distancia “d” (también dato del problema). Este procedimiento se utiliza solo en el plano H ya que como se sabe la brújula solo se puede utilizar en posición horizontal.


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Luego trabajamos con los datos del plano frontal en donde determinaremos la distancia desde el eje Horizontal-Frontal hasta la ubicación del punto. En el ejemplo tenemos el punto A F ubicado a una distancia “d 1” desde el eje que divide los planos Horizontal y Frontal hacia abajo.

Con estos datos podemos ubicar la proyección del punto en el plano de Perfil. Para esto, desde el punto A H trazamos una línea de proyección paralela al eje Horizontal-Frontal hasta la proyección del eje Frontal –Perfil, a partir de ahí bajamos la línea de proyección en un ángulo de 45° hacia el plano de perfil. Desde el plano A F, trazamos una línea de proyección hacia el plano de Perfil en forma paralela al eje Horizontal-Frontal. Universidad Inca Garcilaso de la Vega Facultad de Ing. Administrativa e Industrial Fundamentos Teóricos de Dibujo en Ingeniería y Geometría Descriptiva Ing. Enrique Pardo Esquerre

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En el cruce de ambas líneas de proyección de ubicará el punto A P.

Es necesario tener presente que la distancia desde el eje HF hacia atrás se denomina alejamiento, la distancia desde el eje HF hacia abajo se denomina cota y la distancia desde el eje FP hacia la izquierda se denomina apartamiento. Para entender mejor estos conceptos presentamos los gráficos siguientes:


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VIII. Ubicación de dos puntos por coordenadas Partimos del ejemplo planteado en al paso VII y supongamos que debemos ubicar el punto B, el mismo que se encuentra ubicado S45°E a una distancia “d 3“ del punto A y a una distancia “d4” debajo del eje HF. En ese sentido tenemos ubicado el punto A en los tres principales planos de proyección. Trasladamos nuestra brújula imaginaria desde el eje de planos hasta colocarla sobre el punto A H.

Luego y de acuerdo al dato del problema, abrimos desde el Sur 45° hacia el Este y sobre esa línea de orientación medimos desde A H, la distancia “d 3” para ubicar el punto BH. Universidad Inca Garcilaso de la Vega Facultad de Ing. Administrativa e Industrial Fundamentos Teóricos de Dibujo en Ingeniería y Geometría Descriptiva Ing. Enrique Pardo Esquerre

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A partir del punto B H bajamos una línea de proyección hacia el plano Frontal. Está línea de proyección debe ser perpendicular al eje Horizontal-Frontal. Sobre esa línea de proyección y desde el eje Horizontal-Frontal, llevamos la distancia “d 4” hacia abajo.

La posición de B P se halla de forma similar a lo estipulado para hallar el punto A P en el paso VII de la presente lección.

IX. Posiciones relativas de dos puntos Tomando en cuenta las proyecciones ortogonales de dos puntos sobre los planos principales de proyección, se puede determinar las siguientes ubicaciones: a) b) c)

En el plano horizontal: adelante, atrás, izquierda y derecha En el plano frontal: arriba, abajo, izquierda y derecha En el plano de perfil: arriba, abajo, adelante y atrás Universidad Inca Garcilaso de la Vega Facultad de Ing. Administrativa e Industrial Fundamentos Teóricos de Dibujo en Ingeniería y Geometría Descriptiva Ing. Enrique Pardo Esquerre

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De esta manera podemos establecer cual de los puntos se encuentra ubicado adelante o atrás, arriba o abajo, a la derecha o izquierda de otro punto. Para mayor ilustración veamos la siguiente figura:

Se puede determinar que: En el plano Horizontal, el punto A se encuentra adelante del punto B, es decir el punto A se encuentra más cerca del plano frontal; además el punto A se encuentra a la izquierda de B. En el plano Fontal se observa que el punto A se encuentra arriba del punto B y al igual que en la vista horizontal, A se encuentra a la izquierda de B. En el plano de Perfil se observa que el punto A se encuentra arriba del punto B; además, el punto A se encuentra adelante del punto B.


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UNIDAD11 PROYECCIÓN DE RECTA I.

Proyección ortogonal de una recta Una recta está definida por dos puntos contenidos en ellas. Es así que para tener las proyecciones de una recta, solo es necesario tener las proyecciones de dos puntos.

a) Posiciones particulares de una recta i.

Vertical Es una recta perpendicular al plano horizontal de proyección. En la vista horizontal se ve como un punto, decir se tiene su vista de punta. En los planos frontal y de perfil se observa en verdadera magnitud.

ii.

