Fundamentos de Hidrologia de Superficie - Aparicio

I CONTENIDO: -

Introduccion

-

La cuenca hidroloqica

-

Escurrirniento

-

Evaporacion y transpiracion

-

~Imacenamiento

-

Precipitacion

-

Infi ltracion

-

Relaciones Iluvia-escurrimiento

-

Probabilidad

FUNDAMENTOS DE HIDROLOGIA DE SUPERFICIE Francisco Javier Aparicio Mijares

y transite en vasos y cauces

y estadtstica en hidroloqfa

- Apendices

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GRUPO NORIEGA EDITORES Mexico • Espana •Venezuela • Argentina Colombia • Puerto Rico

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A CARMEN, ANDREA Y JULIO

La prosentecion y disposici6n en conjunto de FUNDAMENTOS DE HIDROLOGiA DE SUPERFICIE son propiedad del editor. Ninguna parte de esta obre puede ser reproducida 0 transmitida, mediante ningun sistema o metodo, electr6nico0 mecemco (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, la grabaci6n 0 cua/quiersistema de recuperaci611y almacenamiento de informaci6n), sin consentimiento por escrito de! editor. Derechos reservados: © 1992, EDITORIALLlMUSA, SA de C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES Balderas 95, C.P. 06040, Mexico, D.F. Telefono 521-50-98 Fax 512-29-03 Miembro de la Camara Nacional de la IndwWia Editorial Mexicana.Registro nurnero 121 Primera edlclon: 1989 Primera relmpresion: 1992 Impreso en Mexico (10692)

ISBN 968-18-3014-8

Pr61ogo

El presente texto es resultado de la imparticion, durante cinco afios, del curso de hidrologia en la Universidad Nacional Autonoma de Mexico. Responde ala necesidad existente de un texto a nivel basico sobre hi.~rQl_Qg£~_~~~tlperfi: ~ie escrito en espafiol y adaptado a las particulares condiciones de Mexico e Hispanoamerica. El texto esta escrito a nivel basico, de manera que sea accesible tanto a estudiantes como a profesionales interesados en la hidrologia. Por ello, se han evitado deliberadamente los planteamientos teoricos y complejos y se ha pro curado no perder de vista los aspectos globales de los problemas hidrologicos practices. El contenido de la obra es igual al que se imparte en el curso se mestral a nivel profesional en carreras tales como ingeniero civil, ingeniero agronomo 0 ingeniero hidrologo. Es util como introduccion a cursos de pos grado y como obra de consulta para profesionales de ingenieria y geografia. A pesar del caracter fundamental dellibro, se han incluido ciertos temas que usualmente no se imparten a nivel profesional, como el de nociones de hidrometeorologia (apartado 6.1) y elementos de una teoria de la infiltracion (apartado 7.3), que es necesario impulsar en nuestro medio. Ellibro supone un conocimiento previo en matematicas elementales y fun damentos de estadfstica. En este ultimo aspecto, sin embargo, es cormin que los cursos basicos de estadfstica en ingenieria tengan un enfoque ligeramente diferente al de la hidrologia; en este sentido, la obra incluye los conceptos fundamentales de probabilidad y estadfstica orientados a la hidrologfa, en el apartado 9.1, y los de regresion y correlacion, en el apendice B. El orden de los temas acaso parezca extrafio a los profesores de hidrolo gfa que acostumbran impartir su curso describiendo en primer lugar cada uno de los componentes del ciclo hidrologico por separado, y posteriormente sus relaciones y aplicaciones a problemas practices. Mi experiencia docente me indica que esa manera de impartir el curso resulta tediosa para los estudilll1!es

, 8

Prologo

acosturnbrados a imaginar obras y buscar aplicaciones casi inmediatas de los cursos teoricos. Por ello se ha elaborado la obra tomando el capitulo cinco (al macenamiento y transite en vasos y cauces), que es el de mayor interes practice, como centro de atencion y rodeandolo del resto de los temas. Elor den adoptado, ademas, permite que los estudiantes desarrollen todo un pro yecto hidrologico a 10 largo del curso: Elaborar un libra como el presente es, en mi opinion, una de las tareas mas agradables a las que puede someterse cualquier profesor, no solo por el valor intrfnseco que pueda tener, sino tambien por la satisfaccion de encon trar gente dispuesta a colaborar desinteresadamente. Como es cormin en estos casos, resulta imposible mencionar a cada una de las personas que de alguna manera participaron en la elaboracion del trabajo; no obstante, merecen espe cial reconocimiento el maestro en ingenierfa Ram6n Dominguez Mora, quien hizo varias revisiones crfticas de los manuscritos y valiosos comentarios que mejoraron el texto; el Ing. Pablo Hernandez Delgadillo, que dibujo todas las figuras; el Ing. Abraham Bernal Ortiz, que colaboro en la mayor parte del capitulo uno; el Dr. Polioptro Martinez, que revise parte del original; las Sri tas. Eugenia Aparicio y Ma. de Jesus Palafox asf como la Sra. Consuelo Dfaz C., por haber tenido la paciencia de interpretar mi caligraffa para mecanogra fiar las varias versionesdel texto, y en general al personal de la seccion edito rial de la Facultad de Ingenierfa de la UNAM, donde se publicaron las primeras versiones del libra como notas de clase. Finalmente, se agradeceran todos los comentarios respecto a la obra, ya que serviran para mejorarIa en futuras ediciones. Francisco Javier Aparicio Mijares Cuernavaca, Mor., septiembre de 1987

Contenido

7

PROLOGO

13 1 INTRODUCCION 1.1 1.2 1.3

Definicion Y objetivo de la hidrologfa Breve resefia historica El ciclo hidrologico Bibliografia

19

2 LA CUENCA HIDROLOGICA 2. 1 2.2

Concepto de cuenca Caracteristicas de la cuenca y los cauces Bibliografia

19 19

26 21

3 ESCURRIMIENTO 3.1 3.2 3.3

13 16 17 18

Fuentes de los diferentes tipos de escurrimiento Hidrogramas y su analisis Aforo 3.3.1 Secci6n de control 3.3.2 Relaci6n secci6n-pendiente 3.3.3 Relaci6n seccion-velocidad 3.3.4 Otros metodos 9

27

29

'14

35 37

39 42

r 10

Contenido

3.3.5 Curvas elevaciones-gastos 3.3.6 Condiciones que debe reunir una estacion hidro rnetrica Bibliograffa 4 EVAPORACION Y TRANSPIRACION 4.1

Evaporacion

4.2

4.1.1 Formulas empfricas 4.1.2 Balance de energfa 4.1.3 Balance de agua 4.1.4 Medicion de la evaporacion Evapotranspiracion 0 uso consuntivo 4.2.1 Metodo de Thorntwaite 4.2.2 Metodo de Blaney-Criddle 4.2.3 Extracciones de un almacenamiento para riego Bibliograffa

5 ALMACENAMIENTO Y TRANSITO EN VASOS Y CAUCES 5.1 5.2 5.3

5.4 5.5

45 46

47 49 49 54 55 56 56 57 59 67 69

Tipos de almacenamientos y sus caracterfsticas Estimacion del volumen util y el NAMa

69

Funcionamiento de vasos 5.3. 1 Entradas al vaso 5.3.2 Salidas del vaso 5.3.3 Procedimiento de calculo 5.3.4 Entradas 5.3.5 Salidas Transite de avenidas en vasos 5.4.1 Metodo semigrafico 5.4.2 Metodo numerico Transite de avenidas en cauces 5.5.1 Metodo de Muskingum

78 79

Bibliograffa

6 PRECIPITACION 6.1

43

47

Nociones de hidrometeorologfa 6.1.1 Definiciones

6.2 6.3

111

113 113 113

116 120 126 134 140 140 148 151

Bibliograffa

7 INFILTRACION

177

7.1

7.2

82

103

6.1.2 Contenido de vapor de la atmosfera. Agua preci pitable 6.1.3 Vientos 6.1.4 Modelos de lluvia Medicion de la precipitacion Analisis de los datos de precipitacion 6.3.1 Lluvia media 6.3.2 Curva masa media 6.3.3 Deduccion de datos faltantes 6.3.4 Ajuste de registros de precipitacion por cambios en las condiciones de medici6n 6.3.5 Curvas altura de precipitacion-area-duracion (hp-A-d) 6.3.6 Trasposicion de tormentas 6.3.7 Curvas intensidad-duracion-periodode retorno (i-d-T) 6.3.8 Comentario final

152 153 161 165 176 176

72

83 84 86 90 93 99 102

11

Contenido

7.3 7.4 7.5

Definicion y descripcion del proceso de infiltracion 7.1.1 Conceptos generales 7.1.2 Descripcion del proceso de infiltracion 7.1.3 Factores que afectan la capacidad de infiltracion Metodos empfricos 7.2.1 Criterio de la capacidad de infiltracion media 7.2.2 Criterio del coeficiente de escurrimiento 7.2.3 Criterio del United States Soil Conservation Service (USSCS) 7.2.4 Criterio del fndice de precipitacion antecedente 7.2.5 Metodo de los numeros de escurrimiento 7.2.6 Otros metodos Elementos de una teorfa de la infiltracion El concepto del potencial en el frente lnimedo Medicion de la infiltracion Bibliograffa

8 RELACIONES LLUVIA-ESCURRIMIENTO 8.1 8.2

Metodos de envolventes La formula racional

177 177 178 179 179 180 182 183 186 187 191

193

198 200 201

203 204 206

12 Contenido

8.3

Hidrograma unitario 8.3.1 Hidrograma unitario tradicional 8.3.2 Curva S 8.3.3 Metodos matriciales. Hidrograma unitario instaritaneo

8.3.4 Hidrogramas unitarios sinteticos Bibliograffa 9 PROBABILIDAD Y ESTADISTICA EN HIDROLOGIA 9.1

Conceptos fundamentales de probabilidad y estadfstica 9. 1. 1 Probabilidad y sus axiomas 9.1.2 Funciones de probabilidad 9.1.3 Periodo de retorno 9.2 Funciones de distribucion de probabilidad usadas en hi drologfa 9.2.1 Distribucion normal 9.2.2 Distribucion lognormal 9.2.3 Distribucion Pearson III 0 Gamma de tres parametres 9.2.4 Distribucion Gumbel 9.3 9.2.5 Funciones de distribucion para dos poblaciones Lfmites de aplicabilidad y seleccion de la funcion de distri bucion de probabilidad 9.3.1 An
APENDICE A APENDICE B

209 213 216

1

Introducci6n

222 228 237

239 240 240 243 249 252 253 258 260 263 265 270 270 272

275 281 281 282

283 291

1.1 DEFINICION Y OBJETIVO DE LA HIDROLOGIA Existen varias definiciones de hidrologfa, pero la mas completa es quizas la siguiente:

"ffjQrgtQg!i;l es la ciencia natural que estudia al agua, su ocurrencia, circulacion y distribucion en la superficie terrestre, sus propiedades qufmicas y ffsicas y su relacion con el medio ambiente, incluyendo a los seres vivos. " (Referencia 1.1) Aceptando esta definicion, es necesario limitar la parte de la hidrologfa que se estudia en la ingenierfa a una rama que corminmente se llama ingenje riil~~istr:~IQg!~~_2.hid1"QlQgi_l!_
trafico en carreteras, por ejem plo. El analisis hidrologico exhaustivo es, pues, el primer paso fundamental 13

\ 14

Introduccion

en la planeacion, diseiio y operacion de proyectos hidraulicos. En la fase de planeacion y diseiio, el analisis se dirige basicamente a fijar la capacidad y seguridad de estructuras hidraulicas, Las dimensiones fisicas 0 la capacidad de conduccion de una estructura hidraulica se determinan, desde luego, de acuerdo con los vohimenes y gastos que se deseen almacenar, controlar 0 trans mitir. En este sentido, se requieren estudios hidrologicos para determinar la disponibilidad de fuentes naturales y para saber si el abastecimiento de la fuente es adecuado en todo tiempo, 0 si se requerira de otras estructuras para corre gir las deficiencias 0 para disponer de los vohimenes excedentes de agua. La seguridad de las presas en 10 que concierne a la capacidad del vertedor y a la elevacion maxima del embalse, depende, en gran medida, de la determina cion de una tormenta de disefio y de su conversion a una avenida generada en la cuenca, 0 bien directamente de la ultima, y en menor grado de las olas y la marea generadas por el viento. Asimismo, la estabilidad de muros y te rraplenes depende de los estudios hidrologicos e hidraulicos que definen los niveles probables del agua, as! como la duracion y cambios en el tiempo de d~~hos ni~eles. I;,!l_l:tjclrQl()gf<:lj~~~_~,!_l!!~.i¢.D,,!!!!.ipm~RpQel(tilnt~ en la opera CIon efectiva de estructuras hidraulicas, especialmente aquellas que se desti nan a la generacion de energfa y control de avenidas, donde se requiere con frecuencia de pronostico de avenidas y sequfas. Es as! que la hidrologfa, en cuanto trata con un aspecto importante y vital del medio ambiente, que es el agua, es una ciencia esencial para el aprovecha miento de los recursos hidraulicos y el diseiio de obras de defensa. Aunque esta ciencia esta lejos de tener un desarrollo completo, existen varios metodos analfticos y estadisticos que son en mayor 0 menor grado aceptados en la pro fesion ingenieril. Los procesos que estudia la hidrologfa involucran tantas variables que es diffcil, si no imposible, preyer si alguna vez se aproximara al status de cien cia exacta 0, incluso, si alguna vez podra llegar a ser completamente con siderada como una ciencia independiente. L~s ciencias. en que se apoyala jg_~_g_i_g~~~~I1 ~idr()lQgsiocn(l basicamente la ge;;grafia·ff~ica, la ·~~teoro logfa, la geologfa, la hidraulica, las matematicas y la estadfstica, aunque tambien es facil encontrar relaciones de la hidrologfa con disciplinas como la ffsica, qufrnica, biologfa, investigacion de operaciones y otras. Los Ifmites que separan a la hidrologfa de estas ciencias no estan determinados y no tiene objeto tratar de definirlos rigurosamente. Asf como la hidrologfa es una cien cia muy amplia, interdisciplinaria porque requiere material de otras ciencias para su propia interpretacion y uso, el ingeniero especializado en hidrologfa trabaja integrado a equipos en los que colaboran especialistas en la mayor parte

de las disciplinas mencionadas, aunque con frecuencia representa el papel prin cipal y ejerce la funcion de coordinador del proyecto en algunas de sus etapas,

Definicion y objetivo de la hidrologia

15

La hidrologfa es una parte interesante de la ingenierfa, pero en algunos aspectos resulta notablemente diferente de la mayorfa de las disciplinas inte grantes de esta, Los fenomenos naturales con los cuales se relaciona no se prestan, al: menos hasta ahora, a los analisis rigurosos de la mecanica; por esta razon existe una mayor variedad de metodos, mayor latitud para el criterio y una aparente falta de precision en la solucion de los problemas. A pesar de esto ultimo, la precision de las soluciones hidrologicas se compara favorablemente con otros tipos de calculo en ingenierfa, donde las incertidum bres se ocultan a menudo con el uso de factores de seguridad, 0 bien con los procedimientos referentes a la determinacion de las· propiedades de los ma teriales. No obstante la importante funcion que tiene el hidrologo en todas las fa ses del desarrollo de proyectos hidraulicos, es poco comun que los estudian tes elijan la hidrologfa como profesion, ya sea porque esta rama no ha adquirido aiin una clara fisonomfa como tal, ya sea porque en muchos organismos las posibilidades de progreso profesional del hidrologo parecen inciertas. Sin em bargo, estos factores son cada vez menos un obstaculo para que los estudian tes se orienten hacia la especializacion en hidrologfa. Una parte importante del trabajo del hidrologo es la recoleccion y anali sis de datos. La disposicion de datos basicos adecuados es esencial en todas las ciencias, y la hidrologfa no es una excepcion. De hecho, las caracterfsticas de los fenomenos naturales con que tiene que ver la hidrologfa hacen que este punto pueda ser especialmente delicado. Como ya se menciono, es diffcil tra tar muchos de los problemas hidrologicos mediante un razonamiento deducti vo riguroso, y no siempre es posible comenzar por una ley basica y determinar a partir de esta el resultado hidrologico deseado. Con frecuencia es necesario partir de un conjunto de hechos observados y, mediante un analisis empfrico, establecer las normas sistematicas que gobiernan tales hechos. Asi, el hi drologo se encuentra en una diffcil situacion cuando no cuenta con los datos historieos adecuados para la zona particular del problema. Por ello, la mayo rfa de los parses del mundo disponen de una 0 mas agencias gubernamentales que tienen la responsabilidad de recolectar y difundir datos hidrologicos. En Mexico, los organismos encargados de esta recoleccion y de su publicacion en forma de boletines hidrornetricos y climatologicos son la Secretarfa de Agri cultura y Recursos Hidraulicos (SARH), la Comision Federal de Electricidad (CFE) y la Comision Internacional de Lfrnites y Aguas Mexico-Estados Uni dos de America; ademas de algunos otros organismos de caracter local, como el Departamento del Distrito Federal. Es importante que el estudiante conozca la forma en que estos datos son recopilados y publicados, las limita ciones de precision que tienen y los metodos propios para

su interpretacion y ajuste.

16

Introduccion

Las herramientas con que hoy cuenta el hidrologo son multiples y muy variadas, pero con frecuencia le son titiles solo para situarse dentro del orden de magnitud de los parametres que maneja. Generalmente, cada problema hi drologico es unico en cuanto trata con un conjunto diferente de condiciones fisicas dentro de una cuenca hidrologica especffica, 10 que implica que el que trabaja con este tipo de problemas no puede tener una filosofia conformista. Cada nuevo caso es un problema de investigacion: este es uno de los grandes encantos de la hidrologia. No es un campo dogmatico de la profesion de la ingenieria, sino un reto intelectual sistematico, es un ejercicio de Ia imagina cion y de la inteligencia, de la prudencia y el sentido de la observacion.

1.2 BREVE RESENA HISTORICA

17

El ciclo hidrologico

Flujo superficial

j

Ti""n ~ll i Percotaclon profunda

Fijar la fecha exacta del nacimiento de una ciencia es siempre dificil. Esto se aplica particularmente a la hidrologia, cuyo origen puede encontrarse en varias esferas conexas: la geografia fisica, la meteorologfa, la geologia, la hi draulica, etc. Los inicios de la hidrologia se vinculan, por una parte, a las primeras obras de 'ingenierfa de la antigiiedad que servian para abastecer de agua a las ciudades 0 para regar campos de cultivo y, por otra, a los intentos de eminen tes eruditos por comprender el medio fisico que rodea al hombre. Entre los conceptos basicos de la hidrologia, el de cicIo hidrologico puede considerarse fundamental. Por evidente que este cicIo pueda parecer hoy, hu bo de transcurrir mucho tiempo para que se lograra comprender su mecanis mo, y ni siquiera los intelectos mas brillantes del Renacimiento pudieron evitar algunas hipotesis falsas. Aunque existen algunas referencias en la literatura mas antigua, aparen temente le correspondio a Pierre Perrault el gran merito de demostrar con evaluaciones cuantitativas en su libro De l'origine des fontaines, publicado en 1674, que las precipitaciones y las nevadas son la causa del flujo en los rfos, con 10 cual marcola pauta para el reconocimiento universal del ciclo hi drologico en su interpretacion moderna. Lo anterior justified la decision de aceptar la obra de Pierre Perrault como principio de la hidrologia cientifica y de celebrar su tricentenario en 1974. Se acepta que hacia fines del siglo XVII ya existian casi todos los elemen tos necesarios para fundar la hidrologia, pero no se .reconocia a esta como ciencia especifica, y solo se Ilego a ese reconocimiento a medida que fue evo lucionando en el transcurso de los tres siglos siguientes. No fue sino hasta el siglo pasado en que la hidrologia alcanzo un recono cimiento definitivo como disciplina. Su consolidacion fue apoyada durante los

Figura 1.1 Ciclo hidrol6gico.

ultimos sesenta 0 setenta afios por la publicacion de una serie de manuales de hidrologfa, registrandose de esta manera el progreso cientffico con la apa ricion de revistas especializadas y con la creacion de centros e institutos de investigacion hidrologica. 1.3 EL CICLO HIDROLOGICO EI ciclo hidrologico, como ya se menciono, se considera el concepto funda mental de la hidrologia. De las muchas representaciones que se pueden hacer de el, la mas ilustrativa es quizas la descriptiva (vease figura 1.1). Como todo ciclo, el hidrologico no tiene ni principio ni fin; y su descrip cion puede comenzar en cualquier punto. EI agua que se encuentra sobre la superficieterrestre 0 muy cerca de ella se evapora bajo el efecto de la radia cion solar y el viento. EI vapor de agua, que asi se forma, se eleva y se trans porta por la atmosfera en forma de nubes hasta que se condensa y cae hacia la tierra en forma de precipitacion. Durante su trayecto hacia la superficie de Ia tierra, el agua precipitada puede volver a evaporarse 0 ser interceptada por las plantas 0 las construcciones, luego fluye por la superficiehasta las corrientes o se infiltra. EI agua interceptada y una parte de la infiltrada y de la que corre por la superficie se evapora nuevamente. De la precipitacion que llega a las \ corrientes, unciparte se infiltra y otra llega hasta los oceanos y otros grandes

r 18

Introduccion

c~erp.os de agua, como pres as y lagos. Del agua infiltrada, una parte es absor bida por las plantas y posteriormente es transpirada, casi en su totalidad, hacia la atmosfera y otra parte fluye bajo la superficie de la tierra hacia las corrien tes, el mar U otros cuerpos de agua, 0 bien hacia zonas profundas del suelo (percolacion) para ser almacenada como agua subterranea y despues aflorar en manantiales, nos 0 el mar.

2

La cuenca hidrologica

BIBLIOGRAFIA 1.1 Chow, V. T. (ed.) Handbook of Applied Hydrology. Mct.iraw-Hill, 1964.

As! como el cicio hidrologico es el concepto fundamental de la hidrologia, la cuenca hidrologica es su unidad basica de estudio. En este capitulo se estu diad este concepto y.algunas nociones fundamentales de geomorfologfa iitiles en la ingenierfa hidrologica.

2.1 CONCEPTO DE CUENCA Una cuenca es una zona de la superficie terrestre en donde (si fuera imper meable) las gotas de lluvia que caen sobre ella tienden a ser drenadas por el sistema de corrientes hacia un mismo punto de salida. La definicion anterior se refiere a una cuenca superficial; asociada a cada una de estas existe tambien una cuenca subterranea; cuya forma en planta es semejante a la superficial. De ahf la aclaracion de que la definicion es valida si la superficie fuera impermeable. Desde el punto de vista de su salida, existen fundamentalmente dos tipos de cuencas: endorreicas y exorreicas. En las primeras el punto de salida esta dentro de los lfmites de la cuenca y general mente es un lago; en las segundas, el punto de salida se encuentra en los lfrnites de la cuenca y esta en otra co rriente 0 en el mar (vease figura 2.1).

2.2 CARACTERISTICAS DE LA CUENCA Y LOS CAUCES EI cicIo hidrologico, visto a nivel de una cuenca, se puede esquematizar como un estfmulo, constituido por la precipitacion, al que la cuenca responde me diante el escurrimiento en su salida. Entre el estfrnulo y la respuesta ocurren varios fenomenos que condicionan la relacion entre uno y otra, y que estan 19

20


Caracteristicas de la cuenca y los cauces

a) Cuenca endorreica

b) Cuenca exorreica

21

correspondientes a las corrientes tributarias 0 a los puntos de salida se Haman cuencas tributarias 0 subcuencas. Entre mas corrientes tributarias tenga una cuenca, es decir, entre mayor sea el grado de bifurcacion de su sistema de drenaje, mas rapida sera su respuesta a la precipitacion. Por ello, se han propuesto un cierto mimero de indicadores de dicho grado de bifurcacion, algunos de los cuales son los siguientes:

Figura 2.1 Tipos de cuencas.

controlados por las caracterfsticas geomorfologicas de la cuenca y su urbani zacion. Dichas caracterfsticas se clasifican en dos tipos, segun la manera en que controlan los fenomenos mencionados: las que condicionan el volumen d~ ~scurrimiento~como el area de la cuenca y el tipo de suelo, y las que con dicionan la velocidad de respuesta, como son el orden de corrientes, pendien te de la cuenca y los cauces, etc. A continuacion se describen las caracterfsticas de la cuenca y los cauces de mayor importancia por sus efectos en la relacion precipitacion-escurrimiento. El parteaguas es una linea imaginaria formada por los puntos de mayor ni vel topo~rafico y que separa la cuenca de las cuencas vecinas (vease figura 2.2). El area de la cuenca se define como la superficie, en proyeccion hori zontal, delimitada por el parteaguas (vease figura 2,2). , La corriente principal de una cuenca es la corriente que pasa por la salida de la misma. Notese que esta definicion se aplica solamente a las cuencas exo rreicas. Las demas corrientes de una cuenca de este tipo se denominan co rrientes tributarias. Todo punto de cualquier corriente tiene una cuenca de aportacion, toda cuenca tiene una y solo una corriente principal. Las cuencas

El orden de corrientes (referencia 2.1) se determina como se muestra en la figura 2.3. Una corriente de orden 1 es un tributario sin ramificaciones, una de orden 2 tiene solo tributarios de primer orden, etc. Dos corrientes de orden 1 forman una de orden 2, dos corrientes de orden 3 forman una de orden 4, etc., pero, por ejemplo, una corriente de orden 2 y una de orden 3 forman otra de orden 3. El orden de una cuenca es el mismo que el de la corriente principal en su salida; asf, por ejemplo, el orden de la cuenca de la figura 2.3 es 4. Notese que el orden de una cuenca depende en mucho de la escala del plano utilizado para su determinacion; en este sentido, las comparaciones entre una cuenca y otra deben hacerse con cuidado, especialmente cuando los planos correspondientes no estan a la misma escala 0 estan editados por dife rentes organismos. Otros indicadores del grado de bifurcacion 0 eficiencia de una cuenca son la densidad de corrientes Ds' definida como el mimero de corrientes peren nes e intermitentes por unidad de area y la densidad de drenaje Dd, definida como la longit}ld de corrientes por unidad de area:

Corrientes tributarias

Corriente

Figura 2.2

P a r t e a g u a s / , _ '

principal

. \j (' '.1

I" ...1. ...--..

\

\

.I

./

........ -._._._",... Corriente

de orden 4.

-._._.."./

' " .

.,/

/._.-

.......

...........

' '

Figura 2.3 Cuenca hidro16gica. I

/,

22


Ns

Dd

Pendiente compensada

(2.1)

A

Perfil del cauce

Ls =-

donde Ns Ls y A

E c

(2.2)

A

= = =

23

Caracteristicas de la cuenca y los cauces

E>

mimero de corrientes perennes e intermitentes longitud total de las corrientes area de la cuenca

Un orden de corrientes alto 0 una densidad elevada refleja una cuenca altamente disectada, que responde rapidamente a una tormenta. Las densida des u ordenes de corrientes pequeiias se observan donde ·Ios suelos son muy resistentes a la erosion 0 muy permeables; donde estos indicadores son eleva dos, los suelos se erosionan facilmente 0 son relativamente impermeables, las pendientes son altas y la cobertura vegetal es escasa. Uno de los indicadores mas importantes del grado de respuesta de una cuenca a una tormenta es la pendiente del cauce principal. Dado que esta pen diente varia a 10 largo del cauce, es necesario definir una pendiente media; para ello existen varios metodos, de los cuales se mencionan tres: a) La pendiente media es iguaJ al desnivel entre los extremos de la co

rriente dividido entre su longitud medida en planta (vease figura 2Aa).

'

c

Linea recta

'u co

-;;-s

> Q)

w

, ',a Distancia, km.

Figura 2.41b Pendiente del cauce principal.

b) La pendiente media es la de una lfnea recta que, apoyandose en el ex

tremo de aguas abajo de la corriente, hace que se tengan areas iguales entre el perfil del cauce y arriba y abajo de dicha lfnea (vease figura 2.4b).

c) Taylor y Schwarz (referencia 2.2) proponen calcular la pendiente me dia como la de un canal de seccion transversal uniforme que tenga la misma longitud y tiempo de recorrido que la corriente en cuestion. La velocidad de recorrido del agua en el tramo i puede calcularse como (referencia 2.3):

T --

VI=krs--,..I.Ji

..,.

E

c rJ)

Perfil del cauce

E

CO

(2.3) donde k es un factor que depende de la rugosidad y la forma de la seccion transversal y S; es la pendiente del tramo i. Ademas, por definicion:

H

'0

'u co >

(2.4)

Q)

w

.l

-,----------I-----L

~---

----_1

donde Ax es la longitud del tramo i (vease figura 2.4 c) y recorrido en ese tramo. De 2.3 y 2.4 se obtiene:

t;

es el tiempo de

Distancia, km.

Figura 2.4a

Pendiente cauce

principal.

t.

=

I

i

Ax k~

-

(2.5)

24


25

Caracteristicas de La cuenca y los cauces

Criterio de Taylor y Schwarz

m

S=

E c en

E

1

Js;

+

'"

+

1

$m

1

(2.9)

Mediante un razonamiento semejante se puede obtener la siguiente formula para el caso en que las longitudes de los tramos no sean iguales:

Perfil del cauce

c

+

'0

'u co > OJ

LU

(2.10) Distancia, km.

Figura 2.4c Pendiente del cauce principal.

donde Ii es la longitud del tramo i. Las corrientes se clasifican de varias maneras, pero las mas interesantes en la ingenieria hidrologica son tal vez las siguientes:

Por otra parte, la velocidad media de recorrido en todo el cauce dividido en m tramos es: L

V=-=k.jS

(2.6)

T

donde L es la longitud total del cauce, T es el tiempo total de recorrido y S es la pendiente media buscada. EI tiempo Tseni naturalmente (ecuacion 2.5):

E

m

i

=

i = I

I

Lll

k _JSi

(2.7)

y la longitud L: m

E

L i

=

Lll=mLll

I

Finalmente, usando las ecuaciones2.6,2.7 Y2.8 YdespejandoS se obtiene:

(2.8)

a) Por el tiempo en que transportan agua. Segun esta clasificacion las co rrientes pueden ser perennes, intermitentes0 efimeras (veasefigura 2.5). En una corriente perenne el punto mas bajo del cauce se encuentra siempre abajo del nivel de aguas freaticas. Estas corrientes transportan agua durante todo el afio y siempre estan alimentadas, totalmente 0 en parte, por el agua subterranea, es decir, son efluentes. Una corriente in termitente transporta agua durante la epoca de lluvias de cada afio, cuan do el nivel freatico asciende hasta quedar por encima del punto A (figura 2.5 b). En epoca de secas el nivel freatico queda por abajo de dicho punto y la corriente no transporta agua, salvo cuando se presenta alguna tor menta. En el caso de las corrientes efimeras 0 influentes el nivel freatico esta siempre abajo del punto A (figura 2.5c) y transportan agua inmedia tamente despues de una torrnenta, y, en este caso, alimentan a los alma cenamientos de agua subterranea. b) Por su posicion topografica 0 edad geologica. De acuerdo con esta clasificacion los rios pueden ser de montana 0 juveniles, de transicion o maduros, 0 bien de planicie 0 viejos (vease figura 2.6).

26


A a)

3

Escurrimiento

- -----;----A

Corriente perenne.

b)

N.A.F.

Corriente intermitente.

c)

Corriente efimera.

Figura 2.5 Clasificaci6n de corrientes (por el tiempo en que transportan agua).

En un mismo cauce se pueden encontrar los tres tipos de rfos. Los nos de montana, caracterfsticos de cotas elevadas sobre el nivel del mar tienen grandes pendientes y pocas curvas y, debido a las altas velocidades que alcan za el agua, sus cauces estan generalmente formados por cantos rodados con un poco de grava y casi nada de finos. Los rios de planicie, por el contrario, presentan numerosos meandros debido a las bajas velocidades del agua y su cauce se forma por arenas y finos. En general, estos rfos se encuentran en cotas cercanas al nivel del mar. Los rfos de transicion estan en una situacion intermedia entre los dos anteriores: presentan algunas curvas, con velocida des de agua moderadas y sus cauces estan formados basicamente por grava, con algo de cantos rodados y arena.

Montana c '0 '0

Transici6n

---I

Planicie

-1-

3.1 FUENTES DE LOS DIFEREl'/TES TIPOS DEESCURRIMIENTO

...

co

>
.---.~------.---.--.-----.--Distancia

Figura 2.6 Clasificacion de corrientes (por su posici6n topografica 0 edad geoI6gica).

BIBLIOGRAFIA 2.1 2.2

2.3

EI escurrimiento se define como el agua proveniente de la precipitacion que circula sobre 0 bajo la superficie terrestre y que llega a una corriente para finalmente ser drenada hasta la salida de la cuenca. EI agua proveniente de la precipitacion que llega hasta la superficie te rrestre -una vez que una parte ha sido interceptada y evaporada- sigue di versos caminos hasta llegar a la salida de la cuenca. Conviene dividir estos caminos en tres clases: escurrimiento superficial, escurrimiento subsuperfi cial y. escurrimiento subterraneo,

Horton, R.E. Erosional Development of Streams, Geol. Soc, Am. Bull., vol. 56, pp. 281-283, 1945. Taylor, A.B. y Schwarz, H.E. Unit-Hydrograph Lag and Peak Flow Related to Drainage Basin Characteristics, Trans. Am. Geophys. Union, vol. 33, pp. 235-246, abril de 1952. Chow, V.T. Open Channel Hydraulics, McGraw-Hill, 1966.

Una vez que la precipitacion alcanza la superficie del suelo, se infiltra hasta que las capas superiores del mismo se saturan. Posteriormente, se comienzan a llenar las depresiones del terreno y, al mismo tiempo, el agua comienza a cscurrir sobre su superficie. Este escurrimiento, llamadoflujo en fa superficie del terreno, * se produce mientras el agua no llegue a cauces bien definidos (cs decir, que no desaparecen entre dos tormentas sucesivas). En su trayecto ria hacia la corriente mas pr6xima, el agua que fluye sobre el terreno se sigue infiltrando, e incluso se evapora en pequefias cantidades. Una vez que llega a un cauce bien definido se convierte en escurrimieruo en corrientes. El flujo sobre el terreno, junto con el escurrimiento en corrientes, forma cl escurrimiento superficial. Una parte del agua de precipitacion que se infil Ira escurre cerca de 1a superficie del suelo y mas 0 menos parale1amente a 61. A esta parte del escurrimiento se le llama escurrimiento subsuperficial;

" En lengua inglesa se denornina overland flow.

Escurrimiento

28

la otra parte, que se infiltra hasta niveles inferiores al freatico, se denomina escurrimiento subterraneo. De los tres tipos de escurrimiento, el superficial es el que llega mas rapi do hasta la salida de la cuenca. Por ella esta relacionado directamente con : una tormenta particular y entonces se dice que proviene de la precipitacion en exceso 0 efectiva y que constituye el escurrimientodirecto. El escurrimiento subterraneo es el que de manera mas lenta llega hasta la salida de la cuenca (puede tardar afiosen llegar), y, en general, diffcilmente se Ie puede relacionar con una tormenta particular, a menos que la cuenca sea demasiado pequefia y su suelo muy permeable. Debido a que se produce bajo el nivel freatico, es el iinico que alimenta a las corrientes cuando no hay lluvias y por eso se dice que forma el escurrimiento base. El escurrimiento subsuperficial puede ser casi tan rapido como el super ficial 0 casi tan lento como el subterraneo, dependiendo de la permeabilidad de los estratos superiores del suelo; por ello es diffcil distinguirlo de los otros dos. Cuando es relativamente rapido se le trata junto con el escurri miento superficial, y cuando es relativamente lento se le considera parte del subterraneo, La clasificacion anterior, aunque ilustrativa, no deja de ser arbitraria. EI agua puede comenzar su viaje hacia la corriente como flujo superficial e infiltrarse en el camino, terminando como escurrimiento subsuperficial 0 sub terraneo. Ala inversa, el escurrimiento subsuperficial puede emerger a la su perficie si en su camino se encuentra con un estrato muy permeable que aflora en una ladera. Lo importante en realidad es la rapidez con que una cuenca responde a una tormenta, pues esto es 10 que determina la magnitud de las correspondientes avenidas.

Gasto base

E

F

M

A

M

j

j

A

1\",,

,

S

Figura 3.1 Hidrograma.

0

N

D

t(mes)

29

Hidrogramasy su analisis

Curva de recesion Rama ascendente

-.........

Figura 3.2 Hidrograma aislado.

3.2 HIDROGRAMAS Y SU ANALISIS Si se mide el gasto ( que se define como el volumen de escurrimiento por uni dad de tiempo) que pasa de manera continua durante todo un aiio por una.de terminada seccion transversal de un rfo y se grafican los valores obtemdos contra el tiempo, se obtendria una grafica como la de la figura 3.1. Una grafica como la anterior se denomina hidrograma, como cual quiera que relacione el gasto contra el tiempo. La figura 3.1 representa un hidrograma anual; si la escala del tiempo se amplfa de tal manera que se pue da observar el escurrimiento producido por una sola tormenta, se tendria ur:a grafica como la que se muestra en la figura 3.2. Aunque la forma de los hi drogramas producidos por tormentas particulares varia no solo de un~ c~en~a a otra sino tambien de tormenta a tormenta, es posible, en general, distinguir las siguientes partes en cada hidrograma (vease figura 3.2): A: punto de levantamiento. En este punto, el agua provernente de la tormenta bajo analisis comienza a llegar a la salida de la cuenca y se produce inmediatamente despues de iniciada la tormenta, durante la misma 0 incluso cuando ha transcurrido ya algiin tiempo despues de que ceso de llover, dependiendo de varios facto:es, entre los q~e se pueden mencionar el tamafio de la cuenca, su sistema de drenaje y suelo, la intensidad y duracion de la lluvia, etc.

30

Escurrimiento

B: pica. Es el gasto maximo que se produce por la tormenta. Con fre cuencia es el punto mas importante de un hidrograma para fines de disefio.

C: punta de inflexion. En este punto es aproximadamente

cuando termi na el flujo sobre el terreno, * y, de aquf en adelante, 10 que queda de agua en la cuenca escurre por los canales y como escurrimiento sub terraneo.

D: final del escurrimiento directo. De este punto en adelante el escurri miento es solo de origen subterraneo. Norrnalmente se acepta como el punto de mayor curvatura de Ia curva de recesion, aunque pocas veces se distingue de facil manera.

Hidrogramas y su aruilisis

formado normalmente por agua proveniente de varias tormentas que ocurrieron antes de la considerada y es muy dificil determinar a cuales pertenece. Para po der correlacionar la precipitacion con los hidrogramas que genera es necesario antes separar el gasto base del directo. En vista de que rara vez es posible conocer con precision la evolucion de los niveles freaticos durante una tormenta y que el punto D de un hidrograma (vease figura 3.2) es generalmente diffcil de distinguir, la tarea de separar el gasto base del directo no es sencilla en la mayorfa de los casos. Existen varios metodos, algunos de los cuales se descri ben a continuacion, para separar el gasto base del directo, pero la palabra fi nal la tiene el criterio y buen juicio del ingeniero. a) El metoda mas simple consiste en trazar una lfnea recta horizontal a partir del punto A del hidrograma. Aunque este metoda puede dar re sultados con buena aproximacion, de manera especial en tormentas pe quefias donde los niveles freaticos no se alteran mayormente, en general sobrestima el tiempo base y el volumen de escurrimiento directo. b) Otro metodo es el de determinar una curva tipo vaciado del escurrimiento base, analizando varios hidrogramas y seleccionando aqueUos tramos enque solo exista escurrimiento base. En el ejemplo de la figura 3.3 estos tramos podrfan ser los a - b, c - d, e - j, g -h, etc. Los tramos selec cionados se dibujan posteriormente en papel semilogarftmico de rna nera que sus extremos inferiores sean tangentes a una linea (vease figura 3.4). Si uno de los tramos seleccionados esta formado por escurrimiento directo se nota de inmediato que no es tangente a dicha lfnea; por ella estos tramos se eliminan del analisis. La linea resultante se llama curva de vaciado del gasto base. El punto D del hidrograma (vease figura 3.2) se localiza superponiendo la curva de vaciado -dibujada en papel arit metico y a la misma escala que el hidrograma- a la curva de recesion

Tp: tiempo de pica. Es el tiempo que transcurre desde el punto de levan tamiento hasta el pico del hidrograma.

Ti: tiempo base. Es el tiempo que transcurre desde el punto de levanta miento hasta el punto final del escurrimiento directo. Es, entonces, el tiempo que dura el escurrimiento directo.

Rama ascendente. Es la parte del hidrograma que va desde eI punto de levantamiento

hasta el pico.

Rama descendente a curva de recesion. Es la parte del hidrogra rna que va desde el pi co hasta el final del escurrimiento directo. Tomada a partir del punto de inflexion, es una curva de vaciado de la cuenca. El tiempo base de un hidrograma aislado puede ser desde algunos minutes hasta varios dias, y el pico puede tener valores del orden de unos cuantos litros El area bajo el hidrograma,

r

es el volumen total escurrido; el area por segundo hast~ miles de metros ctibicos por segundo.

Qdt, btajo el hidrograma y arriba de la l/~ea de separacion entre gasto base y directo, LJQ-Qb)dt, es el volumen de escurrimiento directo. Debido a que el escurrimiento directo proviene de la precipitacion, casi siem pre aporta un componente del gasto total en un hidrograma mucho mayor que el que genera el escurrimiento base. Por otra parte, el escurrimiento base esta

31

Q

* Ver apartado terrnino.

3.1 para la definicion de este

Figura 3.3

32

Escurrimiento Hidrogramas

33

y su analisis 8

G(Ese. Log.) Q

D

Figura 3.6

Figura 3.4

del hidrograma (vease figura 3.5). El punto D se encuentra entonces dond~ ambas l~neas se separan. Este metodo es mas preciso que el a~tenor, pero tI~ne la desventaja de que se requiere contar con varios hldrograma~ registrados anteriormente, 10 que no siempre es posible. c) Se ?an reahzado numerosos intentos de correlacionar el tiempo de vaciado del escurrimiento directo con algunas caracterfsticas de las c~enca~. El ~etodo que mejores resultados ha tenido es el que rela crona dicho ~Ie~pO con el area de la cuenca. Una relacion muy utili zada es la siguiente (referencia 3.1): N = 0.827 AO.2

(3.1)

dond~ N = tiempo de vaciado del escurrimiento directo en dfas y de la cuenca en km2. El punto D del hidrograma estara un tiempo de N dfas despues del pico (vease figura 3.6).

~ = area

Este metodo es iitil en cuencas con un area no menor de unos 3 km '. Sus resultados son en general aceptables, aunque, como en to dos los demas, deben tomarse con precaucion, d) Otro metoda mas consiste en buscar el punto de mayor curvatura de la curva de recesion del hidrograma. Esto se puede hacer de la siguiente manera: sea un hidrograma en el que se tienen los gastos sefialados en la columna 3 de la tabla 3.1. Una vez ordenados los gastos en la tabla, se dividen entre los ocurridos un l:!.t fijo despues Q + 111 (6 h en el ejem plo). Posteriormente se dibujan los cocientes QIQ+ 111 contra el tiem po; en el punto donde ocurra un cambio de pendiente se tiene la mayor curvatura de la ram a descendente y por tanto el punto D (vease figu ra 3.7).

Tabla 3.1 1

Q

Jf\ _ . , _ ._ ._.-

J

~~sto~

Curva de vaeiado

d ir e c to

Figura 3.5

3 Q

4 Q,

n

5 QIQ,/)

dia

hora

m'/s

m'/s

m'/s

5

12 18 24 6 12 18 24 6 12 18 24

60.1 47.5 39.0 33.2 28.6 25.2 22.7 20.9 19.7 18.9 18.2

47.5 39.0 33.2 28.6 25.2 22.7 20.9 19.7 18.9 18.2

1.27 1.22 1.18 1.16 1.13 1. 11 1.09 1.06 1.04 1.04

6

'

Gasto ~" .D base

2

~

7

34

Escurrimiento

010+

4\(

35

.tjoro

= 6 hrs.

~:\i~dieflt

lQO

e 1.1

1.0 50

~~

Figura 3.8

I'

5 I 6

7

8 dfas

j ._._._: I

Od

I

D

."

.-,.'-'.

Ob

5

6

8

9

t, dias

Figu~ 3.7

,,) Secciones de control. h) Relacion secci6n-pendiente. , ) Relacion secci6n-velocidad. \.].1 Seccion de control de una corriente se define como aquella en la que ~xis I\' una relacion unica entre el tirante y el gasto. De los muchos tipos de seccio ill'S de control que se pueden usar para aforar una corriente, los mas comunes -. III los que producen un tirante crftico y los vertedores, , Se forma un tirante crftico elevando el fondo del cauce, estrechandolo con una combinacion de las dos tecnicas. Cuando se utiliza la primera (vea ',l' Iigura 3.8), el gasto se calcula usando la formula de vertedores de pared rrucsa: 1111'1 seccion de control

Una vez localizado el punto D por medio de cualquiera de los metodos anteriores 0 de algiln otro, resta trazar la linea de separacion entre el gasto base y el directo. Para hacer 10 anterior tambien existen varies criterios. EI mas simple es tra zar una linea recta desde el punto A hasta el D como en la figura 3.7. Otro meto do es el de continual' hacia atras la eurva de vaciado del gasto base hasta el tiempo en que ocurre el pico y de ahf unir la prolongacion con el punto A del hidrograma. Otro posible procedimiento es trazar dos lfneas rectas, una horizontal a partir del punto A hasta el tiempo en que ocurre el pico y otra desde este punto hasta el D como se muestra en la figura 3.6. Ninguno de estos procedimientos de separacion es completamente precise; sin embargo, se puede aceptar un error en la posicion del punto D de una 0 dos veces la duracion de la tormenta, pues el area bajo esta parte del hidrograma es, en general, solo un pequefio porcentaje del volumen total escurrido (refe rencia 3.2).

3.3 AFORO

I)

Q

2

=~

3

BH-

/2 3

gH "" 1,7 BH

3/2

(3.2)

a traves de mediciones el gasto que pasa por una seccion dada. En Mexico se usan basicamente tres tipos de metodos para aforar corrien tes, a saber:

Aforar una corrientesignifiea determiner

.Ionde B es el ancho del cauce en m, g es la aceleracion de Ia gravedad en 111/s2, H es la carga sobre el vertedor (vease figura 3.8) en m y Q es el gasto

Figura 3.9

36

Escurrimiento

en m3/s. Para que el dispositivo de la figura 3.8 tenga un buen funcionamien to, se recomienda que:

<

3

L H

<

4

(3.3)

a < 0.8 H

(3.4)

Otra manera de provocar la formacion de un tirante enrico es cuando la topograffa permite disponer de una cafda libre (vease figura 3.9); en este caso el gasto se calcula con el tirante medido justo en la cafda y:

Q

= 1.65By

"'iY

(3.5)

37

Aforo

En las ecuaciones 3.6 y 3.7 H es la carga sobre la cresta del vertedor en m, medida a una distancia de cuando menos 4H aguas arriba de la cresta; L es la longitud de la cresta en m (ecuacion 3.6) y Q es el gasto en m3/s. EI metoda de las secciones de control es el mas preciso de todos para cl aforo, pero presenta algunos inconvenientes. En primer lugar, es relativa mente costoso y, en general, solo se puede usar cuando los gastos no son muy altos. En el caso de los estrechamientos se restringe el transporte de objetos arrastrados por la corriente y la seccion puede obstruirse. Un inconveniente de los vertedores es que generan un reman so aguas arriba de la seccion. Por clio, este metoda es adecuado en rfos pequefios, cauces artificiales (como por ejemplo canales de riego) 0 cuencas experimentales. 3.3.2 Relacion seccion-pendiente Este metodo se utiliza para estimar el gasto maximo que se presento durante

donde y esta en m, g en m/s ", Ben m y Q en

m3/s. Los vertedores de pared delgada recomendables para realizar aforos son el triangular con angulo de 90° para gastos pequefios (de 0 a 100 lis) y el rectangular para gastos mayores (de 100 a 1 000 lis) (vease figura 3.10). Si se usa un vertedor rectangular con las dimensiones especificadas en la figura 3. lOa, el gasto se calcula como:

una avenida reciente en un rfo donde no se cuenta con ningun otro tipo de aforos. Para su aplicacion se requiere solamente contar con topograffa de un tramo del cauce y las marcas del nivel maximo del agua durante el paso de la avenida. Segtin la formula de Manning, la velocidad es: (3.8)

Q

=

1.'9L H3/2

(3.6)

y con un vertedor triangular como el de la figura 3. lOb, el gasto es:

Q

=

1.49 H248

(3.7)

r-~

Q 120 em para H

<

23 em

~ 180 em para 23 em < H < 46 em

f:\

•

-r-

I~L---!I

(,

~

TH

t 3H

,

Q = 1.9 LH3/2 a) Vertedor rectangular.

donde R = radio hidraulico, Sf = pendiente de la !fnea de energia especffica y n = coeficiente de rugosidad. Ademas, de la ecuacion de continuidad se tiene que:

(3.9)

= vA

donde A es el area hidraulica, Aplicando la ecuacion de Bernoulli (referencia 3.4)entre inicial y final del tramo (vease figura 3.11) resulta:

H-t

-1--

~ 30 em para H < 23 em > 46 em 23 em > H < 46 em t .

Q

=

1.49

H2 48

2g

=

Z2

v/

+ Y2 + ---

2g

+

hf

los extremos

(3.10)

De las ecuaciones 3.9 y 3.10 se obtiene:

b) Vertedor triangular. (ex:

Figura 3.

Vertedores de pared delgada.

(3.11)

38

Escurrimiento

39

Aforo

(3.15)

despejando Q:

(3.16)

Con la ecuacion 3.16 es posible estimar el gasto de pico de una avenida si se conocen las marcas del nivel maximo del agua en las margenes, la rugosi dad del tramo y la topograffa del mismo.

Figura 3.11

3.3.3 Relaci6n secekin-velocidad donde .1Y = ( ZI + YI ) - .( Z2 + Y2 ) = diferencia en elevaci6n de las marcas del nivel maximo del agua en los extremos del tramo. Para tomar en cuenta las perdidas locales conviene escribir la ecuaci6n 3.11 en la forma: (3.12) donde b I

=

2 si A

I

> A2 y b = 4 si A2 > A

Este es el metodo mas usado en Mexico para aforar corrientes. Consiste basi carnente en medir la velocidad en varios puntos de la secci6n transversal y despues calcular el gasto por medio de la' ecuaci6n de continuidad 3.9. La velocidad del flujo en uria seccion transversal de una corriente tiene una distribuci6n como la que se muestra en la figura 3.12. Para deterrninar el gasto no es suficiente entonces medir la velocidad en un solo punto, sino que es necesario dividir la seccion transversal del cauce en varias .subsecciones llamadas 'dovelas, El gasto que pasa por cada dovela es: (3.17)

Utilizando las ecuaciones 3.8 y 3.9 se puede escribir: Q

=~

_ donde K"

n

R2/3 S,,112 -

.