Normal Es una recta perpendicular al plano frontal de proyección. Su vista de punta se tendrá en la vista frontal. E n los planos horizontal y de perfil se observa en verdadera magnitud.


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iii.

Perpendicular al plano de perfil Su vista de punta estará en la vista de perfil. En los planos horizontal y frontal se observa en verdadera magnitud.

iv.

Horizontal Esla recta que se encuentra paralela al plano horizontal, en éste se ve en verdadera magnitud.

v.

Frontal Es la recta que se encuentra paralela al plano frontal, en éste se ve en verdadera magnitud.


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vi.

De perfil Es la recta que se encuentra paralela al plano de perfil, en éste se ve en verdadera magnitud.

b) Características de las rectas i.

Verdadera Magnitud Se dice que una recta está en su verdadera magnitud cuando su representación en el plano de proyección la presenta en su dimensión real. Entonces una recta horizontal se proyecta en su verdadera magnitud sobre el plano horizontal de proyección, igualmente una recta frontal se presenta en su verdadera magnitud en el plano de proyección frontal y una recta de perfil se representa en su verdadera magnitud en el plano de perfil. Si una recta no ocupa una posición particular como las señaladas líneas arriba se tendrá que recurrir a un plano auxiliar paralelo a la línea de referencia. En el siguiente gráfico se presenta la recta AB en los planos horizontal y frontal.


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Para poder ver observar la recta en su verdadera magnitud, trazamos primero el plano auxiliar 1. Para esto trazamos una paralela a la recta proyectada en el plano frontal. Esta paralela la ubicamos a una distancia cualquiera de A FBF.

Luego, desde A F y BF trazamos dos líneas de proyección en forma perpendicular al eje Horizontal-1. A continuación tomamos la distancia desde el punto A H hasta el eje Horizontal-Frontal y la trasladamos desde el eje Horinzontal-1 sobre la línea de proyección en el plano auxiliar 1, con lo que ubicamos el punto A1. Paso seguido, tomamos la distancia desde B H hasta el eje HorizontalFrontal y la trasladamos desde el eje Horizontal-1 sobre la línea de proyección en el plano auxiliar 1 con lo que ubicamos el punto B 1. Si planteamos una regla general para llevar las medidas de los puntos hacia el plano auxiliar, debemos tomar las medidas del plano sub siguiente. La imagen proyectada en el plano auxiliar 1 es la vista en verdadera magnitud de la recta AB.


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ii.

Orientación Es la posición que ocupa una recta con respecto a los ejes cardinales. Solo podrá tomarse con respecto al plano horizontal ya que en este plano la recta es vista desde la parte superior que es a su vez, la forma como se observa la brújula. Para determinar la orientación de una recta debemos primero determinar el origen de la misma. El origen viene dado en el planteamiento del problema. Así si nos dicen que se tiene la recta AB, determinamos que el origen es el punto A; si nos dicen que se tiene la recta BA, determinamos que el origen de la misma es el punto B. El origen de una recta se determina por el primer punto con que se denomina a la misma. A continuación ubicamos ubicamos sobre el origen de la la recta una brújula. brújula. A partir de ahí medimos cuanto se abre el ángulo á ngulo de orientación desde el Norte o Sur hacia el Este o el Oeste. En el ejemplo que se presenta a continuación se puede determinar que el ángulo se abre 60° desde el Norte hacia el Este y se representa como N60°E.


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iii.

Pendiente La pendiente de una recta es el ángulo que forma ésta con el plano horizontal. La pendiente puede ser positiva o negativa ya que la recta puede ir hacia arriba o hacia abajo. El signo de la pendiente viene dado siempre por la dirección del origen hacia el final de la recta. La pendiente de una recta se puede apreciar solo cuando ésta se encuentra en verdadera magnitud con respecto al plano horizontal. Para hallar la pendiente de una recta se debe primero llevar la recta a VM siguiendo el procedimiento establecido en el acápite i de la sección b) de la presente lección. A continuación, se traza una paralela al eje Horizontal-1 Horizontal-1 que pase por el inicio de la recta en VM. El ángulo formado por la paralela trazada en el punto anterior y la recta en VM es la pendiente de la recta. Para determinar si la pendiente es positiva o negativa, nos trasladamos al plano F y ubicamos el origen y el final de la recta. Si el final de la recta está arriba del origen, entonces la pendiente es positiva. Si el final de la recta se ubica debajo del origen de la misma, entonces decimos que la pendiente es negativa. En la figura tenemos que ALFA es la pendiente de la recta AB y esta a su vez es e s una pendiente positiva


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c) Pares de rectas i. Rectas paralelas Para que dos rectas sean paralelas en el espacio, sus proyecciones sobre cualquier plano deberán ser también paralelas.

ii.

Rectas perpendiculares Dos rectas son perpendiculares en el espacio cuando al trasladar una de ellas paralelamente a sí misma, corta a la otra en un ángulo de 90º. Sin embargo, cuando tengamos una proyección de dos rectas perpendiculares, no necesariamente se verán formando un ángulo de 90º. Por ejemplo, en la figura se siguiente se tiene un libro, sabemos que sus cuatro lados forman ángulos rectos, pero en la proyección mostrada, estos ángulos se ven distorsionados de tal manera que ninguno mide 90º (dos ángulos se ven como agudos y dos se ven como ángulos obtusos)


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Para que el ángulo formado por dos rectas perpendiculares se proyecte midiendo 90º es condición indispensable y necesaria que por lo menos una de ellas se encuentre en verdadera magnitud.

iii.

Rectas que se cortan Se dice que dos rectas se cortan cuando poseen un punto en común. En todas las proyecciones, las rectas deben cortarse en el mismo punto de intersección.


90

iv.

Rectas que se cruzan Se dice que dos rectas se cruzan en el espacio cuando no se cortan y no son paralelas entre sí.

Como puede apreciarse, cuando dos rectas se cruzan es difícil determinar cuál de ellas está arriba, abajo, adelante o atrás.

d) Visibilidad de rectas que se cruzan Si dos rectas se cruzan en el espacio, una de ellas estará sobre la otra y además una de ellas estará delante de otra. En la vista horizontal será visible la recta que esté encima, mientras que en la vista frontal será visible la que se encuentra adelante. Para que una recta oculte a otra será necesario que estas tengan cierto ancho, es por eso que para que se pueda apreciar la visibilidad, se trabajará con tuberías. En el gráfico que se presenta a continuación, se puede apreciar que la tubería AB se encuentra arriba de la tubería CD por lo que el cruce será visible en el plano horizontal.


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En el siguiente gráfico, la tubería XY está delante de la tubería MN, en consecuencia, el cruce será visible en el plano f rontal.

Finalmente, en el siguiente gráfico, se presenta una combinación de los anteriores casos. La tubería RS está encima de la tubería KL y al mismo tiempo se encuentra detrás por lo que el cruce se puede apreciar tanto en el plano horizontal como en el de perfil.


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UNIDAD 12 PROYECCIÓN DE PLANO I.

Determinación de un plano Un plano queda determinado en cualquiera de las siguientes formas: a) Por tres puntos no situados en línea recta b) Por un punto y una recta c) Por dos rectas que se cortan d) Por dos rectas paralelas e) Por su orientación y pendiente f) Por figuras geométricas como un triángulo o un paralelogramo En las figuras que se presentan a continuación, tenemos cuatro casos de determinación de planos: rectas que se cortan, rectas paralelas, por un triángulo y por un paralelogramo.


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II. Rectas contenidas en un plano Para que una recta esté contenida en un plano, deberá cortar a dos rectas que se encuentren contenidas dentro del plano. Así, tenemos el plano ABC y la recta MN. Se dice que la recta MN está contenida en el plano ABC por que corta a dos rectas contenidas en el plano (la recta AB y la recta BC) en los puntos X e Y.

III. Puntos contenidos en un plano Para que un punto se encuentre contenido dentro de un plano, deberá estar contenido también en una recta perteneciente a ese plano.


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IV. Posiciones particulares de un plano a) Plano horizontal Es el que se encuentra ubicado en forma paralela al plano horizontal de proyección. En el plano horizontal se proyecta en verdadera magnitud y en el plano frontal y de perfil se le ve de canto y paralelo a la línea de tierra.

b) Plano frontal Es el que se encuentra ubicado en forma paralela al plano frontal de proyección. En el plano frontal se proyecta en verdadera magnitud y en el plano horizontal y de perfil se le ve de canto.

c) Plano de perfil Es el que se encuentra ubicado en forma paralela al plano de perfil de proyección. En el plano de perfil se proyecta en verdadera magnitud y en los planos horizontal y frontal se proyecta de canto.


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d) Plano vertical Es perpendicular al plano horizontal de proyección. Se le ve de canto en la vista horizontal.

e) Plano normal Es perpendicular al plano frontal de proyección. Se le ve de canto en la vista frontal.

f) Plano perpendicular al plano de perfil Es perpendicular al plano de perfil de proyección. Se le ve de canto en la vista de perfil.