&w

= ---

n

-"

K S 112 f

(3.13)

.. .. . es el coeficiente de conduccion media en el (ramo que

puede calcularse como el promedio geometrico de los coeficientes de conduc ci6n en los extremos del rnismo:

donde a, es el area de la dovela i Y Vmi es la velocidad media en la misma dovela. Velocidad maxima

(3.14) U~ilizandolas ecuaciones 3.12 y 3.13 Ytomando en cuenta que hf == SfL, se obtiene: . .

Uneas de igual velocidad.

DOVELA "i"

38

Figura 3.12

Escurrimiento

Aforo

39

40

Escurrimiento

41

Aforo

La veloeidad media VI/Ii se puede tomar como la medida a una profundidad de 0.6 Yi aproximadamenre, donde .vi es el tirante medido al eentro de la do vela (vease figura 3.12) euando Yi no es muy grande; en caso contrario, convie ne tomar al menos dos medidas a profundidades de 0.2 .vi y 0.8 Yi; asf la vclocidad media es: Villi

==

(3.18)

2

donde v20 Y I'HO son las veloeidades medidas a 0.2 .vi y 0.8 .vi respectivamen tc. Cuando v, es muy grande. puede ser necesario tomar tres 0 mas lecturas de velocidad en la dovela. Es recomendable, adernas, medir la profundidad de eada dovela eada vez que se haga un aforo. Entonces, el gasto total sera: Figura 3.14 II

i

(3.19) =

I

donde n es el. mimero de dovelas. La velocidad se mide con unos aparatos Ilamados molinetes (vease figura 3.13) que tienen una helice 0 rueda de aspas 0 copas que gira impulsada por la corriente y, mediante un meeanismo electrico, transmiten por un cable el rnimero de revolueiones por rninuto 0 por segundo con que gira la helice. Esta veloeidad angular se traduce despues a veloeidad del agua usando una formu la de calibracion que previamente se determina para cada aparato en particular.

Molinete

Para que el molinete pueda colocarse a la profundidad deseada se fij~ a un peso hecho de plomo y con forma hidrodin~mica, llarnado escandallo (vea se figura 3.13). La posicion que adopta el molinete con el esca~~~llose mues Figura 3.13

40

Escurrimiento

tra en la figura 3.14. La profundidad a la que se hace la medicion se calcula usando la formula (vease figura 3.14): be = (I - K) de

(3.20)

donde K es un coeficiente de correccion que se calcula en funcion del angulo e (vease figura 3.14) mediante la tabla 3.2.. . .. . Al hacer mediciones con cste metodo conviene segutr los siguientes pasos (referencia 3.5): Medir la distancia abo _ Sumergir el escandallo hasta que toque el fondo del no y medir ae. e) Calcular ad como ab sec e. _ d) Restar ad de ae para obtener de. e) Multiplicar de por (l-K) (ecuacion 3.20) para obtener be.

a) b)

EI punto a donde se coloca el operador para ~acer el aforo puede estar situado en un puente 0 en una canastilla suspendida de un cable. En algunos casos se aceptan aforos hechos desde un bote, ~unque este metoda no es muy recomendable debido a que se perturba el flujo y el b?,te es arrastrado por la corriente , impidiendo que el aforo se ~a~a en una seccion transversal a la direccion del flujo. Por otra parte. las medicJones desde puen-

Aforo

41

4 6 8 42

Escurrimiento Tabla 3.2 8°

K

10

12 14 16 18 20 22 24

0.0006 0.0016 0.0032 0.0050 0.0072 0.0098 0.0128 0.0164 0.0204 0.0248 0.0296

26 28 30 32 34 36

0.0350 0.0408 0.0472 0.0544 0.0620 0.0698

tes ~on mas recomendables cuando estes son de un solo claro, pues las pilas o pilotes dentro del cauce producen distorsiones en las lfneas de corriente 10 que puede introducir errores de consideracion en los aforos. '

~I principal inconvenientede este metodo es que cada aforo toma un tiempo relativamente largo (de~ orden de una hora 0 mas en algunos casos), por 10que durante una avenida se pueden hacer solo unas cuantas medieiones 10 que podrfa no s~r suficiente para conformar todo el hidrograma y menos aun determinar el pICO.Este problema se puede disminuir si se dibujan curvas de e~evaci6nd.elnivel d~l agua contra el gasto, permitiendo, con ayuda de un re ~lstro contmuo de niveles en la seccion, determinar el gasto en cualquier instante.

3.3.4 Otros metodos Existen otros rnetodos con los que es posible realizar aforos. Uno de ellos es el de trazadores: q~e consiste en soltar una cantidad conocida de partfculas fluorescentes, radiactivas, etc., en una seccion situada a una cierta distancia agua~ ~rriba de la seccion de aforos para medir el tiempo que tardan en llegar a la tiltima. Esto se puede hacer visualmente, con contadores de radiactividad o con algun otro procedimienro, dependiendo del tipo de partfculas usadas. Este y otr?s me:o~o~ aiin se encuentran en la etapa de experimentacion y su

uso todavia esta lirnitado en la practica,

!

i

Aforo CURVA MEDIA

43

gastos

Figura 3.15 Curva elevacionesgastos

3.3.5 Curvas elevaciones-

Una curva elevaciones-gastos relaciona la elevacion de la superficie libre del agua con el gasto que pasa por la seccion, y se construye Condatos obtenidos de varios aforos. En general, la seccion de aforos del rio no es una seccion de control, por 10 que la relacion tirantes-gastos no es unica. En la figura 3.15 se muestra una curva elevaciones-gastos tipica. La histeresis -es decir, el di ferente comportamiento que observa la elevacion de la superficie libre del agua cuando el gasto aumenta y cuando disminuye- que se muestra en la

curva de la figura 3.15 se debe a que la pendiente hidraulica del flujo es mayor du rante el ascenso de los hidrogramas que durante el descenso. Se acostumbra ajustar los puntos medidos a una curva media que tiene una ecuacion del tipo: (3.21) donde Eo es la elevacion para la que el gasto es nulo y C Yn son dos constan tes que se determinan, por ejemplo, obteniendo logaritmos de la

ecuacion 3.21 y luego aplicando el metodo de minimos cuadrados (vease apendice B). En la mayoria de los rfos, la forma de las secciones transversales cambia continuamente debido a los procesos de erosion y sedimentaci6n, por 10 que es conveniente realizar aforos con la frecuencia suficiente para contar en cual quier momento con una curva elevaciones-gastos actualizada. La variabilidad en el tiempo de la seccion de aforos depende de varios factores: su forma, su situacion con respecto a curvas y otras caracterfsticas del rfo y el material que forma ei cauce, entre otras. Por ello, es diffcil

generalizar en cuanto a

44

Escurrimiento

45

Aforo

la frecuencia con que se deben hacer los aforos. En general, puede decirse que es necesario realizarlos por 10 menos 5 0 6 veces al mes, aunque algunas de pendencias como la Comision Federal de Electricidad y la Secretarfa de Agri cultura y Recursos Hidraulicos especifican un aforo diario. Una vez conocida la curva elevaciones-gastos de la seccion de aforos, es suficiente con determinar la elevdcion de la superficie libre del agua para co nocer el gasto en cualquier momento. Dicha elevacion se determina con algu no de los siguientes metodos:

a) Limnimetro. Es una regia graduada que se coloca en una de las margenes del cauce, en la que normalmente se lee la elevacion de la superficie cada dos horas en epoca de avenidas y cada 24 horas en epoca de estiaje. Dado que la hora en que ocurre el gasto maximo de una avenida puede no coincidir con alguna de las lecturas, conviene mar car el Iimnfmetro con pintura soluble al agua, de manera que se pueda conocer el nivel maximo alcanzado por el rfo y, por 10 tanto, el pico de la avenida. b) Peso suspendido de un cable. Su uso es similar al dellimnfmetro (vease figura 3.16). La elevacion del nivel del agua sera, en este caso , igual a la elevacion del punto desde donde se suspende el peso menos la longitud del cable. c) Limnigrafo. Es un aparato automatico con el que se obtiene un registro continuo de niveles (vease figura 3.17). Se coloca junto a la corrien te, conectado mediante un tubo 0 zanja, 0 bien dentro de ella, por ejem plo, fijado a la pila de un puente cuando se estima que no hay peligro de que 10 destruya la corriente durante una avenida 0 por los objetos arrastrados por el rio. EI aparato consta basicamente de un flotador unido a una plum ilia que marca los niveles del agua en un papel fijado a un tambor que gira mediante un mecanismo de relojerfa (vease figu ra 3. 17). EI papel se cambia normal mente una vez al dfa, aunque esto se fija de acuerdo con la variabilidad del gasto con el tiempo. EI regis-

Tuberfa (AA')

k; A

Tuberfa

J-\---S:l ~:H--I> Rio

A'

~

~'

t s'

Figura 3.17 Colocacion del limnfgrafo

tro de niveles contra el tiempo que se obtiene de un limnigrafo se lla ma limnograma.

3.3.6 Condiciones que debe reunir una estaci6n hldrometrica La seleccion del sitio adecuado para instalar una estacion hidrornetrica (donde se miden gastos) debe tomar en cuenta las siguientes condiciones (referen cia 3.3):

Figura 3.16

a) Accesibilidad. La estacion debe ser accesible en cualquier tiempo y bajo cualquier condicion, especialmente durante avenidas. b) Suficiencia. La estacion debe ser capaz de cubrir todo el rango de gastos que pueda ocurrir. El nivel nunimo de la zanja 0 tube ria en el caso de los

46

Escurrimiento

limrugrafos y de la regia en el de los Iirnnfrnetros, debe estar por debajo de la elevaeion correspondiente al gasto minirno posible y la posicion ma xima del flotador 0 de la regia debe quedar arriba de la elevacion corres pondiente al gasto maximo posible. c) Estabilidad. La seccion transversal del rfo donde se instale la estacion de be estar en un tramo recto, 10 mas estable posible, de manera que las va riaciones que tenga la curva elevaciones-gastos sean razonablernente pequenas. d) Permanencia. La estacion debe estar situada de tal manera que nunca sea destruida por una avenida, Una de las caracterfsticas mas deseables de un registro es que sea continuo y que este formado en un mismo sitio. Ade mas, no debe estar afectado par tomas 0 desvfos, par 10 que la estacion debe situarse, en 10 posible, aguas arriba de ellos.

BIBLJOGRAFIA 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Dominguez, M.R. "Escurrimiento", Cap. A. 1.3. del Manual de Diseno de Obras Civiles, Cornision Federal de Electricidad, Mexico, 1981. Raudkivi, AJ. Hydrology, Pergamon Press, 1979. Chow, V.T. (ed). Handbook of Applied Hydrology. McGraw-Hili, 1964. Chow, V.T. Open Channel Hydraulics, McGraw-Hill, 1966. Wisler, C,O., Brater, E.F. Hydrology, 2nd. Ed., John Wiley & Sons, 1959.

4

Evaporacion y transpiraci6n

Desde el punta de vista de la ingenierfa hidrologioa es importante conocer, por un lado, la cantidad de agua que se pierde par evaporacion en grandes depositos, como preSaS' lagos 0 en sistemas de conduecion, y, por otro, la cantidad de agua con que es necesario dotar a los distritos de riego, para determinar las fuentes y dimensiones de los sistemas de abastecimiento, Evaporacion es el proceso por el cual el agua pas a del estado lfquido en que se encuentra en los almacenamientos, conducciones yen el suelo, en las capas cercanas a su superficie, a estado gaseoso y se transfiere a la atmosfera. Transpiracion es el agua que se despide en forma de vapor de las hojas de las plantas. Esta agua es tomada par las plantas, natural mente , del suelo.

Evapotranspiracion es Ia combinacion de evaporacion y transpiracion, Uso consuntivo es la combinacion de evapotranspiracion y el agua que las plantas retienen para su nutricion, Esta ultima cantidad es pequeiia en compa racion con la evapotranspiracion (aproximadamente representa solo el 1%), por 10 que los terrninos evapotranspiracion y uso consuntivo se usan como sinonimos, 4.1 EVAPORACION [.<1 evaporacion se produce basicamente por el aumento de energia cinetica que experimentan las moleculas de agua cercanas a la superficie de un suelo luimedo 0 una mas a de agua, producido por la radiacion solar, el viento y las diferencias en presion de vapor.

DE ORIENTE

47

BIBLIOTECA

ESCUEI.1i.DE CIENCIAS DE LA TIERRA

48

tiene un valor cercano a en de manera que la ecuacion 4 ..1 se expresa en forma aproximada como:

Este aumento de energfa cinetica provoca que algunas moleculas de agua "brinquen" de manera continua a la atmosfera. Al mismo tiempo, algunas de las moleculas que ya se encuentran en la atmosfera se condensan y regresan al cuerpo de agua. Naturalmente, 10 que interesa en la ingenierfa hidrologica es el flujo neto de partfculas a la atmosfera, al cual se Ie denominara en 10 sucesivo evaporacion. EI intercambio de moleculas descrito se forma en una pequefia zona si tuadajunto a la superficie del agua, como se muestra en la figura 4.1. La eva poracion sera entonces igual a la cantidad de agua que logre salir de la zona de intercambio. Si e,l' es la presion de vapor existente en la zona de intercam bio, ea la presion de vapor del aire que se tiene en un momenta dado y e, la presion de vapor de saturacion, se pueden presentar dos situaciones: a ) e,

>

E

4.1.1 Formulas empiricas La mayor parte de las formulas empfricas que se han propuesto se basan en el planteamiento aproximado de la ley de Dalton (ecuacion 4.2). Existe una gran cantidad de formulas de este tipo, pero todas ell as son muy similares, por 10 que en este apartado se mencionara solamente una.

ell" En este caso se produce evaporacion

~

i

i

Propuesta en 1915 (referencia 4.1), esta formula es:

'

se sature. de haber paso de moleculas de la zona de intercarnbio a la atmosfera y, por 10 tanto, cesa la evaporacion, Esto sucede antes de que el aire

e,

< ell"

En este caso la evaporacion cesa cuando ea alcanza el valor aiin existe un gradiente de presion de vapor entre la zona de intercambio y la atmosfera. A partir de ese momenta cornienza a invertirse el proceso y se produce condensacion, pues e, > e.. e\ a pesar de que

En cualquier caso , la evaporacion es proporcional al gradiente de presion de vapor entre la zona de intercambio y la atmosfera. Esto se conoce como Ley de Dalton y se expresa en la forma:

,.

(4.2)

== k (e, - ea)

Formula de Meyer

mientras ell sea menor que ell" Cuando la presion del vapor del aire alcanza el valor ell' deja

b)

49

Evaporacion


E = k (ell' -

e{/)

(4.1 )

donde k es una constante de proporcionalidad y E es la evaporacion. Debido a la reducida dimension vertical de la zona de intercambio, la pre sion del vapor en la misma es diffcil de medir; sin embargo, ell general mente

'd--- aire rr'"

evaporaci6n

Em

I

=

e (e" -

16.09

ea)

[1

+

~J

Figura 4.1 Zona de intercarnbio.

(4.3)

donde

Em ea e,

evaporacion mensual en cm. presion de vapor media mensual en pulgadas de mercurio. presion de vapor de saturacion media mensual en pulgadas de mercurio. Vw = velocidad media mensual del viento, medida a 10 m de la superfi cie, en km/h. e = coeficiente empfrico, cuyo valor puede tomarse como de 38 para depositos pequefios y evaporfrnetros y de 28 para grandes depositos.

ea y e, se determinan con base en la temperatura y la humedad relativa medias mensuales y con ayuda de la figura 6.2 eorrespondiente al capftulo 6.

4.1.2 Balance de energia Penman, en 1948 (referencia 4.2), desarrollo una teorfa basada en el balance de energfa para el calculo de la evaporacion que no se presentara con detalle en este texto. EI lector interesado puede consultar las referencias 4.2 y 4.3 para ampliar la informacion. La ecuacion final es la siguiente: E = .::l. Rn + 'Y Ea .::l+'Y

(4.4)

50

Evaporacion

y transpiracion

51

Evaporacion

donde e's .,.....

e,.s._ T'.\. Rn Ea 'Y

Ta

----.....,;·

(1 - r) R; - RB kie, - ea) f (Vw)

=

es T'

=

k

Vw

E

........N..N...(.".I.

0

"-\'o_\C)rf')("f)

rf')

r-.iN~~~tr)~.~....-i-o::t

mmHg constante psicrometrica ~ 0.27 --.-- ..of

---

-

-. -">.. ' "

.._

«,

r Rc RB

...t.-.~.. ...o..(.V. )r-ooo

<--i<--i",-i.n0oci;:-i-.i

presi6n de vapor de saturaci6n para la temperatura del aire en la zona de intercarnbio, mmHg. presi6n de vapor de saturaci6n para la temperatura del aire, mmllg. temperatura del aire en la zona de intercambio, of. reflectividad 0 albedo; r = 0.05 para grandes masas de agua. radiaci6n solar, g.cal/cm ' dfa, radiacion emitida por la masa de agua, g.cal/cm ' dfa. constante. velocidad del viento, km/h. evaporaci6n, rnm/dfa,

00

..-.-.....N.N.N...

...(.V.).\.O.OON\O("4')NNO

NNNNr-)~~tr)O~ -----

..-.-...N.N.

~~

....... 00: ~

0

0"1

V)

r-. r-

N.....'.. -...:,.. _..:...........~.....O.... o\oO-.ooo - .. ~)

" " l V

" '-

~ ~ '0 "> , -,

Q'"' ~ Para facilitar la aplicaci6n de la ecuaci6n 4.4, Wilson (referencia 4.3) pro pone el nomograma rnostrado en la figura 4.2. Para usar dicho nomograma se requieren los siguientes datos:

-

donde

...............

-

-

-,

.;.".

~~ l 'o -" -> ..

- .

e.~ "'~

-

=

mimero de horas del sol reales en el mes en cuesti6n.

D = mimero de horas de sol posibles, esto es, el que se tendrfa si no

hubiera nubes en todo el dfa.

-..\.,,>-. ...

-.~

("i.,...;.....:_;_.,:oooo~o .......

-._,.;""",

.. -. ... . . .- ..- ..-. . - .N . ..... ....N....N

N

N

r

n

r> 7 - \0.0 00 '"

0'

0"> ..

b) Relaci6n de nubosidad, nlD.

07\0

N_:,.....:O·~o\r--:fi')OO

0

a) Temperatura del aire Ta, °C.

-

-r--",'O.O'

t")

rrJ'

N

~

,.;.".-.er r--.,..... \0 ("'~off)

..q-If)

r> N \ " i- ("

'j

N

(" 'i

~

\0·00

El valor de n puede estimarse a partir de informaci6n meteorolo

50

Evaporacion

y transpiracion

gica y D segun la latitud y la epoca del afio con la tabla 4.1. c) R", que puede ca!cularse tambien en funci6n de la latitud y la epoca del afio con la tabla 4.2. '. d) La humedad relativa h, en %, que se calcula con la figura 6.2, en funci6n de la presi6n de vapor y Ta.

Evaporacion

51

~~

f'iNN~M~tr)r...:~_..i

_ --

N.N.~..r,r_:.....:.:.f_a.,r._).oci.~.'.:._-.~.

,';?~

(

'...V

)

~&j

'"

""'§v:,

]~

-...-.·.-.-.-.-.N.N. -\0<"10'\00'0000

N N N

52


Evaporacion

53

.".. D t

I

E,

n

t

n

~t

D

t

Vw

I

D E2

a,

1.0

28 24 22 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7

0.7

'<. -3.0

0.6

20 19 18 17 16 15 14

~"'2.? -2.0 -1.8

_1.2 -1.1

3 2 1 O~ -1 -2 -3

t

I

'. '.

\

/

0.6

/

,-

26

-0.6

3 2

-0.5

1

0.1

\

400

0.4

1.0 0.9 300 0.8

0.3

0.7 0.6

-1 -0.3

-2

E,

I

0.0

n -

._.

.I 0.4

19..1
0.5

16

0.6 0.50.2

18

0.4

16

0.0

8

-3

200 0.4

t

E30.1

h

I

I

n

D

r

t

0.70

5

0.2

0.80 0.90

0.1

10

0.0

9

Vw

0.01

E4

I

4 4

3

3

2 1 0

-2

-1 2 -3

-3 -4

t

t

Figura 4.2 Nomograma de Wilson.

0.95

7 6

-1

0.05

I

8

5

o

0.1

0.60

11

7

0.3

0.2

re

12

6

2 0.1

n D

0.1

0.50

1.00.3

14

11

0.40

13

0.2

13

9

._._

2.0,.0

15

0.2

10

3.( 2.0

17

0.1

0.3

/

20 19

g:~03 0.3

4.0 4.03.0

21

"0.4 0.9 .

0.5

0.2

D -4 t

I

~~J

I

9.5

12

o

-0.4

0.6

23

14

4

-0.7

0.7

24

30 29 28 27 26 25 24 23· 22

5.0 4.0,.0 0.9 3.00.8 2.0 0.7 1.00.6

15

0.2

-0.8

0.9

h

10.000.00 8.00.10 6.010.20., 6.0 5.05.0 0.30

6.0

0.8

25

17 2.0 500

"'\

6

3.0 600

LV

27

18

'0.5 \

7

-0.9

7.0 900 6.0

4.0 /700

\ \

9 8

0.3

28

'"

0.7

13 12 11 10

-1.6 -·1.5 -1.4 -1.3

~g(jO 5.0 800 I"

22

-3.5

6 5 ~.

0.8

24

0.8

"T1'

30 29

0.9

30 28 26

0.9

-5.0 -4.5 -4.0

26

-4

1.0

6.0 -5.5

h j

f

t

n

54

Evaporacion y transpiracion e) La velocidad del viento V", en km/h, medida a 2m de la superficie.

55

Evaporacion

Solucion

La ecuacion 4.5 se puede usar con fines estadfsticos para estimar la eva poracion que podrfa presentarse en un vasa de almacenamiento dado 0 en vasos cercanos a 61. Sin embargo, para que sus resultados sean confiables, I, 0 y AV deben estar medidos con precision; dado que E es, en general, un termino relativamente pequefio en comparacion con los demas, errores leves en la medicion de I, 0 0 ~ V conduciran a errores considerables en la estimacion de E.

De la tabla 4.1, D == 15.3 h

4.1.4 Medici6n de la evaporaci6n

~jemplo 4.1. Obtener la evaporacion en el dfa 15 de agosto en un sitio localizado en la latitud 600N cuando la temperatura es de lSoC, n = 6.3 h, VII' = 3 rn/s y h 60%.

n

6.3

D

15.3

De la tabla 4.2:

= 0.41

R; = SOO (interpolado).

De la figura 4.2 resulta:

E, = -2.30 E2 = 3.40 E3 = 0.91

E4 =>

=

1.52

E = -2.30

+ 3.40 + 0.92 + 1.52

3.54 mm/dfa

4.1.3 Balance de agua ~s
=

1-

0 -~V

Se basa en la ecua es: (4.5)

donde E 1

o

volumen de evaporacion en el intervalo de tiempo ~ t considerado. volumen de entradas al va so en el ~t (precipitacion directa y escu rrimiento) . volumen de salidas del va so en el ~t (infiltracion y escurrimiento: en el caso de presas el ultimo se forma por las salidas de la obra de toma y el vertedor de excedencias). cambio en el volumen almacenado en el ~t.

La evaporacion puede medirse por medio de evaporfrnetros, que basicamente estan formados por un recipiente en el que se coloca cierta cantidad de agua y se mide, diariamente 0 con la frecuencia que se estime conveniente, el cambio en el tirante. Existen varios tipos de evaporfmetros; uno de los mas comunes es eillamado clase A, fabricado de fierro galvanizado, cuyas dimensiones se muestran en la figura 4.3. La altura de evaporacion se mide mediante una regIa graduada, colocada deutro de un pequefio tubo aquietador. Los valores medidos deben corregirse sumandoles la altura de precipitacion registrada en el intervalo de tiempo en la estacion pluviometrica mas cercana, generalmente situada en el mismo lugar que el evaporfrnetro. Por otra parte, dado que, para las mismas condiciones atmosfericas, la evaporacion es mayor en depositos pequefios que en los grandes, los datos registrados en un evaporfrnetro deben corregirse si se desean usar para estimar la evaporacion en presas, lagos 0 cualquier otro tipo de gran almacenamiento. Esta correccion se lleva a cabo multiplicando los val ores registrados por un factor que varia entre 0.6 y O.S. En general, 0.7 es un buen valor.

Tubo Aquietador

T

0.26 m

1

Figura 4.3 Evaporimetro.

56


Evapotranspiracion

0

4.2 EVAPOTRANSPIRACION 0 USO CONSUNTIVO

Tabla 4.3 Valoresde s;

EI conocimiento de la evapotranspiracion 0 uso consuntivo es un factor deter minante en el disefio de sistemas de riego, incluyendo las obras de almacena miento, conduccion, distribucion y drenaje. Especialmente, el volumen titil de una presa para abastecer a una zona de riego depende en gran medida del uso consuntivo. En Mexico se usan fundamentalmente dos metodos para el calculo del uso consuntivo: el de Thorntwaite y el de Blaney-Criddle (referencia 4.4). El primero, por tomar en cuenta solo la temperatura media mensual, arroja resultados estimativos que pueden usarse iinicamente en estudios preliminares o de gran vision, mientras que el segundo es aplicable a casos mas especfficos. A continuacion se presentan ambos metodos.

Latitud, E grados 1.04 1.00 0.95 0.90 0.87 0.84 0.80 0.74

0 10 20 30 35 40 45 50

M

F

A

1.04 1.01 1.03 1.03 1.03 1.05 1.03 1.08 1.03 1.09 1.03 1.11 1.02 1.13 1.02 1.15

0.94 0.91 0.90 0.87 0.85 0.83 0.81 0.78

57

usa consuntivo

M

1.04 1.08 1.13 1.18 1.21 1.24 1.28 1.33

J

1.01 1.06 1.11 1.17 1.21 1.25 1.29 1.36

J

1.04 1.08 1.14 1.20 1.23 1.27 1.31 1.37

A

1.04 1.07 1.11 1.14 1.16 1.18 1.21 1.25

S

0

N

D

1.01 1.02 1.02 1.03 1.03 1.04 1.04 1.06

1.04 1.02 1.00 0.98 0.97 0.96 0.94 0.92

1.01 0.98 0.93 0.89 0.86 0.83 0.79 0.76

1.01 0.99 0.91 0.88 0.85 0.81 0.75 0.70

(4.9)

4.2.1 Metodo de Thorntwaite Este metodo, desarrollado en 1944 (referencia 4.5), calcula el uso consuntivo mensual como una funcion de las temperaturas medias mensuales mediante la formula:

(4.6) donde

llj=

uso consuntivo en el mes j, en cm.

Tj= temperatura media en el mes j, en °C.

a, 1= constantes. Ka = constante que depende de la latitud y el mes del afio (tabla 4.3). Las constantes I (fndice de eficiencia de temperatura) y a se calculan de la siguiente manera: 12

1=

E

ij

(4.7)

donde

= ( ; ) 1.514

J

II I

1

En este metoda se toma en cuenta, ademas de la temperatura y las horas de sol diarias, el tipo de cultivo, la duracion de su cicio vegetativo, la temporada de siembra y la zona. EI cicio vegetative de un cultivo es el tiempo que transcurre entre la siembra y la cosecha y, por supuesto, varia de cultivo a cultivo. En la tabla 4.4 se presentan los ciclos vegetativos de algunos cultivos comunes en Mexico. Si se desea estimar la evapotranspiracion durante un cicio vegetativo com pleto, se puede emplear la formula: (4.10) donde E, = evapotranspiracion durante el cicio vegetativo, ern. F = factor de temperatura y luminosidad. Kg = coeficiente global de desarrollo. EI coeficiente global de desarrollo Kg varia entre 0.5 y 1.2. En la tabla 4.4 se muestran algunos de los valores de Kg para diversos cultivos. EI fac tor de temperatura y luminosidad F se calcula como:

j=1

ij

4.2.2 Metodo de Blaney-Criddle

(4.8)

11

F

=

E Ii

(4.11)

Yj

mimero de mes.

Tabla 4.4

Evapotranspiracion Cultivo

Aguacate Ajonjoli Alfalfa Algodon Arroz Cacahuate Cacao Camote Cafia de azucar Cartamo Cereales de grana pequefio (alpiste, avena, cebada, centeno, trigo) Cftricos Chile Esparrago Fresa Frijol Frutales de hueso y pepita (hoja caduca) Garbanzo Girasol Gladiola Haba Hortalizas Jitornate

Ciclo vegetativo

Coeficiente global Kg.

Perenne 3 a 4 meses Entre heladas En invierno 607 meses 3 a 5 meses 5 meses Perenne

0.50 - 0.55 0.80 0.80 - 0.85 0.60 0.60 - 0.65 1.00 - 1.20 0.60 - 0.65 0.75 - 0.80

5 a 6 meses Perenne 5 a 8 meses

0.60 0.75 - 0.90 0.55 - 0.65 0.75 - 0.85 0.50 - 0.65 0.60 0.60 0.45 - 0.60 0.60 - 0.70

Entre heladas 4 a 5 meses 4 meses 3 a 4 meses 4 a 5 meses 2 a 4 meses 4 meses

0.60 - 0.70 0.60 - 0.70 0.50 - 0.65 0.60 0.60 - 0.70 0.60 0.70

Maiz Mango Melon Nogal Papa Palma datilera Palma cocotera Papaya Platano Pastos de gramineas

4 meses 4 meses 4 a 7 meses Perenne 3 a 4 meses Entre heladas 3 a 5 meses Perenne Perenne Perenne Perenne Perenne

0.60 0.60 0.75 0.75

- 0.70 - 0.70 - 0.85 - 0.80 0.60 0.70 0.65 - 0.75 0.65 - 0.80 0.80 - 0.90 0.60 - 0.80 0.80 - 1.00 0.75

Sandia Sorgo Soya Tabaco Tomate Trebol ladino Zanahoria

3 a 4 meses 3 a 5 rneses 3 a 5 meses 4 a 5 meses 4 a 5 meses Perenne 2 a 4 meses

0.60 0.70 0.60 - 0.70 0.70 - 0.80 0.70 - 0.80 0.80 - 0.85 0.60

Mafz

=

I. ==

uso consuntivo

59

mimero de meses que dura eJ ciclo vegetativo. Pi ( T; ;1.~7.8)

(4.12)

Pi = porcentaje de horas de sol del mes icon respecto al afio (vease ta bla 4.5). T, = temperatura media del mes i en "C. Cuando la zona en cuestion es arida, los valores de fi (ecuacion 4.12) se multiplican por un factor de correccion Kti que se calcula como (referencia 4.4): Kti

3 a 6 meses 7 a 8 meses 3 a 4 meses 6 a 7 meses Perenne 3 a 4 meses

Lenteja

donde n

0

=

0.03114

T; + 0.2396

(4.13)

Cuando se desea determinar valores de la evapotranspiracion en periodos mas cortos que un ciclo vegetativo, por ejernplo, de un mes, se usa la formula: (4.14) donde E; es la evapotrartspiracion durante el periodo i; fi se calcula con la formula 4.12 con Pi y T, correspondientes al periodo considerado y KCi es un coeficiente de desarrollo parcial. KCi se puede determinar mediante parcelas experimentales instaladas en el sitio de interes, 0 bien usando los valores medios mostrados en la figura 4.4. 4.2.3 Extracciones de un almacenamiento para riego Los valores de la evapotranspiracion que se calculan con los metodos vistos anteriormente representan Ja cantidad de agua que requieren las plantas para un desarrollo normal. Esta cantidad es diferente de Ia que se debe extraer de un almacenamiento como una presa, debido a que, por una parte, la precipita cion sobre la zona de riego disminuye el volumen de extraccion necesario y, por otra, las perdidas por evaporacion e infiltracion en las conducciones y los desperdicios 10 aumentan. El volumen D, que es necesario extraer del alma (4.15) donde Ar

area de riego.

60


Evapotranspiracion

0

61

usa consuntivo

ooooo~o~-~~~o~~ ~~-oooooo~~~~~~~~~~~~_oo~~oo ~o~~~oo~~

oooooo~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~-~~~~~oo~o~~o~~~~~~_~~~ ~o~~~~~~~~~~~~~~~~--_oo~

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90 100

% DEL CICLO VEGETATIVO

30

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0.80

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% DEL CICLO VEGETATIVO 20


1.00

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63

usa consuntivo

0

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Evapotranspiraci6n

1.00 0.80 0.60 0.40

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MES

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V

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0.80

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10

20

30

40

50

60

70

80


% DEL CICLD VEGETATIVD

Figura 4.4a Graficas de coeficientes de desarrollo parcial.

90

Kc

10 8090 100 203 0 % DEL 40 50 607 0 CICLO 0.80

TIVO MAiz (GRANOI

V

ETA 0.60

0.60

0.40

VEG

k:V o

l.I I .V v20 30 o 10

0.40

10 20 30 40 50 6070 80 90 100 % DEL CICLO VEGETATIVO

/

I

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I1

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~

4050 60 7080 90 100


Figura 4.4b

64

Evaporaci/m

hpi

y transpiracion

=

altura de precipitaci6n media en la zona de riego en el periodo i. Aco = area superficial de las conducciones (presas derivadoras, canales, tanques de almacenamiento temporal, etc.). Wi volumen de desperdicio. he\'i altura de evaporaci6n media en la zona de riego en el periodo i.

Evapotranspiracion

65

uso consuntivo

Solucion

Se tornaran 6 meses como cicIo vegetativo del algod6n (tabla 4.4). a) Si se usa eI metodo de Thorntwaite (apartado 4.2.1) se forma una

tabla de calculo como la 4.7.

Al factor: 'Y/ =

0

100 (Eli -

Dj

hpJ Ar, en %

(4.16)

47

Tabla

se le llama eficiencia del sistema. Es deseable, obviamente, tener eficiencias altas, pues aSIlos almacenamientos necesarios resultan de poca magnitud. Sin embargo, en Mexico y otros pafses 'TJ es menor al 70 %, llegando en ocasiones a tomar valores tan bajos como del 30 % . Ejemplo 4.2. Determinar las extracciones mensuales que es necesario hacer de una presa para regar un area de 20 000 ha, sembrada de algod6n en la region lagunera (zona arida) en la latitud 25° 30'N.

La fecha de siembra es el Io. de abril. Las temperaturas, alturas de preci pitaci6n y alturas de evaporaci6n medias mensuales en la zona son las mostra das en la tabla 4.6. El area de las conducciones es de 100 000 m2 y se estima que el desperdicio medio mensual es de 2 000 000 m', Usar: a) el metodo de Thorntwaite, y b) el metodo de Blaney-Criddle.

(2)

(I) mes, j

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

i,

Vi

4.25 5.71 7.19 9.81, 11.71 12.85 12.63 12.21 10.89 8.78 5.93 4.05

9.92 14.12 16.06 16.06 14.65 11.19

1~1>

(6)

(5)

(4)

(3)

V'"

Vel

D,

106m3 bruto

106m3 neto

106m3

19.84 28.24 32.12 32.12 29.30 22.38

19.91 16.31 16.19 12.31 15.38 22.47

21.91 18.31 18.19 14.21 17.38 24.47

106.01

Tabla 4.6 mes

T,oC

hp, em

ene feb mar abr may jun jul

13.0 15.8 18.4 22.6 25.4 27.0 26.7

0.0 0.0 0.0 0.0 6.0 8.0 10.0

ago sep oct nov die

26.1 24.2 21.0 16.2 12.6

7.0 0.0 0.0 0.0 0.0

hev, em 68.0 73.2 75.4 85.2 91.5 82.3 85.2 80.1 75.9 70.0 65.1 67.3

En la tabla 4.7, i se calculo de acuerdo con la ecuacion ~;8; con.la ecua cion 4.7, I resulta s~r de 106.01 y, por tanto, a es (ecuacion 4.9). a

675 X 10~ <) (106.01)3 ~ 771 x 10~ + 179 x 10~ 4 (106.01) + 0.492

., a

=

7

(106.01)2

+

2.327

Con este valor de a y el de I se tiene, de la ecuacion 4.6, que la evapo transpiracion mensual es:

66

Evaporacion

1.6 K a

lOTl_ ) ( 106.01

y transpiracion

2.327

Bibliografia

BIBLIOGRAFIA 4.1

Con esta expresi6n se calcularon los valores de la columna 3 de la tabla 4.7. El volumen bruto de evapotranspiraci6n (columna 4 de la tabla 4.7) se calcul6 multiplicando el uso consuntivo mensual por el area de riego. En la columna 5 de la misma tabla se ha anotado el volumen bruto menos el de pre cipitaci6n mas el de evaporaci6n en las conducciones (tabla 4.6). Finalmente, en la columna 6 se encuentran los vohimenes mensuales que se deben extraer de la presa, que son los obtenidos en la columna 5 mas 2 X 106 m ' mensuales de desperdicios. b) Usando el rnetodo de Blaney-Criddle (apartado 4.2.2) se forma una

tabla de calculo como la 4.8.

Tabla 4.8 1 mes

a m j j

a s

2 i

1 2 3 4 5 6

3 P; 8.63 9.35 9.26 9.47 9.09 8.31

4 KI; 0.943 1.031 1.080 1.071 1.052 0.993

5 /; 10.07 19.10 20.56 20.70 19.26 15.90

67

6 K,.;

7 EI; cm

106 m!

0.25 0.60 0.95 1.00 0.75 0.45

3.77 8.60 19.53 20.70 14.45 7.15

9.63 4.69 13.61 12.79 9.53 9.23

8

En la columna 3 de la tabla 4.8 se anotaron los porcentajes de horas de sol mensuales con respecto al afio, extrafdos de la tabla 4.5. Los valores del factor de correcci6n Kti, obtenidos de la ecuaci6n 4.13 por tratarse de una zona arida, se muestran en la columna 4. En la columna 5 estan los valores de los factores de temperatura y luminosidad mensuales (ecuaci6n 4.12) y en la columna 6 se encuentran los coeficientes de desarrollo mensual tornados de Ia figura 4.4. En la columna 7 estan las evapotranspiraciones mensuales calculadas segiin la ecuaci6n 4.14 y, finalrnente, en la columna 8 se muestran las extracciones necesarias de la presa, calculadas con la ecuaci6n 4.15. N6tese que entre los resultados de los dos metodos puede haber ciertas diferencias. Por ello, se recomienda usar el de Blaney-Criddle siempre que sea posible.

4.2 4.3 4.4 4.5

Meyer, A.F. Computing run-off from rainfall and other physical data. Trans. Am. Soc. Civil Engs., V. 79. pp. 1056-1155, 1915. Penman, H..L Natural evaporationfirom open water. bare soil and grass. P.R.S. (Londres) A. Vol. 193, p. 120, Apr. 1948.. Engineering Hydrology, Mclvlillan Press, London, 1974. W I'I son, EM . . . "M" 1972 Secretarfade Recursos Hidraulicos. "Proyecto de zonas de·nego, eXlCO, . Thorntwalite, C .W . ,. et al Report o~f the Comitee on transpiration and evapora- tion, /943-44, Trans. Am. Geoph. Union, V. 25 part V, pp. 683693.

5

PJrnacenarniento y transite en vasos y cauces

En este capitulo se hace referencia a los eoneeptos hidrologicos fundaments les necesarios para el disefio de vases y a1transite de avenidas en cauces, los cuales, aunque relativamente simples, son de gran importancia en hidrologfa, pues en gran parte constituyen las bases sobre las que se sustenta el dimensio namiento de las presas y otras obras de aprovechamiento y proteeci6n contra inundaciones

5.1 TIPOS DE ALMACENAMIENTOS Y SUS CARACTERISTICAS La siguiente deseripci6n se refiere a los tipos de almacenamientos y sus ea racteristicas de interes en Ia hidrologfa. Los detalles restantes corresponden a otras materias, como obras hidraulicas e hidraulica fluvial. Un vasa de almacenamiento sirve para regular los escurrimientos de un rio, es decir, para almacenar el volumen de agua que escurre en exceso en las temporadas de lluvia para posteriormente usarlo en las epocas de sequfa, cuando los escurrimientos son escasos, Esto se puede ilustrar con una si tuacion como la que se muestra en la figura 5.1, donde se ha dibujado, en forma muy esquematica, el hidrograma anual de escurrimiento en un rio y una demanca. En este caso, la demanda de agua, constante durante todo el es mayor de 10 que aporta eI rio en los meses de diciembre a junio, pero rnenor de 10 que aporta de julio a noviembre. Es necesario, entonces, almacenar el volumen sobrante para poder satisfacer la demanda cuando el escurrimiento en el rio no es suficiente, para 10 cual se requiere un vaso de almacenamiento.

69

70

Almacenamiento y transito en vasos y cauces

Escurrimiento del rio

E F M A Mes

!

71

Tipos de almacenamientos y sus caracteristicas Corona de la cortina IBordo

A SON

libre

0

Figura 5.1

Un vasa de almacenamiento propositos:

puede tener uno

0

varios de los siguientes

a) Irrigacion. b) Generacion de energfa electrica. c) Control de avenidas.

d) Abastecimiento de agua potable. e) Navegacion, 1) Acuacultura. g) Recreacion. h) Retencion de sedimentos. Los principales componentes de un vasa de almacenamiento se muestran en la figura 5.2. EI NAMINO (nivel de aguas minimas de operacioni es el nivel mas bajo con el que puede operar la presa. Cuando esta es para irrigacion y otros usos, el NAMINO (tambien llamado en este caso NAMin 0 nivel de aguas mfnimas) coincide con el nivel al que se encuentra la entrada de la obra de toma. En el caso de presas para generacion de energfa electrica, el NAMINO se fija de acuerdo con la carga minima necesaria para que las turbinas operen en buenas condiciones. EI volumen muerto es el que queda abajo del NAMINO o NAMin; es un volumen del que no se puede disponer. EI volumen de azol yes es el que queda abajo del nivel de la toma y se reserva para recibir el aca rreo de solidos por el no durante la vida iitil de la presa. Es conveniente hacer notar que e! deposito de sedimentos en una presa no se produce como esta mostrado en la figura 5.2 -con un nive! horizontal- sino que los sedimentos se reparten a 10 largo del embalse, teniendose los mas gruesos al principio del mismo y los mas finos cerca de la cortina. De hecho, en algunos casos existe movimiento de los sedimentos depositados dentro del vaso, fenorneno

Figura 5.2 Principales componentes de un vaso.

que se conoce como corriente de densidad. La ope~aci6n de la pre~a. se lleva a cabo entre el NAMINO 0 NAMin y el NAMO tnivel de aguas maxtmas or dinarias 0 de operacioni. EI NAMO es el maximo nivel con que puede ope rar la presa para satisfacer las demandas; cuando el vertedor de excedencias (estructura que sirve para desalojar los vohimenes excedentes de agua que pue den poner en peligro la seguridad de la obra) no es controlado por compuer tas el NAMO coincide con su cresta 0 punto mas alto del vertedor. En el caso de que la descarga por el vertedor este controlada, el NAMO puede estar por arriba de la cresta e incluso puede cambiar a 10 largo del afio. Asf, en epoca de estiaje es posible fijar un NAMO mayor que en epoca de avenidas, pues la probabilidad de que se presente una avenida en la primera epoca es menor que en la segunda. El volumen que se almacena entre el NAMO y el NAMin 0 NAMINO se llama volumen 0 capacidad tail y es con el que se satisfacen las demandas de agua. El NAME (nivel de aguas mdximas extraordinarias) es el nivel mas alto que debe alcanzar el agua en el va so bajo cualquier condicion. El volu men que queda entre este nivel y el NAMO, llamado superalrr:acenamiento, sirve para controlar las avenidas que se presentan cuando el myel en el, v.aso esta cercano al NAMO. El espacio que queda entre el NAME y la maxima elevacion de la cortina (corona) se denomina bordo libre y esta destinado a contener el oleaje y la marea producidos por el viento, as! como a com pensar las reducciones en la altura de la cortina provocadas por sus asenta mientos.

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J

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Almacenamiento y transite en vasas y cauces

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73

Estimacion del volumen util y el NAMO vaso, y los segundos sirven para estimar los vohimenes

0

gastos que llegaran

al vasa durante su operacion. Los datos topograficos se sintetizan mediante

I

1-146 I Curva

---

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curvas elevaciones-vohimenes y elevaciones-areas, como se muestra en la fi gura 5.3 . Por otra parte, para estimar el volumen uti] que se requiere para satisfa cer una determinada dernanda, se deben tener datos de vohimenes escurridos por el rio durante un tiempo relativamente largo. Desde luego, entre ma yor sea el lapso de registros, mas confiable sera la estirnacion del volume» titil. En general, un registro de 20 afios 0 mas proporciona una buena esti macion.

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C1

Es recomendable

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determinar el I-

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co :::

3

men titil de una presa en dos pasos: el primero consiste en hacer una primera estimacion usando datos mensuales de aportaciones y demandas e ignorando faetores de menor importancia, co mo la evaporacion y precipitacion directa en el vaso; el segundo es simular el funcionamiento del vasa para un periodo largo, tomando en cuenta las va riaciones mensuales y anuales de aportaciones y demandas y todos los demas factores que intervienen en la cantidad de agua almacenada en un determina do instante. Cuando se desea hacer una primera estimacion del volumen uti] se pue

lI-

tt-?

2~0

5?0 Volumen,

Figura 5.3

106m3

Curvas elevacion-volumen

7To

l-r0-1--

y elevacion-arca.

En resumen, existen cuatro voliimenes principales en toda presa que es necesario determinar para disefiar el vasa: el volumen de azolves, el volumen

den usar dos metodos. El primero, llamado de la curva masa

0

diagrama de

muerto, el volumen uti I y el volumen de superalmacenamiento. La determinacion de los dos primeros esta fuera del enfoque de este texto; el volumen de azolves es materia de la hidraulica fluvial y el volumen muerto, en el caso de plantas hidroelectricas, depende, entre otras cosas, del tipo de turbina que se use. A continuacion se estudiaran metodos para evaluar el volumen titil que debe tener una presa para satisfacer las demandas y el volumen de

superalmacenamiento

necesario para que la presa no corra peligro. ¥ 'f ,! s

5.2 ESTIMACION DEL VOLUMEN UTIL Y EL NAMO Existen dos grupos basicos de datos necesarios para el disefio de un vasa de almacenamiento: pianos topograficos y registros hidrologicos. Los primeros proporcionan la relacion que hay entre los vohirnenes, areas y elevacioncs del

I il

Rippl, desarrollado en 1883 (referencia 5.1), es util cuando las demandas son constantes, y el segundo, conocido como algoritmo del pico secuente, es con veniente cuando las demandas varian en el tiempo. Una curva masa es una representacion grafica de volumenes acumulados contra el tiempo. En la figura 5.4 se muestra una parte de una curva masa. Supongase que, en el caso de la figura 5.4, se tiene una demand a cons tante de agua de 56.3 m3/s. La curva masa de demandas es, entonces, una lfnea recta con pendiente de 56.3 m3/5. La pendiente de la curva masa de escurrimiento es el gasto que pasa por

el sitio; entonces, cuando la pendiente de la curva de demandas ag es mayor que la de la curva de escurrimiento af, el gasto demandado es mayor que el aportado por el no y viceversa. Obviamente, en 101-p\untos en que la curva de escurrimientos tiene una pendiente de 56.3, el gasto de aportacion es iguaJ al de demanda, como sucede en los puntos b, c y e de la Figura 5.4. Ahora bien, supongase que el vasa se encuentra lleno en el punta a. En tonces, se observa 10 siguiente: a) Entre el punto a y el b la demanda es menor que la aportacion,

por

10 que el vasa permanece lleno y el agua sobrante sale por la obra de excedencias. b) Hasta el punto b, en diciembre del primer afio, se ha derramado un


74 -

-

, , 5 PO? 4 '5~0 i

1

,

1

,

1

, Escurrimientos

pop 315010

en el rio

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Eb 15do

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75

c al d se incrementa nuevamente el volumen almacenado y en el pun to d la presa vuelve a estar llena. g) Entre el punto d y el e la presa permanece llena y se vuelven a tener derrames. h) Del punto e en adelante el gasto de aportaci6n es otra vez menor que el de demanda y el volumen almacenado disminuye. i) La Iinea abde es una curva masa de salidas totales de la presa (esto es, salidas para cubrir la demanda mas derrames) que tiene una pen diente minima de 56.3 m3/s. Este metoda se aplica a todo el periodo de datos, y la maxima diferencia

T 56.3 -

7S

m3

l-

f--I--f-- f-I-

que se encuentre entre una tangente a los puntos tales como el b y el e y otra tangente a los puntos tales como el c sera el volumen iitil mfnimo necesario para satisfacer la demanda, si se repitieran exactamente las aportaciones que se usan como datos. Es obvio que esto nunca sucede, por 10 que el volumen

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e...... <,

f

Estimacion del volumen uti! y el NAMO

i

-......·-.1-11"--'·

C- ..

=-=-l-- -- "i-

-- I--

=~A~= - ... -

..

--4

1

"1-H·-

··~-1---

Figura 5.4

volumen igual a la diferencia de ordenadas entre los puntos b y h, que, en el caso de la figura 5.4, es de aproximadamente 1 175 x 106 m '. c) Del punto b al c el gasto de aportacion es menor que el de deman da, por 10 que, en este lapso, el volumen almacenado, y por 10tanto tambien el nivel del agua en el vaso, disminuye. d) En el punto c se llega al nivel mfnimo en el vaso; la maxima diferen cia entre el volumen de aportacion y el de demanda del punto b al c esta dado por la diferencia de ordenadas S entre una recta tangente al punto b y el punto c.

util, aSIcalculado, no garantiza que no haya algun deficit durante la operaci6n de la presa en su vida util. e) Del punto c al e el gasto de aportacion es nuevamente mayor que el de demanda y el volumen almacenado aumenta otra vez. 1) Para que durante ellapso indicado por la figura 5.4 no se tenga defi cit, es decir, para que no se deje de cumplir con la totalidad de la de manda, el volumen util mfnimo necesario es S (vease inciso d). De esta manera, dado que la presa esta llena en el punto b, al llegar al punto c el nivel es el del NAMINO. En estas condiciones, del punto

Cuando la demanda no es constante, si bien es posible aplicar el metoda anterior, es mas conveniente hacer el analisis numericamente en lugar de ha cerlo en forma grafica. El algoritmo del pica secuente (referencia 5.3), que se presenta a continuaci6n, se basa en la misma idea de Rippl, pero tiene la ventaja de que es mas facil de usar, especialmente para demandas variables. Este metodo se ilustrara con un ejemplo. Ejemplo 5.1. Dada una serie de vohimenes de entrada al vaso Xi y de salida D, para satisfacer la demanda durante un lapso de T semanas, meses, afios, etc. (columnas 2 y 3 de la tabla 5.1, respectivamente), el algoritmo del pico secuente consiste en: a) Calcular la entrada neta al vasa (Xi - Di) para i = 1, 2, . . . , 2T

(columna 4) y la entrada neta acumulada 1,

l:

j =,1

(J0 -

Dj) para i

=

2, ... , 2T (columna 5). b) Encontrar el primer pico (valor maximo) de las entradas netas acu muladas, PI' el cual equivale a la diferencia de ordenadas entre los puntos b y h de la figura 5.4. En el ejemplo de la tabla 5.1, PI = +175 X 103 m3. c) Localizar el pico secuente, P2, esto es, el siguiente pico mayor que PI, el cual es equivalente a la diferencia de ordenadas entre los puntos e y j de la figura 5.4 y, en el caso de la tabla 5.1, P2 = +260 X 103 m3.

76

Almacenamiento y trdnsito en vasos y cauces d) Entre el primer par de picos, PI y P2, hallar el valor mas bajo de la columna 5 de la tabla 5.1. Este valor corresponde a la diferencia de ordenadas entre los puntos c e i de la figura 5.4 y, por 10 tanto, la diferencia TI PI equivale al volumen S en la figura citada. De la tabla 5.1, TI = - 845 X 103 m' entonces:

S = PI - TI = [175 - (-845)]

X

103 = 1020

X

103 m'

e) Buscar el pi co secuente P3 mayor que P2.

f>

Encontrar el valor minimo T2 que se encuentre entre P2 y P3 Y calcu lar P2 - T2. g) Repetir los pasos e y jpara todos los picos secuentes de los 2Tinterva los de tiempo.

En los ejemplos de la figura 5.4 Y la tabla 5.1 no es necesario realizar los pasos e, f, y g, pues s6lo se tienen dos picos. No obstante, pueden apare cer mas picos en un registro mas largo. La capacidad iitil minima necesaria para que no se tenga deficit en el pe riodo de los datos es, como en el caso de la curva masa:

Tabla 5.1

([) mes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1

2 4

Nuevamente, dado que el periodo de datos nunca se repetira exactamente igual durante la vida iitil de la presa, este volumen uti 1 no garantiza que no habra deficit. . En el ejemplo de la tabla 5.1 el volumen iitil es PI - TI = 1 020 X 103 rrr'. En la columna 6 de la misma tabla se han escrito los vohirnenes que conten drfa el vaso si se presentaran los escurrimientos y demandas sefialados en las columnas 2 y 3 y si el vaso esta Ileno aJ principio del mes 1. Observese que en el mes 5 del segundo afio el vaso se vacfa totalmente, pero no hay ningun deficit en la satisfacci6n de la demanda. Cuando se tiene alguna libertad para variar las demandas, es posible esti mar un volumen hidrologicarnente "adecuado " mediante una curva que rela cione la demanda anual con la capacidad util, como la que se muestra en la figura 5.5. Cada punto de esta curva se obtiene mediante un analisis de curva masa 0 pico secuente. Si las demandas mensuales son variables, el cocien te de la demanda de cada mes entre la anual debe ser el mismo para cada pun to de la curva. Normalmente, en una curva como la de la figura 5.5 existe un punto A tal que para una demand a anual mayor que la correspondiente a dicho punto, un incremento pequefio en las demand as exige un incremento relativamente grande en el tarnafio del vaso y viceversa. Por 10 tanto, un

77

Estimacion del volumen uti! y el NAMO

5 6 7 8 9 10 11 12

®

(£)

Xi

o,

103 m3

103 m3

103 m3

103 m3

120 130 115 125 140 325 450 590 380 280 190 110 120 130

220 250 305 480 305 250 220 180 150 150 160 200 220 250

-100 -120 -190 -355 -165 + 75 +230 +410 +230 +130 + 30 - 90 -100 -·120

-100 -220 -410 -765 -930 -855 -625 -215 + 15 + 145

125 140 325 450 590 380 280 190 110

480 305 250 220 180 150 150 160 200.

355 -165 + 75 +230 +410 +230 +130 + 30 - 90

-680

@ Xi

-

o,

® (Xi

-

Di)ac

+ 175P!

+ 85 15 -135 -

-845T!

-770 --540 -130 +100 +230 + 260P1 + 170

@)

®

Vol.

Derrame

103 m3

103 m3

Estado del vasa

15 130 30

Heno Ilene Ileno

920 800 610 255 90 1'65 395 805 1020 1020 1020 930 830 710 165 0 75 305 715 945 1020 1020 930

®

vacfo

55 30

Ileno Ileno

vasa que aproveche la maxima cantidad de agua posible sin ser demasiado costoso tendrfa que tener el volumen titil correspondiente al punto A. En la figura 5.5 se observa que, en general, una presa que aprovechara el 100% del escurrimiento resulta muy costosa. Las consideraciones antedates estan basadas en factores hidrologicos rini camente y la decision final tendra, desde luego, que tomar en cuenta otras consideraciones, como las economicas, sociales, etc. Con el calculo de la curva masa 0 el algoritmo del pica secuente y una grafica como la de la figura 5.5, es posible tener una serie de opciones preli minares de volumen titil, Sin embargo, al estar funcionando la presa, aunque los valores medics se conserven, la ocurrencia de varios afios secos durante su vida iitil puede producir deficit que hagan que la obra deje de set renta-

78

Funcionamiento de vasos


79

100

reguladores alcanzan a cubrir lapsos del orden de afios, i}t puede ser de varios meses, pero nunca mayor de un ana; por el contrario, en vasos de muy poca capacidad de regulacion, el intervalo de sirnulacion puede reducirse a una se mana 0 hasta un dfa. Las entradas a un vasa son:

50

(5.2)

Demanda anual (% del valumen

de escurrimienta

media anual)

donde ~_

1 Volumen

-l

uti I

2

3

recomendable

4

entradas par cuenca propia. Ef = entradas por transferencia desde otras cuencas. E" = entradas par lluvia directa sabre el vasa.

Ecp

5 Capacidad util, 106 m3

Figura 5.5

Y las salidas se componen de:

ble, a bien la ocurrencia de varios afios humedos puede ocasionar una gran cantidad de desperdicios que pudieran aprovecharse aumentando el volumen iitil. Ademas, las evaporaciones, que no pueden ser tomadas en cuenta en ana lisis como los descritos anteriormente, pueden llegar a afectar de manera con siderable el funcionamiento de la presa. Todos estos aspectos del disefio de vasos de almacenamiento no son tornados en cuenta en los metodos ante rio

(5.3) donde

Sd S,

S, = volumen infiltrado en el vaso. = volumen derramado.

res. Por ello, es siempre necesario corroborar el valor del volumen iitil esti mado par media de la simulacion del funcionamiento del vasa.

5.3 FUNCIONAMIENTO

Sde

5.3.1 Entradas

La ecuacion fundamental para la simulacion del funcionamiento de vasos es la de continuidad, que expresada en un intervalo de tiempo i}t dado es: D

=

i}V

al vaso

a) Entradas par cuenca propia

DE VASOS

x-

= volumen extraido para satisfacer la demanda. = volumen evaporado.

(5.1)

donde

x = volumen de entradas al vasa durante el intervalo i}t. D = volumen de salidas del vasa durante el mismo intervalo. i} V = cambia del volumen almacenado en el vasa durante el intervalo

i}t.

El intervalo de tiempo i}t que se use depende del tamafio del vaso; gene ralmente se toma i}t = un mes, pero en vasos muy grandes, cuyos efectos

I

Son los volurnenes de escurrimiento superficial generados en la cuenca no controlada que descarga directamente a la presa, que esta delimitada par el sitio de la boquilla -donde se localiza la cortina- y las presas situadas aguas arriba (vease figura 5.6). Las entradaspor cuenca propia se cuantifican a partir de los datos reca bados en las estaciones hidrometricas de la zona. En algunas ocasiones se cuenta con datos de escurrimiento tornados en una estacion hidrometrica situada en el sitio donde estara la obra (can frecuencia se instal an las estaciones can este fin). Los datos que se usen seran los de esta estacion, Sin embargo, usualmen te no se tiene una estacion hidrometrica en el sitio exacto donde se proyecta construir la presa, y muchas veces ni siquiera en el mismo rfo. En estos casos es necesario extrapolar la informacion recabada en las estaciones mas cerca nas. Asi, las entradas par cuenca propia se calcularfan como:


80


81

estacion hidrometrica durante el Ilt. Si no existen suficientes estacio nes medidoras de precipitacion, FI se puede calcular como: (5.6a) donde ALp = area de cuenca propia y Ae pondiente a la estacion hidrometrica. • Cuando n

>

area de ia cuenca corres

I, los factores F, se pueden calcular como:

F;

Figura 5.6

(5.6b)

donde K; es un factor de peso que se asigna a la estacion i de acuerdo con su confiabilidad y relacion de sus registros con el escurrimiento en la cuenca de aportacion a la presa analizada. Notese que necesa riamente:

(5.4) donde

n

factor de correccion para la estacion i. volumen de escurrimiento medido en la estacion i. n - mimero de estaciones hidrornetricas consideradas.

1:

(5.6c)

K;

i ~ 1

Los factores de correccion Pi son funcion del area de la cuenca de apor tacion a la estacion i y de la posicion y caracterfsticas de la cuenca de dicha estacion con respecto al sitio de la presa. Cuando n == 1, es decir , cuando se utiliza una sola estacion para estimar las entradas por cuenca propia a la presa, el factor PI se puede estirnar de dos formas: • Si se dispone de suficiente informacion sobre la precipitacion que cae tanto en la cuenca de aportacion a la presa como en la correspondiente a la estacion hidrornetrica, entonces:

(5.5)

donde VIIII' es el volumen de liuvia que cae en la cuenca propia durante el

=

.t:.t Y VII, es el volumen de Iluvia que cae en la Cuenca asociada a la

Tambien es factible, desde luego, usar vohimenes de Iluvia en lugar de areas de cuenca en la formula 5.6b.

b) Entradas par 'transferencia desde otras cuencas (E[) Estas entradas provienen de las descargas, tuadas aguas arriba de la presa en cuestion transferencias, siempre seran conocidas, c)

libres 0 controladas, de presas si en otras cuencas. Si existen estas

0

Entradas par lluvia 'directa sabre el vaso (Ell)

Los aparatos que registran la cantidad de lIuvia que cae 10 hacen en forma de volumen por unidad de area, es decir, como altura de precipitacion (vease capitulo 6). EI volumen de Iluvia que cae directamente sobre el vaso sera en tonces esa altura de precipitacion hp multiplicada por el area que tenga la su perficie Iibre del vaso, en promedio, durante el Ilt usado en el calculo. El area se determina por medio de la curva elevaciones-areas del vaso, como se muestra en la figura 5.7 (vease tambien figura 5.3).


82


E

Cuando no se cuenta con evaporfmetros cerca del vaso, la lamina de eva poracion se puede calcular usando la formula empfrica que se estudio en el apartado 4.1.1 0 alguna similar.

Elevaci6n de la superficie libre al final del M Elevaci6n de la -su-p-e-Crf'"ic~ie-' libre al principio

83

del M

c) Volumen infiltrado en el vasa (Si) Area del vasa al principia del !1t

A Area I

promedio

Este volumen es diffcil de medir. Afortunadamente, en general, es muy pe quefio; si se estima 10 contrario, entonces sera necesario realizar un estudio geologico detailado del vasa que proporcione los elementos para su calculo.

en el !1t

Area del vasa al final del M A

Figura 5.7 Curva elevacion-area del vaso.

Ilt.

Las entradas por lluvia directa sobre el vaso son: (5.7)

EI/ = hp A

donde A es el area promedio del vasa en el Ilt. 5.3.2 Salidas del vasa a) Volumen extraido para satisfacer la demanda (SD) Esta constituido por la ley de demandas bajo analisis, la cual depende, por un lado, del tipo de aprovechamiento de que se trate: agua potable, riego, ge neracion de energfa electrica, etc. y, por otro, de la relacion beneficio/costo de la obra. Para fines de la simulacion del funcionamiento del vaso , este volu men siempre es un dato. b) Volumen evaporado directamente del vasa (Se) De la misma manera que la precipitacion, la evaporacion se mide en lamina o altura (volumen/unidad de area). Si se tienen evaporfmetros cerca del vaso, la evaporacion registrada se corrige como se indica en el apartado 4.1.4 y, por 10 tanto, el volumen de evaporacion se calcula de manera similar al de lluvia directa.sobre el vasa: (5.8)

donde hev

=

lamina de evaporacion y A

=

area media del vasa durante el

I

d) Volumen derramado (Sde)


82

EI volumen de agua que sale por la obra de excedencias es resultado de la simulacion y depende de los niveles caracterfsticos (especialmente del NAMO) y de la polftica de operacion de las compuertas que se defina para cada opcion. 5.3.3 Procedimiento de calculo Si el subindice i denota el principio del intervalo simulado y el i + 1 el final del mismo, la ecuacion de continuidad (5.1) se puede expresar como: Vi +

I

=

Vi

+ Xi -

D,

(5.9) donde Vi +

I Y Vi son los vohimenes almacenados en los instantes i i, respectivamente. Las entradas netas al vasa durante el intervalo considerado, Xi - Di, se pueden expresar , para fines de

+ 1e

calculo como: Xi - D, = L, (5.10)

O,

+ Pi - Sdei

d o n d e I, = volumen de entradas al vasa que no depende del nivel en

el mismo durante el intervalo considerado. O, = volumen de salidas del vasa que no depende del nivel en el

mismo durante el intervalo considerado. Pi = volumen de entradas--volumen de salidas que sf dependen del ni vel en el vasa durante el intervalo considerado. De manera que:


83

"


84

+

Ecpi

Eli

SDi Em

-

Sei -

Sii

(5.ll) (5.12) (5.13)

La ecuaci6n 5.9 esta sujeta a la restriccion:

De 1a topograffa del vasa, obtener las curvas que relacionan la elevaci6n del nivel de agua con el volumen y la elevaclcn del nivel del agua con el area de la superficie libre

Fijar un nivel inicial en el vasa. Generalmente se empieza e! analisls en el NAMO. pero conviene simular el funcionamiento con otros niveles iniciales para verificar en cuanto .tiempo los funcionamientos son iguales

Con el nivel inicial

(5.14)

Calcular el volumen

E; y las curvas £-Vy

£-A obtener Vi y Ai

final en una primera aproximaclcn

como:

donde Vmfn es el volumen de almacenamiento correspondiente al NAMINO o NAMin y Vm es el volumen de almacenamiento al NAMO. Con las ecuaciones 5.9 Y 5.14 es posible hacer el funcionamiento del va so. El procedimiento de calculo se muestra en el diagrama de bloques de la figura 5.8, que se ilustrara con el siguiente ejemplo. Ejemplo 5.2. Simular un afio del funcionamientode caracterfsticas:

un vasa con las siguientes

Curvas elevaciones-capacidades y elevaciones-areas: de los datos topo graficos del vaso, se han determinado varios puntos que relacionan elevacio nes con capacidades y areas del vaso y, mediante el metoda de mfnimos cuadrados (vease apendice B), se han obtenido las siguientes ecuaciones que sirven solo para este vaso en particular:

V

= 10 El.1S

A

= 0.0118

(5.15)

EO

18

(5.16)

donde E = elevaci6n de la superficie libre del agua, en m, V = volumen almacenado, en miles de m ' y A = area de la superficie libre del agua, en km". La elevaci6n del NAMO es la 50.40 m y la del NAMINO la 7.05 m, de manera que el volumen muerto es de 100.2 x 103 m ' y el volumen iitil es 920.4 x 103 m 3. A continuacion se proporciona el resto de los datos.

5.3.4 Entradas Par cuenca propia (Ecp). Aguas abajo de la presa se tiene una estacion hidro metrica que registro, en el afio de estudio, los vohimenes mostrados en la co lumna 2 de la tabla 5.2. El area correspondiente a la estacion hidrometrica es de 500 km2 Y el de la cuenca correspondiente a la presa es de 400 krrr'. No hay suficientes estaciones medidoras de lluvia.

Calcular el volumen final en la siguiente aproxlmacion

V~ ++ l' = Vi + Ii - OJ + Pi

k + 1 como:

I

Figura 5.8 Diagrama de bJoques (funcionamiento de vasos).

Almaeenamiento y transito en vasos y eauees

86

(E}. No hay transferencia de agua desde otras cuencas.

Por transferencia

Acp 400 FI=--=--=08 500 Ae

Por lluvia directa sobre el vaso (Ell). De una estacion medidora de Iluvia cer

cana a la presa se tienen alturas de precipitaci6n anotadas en la columna 4 de la tabla 5.2.

Para satisfacer la demanda (SD)' Del estudio correspondiente, se determina

ron los volumenes mensuales dados en la columna 5 de la tabla 5.2. directa del vaso (Se)' De los datos de un evaporimetro si tuado cerca del vasa se determine que la lamina de evaporaci6n mensual es la mostrada en la columna 6 de la tabla mencionada.

Por evaporaci6n

(5.17)

donde

Por infiltraci6n (S;). Se estima que la infiltraci6n en el vasa es despreciable.

Qi + I Qi + I

En la columna 3 de la tabla 5.2 se ha calculado la entrada por cuenca propia de acuerdo con la ecuaci6n 5.4 con n = 1:

Qi Qi

Vel

donde el factor FI se calcula, segun la ecuacion 5.6, como:

b, t,

Tabla S.2

S, 2

3

4

5

6

S,

V"I

Eel'

hp

SD

he,'

Mes

103 m3

103 m3

em

103 m3

em

I

r,

n d e f m

75.0 87.5 100.0 137.5 250.0 387.5 562.5 850.0 650.0 562.5 437.5 131.3

60.0 70.0 80.0 110.0 200.0 310.0 450.0 680.0 520.0 450.0 350.0 105.0

1.0 0.0 0.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 4.0 5.0 4.0 2.0

200.0 260.0 280.0 320.0 390.0 400.0 390.0 320.0 280.0 230.0 190.0 190.0

1.0 0.0 0.0 1.0 3.0 5.0 4.0 4.0 3.0 3.0 2.0 1.0

1

1

a

m

a s 0

.

La simulaci6n del funcionamiento del vasa se muestra en la tabla 5.3. Los calculos realizados en dicha tabla se hicieron siguiendo paso a paso el diagrama de bloques de la figura 5.8. Es conveniente hacer la simulaci6n del funcionamiento del vasa para toda su vida util; debido a que normalmente no se tienen registros tan largos, estos se pueden completar usando, por ejemplo, la formula de ThomasFiering (referencia 5.3) para la generacion de registros sinteticos:>

5.3.5 Salidas

Ecp= F,

87


+

I

volumen de escurrimiento en el mes i + 1. = volumen medio de escurrimiento en el mes i + 1, obtenido de los registros. = volumen de escurrimiento en el mes i. = volumen medio de escurrimiento en el mes i, obtenido de los registros. = r, S, + I/Si• = mimero aleatorio con distribucion normal, media cero y variancia uno. = desviacion estandar de los vohimenes registrados en el mes i. = desviaci6n estandar de los vohimenes registrados en el mes =

i =

+

1.

coeficiente de correlacion entre los voliimenes del mes i y el i + 1 (vease apendice B).

El primer sumando dellado derecho de la formula 5.17, de estar aislado, constituirfa el modelo mas simple posible para la generaci6n de registros sin teticos: aquel en el que el volumen escurrido en un mes dado es siempre igual al medio en ese meso El segundo sumando toma en cuenta la correlaci6n de los vohimenes escurridos en cada dos meses consecutivos y, finalmente, el tercer sumando toma en cuenta el caracter aleatorio del escurrimiento.

* En este sentido, existe una enorme variedad de metodos para la generacion de registros sinteti cos (ver, por ejemplo, la referencia 5.10). Debido al enfoque dellibro, se presenta unicamente uno de los metodos mas simples.

88

Almacenamiento

y trans ito en vasos y cauces

89


Tabla 5.4 Volumenes en 103 m3

~ r--VlNooC'")C'")C'")O

('"':\l('r)~M('1jM('fj{'f').~-;-O"""'"

"C'")0N0,-0; o\o\o\NN

~ 0 0 ~.v-i v-i ~ .-4

"o"

tnC"'-l""""'OO,.....;,.....;\OO\

":0r-:0-.D0v-i": ..q-M('"'.l ...........................

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00 00 (1") ('fj

,,"O~ lr)

M

('i')........'...-.4,

r-: l Vl -c

'1:~'1:"! o~oooo

Vl,,",,",,"

f

m

a

m

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

20

40 30

60 80 93 115 125 75 48 54 14 18

80 105 100 140 160 70 54 78 39 41

95 120 135 150 180 110 85 60 28 39

~~

"" ,.-< C'") ,.-<

0

00

r-- C'")

r- r--

,-;

00 N 00 0--

,-;

Vl 0-r-- ~ ,.-<

,.-<

00 -o Vl Vl

0000 O~ooN NNNI'"

~~OO

~("I"')M.,......;

..q-tn0\

.........

0V)"..q:- 0('() rN-:

-

16

0

150 160 104 95 185 90 102 145 137 122

120 140 95 80 130 120 105 100 125 130

70 110 70 60 120 100 125 80 95 100

n

d

30 40

10

60 40

7 12 23 10 8 6 15

-

-

15 20 -

-

Para cada mes i deterrninar el mimero de afios en que hubo flujo, Ni· Si N es el niimero total de afios de registro, calcular la probabilidad deque en un afio dado haya flujo en el mes i como:

00

00

Pi

00 N

;=

N;lN

(5.18)

Calcular (2; y S, Y determinar el coeficiente de correlaci6n para los pares sucesivos de meses en que se hayan tenido escurrimientos. Ge nerar secuencias de vohimenes mensuales para el mes i, escoger un mimero aleatorio r' uniformemente distribuido entre 0 y 1. Si Pi > r', habra escurrimiento en ese mes; si r' > Pi no habra escu rrimiento en ese mes y se repite el procedimiento para el mes i + 1.

Ejemplo 5.3. En un no se tiene el registro de volumenes mostrado en la tabla :i.4. Generar 5 afios de registros sinteticos.

0--

0":000

-

15 21

110 130 180 220 240 200 150 100 60 75

s

(referencia 5.4):

00 N 00 C'")N

oor--VlN

12 10 9 16 22 13

25 27

100 140 160 180 205 150 98 77 45 62

a

La aplicaci6n de la f6rmula 5.17 puede tener algunos problemas en el caso de corrientes effmeras 0 intermitentes, donde los gastos pueden ser nulos en algunos meses del afio. Para este caso , se usa el siguiente procedimiento

8 N

00000,,"

-

-

j

I I

0

0000 N 00 0--

-

j

If)

,.-<

N

00 r-- 0 C'")

0

0\ 0\

.. . .

00 - 0 0

e

r-:""';o..r....-....:....o.. O o O o \ O O o\N (.'. ,l(1 ") ..q -..q -. .q- l£)

I I

'-;

o

Ano

C'") 0--

En la tabla 5.5a se muestra el calciilo de Qi' S; Pi, ri Y b, Y en la tabla :i.5b se presentan los voliimenes generados para los cinco aiios, Por comodi dad, para decidir si en un mes dado hay escurrimiento 0 no, se ha usado el

~,.....;

mismo mimero aleatorio t.. En este caso, el primer volumen es nulo, pero en general conviene usar como Qi (ecuaci6n 5.17) para el primer mes la media Qi del ultimo mes del afio,

90

Almacenamiento y transite en vasos y cauces

Trdnsito de avenidas en vasos

Tabla 5.5a Vohimenes en 103 m ' -

En el transite de avenidas en vasos se usa, como en la simu1aci6n del fun cionamiento de vasos, la ecuaci6n de continuidad:

i

Qi

Si

Pi

r.

hi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

14.6 24.9 68.2 86.7 100.2 121.7 146.5 129.0 114.5 93.0 34.2 11.4

4.6 8.0 35.1 38.2 46.2 50.4 58.7 29.9 17.8 21.1 14.8 5.1

0.7 0.7 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.6 0.8

0.800 0.386 0.955 0.923 0.986 0.954 -0.142 0.605 0.629 0.766 0.490 -0.627

1.39 1.69 1.04 1.12 1.08 1.11 -0.07 0.36 0.75 0.54 0.17 -0.57

11

12

Ii

I 0.395

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.853 0.834 0.852 0.501 0.792 0.306 0.807 0.280 0.286 0.939 0.032

Qi

i

0.00 0.75 67.91 96.05 119.58 149.29 182.51 150.37 126.16 106.44 50.39 0.00

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

t, 0.507 0.680 0.798 0.087 0.289 0.544 0.412 0.331 0.613 0.802 0.841 0.397

Qi

0.00 0.00 51.96 70.79 87.52 112.58 143.63 139.00 126.79 115.37 54.28 0.00

d V

1-0

(5.19)

dt

donde I

gasto de entrada al vaso. gasto de salida del vaso.

o dV dt

variaci6n del volumen almacenado en el tiempo.

o bien, en diferencias finitas:

Tabla 5.5b Vohimenes en 103 m3 i

91

i 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

t, 0.746 0.120 0.257 0.109 0.664 0.853 0.686 0.248 0.355 0.602 0.946 0.132

a. 23.77 0.00 34.44 52.83 74.06 100.64 135.20 137.13 122.46 108.84 51.76 0.00

i

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

Ii

o.

i

t,

0.946 24.49 49 0.007 0.132 0.00 50 0.445 0.882 54.68 51 0.755 0.847 82.23 52 0.397 0.721 108.02 53 0.283 0.925 137.91 54 0.043 0.856 179.56 55 0.912 0.286 135.15 56 0.584 0.251 120.27 57 0.819 0.399 103.87 58 0.139 0.162 0.00 59 0.308 0.490 0.00 60 0.574

Qi

0.00 .

2

0.00 50.57 72.86 89.73 110.75 150.40 146.Dl 132.23 108.58 0.00 0.00

At

(5.20)

donde los subindices i e i + 1 denotan valores al inicio y al final del intervalo de transite At, respectivamente. El valor de At que se usa en el transito de avenidas, debido a la duracion de las mismas, es considerablemente mas pequefio que el empleado en la si mulaci6n del funcionamiento de vasos; en el primer caso, At es del orden de horas, mientras que en el segundo, At es en general de un meso Por esto, durante el trans ito de una avenida, terminos como la lluvia directa en el vaso, la evaporaci6n y la infiltraci6n son insignificantes y normalmente se ig noran. En terminos globales es recomendable que el At que se use sea menor o igual a una decima parte del tiempo de pico del hidrograma de entrada:

5.4 TRANSITO DE AVENIDAS EN VASOS El tnins.ito de avenidas en vasos es un procedimiento que sirve para determi nar el hidrograma de salida de una presa dado un hidrograma de entrada. Al gunas de sus principales aplicaciones son: a) Conocer la evoluci6n de los niveles en el vasa y de los gastos de sali da por la obra de excedencias, para saber si la polftica de operaci6n de la.s compuertas del vertedor es adecuada y asf, al presentarse una avemda, no se pongan en peligro la presa, bienes materiales 0 vidas humanas aguas abajo. b) Dimensionar la obra de excedencias. c) Fijac el NAME y las dimensione; de las obras de desvfo Y atagufas.

2

(5.21)

I

I

Durante el trans ito de una avenida por un vaso, la forma de los hidrogra mas de entrada y salida es aproximadamente como se muestra en la figura 5.9. Antes del tiempo to, las condiciones estan establecidas y la entrada es igual a la salida. En el intervalo to < t < tl, la entrada es mayor que la sali y consecuentemente el maximo nivel enel el vaso. Elalmacenado area que hay da y, de acuerdo con la ecuaci6n 5.19, aumenta volumen en el vasa y, por 10 tanto, su nivel. En el tiempo tl se alcanza el maximo almace namiento entre los dos hidrogramas entre to Y t I,

92


1,0,

Trdnsito de avenidas en vasos

C = coeficiente de descarga. O, = gasto por el vertedor de excedencias, m3/s.

Voiumen maximo almacenado en el vasa

~-------r------------~,-

El coeficiente d~ descarg~ C es siempre del orden de 2, y este es un valor suficientemente aproximado para hater el transite de la avenida. Obviamente, si E < Eo,. O, = 0. . . La ecuacion 5.23es valida cuando la descarga por el vertedor es libre; si tienecompuertas y se pretende usarlas durante el paso de la avenida, !a ecua cion 5.23 se sustituirfapor una regia de operacion de compuertas prevla~ente establecidacon la limitante de que el gasto de descarga debe ser meno_roIg~al que Ow Por otra parte, se puede pensar en que .la o~ra de toma este funcio nando de manera simultanea al paso de la avenida. $1 el gasto descargado por la obra de toma OT es significativo en relacion al descargado por el verte dorIt., entonces Ia salida total de la presa sera:

~,._

Figura 5.9 Hidrogramas de entrada (I) y salida (0)

Vs

=

1

tl

'(I

o - 0) dt

(5.22)

10

es el volurnen maximo almacenado yes, por 10 tanto, el volumen de superal macenamiento requerido para la avenida de entrada I (t) considerada, yel ni vel que se tiene en el vasa eneI tiempo t1 sera el NAME necesariopara esa misma avenida. Cuando t > tJ, las salidas son mayores que las entradas y, porIa ecuacion 5.19, el volumen almacenado en el vasa disminuye. Al' realizar el transite de una avenida por un vaso, en cualquier instante dado, se conocen todas las condiciones CI, 0 y V) en i (ecuacion 5.20), y se deseanconocer en i + 1. Entonces, 1a ecuacion de continuidad 5.20 tiene dos incognitas, 0; + J YVi + 1(obviamente I se conoce para cualquier tiempo), por 10 que Serequiere otra ecuacion para tenerun sistema determinado. Esta ecua cion es Ia que liga los gastos que salen por el vertedor con la elevacion de la superficie libre del agua, que en general tiene la forma (referencia 5.5):

o, =

93

CL (E - Eo)3/2, E

> Eo

donde

E :;= elevacion de la superficie libre del vaso, m. Eo == elevacion de la cresta del vertedor, m.

(5.23)

=

O,

+ OT

(5.24)

As! con las ecuaciones 5.20, 5.23y 5.24 yla curva elevacionesvolumenes del'vas; (figura 5.3) se tiene un sistema de ecuaciones d~terminado"c~ya so Iucion, en cada intervalo de tiempo, proporciona las salidas y los vohimenes enel vaso. De los procedimientos existentes para el transito de avenidas en va~o~se presentan dos: uno semigrafico, utiI para calculos manuales, y.uno numenco, que conviene utilizar cuando se cuenta con una computadora digital 0 una cal culadora programable. 5.4.1 .Metodo semigrafico La ecuacion de continuidad 5.20 tambien se puede escribir en la forma: 2V; Ii

+ I, + I + (---

tlt

2Vi

-

0;) =

+ I

tlt

+

0; +

I

(5.25)

donde los terminos desconocidos se han puesto del lado derecho de la ecua cion. Dado que tanto Vi + 1 como 0; + 1 dependen del nive! en el v.aso (vease la figura 5.3 y la ecuacion 5.23), antes de realizar el transite conviene trazar = longitud de fa cresta del vertedor, m.

L

una grafica auxiliar que relaciona

--2V tlt

°

+ 0 con para cada e1evaci"on (ve, ase figura 5.10). Para trazar dicha grafica los pasos a seguir son:

95

Transite de avenidas en vasos


94

Se fija el At que se usara en el calculo. Se fija un valor de E, mayor que Eo· Se calcula con las ecuaciones 5.23 Y 5.24. Se determina V con la curva elevaciones-volumenes del vasa (figu-

a) b) c) d)

°

ra 5.3).

+ 0. At f) Se regresa al punto b tantas veces como sea necesario para definir ficientes puntos. g) Se dibuja la curva.

h I II

-f-+- I-- - ._-1---1--

i

2V

Se calcula

e)

I

S'll-'

Una vez dibujada la curva, se utiliza el siguiente procedimiento para el

I I

transite de la avenida:

II II I

a) Se fija un nivel inicial en el vaso Ei. En general conviene que este

,

t.,

i'

b)

I

nivel inicial sea el del NAMO para hacer el transite en las condiciones mas desfavorables. Se calculan las salidas Oi y el volumen Vi correspondientes ala elevaci6n t:

I

I'

c) Se calcula

2Vi -

°i'

At d) Con los gastos I, e I, + i, conocidos de la avenida de entrada y el re-

H-+-+++-H-+--l---+--\--t-l--L i

2Vi +

T

I

sultado del inciso c, se calcula ---

-f-.-t--t-+--I-I+-I+-4T-+--+-i l-l--+-l--l--li iJ_-t-+--+,-+-1-+11+ --+-++-~~ j I

I

i:

H-+-+++-H-+_~~+-~i~+I--Lj_-t-r~i-~-+-+-+-H-~~~+L~_j +--l--+-+---I--.-Jf--l--l-+--+·-+-l--H-+--t-+--+-+---+--,J--J-+--+l-' i

I

1

At

+ O,

+ 1

usando la ecua

ci6n de continuidad (ecuaci6n 5.25):

+--l--"

2Vi +

1

At

+

0i +

1 =

I,

+ Ii+

1

2Vi

-

+ (---

At

2V e) Con el resultado del inciso anterior y la curva _-

(figura 5.10) se determina O, f) Se Testa O, +

Figura 5.10

,· I

I

,

1

At

+ I'

2Vi +

dos veces de ---

At

1

+ O,

+ I'

°i)

+

°

contra

Con esto se tiene:

°

2 V i

+ 1

A t

-

O,

+ I

96


Transito de avenidas en vasos

97

Solucion La ecuaci6n de salidas es (ecuaciones 5.23 y 5.24):

200

o

= CL(E =

100

si E

2 x 15 (E - 50.4)3/2

+ 20

> 50.4 m, Si E < 50.4 m, 0

se usara !:.t 2

EO)3/2 + OT

=

0.1 h

=

=

=

30 (E - 50.4)3/2

OT

=

+ 20

20 m3!s.

360 s.

th 2V a) Curva --!:.t

+ 0 contra O.

Figura 5.11 Hidrograma de entradas.

2V

En la tabla 5.6 se muestran los calculos para la curva -;;:;-

g) Se pasa al siguiente intervalo (esto es, se hace i = i + 1) Y se vuelve al paso d tantas veces como sea necesario para terminar con eI hidro grama de entrada.

Ejemplo 5.4. Transitar la avenida mostrada en la figura 5. I I por un vasa cuya curva elevaciones-volumenes tiene la ecuaci6n*: V = 10 EI

18

(5.27)

(5.26)

donde E = elevaci6n en m y V = volumen en miles de m'. La elevaci6n del NAMO es la 50.4 ill, el vertedor es de cresta libre con longitud de 15 m y coeficiente de descarga de 2, y la salida por la obra de toma es constante e igual a 20 m3!s. Usar el metodo semigrafico. Encontrar el NAME correspondiente a esta avenida y vertedor y determinar el hidrograma de salidas del vaso.

* Notese que las ecuaciones 5.26 y 5.27 son validas solo para este vaso en particular. Cada vaso tiene sus propias ecuaciones, que pueden obtenerse a partir de un analisis de regresion (vease apendice B).

+ O. En

la columna 1 estan las elevaciones seleccionadas; en la 2 se encuentran los vohimenes almacenados correspondientes a las elevaciones de la columna I y calculados con la ecuaci6n 5.26; en la 3 estan los .~astos de salida, calcula dos con las elevaciones de la columna I y la ecuacron 5.27 y en la columna 4 se ha hecho el calculo de va resultante. b) Transite de la avenida.

I ,,"

'j

2V !:.t

+ O. En la figura 5.10 se muestra la cur-

Los calculos para el transite de la avenida se han hecho en la tabla 5.7. Si se usa una tabla como esta, el procedimiento a seguir es: Tabla 5.6

(j)

0)

(])

E

V

0

(]) 2V

-_ ._ + 0 !::.t

m

103 m3

m31s

m31s

50.4 5l.0 52.0 53.0 54.0

1 020.6 1 035.0 1 059.0 1 083.0 1 107.2

20.0 33.9 80.7 145.8 224.9

5690.0 5 783.8 5963.9 6 162.7 6376.0

Almacenamiento y transite en

98

vaS(JS

y cauces

Transite de avenidas en vasos

Tabla 5.7 1

2

3

4

t

i

t,

I, + Ii +

5 I

_1_JI;_ -

6 OJ

ill

_2V; +

I

+

OJ + I

ill

7

8

9

OJ

Vj

t: m3

99

5, Determinar, con el valor de 2V

--

!1t

+

°

contra

°

2Vj + !1t

I

+ 0; + I (columna 6) y la curva

(figura 5.10), la salida en el siguiente inter

m3!s

m3!s

m3!s

m3!s

m3!s

/03

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1

0 I 2 3 4 5 6 7 8 9 IO II

0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 120.0 140.0 160.0 180.0 200.0 190.0

20.0 60.0 100.0 140.0 180.0 220.0 260.0 300.0 340.0 380.0 390.0 370.0

5670 5650 5666 5702 5742 5780 5803 5 832 5856 5876 5 888 5894

5690 5710 5766 5842 5922 6000 6063 6 132 6 196 6256 6278 6264

20.0 20.0 22.0 32:0 50.0 99.0 115.0 118.0 138.0 160.0 184.0 192.0

1020.6 1023.5 1030.3 I 031.3 I 049.4 1056.2 1067.0 1075.3 1082.5 1088.6 I 093.0 I 094.4

50.4 50.5 50.2 51.2 51.6 50.0 52.3 52.7 53.0 53.2 53.4 53.5

1.3 1.4 1.5 1.6

13 14 15 16

170.0 160.0 150.0 140.0

330.0 310.0 290.0 270.0

5 874 5 880 5874 5872

6204 6 190 6 164 6 142

182.0 162.0 158.0 146.0

1091.2 1086.5. 1 085.4 1081.1

53.3 53.1 53.1 52.9

ximaciones sucesivas para calcular el volumen y el gasto de salida en el inter valo i + 1. Primero se supone que el gasto de salida es igual al que se tuvo

1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

120.0 110.0 100.0 90.0 80.0 70.0 60.0 50.0 40.0 30.0 20.0 10.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

230.0 210.0 190.0 170.0 150.0 130.0 110.0 90.0 70.0 50.0 40.0 10.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

5646 5832 5824 5814 5800 5790 5778 5760 5748 5728 5710 5690 5606 5562 5522 5482 5442 5402

6076 6042 6014 5984 5950 5920 5 888 5850 5816 5778 5740 5700 5606 5562 5522 5482 5442 5402

132.0 122.0 108.0 100.0 92.0 80.0 71.0 64.0 52.0 44.0 34.0 30.0 22.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0

1073.5 1070.3 1066.1 1062.0 1056.8 1 054.4 1049.6 1045.8 1 040.4 1035.7 1030.3 1025.3 1020.2 1016.3 1012.7 1009.1 1005.5

52.6 52.5 52.3 52.1 52.0 51.8 51.6 51.5 51.2 51.0 50.8 50.6 50.4 50.2 50.1 49.9 49.8

el vo!umen almacenado, + I (notese que los mimeros arriba y a la derecha de V no son exponentes, sino superfndices que cuentan las iteraciones). Con este volumen y la curva elevaciones-voliimenes se determina la elevacion y con ella una nueva estimacion del gasto de salida. Con este gasto de salida 0; + 1 se calcula un nuevo volumen y, si es similar al calculado en la itera cion anterior, se imprimen los resultados y se pasa a un nuevo intervalo de tiempo; en caso contrario, se hace otra iteracion.

h

1. Calcular todas las sumas I;

m

valo 0; + I Y anotarla en el proximo renglon de la columna 7. 6. Restar el ultimo valor anotado en la columna 7 dos veces del ultimo valor anotado en la columna 6 y colocar el resultado en la columna 5. 7. Volver al cuarto paso hasta que las salidas por el vertedor sean nulas. 5.4.2 Metodo numerico

NAME

=

Ejemplo 5.5, Resolver el problema del ejemplo 5.4 usando el metodo

numerico.

Se escribio un programa de computadora en Jenguaje BASIC para resolver el ejemplo, el cual sigue el diagrama de bloques de la figura 5.12. Este pro grama y los resultados se muestran enseguida.

50.4 m (columna 9).

2V

°

V;

Solucion

+ I; + I (columna 4) a partir de la avenida

de entrada (columna 3). 2. Fijar el nivel inicial. En este caso, Eo

En la figura 5.12 se muestra un diagrama de bloques que indica los pasos que se siguen en el metoda numerico.

3. Calcular el volurnen inicial, el gasto de salida y 0; = (columna 5).

!1t

5

- 0;, donde

10

.20

25 26 27 30 35

PRINT"

PRINT " T RAN SIT 0

DE

READ 11,E1,V1,01,DT,TO,C,L,EO,OT,A,B,TT

I =

1

PRINT "I", "III)", "VII)", "E(I)", "011)" PRINT" ", "M3/S", "M3", "M", "M3/S" PRINT 1,II,V1,EO,01 PR# 0: INPUT "1(1+ 1 )?"; 12 K = 0

AVE N I D A SEN

VAS 0 S": PRINT

40

02

= 01

100 45 50 60 65 70 80 90 100 110 114 115 120 130 135 140 142 145 150 160 170

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

PR# 1 V2(2) = ((12 + 11) / 2 - (02 + 01) / 2) * DT + V1 E = (V2(1) / A) (1 t. B) IF E < EO THEN 02 = OT: GOTO 80 02 = C * L * (E - EO) 1. 5 + OT K = K + 1 IF K = 1 THEN 50 IF ABS ((V2(1) - V2(2)) /V2(2)) > TO THI;N V2(1) V2(2): GOTO 50 IF I + DT > TT THEN STOP PR# 1 PRINT" "; PRINT1+ 1,12,V2(1),E,02 V2(1) = V2(2) V1 = V2(2) I = I + 1 01 = 02 11 = 12 GOTO 30 DATA 0,50.4,1020600,20,360,0.001,2,15,50.4,20,10000,1. 18, 12600 END

1(1) M3/S

V(I) M3

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 20 20 20 20 20 20 20

1020600 1017000 1020600 1031400 1046135.72 1059459.24 1069583.68 1077685.37 1084887.5 1091596.87 1097949 1097949 1095282.58 1091930.2 1088897.42 1085734.08 1082510.21 1079208.07 1075821.26 1072340.45 1068754.6 1065050.3 1061210.98 1057215.71 1053037.56 1048640.75 1043976.15 1038973.14 1033523.9 1029248.95 1026911.4 1025456.63 1025456.63 1024476.53 1023637.78 1023047.93

E(I) M 50.4 50.2480777 50.3987737 50.8503768 51.4653914 52.0203293 52.44131 52.7777459 53.0765018 53.3545456 53.6175445 53.61-;75445 53.5071745 53.3683525 53.2427087 53.1115994 52.9779215 52.8409352 52.7003699 52.5558328 52.4068593 52.2528848 52.0932113 51.926959 5).7529937 51.5698104 51.3753421 51.1666179 50.9391029 50.7604882 50.6627737 50.6019437 50.6019437 50.5609546 50.5258722 50.5011979

Datos: '1' E1, V1,

,_

0(1) M3/S 20 20 20 29.0674524 52.9902055 81.8765626 107.495297 129.994108 151.362847 172.355206 193.144255 193.144255 184.312163 173.424407 163.787057 153.955194 144.1726 134.407798 124.66893 114.960688 105.28971 95.6647999 86.0979487 76.6059824 67.2133592 57.9572273 48.8972615 40.1367618 31.8748675 26.4931856 24.041049 22.7224935 22.7224935 21.9372083 21.3397262 20.9657806

.101

Transito de avenidas en vasos


Vk + 1 i + 1

(

'; + 1

+

2

';

De la curva E -

°

1, !:it, tolerancia

0; +

1

+ 0;

2

)

M+

V, ca)cular E; + 1

con V; + 1

0; +

CL

1

(E; + 1 -

Eo)3/2

+ O.

i'.i iI:

.1

Sf

.1

Imprime

t, +

·f if:1

'I Figura 5.12

l' V;+1,E;+1,O;+1


102

Conservaci6n

5.5 TRANSITO DE AVENIDAS EN CAUCES Normalmente, el sitio donde se miden los escurrimientos 0 donde se en cuentra una presa para control de inundaciones se localiza varios kilometres aguas arriba del punto donde las avenidas pueden causar dafios, debido a las condiciones topograficas y geologicas que deben existir para construir una presa o las que debe reunir el sitio para instalar una estacion hidrometrica. Es necesario por ello con tar con metodos que permitan conocer la va riaci6n de un hidrograma al recorrer un tramo de cauce, para poder deter minar el efecto de presas reguladoras en tramos aguas abajo, para disefiar bordos de proteccion contra inundaciones, etc. La simulacion de la variacion de un hidrograma al recorrer un cauce se conoce como trdnsito de avenidas

en cauces. Este problema es similar al transite de avenidas en vasos en el senti do de que el rio mismo es tambien una especie de almacenamiento alar gada y de que la solucion se da por medio de la ecuacion de continuidad y alguna relacion entre almacenamiento y gasto de salida. Sin embargo, aquf aparecen algunas dificultades adicionales como (referencia 5.6): a) Con frecuencia no se tienen pianos topograficos precisos del tramo y Ia relacion descargas-vohimenes no se conoce. b) Casi siempre se tienen entradas a 10 largo del tramo, adicionales a las de la seccion aguas arriba, que no son conocidas. c) El niveI de la superficie libre del agua no es horizontal, como sucede en el caso de vasos, 10 que implica que un mismo tirante en el extre mo final del tramo se puede formar para diferentes gastos de salida (vease figura 3.15). Los metodos existentes para el transite de avenidas en cauces se pueden dividir en dos tipos: hidraulicos e hidrologicos. Los rnetodos hidraulicos se basan en la solucion de las ecuaciones de con servacion de masa y cantidad de movimiento para escurrimiento no perm a nente; su deduccion esta fuera del enfoque de este texto, pero se pueden consultar, por ejemplo las referencias 5.5 y 5.7. En su forma diferencial, es tas ecuaciones son: Conservacion

av a x

de cantidad de movimiento:

av

av at donde

x

ay ax

+v- -

a

(5.29)

+g

y = tirante. v

== velocidad.

q

= gasto lateral.

B So Sf

= ancho ==

=

de la superficie libre. pendiente del fondo. . pendiente de fricci6n; si se calcula con la formula de Manmng:

RH = radio hidraulico. n == coeficiente de rugosidad. x = coordenada espacial. = tiempo. Las ecuaciones 5.28 Y 5.29 forman un sistema de ecuaciones diferencia les parciales hiperbolicas no lineales, del que no existe u~a solucio~ .anaHtica conocida. Por ello, es necesario resolverlo usando algun metodo numenco como el de las caracterfsticas, diferencias finitas 0 elemento finite. El tratamiento de estas soluciones esta fuera de los alcances de este texto; el lector interesado puede recurrir en primera instancia a la referencia 5.7 para un tratamiento mas completo. . . Los metodos hidrologicos utilizan simplificaciones de las ecuaciones 5.28 y 5.29 para llegar a soluciones mas simples, pero menos aproximadas q~e las que se logran con los metodos hidraulicos. En este apartado se estudiara uno de estos metodos, llamado metoda de Muskingum.

5.5.1 Metodo de Muskingum Este metoda fue presentado por primera vez en 1938 (referencia 5.8). Utiliza la ecuacion de continuidad 5.19 en su forma discreta:

de masa:

y-- +

103

Trdnsito de avenidas en cauces

v--

ay

ay

+

ax

q

Ilt -

0;

+

0; +

1

Ilt = IlV

(5.30)

( 5 . 2 8 ) B

2 2

at

104

Almacenamiento

y trans ito en vasos y cauces

Vc = f(I - 0)

y una relacion algebraica entre el almacenamiento en el tramo V y las entradas I y salidas 0 de la forma:

V

=

K0

+ Kx

(1 -

0) = K [xl

+

(l - x) 0]

dondefindica

f

(0)

Kx (I -

(5.34)

0)

De la ecuacion 5.31:

(5.31 )

donde K es una constante llamada parametro de almacenamiento y x es un factor de peso que expresa la influencia relativa de las entradas y las salidas del almacenamiento en el tramo. La ecuaci6n 5.31 esta planteada pensando en que el almacenamiento en un tramo de rio se puede dividir en dos partes (vease figura 5.13). El primero es un almacenamiento en prisma, KO, que depende solamente de las salidas y serfa el unico si el nivel de la superficie libre del agua fuera paralelo al fon do del rfo. Este almacenamiento se puede comparar con el que se tiene en el caso de un vaso, que, si se combina la ecuacion 5.23 con la figura 5.3, se expresa como: Vp =

105

Transito de avenidas en cauces

(5.32)

Sustituyendo la ecuacion 5.35 en la 5.30se 0; +

---~At

- ----

2

1

+

2

tiene:

0; At = K [xCIi +

1 -

+

IJ

(I - x) (O, +

0i)]

1 -

Despejando 0; + I:

O,

Kx

+ 1 = -----

+ sin + Atl2

Atl2 - Kx I; + --::::---:------:---::: I; + K(l - .r) + Atl2

K(l - .r)

1

+

K(l - .r) -

K(l - x)

+

Atl2 0; f::..t12

o bien:

alguna funci6n. En el caso de cauces, se supone que la funcion

0; +

f(O) es de la forma:

(5.36)

I

donde

f(O)

=

KO

(5.33)

El otro tipo de almacenamiento, que en general no existe en el caso . de vasos, llamado almacenamiento en cuiia, se debe al efecto de la pendien te de la superficie libre del agua en el gasto. Esta pendiente depende tanto de las entradas como de las salidas, y en el metodo de Muskingum el almace namiento en cufia se toma como una funcion lineal de la diferencia de ambas:

Almacenamiento en cuna = Kx (I -

0)

Kx ex

+

Atl2 - Kx

Atl2

= K (l - x)

+

KO

Figura 5.13 Almacenamientos durante el paso de una avenida.

Atl2

Atl2

Notese que C1 + C2 + C3 = 1. Con la ecuacion 5.36 es po sible hacer el trans ito de cualquier avenida por el tramo dados At y los valores de K y x. Como en el caso del transite de avenidas en vasos, se recomienda que At cumpla con la condicion 5.21. El parametro K tiene unidades de tiempo y su valor es aproximadamente igual al tiempo de viaje del pi co de la avenida a 10 largo del tramo (referencia 5.9):

K= Almacenamiento en prisma =

K(I - x) -

L w

(5.37)

donde L = longitud del tramo y w = velocidad promedio del pico de la aveni da. w puede estimarse, en relacion con la velocidad media del agua v, como (referencia 5.5):

Almacenamiento y transite en vasos y cauces

106

El parametro x varia entre 0.0 y 0.5. S, x = 0.0, el volumen almace nado en el tramo es s610funci6n de la salida 0 (vease ecuaci6n 5.31), es de cir, no existe almacenamiento en cufia y el tramo se comporta como un vasa cuya curva de gastos es la ecuaci6n 5.33. S, x = 0.5, las entradas y salidas tienen la misrna importancia y no habria ningun abatimiento del pico. En ter minos muy generales, se puede decir que x se aproxima a 0.0 en cauces muy caudalosos y de pendiente pequefia, y a 0.5 en caso contrario. A falta de otros datos, es recomendable tomar x = 0.2 como un valor medio. Cuando se cuenta con al menos una avenida medida en ambos extremos

del cauce, los parametres K y x se estiman con mayor precisi6n mediante el siguiente razonamiento. Si se dibuja la ecuaci6n 5.31 en una grafica tomando V como ordenada y (xl + (1 - x)O) como abscisa, se obtendra una linea recta con pendiente K. Por otra parte, el volumen almacenado en el tramo hasta un tiempo to dado es el area acumulada entre el hidrograma de entrada y el de salida (vease figura 5.14), es decir:

V =

JI

to 0

(I - 0) dt

107

Transito de avenidas en cauces

v

X. = 0.1

//

)1K x "0.2

1 1/

A' 1 \

XI

I;

+ (/ -

X) 0

Figura 5.15

Ejemplo 5.6. En los extremos de un tramo de un rio se han medido los gastos mostrados en la tabla 5.9. Se requiere transitar la avenida mostrada en la columna 2 de la tabla 5.11. Tabla 5.9 t

I

dias m31s

m31s

0 1 2

59 93 129

Figura 5.14 ,-

I.X "" 0.3

I

(5.39)

Entonces, si se supone un valor de x, se calcula [xl + (1 - x)O] y el resultado se grafica contra el volumen almacenado para tiempos 0 :5 t :5 tl (vease figura 5.14), y la grafica tendra que ser una lfnea recta de pendiente K si el valor supuesto de xes el correcto. En caso contrario, es necesario su poner otro valor de x hasta que se obtenga aproximadamente una lfnea recta (vease figura 5.15).