V. Vista de canto de un plano Para que un plano se proyecte de canto, el mismo deberá verse como si fuera una recta.


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Para entender este procedimiento supongamos que tenemos el plano ABC y tenemos que llevarlo a una vista de canto. El primer paso será determinar en que plano de proyección se va a trabajar (Horizontal o Frontal). Supongamos que escogemos trabajar sobre el plano Horizontal. A continuación, en la vista frontal del plano, trazamos una recta paralela al eje de planos HF desde el punto C F hasta cortar el lado A FBF en el punto XF. Esta recta se proyectará en el plano Horizontal en Verdadera Magnitud. Prolongamos la recta C HXH (en Verdadera Magnitud) y en forma perpendicular a esta trazamos el eje de planos H1, con lo cual determinaremos el plano auxiliar 1. Desde los puntos A H y BH trazamos líneas de proyección hacia el plano auxiliar 1. Estas líneas deben ser perpendiculares al eje H1. El punto C H ya se proyectó en el paso anterior. A continuación determinamos los puntos extremos de nuestra proyección en el plano auxiliar 1. En este caso identificamos los puntos A y B. Tomamos las medidas de los puntos A y B desde su ubicación en el plano Frontal hasta el eje HF y las llevamos desde el eje H1, determinando de esta forma la ubicación de los puntos A 1 y B1. Los cuales al unirse mediante una recta generarán la vista de canto del plano ABC.

VI. Verdadera magnitud de un plano Un plano se proyecta en verdadera magnitud, es decir su medida real, sobre un plano de proyección paralelo a él. (Revisar la sección IV de la presente lección). Para determinar la vista en verdadera magnitud de un plano, debemos hallar Universidad Inca Garcilaso de la Vega Facultad de Ing. Administrativa e Industrial Fundamentos Teóricos de Dibujo en Ingeniería y Geometría Descriptiva Ing. Enrique Pardo Esquerre

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primero su vista de canto de acuerdo a lo estipulado en la sección anterior de la presente lección. Supongamos, entonces, que tenemos el plano ABC y su vista de canto en el plano auxiliar 1. Luego trazamos el eje de planos 1-2. Este eje deberá ser paralelo a la vista de canto y será trazado con una distancia arbitraria. Desde los puntos A 1, B1 y C1 se trazan líneas de proyección hacia el plano auxiliar 2. No esta demás recordar que estas líneas de proyección deben ser perpendiculares al eje de planos 1-2. A continuación, tomamos las medidas desde los puntos A H, BH y CH hacia el eje de planos H1. Esas medida las llevaremos luego desde el eje de planos 1-2 sobre cada una de las líneas de proyección respectivamente con lo ubicaremos los puntos A2, B 2 y C 2 los que al unirse nos permitirán apreciar el plano en Verdadera Magnitud. Cuando un plano esté proyectado en verdadera magnitud, las rectas contenidas en él, también estarán en verdadera magnitud.

VII. Orientación de un plano La orientación de un plano, está definida por la orientación de las rectas que se presentan en Verdadera Magnitud en la vista Horizontal. La orientación de un plano solo se puede determinar en la vista Horizontal. Universidad Inca Garcilaso de la Vega Facultad de Ing. Administrativa e Industrial Fundamentos Teóricos de Dibujo en Ingeniería y Geometría Descriptiva Ing. Enrique Pardo Esquerre

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Supongamos que tenemos el plano ABC y nos piden hallar su orientación. Como hemos manifestado líneas arriba, la orientación solo se puede determinar en el plano Horizontal, en ese sentido en el plano Frontal trazamos una recta paralela al eje de planos HF desde A F hasta XF. Esta recta se proyectará en el plano Horizontal en verdadera magnitud. Entonces en el punto AH ubicamos imaginariamente una brújula desde donde medimos cuanto se abre la recta A HXH desde el norte o desde el sur hacia el este o hacia el oeste. En ente caso se determina que la recta A HXH se abre 60º desde el Norte hacia el Este, siendo su representación N60ºE.

VIII. Pendiente de un plano La pendiente de un plano es el ángulo determinado por este plano con respecto al plano horizontal. Para hallar la pendiente se deberá hallar primero la vista de canto del plano de acuerdo al señalado en sección V de la presente lección. Luego en el plano Frontal ubicamos el punto más bajo del plano, en el presente caso, el punto más bajo es el punto B F. En el plano Horizontal, y desde la recta A HXH levantamos una perpendicular que se dirija al punto más bajo del plano. Esta recta se denomina “recta de máxima pendiente”.


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Luego trazamos una paralela al eje de planos H1 que pase por el punto C 1 (punto más alto del plano), el ángulo que se forma es la pendiente del plano.


Fundamentos de Dibujo Tecnico y Geometria Descriptiva

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