I, 0

/

0

42 70 76

3 142 4 183 5 185 6 213

205 210 234 325

7 8 9 10 11

12

13

14 15 16 17

18 19 83 20 75

59 59

554 627 526 432 252 203 158 130 105 90 80 68

293 397 487 533 481 371 252 196 161 143 112 95

108


Tabla 5.10 xl Vt

t, dias

m3/s·dfa

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

17 40 93 156 183 232 344 605 835 874 773 544 376 282 216 160 107 75 48 24 8

x

= 0.1 44

x

+

(1 - x) 0

= 0.2 45 75 87 155 188 195 235 345 443 495 513 435 337 233 183 150 132 106 90 78

72

81 148 186 190 224 319 420 491 523 458 354 243 189 155 138 109 92 81 73

72

x

= 0.3 47 77 92 161 191 200 247 371 466 499 503 412 321 224 176 144 127 102 87 76 70

x

= 0.4 49 79 97 167 194 205 258 397 489 503 493 389 304 214 170 139 122 99 84 73 69

Solucion Como se cuenta con una avenida medida en ambos extremos del tramo, se puede calibrar el metodo (es decir, valuar x y K) con el procedimiento descri to anteriormente. a) Calibracion del metoda (valuaci6n de x y K). De acuerdo con la ecuaci6n 5.39, el volumen almacenado se calcula como:

VI

1: (1 -

0) At

1=0

+

En la tabla 5.10 se muestra el calculo de las parejas de valores (V, [x I (l - x)O]) para todos los tiempos que se tienen en la tabla 5.9 y en

la figura 5.16 estan dibujadas las graficas correspondientes. En esta figura

1---j-+-+--+---iI-ol-o-I-0c5-I0-c5-l0-o- 00-00-1-00- -00I--+--+---+-+-+-+--+-I--l-rl-i- 8JP i

'7-1-+-- --+-----1----1----1

-%w '--+-+-+-+-+-+_+-+-+-Hf-, t-f-T-ir-+rn-1--1-l-j

I-H--+--+-+-++++-+-+---+-r--

,

'.1\

I

'

N

+----


110

111

Bibliografia

Tabla 5.11 1

I

2

3

1

0

t, dias

m31s

m31s

(0)

(1)

(2)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 29

40 80 130 240 350 610 1050 980 760 610 525 940 1 520 1 210 1 180 1005 930

40 35 59 92 176 258 435 847 962 849 704 537 731 1286 I 241 1 224 1090 1 001 883 812 737 695 646 563 468 372

810

760 690 660 600 500 400 310 250 190 170 140

ex C1

C2

x)

+

Iltl2

ex Ilt!2 -

Kx

ex

+

Ilt 2

=

1.71 (0.6)

+ 0.5

1.526

1.714 (0.4) + 0.5 1.526

0.777

0.5 - 1.714 (0.4) 1.526

-0.122

K (1 - x)

1.714 (0.6)

0.5

1.526

0.346

Observese que C1 + C2 +C3 = 0.777 - 0.122 + 0.346 La ecuaci6n para el transito es (vease ecuacion 5.36): O,

+ 1 = 0.777Ii

-

0.122 I,

+ 1

+ 0.346 O,

1.0. (5.40)

En la columna 3 de la tabla 5. 11 se muestra la avenida transitada, que resulta de aplicar recursi vamente la ecuacion 5.40.

BIBLIOGRAFIA 5.1 5.2 5.3

Rippl, W. The Capacity of Storage Reservoirs for Water Supply. Proc. lnst. Civil Eng. 71, pp. 270-278, 1883. Hering, M. B. Streamflow Synthesis. Mac Millan, 1967. Thomas, M. A., Fiering, M. B. Mathematical Synthesis of Streamflow Se quences for the Analysis of River Basins by Simulation. En "Design of Water

Resources Systems", ed. por A. Maas, et al, pp. 459-493, Harvard Univ. Press, 1962. 5.4 Clarke, R. T. "Mathematical Models in Hydrology". Irrigation and Drainage. No. 19, Food and Agric. Org. of U.N. Roma 1973. 5.5 Henderson, F. M. Open Channel Flow. Mac Millan, 1966. 5.6 Wisler, C. 0., Brater , E. F. Hydrology. John Wiley & Sons, 2da. Ed., 1959.

J

195

:{ ;1

se observa que la grafica que mas se aproxima a una linea recta es la corres pondiente a x = 0.4. La pendiente de esta linea es 1.714, por 10 que los valo res de los parametres x y K son x = 0.4, K = 1.714 dfas. b) Trdnsito de -la avenida

Una vez estimados los parametres x y K, 0 bien calculados como se hizo en el inciso a, es posible calcular los coeficientesdel metodo de Muskingum cion 5.36). En este caso sus valores son los siguientes:

+

Kx

Ilt!2

3 0 0 2 3 1

(ecua

= K(1 -

:~

5.7

Berezowsky, V. M. "Escurrimiento a Superficie Libre". Cap. A.2.9. del Manual de Disefio de Obras Civiles, Comisi6n Federal de Electricidad, Mexico, 1980. 5.8 Mc Carthy , G. T. "The Unit Hydrograph and Flood Routing", manuscrito no publicado, presentado en una conferencia de la Division Noratlantica. U.S. Army Corps of Engineers, 24 de junio de 1938. 5.9 Raudkivi, A. J. Hydrology. Pergamon Press, 1979. 5.10 Kottegoda, N. T. Stochastic Water Resources Technology. Halsted Press, 1980.

6

Precipitacion

Desde el punto de vista de la ingenieria hidrologica, la precipitacion es la fuente primaria del agua de la superficie terrestre, y sus mediciones forman el punto de partida de la mayor parte de los estudios concernientes al uso y control del agua. En este capitulo se estudiaran dos aspectos fundamentales de la precipi tacion: por un lado, la manera en que se produce y algunos rnetodos con que se puede predecir dadas ciertas condiciones atmosfericas, para 10 cual sera necesario revisar algunos aspectos basicos de metereologfa y, por otro, la mane ra en que se mide la precipitacion y diversos criterios para el analisis, sfntesis, correccion y tratamiento de los datos.

6.1 NOCIONES DE HIDROMETEOROLOGIA La meteorologia es el estudio de todos los fenomenos atmosfericos. El estu dio de los fenomenos relacionados con el agua atmosferica, que son los que interesan en la ingenieria hidrologica, se denomina hidrometeorologia. Aun cuando esta dentro de la meteorologfa, la hidrometeorologia constituye por sf misma toda una ciencia, cuyo tratamiento ocuparia un volumen mayor que el presente, de manera que en este texto solamente es posible revisar unos cuantos conceptos basicos. A continuacion se veran las definiciones y con ceptos necesarios para el planteamiento de algunos modelos simples de lluvia.

6.1.1 Definiciones a) Presion atmosferica. Es el peso de la columna de aire que gravita. sabre una unidad de area, dividido entre dicha unidad de area.

113

Precipitacion

114 Tubo de vidrio

Nociones de hidrometeorologfa

el peso de una columna de vapor por unidad de area, al cual se conoce co mo presion de vapor. Para una temperatura y presion dadas, siempre hay una cantidad maxima de vapor por unidad de volumen que puede existir sin con densarse, es decir, sin pasar al estado lfquido, Cuando una masa de aire contiene esta cantidad maxima de vapor, se dice que esta saturada y la temperatura existente en ese momento se denomina punto de rocio, La presion de vapor de saturacion es la presion de vapor que existe en una masa de aire cuando esta saturada. Se puede relacionar con la presion de vapor que se tiene en un momento dado mediante la ecuacion (referenda 6.1):

(graduado) Columna de mercurio Presion

Recipiente con mercurio

ed = ew

Figura 6.1 Experimento de Torricelli.

La presion atmosferica se mide normalmente con aparatos que usan el mismo principio que el de Torricelli (vease figura 6.1); entre mayor sea la presion atmosferica, mayor sera la altura h de la columna que se alcance en el tubo. Al nivel del mar, esta columna alcanza una altura de aproximadamen te h = 760 mm de Hg. La altura h se usa como unidad de presion. Otras uni dades de presion atmosferica muy usadas son el bar (1 bar = 760 mm Hg), la atmosfera (1 atm = 1.033 kg/cm ') y el kg/ern". ·Un bar se define como la presion que existe en promedio al nivel del mar, con una temperatura de o "C. Existe una convencion internacional que estipula que la presion estan dar 0 de referencia sea la que se tiene al nivel del mar y con una temperatura de 15°C (referencia 6.1), que es de 1013.2 mb (1 bar= 1 000 mb, mb = milibares. ) La presion varia con la altitud a razon de aproximadamente 1 mb por ca da 10 m, 0 mas exactamente en la forma: 5.256

P

= 1013.2 [ 288~· 0.0065z ]

288

115

(6.1)

donde z = altitud sobre el nivel del mar en m y p = presion en mb. b) Presion de vapor. La atmosfera esta formada por una gran cantidad de ele mentos, como son hidrogeno, oxigeno, dioxide de carbono, etc. Desde el punto de vista de la ingenierfa hidrologica, el componente mas importante es, desde luego, el agua, en forma solida, lfquida y, especialmente, gaseosa, a pesar de que el agua lfquida y el hielo juntos no pasan, en promedio, dell % del volumen de la atmosfera y el vapor de agua no representa mas del 4 % . La cantidad de vapor de agua contenida en el aire se expresa como la pre sion que ejercerfa si todos los otros gases estuvieran ausentes, esto es, como

-

0.00066 p (Ta -

Tw) (1

+

0.00115 Tw)

(6.2)

donde ed es la presion de saturacion correspondiente a un punto de rocio Td; Ta es la temperatura real del aire, medida con un termometro cormin (tambien llamado de bulbo secor; Ti; es la temperatura medida con un termometro que tiene el deposito de mercurio cubierto con una franela hiimeda (0 termometro de bulbo humedoi, y ewes la presion de vapor correspondiente. Ta se conoce normalmente como temperatura de bulbo seco y Tw como temperatura de bulbo humedo. Las temperaturas se miden en °C y las presiones en cualquier unidad. c) Humedad relativa. Es la relacion entre la presion de vapor real y la de satu racion, expresada en porcentaje:

H; = 100 --

ea

(6.3)

ed

donde ea es la presion de vapor real, ed es la presion de vapor de saturacion y H, es la humedad relativa en %. La humedad relativa se mide por medio del higrografo, cuyo organo sen sible esta constituido por un haz de cabellos de mujer joven y rubia, la longi tud de los cuales varia sensiblemente con el grado de humedad (referencia 6.2). La humedad relativa se relaciona con la presion de vapor y la temperatura con la grafica mostrada en la figura 6.2. d) Humedad absoluta, Es la masa de vapor de agua contenida en una unidad de volumen de aire: P U

=

mas a de vapor volumen de aire

M;

= --..V

donde Pv es la humedad absoluta, tambien Hamada densidad de vapor centracion de vapor.

(6.4) 0

eon

116

Precipitacion Temperatura,

o

10

20

,

I

I

I

2.6

I

2.4

,-

-- -

2.2 I

I

-2.0

-

Ql

100

:2/

-:t

_I ~~

Humedad relativa

80

-\ ll-

-'-

70

,

I

,

I

-0

'sf!

'0

1

L _

I

40

,

- ~- -

,

1-

-

30

I

I

OJ

J:

--

"C

E I

I ' "

I

.0

t

, -

rco

-

-

I

1.8

-

-1-

-0

co

OJ

:;

I

1.6

0.

0 0.

co

> Ql

-0

c '0 'iii

1.2

-

1.0

0:

0.8

-

I

I

--

,-

t

0.2

~

~

,

30

-'),

--

/ Ilf

r.v l{,

0\0

/'

40

30 20

~~ /'

100

0.

del punto de rocfo) sea mayor de la que normalmente se produce en la atmos

>

fera; en esas condiciones se tendran micleos de condensacion (union de varias

Ql

C '0

'iii Ql

0:

gotitas) uniformes. En realidad, estos rnicleos se forman, con las condiciones de supersaturacion comunes, alrededor de corpusculos de naturaleza mineral u organica presentes en la atmosfera y provenientes de erosion orografica, humos de combustiones naturales 0 artificiales, polen y, en lugar destacado, cristales de sal marina, que se encuentran incluso en sitios ubicados a gran dis tancia del mar. De esta manera se forman gotas mas grandes (con diametros de 100 a SOOJ..t) que tienen ya suficientepeso para caer bajo la accion de la fuerza de gravedad. Durante su cafda las gotas crecen aiin mas en virtud de su coales cencia, con 10 que pueden alcanzar diametros de S a 7 mm 0 mayores. En la ingenierfa hidrologica interesa Ia cantidad de vapor de agua conte

~

90

0-

-0

r) "I~,L

0.7 7, .

k

50

-

rj

-J,/:/v:

IlL::

0.4

- :-:..;:

1

-

I

-

I

I

,

r-

1

-,

', --

0.6

,,I

!f-1 ~'0/

1

f- -I

,

T

-

Ql

-

-

I

-,-

--

,

,,

-

60

1

,

que exista condensacion (vease figura 6.2), es decir, hasta que se pueda al canzar el punto de rocfo. Cuando una masa de aire asciende, se ve sujeta a una presion gradualmente decreciente; entonces se expande y, al expanderse, en virtud de las leyes de los gases, disminuye su temperatura (ver, por ejem plo, referencia 6.3). Si la temperatura disminuye 10 suficientecomopara quedar por abajo del punto de rocfo, puede comenzar la condensacion, Esta tiene lu gar al unirse varias de las pequefias gotas que forman las nubes (cuyo diame

co

-( rn

117

tro esta entre 5 y 100 J..t) para formar gotas mas grandes; sin embargo, para que esta union se verifique en cantidades significativas sin la intervencion de otros elementos, es necesario que la supersaturacion (temperaturas mas bajas

r-. 'W

I

" Nociones de hidrometeorologia

'110

I

~

- - -1I

I

20

40

50

nida en la atmosfera sobre un lugar determinado y, en especial, la cantidad de lluvia que puede generarse de ese vapor. La masa total de vapor de agua existente en una columna de aire de area unitaria y altura z se llama agua pre

to

60

70

80

°F

Temperatura,

cipitable y se calcula, de acuerdo con la ecuacion 6.4, como:

Figura 6.2

(6.6)

e) Humedad espectfica. Se define como la relacion entre la masa de vapor y la de aire htimedo (aire + vapor):

H, = q =

Pv Pa

+

Pv

p;

P

Para que se formen las nubes, el agua que se evapora de la superficie terrestre debe elevarse hasta que la presion y la temperatura sean las necesarias para

= -

pg

(6.S)

donde H, 0 q es la humedad especffica, M; es la masa del aire seco, Pa es la densidad del aire seco y p es la densidad del aire lnimedo. 6.1.2 Contenido de vapor de la atmosfera. Agua precipitable

Si se acepta que la presion varia hidrostaticamente, esto es, dp

dz; W=-

P )

p;

--dp

(6.7)

pg

Po

De Ia definicion de humedad especifica (ecuacion 6.5): W= -1 g

1

pO

P

qdp

(6.8)

Precipitacion

118

Nociones de hidrometeorologia

En la ecuacion 6.8, pesta en unidades de [FL -2] Y W resulta en unida des de [ML -2]; si, como es cormin, pesta en mb y se desea que Weste en unidades de volumen/area, es decir, de longitud 0 lamina, la ecuaci6n 6.8 es: W = 10

r

J

p'o p

119

24o.o+-=----------+---------+----------11-'-10ooo

(6.9)

q dp

Con la ecuacion 6.9 es posible calcular el agua precipitable si se dispone de datos de humedad especffica a diferentes altitudes 0 niveles de presion, co mo se muestra en el siguiente ejemplo.

E

E ~

c 540~.0~

-+-_~

1013J..0_

+

~ j ~

Ejemplo 6.1. Un globo de sondeos meteorol6gicos registr6 las humedades es pecfficas mostradas en la columna 3 de la tabla 6.1 a las altitudes seiialadas en la columna 2. Obtener la lamina de agua precipitable que existe: a) entre o y 1 000 m, b) entre 0 y 10000 m y c) entre 2 500 Y 7 500 m.

.

------+---------F5000

-+

0.000

La presion (columna 4) se calcula en funcion de la altitud

Z usando

la ecuacion

6.1. El agua precipitable entre dos altitudes ZnD Y Znl se determina mediante la siguiente aproximacion a la ecuacion 6.9 (vease figura 6.3):

E

W= 10

(2)

m

s;

(3)

kg/kg

(4)

(5)

Pn' mb

p; - P« +

(6) I

qll

+

qll +

I

10

(7) (5

x

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

,

0 1000 2500 3400 6100 7500 8300 9200 10000

0.0142 0.0124 0.0095 0.0070 0.0063 0.0056 0.0038 0.0017 0.0002

1 013.2 899.0 747.0 666.0 465.0 382.0 341.0 298.0 264.0

0.005

0.010

0.015

Humedad especffica q, kg/kg

Figura 6.3

En la columna 7 de la tabla 6.1 se han calculado las laminas de agua pre cipitable entre cada dos altitudes sucesivas. De los valores de esta columna y la ecuacion 6.10 se obtiene:

Tabla 6.1

z.,

~

(6.10)

2

n = no

n

~ ~ ~

O

Soluci6n:

(1)

~

114.2 152.0 81.0 201.0 83.0 41.0 43.0 34.0

0.0133 0.D11O 0.0083 0.0067 0.0060 0.0047 0.0028 0.0010

15.19 16.64 6.72 13.46 4.98 1.93 1.23 0.34

6)

a) W (0,1 000) = 15.19 mm b) W (0,10000) = 60.49 mm c) W (2500, 7 500) = 41.88 mm Desafortunadamente, es diffcil que se tengan a la mano datos de sondeos meteorologicos, por 10 que la lamina precipitable W debe estimarse usando me diciones en la superficie terrestre, que son mas faciles de obtener. Los datos que se usan en este caso son los de punto de rocfo en la superficie Td. Si se cuenta con este dato, la lamina precipitable se estima suponiendo un estado de saturacion, con 10 que es posible usar datos estandarizados como los de la grafica de la figura 6.4. Para usar esta grafica se deben seguir los contornos de las lfneas de Td; 10 mismo sucede si se usa con la altitud, pero si se usan presiones, se debe referir horizontalmente.

120

Precipitacion Td, Temperatura punto de recto, °C. -10 0 5

10

18

20

24 25

27

300

500 .0

E

C ·iii '0

a:

600

Q)

700 800 900 1000 0

Tabla 6.2 Agua precipitable (mm) entre la superficie (1 000 mb) y la altitud indicada, como funci6n del punto de rocfo (0C) a 1 000 mb Altitud

400

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

W, Lamina precipitable, mm

Figura 6.4

Asf, por ejemplo, si se tiene Td = 20°C Y p = 700 mb, W resulta ser de 35 mm; para un punto de rocfo de 5 °C y z = 3.66 km, Wes de 12.5 mm. Con la tabla 6.2 tambien es posible calcular Wen funcion de la al titud. El punto de rocfo con el que se usan la figura 6.4 y la tabla 6.2 esta referido al nivel del mar (1 000 mb). Cuando el dato de punto de rocfo esta tornado a una altitud diferente, es necesario corregirlo usando la fi gura 6.4a. 6.1.3 Vientos El viento es aire en movimiento. Su velocidad se mide mediante anemometros o anemografos y su direccion por medio de veletas. Las unidades en que se expresa la velocidad del viento mas comunes son km/h, m/s 0 nudos (1 nudo = 0.526 m/s). Generalmente, se le llama "vien to" s610al componente horizontal del movimiento del aire, pues el vertical casi siempre es muy pequefio.

121


Punto de rocio a los 1 000 mb, en °C

(m)

0

5

10

15

20

25

30

200 400 600 800 1000 1400 1800 2 000 2400 2800 3 000 3400 3800 4000 5 000 6 000 7000 8000 9 000 10 000 11000 12 000 13 000 14 000 15 000

1 2 3 3 4 5 6 6 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8

1 3 4 5 6 7 9 10 10 11 11 12 12 12 13 13 14 14 14 14

2 4 5 7 8 10 12 13 15 16 17 18 19 19 20 21 21 21 21 21 21

2 5 7 9 11 15 18 19 22 24 25 26 28 28 31 32 33 33 33 33 33 33

3 6 10 13 15 20 ,25 27 31 34 35 38 41 42 46 49 51 52 52 52 52 52 52 52

4 9 13 17 21 28 34 37 43 48 50 54 58 60 67 72 76 78 80 80 81 81 81 81 81

12 17 22 23 37 46 50 57 65 68 74 80 83 94 103 110 115 118 121 122 123 124 124 124

6

6.1.3.1 Fuerzas que producen los vientos

Las fuerzas que producen los vientos son fundamentalmente: la de presion, debida a la rotacion de la Tierra (Coriolis), la centnpeta 0 ciclostrofica y la de friccion. A continuacion se describe brevemente cada una de estas fuerzas y las relaciones entre ellas. a) Fuerzas de presion.

Las diferencias de presion entre dos puntos cualesquiera de la atmosfera producen vientos, del mismo modo que la diferencia de presion en dos puntos de seno de un lfquido produce una corriente (vease figura 6.5).

122

Precipitacion

123


Temperatura, en DC

F.igura 6.4a Diagrama para ajustar los valores de punto de rocio, refiriendolos al myel del mar (1 000 mb).

La presi6n se mide, como todas las demas variables atmosfericas, cada tre~ horas en todos los observatorios del mundo. Con estas mediciones se di b~Ja~mapa~ de isobaras 0 Ifneas que unen puntos de igual presi6n. Es cormin dlbuJ~r las isobaras a cada cuatro mb (vease figura 6.6). Si se toma el elemento sombreado de la figura 6.6 (vease figura 6.7), de la segunda ley de Newton se tiene: F = ma

y la masa del mismo es: m

= p

Ax o:1y Az

(6.13)

donde p es la densidad. Sustituyendo (6.12) y (6.13) en (6.11) y simplificando, se obtiene: dv

1

P2 - Pi

dt

p

Ax

dp --p dx

La aceleraci6n del viento debida al gradiente de presiones es entonces:

dv

m-dt

(6.11)

B =

_!_ p

pero la fuerza actuando sobre el elemento es:

dp

(6.14)

dx

b) Fuerza debida a la rotaci6n de la Tierra (Coriolis).

(6.12) Isobaras a cada 4 mb

Mediciones a 500 m de altitud a la misma hora del dfa

Si se traza una lfnea a velocidad constante de arriba hacia abajo en un trozo de madera que se mueve de izquierda a derecha con una velocidad tam bien constante, la lfnea trazada sera una lfnea recta (vease figura 6.8 a). En

r-7I lL_j -

....v._,.

v

(b)

(a)

Figura 6.S

Figura 6.6

Figura 6.8

Precipitacion

124

cambio, si se intenta hacer 10 mismo del centro al borde de un disco que gira con una velocidad angular constante, la lfnea trazada sera siempre curva (vea se figura 6.8b). Esto se debe a que la velocidad lineal varia a 10 largo del radio del disco, al contrario de 10 que sucede en el caso del trozo de madera. Si un observador esta situado en un punto como el A, girando con el disco, pensana que existe alguna fuerza desviadora que produce que la trayectoria se desvfe de una lfnea recta. Lo mismo sucede con la Tierra; si un proyectil se lanza hacia el ecua dor, siempre se desvia hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la iz quierda en el hemisferio sur. A la fuerza imaginaria que produce esta desviacion se Ie llama de Coriolis, La aceleracion asociada a dicha fuerza es (refer en cia 6.1):

6.1. 3.2 Relaciones entre las fuerzas

Si el flujo del aire es tal que se puede despreciar l~ friccion, y las isobaras son aproximadamente rectas, de tal modo que el ~a.dl~de cu~vatura ~e la tra yectoria del viento es infinito, en estado de equilibrio se tiene que.

F=C=OI B

j

Un viento generado en estas condiciones se ~l~maviento geostrofico. De las ecuaciones 6.14,6.15 Y 6.17 se puede escribir: 1 p

(6.15)

dp

= 2 v w sen ¢

dx

es decir:

donde

v w

= velocidad del viento, m/s. = velocidad angular de rotacion

¢

=

v

(6.17)

= G

---

G == 2 v w sen ¢

125


10 -5 rad/s. latitud.

de la Tierra, rad/s; w

7.272

X

= -----2pw

i1p

sen ¢

que es la velocidad del viento geostrofico. . Cuando la friccion es despreciable, pero l~s isobaras son curvas, ~l com ponente ciclostrofico del viento es diferente de cero y entonces se tiene el llamado viento gradiente:

c) Fuerza centrfpeta.

B=G+C Esta fuerza se desarrolla cuando el viento tiene una trayectoria curva, co mo en el caso de los ciclones. Su aceleracion es:

(6.16) donde res el radio de curvatura de la trayectoria. Para fines practices, r se puede tomar como el radio de curvatura de las isobaras. d) Fuerza debida a Ia friccion,

La fuerza producida por la friccion acnia en sentido contrario a la direc cion del viento y su magnitud depende de la naturaleza de la superficie de la

(6.18)

Ax

(6.19)

De la ecuacion 6.15 se observa que las fuerzas de Coriolis son pequefias en latitudes cercanas al ecuador. En estas tatiuides es donde se .producen las co rrientes de aire de alta velocidad tipicas de los ciclones tro~lcales, ~n las que solo intervienen las fuerzas de presion y ciclostroficas. Al viento asi generado se Ie llama viento ciclostrofico:

B=C

(6.20)

El viento inercial se produce cuando, ademas de la friccion, se puede des

preciar la fuerza debida al gradiente de presiones y entonces:

G=C

(6.21)

Tierra. En general, esta fuerza es muy pequefia en comparacion con las de

mas, y puede despreciarse, especialmente, en altitudes mayores de unos 600 m.

En general, las cuatro fuerzas acnian combinadas en mayor 0 menor me" dida. Esto constituye el denominado viento real:

126

Precipitacion

z

T Z1


Los modelos de lluvia mas simples son el de plano inclinado y el conver gente. El primero describe, de modo simplificado, el proceso que se. da en la producci6n de precipitaci6n en tormentas orograficas 0 frontales, mlen~ras que el segundo describe el que se verifica en el caso de tormentas convectivas o en el de las cicl6nicas. 1---

_ilo......:::::... ,..

6.1.4.1 Modelo de plano inclinado

_

El modelo de plano inclinado (vease figura 6.10) considera una masa de aire que tiene una lamina precipitable W12, que entra a un~ cuenca r~ctangular de ancho X y largo Y con velocidad VJ2. La masa de aire, despues de elev~r se uniformemente a 10 largo de la cuenca hasta una altura Sh, sale de la nus-

V

Figura 6.9 Velocidad del viento.

B=G+C+F

(6.22)

6.1.3.3 Variacion de la velocidad del viento con la altura

ma con una velocidad V34 y una lamina precipitable W34. . La masa (m) que pasa por cualquier secci6n de altura tlz en un intervalo de tiempo Ilt es:

m

En general, la velocidad del viento varia con la altura de manera exponencial (vease figura 6.9). Esta variaci6n se expresa de varias formas, entre las cuales la mas utili zada es la siguiente: -v= VI

(Z-)k -

127

--

Ilt

= p IlzXv

'Y

= -tlzXv

g

(6.24)

donde p = densidad del aire, 'Y = peso especffico del mism~ y g = aceler~ ci6n de la gravedad. Si se acepta que la distribuci6n de presiones es aproxl madamente hidrostatica, entonces:

(6.23)

(6.25)

ZI

donde VI YZI son una velocidad Yuna altitud de referencia, respectivamente. Con la ecuaci6n 6.23 es posible estimar la velocidad del viento a cualquier altitud .si se tienen mediciones de la misma en un punto cercano, por ejemplo, a la superficie terrestre. De observaciones experimentales, se ha encontrado que el valor de k varia entre 117Y 115para un amplio rango de condiciones y que el valor mas frecuente es k = 117,principal mente en alturas Z I de has ta unos 10 m.

Modelo de Iluvia

6.1.4 Modelos de lluvia Los modelos de lluvia son metodos con los cuales se aislan los factores signi ficativos en el proceso de precipitaci6n y se extrapolan hasta sus extremes pro babIes, de tal manera que se tenga una idea razonable de la maxima precipitaci6n que puede caer en una zona dadas ciertas condiciones atmosferi cas. Estos modelos son mas aplicables a gran escala que a tormentas peque fias, pues en las iiltimas los errores que inevitablemente se cometen en la

estimaci6 n del flujo de humedad pueden llegar a

ser considerables.

126

Precipitacion


127

(b) Planta

Figura 6.10

128

Precipitacion

y de la ecuaci6n 6.24 se tiene: m

I:l.p

--=--Xv I:l.t

(6.26)

g

Por otra parte, del principio de conservaci6n de masa se tiene que: masa que entra

masa que sale

masa almacenada

I:l.t

I:l.t

I:l.t

--

g

X

se Ie llamafactor geometrico 0 cons cuenta la influencia de la geometrfa de la cuenca en la precipitaci6n. La ecuacion 6.31 tambien se puede escribir como:

[ (6.27)

g

Simplificando: I:l.PI2 V34 = -VI2 I:l.P34

(6.28)

Del mismo modo es posible establecer una ecuaci6n de continuidad de humedad: humedad precipitable que entra

humedad precipitable que sale

I:l.t

I:l.t

humedad precipitada

(6.29)

I:l.t

aunque, en este caso, la cantidad almacenada, que es la humedad que se pre cipita dentro del modelo, ya no es despreciable, por 10 que debe conservarse en el analisis, De la ecuaci6n 6.29, se tiene: WpXY

=

I:l.t

WpA I:l.t

_- .

KVI2 WI2

1 - --W34 -t-.PI2 ]

WI2

I:l.t

(6.32)

I:l.P34

El termino entre parentesis de la ecuacion 6.32 se interpreta como la frac cion del agua precipitable de entrada WI2 que "se suelta" en la cuenca y se llama factor de convergencia 0 de eficiencia. Al factor: We =

I:l.P34 Vl2 = -X V34

129

rante un tiempo I:l.t. Al cociente K =XIA tante de la cuenca y es el que toma en

--Wp

La masa almacenada, es decir, la masa de la precipitaci6n que se produce dentro del modelo, es muy pequefia en comparaci6n con las de entrada y sali da, por 10 que se puede despreciar. La ecuaci6n de continuidad de masa es, segun las ecuaciones 6.26 y 6.27, I:l.Pl2


WI2

[

I -

W34 WI2

I:l.P.12 ] I:l.P34

se Ie llama agua precipitable efectiva. El termino del lado izquierdo de las ecuaciones 6.31 y 6.32 es una lamina de lluvia por unidad de tiempo, que de aquf en adelante se Ilamara intensidad de fa lluvia. En este caso, i = W/ I:l.t es una intensida~ lfledia que prevalece durante el tiempo en que se tienen las condiciones meteorol6gicas dadas en la figura 6.10. La ecuaci6n 6.32 se puede escribir como: (6.33) En una cuenca real el factor geornetrico K se calcula haciendo que X sea un lado de un rectangulo que circunscribe a la cuenca, perpendicular a la di recci6n del viento (vease figura 6.11). Cabe aclarar que en este tipo de modelos se supone que la masa de aire es estable y que, por 10 tanto, el ascenso de la misma es producido unicamente

(6.30)

donde Wij X vij es la humedad precipitable que pasa por la secci6n ij, Wp es la humedad precipitada en la cuenca y A es el area de la cuenca. Sustituyendo la ecuaci6n 6.28 en la 6.30 y reacomodando, se tiene: Wp = X VI2 [ WI2 I:l.t A

W34 I:l.PI2 ] I:l.P34

Con la ecuaci6n 6.31 es posible calcular la precipitaci6n total

(6.31) Wp que

se

tiene en una cuenca si las condiciones dadas en

128

la figura 6.10 prevalecen du-

Precipitacion


129 Figura 6.11

Precipitacion

130

131


La densidad de la atmosfera internacional estandar al nivel del mar es:

r-

P = 0.125

A ~ 8000 km2

kg S2 --4-; m

la diferencia de presiones y la distancia entre isobaras son:

150 km

1

kg/m2 _ 2 - 40.8 kg/m , t:.p = 4mb = 4 X 10.19 --

t:.x = 350 000 m

1 008 rnb

I"

1 004 mb 600 km-----o--l (a)

y

P, ~ 1 002 mb

Planta

(b)

mb

la velocidad es entonces:

Corte

0.125

Figura 6.12

2

7.3

X

X

10-5 sen(200)

40.8 350000

18.68 mls

EI agua precipitable efectiva es: por la barrera frontal 0 topografica, Este proceso es poco cormin en la natura leza y produce lluvias leves. En general, las masas de aire se hacen inestables al elevarse y la precipitacion se produce por una combinaci6n de efectos con vectivos y orograficos. Ejemplo 6.2. Calcular la intensidad de precipitacion y la altura total de preci pitacion en la cuenca de la figura 6.12, si se sabe que el viento de entrada

We = WI2

W34

De la figura 6.2, para Ta = 25°C Y H; = 40% el punto de rocio es Td 12°C. Con este valor de Td y los niveles de presion dados en la figura 6.12, es posible determinar las laminas de agua precipitable WI2 y W34, con ayuda de la figura 6.4. Estas laminas son: PI

Solucion

Por 10 tanto:

P2 P3 P4

= 1002 700 800 600

=:;

K

V12

We

X =:;

-

We = 0.019 - 0.009

150 = --A 8000

=;

0.019 I km

===

19

X

10-6 1m

t:.p p

2

w

sen ¢

t:.x

1 002 - 700 = 0.0054 m 800-600

La intensidad de la lluvia i es entonces: i = 19

Como el viento de entrada es geostrofico, su velocidad se calcula con la ecuacion 6. 18: Vl2

W2 = 19 mm W3 = 14 mm W4 =23 mm

19 mm = 0.019 m 9 mm = 0.009 m

EI factor geometrico es (vease figura 6.12): K

WI =0

mb mb mb mb

De la ecuacion 6.33 se tiene: i

t:.P12

---

t:.P34

es geostrofico, En el punto 1, el aire tiene una temperatura de bulbo seco de 25°C y una humedad relativa del 40 %. Estas condiciones meteorologicas pre valecen durante 4 h. La latitud aproximada es 20° A. N (AN latitud norte). =:;

-

o bien:

X

10-6

X

18.68

X

0.0054

1.92

X

10-6 mls

130

6.9 mm/h

Precipitacion


131

,'I'

132

Precipitacion

y la altura total de precipitacion es: hp= i f1t

=

6.9

X

4

=

27.6 mm

E I v o

l u r n e n

d e ll u vi a

que cae sobre la cuenca es: VII

= hp A = 27.6 X VII = 220.8

10-3

X

8000

X

106

X 106 m'

6.1.4.2 Modelo convergente con flujo radial de entrada Cuando el aire es forzado a converger en una cierta zona, se produce un mo vimiento vertical del mismo por la elevacion de la presion en la parte inferior

de la zona (vease figura 6.13). Si el aire con agua precipitable W12 converge radialmente a una colum na circular de radio r y toda esa agua precipitable se deposita en la base del cilindro, la intensidad de la lluvia serfa:

Nociones de hidrometeoro logia

(a)

Pla nta

133 (b) Elevaci6n

Figura 6.14 i =

2

= -

r

Vl2

WI2

(6.34)

mas realista, que representa un caso que sf puede mantenerse por periodos razonables de tiempo, es el que se muestra en la figura 6.14. Se puede demostrar (referencia 6.1) que, en este caso, el agua precipita

En este caso, el factor geometrico serfa K

= ~

r

y el factor de eficiencia

tomana el valor de 1. Este valor es practicarnente imposible, aunque en cicio nes intensos la situacion se aproxima a esta bajo ciertas condiciones; en reali dad, si solo hay entrada de aire, la presion dentro de la columna de la figura 6.13 aumenta de manera continua hasta que el gradiente de presion se invierte y, entonces, el aire se ve obligado a salir por alguna parte. De aquf que la situacion arriba descrita no pueda mantenerse por mucho tiempo. Un modelo

ble efectiva resulta igual que en el modelo de plano inclinado: We = W!2 -

---f1P12 f1P34

W34

y, entonces, la intensidad es: (6.35)

Z2

r-----...,

(a) Planta

Figura 6.13

(b) Elevaci6n

6.1.4.3 de los modelos Limites

Tanto en el caso del modelo de plano inclinado como en el del convergente, es necesario fijar las altitudes 0 niveles de presion que limitan al modelo. Para ello, se pueden tomar en cuenta los siguientes comentarios:

a) Limite superior del modelo P4. EI punto 4 en ambos modelos (veanse figu ras 6.10 y 6.14) es el lfrnite hasta el cual se produce precipitacion, Para fines practicos, este punto se puede tomar como la altura media de la parte superior de las nubes cumulonimbus en las diferentes latitudes y estaciones del afio. Las observaciones hechas en este sentido indican que dicha altura varia entre los 8 y los 16 km, que corresponden aproximadamente a niveles de presion de

Precipitacion

134

Tabla 6.3 Punto de rocio, °C P4, mb

Area de captacion

IO

15

20

25

300

240

150

100

135

Medicion de la precipitacion (A)

Malia 1

Embudo

300 Y 100 mb, respectivamente. En el caso del modelo convergente, y en es pecial cuando se trata de tormentas convectivas, es recomendable usar los va lores de P4 dados en la tabla 6.3, en funcion del punto de rocio en la superficie (referencia 6.1).

b) Ancho de fa capa de entrada t.PI2' El ancho de la capa de entrada se pue de tomar como la zona de la atmosfera en donde hay mayor cantidad de hu medad. Normalmente esto sucede entre la superficie de la Tierra y un nivel de presion de 800 a 700 mb, dependiendo tambien del punto de rocfo en la superficie. c) Ancho de fa capa de salida t.P34' El limite inferior de la capa de salida P3 depende, naturalmente, del tipo de modelo; en el de plano inclinado este limite estara dado por la topograffa del terreno 0 la forma del frente y en el caso del modelo convergente, el ancho de la capa de salida puede tomarse igual al ancho de la de entrada, esto es, t.P34 estarfa entre 200 y 300 mb.

6.2 MEDICION DE LA PRECIPITACION Los aparatos mas usuales en Mexico para medir la precipitacion son los plu viometros y los pluviografos. Los pluviometros estan formados por un recipiente cilfndrico graduado de area transversal a al que descarga un embudo que capta el agua de lluvia, y cuya area de captacion es A (vease figura 6.15). Se acostumbra colocar en el embudo un par de mall as para evitar la entrada de basura u otros objetos. El area de captacion A es normalmente diez veces mayor que el area del reci piente a, con el objeto de que, por cada milfrnetro de lluvia, se deposite un centfrnetro en el recipiente. De este modo, es po sible hacer lecturas a simple vista hasta de una decima de milfmetro de lluvia, que corresponde a un milt metro depositado en el recipiente. En Mexico se acostumbra tomar lecturas de los pluviornetros diariamente a las 8 de la manana. Los pluviografos son semejantes a los pluviornetros, con la diferencia de que tienen un mecanismo para producir un registro continuo de precipitacion. Este mecanismo esta formado por un tambor que gira a velocidad con stante sobre el que se coloca un papel graduado especialmente. En el recipiente se coloca un flotador que se une mediante un juego de varillas a una plumilla

Area de recipiente (a)--I--

---+-Malla

-v

2

l ...'

J--+----!-~ Escala

Figura 6.15 que marca las alturas de precipitacion en el papel (vease fig~ra 6.16). El reci piente normalmente tiene una capacidad de ~O mm d~ l~uVIa_Y'al alcanzarse esta capacidad, se vacfa automaticamente mediante ~n sifon ~v~ase figura 6.1~). El pluviografo antes descrito es el de usa mas comun en Mexico, aunque eXIS ten otros tipos en el mundo. Algunos ejemplos son el de resorte, que en lug~r de flotador usa un resorte que se deforma con el peso del a~ua y qu~ es mas preferible cuando se miden alturas de nieve, y el de halancin, que tiene dos recipientes colocados en un balancfn.' de ~odo que cuando .u~o de ellos ~e llena desequilibra la balanza, que gira dejando el otro recipiente en POSIcion de ser llenado. En algunos aparatos (referencia 6.4) el volumen de agua necesaria para hacer girar el balancfn es el correspondiente a 0.25 rum de lluvia. En este tipo de pluviografos, al girar ef balancfn se acciona ~n inte rruptor que produce un impulso electrico que a su vez mueve la plumilla para registrar la altura de precipitacion correspondiente. . El registro que se obtiene de un pluviografo se llama pluvlOgrama. Normalmente, este registro es similar al mostrado en la figura 6.17. ., , En el registro de la figura 6.17, obtenido directamente de un pluv.lO.grafo de flotador y sifon, los descensos ocurren cuando se ha llenado el recipiente, esto es cuando se han alcanzado 10 mm de precipitacion y se desaloja el agua contenida en el por medio del sifon. Es frecuente que el pluvio.grafo tenga alguna falla y por ello los registros resultan defectuosos. En ocasiones ~s po sible recuperar los datos de un registro defectuoso ~,a veces no,. dependiendo del tipo de falla. Tanto para comprobar que elpluvlOgrafo funciona ~orrecta mente como para recuperar los datos de un registro defectuoso, conviene ayu-

136

9 10

Precipitacion

darse del registro del pluviornetro. En las figuras 6. 18a-6.18e se muestran algunas de las fallas mas comunes. Cuando no hubo lluvia en un dfa dado, se acostumbra poner el mismo papel al dfa siguiente y asf sucesivamente hasta que se registre alguna precipi tacion (vease figura 6. 18j);la precipitacionregistrada corresponde, obviamente, al ultimo dfa. Si a un registro como el de la figura 6.17 se Ie quitan los descensos, se obtiene una grafica de precipitacion acumulada contra el tiempo lIamada cur va masa de precipitacion (vease figura 6.19). Notese que esta curva es no decreciente, y que su pendiente, en cualquier tiempo, es igual a Ia intensidad de la lluvia (altura de precipitacion por unidad de tiempo) en ese instante. A partir de una curva masa de precipitaci6n es posible dibujar diagramas de barras que representen las variaciones de la altura de precipitaci6n 0 de

10

11

19

20_21_22_23~

12

13

14

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 16 10

17

18

10

9

~ ~ Embudo

~

~~H++HH4~H+~H+tH~tH~tHiTtHiTtt5 .~

Cilindro con

b~~r1T1tt-

qrafica Plumilla --I1---+t....J

Corredera elevador de la plumilla

3

~ ~

.

_l

0

Sif6n--+--_1I

Recipiente recolector

Figura 6.16 Figura 6.17

15

138

Medicion de Laprecipitacion

Precipitacion

139

30

20 10

a) Defecto de sif6n (recuperable).

t, h

b) Sif6n obstruido (no recuperable).

2

3

4

5

6

Figura 6.19 Curva masa de precipitaci6n.

10

/1

E: E:

j

'I ,'1 / I

I

I

I

ft /'

fI II I I

I

I

su intensidad en intervalos de tiempo previamente seleccionados (vease figura 6.20). Estos diagramas de barras se Haman hietogramas. EI hietograma de la figura 6.20a se construye dividiendo el tiempo que duro la tormenta en n intervalos (que pueden ser iguales 0 no) y midiendo la altura de precipitacion que se tuvo en cada uno de ellos. EI hietograma de la figura 6.20b puede obtenerse a partir del de la figura 6.20a, dividiendo la al tura de precipitacion de cada barra entre el tiempo I1t que dura la misma. Am bos tipos de hietogramas son equivalentes, pero uno puede ser mas iitil que el otro dependiendo' del tipo de analisis, como se vera mas adelante. EI intervalo f:!.t seleccionado es importante en cuanto a la informacion que proporciona el hietograma; un valor de I1t demasiado grande arrojarfa muy poca informacion y uno muy pequefio la darfa excesiva y diffcil de manejar.

II

I I

I I I

I

I

o c) Obstrucci6n en la plumilla 0 varillas del flotador (recu perable).

d) Falla de calibraci6n perable).

(recu

hp, mm

'/

0f-----------------

e) Falla de suministro

f) Papel puesto

de tinta

consecutivos.

(no recuperable).

varios dias

~

i, mm/h

20

40

15

30

10

20

5

10 2 a) Hietograma de alturas

precipitacion.

t,h de

t, h b) Hietograma de intensidades.

Figura 6.18

Figura 6.20 Hietogramas.

Precipitacion

140

141

Analisis de los datos de precipitacion

6.3 ANALISIS DE LOS DATOS DE PRECIPITACION

Estaci6n pluviometrica

6.3.1 Lluvia media En general, la altura de lluvia que cae en un sitio dado difiere de la que cae en los alrededores aunque sea en sitios cercanos. Los aparatos descritos en el subcapftulo 6.2 registran la lluvia puntual, es decir, la que se produce en el punto en que esta instalado el aparato y, para los calculos ingenieriles, es ne cesario conocer la lluvia media en una zona dada, como puede ser una cuenca. Para calcular la lluvia media de una tormenta dada, existen tres metodos de uso generalizado:

;/

"

\

/

,~ \

I

\ I

I

I

a) Metoda aritmetico

/

\ \

Consiste simplemente en obtener el promedio aritmetico de las alturas de precipitacion registradas en cada estacion usada en el analisis:

E =

I

\

\ \

/

\ \

\ I

\ \ '\

I

I

-

--¥7

\

n

n i

"

/

/

'\

(6.36)

<,

<,

-... ........

\ \

<,

\

donde hp es la altura de precipitacion media, hpi es la altura de precipitacion registrada en la estacion i y n es el mimero de estaciones bajo analisis,

I

b) Poligonos de Thiessen

Isoyetas

Este metodo consiste en 10 siguiente: 1. Unir, mediante lfneas rectas dibujadas en un plano de la cuenca, las esta ciones mas proximas entre sf (lfneas discontinuas en la figura 6.21). Con ello se forman triangulos en cuyos vertices estan las estaciones pluviome tricas. 2. Trazar lfneas rectas que bisectan los lados de los triangulos (lfneas rectas continuas en la figura 6.21). Por geometrfa elemental, las Ifneas corres pondientes a cada triangulo convergeran en un solo punto. 3. Cada estacion pluviometrica quedara rodeada por las lfneas rectas del paso 2, que forman los llamados polfgonos de Thiessen (referencia 6~5)y, en algunos casos, en parte por el parteaguas de la cuenca (ver figura 6.21). EI area encerrada par los polfgonos de Thiessen y el parteaguas sera el area de influencia de la estacion correspondiente. '

Figura 6.21

4. La lluvia media se calcula entonces como un promedio pesado d? las pre~i pitaciones registradas en cada estacion, usando como peso el area de m fluencia correspondiente: n h

_1_ p

AT i

~ '-'

=

Ai 1

hpi

(6.37)

donde Ai es el area de influencia de la estacion i y AT es el area total de la cuenca.

142

Precipitacion

143

Analisis de los datos de prectpuacioti

Ejemplo 6.3. En la cuenca mostrada en la figura 6.2la se han registrado las ,-

/'

/

"'---_

,,/

I

/

;'

I

I

I I I I I I

.....

/

I

I

a) Metodo aritmetico. La precipitacion media es (ecuacion 6.36):

h = _!_ (12 + 9 + 19 + 14 + 23 + 27) 6

P

=

17.33 mm

b) Polfgonos de Thiessen. En la figura 6.22 se muestra la division en areas

I I I

,

de influencia de la cuenca.

I

I

I

\

\

x 6

,

x

5

\

Soluci6n (27)

I

(23)

I \ \

/

I

alturas de precipitacion sefialadas en la misma. Calcular las alturas medias de precipitacion en la cuenca usando los tres metodos vistos anteriormente.

;'

I I

\

- --.- - 7 I

I

\

I I

\ \

"

""

(9)

x 2

" ....

I

/

..-

<, <,

---

.....

Figura 6.21a

,-

I

/

/

km 0 (23).

10 20

30 40

50

Precipitacion total en mm

X. EstacionpluviogrMica. 5. Numerode estacton.

I

~----

//

->

I

;'

\

c) Metoda de las isoyetas

Este metoda consiste en trazar, con la informacionregistrada en las estacio nes, lfneasque unen puntos de igual altura de precipitacionllamadas isoyetas, de modo semejante a como se trazan las curvas de nivel en topografia. La precipitacion media se calcula en forma similar a la ecuacion 6.37, pero ahora el peso es el area A i entre cada dos isoyetas y el parteaguas de la cuenca y la cantida~ que se pesa es la altura de precipitacion promedio en tre las dos isoyetas, h Pi:

,-

1

t<-

\

I I

\

I

\

\

;' ---

\

....

\

\

<, <,

"-

AT i =

,

(6.38)

I/

I

<,

"-

2

(71Pi A'i)

,

I

\

....

."""

....f'

\ "-

,,-: r l

5

""";'

I

n'

"-

\

""" <,

I 6 -

---"'~\f::- ---

------

I

1:

I I I I I

/

/

J

\

/

\ 1/

~.:1' 4 /"

'--

- --".._

I

.......

/"

",/

}I

"

I

I

/

km

o

10

20

30 40

50

donde n es el numero de areas A 'i consideradas. I

Figura 6.22

Precipitacion

144

Las areas de influencia de cada estacion son: AJ = 4613 km2, A2 = 1 170 krrr', A3 = 2802 knr', A4 = 4061 km ', As = 3314 km ', A6 = 1 390 krrr'. La precipitacion media resulta ser (ecuacion 6.37):' _

hp

17350

(l2x4 613+9xl

170+19x2 802+14x4 061+23x3 314+27xl 390)

A2 = A3 =

hp = 16.7 mm

A4 c) Isoyetas. En la figura 6.23 se ilustra el trazo de las isoyetas para este caso. A un lado de cada estacion esta anotada la precipitacion registrada.

2

7 295 km 5452 km

= 2 237 km

As = 1 998 km

-

; hpJ = 7.5 mm 2

2 2

2

;

-

12.5 mm

hP2 ~ ; hP3

17.5 mm

-

; hP4 -

; hps

22.5 mm

= 27.5 mm

y la altura de precipitacion 25 mm

-'-'--7

.>

10 mm 15 mm

20 mm

::..

/'

f

/ hP5 = 27.5 mrn ' I

/

I hP1 =

7.5 mm~.

/

/ hP4

.

\

\

x 12

=

22.5 mm

I

x 23

17.5 mm

I

/ f

~.-.-.- ... --Figura 6.23

!

-==-_-_1 1 --.-_ k m

o

10

20

30 40

1

hp

= --

hp

= 17.0 mm

17350

media resulta:

(7.5X368+12.5x7 295+17.5x5 452+22.5x2 237+27.5xl

998)

EI metodo aritmetico es el mas simple de todos, pero no toma en cuenta la distribucion de las estaciones en la cuenca ni la manera en que se distribuye la lIuvia en el espacio, pues Ie asigna el mismo peso a todas las alturas de preci pitacion registradas; por ello, es uti! iinicamente en zonas con topograffa muy suave y condiciones atmosfericas muy uniformes, 0 bien para tener solo una idea aproximada de la altura de precipitacion media. Por el contrario el metodo de los polfgonos de Thiessen sf toma en cuenta la distribucion de las estaciones en el area de la cuenca, pero no los factores topograficos y de otro tipo que afectan a la distribucion de la Iluvia; este metoda es, sin embargo, mas conveniente que el de las isoyetas desde el punto de vis ta practice, particularmente para calculos repetitivos, como cuando se analiza una gran cantidad de tormentas, pues los polfgonos no cambian a menos que se agreguen 0 se eliminen estaciones. EI mas preciso de todos es el metoda de las isoyetas si estas se dibujan de manera que tomen en cuenta los efectos topograficos en la distribucion de la lluvia, para 10 que es necesario tener cierta experiencia. Por otra parte, es cl metodo mas laborioso de los tres, pues cada tormenta tiene un plano de isoyetas diferente. Si las isoyetas se trazan indiscriminadamente, por ejem plo, suponiendo una variacion lineal de la altura de precipitacion entre las es

hP2 = 12.5 mm

/

145

Como se observa en la figura 6.23, si se trazan isoyetas a cada 5 mm, la cuenca queda dividida en cinco partes. Las areas y alturas de precipitacion media en cada parte son las siguientes: Al = 368 km

1 = --


50

taciones, su precision no es mayor que la de los polfgonos de Thiessen. La altura de precipitacion media calculada depende, en general, del numero de estaciones pluviometricas 0 pluviograficas que se usan en el anali sis; entre menor sea el mimero de estaciones, mayor sera el error cometido

Precipitacion

146

147

Analisis de las datos de precipitacion

15

o

0 0

10

"'c"'

u)

0

'0

0

'" '" '"

1 ;; "C 0

:0 E

.z "

, L!)

Area,

o

en miles de km2

Figura 6.24

o

.;J!.

o

f--eD

f--

1

(J)

ro r (J o o " '0

f--

en la estimaci6n de la precipitaci6n media. De acuerdo con la referencia 6.10 el error estandar en el calculo de la lluvia media en porcentaje, E, depende del area de la cuenca A y del mimero de pluviografos N en la forma:

0. tn

OJ

L!)

o o

ou 'c

srn OJ

OJ "'0

o Q; E '::J

donde a, bye son constantes; bye pueden tomarse de manera aproximada como 0.2 y -0.5, respectivamente, y a depende de las caracterfsticas de la cuenca y las tormentas. En la figura 6.24 se muestra la cantidad minima de pluviografos necesaria para calcular la precipitacion media segun las recomen daciones de la Organizacion Meteorologica Mundial. La curva que debe utilizarse depende de los dfas de tormenta por afio y el escurrimiento medio anual, como se muestra en la tabla 6.4. En todos los casos es recomendable tener datos de al menos dos estacio nes en una cuenca.

Z

o

o L!)

o o o

.~

c

'0'" 0.:"=

-co r ,'" u

Tabla 6.4

Esc. media anual, em/ana <30 > 15 ::; 15

Dias de tormenta par ana 30-45 >45

curva 1 curva 2

curva 2 curva 3

curva 3 curva 4

Republica Mexicana Datos de 1970

Figura 6.25

(1J

c .c c «r m

~]~ 0

Otros P~ises Datos de 1960

o

ci

Precipitaci6n

148

Analisis de los datos de precipitaci6n

En la figura 6.25 se muestra la densidad de estaciones pluviometricas y pluviograficas en la Republica Mexicana y otros lugares del mundo (referen cias 6.6 y 6.4, respectivamente).

149

hp, mm 30

..... ... ······,··~··0

6.3.2 Curva masa media Los metodos descritos anteriormente se han planteado cuando se requiere co nocer la altura total de precipitacion que, en promedio, se produce en la cuenca durante una tormenta. Cuando se desea conocer la variaci6n en el tiempo de la precipitacion media en la cuenca, es necesario determinar una curva masa media de precipitacion. Esta curva se construye aplicando el metodo aritrneti co 0 el de poligonos de Thiessen a las alturas de precipitacion acumuladas en cada estacion para diferentes tiempos. El resultado sera una curva masa media y se puede refinar calculando la precipitacion media de toda la tormen ta con el metodo de las isoyetas y multiplicando cada ordenada de la curva masa media por el factor de ajuste: Fa = hpis

(6.39)

2

3

4

hpo

donde hpis es la altura de precip~cion media de toda la tormenta calculada con el metoda de las isoyetas y hpo es la misma altura, pero caJculada con el metodo aritmetico 0 el de poligonos de Thiessen. Con esto se obtiene una curva Hamada curva masa media ajustada. Ejemplo 6.4. Construir una curva masa media ajustada para la cuenca y la tormenta de la figura 6.21 si las curvas masa de cada estacion son las mostra das en la figura 6.26.

6

7

8

9

10

t, h

Figura 6.26

Para construir la curva masa media ajustada, todos los valores de la co lumna 14 se multiplican por el factor de ajuste dado por la ecuacion 6.39 (vease ejernplo 6.3).

Tabla 6.S

Soluci6n hora

Se usara el metoda de los polfgonos de Thiessen. En la tabla 6.5 se muestra el calculo. En las columnas 2 a 7 de la tabla se han anotado los valores de la altura de precipitacion acumulada para cada estacion. En las columnas 8 a 13 se en cuentran los productos del area de influencia Ai por las alturas de precipita cion y en la columna 14, formada por la suma de los valores de las columnas 8 a 13 dividida entre el area total de la cuenca, esta la curva masa media. Notese que, como es de esperarse, el ultimo valor de la columna 14 coincide con el resultado del ejemplo anterior para el metodo de los pohgonos de Thiessen.

5

mm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

hPJ mm

hp2 mm

hp3 mm

hP4

mm

hps mm

hP6 mm

2.5 5.0 10.0 12.0 12.0 12.0 12.0 12.0 12.0 12.0

1.0 2.0 4.0 5.0 7.5 9.0 9.0 9.0 9.0 9.0

0.0 2.5 7.5 12.5 13.75 15.0 17.5 19.0 19.0 19.0

0.0 0.0 2.5 7.5 10.0 12.5 14.0 14.0 14.0 14.0

10.0 15.0 17.5 17.5 17.5 20.0 23.0 23.0 23.0 23.0

5.0 10.0 15.0 20.0 22.5 25.0 26.5 27.0 27.0 27.0

AJhPJ mm-

A2hp2

A3hP3

mm·

mm-

A,p,P4 mm-

Ar}zP6 mm-

hp

km2

A5hpS mmkm2

km2

km2

km2

km2

mm

11 533 23065 46130 55 356 55356 55356 55356 55 356 55356 55356

1 170 2340 4680 5850 8775 10 530 10 530 10 530 10 530 10530

0 7005 21015 35025 38528 42030 49035 53238 53238 53238

0 0 10 152 30458 40610 50763 56854 56854 56854 56854

33140 49'710 57995 57995 57995 66280 76222 76222 76222 76222

6950 13900 20850 27800 31275 34750 36835 37530 37530 37530

3.04 5.53 9.27 12.25 13.40 14.97 16.42 16.70 16.70 16.70

ISO

Precipitacion

Hrio

-'

hp, mm

la figura 6.27.

-r-t-:

i-1]5

,/

I

/'

6.3.3 Deducci6n de datos faltantes

~

/'

/ I

-10

--5

1/ /

V

V

!

r-

V

1- '1- f t

T

I

y- i-j-

Figura 6.27

17.00 16.70

1.02

lSI

y la curva masa media ajustada resulta ser la mostrada en la tabla 6.6 y en

-

-


-~-i-T- i-1p ('IhI

Es frecuente que en un registro de precipitacion falten los datos de un cierto periodo, debido a la ausencia del operador 0 a fallas del aparato registrador. En estos casos se pueden estimar los datos faltantes si se tienen registros si multaneos de algunas estaciones situadas cerca de .la estacion en cuestion y uniformemente repartidas. Una manera de hacerlo es mediante una grafica como las de las figuras 6.28 a y 6.28 b, donde se correlacionan las precipita ciones medidas en una estacion cercana 0 el promedio de las medidas en va rias estaciones circundantes con la registrada en la estacion en estudio (para detalles del procedimiento de correlacion, vease apendice B). Una vez obtenida esta grafica, y si la correlacion es aceptable, bastarfa conocer la precipitacion en la estacion mas cercana (vease figura 6.28a), 0 bien la precipitacion media en las estaciones circundantes consideradas (vease figura 6.28b) en los dfas en cuestion para deducir los datos faltantes. Cuando la correlacion obtenida del analisis anterior no es aceptable, se puede usar otro metodo, basado en la precipitacion media anual, que sigue dos tipos de criterios (referencia 6.4): a) Si la precipitacion media anual en cada una de las estaciones circundantes

difiere en menos del 10% de la registrada en la estacion en estudio, los da tos faltantes se estiman haciendo un promedio aritmetico de los registrados en las estaciones circundantes. Tabla 6.6

hom

hp mm

Curva de mejor

Curva de mejor

ajuste

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3.10 5.63 9.44 12.47 13.64 15.24 16.72 17.00 17.00 17.00

'"

:~E C "0 C '0

~Q

'u

co t'"i

.

:§. : ~:J U _

e

CL

c ti

(J)

(J)

Precipitacion diaria en la estaci6n mas

Precipitaci6n media diaria en las estaciones circundantes.

cercana. (b)

(a)

Figura 6.28

152

Precipitacion

153


b) Si la precipitacion media anual de cualquiera de las estaciones

circundantes difiere en mas de 10%, se usa la formula: h

[

Px

_-1 n

donde hpi hpx

Pi p;

n

h P

P

x

+h Px

PI

P-xh +·····+] P2

c '0 '0

(6.40) Pn

P2 Pn = altura de precipitacion registrada el dfa en cuestion en la estacion auxiliar i. = altura de precipitacion faltante en la estacion en estudio. = precipitacion media anual en la estacion auxiliar i. = precipitacion media anual en la estacion en estudio. = mimero de estaciones auxiliares. I

1979./~~0

"0 C1l "0

-3E Ec C1l

6.3.4 Ajuste de registros de precipitacion por cambios en las condiciones de medicion Cuando en una estacion pluviometrica tiene Ingar algun cambio en las condi ciones de medicion, como por ejemplo cambio de operador, de localizacion o de las condiciones adyacentes, las tendencias del registro sufren normal mente alteraciones que pueden lIegar a ser importantes en cuanto a su no ho mogeneidad. Para detectar y corregir estas alteraciones se usa una tecnica lIamada curva masa doble, que se basa en observaciones hechas en el sentido de que la precipitacion acumulada media para varias estaciones no es muy sen sible a cambios en una de elias, debido a que muchos de los errores se com pensan, mientras que la lIuvia acumulada de una estacion particular se afecta de inmediato ante la presencia de cambios importantes. Asi, si en una grafica se pone en un eje la precipitacion anual acumulada media de varias estaciones circundantes a la estacion en estudio, y en el otro eje se pone la lIuvia anual acumulada de la estacion en cuestion, se obtendra una linea recta siempre que en esta no hayan existido cambios 0 no sean importantes; en caso contrario, la Iinea cambia de pendiente en el afio a partir del cual la estacion comenzo a operar en condiciones diferentes. Por ejemplo, en la grafica de la figura 6.29 . se observa que hubo algiin cambio a partir de 1976. Entonces, para que los datos registrados en la estacion en todos los afios sean consistentes, los regis tros anteriores a 1976 se pueden "corregir" multiplicandolos por el factor de ajuste:

ml

.1972 1970...-'1971

~ c

I

J

1973~~974

-

.Q

I

1975r

::J
co

A~0.83m

I B ~ 0.63

/--' 1_97~' 197y_

-c

t

1978';;"":

!2

etc

Para obtener resultados confiables, es recomendable que el mimero de estaciones auxiliares n sea como mfnimo tres.

1980/-_

2

C1l

+"'
196V'-;969

o

~--------~-----------r----------~ o 1

2

3

hp anual media acumulada de las estaciones circundantes, en m.

Figura 6.29

Para que.el ajuste sea suficientemente confiable, conviene que el mimero de estaciones circundantes usadas no sea menor de diez. Por otra parte, si en la zona en estudio hay variaciones muy apreciables de la precipitacion en cada epoca del afio, es conveniente hacer ajustes por separado para cada epoca. Asi, por ejemplo, se puede hacer un ajuste para la epoca de lIuvias y otro para la sequfa.. 6.3.5 Curvas altura de precipitacion-area-duracion

(hp

_

A _ d)

Las curvas altura de precipitacion-area-duracion sirven para determinar el po tencial de precipitacion que existe en una zona dada y, ademas, constituyen uno de los metodos mas simples que existen para trasponer tormentas de un sitio a otro. Este analisis trata de establecer las cantidades maximas de precipita cion que se producen en diferentes areas y para diferentes duraciones, con base en una red de estaciones que registran simultaneamente la precipitacion durante una tormenta dada. Estas curvas se extrapolan a sus valores maximos probables para ser usadas en estudios de estimacion de avenidas. Cuando se tienen datos de una tormenta, el procedimiento para determi nar estas curvas es el siguiente:

152

Precipitacion A B

0.83 0.63

1.32


153

a) Dibujar las curvas masa de las estaciones que cuentan con pluviografo. b)

Trazar los poligonos de Thiessen para las estaciones pluviograficas.

154

c) Dibujar las isoyetas correspondientes a la altura de precipitacion total de la tormenta, medida tanto con estaciones pluviograficas como pluviome tricas. d) Calcular el area encerrada entre cada dos isoyetas y el parteaguas de la cuenca, as! como la precipitacion media en esa area, de manera similar al ejemplo 6.3 c. Para las isoyetas proximas al parteaguas, el area sera la encerrada entre la isoyeta y el parteaguas. e) Superponer el plano de isoyetas al de los poligonos de Thiessen (incisos c y b, respectivamente) y calcular la porci6n del area de influencia de ca da estacion pluviografica que queda entre cada dos isoyetas. f) Determinar la curva masa media correspondiente al area encerrada por cada isoyeta y el parteaguas, partiendo de la de mayor precipitacion, co mo si esta fuera una cuenca. Estas curvas masa medias se pueden ajustar de manera semejante a como se hizo en el ejemplo 6.4. g) Seleccionar diferentes duraciones de interes, que en general pueden ser multiples de 6h, aunque este intervalo varia en funcion del area de la cuenca. h) Para cada duraci6n, seleccionar los rnaximos incrementos de precipitacion de las curvas masa calculadas en el incisof, de manera que esten situados en intervalos de tiempo contiguos. i) Dibujar los datos de area, altura de precipitacion y duracion como en la figura 6.31. Ejemplo 6.5. Construir las curvas altura de precipitacion-area-duracion para la tormenta de la figura 6.26 que se present6 en la cuenca de la figura 6.21. Solucion

~-..

I· ..... ) '"-I

"-"_--.

_

I~

\~'i"

<,

\~

!"l

1 2 3 4 5

368 7295 5452 2237 1998

hpi'

7.5 12.5 17.5 22.5 27.5

mm

=

\

OJ)

lZ

\ \ E E

'"E

~e

\

o

t;:;

\

E

N-"

o

N

8 E

\

;--------~\~,~----------------.:~~ ....r.:.. ~.-.-.r ...... ·_

'"E

-"

co co C")

.. -·

\ \ I

Ln",

se muestran los pohgonos de Thiessen. c) Las isoyetas se han dibujado en la figura 6.23. d) Las areas encerradas entre cada dos isoyetas, asf como la precipitacion media en esas areas son (ejemplo 6.3): Precipitacion

-, <::>

a) Las curvas masa se encuentran en la figura 6.26. b) En este caso, todas las estaciones son pluviograficas. En la figura 6.22

media

.......

~ ~ 10..

N

Area, Ai km2

155


Precipitacion

e/ /

/

156 Precipiiacion e)

j')


157

Isoyeta de 20 mm

En la figura 6.30 se muestra la superposicion de los planos de isoyetas y polfgonos y las porciones de las areas de influencia correspondientes. Enseguida se calculan las curvas masa medias. Isoyeta de 25 mm

\

\

624 km2

,, \

,,

,

2145. km2

Area total: 1998 km 2

Area total: 4218 km'

Factor de ajuste: _]J_J_ = 1.07 25.70

hora 0 I

2 3 4 5 6 7 8 9

24.87 l-actor de ajuste: 23.76 = 1.05

hp003 mm :km2

mm : km2

0 0 240 720 1200 1320 1440 1680 1824 1 824

0 4590 6885 8033 8033 8033 9180 10557 10 557 10 557

hpsAs

hp

i:

hpr;A6 mm : km2

mm

mm

0 7215 14430 21645 28860 32468 36075 38240 38961 38961

0 5.91 10.79 15.21 19.07 20.93 23.37 25.26 25.70 25.70

0 6.33 11.55 16.28 20.41 22.40 25.01 27.03 27.50 25.70

Incremento mm

hora 0

6.33 5.25 4.73 4.13 1.99 2.61 2.02 0.47

2 3 4 6 7 9

hp3A3 mm km2

hP4A4 mm km2

hpsA5 mm km2

hp,06 mm km2

hp mm

0 0 1560 4680 7800 8580 9360 10920 11856 11856

0 0 0 15 45 60 75

0 21450 32 175 37538 37538 37538 42960 49335 49335 49335

0 ·7215 14430 21645 28865 32468 36075 38240 38961 38961

0 6.80 11.92 15.14 17.60 18.65 20.96 23.37 23.76 23.76

84

84 84

hp/lj

mm 0 7.12 11.95 15.85 18.42 19.52 21.94 24.46 24.87 24.87

Incremento mm 0 7.12 4.83 3.90 2.57 1.10 2.42 2.52 6.11

158

Precipitaci/m Isoyeta de 15 mm

Andlisis de los datos de precipitacion

159

Isoyeta de 10 mm

A1

Area total: 9638 Ian 2 Factor de ajuste: 20.91 20.30

1.03 Area total: 16933 Ian 2

hora

hpI AI

hp3 AJ

mm km2

mm km2

mm km'

mm km2

mm km2

mm

hplIj mm

0

0 I 738 3475 6950 8340 8340 8340 8340 8340

0 0 6765 20295 33 825 37208 40590 47355 51414

0 0 0 3 715 II 145 14860 18575 20804 20804

0 33080 49620 57890 57890 57890 66 160 76084 76084

0 7215 14430 21 645 28860 32468 36075 38240 38961

0 4.36 7.71 11.47 14.53 15.64 17.61 19.80 20.30

0 4.49 7.94 11.82 14.97 16.11 18.i4 20.40 20.91

2

3 4 6 7 8

hP4 A4

hP5 A5

hpo A6

Tip

Incremento mm

4.4 3.9 3.8 3.1 1.1 2.0 2.2 0.5

Factor de ajuste: _l223_ . 16.82

hp/ AJ hora mm km.?

=

hP':!A]

mm km.?

1.025

hp4 A4

mm km.?

hP5 A5

mm km2

mm km2

Il,y) A6 mm km2

hP3 A3

hp

hpaj

mm

mm

0 I 2 3 4

0 10613 21 225 42450 50940

0 I 170 2340 4680 5850

0 0 6765 20295 33825

0 0 0 10152 30458

0 33080 49620 57890 57 890

0 7215 14430 21645 28860

0 0 3.08 3.16 5.57 5.71 9.28 9.51 12.27 12.57

6 7 8 9

50940 50940 50940 50940

10 530 10530 10530 10530

40590 47355 51414 51414

50763 56854 56854 56854

66 160 76084 76084 76084

36075 38240 38961 38961

15.06 15.43 16.54 16.95 16.82 17.24 16.82 17.24

Incremento mm -

3.16 2.55 3.80 3.06 1.22 1.64 1.52 0.29 -

160

.

2000 0

10 00 0 9000 8000

Precipitacion

\

\

1\

~

\

\

7000

\

6000

\.

N

E 5000

-"

\

\

\

\

r

~

til

/

'
. ..

2000

km

\\\

6>~

0>-;

\- \

\\

\ \

.

15

\

\\

25

20

Figura 6.31

Cuenca completa. Este calculo ya se hizo en el ejemplo 6.4. Los resulta dos son: Incremento mm

0

3.10 3.10

5.63 2.53

9.44 3.81

12.47 3.03

13.64 1.17

15.24 1.60

16.72 1.48

17.00 0.28

6.33 7.12 4.49 3.80 3.81

11.58 11.95 7.94

27.10 24.87 20.91 17.24 17.00

25.01 21.94 18.44 15.43 15.24

20.41 18.42 14.97 12.57 12.47

6.84

8h

6h

4h

Cuando se cuenta con poca informacion sobre tormentas extremas ocurridas en una cuenca, 0 cuando se desea ampliar la informacion sobre las cantidades maximas de precipitacion que se pueden presentar en la misma, puede resul

30

Altura de precipitaci6n, mm

hpaj, mm

2 h

Se seleccionaron para este caso duraciones de 1, 2, 4, 6 y 8 h. En la tabla 6.7 se muestra el calculo de los incrementos maximos. i) En la figura 6.31 se muestran las graficas de los datos de la tabla 6.7.

1000 10

J h

g) h)

J..

5

2

1 998 4218 9638 16933 17350

\

~

3000

Incremento maximo, mm.

Area

\.\\ ~~ 1\\

\~

_, 9..

4000

_\

\

Tabla 6.7

I\.

\

~

-::5

(1l

e

\ 1\1\

161

Analisis de los datos de precipltacion

17.00

tar conveniente trasponer, a la cuenca en estudio, tormentas ocurridas en si tios diferentes.Esto tiene, desde luego, la limitacionde que la torrnenta traspuesta sea meteorologicamente factible de ocurrir en la cuenca en estudio, de mane ra que el sitio donde se presento debe ser similar desde el punto de vista me teorologico. Asi, por ejemplo, no es valido trasponer una tormenta ciclonica a una zona donde solo se pueden presentar tormentas convectivas, ni una tor menta tropical a zonas polares. AI trasponer una tormenta de un sitio a otro, se plantea la hipotesis de que no hay cambios en su estratificaci6n de humedad, sus dimensiones espa ciales ni en la magnitud y distribucion de los vientos de entrada y salida (refe rencia 6.1). Estos y otros factores deben ser considerados al trasponer una hora 9

0

2

3

4

5

6

7

8

tormenta y, en caso de duda, debe consultarse a un meteorologo. La tormenta por trasponer debe estar en forma de curvas hp-A-d como en la figura 6.31. Una vez que la tormenta se ha sintetizado en esta forma, la trasposicion consiste simplemente en multiplicar los valores de la precipita cion por el factor de ajuste (referencia 6.8) (6.41)

1'/

mediante las figuras 6.4 y 6.4a. Despues, mediante el area de la cuenca, se 162 establecen alturas de precipitaci6n para diferentes duraciones dePrecipitacion las curvas hp-A-d ajustadas con el factor K (ecuacion 6.41), con 10 que se obtiene una ~urva curva masa alturas dedeprecipitaci6n en donde masa. ho = I?e aguaesta precipitable en se el calculan punto delas ocurrencia la tormenta por intervalos de tiempo At previamente seleccionados y, por ultimo, se conforman traspone~: para el punto de rocfo persistente durante unas 12 h en el lapso diferentes hietogramas, colocando en diferentes posiciones, pe de duracion de la tormenta, y ha =dichas agua alturas precipitable en la cuenca en estudio ro respetando las alturas de precipitacion acumulada hasta obtener la condi ci6n mas desfavorable .

km2 1 998 4218 9638 16933 17350

8h 6h 1 2 4h h h para el mismo punto de rocfo. Los valores de 42.08 ho y ha se 38.27 31.23 pueden determinar 9.69 17.72 38.05 18.28 28.18 33.57 10.90 6.87 5.81 5.83

12.15 10.50 10.47

22.90 19.22 19.08

33.21 23.61 23.32

31.99 26.38 26.01


163

Tabla 6.8 Area

Altura de precipitacion, mm

. ,La tormenta se puede aiin maximizar multiplicando sus areas de precipi tacion por el factor de maximizaci6n: hM KM = -

ha

(6.42)

donde hM = agua precipitable correspondiente a la temperatura de rocfo ma xima persistente durante unas 12 h en el sitio en estudio.

6.?

Ej~mplo La tormenta de la figura 6.31 se present6 en una cuenca cuya altitud media es de 500 msnm, cuando el punto de rocfo persistente durante 12 h fue de 10°C. Trasponer y maximizar esta tormenta a una cuenca meteo rol6gicamente similar, que tiene una altitud media de 1 000 msnm, un area de 6 000·kru2 y un punto de rocfo maximo persistente de 250C.

Multiplicando los valores de Ja tabla 6.8 por KM = 1.96, se obtiene la tormenta maximizada, tabla 6.9. Con los datos de la tabla 6.9 se forman las curvas hp-A-d mostradas en la figura 6.32. De la figura 6.32 con el area de 6 000 km ' de la cuenca en estudio, se obtienen

los valores de la curva masa, as! como sus incrementos, mostrados en la tabla 6.10.

Tabla 6.9 Area

Altura de precipitacion, mm

Solucion

En primer lugar, se calcula el factor de ajuste K (ecuacion 6.41); de la figura 6.4 con z = 500 m y Td = 15°C, el valor de ho es 7.5 mm, y para 1 000 m y Td = 15°C, resulta ha = 11.5 mm. Entonces: K = -

7.5

= 1.53

Multiplicando los valores de la tabla 6.7 por K

=

km2

1 h

2 h

4h

6h

8h

1 998 4218 9638 16933 17350

18.99 21.36 13.47 11.39 11.43

34.83 35.83 23.81 20.58 20.52

61.21 55.23 44.80 37.69 37.40

75.01 65.80 55.29 42.28 45.71

82.48 74.58 62.70 51.71 50.98

1.53, se obtienen los

. .Ah~~ase maximizara la tormenta de la tabla 6.8 mediante el factor de ma 11.5 xmnzacion KM (ecuacion 6.42). Con z = 1 000 m y Td = 25°C, resulta, de la figura 6.4, hM = 22.5 mm. Entonces: 22.5 KMla=curva -- hp-Asd = 1.96de la tormenta traspuesta (tabla 6.8). datos para

Tabla 6.10 Duracion, h hp, mm

incremento,mm

0 0

18.1 18.1

2 32.0 13.9

4 51.0 . 19.0

6 61.2 10.2

8 70.0 8.8

11.5

,

164

, 2000 0

\ 10000

\\

7000

\,

6000 N

E

Ql

.~

\

~

8000

-" co

\

\

9000

5000

_,.OJ

~p:~~. I

~ f-

-

0

\

1\

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1\\-

~-\~

(j>

20

20

10

10

-:f

~~OJ

\

J

2000

f--

1

~~

40 Altura

50

60

de precipltacion.

mm

80

I

6- -7-

~I

I

~- t,~

I

I

1 I

_l

2 r- ~- 4

I

I

;>-

)-r- /- -B-

I

I

I I

6.3.7 Curvas intensidad-duraci6n-periodo de retorno (i-d-1)

\\

70

I

'f-

Figura 6.33

1000 30

~-e- ~- -~t,h_

I

': \ \ \ \ \

3000

20

165

~p:~J

\ 'It \0\\ \\

\\

0

10


\

?"

4000

Precipitacion

90

100

El grado optimo de seguridad de una estructura depende, por un lado, de su costo y, por otro, del costo de las perdidas asociadas con una falla. Por ejem plo, puede ser aceptable que un aeropuerto pequefio se inunde en promedio una vez cada dos 0 tres afios, si el costo de su sistema de drenaje se compara con el de uno que solo permita inundaciones una vez cada 50 afios en prome dio, 0 mas min, podrfa resultar totalmente incosteable un sistema de drenaje con el que se pudiera extraer cualquier cantidad de precipitacion por grande que fuera, aun cuando tal drenaje fuera posible de construir. Por otra parte, serfa poco economico y poco etico aceptar un riesgo alto de falla del vertedor de una presa grande situada aguas arriba en una ciudad Figura 6.32

Finalmente, se escogen varias posiciones de las barras de hietograma; cui dando que se conserve la altura de precipitacion acumulada. En la figura 6.33 se muestran dos de estas posibilidades, Estos hietogramas se usanan poste riormente para alimentar algiin modelo de la relacion lluviaescurrimiento (ca pitulo 8) para obtener diferentes avenidas, de las que se escogerfa la mas desfavorable para el caso de que se trate.

importante, pues esta falla tendrfa consecuencias desastrosas, mientras que en el ejemplo del aeropuerto una insuficiencia del drenaje no ocasionarfa mas que algunas molestias a los usuarios. Sin embargo, al menos en 10 que a la teorfa estadfstica respecta, no es posible tener una seguridad del 100% de que no exista ninguna avenida cu yas dimensiones hagan insuficiente el vertedor de la presa, sino que solo se puede hablar de aceptar un riesgo pequefio. La magnitud de este riesgo acep table depende del balance entre el costo de la obra y el de los dafios que se producirfan al verificarse una falla, y para poder determinar cual es el riesgo que se corre al proponer los parametres de disefio de la obra, es necesario analizar estadfsticamentelos datos hidrologicos recabados en la zona en estudio.

I

166

Precipitacion

Estos datos son fundamental mente de dos tipos: escurrimientos y precipi taciones. Un analisis del primer tipo de datos tendrfa como resultado directo un parametro de disefio, que es el gasto maximo, mientras que el segundo pro porcionarfa datos con los cuales serfa necesario ali men tar un modelo de la re lacion lIuvia-escurrimiento, para obtener una avenida de disefio. En este capitulo se estudiara solo parte del analisis estadfstico de precipitaciones, que se refie re a las curvas intensidad-duracion-periodo de retorno, y todo 10 referente a escurrimientos se tratara con amplitud en el capitulo 9, donde tambien se hara una revision mas profunda de los conceptos de probabilidad y estadistica apli cables a la hidrologia. A continuacion se hace solamente un recordatorio de algunos de dichos conceptos. 6.3.7.1 Algunos conceptos de probabilidad

y estadistica

167

periodo de retorno de la precipitacion maxima en 24 h de 500 mm es de 25 afios " cuando, en promedio, se presenta una precipitacion de esa magnitud o mayor una vez cada 25 afios, Notese que esto no significa que dicha precipi taci6n se presente exactamente una vez cada 25 afios, de la misma manera que el dos no sale exactamente una vez cada seis tiros del dado. De acuerdo con la definicion, la probabilidad de que en cualquier tiro del dado salga un dos es P (2) = 116; entonces se tiene la siguiente relaci6n entre probabilidad y periodo de retorno: P (A) . T

= 1

(6.44)

es decir: 1 T= -

Probabilidad. Si un experimento tiene n resultados posibles y mutuamente ex cluyentes y si de ellos na resultados tienen un atributo a, entonces la proba bilidad de que ocurra un evento A con el atributo a es: P (A) = ~ n

-.


(6.43)

Por ejemplo, el experimento puede llamarse "tiro de un dado" u "ocu rrencia de una torrnenta" y el atributo a puede ser "el mimero que sale del tiro del dado es 2", 0 bien "Ia altura de precipitacion total es mayor 0 igual que 500 mm". Periodo de retorno. Sea A el evento "el mimero que sale del tiro del dado es 2" y B el evento "Ia altura maxima de precipitacion en 24 h en cualquier afioes de 500 mm": Notese que en el experimento "tiro de un dado" es posi ble hablar de resultados que tienen un valor numerico exacto, como 1,2, etc., y las probabilidades asociadas a estos resultados son diferentes de cero (1/6 en cada caso). Es claro, sin embargo, que en el experimento "ocurrencia de una tormenta", la probabilidad de que el resultado tome un valor exacto, como 500 rnm, es nula. En el ultimo caso es necesario hablar mas bien de intervalos, como por ejemplo que la precipitacion mencionada tome un valor de 500 mID o mayor, de 500 mm 0 menor 0 que este en el intervalo de 300 a 500 mm. EI mimero de afios en que, en promedio, se presenta un evento como el B, se llama periodo de retorno, intervalo de recurrencia 0 simplemente fre cuencia y se acostumbra denotarlo con T. Asf, por ejemplo, el periodo de retorno de la ocurrencia del mimero dos en el tiro de un dado es el mimero de tiros en que, en promedio, el dos sale una vez; en este caso T es igual a 6 tiros. Del mismo modo, se dice que "el

(6.45)

P

donde T Y P se refieren a un evento cualquiera A. La misma relacion vale en el caso de la precipitacion maxima en 24 h: 1 T=-~---P(hp ;:::500 mm) esto es, el periodo de retorno de la precipitacion maxima en 24 h de 500 mm es el inverso de que esta precipitacion sea igualada 0 excedida en un afio cual quiera. Obviamente, P (hp =5 500 mm) = 1 - P(hp ;:::500 mm) y, entonces, P (hp =5 500 mm)

= 1 - -

1 T

Usualmente, cuando se tienen datos de un cierto periodo, y se desea aplicar algun metodo estadfstico para extrapolar dichos datos a periodos de retorno mayo res al de las mediciones, es necesario asignar un valor de T a cada dato registra do. Por las razones que se expondran en el capitulo 9, conviene usar la siguiente expresion para asignar periodos de retorno a una serie de datos (ver ecuacion 9.30): T=~

m

(6.46)

donde m = mimero de orden en una lista de mayor a menor de los datos y n = mimero de datos. Riesgo. Si P es la probabilidad de que ocurra un evento en cualquier afio,

P

=-

1

T

168

Precipitacion

I

entonces la probabilidad de que dicho evento no ocurra en un afio cualquiera es:

I


kT" + c)"

(d P

= 1-

1

169

(6.48)

T

donde k, m, nyc

Si se supone que la no ocurrencia de un evento en un afio cualquiera es independiente de la no ocurrencia del mismo en los alios anteriores y poste riores, entonces la probabilidad de que el evento no ocurra en n alios sucesi vos es: p

p

p

n factores

. p = pll

(l -

_!_)II

son constantes que se calculan mediante un analisis de co

rrelacion lineal multiple (vease apendice B).

Si se toman logaritmos de la ecuaci6n 6.48 se obtiene: log i

=

log k

+

m

log T -

n

log (d

+

c)

o bien:

T

(6.49)

y, por 10 tanto, la probabilidad de que el evento ocurra al menos una vez en n alios sucesivos es: R = 1 -

pn

= 1 - (1 -

_!_)" T

(6.47)

R es IIamada riesgo en la teorfa probabilfstica. Con este parametro es po sible determinar cuales son las implicaciones de seleccionar un periodo de re torno dado para una obra que tiene una vida utiI de n alios.

donde: y al

= log i, ao = log k, a, = m, = -n, Xl = log (d + c)

x,

log T,

Ejemplo 6. 7. Determinar el riesgo de falla de una obra que tiene una vida utiI

de 10 alios si se disefia para un periodo de retorno de 10 alios. Solucion

En este caso, T 6.47: R

=

=

10 alios y n

=

1 - (l - _1_),0 10

10 alios. Sustituyendo en la ecuaci6n =

0.651

EI riesgo es del 65.1 %, es decir, se tiene una probabilidad del 65.1 % de que la obra falle durante su vida titil. 6.3.7.2 Metodos para la determinacion de las curvas i-d-T

ui

ecuaci6n 6.49 es la de una familia de Ifneas rectas de pendiente az, ordefutda al origen ao y espaciamiento a, (vease figura 6.34). Si los datos registrados de i, d y Tse dibujan en papel logarftmico (vease figura 6.34), usualmente se agrupan en torno a Ifneas rectas. A veces las If neas resultan ligeramente curvas, 10 que se puede corregir agregando a las duraciones un valor constante c, 0 bien, en algunos casos, cuando la pendien te de las lfneas varia mucho, dividiendo la Ifnea para cada periodo de retorno en dos rectas. Si los datos se agrupan 10 suficiente en torno a Ifneas rectas,

el valor de c puede tomarse como cero. Al hacer un ajuste de correlaci6n lineal multiple de una serie de tres tipos de datos, se obtiene un sistema de ecuaciones como el siguiente (ver apendice

Existen basicamente dos metodos con los que se puede determinar la relaci6n entre las variables i, d y T para un sitio dado. EI primero, lIamado de intensidad-periodo de retorno, relaciona estas dos variables para cada duraci6n por separado mediante alguna de las

B y referencia 6.9): I;y = Nao + a, I;x, + al I; Xl I;(x, y) = ao I; X, + a, I; (X,l) + al I; (X, Xl)

J

(6.50) funciones de distribuci6n de probabilidad usadas en hidrologfa, que se estudiaran con detalle en el capftulo 9. El segundo metodo relaciona simultaneamente las tres variables en una familia de curvas cuya ecuaci6n es:

I;(Xl y) = ao I; Xl

+

a, I; (Xl Xl)

+

al I; (Xl)l

donde N es el mimero de datos y las inc6gnitas son ao, a, Y al; Xl, Xl Y y son, respectivamente, los logaritmos del periodo de retorno, la duracion (con el valor de c agregado de ser necesario) y la intensidad, obtenidos de un regis tro de precipitaci6n. Una vez calculados los coeficientes ao, a, Y al es posi ble valuar los parametres k, m y n de la ecuaci6n 6.48.

Precipitacion

170 Tabla 6.11

Tabla 6.12

fecha

duracion, minutos

Duracion, minutos

ANO

alio

mes

dia

5

10

20

45

80

120

1954

oct. oct. jul. nov. may. sep.

5 8 8 2 15 21

-

-

-

lO.5

12.8

14.2

jun. ago. ago. jul. sep. may. jun. may.

14 13 11 10 10 17 16 31

1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964

171


8.0 8.0 12.5 7.5

9.3

9.0 8.0 8.0 15.5 11.0

-

-

14.5 20.0 14.3

20.5 24.8 19.0

SIN

9.8 7.1 13.5 8.0 -

10.0

6.8 11.7 7.1 18.5 10.0 -

17.5

-

-

-

34.0 25.5 25.7

48.0 25.6 29.0

15.2

15.6

ATOS

9.2

5.7

-

10.0

-

-

18.0 7.1 20.7 11.5

20.6 7.1 38.5

-

17.7

-

20.3 18.7

-

21.1 7.1 60.0 -

23.1 18.7

-

22.6 7.1 80.0

1954 1955 1956 1957 1959 1960 1961 1962 1963 1964

5

10

20

45

80

120

96 96 150 90 68 118 85 162 96 120

54 48 93 66 41 70 43 111 60 105

28 44 60 43 28 54 21 62 35 53

14 27 33 25 13 27 9 51 27 25

10 26 19 19 11 16 5 45 17 14

7 24 13 15 8 11 4 40 15 10

Intensidades en mm/h

-

30.0 19.8

Alturas de precipitaci6n en mm

Ejemplo 6.8. En una estaci6n pluviografica se han registrado las alturas de precipitacion maxima en mm para diferentes duraciones mostradas en la tabla 6.11. Determinar las curvas intensidad-duracion-periodo de retorno. La Secretarfa de Agricultura y Recursos Hidraulicos y otros organismos cuentan con tablas similares a la 6.11 para un gran mimero de estaciones en la Republica Mexicana. En caso de que no se cuente con esta tabla para la estacion de interes, es necesario recurrir a los registros del pluviografo y, pa ra cada afio de registro, escoger la maxima altura de precipitacion registrada para cada duracion seleccionada. Normalmente, estas alturas maximas de pre cipitacion corresponden a solo una 0 dos de las tormentas rnaximas del afio. Porotra parte, siempre es conveniente manejar estaciones que cuenten con registros de mas de 25 afios para que el analisis sea confiable. Aquf se hara solo con 10 alios a manera de ejemplo. El primer paso es transformar las alturas de precipitacion de la tabla 6.11 a ntensidades i dividiendolas entre sus respectivas duraciones, como se mues tra n la tabla 6.12. e Una vez transformados los datos a intensidades, es necesario asignar a cada uno un periodo de retorno. En la tabla 6.13 se han ordenado los datos

para.cada duracion de mayor a menor y se les ha asignado un periodo de re torno de acuerdo con la ecuacion 6.46. En la figura 6.34 se muestran los puntos correspondientes a los datos de la tabla 6.10. Como se puede observar, los datos tienden a agruparse en torno

Tabla 6.13 ~umero de orden

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

T alios

11.00 5.50 3.67 2.75 2.20 1.83 1.57 1.38 1.22 1.10

5

10

162 150 120 118 96 96 96 90 85 68

111 105 93 70 66 60 54 48 43 41

D uracio n, minutos 80 45 20

62 60 54 53 44 43 35 28 28 21

Intensidades en mm/h

51 33 27 27 27 25 25 14 13 9

45 26 19 19 17 16 14 11 10

5

120 40 24 15 15 13 11

10 8 7 4

Precipitacion

172


173

Tabla 6.14

JOO 0 90 0 80 0

<,

60

X2

40 0

I'-..

<,

-,

30 0

I"-~

<,

",,""

r-, ~

~

<,

0 80 8O 0

<,

<,

<,

,<,.::,

So

",s-

~Ij"

<, <,

<,

..>-.~~o&' "-~

"" ~

~.",.I.

0

J".

E

~7

0

. .. -,

r-, <,

-.

0&...:,,'0

0

<,

"-, r-,

..

I"-

I

0

~"

8 7 5

3- ~ ~: ~~5a:;:S 2_0

... T = 2.2 aries T=1.1anos

}

1

2

3

4

"'- r-,

de tabla 6.13

~~

i

X2 Y

X/

xl

Xl x2

0.699 0.699 0.699 0.699 0.699 0.699 0.699 0.699 0.699 0.699 1.000

1.041 0.740 0.565 0.439 0.342 0.238 0.196 0.140 0.086 0.041 1.041

2.210 2.176 2.079 2.072 1.982 1.982 1.982 1.954 1.929 1.833 2.045

2.301 1.610 1.175 0.910 0.678 0.472 0.388 0.274 0.166 0.Q75 2.129

1.545 1.521 1.453 1.448 1.385 1.385 1.385 1.366 1.348 1.281 2.045

1.084 0.548 0.319 0.193 0.117 0.057 0.Q38 0.020 0.007 0.002 1.084

0.489 0.489 0.489 0.489 0.489 0.489 0.489 0.489 0.489 0.489 1.000

0.728 0.517 0.395 0.307 0.239 0.166 0.137 0.098 0.007 0.060 1.041

1.000 1.000 1.000

0.740 0.565 0.439

2.021 1.969 1.845

1.496 1.112 0.810

2.021 1.969 1.845

0.584 0.319 0.193

1.000 1.000 1.000

0.740 0.565 0.439

1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.301 1.301 1.301 1.301 1.301 1.301

0.342 0.238 0.196 0.140 0.086 0.041 1.041 0.740 0.565 0.439 0.342 0.238

1.820 1.778 1.732 1.681 1.633 1.613 1.792 1.778 1.732 1.724 1.643 1.633

0.622 0.423 0.339 0.235 0.140 0.066 1.865 1.316 0.979 0.757 0.562 0.389

1.820 1.778 1.732 1.681 1.633 1.613 2.331 2.313 2.253 2.243 2.138 2.125

0.117 0.057 0.Q38 0.020 0.007 0.002 1.084 0.548 0.319 0.193 0.117 0.057

1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.693 1.693 1.693 1.693 1.693 1.693

0.342 0.238 0.196 0.140 0.086 0.041 1.354 0.963 0.753 0.571 0.445 0.310

1.301 1.301

0.196 0.140

1.544 1.447

0.303 0.203

0.D38 0.020

1.693 1.693

,/

II

t

'r--.~

<,

"

Xl Y

I'-....

r-.I"-

1

4

"- r-,

I"-

<,

Y

r-

I'-.... <,

Xl

5 6 7 8 910

20

30

40 506070aOSrO

200

400

600

800101 II'

duraci6n, min.

Figura 6.34

a lineas rectas, salvo para periodos de retorno de 11 y 5.5 afios, por 10 que en este ejemplo se tomara c = O. En la tabla 6.14 se han calculado los parametres X2, XI Yy, as! como sus productos Y cuadrados, Y las sumas indicadas en la ecuaci6n 6.50.

1.883 2.009

0.182 0.255

Sustituyendo los resultados de la tabla 6.14 en el sistema de ecuaciones 6.50 resulta:

Precipitacion

172 1.301 1.301 1.653 1.653 1.653 1.653 1.653

0.086 0.041 1.041 0.740 0.565 0.439 0.342

60 ao 22.968 ao 86.350 ao

1.447 1.301 1.708 1.519 1.431 1.431 1.431

+ + +

0.124 0.053 1.778 1.124 0.809 0.628 0.489

22.968 14.304 33.055

1.883 1.693 2.823 2.511 2.365 2.365 2.365 a] a]

al

+ + +

0.007 0.002 1.084 0.548 0.319 0.193 0.117

86.350 33.055 138.570

1.693 1.693 2.732 2.732 2.732 2.732 2.732 a2 a2 a2

0.112 0.053 1.721 1.223 0.134 0.726 0.565

90.698 37.864 120.758

Andlisis de los datos de precipitacion 1.653 1.653 1.653 1.653 1.653 1.903 1.903

0.238 0.196 0.140 0.086 0.041 1.041 0.740

1.903 1.903 1.903

0.565 0.439 0.342

1.398 1.398 1..146 1.114

173

1.653 1.415

0.333 0.274 0.160 0.096 0.039 j.721 1.047

2.311 2.311 1.894 1.891 1.577 3.146 2.693

0.057 0.038 0.020 0.007 0.002 1.084 0.548

2.732 2.732 2.732 2.732 2.732 3.621 3.621

0.813 0.224 0.]31 0.142 0.068 1.981 1.408

1.279 1.279 1.230

0.723 0.561 0.121

2.434 2.434 2.341

0.319 0.193· 0.117

3.621 3.621 3.621

1.075 0.835 0.651

0.954

Precipitacion

174


Tabla 6.14 (Continuaci6n). XIY

Y

x/

XzY

x/

X2

XI

1.903 1.903 1.903 1.903 1.903 2.079 2.079 2.079 2.079 2.079 2.079 2.079 2.079 2.079 2.079

0.238 0.196 0.140 0.086 0.041 1.041 0.740 0.565 0.439 0.342 0.238 0.196 0.140 0.086 0.041

1.204 1.146 1.041 1.000 0.699 1.602 1.380 1.176 1.176 1.114 1.041 1.000 0.903 0.845 0.602

0.287 0.225 0.146 0.086 0.029 1.668 1.021 0.664 0.516 0.381 0.248 0.196 0.126 0.073 0.025

2.291 2.181 1.981 1.903 1.330 3.331 2.869 2.445 2.445 2.316 2.164 2.079 1.877 1.757 1.252

0.057 0.Q38 0.020 0.007 0.002 1.084 0.548 0.319 0.193 0.117 0.057 0.038 0.020 0.007 0.002

86.350

22.968

90.698

37.864

120.758

14.304

3.621 3.621 3.621 3.621 3.621 4.322 4.322 4. 322\. 4.322 4.322 4.322 4.322 4.322 4.322 4.322 138.57

175

Cada una de las rectas de la figura 6.34, para un periodo de retorno dado, se interpreta como una curva masa de precipitaci6n. Por ejemplo, para un pe riodo de retorno T = 10 afios, resulta de la ecuaci6n 6.51

xlxZ 0.453 0.373 0.266 0.164 0.Q78 2.164 1.538 1.175 0.013 0.711 0.495 0.407 0.291 0.179 0.085

i = 703.06 d ~o 68

(6.52)

Multiplicando la ecuaci6n 6.52 por la duraci6n d se obtiene la altura de precipitaci6n: hp

= i _!!_ = 11. 72 dO.32

(6.53)

60

En la figura 6.35 se encuentra graficada la ecuaci6n 6.53 en forma de curva masa. De una grafica como la de la figura 6.35 es posible obtener un hietogra rna, mismo que puede usarse como tormenta de disefio para alimentar a algiin modelo de la relacion lluvia-escurrimiento, como se vera en el capitulo 8.

33.055

I

-

hp,mm

50Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se obtiene: ao

= 2.277;

K = 102.277

a1

= 0.571;

a2

~

= -0.68

-

/

/v

de la ecuaci6n 6.48 son:

V

25 n

=

v

189.23

y los valores de los parametres

m=

V

VV

V

.. V J....-'"

/

0.571 0.68

por 10 que la ecuacion de las curvas i-d-T es:

1/ 189.23

. i

=

d

0.68

I

+

Precipitacion

174 (d en min, Ten afios,


175

i en mm/h), (6.51) --0

En la figura 6.34 se muestran las curvas dibujadas segiin la ecuacion 6.51.

50 Figura 6.35

100-'-- duracion, min.

176

Precipitaci6n

6.3.8 Comentario final Las caracterfsticas mas significativas de la precipitaci6n, desde el punto de vista de la ingenierfa hidrol6gica, pueden resumirse en cuatro: su altura 0 in tensidad, su distribuci6n err el espacio, su distribucion en el tiempo y su fre cuencia 0 probabilidad de ocurrencia. Las primeras dos partes de este subcapftulo ligan a la altura de precipitaci6n con la distribucion en el espacio; en los apartados 6.3.5 y 6.3.6, a su vez, se han correlacionado estas dos ca racterfsticas con la distribucion en el tiempo, y en el apartado 6.3.7 se toman en cuenta la intensidad, la distribuci6n en el tiempo y la frecuencia. Los metodos anteriores estudian el problema desde diversos puntos de vista, los cuales deben ser tornados en cuenta en cualquier estudio hidrologi co -,Las conexiones que se deben establecer entre estos puntas y el peso relati vo que se debe dar a cada uno para llegar a un resultado concreto, dependen de la cantidad y calidad de los datos disponibles y, en gran medida, del crite rio del hidrologo. Por ella; diffcilmente se pueden proporcionar aquf criterios generales en cuanto a la aplicacion de los metodos estudiados. Cada problema hidrologico es unico, y.el papel que desempefia el juicio ingenieril es, en todos los casos, mas importante que la "precision" que se puede lograr con cada metodo. BIBLIOGRAFIA 6.1 6.2

Wiesner, C.J. Hidrometeorology. Chapman &f\all. Ltd. Great Britain, 1970. Biblioteca Salvat de Grandes Temas. La atmosfera-yla predicci6n del tiempo. Salvat Editores. Barcelona, 1973. 6.3 Callen, H.B. Thermodynamics. John Wiley. New York, 1960. 6.4 Chow, V.T. (ed.) Handbook of Applied Hydrology. McGraw-Hill, 1964. 6.5 Thiessen, A.H. "Precipitation for large areas" Monthly Weather Rev.; vol. 39, pp. 1082, 1084, July, 1911. 6.6 Dominguez, R. "Red Hidrologica. Elementos Basicos", Documentaciondel Plan 6.7 Nacional Hidraulico. Mexico, 1976. Langbein, W.B. "Stream Gaging Networks," Pub!. No. 38, Int. Assoc. for Sci. 6.8 Hydrol. Roma, 1954. Dominguez, M.R., Lozoya, C.l., "Tormenta de Diseno ". Capitulo A.!, 7 del 6.9 Manual de Diseiio de Obras Civiles. CFE. Mexico, 1981. Viessman, W. Knapp, I.W., Lewis, G.L., Harbaugh, T.E. Introductionto Hydro 6.10 logy. Harper & Row, 1977. Collado, M.J., Dominguez, M.R. "Prediccion de avenidas", capitulo A.I.II del Manual de Diseno de Obras Civiles, CFE, Mexico, 1980.

7

Infiltracion

7.1 DEFINICION y'DESCRIPCION DEL PROCESO DE INFILTRACION 7.1.1 Conceptos generales Infiltracion. Se define como el movimiento del agua, a traves de la superficie

del suelo y hacia adentro del mismo, producido por la acci6n de las fuerzas gravitacionales y capilares. La diferencia entre el volumen de agua que llueve en una cuenca y el que escurre por su salida recibe el nombre generico de perdidas. En general, las perdidas estan constituidas por la intercepcion en el follaje de las plantas y en los techos de las construcciones, la retenci6n en depresiones 0 charcos (que posteriormente se evapora 0 se infiltra), la evaporacion y la infiltraci6n. Ademas de que en la practica esdiffcil separar estos cuatro componentes, la porcion mas oonsiderable de las perdidas esta dada por la infiltracion, por 10 que es costumbre calcularlas conjuntamente bajo este nombre. La infiltraci6n juega un papel de primer orden en la relacion lluvia escurrimientoy, por 10 tanto, en los problemas de disefioy prediccion asociados ala dimensi6n y operacion de obras hidraulicas. En general, el volumen de infiltracion es varias veces mayor que el de escurrimiento durante .una tor menta dada, especialmente en cuencas con un grado de urbanizacion relativa mente bajo. Sin embargo, la infiltraci6n recibe poca atenci6n por parte de los ingenieros proyectistas, quiza por la falta de herramientas adecuadas para su tratamiento. Por ello, en este capitulo se hara una revisi6n de los metodos existentes para el calculo de la infiltracion mas completa que 10 usual.

177

Infiltracion

178

7.1.2 Descrlpcion del proceso de infiltracion E1 proceso de infiltracion puede describirse de 1a siguiente manera: Considerese un area de suelo suficientemente pequefia, de modo que sus caracterfsticas (tipo de suelo, cobertura vegetal, etc.), asf como la intensidad de 1a lluvia en e1 espacio puedan considerarse uniformes, aunque 1a ultima cambie en el tiempo. Supongase que, a1 inicio de una tormenta, e1 suelo esta de tal manera seco que 1a cantidad de agua que puede absorber en la unidad de tiempo (es decir, su capacidad de infiltraci6n) es mayor que la intensidad de la lluvia en esos primeros instantes de la tormenta. Bajo estas condiciones, se infiltrarfa toda la lluvia, es decir: ~ si i

< /p,

f=

(7.1)

donde

f /p

=

infiltracion, expresada como lamina por unidad de tiempo, por ejem plo, mm/h. capacidad de infiltracion, en las mismas unidades. intensidad de la lluvia.

En esta parte del proceso las fuerzas producidas por la capilaridad predo minan sobre las gravitatorias. Al avanzar el tiempo, si la lluvia es suficientemente intensa, * el contenido de humedad del suelo aumenta hasta que su superficie alcanza la saturacion. En este momenta se empiezan a llenar las depresiones del terreno, es decir, se originan charcos y comienza a producir flujo sobre la superficie. A este instante se le llama tiempo de encharcamiento y se denota como tp. Despues del tiempo de encharcamiento, si la lluvia sigue siendo intensa, las fuerzas capilares pierden importancia frente a las gravitatorias, pues el con tenido de humedad del suelo aumenta y la capacidad de infiltracion disminuye con el tiempo. Ademas, bajo estas condiciones, la infiltracion se hace inde pendiente de la variacion en el tiempo de la intensidad de la lluvia, en tanto que esta sea mayor que la capacidad de transmision del suelo, de manera que: si i

> /p,

t> tp'

f

=

/p

(7.2)

donde /p decrece con el tiempo. Notese que las dos primeras desigualdades de 7.2 son interdependientes.

*Este terrnino se aclarar~ mas adelante.

Metodos empiricos

179

Bajo las condiciones anteriores, la capa saturada -que en el tiempo de encharcamiento era muy delgada y estaba situada en la superficie del suelo se ensancha a medida que su limite inferior, denominado frente humedo, baja. Entonces, dado que cada vez una mayor parte del suelo esta saturada, las fuerzas capilares pierden importancia paulatinamente hasta que llega un momento, teoricamente en t = 00, en que, el estar todo el medio saturado, el movimiento del agua se produce solo por la accion de la gravedad y la capacidad de infil tracion se hace constante. La descripcion anterior es, de rigor, valida solamente para una columna de suelo homogenea donde el nivel freatico este muy profundo; sin embargo, se veri fica con una precision aceptable en la mayorfa de los casos practices. Si despues del tiempo de encharcamiento la tormenta entra en un periodo de calma, es decir, su intensidad disminuye hasta hacerse menor que la capa cidad de infiltracion, el tirante de agua existente sobre la superficie del suelo, de haberlo, disminuye hasta desaparecer y el agua contenida en los charcos tambien se infiltra, y en menor grado se evapora. Cuando ya no hay agua sobre la superficie del terreno, el contenido de hu medad de las capas de suelo cercanas al frente htimedo se difunde, haciendo que dicho frente avance hacia arriba hasta que la superficie deja de estar saturada. Posteriormente, la lluvia puede volver a intensificarse y alcanzar otro tiempo de encharcarniento repitiendose todo el ciclo descrito.

7.1.3 Factores que afectan la capacidad de inflltraclon. La forma precisa en que se realiza el proceso descrito depende de un gran mimero de. factores, entre los que destacan: a) b) c) d) e)

f) g) h) i)

Textura del suelo. Contenido de humedad inicial. Contenido de humedad de saturacion. Cobertura vegetal. Uso del suelo. Aire atrapado. Lavado de material fino. Compactacion. Temperatura, sus cambios y diferencias.

7.2 METODOS EMPIRICOS

Cuando se tienen rnediciones simultaneas de lluvia y volumen de escurrimiento

Infiltraci6n

180

Metodos empiricos

en una cuenca, las perdidas se pueden calcular, de acuerdo con su definicion (vease apartado 7.1.1), como:

b). Se calcula la altura de lluvia en exceso 0 efectiva hPe como el

volumen de escurrimiento directo dividido entre el area de la cuenca:

(7.3)

•

Vp Ved

= volumen

de perdidas,

1> trazando una linea hori'zontal en el hietograma de la tormenta, de tal manera que la suma de las alturas de precipitacion que queden arriba de esa lfnea sea igual a hp : El fndice de infiltracion media 1> sera entonces igual a la altura de precipitacion correspondiente a la lfnea horizontal dividida entre el intervalo de tiempo t:.t que dure cada barra del hietograma.

c) Se calcula el Indice de infiltracion media

volumen de escurrimiento directo.

Si ambos miembros de la ecuacion 7.3 se dividen entre el area de la cuenca se obtiene: F=/-R

Ved

c

= volumen de lluvia.

=

A-

hPe(7.6)

donde

VI I

181

(7.4)

2

Ejemplo 7. /. En una cuenca de 36 km se midieron el hietograma y el hidro grama mostrados en la figura 7.1 a y b, respectivamente. Determinar el indice

donde

de infiltracion media que se tuvo durante la tormenta.

F = infiltracion 0 lamina de perdidas acumulada. I = altura de lluvia acumulada. R = escurrimiento directo acumulado.

Y si a su vez la ecuacion 7.4 se deriva con respect~iempo f=i-r

a) Separacion del gasto base y calculo del volumen de escurrimiento

directo. se tiene: (7.5)

De la figura 7 .lb se observa que, en este caso, la linea de separacion entre gasto base y gasto directo es una recta horizontal. El volumen de escurrimiento directo es entonces: 10

donde r es la lamina de escurrimiento directo por unidad de tiempo. Para la aplicacion de los metodos que simulan la relacion lluvia escurrimiento (capitulo 8) es necesario conocer la variacion en el tiempo de r. Para ella se usan comiinmente dos tipos de criterios en cuencas aforadas:

X

3 600 x 7

126000 m '

2 'hp, mm 6

el de la capacidad de infiltracion media y el del coeficiente de escurrimiento. 7.2.1 Criterio de la capacidad de infiltracion media Este criterio supone que la capacidad de infiltracion es constante durante toda la tormenta. A esta capacidad de infiltracion se le llama Indice de infiltracion media 1>. Cuando se tiene un registro sirnultaneo de precipitacion y escurri miento de una tormenta, el Indice de infiltracion media se calcula de la si guiente manera: a) Del hidrograma de la avenida se separa el gasto base y se calcula el

8

5

7 6 5

4 3

4 3 2 1

2

t.h a) Hietograma

0 L-~'-~-r-T~~r-r-~'----_ 0 2 4, 6 8 10 12 14 16 18 20 b) Hidroqrarna

t.h

volumen de escurrimiento directo.

Figura 7.1

" I

Infiltraci6n

182

hp b) Calculo de la lluvia efectiva.

De la ecuacion 7.6, la altura de lluvia efectiva es:

e -

126000 = 0.0035 m = 3.5 mm 36 X 106

c) Calculo de cf>.

En la tabla 7.1 se hacen algunos tanteos para encontrar el valor correcto de cf>. En la tabla 7.1, hpei es la altura de precipitacion en exceso correspon diente a la z-esima barra del hietograma. El Indice de infiltracion media es de 3.15 mm/h. Notese que si .el intervalo de tiempo que duran las barras del hietograma de la figura 7 .la hubiera sido de 2 h, cf> serfa de 3.15 mm/2 h 0 1.575 mm/h y si dt = 0.5 h, cf> = 3.15 mm/0.5 h 0 6.30 mm/h.

7.2.2 Criterio del coeficiente de escurrimiento Con este criterio se supone que las perdidas son proporcionales a la intensi dad de la lluvia, esto es:

f = (I-Ce)i,

es decir, r=Cei

(7.7)

donde la constante de proporcionalidad Ce, sin unidades, se denomina coefi ciente de escurrimiento, Otra manera de escribir la ecuacion 7.7 es:

(7.S)

o bien: Ce Tabla 7.1

(7.9)

mmlh

hPej mm

hPe2 mm

hPe3 mm

hPe4 mm

hPe5 mm

hPe6 mm

EhPei mm

4 3 3.15

1.35 2.35 2.20

0 0.07 0

0 0 0

0.45 1.45 1.30

0 0 0

0 0 0

1.8 ;;r:. 3.5 3.87 ;;r:. 3.5 3.50 = 3.5

Metodosempiricos

183

Ejemplo 7.2. Calcular el coeficiente de escurrimiento para el caso del ejem plo 7.1. La altura total de precipitacion es: hpf = IS.46 mm

y el volumen llovido sera entonces:

Vn = IS.46

X

10-3 x 36

X

106 = 664 560 m'

Por 10 tanto, el coeficiente de escurrimiento es: C = 126000 =0.19 e 664 560 Los calculos de los ejemplos 7.1 y 7.2 se llevan a cabo cuando se tiene un registro de la precipitacion y del escurrimiento para la tormenta en cues

tion. Con frecuencia 10 que se tiene es una tormenta de diseiio, para la cual no existe un registro de escurrimiento. Existen varios metodos con los que se puede estimar el coeficiente de escurrimiento 0 el fndice de infiltracion media cuando se tienen registros simultaneos de lluvia y escurrimiento para tormentas anteriores. Enseguida se vera solo uno de ellos. 7.2.3 Criterio del United States Soil Conservation Service (USSCS)

Segtin este criterio (referencia 7.1) la relacion entre el coeficiente de escurri miento y la altura de precipitacion total de una tormenta esta dada por: C = e

(p-0.2S)2 p2 + O.SSP

(7.10)

donde P es la altura total de precipitacion de la tormenta y S es un parametro por determinar, con las mismas unidades de P. El parametro S se puede estimar si se conocen varias parejas de valores

(P, Ce); el valor de S puede tomarse como el que hace que la variancia del error cometido al calcular Ce con la ecuacion 7.10, con respecto al coeficiente de escurrimiento real, sea mfnima. Ejemplo 7.3. En una cuenca se han determinado las alturas de precipitacion columnas 1 y 2 de la tabla 7.2. Determinar el parametro S de la ecuacion 7.10

y calcular el coeficiente de escurrimiento para una tormenta, cuya altura de

~I~

'"

~~ i¥l

...(.'.<.)000

~~~~ggggg 000000000 ~'<1"<'I0ll"lll"l0000t.~~~o ....o..oo

'"

~

::

"l"'~ ~U"t-

II

V:J

111011111

0

I

;::!;~~8S~~~8

000000-000

('fjV)('f')V)('.lV)

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C}>,

0

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~~ ~~

~~~~ooooo

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('<) ...... 0

OV)O\~\O\CI~....-j",,"

g8°00

t-

............

o

111111000 II

V:J

'" '<1" i'-i3'-'1~ ,

~

R'

'"

'-

~~U"<' "~'l

s

empiricos

185 Solucion En las columnas 3,6,9 y 12 de la tabla 7.2 se han calculado los coeficientes de escurrimiento con la ecuacion 7.10, suponiendo diferentes valores de S. En las columnas 4, 7, 10 Y 13 se encuentran los errores cometidos en el calculo de Ce con respecto a los coeficientes de escurrimiento reales, y en las colum nas 5, 8, 11 Y 14 se muestran los calculos necesarios para determinar la va riancia del error en cada caso. En la figura 7.2 se ha dibujado la variancia, definida como:

0<'I 0

Ve

=-

I

n

<'IlI"l<'ll'l<"1l"00\00tC'!'
Ver

II

~I~

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1\

\ \

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J

~~::6;::!;~;;:;\D~~ 000000000

~

~~)g'00\0\0'O'O ~oo3gg('<)('<) ~~~~ogg 00000000

, ~

'"

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,

'0 ...... <'I 0 0

~ II

V:J

00ll"l0\'O0\000('<)('<) lI"l 000000000 V! t; t; "! '
--'-I

\

I

('<)lI"l'<1"'Ot-t-0'O'O <'I<'I('<)<'I('<)('<)('<)"!C'! 000000000 0

Ci0('<) d

(7.11)

o.00~25

! -+ -'-'"

- 2 e)

E(e -

mm2

!

V:J

1

De la figura 7.2 se infiere que el valor mas correcto de S, es decir, el que produce la minima variancia del error, es S = 30 mm. La ecuacion 7.10, para este caso particular, es:

::

~=U<-""'r~)

Mtitodos

,

I j_

l'l.

o .0015 I ---,-

\

I

--, t-,---

o .0010 ;;:::-

--

\.

~Oll"lO<'l(,<)oot-t-

L I

I

I

I

o.0005

'\

_.+------._ ; ,

I

'\..

!

1 i

/

I -+-I

........ ",

~

;--

I

j_-_...---

~ .v:v:~,"""!..q"¢N....-!

-1

SQ..,

I

-+-

I

(

Sj mml

0

Figura 7.2

000000000

~ s::;

~.~ ~ 8 ~ ~ ~ ~

I

--_. I'" t:-l

10

20

I

, 30

I

40

,

50

I

187 186

Infiltraci6n

Metodos empiricos

7.2.5 Metodo de los numeros de escurrimiento p2

+

24P

de manera que para una tormenta con P

=

80 mm se tiene Ce

0.66.

7.2.4 Criterio del indice de precipitacion antecedente

. . e la cuenca este aforada, Todos los criterios antes ~enclOnadodsreql~dlearmeaqn~lsmtoiempo que las preci. h n medido gastos e sa 1 es decir, que se aya 1 te de las cuencas del pais no estan aforadas, pitaciones. Dado que a mayor par h f 'a no se cuenta con es tos datos , por 10 que es necesario . ~~:e~;~t:d::~~~~~s que se pueda estimar la altura de lluvia efectiva a partir

~:~sc:~~~;~~~~;c~:

Este criterio relaciona el Indice de infiltraci6n media cp con las condiciones de

de laEtlouta~Sy~i~ (refe~e~cia

humedad del suelo y es util para problemas de predicci6n de avenidas a corto plazo. Las condiciones de humedad del suelo se representan mediante el Indice de precipitaci6n antecedente IP A definido como:

. . "de los mirnerosde escurrimiento ., , ,, que·reune las caractenstlcas 7. 1), llamado

(7.12) donde P es la precipitaci6n total, K es una constante que toma en cuenta la disminuci6n de la humedad con el tiempo, cuyo valor puede tomarse como de

0.85 para calculos diarios, y el subindice j indica el dfa en cuesti6n. Si se tienen registros de P y cp para varias tormentas en la cuenca en estudio, y ademas se cuenta con las precipitaciones de algunos dias anteriores a cada tormenta, es posible construir una grafica de cp contra IPA, que tiene la forma mostrada en la figura 7.3. La funci6n IP A (cp) se determina mediante un analisis de regresi6n (vease apendice B). Para formar una grafica de esta naturaleza conviene seleccionar una 0 varias temporadas de lluvias qel registro y suponer un valor inicial de IPA, por ejemplo de 10 mm. Es tanybienconveniente escoger solamente las avenidas con un solo pico para evitar/errores en la separaci6n del gasto base y por 10 tanto en el calculo de cp. Con la grafica de IP A contra cp es factible estimar el valor posible del Indice de infiltraci6n media cp a corto plazo, conociendo iinicamente la preci pitaci6n en los dfas anteriores.

el siguiente metodo

men~~na~~::~de lluvia total P se relaciona con la altura de lluvia efectiva P, medi~:::s l~~r~::V:~ ;~~::d::p::s:r (referencia 7.2):

+ 5.08

N508 P

mediante la ecuaci6n

]2

[p-

Pe

~f:::r:i'~mente

+ 2032 _ 20.32 N

(7.13)

P, lIuvia total, en em

Figura 7.3

Figura 7.4

188 Infiltraci6n Tabla 7.3

Selecci6n de N

Tabla 7.4

Uso de la tierra

Tratamienia del

y cobertura

Pendiente

suelo

del terreno, en %

Sin cultivo Cultivos en surco

B

C

D

Surcos rectos

77

Surcos rectos Surcos rectos Contomeo Contomeo Terrazas Terrazas

> < > < > <

72

86 81 78 79 75 74

91 88 85 84 82 80 78

94 91 89 88 86 82 81

Surcos rectos Surcos rectos Contomeo Contomeo Terrazas Terrazas

> < > < > >

84

88 87 85

Legurninosas

Surcos rectos Surcos rectos Contomeo Contomeo

> < > <

Terrazas

<

---------------------------------------

> > < <

0

praderas con rotaci6n

Pastizales

Pradera permaneme

Contomeo Contomeo

<

67 70 65 66 62

71

65 63 63 61 61 59

70

66 58

77 72

55

76 75 74 73

83 82 81 79 78

82 81

75 69

85 81 83 78

89 85 85 83

51

67

76

80

68 39 47 6

79 61 67 35

86 74 81 70

89 80 88 79

30

58

71

78

56 46 36 26 15

75 68

86 78 70 62 54

91 84 77 69 61

64

72

Textura del suelo

Tipo de suelo

Tipo de suelo A

Cereales

189

Metodos empiricos

84

A

Arenas con poco limo y arcilla; Suelos muy permeables.

B

Arenas finas y limos.

C

Arenas muy finas, limos, suelos con alto contenido de arcilla.

D

Arcillas en grandes cantidades; suelos poco profundos con subhorizontes de roca sana; suelos muy impermeables.

que resulta mas practica de usar que la grafica 7.4, especialmente para va lores de P pequefios, En la figura 7.4 y la ecuaci6n 7.13, N es el "mime ro de escurrimiento" cuyo valor depende del tipo de suelo, la cobertura vegetal, la pendiente del terreno y la precipitaci6n antecedente, entre otros factores. En la tabla 7.3 se muestran los valores de N para algunas condiciones. El tipo de suelo se estima tomando como gufa la tabla 7.4. Para tomar en cuenta mimero de escurrimiento obtenido de la tabla 7.3, segtin la altura de precipi

tacion acumulada cinco dias antes de la fecha en cuestion, 115' de la siguiente manera: a) Si 115 < 2.5 ern, hacer correccion A. b) Si 2.5 < 115 < 5 cm, no hacer correccion, c) Si 115 > 5 ern, hacer la correccion B.

Bosques naturales Muy ralo

RaIo Normal Espeso Muyespeso Caminos De terracerfa Con superficie dura

------------------------

60

52 44

Las correcciones A y B mencionadas se muestran en la tabla 7.5. Ejemplo 7. 4. Una cuenca esta formada en un 70 % por bosques naturales nor altura 50 mm, tomando cuenta que durante males total y en de unprecipitacionde 30% por pastizales naturales conenpendiente menor al los 1%.cinco El suelo de toda la cuenca esta constituido por arenas muy finas con un alto

190 lnfiltracion

Metodos empiricos

191

Tabla 7.5

El coeficiente de escurrimiento es, segtin la ecuacion 7.9:

N

Neon correccionA

o

Neon correccionB

0 4 9 15 22 31 40 51 63 78 100

10

20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 22 37 50 60 70 78 85 91 96 100

~

Un valor de N medio para la cuenca es:

= 0.7 x 70 + 0.3 x 86 = 75

Dado que la prectpiracton antecedente es mayor que 2 5 cm el

d or

e

El valor corregido de N es:

+ 508 .

J

2

=

2.39 ern

0.48

(7.14)

donde!p es la capacidad de infiltracion y fo' fe y k son constantes empfricas. La funci6n representada por la ecuacion 7.14 se ilustra en la figura 7.5. Wilson (referencia 7.5) propone los valores de fo' fe y k que se muestran en la tabla 7.6 para algunos tipos de suelo. Puede observarse que ademas de 10 diffcil que resulta encuadrar al suelo en cuestion en los tipos mencionados en la tabla, las variaciones enfe son tan grandes que es muy probable cometer errores de consideracion al escoger al gun valor. Kostiakov (referencia 7.6) en 1932 propuso la formula: =

ou":'

(7.15)

donde c y n son constantes empfricas, Hasta ahora no se han hecho intentos por correlacionar los valores de c y n con las caractensticas del suelo, humedad 1f

Con este valor de N e y. con P -- 5 ern, se obtiene, . de la ecuacion 7 13 0 la figura 7.4, que la preClpitaci6n efectiva es: . , 508 [ 5 --- 88 2032

=

Se han hecho numerosos intentos por representar el proceso de infiltracion de alguna formula mas 0 menos empfrica. La formula mas conocida es tal vez la Hamada de Horton, publicada por primera vez en 1921 (referencia 7.3) por Gardner y Widstoe y afios despues, en 1940, y de manera aparentemente independiente, por Horton (referencia 7.4):

!p I ,va

2.39 5.00

=--

1;, =L + (fa - !c) e-kt

De acuerdo con la tabla 7.4, el suelo es del tip6 C. Segiin la tabla 7 3 I valores de N son, para e I' area boscosa y de pastizales respectivamente, . , de: os

o . t . N de.be modif I icarse se g u n la correccion B de la tabla 7.5.

P

7.2.6 Otros metodos

Soluci6n

N

Pe

PAc

p

T fo

I

.J_ , -_-_--_-_-

-'-1_1c_- -_-_-_-_-_-_-_-_-_

5

+ ---88

2032 .

Figura 7.5

192

Infiltracion

Tabla 7.6 Tipo de suelo Agricola normal

!C, mmlh

k, min~1

280

6-220

1.6

900

20-290

0.8

325

2:20

1.8

210

2-25

2.0

670

10-30

1.4 ~

Turba desnudo cubierto de vegetaci6n

:=5n :=5 1

lh St-Y'

(7.16)

+

(A2

+

K,·)

+ -3

3

t'/'

+

2A

4·

t

+

..

(7.17)

2

A

donde Az, A3, A4, ••. son constantes empfricas, K, es la conductividad hi draulica del suelo en Ias condiciones de humedad iniciales y S es un terrnino ~lamado "sortividad", constante durante un evento dado, que representa la mflu.enciad~ la c~pilaridad en el proceso. Este autor propone que, para fines de hidrologia aplicada, se usen iinicamente los dos primeros terminos de la ecuaci6n 7.17: (7.18) donde A F

=

= A2

+ K; Naturalmente, la infiltraci6n acumulada es:

JI:t'dt = StY'

+

1.0 si t -

(7.20b)

00

c - S si t - 0

(7.2Ia)

c -A si t -

(7.2Ib)

00

esto es, C y n son funciones del tiempo y no constantes, como se propone en la derivaci6n original de la ecuaci6n 7.15.

para que la funci6n 7.15 sea decreciente con el tiempo. Philip, en 1957 (referencia 7.7), despues de un elaborado desarrollo matematico, concluye que la relaci6n entre la infiltraci6n y el tiempo esta dada por la serie:

I=

y n

(7.20a)

y ademas:

antecedente, etc. Sin embargo, desde un punto de vista te6rico, n tendrfa que estar en el rango:

o

193

n - 0.5 si t - 0

_

10, mmlh desnudo cubierto de vegetaci6n

Arenoarcillosos

..

Teoria de la infiltracion

A

Por otra parte, comparando la ecuaci6n 7.18 con la 7.14 para grandes valores de t, puede inferirse que t. en la f6rmula de Horton tiene un signifi cado similar al de A en la de Philip, esto es, una capacidad de infiltraci6n cons tante para contenidos altos de humedad del suelo. Independientemente del comportamiento matematico de las funciones an teriores, hace falta definir relaciones simples y precisas entre los parametres que intervienen en dichas funciones, y las caracteristicas del suelo y la cuenca. Este problema puede solucionarse en parte mediante una teorfa de la in filtraci6n.

7.3 ELEMENTOS

DE UNA TEORIA

DE LA INFILTRACION

Sea un elemento de suelo como el que se muestra en la figura 7.6. Si se considera un movimiento unidimensionaldel agua en el medio poroso (vease figura 7.6), segun el principio de conservaci6n de masa debe cumplirse que: (q

+

ilq) Axily -

q Ax ily

- --

il8 ilt

Ax ilY ilz

(7.22)

donde q es el gasto de entrada por unidad de area, q + ilq es el gasto de salida por unidad de area, 8 es el contenido de humedad en el elemento de suelo* y t es el tiempo. Simplificando la ecuaci6n 7.22 y haciendo ilt, ilz - 0 se obtiene la ecuaci6n de continuidad: t

(7.23)

(7.19) Si se compara la ecuaci6n 7.18 con la 7.15 se concluye que:

*Esto es, volumen de agua/volumen total de suelo.

194

Infiltracion Superfieie del suslo

Teoria de fa infiltracion

195

n =-z

~

(7.26)

~. ,

P iez6metros

":1;·'.·. ·.:.'r:::t~,.....,.:..,.:.,· . ..,.::-"'j:""', t:-:-:i.""'~"""":;'' ' ' ':

+z'

z

En la ecuacion 7.25, if; representa la influencia de las fuerzas capilares en el proceso de infiltracion y n la de las fuerzas gravitacionales. Derivando la ecuacion 7.24 con respecto a Z se obtiene:

q

, -T 1

z2

!~"r-•:.·,:t.:/:·;:':::·:.:.,..;:;.::-·::;.:':.:t;:4,·:,:·-i:"-:.: ::-rf:- ,'c.~~:~_j:;_::r ~~~~

j

~

.s. (-K a¢) az

cJ>1

1

_1

az

I

~z

==

az

a_ K az

=

= _

(_!l _ az

_!

az

1) ==

K (aif; +~) az az a_(K~) az az

=

aK az

+

(7.27)

Sustituyendo 7.27 en la ecuacion de continuidad 7.23 resulta:

ae at

------------~~----PHR Figura 7.6

=

.s. (K~) _ az

Bz

aK az

(7.28)

La ecuacion 7.28 se conoce como ecuacion de Richards (referencia 7.8). Notese que tanto if; como K son funciones de e. En las figuras 7.7a y 7.7h se muestra la forma tfpica de estas funciones.

donde se han usado derivadas parciales en vista de que q y e dependen tanto de z como de t. La ecuacion 7.23 tiene dos funciones incognita: q (z, t) y e (z, t); es necesaria, por tanto, otra ecuacion para tener un sistema deterrninado. Esta otra ecuacion es la ley de Darcy, planteada para flujo en medios porosos no saturados:

Debido a esta dependencia de if; y K de e, la ecuacion 7.28 es fuertemente no lineal y no existe una solucion analftica conocida para ella. Por 10 tanto, para resolverla es necesario recurrir a ciertas hipotesis simplificatorias 0 usar

a¢

K, 10-6

q

= - K-

(7.24)

-

12

az

donde K es la conductividad hidraulica del medio 0 simplemente conductivi dad** y ¢ es el potencial total, que es igual al nivel que alcanzarfa el agua en un piezometro colocado dentro del suelo (vease figura 7.6). El potencial total ¢ se puede dividir en dos partes:

Funci6n /

10

-

Ks

----~-----

Funei6n K (8) (Areilla)

\

~o,

(7.25) donde if; = pl"( es el potencial capilar (p = presion y "( = peso especffico del agua) y n el potencial de fuerzas externas por unidad de peso del agua.

>/;(8)

(Areilia)

em/seg j

G e

neralmente, la unica fuerza

externa de importancia que acnia en el sistema es la gravedad; si se acepta una distribucion

hidrostatica de presiones en un intervalo Liz pequefio, se puede escribir: **N6(ese que K no es , en general, igual a la pcrmeabilidad del suelo, pues esta es la conductivi dad para condiciones de saturacion,

-10 '-- ........ ~_L

o

0.1

0.2

0.3

·:-····---8

0.5

b)

a)

Figura

Infiltracion

196

o

8

I

I I I I

,- =

197

Supongase que el contenido de humedad inicial es OJ = 0.1, esto es que el cuba contiene 0.1 X 1 X 1 X 1 = 0.lm3 de agua. Si se hace caer agua sobre el cubo hasta que alcance un contenido de humedad 0 = 0.5, el volumen de agua dentro del cuba sera de 0.5 m 3. El volumen de agua infiltrada es en tonces de (0.5-0.1) X 1 X 1 x t = 0.4 m ', 0 bien, la infiltracion acumulada es F = 0.4/(1 x 1) = 0.4 m. En una columna de suelo de area unitaria y longitud infinita el razonamiento anterior se expresa como:

Perfiles de humedad

t

Teoria de la infiltracion

00

F =

I

I:

(0 -

(7.30)

0;) d;

y la infiltracion sera: z ,

/ = aF = _a_ roo(O _ OJ) dz

at

Figura 7.S

at J

0

Figura 7.9

los metodos numericos. Ambos casos caen fuera del enfoque de este texto, pero es conveniente hacer notar algunos aspectos de las ecuaciones anteriores iitiles en la cornprension del fenomeno. La funcion:

o

=

0 (z, t)

(7.29)

que satisface la ecuacion diferencial7.28 tiene una forma como la que se ilustra en la figura 7.8. De acuerdo con la definicion de contenido de humedad 0, que es el volumen de agua por unidad de volumen total de suelo, el volumende agua infiltrada debera ser igual al aumento en el contenido de humedad con respecto al inicial, multiplicado por el volumen de suelo. Para aclarar 10 anterior, COIl siderese un cuba de suelo de 1 m de lado (figura 7.9).

T 1

1.0 m

(7.31)

La ecuacion 7.31 representa, de manera teorica, la infiltracion cuando se conocen las propiedades del suelo (figuras 7.7a y 7.7b) y sus condiciones iniciales de humedad. Por otra parte, se ha visto (apartado 7.1.2) que cuando el suelo esta satu rado (esto es, 0 = Os) las fuerzas capilares no existen y solamente aetna la fuerza de gravedad. En estas condiciones, if; = 0 (vease figura 7.7a) y de las ecuaciones 7.25 y 7.26 se tiene que: cf>

= - z si 0 = Os

(7.32)

Sustituyendola ecuaci6n 7.32 en la ley de Darcy (ecuacion 7.24) y tomando en cuenta que en este caso K = K, (vease figura 7.7b) se obtiene: q

=

Ks si 0

=

Os

(7.33)

de donde se infiere que K, es la velocidad minima con que el suelo puede transmitir agua, 0 bien, K, es la minima capacidad de infiltraci6n que puede te ner un suelo dado. Notese que la conductividad hidraulica del suelo saturado K, es la pro piedad que con frecuencia se denomina "permeabilidad" y que se puede de terminar con cierta facilidad en un laboratorio, 0 bien estimarse con base en la textura del suelo (referencia 7.9). De esta manera y de acuerdo con la ecua cion 7.33, el parametro j, de la formula de Horton (ecuaci6n 7.14), A de la formula de Philip (ecuacion 7.18) y c de la formula de Kostiakov (ecuaci6n 7.15), deben ser iguales, te6ricamente, ala conductividad saturada del suelo. En la practica esto no se cumple con exactitud debido a que el valor de K, obtenido en una prueba de permeametro diffcilmente es igual al que se tiene in situ; sin embargo, K, da una buena idea del valor de dichos parametres.

198

Infiltraci6n

7.4 EL CONCEPTO DEL POTENCIAL EN EL FRENTE HUMEDO En los dos subcapftulos anteriores se han descrito dos tipos de metodos que, por su complejidad y fundamento ffsico, pueden considerarse opuestos: por una parte, los metodos empfricos no cuentan con un fundamento teorico solido pero son simples de usar una vez que se han determinado los parametres correspondientes; por otro lado, la teorfa de la infiltracion tiene un respaldo ffsico relativamente fuerte, pero resulta complejo y diffcil de usar. Es, por tanto, conveniente contar con un metodo que este situado en un punto inter medio, 10 cual se logra haciendo algunas simplificaciones a la teorfa de la in filtracion. Estas simplificaciones consisten basicamente en supones.que los perfiles de humedad no avanzan en el tiempo como en la figura 7.8, sino como se muestra en la figura 7.10, como un piston. De este modo, el suelo situado arriba del perfil de humedad esta saturado y abajo de el tiene el contenido

Potencial en el frente humedo de donde la ecuacion 7.34 se escribe como: q

s,

=-

1/;f;

(1/;sup-

zsup) (7.34) zsup donde los subfndicesJy sup denotan, respectivamente, las condiciones en el frente humedo (limite inferior de la capa saturada) y en la superficie del suelo. zf -

Tomando como origen del eje Z la superficie del suelo y la presion atmosferica como referencia e igual a cero resulta:

1/;sup = zsup = 0, Z[ =

Z

(7.35)

o r-....8.:ir---_..::;:;:..8.,s.A

I

z

i

I

I I I I

I I

I I I

z

t

I---Md--I

a) t = tp

z

z,

Perfil de humedad real b) t

> tp

8

;~

s,

(1 - 7)

(7.36)

(7.37) Multiplicando y dividiendo por Md el segundo termino del parentesis de la ecuacion 7.36 se obtiene:

q

=

K

(1 _

1/;f Md

(7.38)

z(8s-8D

s

_ K (1/;f - zf) q - s

=

Z

Se define como deficiencia de humedad Md a la diferencia entre los eon tenidos de humedad de saturacion e inicial, esto es:

) de humedad inicial 8i. Aceptando esta hipotesis, la ley de Darcy (ecuacion 7.24) se expresa, en la zona saturada, como:

199

De acuerdo con las suposiciones hechas en la figura 7.10, si el medio esta saturado entre z = 0 y Z = zf' la velocidad del agua sera la misma en toda esta region, incluyendo la superficie; entonees, J = q. Por otra parte, tomando en cuenta la ecuacion 7.30, resulta en este caso que F = Z (O, - 8J. Asi, la ecuacion 7.38 se transforma en:

J=

s,

(1-

1/;f:d

)

(7.39)

La expresion 7.39 se desarrollo originalmente en 1911 por Green y Ampt (referencia 7.10), Y es valida solo en el caso de que i > Ks, siendo i la in tensidad de la lluvia. En easo contrario, de acuerdo con la ecuacion 7.1, se tiene que:

J

= i si i

< K,

(7.40)

Notese que si pasa un tiempo largo con una lluvia intensa (i > Ks), F crece hasta que 1/;fMiF se hace despreciable; en ese momenta se tiene que J = Ks, 10 que concuerda con 10 expuesto en el subcapitulo anterior. La mismo sucede cuando Md es pequefio, es decir, cuando el contenido de humedad del suelo esta inicialmente cerca al de saturacion. Todos los parametres que intervienen en la formula de Green y Ampt (ecuacion 7.39) tienen un sentido ffsico bien definido y pueden estimarse de acuerdo con la textura del suelo y las condiciones de humedad iniciales, salvo el potencial en el frente htimedo 1/;f. Lo anterior provoco que la formula per

Figura 7.10

maneciera abandonada por cerca de medio siglo. Sin embargo, en epocas re lativamente recientes (referencias 7.11 y 7.12 por ejemplo) se ha propuesto que 1/;f se 'calcule como un promedio pesado de los valores que adquiere a

10

200

Infiltraci6n

Figura 7.11

largo del perfil de humedad real (vease figura 7.7a), y que el coeficiente de peso sea la conductividad relativa k; definida como; (7.41) Asi, combinando las figuras 7.7a y 7.7b es posible obtener una relaci6n entre I/; Y k; que, en general, tiene la forma mostrada en la figura 7.11. Asf, el valor de I/;j sera el area sombreada en la figura 7.11. Para fines practices se puede despreciar el valor de k./k, y el potencial en el frente hii medo se calcularfa como; I/;j

=

J:

Krd I/;

=

J~

I/;dkr

(7.42)

EI metodo anteriormente descrito se encuentra min en una etapa de pruebas y todavfa su uso no es generalizado. Sin embargo, se considera que tiene amplias perspectivas de aplicaci6n practica (referencias 7.10, 7.11, 7.12, 7.13, entre otras). 7.5 MEDICION DE LA INFILTRACION ~n te~ria es posible determinar los valores de los diversos parametres que mtervienen en los metodos descritos anteriormente mediante mediciones directas de la infiltraci6n. El aparato que sirve para medir la infiltracion se llama infiltr6metro. AI contrario de 10que sucede con la precipitacion 0 la evaporacion, la infiltracion puede diferir co~~iderablemente de un sitio a otro relativamente

cercano, por 10 que las mediciones hechas con infiltrornetrng considerarse representativas de areas muy pequefias,

solo pueden

Bibliografta

201

. Los infiltr6metros se clasifican en dos tipos basicos: a) simuladores de lluvia, en los que se aplica el agua de modo y en cantidades similares a la lluvia natural, y b) de carga constante, en los que se coloca una lamina cons tante de agua sobre el suelo dentro de un area cerrada. Enseguida se describen brevemente solo los del segundo tipo. Los infiltr6metros de carga constante mas comunes son los formados por un tubo simple 0 por dos tubos concentricos. Cuando se usa un tubo simple, su diametro es normalmente de 20 em y su longitud de 45 a 60 cm. Estos tubos se hincan en el terrene a una profundidad de 40 a 50 em y el agua se aplica a traves de buretes graduados de tal manera que se mantiene un tirante cons tante, suficiente para cubrir las plantas pequefias. Si se toman lecturas de los buretes en diferentes tiempos es posible construir una grafica de capacidad de infiltraci6n contra el tiempo, de 10 cual se deducen los parametres que intervienen en los modelos vistos anteriormente. Los tubos concentricos, nor malmente de unos 20 a 35 em de diametro, se usan para reducir efectos de frontera en el anillo interior, que es donde se hacen las mediciones. En este caso, los tubos se hincan en el suelo s61010necesario para que no haya escapes de agua. Los resultados que se obtienen de pruebas con infiltr6metros son, en gene ral, poco confiables, pues el suelo se altera al hincar los tubos y no se toma en cuenta la estratigraffa del mismo. Ademas, como ya se menciono, estos resultados solo pueden considerarse como representativos de areas sumamente pequefias. BIBLIOGRAFIA 7.1 U. S. Soil Conservation Service, "National Engineering Handbook" sec. 4, Sup plement A, Hydrology, 1957. 7.2 SpringaU, G. R. "Drenaje en cuencas pequefias" Publicaci6n 143 del Instituto de Ingenierfa, UNAM. Mexico, 1969. 7.3 Gardner, W., Widstoe, J. A., The movement of soil moisture Soil Sci. 11:215-232, 1921. 7.4 Horton, R. E., "An approach to the physical interpretation of infiltration capa city". Soil Sci. Soc. Am. Proc. 5, 399-417, 1940. 7.5 Wilson, E. M. Engineering Hydrology. McMillan Press. London, 1974. 7.6 Kostiakov, A. N. "Sobre la dinamica del coeficiente de percolaci6n de agua y la 0 necesidad de estudiarlo desde un punto de vista dinamico para prop6sitos de

2 0 2

Infiltraci/m

I

:~j~~a~i~:~o~s!;.ans. 6th. Comm. Int. Soc. Soil Sci. Part A, pp. 17-21, Mos-

8 Relaciones lluviaescurrimie nto

7.7 Philip, J. R., "The theory of infiltration·4 S .. . . equations" Soil Sci 84 257 264 . . orptrvity and algebraIcinfiltration. , p p . , 1 9 5 7 . 7.8 ~ch~rds,vLI·A., "Capillary conductionof liquids through porous mediums" YSICS, ., pp. 318333, 1931. 7.9

Juarez, B. E., Rico, R. A. Mecdnica de suelos V I Ed L· M' .

.. , . Imusa, eXIco,1975.

7.10 Green, W.H., Ampt., G.A. "Studieson soil h . . . ~/ through soils". J. Agr. Sci., 4(1), 1-24, 1~1~~ICS1.. The flowofmrand water 7.11 Mein R RG ' . ., C Larson

.

"M d l in u em g i mfiltrationduring a steady rain" W t

Es sumamente cormin que no se cuente con registros adecuados de escurri

es. Res., V.9 No.2, pp. 384-394, 1973. . a er 7. 12 Morel-SeytouxH J Kh .. J "D . . R ' .. , an]I,. envanon of an equationof infiltration" W t es. Res., V. 10, No.4, pp. 795-800, 1974. ' aer 7.13 Chu, S.T.; "Infiltration during an unsteadyrain" W t R R 3, pp. 461, 466, 1978. . a er es. es., V. 14, No.

7.14 Chow, VT..

H.

an applied db kif· 0 hydrology 0 MCGraw0 Hill,1964.

miento en el sitio de interes para determinar los parametres necesarios para el disefio y operacion de obras hidraulicas, En general, los registros de precipi tacion son mas abundantes que los de escurrimiento y, ademas, no se afectan por cambios en la cuenca, como construccion de obras de almacenamiento y derivacion, talas, urbanizacion, etc. Por ello, es conveniente contar con me todos que permitan determinar el escurrimiento en una cuenca mediante las caracterfsticas de la misma y la precipitacion. Las caracteristicas de la cuenca se conocen por medio de pianos topograficos y de uso de suelo, y la precipita cion a traves de mediciones directas en el caso de prediccion de avenidas frecuentes, 0 bien usando los metodos estudiados en el capitulo 6 en el caso de avenidas de disefio. Los principales parametres que intervienen en el proceso de conversion d e l l u v i a a e s

c u r r i m i e n t o

t o t a l d e p r e c i p i t a c i o n .

s o n l o s s i g u i e n t e s :

3.

1. A re a de la cu en ca . 2. Al tu ra

C a r a c t e n s t i c a s g e n e r a

le s 0

p r o m e di o d e la c u e n c a (f o r m a, p e n di e nt e, v e g et a ci o n, et c. ). 4. Distri bucion

de la lluvia en el tiempo. 5. Distribucion en el espacio de la lluvia y de las caracterfsticas de la cuenca. Debido a que, por un lado, la cantidad y calidad de la informacion dispo nible varian grandemente de un problema a otro y a que, por otro, no siempre se requiere la misma precision en los resultados, se han desarrollado una gran cantidad de metodos para analizar la relacion lluviaescurrimiento. En este 203

204

Metodos de envolventes

Relaciones lluvia-escurrimiento

100.0~

y los que se adaptan mejor al medio mexicano. apartado se venin solamente los metodos mas representativos de cada grupo Desde luego, la complejidadde los metodos aumenta a medida que se toman en cuenta mas de los parametres citados anteriormente. En este sentido tam bien aumenta su precisi6n, pero los datos que se requieren son mas y de mejor calidad. S610se explicaran los metodos que toman en cuenta los cuatro primeros parametres, pues los que consideran todos, IIamados modelos conceptuales, rnatematicos 0 de parametres distribuidos, se encuentran min en su fase expe rimental y, adernas, la informaci6n disponible en Mexico todavfa no es 10 suficientemente completa para su aplicaci6n. En la referencia 8.1 se puede encontrar una buena descripci6n de este tipo de metodos.

L N

E

<:: ~'

"

E o

.~

'co ::J

o E

'x 'co E

8 (/)

co

8.1 METODOS DE ENVOLVENTES

(!J

Estos metodos toman en cuenta s610 el area de la cuenca. Aunque no son metodos que analicen propiamente la relaci6n entre la IIuviay el escurrimiento, se explicaran por ser de enorme utilidad en los casos en que se requieran s610 estimacionesgruesas de los gastos maximos probables, 0 bien cuando se carezca casi por completo de informaci6n. La idea fundamental de estos metodos, es relacionar el gasto maximo Q con el area de la cuenca Ac en la forma: (8.1) donde Q es el gasto maximo yay (3son parametres empfricos, que tambien pueden ser funci6n de Ac· N6tese que, con (3=1 y a=Ci, 8.1 es la f6rmula racional (vease apartado 8.2). Se ha visto que (3es del orden de 3/4 para cuencas de area menor que unos 1500 km? y de 112para cuencas mayores (referen cia 8.3).

205

1I

ENVOVLENTEGENERADLEMEXICO

.

~

10.0

~~~~I~:'~'·~·I·II'~*II_I'~III~'(L~O~W~RmY)

LJLU]jl_llUlllllI~II_l~wm~_U~I~I~II~~I~II~II~~~I :111

0.001

10

100

1000

10000

Area de drenaje, km2

Fig ura 8.1

La f6rmula de Lowry es:

100000

1000000

..

.

I~~II

Existen una gran cantidad de formulas del tipo de la 8.1, pero las mas usadas en Mexico son las de Creager y Lowry. La formula de Creager es: (8.2) donde q es el gasto maximo por unidad de area, q=Q/Ac>

0.936 Ac 0.048 C; es un coeficiente empfrico y Ac esta en Ian 2.

(8.3)

q=

(Ae

+ 259)°·85

(8.4)

donde C es otro coeficiente empfrico.. , Los Lva1ores de Cc y CL se determinan por regi.ones, llevando a una grafica Iogaritmica los gastos unitarios maximos q registrados contra sluSresPdecy C que envue va a to os tivas areas de cuenca y selecc.ionand0 el valor deeCL los untos medidos (vease, por ejemplo, figura 8.1). . , PEl valor de Cc=200 es la envolvente para todos los puntos que analizo Creager, aunque Cc~~ 100 da valores mucho mas razonables y se usa comI o envolvente mundial. Para la f6rmula de Lowry (8.4) se puede tomar un va or de CL = 3 500 como mundial.


206

32

4°rF~T=~==~=r==r==c==r==+~f==f~34

0

°

207

La formula racional

Tabla 8.1 Coeficientes de la envolvente de Lowry" de Region salida No. de la cuenca 1 2 (vease 3 figura 4 8.3). 5

Desc ripci on Baja California noroeste (En~ena? a) Baja California centro (El Vizcaino) Baja California suroeste (Magdale na) Baja California noreste (Laguna Salada) Baja California centro este (Sta. Rosalia) Baja California sureste (La Paz) R i o

6

7 8 9

10 11

11

12 13 14 15 16 17 18 18 19 20 20 21

Figura 8.2

22

La Secretarfa de Agricultura y Recursos Hidraulicos ha calculado los valores de Cc y CL para las 37 regiones en que ha dividido a la Republica Mexicana (vease figura 8.2). En la tabla 8.1 se muestran los correspondientes a CL (referencia 8.7).

8.2 LA FORMULA RACIONAL La f6rmula racional es posiblemente el rnodelo mas antiguo de la relaci6n Iluvia escurrimiento. Su origen se rernonta a 1851 6 1889, de acuerdo con diversos autores (por ejemplo, consultar referencias 8.2 y 8.3). Este modelo toma en cuenta, ademas del area de la cuenca, la altura 0 intensidad de la precipitaci6n y es hoy en dia muy utilizado, particularmente en el disefio de drenajes urbanos, Supongase que en una cuenca impermeable se hace caer uniformemente una lluvia de intensidad con stante durante un largo tiernpo. Al principio, el gasto que sale de la cuenca sera creciente COll el tiernpo, pero llegara un memento en el que se alcance un punto de equilibrio, es decir, en el que el volumen que entra por unidad de tiempo por la lluvia sea el mismo que el gasto

24A 24B

23

24C

24D

C o l o r a d o

25

26A 26B

26C 27 28 29 30

S o n o r a

30 31 32 33 34 35 36 36 37

n o r t e S o

nora sur Sinaloa Presidio - San Pedro zona costera Presidio - San Pedro zona alta Lerma" Santiago Huicicila Ameca Costa de Jalisco Armeria " Coahuayana Costa de Michoacan Balsas alto Balsas rnedio y bajo Costa Grande Costa Chica - Rio Verde Alto Rio Verde , Costa de Oaxaca (Pto. Angel) Tehuantepec Costa de Chiapas Alto Bravo - Conches Medio Bravo Rio Salado Bajo Bravo . San Fernando - Soto la Manna AltoPanuco Bajo Panuco Valle de Mexico Tuxpan - Nautla Papaloapan Coatzacoalcos Grijalva - Usumacinta Alto Grijalva Yucatan oeste (Campeche) YUcatan norte (Yucatan) Yucatan este (Quintana Roo) Cuencas cerradas del norte (Casas Grandes) Mapimf Nazas Aguanaval El Salado 'Datos registrados hasta 1975.

980 530 21 90 10 50 990 51 20 10 50 760 21 40 3290 4630 470 1290 7 6 0 6 0 0

5270 4940 2100 1090 4450 2100 3180 3 9 0 3000 2170 1190 1020 5170 1410 2130 2330 13 60 3010 7 6 0 24 50 17 50 18 40 21 30 6

sin datos sin datos

10 370 230 1510 380 1310

208 Relaciones lluvia-escurrimiento

Hidrograma unitario

209

OA

Tabla 8.2 Velocidad media, mls Pendiente del Velocidad cauce principal, % media, mls

1-2 2-4 4-6 6-8

Figura 8.3

0.6 0.9 1.2 1.5

Pendiente Bosques Pastizales Canal natural % no bien definido

0-3 4-7 8-11 12-15

0.3 0.6 0.9 1.1

a) EI tiempo que transcurre entre el inicio de la lluvia y eOeIstabl . . del gasto d ilib . ectmiento . e equi I no se denomina tiempo de concentraci6n y e uivale al tiempo que tarda el agua en pasar del punto mas alejado hasta'la saiida de la cuenca. de la~atur.al~ent:,. el tiempo de concentraci6n tc (vease figura 8.3) depende y d I onflt~ d ~axlma q~e debe recorrer el agua hasta la salida de la cuenca ~ ave OCl.: que adquiere, en promedio, dentro de la misma. Esta velocidad

L

3600 v

(8.5)

donde tc es el tiempo de concentraci6n en h ' L es la longitud del cauce pnn. cip aI de Ia cuenca en m yves la velocidad media del I '. I L agua e cauce principa] " en en m s. a veloCldadmedia v se estima con las tablas 8 2a y 8 2b t 'd de la referenc~a8.4. N6tese que la f6rmula 8.5 no toma en ~uentaei re~~~~~ d:~ agua de lluvia desde q.ue llega a la superficie hasta los cauces. ?tr~ mah(nerade ~stJmarel tiempo de concentraci6n es mediante la de f6rmula

0.3 0.9 1.5 2.4

b)

En una cuenca no impermeable, s610una parte de la lluvia con intensidad i escurre directamente hasta la salida. Si se acepta que durante la lluvia, 0

al menos una vez que se ha establecido el gasto de equilibrio, no cambia la capacidad de infiltraci6n en la cuenca, se puede escribir la llamada formula racional:

! i:: S;~f,~~~:'in~/I~~d1: ~':,:~e:lE~:: ~;~~~,~:;a~: ~: tc =

0.5 0.9 1.2 1.4

(8.7)

donde C es un coeficiente de escurrimiento, que representa la fracci6n de la lJuvia que escurre en forma directa (vease apartado 7.2.2) y Qp es el gasto maximo posible que puede producirse con una lluvia de intensidad i en una cuenca de area Ac Y coeficiente de escurrimiento C. Como se mencion6 en el capitulo 7, el coeficiente de escurrimiento toma valores entre 0 y 1 y varia apreciablemente de una cuenca a otra y de una tormenta a otra debido a las condiciones de humedad iniciales. Sin embargo, es comun tomar valores de C representativos de acuerdo con ciertas caracterfsticas de las cuencas. Algunos Kirpic reterencla 8.2): LO.77

de estos valores se muestran en la tabla 8.3, los cuales generalmente son conservadores para que puedan ser usados para disefio. Existe una gran cantidad de metodos desarrollados a partir de la f6rmula 0.000325 SO.385

, racional, entre los que destaca el metoda de Gregory Arnold (referencia 8.5) por su uso en el medio mexicano. En el presente texto no se describiran dichos metodos debido a que estan basados en las ideas antes expuestas.

(8.6)

8.3 HlDROGRAMA UNITARIO donde S es la pendiente del cauce principal, L se expresa en m y t resulta en h. Sse determina con alguno de los metodos estudiados en el capitulo 2.

Sup6ngase que se presenta una misma tormenta en dos cuencas con el mismo suelo y la misma area, pero de diferente forma (vease figura 8.4); aunque el

210


Hidrograma unitario

211

Tabla 8.3 Valores del coeficiente de escurrimiento TIPO DEL AREA DRENADA

Q

COEFICIENTE DE ESCURRIMIENTO MiNIMO MAXIMO ,..........._

ZONAS COMERCIALES: Zona comercial Vecindarios

0.70 0.50

0.95 0.70

ZONAS RESIDENCIALES: Unifamiliares Multifamiliares, espaciados Multifamiliares, compactos Semiurbanas Casas habitaci6n

0.30 0.40 0.60 0.25 0.50

0.50 0.60 0.75 0.40 0.70

ZONAS INDUSTRIALES: Espaciado Compacto

0.50 0.60

0.80 0.90

CEMENTERIOS, PARQUES

0.10

0.25

CAMPOS DE JUEGO

0.20

0.35

PATIOS DE FERROCARRIL

0.20

0.40

ZONASSUBURBANAS

0.10

0.30

CALLES: Asfaltadas De concreto hidraulico Adoquinadas

0.70 0.70 0.70

0.95 0.95 0.85

ESTACIONAMIENTOS

0.75

0.85

TECHADOS

0.75

0.95

PRADERAS: Suelos arenosos pianos (pendientes 0.02 0 menos) Suelos arenosos con pendientes medias (0.02-0.07) Suelos arenosos escarpados (0.07 0 mas) Suelos arcillosos pianos (0.02 0 menos) Suelos arcillosos con pendientes medias (0.02-0.07) Suelos arcillosos escarpados (0.07 0 mas)

0.05 0.10 0.15 0.13 0.18 0.25

0.10 0.15 0.20 0.17 0.22 0.35

./.~. \

_._.x('

'...........

A

.. ".

.

\

.../.-"'.

'

<,

........... "'

Q

Figura 8.4

volumen escurrido sea el mismo, el gasto de pico y las demas caracteristicas del hidrograma varian de una cuenca a otra. El metodo del hidrograma unitario toma en cuenta este efecto, considerando, adernas de la altura total de precipita cion y el area de la cuenca, su forma, pendiente, vegetacion, etc., aunque no de forma explfcita. Hidrograma unitario. Se define como el hidrograma de escurrimiento que se produce por una lluvia efectiva* 0 en exceso* de lamina unitaria directo* duracion de y repartida uniformemente en la cuenca. **, El metodo del hidrograma unitario fue desarrollado originalmentepor man Sh en 1932 (referencia 8.6), y esta basado en las siguientes hipotesis: er

* Para la definicion de estos

conceptos vease eI capitulo 3.

** Generalmente de

1 mm, aunque puede ser de 1 pulgada, 1 ern, etc.

212


a) Tiempo base constante. Para una cuenca dada, la duraci6n total de escurrimiento directo 0 tiempo base es la misma para todas las tor mentas con la misma duraci6n de lluvia efectiva, independientemente del volumen total escurrido. Todo hidrograma unitario esta ligado a una duraci6n de la lluvia en exceso. b) Linealidad 0 proporcionalidad.Las ordenadas de todos los hidrogramas de escurrimiento directo con el mismo tiempo base, son directamente proporcionales al volumen total de escurrimiento directo, es decir, al volumen total de lluvia efectiva. Como consecuencia, las orde nadas de dichos hidrogramas son proporcionales entre sf (vease figura 8.5). c) Superposicion de causas y efectos. El hidrograma que resulta de un periodo de lluvia dado puede superponerse a hidrogramas resultantes de periodos lluviosos precedentes (vease figura 8.6).

, ~

t

oe

-t T

e

hPe

I-I

de

1

Oe

i

:

I

HIDROGRAM~ TOTAL (Sumade los tres ~ parciales). . .~;.,~

I

~

Hidrogramaq~e produciria el periodolIuviosoNo.1, si I estuviera aislado.

I

~:

I

!

I

I

I

I

Hidrogramacorrespon diente al periodo No.2 Hidrogramacorrespon diente al periodo No. 3

Figura 8.6

8.3.1 Hidrograma unitario tradicional

hPe

+ _..l...

Periodos Iluviosos

I

El concepto del hidrograma unitario se ha usado de manera muy extensa en practicamente todo el mundo desde su publicaci6n original. Esta idea se ha ampliado y mejorado de manera considerabledesde entonces. A continuaci6n se veran las principales formas de aplicaci6n del concepto.

khp

213

Hidrograma unitario

t

Sup6ngase que en una cierta cuenca con area de 1 080 km 2 se conoce un hidrograma de escurrimiento total y el hietograma de la tormenta que 10 produjo (vease figura 8.7). Con los metodos estudiados en el subcapftulo 3.2 es posible separar el escurrimiento base del directo; al hidrograma resultante se le denominara "hidrograma de calibraci6n". Con 10 anterior se puede conocer, en primer lugar, el volumen de escurrimiento directo, y, en segundo, el tiempo base tb' Asi, en el ejemplo de la figura 8.7, el volumen de escurrimiento directo resul ta'ser de: 8

Ve == t..t

E a. i=l

2 x 3600 (100+ 150+200+ 100+80+60+40+20) 5.4 x 106m3

y el tiempo base es de 18.0 h. Figura 8.5

212

Una vez calculado el volumen de escurrimiento directo, se determina la altura de lluvia efectiva, que en este caso es de:


Hidrograma unitario

213


214

10+---

de la figura 8.9a tiene una duracion en exceso de 2 h y una altura de precipitacion efectiva de 2 + 8 = 10 mm; el hidrograma de escurrimiento directo que se producirfa con esta tormenta se obtiene multiplicando las ordenadas del hi drograma unitario de la figura 8.8 por 10 mm (vease figura 8.9b). Si ademas se acepta el principio de superposicion de causas y efectos, el hidrograma unitario de la figura 8.8 puede usarse tambien para tormentas cuya duracion en exceso sea rmiltiplo de 2 h. Por ejemplo, sea 1a tormenta de la fi gura 8.10a, que tiene una duracion en exceso de 4 h. Esta tormenta puede considerarse compuesta por dos consecutivas, cada una con una duracion en

300

,

200 5

-- -- - - - r- - - - ---

100

215

Hidrograma unitario

Qb

O...._~-......-+- ......t h o 2

O~~~-,~~~~~-,~~--~~~~

o

2

4

6

8 10 12 14 16 18 20 22 24

t,h

Figura 8.7

5 mm

y la duracion en exceso es, obviamente, de 2 h. Aceptando las hipotesis de tiempo base constante y linealidad, un hidro grama unitario, es decir, un hidrograma de escurrimiento directo producido por una lluvia de 1 mm de lamina y duracion en exceso de 2 h, debe tener para este ejemplo un tiempo base de 18 h y la misma forma que e1 hidrograma de la figura 8.7, pero con sus ordenadas reducidas a una quinta parte, ya que la altura de lluvia efectiva en este caso fue de 5 mm. Entonces, dividiendo las ordenadas del hidrograma de escurrimiento directo de la figura 8.7 entre 5 se obtiene e1 hidrograma unitario de la figura 8.8. Con este hidrograma unita rio es posib1e determinar hidrogramas de escurrimiento directo para cualquier tormenta cuya duracion de lluvia en exceso sea de 2 h. Por ejemplo, la tormenta

exceso de 2 h. Aplicando el hidrograma unitario de la figura 8.8 a cada una de estas dos tormentas, sumando las ordenadas y, obviamente, desfasando el segundo hidrograma 2 h del primero, se obtiene el hidrograma de escurrimiento directo producido por la tormenta completa (vease figura 8. lOb). Es necesario enfatizar que todo hidrograma unitario esta necesariamente ligado a una duracion en exceso y que si no se conoce la ultima, entonces el hidrograma unitario pierde completamente su significado. Con 10 visto hasta este momento, es po sible determinar hidrogramas de escurrimiento directo para tormentas con la misma duracion en exceso que el de calibracion (2 h en el ejemplo anterior) 0 algiin rmiltiplo. Sin embargo, el hidrograma unitario de la figura 8.8 no se puede usar, sin modificaciones, para tormentas con duracion en exceso de por ejemplo, 1 0 3 horas 0 cual quier otra que no sea multiple de 2 h. Enseguida se vera una tecnica con la que es po sible modificar un hidrograma unitario, construido para una dura cion en exceso de' para poder usarlo cuando la duracion en exceso de la tor menta en cuestion, d; no sea multiple de de.

Q, m3/seg

hp' mm

14 12

, q, m3/seg/mm 40

10 8 6 4

30 20

500 400

--T

300 200

Figura 8.8' Hidrograma unitario para de = 2 h.

10 2

4

6

8

10 12 14

16

18

r.h

214


2 3

2

4

•

100 t,h

t.h

b)

a)

F i g u r a 8 . 9

Hidrograma unitario

215


216

h{Y mm 6 5 4

---f:-

3 2 1 0 0

1 2

3 4 a)

5 6

t, h

260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

Hidrograma de las primeras 2 h de lIuvia Hidrograma de las segundas 2 h de

0 2 4 .t,h

6

grama formado por la superposicion de un mimero de hidrogramas unitarios suficiente para llegar al gasto de equilibrio (vease figura 8.llb). Es cormin que al sumar las ordenadas de los hidrogramas unitarios no se llegue al gasto de equilibrio definido por la ecuacion 8.9, sino que se presentan oscilaciones en la parte superior de la curva S como se mues.tra en la figura 8.12. Esto ocurre para duraciones en exceso grandes 0, mas exactamente, cuando el hidrograma unitario no puede representarse con precision mediante lfneas rectas a cada de horas. Cuando se presenta este problema, conviene revisar la separacion de gasto base que se hizo y la duracion en exceso de, pues la proporcion que guardan.ambas variables se sale de 10 corrnin. Si en la revision se encuentra que tb Y de son correctos, entonces sera necesario suavizar la curva S. Para ello, se debe tomar en cuenta que:

8 10 12 14 16 18 20

b) Figura 8.10 1 mm

8.3.2 Curva S Supongase que se tiene un hidrograma unitario para duracion en exceso de. Si ocurre una tormenta cuyo hietograma este formado por un mimero muy grande de barras, cada una con duracion de Y altura de precipitacion efectiva de 1 mm (vease figura 8.11a), y si se acepta el principio de superposicion de causas y efectos, entonces se tendra un hidrograma de escurrimiento directo similar al de la figura 8.3. Dado que la intensidad de la lluvia es, en este caso, 1 mm

de

(8.8)

217

Hidrograma unitario

t

J

de

1 m1m1 I 1111

111I 1 111111I 1I

30

20 Qe

entonces, el gasto de equilibrio sera (vease figura 8.11b): 10

(8.9)

Notese que la ecuacion 8.9 es la formula racional (ecuacion 8.7), pero con un coeficiente de escurrimiento unitario en vista de que i es en este caso la intensidad de la lluvia efectiva. EI hidrograma de escurrimiento directo que se produce con una lluvia como esta se llama curva S. Esta curva es un hidro-

024

6

8

10

....

r.h

a)

12

14

b) Figura 8.11

16

18

20

22


218

Oscilaciones

20

I ~

- - -d~~ -2-h-

'10

o~~~~i_, o

2

4

6

8

10

Hidrograma unitario

r

a) Se obtiene

la curva S.

Qe

12

14

16

18

20

22

t.h b) La curva S se desplaza

Figura 8.12

una distancia d~.

a) El tiempo de concentraci6n tc 0 el tiempo en que se alcanza el gasto

de equilibrio es: (8.10) donde

tb

es el tiempo base del hidrograma unitario.

c) Se restan las orden(ldas de la curva S de (b)

b) El gasto de equilibrio es el dado por la ecuacion 8.9.

Si la curva S de la figura 8.11b se desplaza de horas en el tiempo y las ordenadas de la curva desplazada se restan de las de la original, el resultado sena el hidrograma unitario con el que se construy6 la curva S. Si la curva S se desplaza d; horas en el tiempo (figura 8.13b) y sus ordenadas se restan de la curva S original (figura 8 . 13e), se obtendrfa el hidrograma resultante de una llu via con intensidad 1 mm/de que cae durante d; horas. Para que el hidrograma resultante sea unitario, la intensidad de la precipitaci6n debe ser lid;; entonces es necesario multiplicar sus ordenadas por de/d;. Con esto se obtiene un hidrograma unitario para una duraci6n en exceso d; . Ejemplo 8.1. Obtener un hidrograma unitario para una duraci6n en exceso de 3 h a partir del hidrograma unitario para de = 2 h de la figura 8.8.

de' las de (a).

--_..t Figura 8.13

oscIlaclOnes, . 'd 150 m3/s Este valor puede gasto de equilibrio, sin e . comprobarse con la ecuacion 8.9:

Ae (1 mm)

de

1 080

X

106

X

1

X

10-3

150 m3/s

2x3600

para obtener Ia curva S. Como se observa, en este caso se llega a un Solucion

a) Obtencion de la eurva S. En la tabla 8.4 se muestra el calculo hecho

219

La curva S obtenida se muestra en la figura 8.14. . lSd' b) Desplazamlento de a leurva lurnna 3) se muestra a curva

h en el tiempo. En la tabla 8.5 (codesplazada 3 h en el nempo.

S


220

Tabla 8.4 t, h

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Hidrograma unitario • Tabla 8.5

HU

HU despl 2h

0 20 30 40 20 16 12 8 4 0

HU despl 4h

0 20 30 40 20 16 12 8 4 0

0 20 30 40 20 16 12 8 4 0

HU despl 6h

0 20 30 40 20 16 12 8 4 0

HU HU despl despl 8h 10h m3/s/mm

0 20 0 30 20 40 .30 20 . 40 16 12 8 4 0

20 16 12 8 4 0

HU despl 12h

HU despl 14h

1 t, h

HU despl 16h

40

f---H -\--. r-11/-t-r-r-r-r-r~~1~~~~~

0 20 50 90

110

0 20 30

0 20

40 20 16 12 8 4 0

30 40 20 16 12 8 4

0 20 30 40 20 16 12

126 138 146 150 150

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

1~

11

V

o

I

I

3 Curva S

4 2 - 3

despl3h

5

4 x 0.67 (HU para de = 3h)

m3/s/mm

Figura 8.14

30 20

2 Curva S

I

2 4 6 8 10 12 1416 1820 22242628

t,h

0 10 20 35 50 70 90 100 110 118 126 132 138 142 146 148 150 150 150 150 150 150

0 10 20 35 "50. 70 90 100 110 118 126 132 138 142 146 148 150 150 150

0 10 20 35 40 50 55 50 40 28 26 22 20 16 14 10 8 4 2 0

0 6.7 13.3 23.3 26.7 33.3 36.7 33.3 26.7 18.7 17.3 14.7 13.3 10.7 9.3 6.7 5.3 2.7 1.3 0

c) Resta de las ordenadas de la curva S. En la columna 4 de la 8.5 se ha hecho la resta de ordenadas. d) Correcci6n. Se puede demostrar que el volumen del hidrograma ob tenido en la cuarta columna de la tabla 8.5 es de 1.62 x 106m3, mien tras que el volumen de un hidrograma unitario, cualquiera que sea su duracion en exceso, debe ser: Ve = Ac (1 mm) =

1.08

X

106 m ' La relacion entre

ambos vohimenes es: 1 . 0 8 =

0 . 6 7 1 . 6 2

221

222


223

Hidrograma unitario

+ rnm ~de--t-de-t-deide-ide-i IL j

que es precisamente el cociente de las respectivas duraciones en exceso:

hpe'

2

- = 0.67

1 J

3

3 I

Asi, si las ordenadas del hidrograma de la columna 4 de la tabla 8.5 se multiplican por 0.67, se obtiene un hidrograma unitario para de = 3 h (co lumna 5), que en efecto tiene el volumen de 1.08 x 106 m', como puede comprobarse. 8.3.3 Metodos matriciales. Hidrograma unitario instantaneo ,

Considerense los hietogramas de lluvia efectiva mostrados en la figura 8.15. Se observa que tanto la altura total de lluvia efectiva como la duracion en exceso (de = 14 h) es igual en los tres hietogramas. Por 10 tanto, si se tiene un hidrograma unitario para esta duracion en exceso, podrfan obtenerse los respectivos hidrogramas de escurrimiento directo. Sin embargo, en este caso los tres hidrogramas resultanan exactamente iguales, 10 que no sucede en la realidad. EI metodo del hidrograma unitario instantaneo toma en cuenta este problema, es decir, la distribucion temporal de la lluvia. Sea el hidrograma unitario para duracion en exceso de mostrado en la figura 8.16a. Si se presenta una tormenta como la de la figura 8.16b, con varios periodos lluviosos, cada uno de ellos de duracion en exceso de' enton-

I

q,m ITlmm U2 I U,I

I

:

I

I ...

I I

J

J

I

I

I

I

I

I U3

I

I

I

I

biW

I

I

a)

r.h

I r.h I

I I

I

b)

th

c)

r.h

d)

t,h

I

+ j

10 9 8 7 6 5

10

~ c-~

o

0246

I

r-

8 7 6 5 4 3~

h

8101214 t,h a)

2

th

10 9

~

8

I-

~

~ '-t--+-+-+-J-+h-+-_..,. o

hp", mm

2 4 68101214 b)

r.h

= I-

I7 6 I5 4 I3 2 1 ~~ 0 0 2 4 68101214 c)

f)

t,h

Figura 8.16

t,h

ces, de acuerdo con el principio de superposicion de causas y efectos, los hidrogramas producidos por cada barra del hietograma seran los mostrados en la figura 8.16c, dye, y el hidrograma de la tormenta completa sera el

Figura S.lS Hietogramasde lluvia efectiva.

mostrado en la figura 8.16f.

!

224

i Relaciones lluvia-escurrimiento

Asf, si U, es la z-esima ordenada del hidrograma unitario (vease figura 8.16a) y Pj es la j-esima lluvia del hietograma (vease figura 8.16b), las or denadas Qi del hidrograma (vease figura 8.16j) son, en este caso,

QI

= PI

Q2

=

UI

PI U2

+ P2

UI

225

Hidrograma un!tario

cinco ecuaciones. Asi, para tener una solucion del sistema 8.12 es necesario aceptar Q3 Q4

= PI

U3

+

P 2 U2

+

P2 U3

+ P3 U2

P3 UI

un cierto error en cada uno de los componentesde [U]; naturalmente, es deseable que dicho error sea el mfnimo posible. Se puede demostrar (referen cia 8. 1) que se comente el mfnimo error posible en los valores de IU] si la ecuacion 8.12 se premultiplica por la matriz traspuesta de P: P

T

P

IUj

(8.11). Lo que en este caso resultarfa:

= P

T

IQ l

(8.13)

En general, la k-esima ordenada del hidrograma, Qk, es: k

a. = 1: P

j

Uk-j +

I

(8.11a)

Pr +

pi

+ pj

PI P2

+

P2 P3

PI P3

PI P2

+

P2 P3

pr +

pi

+ pj

PI P2

+

P2 P3

PI P2

+

P2 P3

pr +

I-'i

+ pj

PI P3

x

j=1

Considereseel problema inverso, es decir, en el que se conoce el

hidrograma (vease figura 8 .16j) y la precipitacion (vease figura 8.16b) Yse

desea obtener un hidrograma unitario como el de la figura 8.16a. Naturalmente, el sistema de ecuaciones 8.11 sigue siendo valido; este sis tema se puede escribir como: P[U]

donde:

[QJ

I

(8.12)

0

PI

0

QI P2

PI

0

UI Q2

P=

P3

P2

PI

rUj

U2

1

(8.14)

x

El sistema 8.14 es ya un sistema determinado, con una soluci6n unica. Esta solucion proporciona el valor del vector [UJ buscado. Notese que en el ,I

'Q'J

Q3

caso del hidrograma unitario instantaneo, como en el tradicional, siempre debe especificarse la duracion en exceso, que es la duracion de las barras del hieto grama de la figura 8.16b. Sin embargo, en contraposicion con el hidrograma unitario tradicional, en el instantaneo se tiene una mayor flexibilidad en el manejo de esta duracion en exceso, pudiendose reducir tanto como se desee. Asimismo (vease por ejemplo la ecuaci6n 8.11), en todos los casos el mimero de ordenadas del hidrograma final NQ esta ligado con el mimero de

0

P3

P2

0

0

P3

U3

Q4

barras del hietograma Np, y al mimero de ordenadas del hidrograma unitario N; por medio de la ecuacion:

Qs (8.15)

La incognita es entonces el vector [U]. Sin embargo, en el sistema 8.11 se tendrfan cinco ecuaciones con tres incognitas, por 10 que el sistema es indeterminado y no existen valores de r Uj que satisfagan simultaneamente las

Con esta ecuaci6n es posible saber de antemano el mimero de ordenadas que tendra el hidrograma unitario y, por 10 tanto, el orden de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones (ecuaciones 8.13 y 8.14).


226

Tambien conviene hacer notar que, bajo ciertas circunstancias, la solucion de sistemas como el 8. 14 produce algunas ordenadas negativas del hidrograma unitario. .Aunque existen procedimientos de optimacion que evitan este tipo de problemas, desde el punto de vista practice podrfa ser suficiente obligar a que dichas ordenadas sean nulas, corrigiendo en consecuencia el volumen del hidrograma unitario pero respetando el valor del pico.

Hidrograma. unitario

PI2 + P22 + p33 PI P2

r

PI P2

+ P2 P3

PI2

PI P3

1

227

+

PI P2

+ P2 P3 p/

+

p32

+ P2 P3

1200

20

2100

1200

1200

2100

Ejemplo 8.2. Obtener un hidrograma unitario instantaneo para una cuenca en la que se registraron el hietograma de lluvia efectiva y el hidrograma de escu rrimiento directo mostrados en las figuras 8.17a y 8.17b, respectivamente.

4200

Soluci6n

3000

El numero de barras del hietograma (vease figura 8. 17a) es Np =; 3 y el mime ro de ordenadas del hidrograma de escurrimiento directo (vease figura 8.17b), es NQ =; 5. Por 10 tanto, de la ecuacion 8.15, el mimero de ordenadas del hidrograma unitario sera:

N;

=;

5 -

3

+

1

=;

4400

EI sistema de ecuaciones es:

3

La matriz de coeficientes y el vector de terrninos independientes son, de acuerdo con la ecuacion 8.14,

2100

1200

200

4200

1200

2100

1200

4400

200

1200

2100

3000

[

y su soluci6n resulta (vease figura 8.18):

IVJ

40

1

60 20+---1 40 10

20

0"---+--+---+--

o

2

3

......

t,h

a)

Figura 8.17

'110..4785

(8.16)

59 0.853 EI hidrograma de la figura 8.18 puede ahora aplicarse a cualquier tor menta que se divida en intervalos de 1.0 h. Si se aplica al hietograma de la figura 8.17a para observar la magnitud del error que se comete en el calculo de los gastos, se obtiene:

80

30

=;

2

3

b)

4

5

6

t,h

Q

=

29.7 74.6 62.3 41.7 8.5

m3/s m3/s m3/s m3/s m3/s

Relaciones

228

lluvia-esc'urrimiento

Hidrograma

22;9

unitario Q, iJl3/s 100

~1.925

2.0

80 1.5

~

"

60

1.0

0iS---r::53

'.""",

40

D8.

,

Hidrograma calculado.

"

20

I

1

0.5

1

o

1

o "-'-9 -'-..,1.0

1

~1

'-.;._

.2,0

3,0

+--_...,..

r.h

4,0

o

l'

2

3

4

5

6

7

~

t,h

Figura 8.19

Figura 8.18

Este hidrograma se ha dibujado en la figura 8.19 junto con eloriginal para fines comparativos.

El gasto de pico Qp. de. un hidrograma de es.c:urrimiento ditec:to puede ex presarse como el produc:to de 1a altura de predpitadon efectiva Pe POl' el g(lSto. de pieo de un hidrograma unitario, q'p: (8.17)

8.3.4 Hidrogramas unitarios sinteticos Para usar el metodo del hidrograma unitario, en cualquiera de las modalidades vistas en este capitulo, siempre es necesario contar con al menos un hidrograma medido a la salida de la cuenca, ademas de los registros de precipitacion. Sin .embargo, la mayor parte de las cuencas, no solo en nuestro pais, sino en todo el mundo, no cuentan con una estacion hidrometrica 0 bien con los registros pluviograficos necesarios. Por ello, es conveniente contar con metodos con los que puedan obtenerse hidrogramas unitarios usando unicamente datos de caracterfsticas generales de la cuenca. Los hidrogramas unitarios asf obtenidos se denominan sinte

E] gasto de pico del hidrograma unitario, qp' se expresa como una frac:don del gasto de equilibrio para una Uuvia con ineensidad i =;: 1 mm jde (e.cua cion 8.9):

(8..18)

donde Z es la fraecicn mencionada, que se denomina factor de redUc<;ionde pica .. Si Ac se expresa en km2 Y de en h, la eeuaeion 8.19 se eseribe como:

ticos. Debido a su importancia, se ha desarrollado una gran cantidad de hidro gramas unitarios sinteticos; a continuacion se explicaran tres de ellos,

8.3.4.1 Metoda de Chow Chow (referencia 8.8) desarrollo un metodo para el calculo del gasto de pico de hidrogramas de diseiio de alcantarillas y otras estructuras de drenaje pe quefias. Este metodo solo proporciona el gasto de pico y es aplicable a cuencas no urbanas con una area menor de 25 km". Enseguida se presenta una version

(8.19) simplificada de este metodo. donde qp

esta

en

m3ls1 mm.

Sustituyendo 8.19 en 8.17, se tiene:

(8.20.)


230

. Dado que este metoda se usa en cuencas no instrumentadas, el procedi miento conveniente para valuar P, a partir de la lluvia total, P, es el de los mimeros de escurrimiento (apartado 7.2.5). El factor de reducci6n de pico Z se calcula, segun Chow, como una funci6n del tiempo de retraso (tiempo que transcurre del centro de masa de la precipitaci6n al pico del hidrograma) y de la duraci6n en exceso de' como se muestra en la figura 8.20. Esta figura se obtuvo a.partir de 60 hidrogramas en 20 cuencas pequefias (de 0.01 a 20/km2) del medio oeste estadounidense. El tiempo de retraso se calcula, segiin Chow, como: t; = 0.005 [

is ]

(8.21)

0.64

~onde L es Ia longitud del cauce principal en m, S su pendiente en % y t, el f' tiempo de retraso en h. La formula 8.21 se obtuvo para las mismas cuencas mencionadas anteriormente.

z

1.0

~ 0.5

~

/

/

0.1

/

t...o

./

"7'

231

Hidrograma unitario

Para aplicar este metodo es muy convenientetener los datos de precipitaci6n en forma de curvas i-d-T (apartado 6.3.7). ASI, para el periodo de retorno adecuado al problema, se calcularian los picos correspondientes a varias duraciones y se escogeria el mayor para el disefio. Ejemplo 8.3. Calcular el gasto de disefio para una alcantarilla de una

carretera con los siguientes datos: a) Area de la cuenca: 15 km2. b) Longitud del cauce principal: 5 km.

e) Tipo de suelo: arcilla, en su totalidad. d) Uso del suelo: bosques normales, en su totalidad. e) Pendiente del cauce principal: 1%. Las curvas i-d-T tienen la ecuaci6n: (8.22)

Soluei6n

Se se1eccionaun periodo de retorno de 10 afios. De la ecuaci6n 8.22, usando T= 10 aiios y multiplicando por d, se tiene la siguiente relaci6n entre la dura- ci6n de la lluvia y la precipitaci6n total:

'"

/

P = 720 (10)0.4 d1-O.7

~

(8.23)

El tiempo de retraso es (ecuaci6n 8.21):

/

t, 0.5

30.1 dO.3

60

= 0.005

X

5000 [ -1-

JO.64

1.16 h

69.6 min

~ El mimero de escurrimiento es, suponiendo que el suelo esta inicialmente muy humedo por ser la condicion mas desfavorable (veanse tablas 7.3, 7.4

0.02 0.05

0.1

0.5

1.0

2.0

Y 7.5), Figura 8.20

N

=

89


En la tabla 8.6 se muestra el calculo de los gastos pico. En la columna 1 se han supuesto diferentes duraciones de Iluvia efectiva, con las cuales se han calculado las alturas de precipitacion total con la ecuaci6n 8.23 (n6tese queacepta el criterio del coeficiente de escurrimiento, apartado 7.2.2, por 10 se que d = de) anotadas en la columna 2. Las precipitaciones efectivas P; de la columna 3 se calcularon con los valores de Pyla ecuacion 7.13. En la columna 4 se muestran los valores de d.lt, Y en la columna 5 los correspon dientes de Z, obtenidos de la figura 8.20. Finalmente, en la columna 6 se han calculado los gastos de pico resultantes de la ecuacion 8.20. Notese que, debido a que la zona estudiada es muy lluviosa (ecuacion 8.3), los gastos de pico obtenidos resultan notablemente elevados para el

Hidrograma

233

unitario

200 180 160 140

/

120

EI gasto de disefio sera de 180 m3/s. Si el rfo es perenne se debe agregar un gasto base al obtenido.

60

<,

II

tarnafio

80

V

,,_..,

/

100

de la cuenca (vease figura 8.21).

/

~/

40

'8.3.4.2 Hidrograma unitario triangular

20

Mockus (referencia 8.9) desarrollo un hidrograma unitario sintetico de forma triangular, como se muestra en la figura 8.22. De la geometna del hidrograma unitario, se escribe el gasto de pico como:

o

o

10

20

30

40

50

60

70

80

90

-

100 d, min

Figura 8.21

0.555 A

(8.24) donde A = area de la cuenca en km ', de pico en m3/s/mm.

tp

= tiempo de pico en h y qp = gasto

Del analisis de varios hidrogramas, Mockus concluy~,que el tiempo base y el tiempo de pico tp se relacionan mediante la expresion: (8.25)

Tabla 8.6

A su vez, el tiempo de pico se expresa como (figura 8.22):

I

2

de' min

P, mm

10 20 30 40 50 60 70 80

60 74 84 91 97 103 108 112

3 Pc, mm 33.9 46.3 55A

61.8 66,9 73.0 77.7 81.5

4 d/tr

0.14 0.29

5 Z 0,10

6

o; m 1s 3

84,6

OA3

0.58 0,72 0.86 L01 1.15

0.65 0.70

180.5 178A

90

116

85,3

1.29

0,71

168A

(8.26)

o bien con la ecuacion 8.21.

0.22 032 OA3

0.52 0.59

127.2 147,9 166,2 174,1 179,6

donde d es la duracion en exceso y t, el tiempo de retraso, el cual ~e estim; mediant~ el tiempo de concentracion tc (vease apartado 8.2, ecuaciones 8. y 8,6) como (referencia 8.2): (8.27)

234


235

Hidrograma unitario

Con las ecuaciones 8.25, 8.26 y 8.30 se calculan las caracterfsticas del hidrograma unitario triangular. 8.3.4.3 Hidrogramas unitarios adimensionales En la mayorfa de los casos, es suficiente con las caractensticas de un hidro grama unitario triangular para propositos practices. Sin embargo, si la extension de la curva de recesion del hidrograma afecta el disefio, puede usarse un hidrograma curvilfneo, En la figura 8.23 se muestra un hidrograma unitario adimensional,obtenido a partir de varios hidrogramas registrados en una gran variedad de cuencas (referencia 8.9). Para obtener un hidrograma unitario a partir de esta figura para una cuenca en particular, basta con multiplicar las ordenadas por el gasto de pico qp de la ecuacion 8.29 y las abscisas por el tiempo de pica de la ecuacion 8.26.

q

Ejemplo 8.4. Determinar un hidrograma unitario sintetico: a) triangular, y b) curvilfneo para la cuenca del ejemplo 8.3. tb----

1.0 Figura 8.22 Hidrograma unitario sintetico (forma triangular).

0.9

.\

Ademas,.la duracion en exceso con Iaque se tiene mayor gasto de pico, a.falta de mejores datos, se puede calcular aproximadamente como (referen CIa 8.2):

0.7 q/qp

0.6

(8.28)

0.5

para cuen~~s grandes, 0 bien de = tc para las pequefias. Todos los tiempos y la dur~clOn en exceso en las formulas 8.25 a 8.28 estan en h. Sustituyendo 8.25 en 8.24 se obtiene:

0.4 0.3 0.2

0.208 A

(8.29)

-

\

\

1\

0.1 -~

0

donde (ecuaciones 8.26 a 8.28):

\

0.8

(8.30)

r-.

0

2 t / t p

F i g u r a 8 . 2 3

3

4

5


236 Soluciot:

1.8 1.6

EI tiempo de concentracion es, segun la ecuacion 8.6, te.o;;=

Bibliografia

L 0.77

0.000325 _~~

=;0

SO.385

° 0.000325 5 000

1.4 77

0.01 0.385 = 1.35 h

Dado que no se conoce Ia duracion en exeeso se usara la ecuacion 8 .2. 8:

de = 2 ~

= 2 -v'T:35

=

2.32 h.

El ti.empo de retraso es entonces (ecuacion 8.27): t,

= 0.6

te

=

0.6 (1.35)

=

1.2 1.0 0.8 0.6

o

0.4 0.2

0.81 h

~~

-T

por 10 tanto, el tiempo de pico resulta (ecuacion 8.26);

_ de

tp -

2.32

"2 + t; = ~2-

2

-T---r--~---r--8~~~9 --1~0C-h-~ 4

3

5

6

7

Figura 8.24

+ 0.81 = 1.97 h

y el tiernpo base (ecuaci6n 8.25): tb

Tabla 8.7 t.h

q.m//s/mm

t,h

q,m3/s/mm

0.20 0.39 0.59 0.79 0.99 1.18 1.58 1.97 2.36 2.76 3.15 3.55 3.94 4.33 4.73 5.12

0.02 0.12 0.25 0.44 0.68 0.95 1.41 1.58 1.45 1.19 0.84 0.66 0.51 0.38 0.28 0.21

5.50 5.91 6.90 7.88 8.87 9.85

0.15 0.12 0.06 0.03 0.01 0.00

= 2.67

tp

= 2.67 (1.97) = 5.26 h

Finalmente, de la ecuaci6n 8.29 el gasto de pico es: 0.208 A

0.208 (15) = 1.58 1.97

m3/s/lI1II1

a) En la figura 8.24 se muestra el hidrograma unitario triangular. b) Multiplicando las ordenadas de la figura 8.23 por 1.58 m3/s/mm y

las abscisas por 1.97 h, se obtiene el hidrograma unitari6 curvilineo calculado en la tabla 8.7 y mostrado en la figura 8.24.

BIB LIOGRAFiA 8.1 Viessman, W., Introduction to hydrology. Harper & Row Publishers 2nd ed. New York, 1977. 8.2 Chow, V.T. (ed.) Handbook ojapplied hydrology. Me Graw-Hill. New York, 1964. 8.3 Raudkivi, A.J., Hydrology. Pergamon Press. Oxford, 1979.

238


8.4

U. S. Bureau of Reclamation. Desi 8.5 noS 8.6 8.7

Secretana de Recursos Hid ' I· Office, ~ashington, 1974.

g

if mall Dams. U.S. Government Printmg

:e~~

Sherman L.K. Stream flowr; ICOS '. Proyecto de zonas de riego. Mexico 1 Record, V, 108, p. 501, 193;m ramfall by the unitgraph method. Eng: 8.8 Secretarfa de A . I . . gncu tura y Recursos Hidniu . " mos observados y probables en la R ibli licos .. Envolventes de gastos maxi8.9 Chow V.T.; "Hydrologic determinati~~u rca Mexlcana". Mexico, 1978. ~ge structu:es in small drainage basins" ~!i~al~rway areas for the design of drai ockus, Victor. Use of storm and t h· . Eng. Expt. Sta. Bull. 462 1962 drograph analysis and application. w~ ;rsSe; characteri~tics in syntetic ~nit hi~ . . 01 ConservatIOn Service, 1957.

9

Probabilidad y estadfstica en hidrologfa

El disefio y la planeaci6n de obras hidraulicas estan siempre relacionadas con eventos hidro16gicos futuros; por ejemplo, la avenida de disefio para el verte dor de una presa es un evento que tal vez no se ha presentado jamas, 0 al menos no en el periodo de datos disponible, pero que es necesario conocer para determinar las dimensiones de la obra. La complejidad de los procesos ffsicos que tienenlugar en la generaci6n de esta avenida hace, en la mayorfa de los casos, imposible una estimaci6n confiable de la misma por metodos basados en las leyes de la mecanica 0 la ffsica, sea porque estos metodos son insuficientes, sea porque el modelo matematico resultante serfa exageradamente grande, complicado y diffcil de manejar. Por ello, y como sucede en la mayona de las ciencias, con mucha fre cuencia el estadfstico es el camino obligado en la soluci6n de los problemas. En particular, la probabilidad y la estadfstica juegan un papel de primer orden en el analisis hidro16gico. En este capitulo se dara una introducci6n al analisis estadfstico en hidro logfa. Para ello, se hara, en primer lugar, un recordatorio de los conceptos fundamentales de la probabilidad y estadfstica; posteriormente, se estudiaran las principales funciones de distribuci6n de probabilidad usadas en hidrologfa y, por ultimo, se analizaran los lfmites de aplicabilidad de las diferentes fun ciones. Aunque este capitulo esta principalmente enfocado a la determinaci6n de gastos de pico de disefio, los metodos pueden, en general, aplicarse tam bien a otro tipo de problemas, como los relacionados con vohimenes mensuales de escurrimiento 0 gastos mfnimos anuales, por ejemplo.

240

Probabilidad y estadistica en hidrologia

25 000

9.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE PROBABILIDAD Y EStAOiSTICA 9.1.1 Probabilidad y Sus axiomas Este apartado se realize parafraseando a Kolmogorov (referenda 9.1). Las leyes naturales mas simples son aquellas que expresan las condicio nes bajo las cuales un evento de interes ocurre 0 no ocurre con certeza. Estas condiciones se expresan como: a) Si se presenta un conjunto de condiciones S, entonces el evento A,

seguramente, ocurre; 0 bien b) Si se presenta un conjunto de condiciones S, entonces el evento A no

puede ocurrir. En el primer caso, A es un evento seguro con respecto a las condiciones S y en el segundo es un evento imposible. Cuando un evento A, en presencia de un conjunto de condiciones S, a veces ocurre y a veces no, se llama aleatorio con respecto al conjunto S. Es natural suponer que, cuando esto sucede, no se han tornado en cuenta en el conjunto S todas las condiciones necesarias para la ocurrencia 0 no ocurren cia del evento, y no, como a veces se hace, que no exista una ley ffsica que conduzca a esta ocurrencia 0 no ocurrencia. Esas condiciones 0 leyes que no se incluyen en el analisis del evento A se suplen por una ley de probabilida des, la cual indica con que frecuencia se presenta el evento dadas las con diciones S. Sea, por ejemplo, el volumen mensual de escurrimiento en una seccion dada de un rfo. Al tomar una muestra de los escurrimientos (esto es, al aforar la corriente en un mimero finito de meses), se observa que el volumen mensual de escurrimiento es a veces mayor de 300 000 m 3, pero a veces es menor. Si se quisiera aprovechar el agua del rio, por ejemplo, para riego, pero sin hacer una presa, el dato de que el volumen es a veces mayor de 300 000 m', pero a veces menor resulta, obviamente, demasiado vago. Por otra parte, la determinaci6n precisa de los vohimenes mensuales de escurrimiento que se presentaran durante los siguientes L afios (siendo L la vida titil de la obra de captacion) involucrana el analisis de un conjunto de condiciones que van -des de las meteoro16gicas hasta los cambios que se presentaran en la cuenca de aportacion demasiado complicado 0 para el cual no se dispone de herramien tas adecuadas. Podrfa entonces buscarse el volumen mfnimo y el maximo observado du rante los n meses en que se han hecho las observaciones y proporcionar al proyectista del aprovechamiento un dato de tipo:

241

Conceptos Jundamentales de probabilidad y estadistica ::5 V ::5

(9.1)

1 000 000 3

de V es el volumen de escurrimiento mensual en m . don Aunque 9.1 es de mayor utilidad que el dato de que el v~lumen mensu~l de 300000 m3 , pero a veces menor, devaliosa poca u sialidad veces es mayor . . , todavfa h es is para el proyectista. El recibiria una mformaclOnmuc 0 mas d le dice que en aproximadamenteel 70% de los meses el volumen es -irnient e se . , muc h'0 mas completa de los escurnmlen os 300000 m'; una evaluacion . de los del rio serfa mostrar, p~ra cualquier volume~ V, e~ po;:;~a~: ~a~~ (vease meses en que han escurndo no menos de V m en e pe figur;i 9~11~umerode meses de observaci6n con cuyos datos se ha formado ande ( or ejemplo 1 000), es razonable suponer que duran ~: ~;~:~:;ti~Sd~\a obr~ (que podrfa ser de 500 meses) el escurrimiento en el rio tendra un comportamiento similar al mostrado en la fi~ura 9.1 , aun~u~, m . fiimta, . nunca sera exactamente igual. Esto sIgmb b ilid d a menos que la muestra sea fica que por grande que sea la muestra, siempre habra alguna pro a 11I ; (que dis~inuye conforme aumenta el tamafio de muest~~5d~ ~u~ e r::n~~ men en un mes cualquiera sea mayor de X . ., 1 I de 0.25 X 105 m3. Entonces, la figura 9.1 es s610una aproxlmaclon a a ee: de probabilidades que suple las condiciones S, por las cual~s el :~lumen ~ , sual de escurrimiento toma un valor dado v; dicha aproxrmacron estara mas cercana a esta ley conforme el tarnaiio de la muestra es mayor. , Considerese un grupo grande de series. de pruebas ,(aforos del no~. se~ n, el mimero de pruebas en la r-esima sene Y iJr el numero de prue as e

1;0

esta serie en que ocurre un cierto evento A.

v

(V),

%

100 80

60 40

O

L-T--"---r--"---r---..--'---r_':~--:-:-~v::-,1 0 2

3

4

5

6

7

Figura 9.1

8

9

10

5

m3

242 Probabilidad y estadistica en hidrologta

Se define como Jrecuencia

Vr

del evento A al cociente:

Ilr

"r =.-nr

(9.2)

v;

(9.3)

d d d tendiObviamente .' 0 < - Ilr < - n". e on e se desprende que 0 :5 Vr :5 1. Exe~dlenddo elstaIde~ de frecuencta relativa u; a probabilidad se tiene el primer

axtoma

e a teorta de la probabilidad:

o

:5 peA) :5 1

Por otra parte, cuando, para un evento E, ocurre que que el evento E es seguro y entonces: peE) = 1

(9.4) Il r

=n

rs

se di

ce

(9.5)

sUlta~~:~q~e un e~ento sea seg~ro debe incluir todos los posibles casos 0 re to del ' e elxpenmento (espacio muestral). Asf, en el caso del escurrimien no, e evento seguro es: E: 0

:5

V

:5

00

(9.6)

d . La ecuacion 9 5 constituye el lidad U segun 0 axioma de la teoria de la probabi'. . n~ consecuencla de este axioma es que la probabilidad de ue no s prese~te nmguno de los posibles eventos del espacio muestral es n~la. As,e por ejemplo, I, P(V
=

0

A: V

> 500,000 m '

B: V

< 10,000 m3

243

son mutuamente excluyentes. Si la frecuencia del evento A es VI y la del even to B es V2, entonces la frecuencia de la union de los dos es V = VI + V2; por 10 tanto, la probabilidad de C = AU B es: P( C)

una pS~:ba~il~adamdipsmad::r~dcualqUier,r se dice que el evento A ocurre con , ejtnt a como: p = peA) -

Conceptos jundamentales de probabilidad y estadistica

=

peA UB)

= peA) + PCB)

(9.8)

,que es el tercer axioma de la teoria de la probabilidad. La ley de probabilidades que describe el comportamiento estadfstico de una variable aleatoria -que en el caso mencionado anteriormente es el volu men de escurrimiento mensual- se puede representar de varias maneras, en tre las que cabe mencionar la funcion masa de probabilidad discreta, la funcion de distribucion de probabilidad acumulada, la funcion de densidad de proba bilidad y la funcion de distribucion de probabilidad. A continuacion se hara un breve recordatorio de estas funciones y sus propiedades. 9.1.2 Funciones de probabilidad A continuacion y hasta el final del capitulo, se usaran, como es comun, letras mayusculas para denotar variables aleatorias y mimisculas para denotar 108 valores que toman dichas variables. Tambien, como es costumbre, se denota ni con maytisculas a las funciones de distribucion 0 acumuladas y con minus culas a las. funciones masa 0 de densidad. 9.1.2.1

Funciones discretas de probabilidad

Cuando el mimero de valores x que puede tomar una variable aleatoria X es finito, se dice que la variable aleatoria Xes discreta. Por ejemplo, si en el experimento "tiro de dos dados" se define la variable aleatoria X como:

(9.7)

donde DI YD2 son los puntos obtenidos del primero y segundo dado respec tivamente, el espacio muestral* sera el mostrado en la tabla 9.1.

y el evento

* Se define como "espacio muestral" al conjunto de todos los posibles resultados de un experi mento (referencia 9.5).

244


Tabla 9.1

245

Conceptos Jundamentales de probabilidad y estadistica Tabla 9.2

1+1-2 2+1-3 1+2=3 2+2=4 1+3=4 2+3=5 1+4=5 2+4=6 1+5=6 2+5=7 1+6=7 2+6=8

3+1=4 3+2=5 3+3=6 3+4=7 3+5=8 3+6=9

4+1=5 4+2=6 4+3=7 4+4=8 4+5=9 4+6= 10

5+1=6 5+2=7 5+3=8 5+4=9 5+5=10 5+6=11

6+1=7 6+2=8 6+3=9 6+4=10 6+5=11 6+6=12

x= valor de

(9.9)

que se lee como' 'Ia probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor 0 igual que x". En este caso, dado que la variable aleatoria X es discre ta, se escribe:

G (x)

Numero de resultados favorables

Probabilidad g (x) = P (X

=x)

En este caso, el mimero total de resultados posibles del experimento es 36 y el mimero n de valores que puede tomar la variable aleatoria X es 11 (x=2,3, .... 12). La probabilidad asociada a cada uno de estos n posibles valores de X se muestra en la tabla 9.2 y en forma grafica en la figura 9.2. Una funcion como la mostrada en esta figura se denomina "funcion masa de probabilidad discreta" si se refiere a la poblacion 0 "histograma de fre cuencias relativas' si se refiere a una muestra y describe el comportamiento de Ia variable aleatoria X. Este comportamiento puede tambien ser descrito en terminos de probabilidades acumuladas mediante la funcion: G(x) = P(X ::5 x)

X

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

La funci6n G(x) se muestra en la figura 9.3. 9.1.2.2 Funciones continuas de probabilidad Cuando el numero n de valores que puede tomar una variable aleatoria X es infinito, como es el caso, por ejemplo, de los vohimenes de escurrimiento men sual de un rio, se dice que dicha variable aleatoria es continua. ~s posible de~ucir la forma equivalente a la funcion de la figura 9.2 para vanables aleatonas continuas al imaginar dados con un mimero muy grande de caras. En ellfmite, cuando el mimero de caras tiende a infinito la funcion tendrfa un aspecto como el que se muestra en la figura 9.4. '

1/18 1112 119 1/6 1/9 1112 1/18

N6tese que, al contrario de 10que sucede con la funci6n masa de la figura 9.2, cuando una variable aleatoria es continua, la probabilidad de que esta tome un valor exacto es siempre nula: P(X

=

x)

=0

(9.11)

Y s610es posible hablar de probabilidades diferentes de cero para intervalos finitos: P (a

(9.10)

1/36 2/36= 3/36= 4/36= 5/36 6/36= 5/36 4/36= 3/36= 2/36= 1/36

1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

::5

X

::5

b) ;c 0, a < b, a >

Xo'

b <

Xl

(9.12)

donde (xo, Xl) es el intervalo de definicion de la variable aleatoria X. Mediante un argumento similar, la funci6n que equivale a la figura 9.3 para la variable aleatoria continua del ejemplo tiene una forma como la que se muestra en la figura 9.5. En este caso, como en la ecuaci6n 9.9: Una funcion como esta se llama funcion de densidad de probabilidad.

F (x)

=

P (X

::5 x)

(9.13)

y en terminos de la funcion de densidad de probabilidad f (x): F (x)

=

1

~oo

f

(x) dx

Obviamente, debe cumplirse tambien que:

(9.14)


246

247

Conceptos fundamentales de probabilidad y estadfstica

6/36 5/36 4/36 3/36

((x)

2/36 1/36 23456789101112

X

Figura 9.2 36/36

G(x) = P(X -s x)

x

2

Figura 9.4

30/36

f(x)

dF(x) = _._

(9.15)

dx

N6tese que de acuerdo con los dos primeros axiomas de la probabilidad: f(x)

(9.16a)

~ 0

20/36

(9. 16p)

y que, segiin Ia ecuaci6n 9.14: P (a :5 X :5b) 10/36

= P(X

15 b) - P(X

:5 a)

.-

(9.17)

Tambien, de acuerdo con el primer axioma de la probabilidad,

o

2/36H 23456789101112

Figura 9.3

x

(9.18)

:5 F(x) :5 1

y adernas: F(b)

>

F(a) si b

>

a

(9. 18a)

248


Conceptos fundamentales de probabilidad y estadistica

249

F(x)

3

Por 10 tanto: a = --. 125 La funci6n de densidad de probabilidad es entonces: (9.21)

fix) 2

x

y la funci6n de distribuci6n de probabilidad resulta (ecuaci6n 9.14)

Figura 9.5 .

Ejemplo 9.1. Determinar el valor de la constante a de la funci6n de densidad de probabilidad:

f(x)

=

02 [

o

0::5 x ::5 5

F(x)

Entonces: a) de 9.13, F (2)

en cualquier otra parte

(9.22)

125

= P(X

::5 2)

= --

(9.19)

i.Cual es .l,a probabilidad de que un valor X seleccionado aleatoriamente de esta funcion: a) sea menor que 2? b) este entre 1 y 3? c) sea mayor que 4? d) sea mayor que 6? e) sea igual a 2.5?

b) de 9.17, P(1 ::5 X ::5 3) F(I)

8

125

= F (3)-

c) de 9.13, P(X ~ 4) = I-P(X::5 4)

Solucion

(9.20) Sustituyendo 9.19 en 9.20:

(0) dx

+

i:

axrdx

1

8

125

125

125

= I--F(4)

= 1

64

125

61 125

De la ecuaci6n 9.16b se tiene:

L

9

+

r

d) P (X ~ 6)

1- P (X ::5 6)

e) de 9.11, P (X

= 2.5)

=

1-

1

=0

0

9.1.3 Periodo de retorno

(0) dx ~

i:

axldx ~

Cada espacio muestral tiene su propia funcion de distribuci6n 0 de densidad de probabilidad, que normalmente no se conoce a priori. Cuando de ese espa cio se extrae un grupo de datos (muestra) al azar, es razonable esperar que su funci6n de distribuci6n de probabilidad sea similar a la del espacio comple to, en particular si la muestra es grande. Ademas, 10 mas razonable que se puede suponer en cuanto a la frecuencia de cada dato del grupo es que esta sea, dentro del espacio muestral, igual a la observada.

250

Probabilidad y estadistica en hidro!ogfa

Tabla 9.3 aiia

251

Conceptos Jundamentales de probabilidad y estadistica Tabla 9.4

1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980

Qmax m3/s 2000

5000 4500 3800 2900 3100

1500 2200 3900

1981 4700

Considerese, por ejemplo, el conjunto de diez gastos maxirnos anuales de la tabla 9.3. . . Si esta muestra fuera todo el espacio, la funci6n de distribuci6n de proba- b hda des serfa la mostrada en la figura 9 6 De esta fun . / . 1 . . C I onse b ejemp 0, 3que la probabilidad de que el gasto maximo anual sea 0 serva por menor 0 i~ual a 1 500 m Is se encuentra dentro de los Ifrnites.

o

1500

:5 P(X:5

m3/s)

:5

0.1

(9.23)

y la probabilidad de qu~ ~icho gasto sea menor 0 igual a 5 000 m3/s se en cuentra dentro de los lfmites 0.9

:5 P(X :5

5 000

m3/s)

:5

1.0

(9.24)

L.o~!fmites de las ecuaciones 9.23 y 9.24 se pueden expresar en funci6n de la posicion de la variable aleatoria X(= Qrnax) en una tabla de valores de la mis rna, ordenados de mayor a menor (vease tabla 9.4). Asi, si m es el mimero de

m X=Qmax (m3/s)

2

1

3

4

5

6

7

8

9

10

5000 4700 4500 3900 3800 3100 2900 2200 2000 1500

orden y n el mimero total de datos, y si se escoge el limite superior en las ecuaciones 9.23 y 9.24, se tiene para un valor x con mimero de orden m: I-m

P(X :5 x) = 1

+ ---.

(9.25)

n

y si se toma el limite inferior resuIta: m (9.26) n Se observa que, en el caso de la ecuaci6n 9.25, la probabilidad de que el gasto sea mayor de 5000 m3/s es nula y, en el segundo caso, la probabili dad de que el gasto maximo anual sea menor de 1 500 m3/s es tambien nula. Sin embargo, resulta absurdo decidir que jamas se presentara un gasto mayor de 5000 m3/s 0 uno menor de 1 500 m3/s s610porque en 10 afios de registro no se han presentado gastos de estas magnitudes. En vista de que este gasto es una variable aleatoria continua, cuyo dominio de definici6n es: P (X:5 x)

= 1-

(9.27)

O:5X$OO

siempre habra una probabilidad no nula de que se presente un gasto menor o igual que un valor cualquiera en este rango, no importa que tan pequefio 0 grande sea dicho valor. De aquf la necesidad de usar una f6rmula que asigne una probabilidad no nula a cualquier evento. Esto puede hacerse con una f6rmula del tipo: 1000

P (X

oo~-+--+-.f---+--+-+--+---l--+---t-10

2 10

3 10

4 10

5 10

6 10

Figura 9.6

7 10

8 10

9 10

10 10

P(X :5 x)

:5 x)

2m -

= 1 - ---

1

(9.28)

2n

que sinia la probabilidad exactamente en el centro del intervalo. Otra manera de hacer 10anterior es suponiendo que la frecuencia obser vada de un evento es la misma que la poblaci6n de frecuencias de ese evento

(referencia 9.2), 10 que conduce a la f6rmula:


252

p (X ~ x)

1-

m n+l

(9.29)

La ecuaci6n 9.29 es la mas usada en hidrologfa, El periodo de retorno* del m-esimo evento de los n registrados es entonces, de acuerdo con las ecua ciones 9.29 y 6.45, n

+

T=--

1

m

(9.30)

Asi, el maximo evento registrado en un conjunto de 10 tiene un periodo de retorno de 11 afios y el minima lo tiene de 1.1 aiios. En hidrologfa, normalmente se prefiere trabajar con periodos de retorno en lugar de probabilidades, pues es un concepto que resulta mas claro ya que tiene las mismas unidades (tiempo) que la vida uti} de las obras y puede com pararse con esta. Dicho concepto se estudi6 en el apartado 6.3.7. 9.2 FUNCIONES DE DISTRIBUCION DE PROBABIUDAD USADAS EN IDDROLOGiA Una vez que se asigna un periodo de retorno al gasto de diseiio de la obra en cuesti6n, generalmente es necesario, para conocer dicho gasto de diseiio, hacer extrapolaciones a partir de los gastos maximos anuales registrados, pues rara vez este periodo es menor al periodo de datos. Por ejemplo, puede ser necesario determinar un gasto de diseiioCOnperiodo de retorno de 1 000 afios a partir de 25 afios de registro. Si los gastos maximos anuales registrados se dibujan contra sus respectivos periodos de retorno, ge neralmente se observa alguna tendencia mas 0 menos definida. El problema radica en como extender esta tendencia hasta el periodo de retorno deseado. Una posibilidad es extrapolar los datos a ojo, es decir, graficamente. Aunque este metodo puede dar muy buenos resultados si se aplica por una persona con experiencia, tiene la desventaja de la subjetividad; esto es, si veinte ingenieros diferentes 10 aplican, es probable que el resultado sean veinte graficas diferentes. Para eliminar esta subjetividad, se debe buscar entre las distintas funcio nes de distribuci6n de probabilidad teoricas la que se ajuste mejor a los datos medidos, y usar esta funcion para la extrapolacion. En la estadfstica existen decenas de funciones de distribucion de probabi lidad te6ricas; de hecho, existen tantas como se quiera, y obviamente no es posible probarlas todas para un problema particular. Por 10tanto, es necesa-

Funciones de distribucion de probabilidad usadas en hidrologia

253

rio escoger, de esas funciones, las que se adapten mejor al problema bajo analisis. Entre las funciones de distribucion de probabilidad usadas en hidrologfa, se estudiaran las siguientes: a) Normal. b) Lognormal.

c) Pearson III. d) Gumbel. e) Funciones para dos poblaciones.

* Para

una discusion mas amplia sobre periodo de retorno, ver apartado 6.3.7.1.

Las funciones anteriores, aun cuando son las mas conninmente usadas en la hidrologfa aplicada, no son todas, pues el enfoque de este texto no es ex haustivo. No obstante, se presentan las bases necesarias para estudiar cualquier funcion de distribuci6n de probabilidad. . Las funciones normal y lognormal son generalmente apropiadas para va riables aleatorias que cubren todo el rango de valores de los resultados posi bles del experimento bajo analisis, como por ejemplo los voltimenes de escurrimiento mensual en un rio. Las funciones Gumbel se desarrollaron para el analisis de los valores extremos de dichos resultados (referencia 9.3), como los gastos maximos 0 mfnimos anuales. La funcion Pearson III ocupa un lugar intermedi o. Las funciones de distribuci6n de probabilidad se estudiaran sin mucha justificacion teorica, tanto en 10 que respecta a su desarrollo como a la evalua cion de sus parametres, considerando que dicha justificaci6n te6rica se sale del enfoque de este texto. Ellector interesado puede .recurrir a las refere~cias listadas al final de este capitulo. En general, los estimadores de los parame tros de las distribuciones que se indican en el texto son los que pueden obte nerse por el metodo de momentos; se incluyeron s610 estes por ser los mas sencillos, pero no debe olvidarse que existen otros metodos (e..g. maxima ve rosimilitud y mfnimos cuadrados). Ademas, el uso d~ las funciones ~ued~ ~e ner ciertas limitaciones que no se mencionan necesanamente a contmuacion.

9.2.1 normal

Distribuci6n

La funcion de densidad de probabilidad normal se define como: 1

I

(

'-"

)'

F(x)= -~ -e - , - - ;;-

-.J2TI a


.254

donde fJ, y a son los parametres de la distribuci6n. Estos parametres determi nan la forma de la funci6nf(x) y su posici6n en el eje x (vease figura 9.7). Es posible demostrar (referencia 9.2) que fJ, y a son, respectivamente, la media y la desviaci6n estandar de la poblaci6n y pueden estimarse como la media y desviaci6n estandar de los datos. De acuerdo con la ecuaci6n 9.14, la funci6n de distribuci6n de probabilidad normal es:

255


=

F(x)

F(z)

i

=

z -00

_--

1

v'2rr

2

(9.34)

«= 12 dz

La funci6n F(z) se ha calculado numericamente y se han publicado tablas de ella. En la tabla 1 del apendice A se muestra esta funci6n. Debido a que la funci6n F(z) es simetrica, en dicha tabla se encuentran iinicarnentevalores de:

(9.32) Hoy en dfa, no se conoce analfticamente la integral de la ecuaci6n 9.32, por 10 que es necesario recurrir a metodos numericos para valuarla. Sin embar go, para hacer esto se requerirfa una tabla para cada valor de fJ, y a, por 10 que se ha definido la variable estandarizada

z

=

x-fJ,

(9.33)

a

que esta normalmente distribuida con media cero y desviaci6n estandar unita ria. Asf, la funci6n de distribuci6n de probabilidad (ecuaci6n 9.32) se puede escribir como: f(x)

con 10 que es posible calcular F(z) para cualquier valor de z. Otra manera de estimar fez) 0 F(z), mas conveniente si se usa una compu tadora, es mediante f6rmulas aproximadas. La funci6n de densidadf(z) se apro xima, con una precision mayor de 2.27 X 10-3, como (referencia 9.4): (9.35) donde a.,

=

a: a3

2.490895 1.466003

al

=

=

-0.024393 0.178257

y la funci6n de distribuci6n como (referencia 9.4): F(z) il1

= H(z),

z

> 0 (9.36)

x

F(z)

I-H(z),

z
f(x)

donde ][(z)

siendo q

=

= ----

1-

_l_e-l12

~

tb,

q

+

b2

q2

+

b3

l)

(9.37)

1 Figura 9.7

x

I +bol

z]

0.33267 0.43618


256

b2 = -0.12017 b3 = 0.93730

25

Ejemplo 9.2. Los gastos maximos anuales registrados en la estaci6n hidro metrica Las Perlas en el rio Coatzacoalcos se muestran en la tabla 9.5. a) l,Cmil es la probabilidad de que, en un afio cualquiera, el gasto sea mayor 0 igual a 7 500 m3js? b) Se planea construir cerca de este sitio un bordo para protecci6n contra

inundaciones. l,Cmil debe ser el gasto de disefio si se desea que el pe riodo de retorno sea de 60 aiios? Sup6ngase que los datos de la tabla 9.5 siguen una distribuci6n normal.

E (Xi -

s=

n..i_1

La media y desviaci6n estandar de la poblaci6n pueden entonces estimar se como: p,

==

x

a == S

a) Para

E

=

=

=

X

Solucion La media y desviaci6n estandar de los datos son respectivamente:

x)2

i=l

z

:x =

3886 m3js 3 1 825.9 m j S

7 500 m3js, la variable estandarizada z es (ecuacion 9.33):

= X -

P,

a

= 7 500 - 3 886 =

1.98

1 825.9

De la tabla 1 del apendice A

0

de la ecuacion 9.36 se obtiene:

Xi

_:l:_·=_:.l

Por 10 que la probabilidad de que el gasto maximo anual sea mayor

n

P (X ~ 7 500) = 1 - P (X :::; 7 500) = 1-0.9761

Tabla 9.5 aDO

251


=

0.0239

b) De la ecuacion 6.45 se tiene que:

1954

1955

1956

1957

1958

1959

1960

T= -~_-

P(X~x)

x=gasto maximo, m3js

2230

3220

2246

1804 2737

2070

3682

ano

1961 1962

1963

1964 1965 1966

1967

x, m3js

4240

2367

7061

2489

3706

2675

ano

1968 1969

1970

1971 1972 1973

1974

x, m3js

6267

5971

4744

6000 4060

5565

ano

1975 1976

1977

1978

x, m3js

3130 2414

1796

7430

2350

6900

I -P(X:::;x)

Por 10 tanto: P (X :::;x)

T-l

Entonces, para T =

(9.38) T 60 afios, la funcion de distribucion de probabilidad es:

59 = 0.9833 60 y de la tabla 1 del apendice A 0 resolviendo la ecuacion 9.36 por tanteos, se obtiene la variable estandarizada: F (x) = P (X:::;x) = -

z

=

2.126

258

Probabilidad yestadistica en hidrologia

Funciones de distribuci6n de probabilidad usadas en hidrologia

E =,

Por 10 tanto, despejando x de la ecuacion 9.33 se tiene: x

=

za

I

+

x

p, =

=

2.126 (1 825.9)

7775.2 m3/s

+

259

n

~=

3886

I

Entonces, segtin la distribucion normal el gasto de diseiio para un perio do de retorno de 60 alios es de 7 775.2 m3/s.

0:)2]

[

112

(9.41)

La funci6n de distribuci6n de probabilidad es, de acuerdo con la ecua cion 9.14:

9.2.2 Distribuci6n lognormal

(9.42)

dx

F(x)

En esta funcion los logaritmos naturales de la variable aleatoria se distribuyen normalmente. La funci6n de densidad de probabilidad es: I(x)

= ~

1

.

1 ---;;3 e

(~)2

(9.39)

donde 0: Y {3 son los parametres de la distribuci6n. Si se compara la ecuaci6n 9.39 con la 9.31, se deduce que 0: y {3 son respectivamente la media y la des viacion estandar de los logaritmos de la variable aleatoria. En la figura 9.8 se muestra una grafica de la funcion de densidad de probabilidad para diferen tes valores de 0: y ~. Como se observa, esta funci6n no necesariamente es simetrica. Los valores de 0: y ~ se estiman a partir de n observaciones Xi, i = 1, 2, ... n, como: n in Xi (9.40) 0: = n i=1

E

Los valores de la funcion de distribucion de probabilidad 9.42 se obtie nen usando la tabla 1 del apendice A 0 la formula 9.36 si la variable estandari zada se define como:

z

in x -

= -----

0:

(9.43)

~

Ejemplo 9.3. Resolver el ejemplo 9.2 usando la funci6n de distribuci6n log normal. Solucion La media y desviaci6n estandar de los datos, estimadores de las de la pobla cion, son (ecuaciones 9.40 y 9.41): 25

0:

E

i=1

fIx)

~

[E

"

In

Xi

8.162

25

(In x I

8.162)' ] '" 25

=

0.451

a) Para x = 7 500 m3/s, la variable estandarizada (ecuacion '9.43) es:

z x

in (7 500) - 8.162 0.451

=

1.687

Figura 9.S

De la tabla 1 del apendice A,

0

la formula 9.36, se obtiene:


260 F(x)

= F(z) = 0.9545

261 (9.47)

y por 10 tanto:

I P(x?7


2

(9.48) ~ donde x es la media de los datos, S2 su variancia y 'Y su coeficiente de ses go, que se define como: 'Y=--

500) = 1- P(x=:;7 500) = I-F(x)

= 1~0.9545 = 0.04551

b) Nuevamente, de 9.38 se tiene: F(z)

n

F(x) == 0.9833

::=

;=t

De la tabla 1 del apendice A 0 resolviendo 9.36 por tanteo, para este valor de F(z) se obtiene:

z

(9.49)

La funci6n de distribuci6n de probabilidad es: (9.50)

=

2.13

Despejando x de la ecuaci6n 9.43: Sustituyendo x - Ot

Ix

= e2.t3(0.451) +

8.t62

=

9160.3 m3/s

(9.44)

(9.51)

y=-at

la ecuacion 9.50 se escribe como: 9.2.3 Dtstribucion Pearson III

0

Gamma de tres parametres F(y) = -- 1 r(f31)

La funcion de densidad de probabilidad Pearson III se define como:

.f(x)

OtJ i3t ~

X ~

[

---'

at

1

e

--'--=-"'0'1

(9.45)

donde at, {3t ~ Ot. son los parametres de la funcion y r ({3t) es la funcion Gam" rna. En el apendice A se hallan las propiedades basicas y la tabla de valores de la funci6n Gamma. X;, i

=

1, 2...

,n

LOs parametres at> f31 Y Ot se evaluan, a partir de n datos medidos mediante el siguiente sistema de ecuaciones (referencia 9.2): '

~Y

0

i-t

e-Y dy

(9.52)

La funci6n 9.52 es una funcion de distribuci6nji cuadrada con 2f3t gra dos de libertad y x2 = 2y (referencia 9.4): (9.53) (9.46)

En la tabla 3 del apendice A se encuentra la funci6n de distribuci6n X2• Esta manera de usar la funci6n de distribucion Pearson III es estrictamen te valida cuando f31 = TJI2, donde TJ es un entero positivo cualquiera. Si, co mo es comun, 2{3 es no entero, puede tomarse como el entero mas proximo a bien interpolar en la tabla 3 del apendice A. Cuando f3 < 0.3, sera necesa rio acudir a tablas de la funcion de distribuci6n Gamma de un parametro, co mo la que puede hallarse en la referencia 9.5. Par otra parte, es tambien cormin que los valores calculados de 0 can las ecuaciones 9.46 a 9.48 resulten absur-

262

Probabilidad y estadistica en hidrologfa

dos (muy grandes 0 negativos). En estos casos, es recomendable fijar el valor de 0 a ojo, como la ordenada al origen en una grafica de gasto contra pe riodo de retorno. Otra manera muy cormin de usar esta funci6n de distribucion de probabi lidad es tomando logaritmos de la variable aleatoria y suponiendo que estos se comportan segiin dicha funci6n. A esta manera de usarla se le denomina "funcion de distribuci6n de probabilidad Log-Pearson III" (referencia 9.2). Ejemplo 9.4. Resolver el ejemplo 9.2 usando la funci6n de distribuci6n Pear son III.


x2 = 2y = 2(5.672) = 11.344 v

es

= 2(31 = 2(2.526) = 5.05

De la tabla 3 del apendice A se obtiene, para estos valores de X2 y v (se tomaron 5 grados de libertad): F(x)

= 95.5 %

Por 10 tanto,

I P (x :::; 7500)

Solucion a) Calculo de los valores de

(31Y 0 I' El coeficiente de sesgo "I

25

E

=

(x; -

3 886)3/25

: : ----=:-r-- = 1.258

(1 825.9)

(_2

1.258

=~

)2

01

=

X -

1 825.91

S

=

2.526

1148.8

= ~26
(31 = 3 886 -

1148.8 (2.526) = 983.9

Para 7 500 m3/s, la variable estandarizada yes (ecuaci6n 9.51): y =

=

0.9833

=

5:

y = 14.1 = 7.05 2 y de 9.51: =

7.05 (1148.8)+983.9

5.672

El valor de X2 y el mimero de grados de libertad son entonces (ecuaci6n 9.53):

=

9071 m3/s.

9.2.4 Distribucion Gumbel Sup6ngase que se tienen N muestras, cada una de las cuales contiene n e~en tos. Si se selecciona el maximo x de los n eventos de cada muestra, es posible demostrar (referencia 9.3) que, a medida que n aumenta, la funci6n de distri buci6n de probabilidad de x tiende a: F(x) = e"

7500 - 983.9 ---= 1148.8

= 4.5%.

De 1a tabla 3 del apendice A se obtiene por interpolaci6n para v 14.1; de 9.53:

x
1-95.5

X6.9833 =

Entonces (ecuaciones 9.46, 9.47 y 9.48):

("12)2

=

I-F(7500)

P (X :::;x) = F(x)=F(y)

;=1

(31

=

b) De acuerdo con los problemas anteriores:

(ecuaci6n 9.49):

"I

263

(9.54)

e= Ci(x~{3i

La funci6n de densidad de probabilidad es entonces:

~.

fix) =

e[~

0<

(x~{3) ~ e-

a

(x-~)l

(9.55)

donde

Y (3 son los parametres de la funci6n.


264

Los parametres

a

f3

a y

f3 se estiman (referenda 9.2) como: (9.56)

S

x -

Il-y

0.45 S

para muestras muy grandes,

a=~

f3 =

0

(9.57) bien como:

= 0.5309;

(9.58) (9.59)

Il-!a

=

(Ty

1.0914

Por 10 tanto, de las ecuaciones 9.58 y 9.59;

= 0.000598 (m3/sr-1

1.0914 1825.91

a=

S

x-

Solucion Para 25 afios de registro, de la tabla 9.6 se tiene:

1.2825 = ~--=

265

Funciones de rlistnbucion de probahilidad usadas en hidrologia

Il-

f3 = x a) Para x

=

_Y-

a

= 3886

-

0.5309

3

0.000598

= 2997.81 m /s

7 500 m3/s, de la ecuacion 9.54:

para muestras relativamente pequefias, donde Il-y y ay se muestran en Ia tabla 9.6.

F(x)

= e-e

Ejemplo 9.5. Resolver el ejemplo 9.2 usando la funci6n de distribuci6n Gumbel,

F(x)

=

-a(x-~)

= e-e

-0.000548 (7 500-2997.8)

0.9345

Por 10 tanto:

Tabla 9.6 n

J.ly

p (X ~ 7 500 m3/s) = 1-0.9345

(Ty

10 15 25 20 30

0.4952 0.5128 0.5309 0.5236 0.5362

0.9496 1.0206 1.0914 1.0628 1.1124

40 35 45 50 55

0.5436 0.5403 0.5463 0.5485 0.5504

1.1413 1.1285 1.1518 1.1607 1.1682

60 65 70 75 80

0.5521 0.5535 0.5548 0.5559 0.5569

1.1747 1.1803 1.1854 1.1898 1.1938

85 90 95 100

0.5578 0.5586 0.5593 0.5600

1.1974 1.2007 1.2037 1.2065

= 0.065

b) Para T=60 afios, de las ecuaciones 9.38 y 9.54: -"(x-~) T-l

= _-

F(x)

T

=

0.9833 =

«:

Despejando x:

x

=

f3--

1

T_)

a 1n1n

(o.9~33)

=

I

=

( T-l

2997.8

. _1 0.000548

in In

9827.1 m3/s.

9.2.5 Funciones de distribucion para dos poblaciolles En muchos lugares, especialmente en las zortas costeras d tos maximos anuales pertenecen ados poblaciones difere e Mexico, los gas

ntes: la primera es


266

la de los gastos producidos por precipitaciones relacionadas con los fen6me nos meteoro16gicos dominantes en la regi6n en estudio, y la segunda es la de los gastos producidos por precipitaciones cicl6nicas, normalmente mayores que los primeros. Tarnbien sucede en algunas zonas, como el noroeste de la Republica Me xicana, que una poblaci6n esta compuesta por gastos producidos directamente por precipitaciones, y otra por gastos provenientes de deshielos. En adelante se hablara de gastos producidos por tormentas cicl6nicas 0 no cicl6nicas por ser el caso mas cormin, pero no debe olvidarse que las mismas ideas se pue den aplicar tambien a casos como el descrito. Gonzalez (referencia 9.6) ha demostrado que, en estos casos, la funci6n de distribuci6n de probabilidad se puede expresar como: F(x)

= FI,

(x) [P

+

(l-p) F2 (x)]

(9.61) donde nl = mimero de parametres de FI (z), n2 = numero de parametres de F2 (x) y el parametro restante es p. Asimismo, Gonzalez usa un metodo numerico de minimizaci6n del error para calcular los valores de los parametres. Este metodo esta fuera del enfo que de este texto, por 10 que se explicara s610 un criterio aproximado para calcular dichos parametres. En este criterio es, en primer lugar, necesario estimar p, la probabilidad de que un afio cualquiera sea no cicl6nico. Esto se puede hacer usando la informaci6n de boletines meteoro16gicos, preguntando a los habitantes de la zona 0 bien inspeccionando los gastos rna ximos anuales. En general, se observa con cierta claridad un salto brusco en los valores de los gastos no cicl6nicos a los cicl6nicos. Este saIto tambien se manifiesta en una grafica de gasto contra periodo de retorno (vease figura 9.8a). El valor de p sera entonces:

Nn

NT

..

Q

•

Cicl6nicos

, No cicl6nicos

(9.60)

donde FI (x) y F2 (x) son, respectivamente, las funciones de distribuci6n de probabilidad de los gastos maximos anuales no producidos por tormentas ci cl6nicas y de los producidos por ellas, y p es la probabilidad de que en un afio cualquiera el gasto maximo no sea producido por una tormenta cicl6nica. EI mimero de parametres de la funci6n 9.60 es:

p =--

267

Funciones de distribuclon de probabiiidad usadas en hidrologia

(9.62)

T

Figura 9.8a

donde N; es el mimero de aiios de registro en que el gasto ma~imo no s~ pro dujo por una tormenta cicl6nica y NT es el mimero total de an~s ~e reglstro. Si se tienen dudas en cuanto a los afios en que los gastos maxnnos fueron producidos por ciclones, es aconsejable probar difer~ntes valores de has~ ta ue se logre un buen ajuste (vease apartado 9.3). Si se cuenta con una co~ pu~dora, resulta conveniente usar el metodo que se describe en la referencia

n,

9.6. Una vez estimados los afios en que se presentaron ciclones y.el valor de p, el resto de los parametros se evahian mediante las f6rmulas VIstas en los subcapftulos anteriores. l ti G Es comun aceptar que FI (x) y F2 (x) (ecuaci6n 9.60) son de tipo umbel. De ser asf, entonces:

F(x) =

( .) [P

e-e-"IX-"1

+

(1 - p) e -e

-"2(X-

(9.63)

~2)]

donde (Xly {JI son los parametros correspondientes ca y (X2Y {J2 corresponden

a la poblaci6n no cicl6ni

a la cicl6nica.

· I 96 Resolver el ejemplo 9.2 usando una funci6n de distribuci6n.de fu 6n .' Ejemp 0 . . probabilidad para dos poblaciones, supomendo que ambas tienen una nCI de distribuci6n Gumbel.

Funciones de distribuci6n de probabilidad usadas en hidrologia

268

269


Solucion. ~:::n::la

9.7 se muestran los gastos maximos anuales ordenados de mayor Los parametres

Sup6ngase que los siete primeros gastos fueron prod .d cicl6nica. De este modo N ~ 18 N 25 UCI os por una tormenta 18 ' n - ., T = y: p

= Is =

(Xl> (X2, (31 Y (32 son,

ciones 9.58 y 9.59: 1.0

0.72

(X2

= ---0.94

630.6

Tabla 9.7

(31

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

= 0.000503

3

(m /s)-

1

2089.2

, ~as medias y desviaciones estandar de las poblaciones no ci I' . . clonicas son: IC omcas y CI-

m

entonces, de acuerdo con las ecua

T aiios

26.00 13.00 8.67 6.50 5.20 4.33 3.71 3.25 2.89 2.60 2.36 2.17 2.00 1.86 1.73 1.63 1.53 1.44 1.37 1.30 1.24 1.18 1.13 1.08 1.04

=

1

0.52

= 2712.6 ~ ~~-~

0.000503

x m31s (32

7430 7061 6900 6267 6000 5971 5565 4744 4240 4060 3706 3682 3220 3130 2737 2675 2489 2414 2367 2350 2246 2230 2070 1804 1796

3

0.00149 (m /s)-

=

6456.3 -

0.494 ~-~ 0.00149

== 6124.8 m3/s

donde los valores de JlYt' ifYI' Jl)12 Y ifY2 se interpo1aron en la tabla 9.6. La funci6n de distribuci6n de ptobabi1idad resulta ser entonces: F(x)

=

e~"--

0.00053 (x-1678.8)

a) Para x

[0.72

+

(0.28)e~,,--O.OOI49(X_61248)]

= 7 500 m3/s, de 1a ecuaci6n 9.64 se tiene: F (7 500) = 0.916

Pot 10 tanto:

lii

(X ~ 7 500 m5/S) == 1-0.916

b) Aquf se requiere un valor de

= 0.084J

x tal que:

F (x) = 0.9833 De 1a ecuaci6n 9.64, por tanteo:

(9.64)

270 Probabilidad y estadfstica en hidrologia x

Aplicabilidad y seleccion de la diIsmibUC.,lOnde probabilidad

271

F (x) PERIODODE RETOR~OT, en

o afios

m3/s

000000 00

~ ~ ~

~ 0

t D (")f"- . .

co " !

0

LO(V)

"" :

N

N

a

0

M

'"

N

~

o

0

0000000 LD

NIO..-N

l I ! ~~ TEaRI CA-=::iI.

L"

'"

"'E

6000

c

5000

o

4000

" d t«n

19 300

9.3 LiMITES DE APLICABILIDAD Y SELECCION DE LA FUN CION DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD

L

v -. .'

.. v. L. L

e_L

2000

0

V

~ L·

0

1000

En la tabla 9.8 se resumen los resultados de los ejemplos 9.2 a 9.6. Se observa que la diferencia entre una y otra funci6n puede ser aprecia ble. En muchos casos las diferencias son mucho mayores que las que resultan aquf, Una selecci6n apresurada de cualquiera de las funciones podna tradu cirse en una estructura sobrediseiiada y costosa 0 subdiseiiada y peligrosa. Por ello, se debe seleccionar la funci6n con cuidado. Enseguida se describen al gunos metodos para hacerlo.

..,/

~

1/

0

N

0

M

0 o;;t

0 I.{)

-

0
0 r---

0
-t-- L. .

--

.-

1

•

0

OJ

io OJ

co

OJ

,-

Ol OJ

1

co

en

Ol

PROBABILIDAD Fix) , en %

Ol

Ol

oi

Ol

OJ

en

Figura 9.9 Distribucion normal. PERIODODE RETOR~,oT, en afios

C')

"

.-

L()Mr--

~

'

o

._

9.3.1 Analisis grafico

tOM

00

00

:~NNM

in

...

e--

N

o "'

o

o 0 000 0 0

000

~

'"

N

~

N

Un primer metodo que se usa para seleccionar la funci6n consiste simple mente en inspeccionar una grafica donde se haya dibujado cada una de las diferentes funcionesjunto con los puntos medidos (figuras 9.9 a 9.13). La fun-

Tabla 9.8 Funci6n de distribuci6n Normal Lognormal

Pearson III

P (X ~

7500 m3/s) afios, %

x para T=60

m 3/s

9

2.3

7 7

270

7 5 4 . 5

5

9160

1000 ~

Gumbel Gumbel dos poblaciones

4.50 6.50 8.40

9071 9827 9900

N

~ g ~,,~ g R g

en

(j)

0)

PROBABILIDAD Fix) , en %

Figura 9.10 Distribucion Log normal.

0)

~

en OJ

Ol Ol

enen

272

Probabilidad y estad{stica en hidrologia

o

o

co o'"

~ .~

.

:?

LO~

C"i Mill,

N

0 C\I

273

Aplicabilidad y seleccion de la distribucion de probabilidad

PERIODODE RETORNOT, en afios

ogg LD

00

000 0 0

N

" ' ~N

0

o o

is

PERIODO DE RETORNO (Afios) co 0

C>

10000

~ ~

'"

o

'"

~i

C 'J N cO '"

~""':""':N

o

M

N

'" '"

0

o

o

~

o o

N

in

o

o o o

~

o

0

s

g

s

N

'"

'"

...

-- r-

0

I M~

,

I

E

TEORICA,

c

" 10000 Cl 9000 o 8000

. .

~ ~ggg (!J

I

9000

'"2000

0

5000

~

~

~. .

TE_tJCA~ I

I 1/

~ IL '\b:,8000 i_'-

~

/

.

j_

.

#/

k !

3000

~L

r"" ~

4000

.~

2000 1000

~

N

I"""

0 • DATOS

~

lJ'l~,.;

"1 ·V

I

"''''6;0,00. CE(;)

o N

Ii.

.~~ 0 M

0

.q-

,0 in

0

.(,0,

0 r-,

0 00

0

0')

'"

0 '"0

'" '"

PROBA81L1DAOFix) , en %

Figura 9.11 Distribuci6n Pearson III.

00

0)

0)

'" '"

'"

' "i '"

'"

o

"~2500 0

1

(!J

\'-'\\J

I~

4000 "

Este es un metodo con un alto grado de subjetividad y, usado aislada mente, puede ser un tanto peligroso. Sin embargo, es muy ilustrativo y reco

.

. s:)'

\"\:0 2000

\~J

v.

0

~

N

o

0

,'I,IS 10OO

rJ

i"'_

•

30Ov

cion de distribucion de probabilidad que se seleccione sera la que se apegue visualmenre mejor a los datos medidos. Este metodo se usa a veces, incluso, para ajustar las funciones de distri bucion de probabilidad a los datos medidos, dibujando en un papel especial para cada funcion dichos datos, escogiendo la funcion para la que el conjunto de puntos sea semejante a una linea recta y finalmente trazando a ojo dicha linea recta para poder hacer las extrapolaciones necesarias,

I

J;

• DATOS

.-t-

r-

V

go a. D

'"

00

en

a

ci

m e

'"

"-

rn

m en

00

'"

'"

en

OJ

<0

00

<0

r-,

00

'"

rn

0>

0>

Ql

n d

a b

le 272 para ser usado con otros metodos, Si 10 aplica un ingeniero con experiencia, puede resultar el mejor de todos.

o

0

0

0

OJ

o

'"

o OJ

o

OJ OJ

o

OJ OJ

c)

OJ OJ

ci

PROBABILIDAD

Figura 9.12 Distribuci6n Gumbel.

9.3.2 Metodo del error cuadnitico minimo (9.65) Este metodo es menos subjetivo que el anterior. Consiste en calcular, para cada funcion de distribucion, el error cuadratico donde x es el r-esimo dato estimado y X es el r-esimo dato calculado con la funcion de distribucion bajo analisis. En la tabla 9.9 se muestran los gastos Oi

Probabilidad y estadisttca en hidrologfa

274

::::~~~~

PERIODO DE RETORNO, en afios

~~

N N

C'")

o

~

o

. U1

10000

N

C')

cv) C')

o

U1

;:>

o

o

N

U1

0

0

o o

;:>

o o

0

N

Tabla 9.9 C') C') C') C'")

0 0

o

NORMAL

U1

x., rn3/s

T arias

9000

TEORICA "\

8000

/

"'!!!.

60 00

E c

i

:n

7430 7061 6900 6267 6000 5971 5565 4744 4240 4060 3706 3682 3220 3130 1.73 2737 1.63 2675 1.53 2489 1.44 2414 1.37 2367 1.30 2350 1.24 2246 1.18 2230 1.13 2070 1.08 1804 1.04 1796

•

I/° il

Q)

c

26 13 8.67 6.50 5.20 4.33 3.71 3.25 2.89 2.60 2.36 2.17 2.00 1.86

Y'

J •

70 00

500 0

«

I

t!J

I

/•

•

•

T.

4000

•

L

3000

.. . il

2000

o

10

• DATOS

1

1000

C

1/ jI ;;

0

~

0

'"":

N

o 0

": o

<.0

o

co O oJ

"'

OJ

o

o

r-s, OJ

0

00

ci

OJ OJ

o

PROBABILIDAD

U1 OJ OJ

o

o

OJ OJ OJ

o

275

Aplicabilidad Y seleccion de la distribuci6n de probabilidad

U1 OJ OJ OJ

r-, OJ OJ OJ

o

c:i

co

OJ OJ OJ

a

Figura 9.13 Distribuci6n Gumbel para dos poblaciones,

;~:~ma~~;i~;ra c~da una de las fun~i?nes de distribuci6n usadas en el subcapf , y os errores cuadratIcos correspondientes. De los resultados c'onsignados en la tabla 9 .9 , se 0bserva que 1as nes . III q~e p~~cen ser mas adecuadas en este caso son las lognormal, funci o-

x, rn3/s

PEARSON III

LOG NORMAL Xe•

(xe-xo)2

97344 7118 6489 327184 6075 680625 5748 269361 5473 277729 5229 550564 5007 311364 3481 4803 4609 136161 4422 131044 4237 281961 4065 146689 3886 443556 3713 339889 3527 624100 3359 467856 3165 456976 2958 295936 2767 160000 36864 2542 3721 2307 46656 2014 1695 140625 1245 312481 654 304164

rn3 Is

(xe-x,,;2

7787 6668 6019 5552 5187 4884 4624 4396 4191 4001 3823 3664 3505 3359 3207 3077 2933 2787 2659 2515 2373 2207 2040 1826 1578

127449 154449 776161 511225 660969 1181569 885481 121104 2401 3481 13689 146689 81225 52441 220900 161604 197136 139129 85264 27225 16129 529 900 484 47524 2369

x" rn3/s

(x,.-xo)'

GUMBEL 2 POBL.

GUMBEL x" rn3/s

(Xe-xo)2

x" rn3/s

(xe-x,i

8521 7789 128881 8416 77284 7222 6783 1190281 6141 576081 6510 972196 315844 25921 7623 5753 264196 5992 55225 7135 152100 5581 5369 398161 75625 6784 267289 4983 976144 5235 280900 6530 4688 769129 4935 175561 105625 6296 541696 4672 64516 4490 256036 6071 396900 4431 2401 4289 5184 5857 1238769 729 4207 4087 36481 5603 1857769 30976 3995 3882 21609 5242 1397124 36 3804 3688 902500 83521 4656 3611 69169 3483 218089 14884 4149 42436 3432 3336 211600 3680 3181 197136 3245 152881 25281 3289 91204 3083 137641 3046 33124 2919 2900 258064 160801 2890 2401 2732 101124 2713 166464 2626 38025 51984 2547 168921 2294 2595 186624 89401 1982 8281 2357 2441 1718 421201 32400 2168 1764 2288 49 1416 872356 11664 194 2122 6084 1142 1218816 10000 170 1970 810 2016400 83521 1089 1391 1771 479 2531281 1022 131044 53824 8 1564 49 3080025 7 165649 599076

2810

I

2033

2108

4327

9.3.3 Pruebas de bondad del ajuste En la teorfa estadfstica, las pruebas de bondad del ajuste mas conocidas Pearson y _urn e . De elIas'. la Pearson III es la que tiene el error cuadratico mas pequeno, aunque las diferencias entre las tres no son muy significativas.

son la x2 y la Kolmogorov-Smirnov. Enseguida se describen de manera breve. Una descripci6n detallada de las bases estadfsticas de estas pruebas se sale del enfoque de este texto. Ellector interesado puede recurrir a la referencia 9.5. 9.3.3.1 Prueba

x2

La prueba x2 es la mas popular. Fue propuesta por Karl Pearson en 1900.

Aplicabilidad

'276

y seleccion de La distribucion

277

de probabilidad

Probabilidad y estadistica en hidrologia Tabla 9.11

Tabla 9.10 Intervalo

Limite Inferior I;

1 2 3 4 5 6

Marca de clase

Limite Superior

s,

0 1400 2800 4200 5600 7000

Funcion de distribucion

Numero observado (J;

1400 2800 4200 5600 7000 8400

700 2100 3500 4900 6300 7700

Normal

0 11 5 3 4 2

F(S;)

F(I;)

E;

2 3 4 5 6

0.087 0.276 0.432 0.82-+ 0.956 0.993

0.017 0.087 0.276 0.432 0.824 0.956

1.75 4.73 3.90 9.80 3.30 0.93

Lognormal

Para aplicar la prueba, el primer paso es dividir los datos en un mimero k de intervalos de clase, como se muestra en la tabla 9.10 para los datos del ejemplo anterior, donde se ha escogido k = 6.

Posteriormente se calcula el parametro estadfstico:

0.021 0.309 0.655 0.851 0.938 0.974

2 3 4 5 6

0 0.021 0.309 0.655 0.851 0.938

(8i

-

(9.66)

Ei)2/Ei

Pearson III 2 3 4 5 6

i=1

donde ()i es el mimero observado de eventos en el intervalo i Y Ei es el mimero esperado de eventos en el mismo intervalo. Ei

0.019 0.466 0.637 0.831 0.933 0.976

0 0.019 00466 0.637 0.831 0:933

n [F (S;) - F (/;)]

i= 1, 2, ...

,k

(9.67)

donde F (S;) es la funci6n de distribuci6n de probabilidad en el limite superior del intervalo i, F (/;) es la misma funci6n en el Ifrnite inferior y n es el mimero de eventos. En la columna 5 de la tabla 9.11 se muestran los valores Ei para las cinco funciones de distribuci6n vistas anteriormente. Una vez calculado el parametro D para cada funci6n de distribuci6n considerada, se determina el valor de una variable aleatoria con distribuci6n x2 para II = k - 1 - m grados de libertad y un nivel de significancia ex, donde m es el mimero de parametres estimados a partir de los datos. Para aceptar una funci6n de distribuci6n dada, se debe cumplir: D <-

2

X I-a. k-I-

(9.68)

m

EI valor de

16.47 0.53 2.01 1.54 0.74 1.52 1.34 7.68

0048 lLl8 4.28 4.85 2.55 1.08

0048 0.00 0.12 0.71 0.83 0.78 2.92

24.42

se calcula como: Ei =

0.53 7.20 8.65 4.90 2.18 0.90

X21_a, k-I-m

se obtiene de tablas de la funci6n de distribu-

Gumbel

1 2 3 4 5 6

0.074 0.324 0.614

0.002 0.074 0.324

1.80 6.25 7.25

1.80 3.61 0.70

0.810 0.913 0.961

0.614 0.810 0.913

4.90 2.58 1.20

0.74 0.79 0.53 8.17

23.98

Gumbel dos poblaciones

2 3 4 5 6

0.228 00408 0.543 0.654 0.871 0.958

0.070 0.228 0.408 0.543 0.654 0.871

3.95 4.50 3.38 2.78 5.43 2.18 22.22

b

1.75 8.31 0.31 4.72 0.15 1.23

24.36

k

E

Ei/E;

24.41

E = n = 25

D=

(IJ; -

Intervalo

3.95 9.39 0.78 0.02 0.37 0.0l 14.52

ci6n

X2,

como la 4 del apendice A.

278


Los valores de la a que se usan normalmente son delIO,S y 1%. El valor de a, en la teoria estadfstica, es la probabilidad de rechazar la hipotesis nula Ho: La funci6n de distribuci6n de probabilidad es

5)

(a, (3, ...

)

(9.69)

cuando en realidad es cierta, es decir, de cometer un error tipo I. En Ia ecua ci6n 9.69, 5) es la funci6n de distribuci6n de probabilidad considerada y a, {3, . . . son sus parametres. Sin embargo, a no se puede hacer arbitrariamente pequefia sin incremen tar al mismo tiempo la probabilidad de cometer un error tipo II, que es el de aceptar Ho cuando en realidad no es verdadera. El valor mas cormin de a es de 0.05 (referencia 9.5); para este nivel de significancia suelen aceptarse varias funciones de distribucion de probabilidad. De ser el caso, y si se usa solamente este criterio para aceptar una funcion, se escogerfa la que tiene el menor valor de D. Asf, seleccionando un nivel de significancia de a = 0.05, se tiene, para funciones de dos parametres (tabla 3 del apendice A):

Aplicabilidad y seleccion de la distribucion de prohabilidad

279

Para decidir entre las funciones aceptadas, i.e, lognormal y Pearson III, se comparan sus respectivos valores de D, con 10 que se concluiria que la Pear son III es la que mejor se ajusta a los datos. Este tipo de analisis debe hace.rse, sin embargo, con cierto cuidado, pues dado que la funcion Pearson I~I.bene mas parametres que la lognormal, la comparac~~n no es. del todo vahda. Por otra parte, siempre se debe tener precaucion al aphcar la prueba, pu~s sus resultados dependen mucho de la selecci6n de los intervalos y del tamano de la muestra, e incluso pueden resultar contradictoriospara una misma muestra (referencia 9.5). Sus resultados deben tomar~~ con ~uc~a r~~erva, en es~~ cial cuando se usan para discriminar una funcion de distribucion de probabili dad de otra y son, en cambio, mucho mas ritiles solo para compararlas. 9.3.3.2 Prueba Kolmogorov-Smirnov

Esta prueba consiste en comparar el maximo valor absoluto de la diferencia D entre la funcion de distribucion de probabilidad observada Fa (Xm) Y la estimada F (Xm) (9.73)

(9.70) para funciones de tres parametres: (9.71)

con un valor crftico d que depende del numero de datos y el nivel de signifi cancia seleccionado (tabla 5 del apendice A). Si D < d, se acepta la hip6tesis nula 9.69. Esta prueba tiene la ventaja sobre la X2 de que cO~fara l~.sd~tos con el modelo estadfstico sin necesidad de agruparlos. La funcion de distribu ci6n de probabilidad observada se calcula como (ecuacion 9.29):

y para funciones de cuatro parametres estimados de los datos: F(x)=l-(9.72)

Comparando X20.95.3 con los valores de D correspondientes a las funcio nes normal, lognormal y Gumbel, que tienen dos parametres, se aceptarfa so lamente la funcion lognormal para este nivel de significancia. Tarnbien se aceptarfa la funcion Pearson III, que tiene tres parametres (2.92 < 5.99) y se rechazana la Gumbel de dos poblaciones, que tiene cuatro parametres (14.52 > 3.84). Notese que al rechazar una funcion dada se incluyen los parametres esti mados; es decir, en este caso, por ejemplo, se dice "se rechaza la funci6n de distribuci6n normal con f.I, = 3886, a = 1825.9", pero podna aceptarse esta misma funcion con otros valores de los parametres, aunque esto nor malmente no ocurre si dichos parametres se calculan con los metodos

vistos.

m

(9.74)

a

m

n+l

donde m es el mimero de orden del dato Xm en una lista de mayor a menor y n es el mimero total de datos. Para el caso del ejemplo anterior se ha elaborado la tabla 9.1~. En la columna 2 se han escrito los gastos maximos anuales registrados, ordenados de mayor a menor, en la 3 se calculan los valores de la funcion de distribucion de probabilidad observada segun la ecuaci6n 9.74; en l~s co lumnas 4, 6, 8, 10 Y 12 se tienen los valores de F (xm) calculados segun las cinco funciones de distribucion teoricas vistas anteriormente y en las 5, 7, 9, 11 Y 13 se muestran los valores absolutos de las diferencias entre Fa (Xm) Y . / d di Se ha encerrado en un rectangulo el valor de D para cada funcion e IStribucion. Como se puede observar, segun esta prueba se aceptarfan todas las funciones de distribuci6n consideradas para un nivel de significancia a = 0.05,

F (Xm)·

N

;:;:;--

::::_

281

Aplicabilidad y seleccion de la distribucion de probabilidad

~~~~S '2

r.:'''-c3 N

::::_

-- -

'-l EV ~S "o"

<

para el cual el valor crftico des 0.26 con n = 25 (tabla 5 del apendice A). La funcion de distribucion con el menor valor de D es la Gumbel por 10 que, segun esta prueba, esta funci6n seria la preferible. 9.3.4 Selecckin de la funcion de distribuci6n En la tabla 9.13 se resumen los resultados de las pruebas efectuadas en el apar tado 9.3.3. En esta tabla se han calificado las funciones segun el orden de preferencia indicado por cada prueba, dando 1 ala "mejor" y 5 ala "peor". De estos resultados se concluye que la funci6n que mejor se ajusta a los datos es la Pearson III. Este resultado puede corroborarse mediante una inspecci6n de las figuras 9.9 a 9.13. La funcion seleccionada seria entonces la Pearson III en este caso, aunque cabe observar que la diferencia de esta funcion con la lognormal y la Gumbel es poco significativa a pesar de que la ultima fue re chazada por la prueba x2• 9.3.5 Limites de aplicabilidad Al extrapolar los gastos maximos anuales 0 cualquier otra variable hidrologi ca, aun cuando se haga mediante una cuidadosa seleccion de una funci6n de distribucion de probabilidad, debe siempre tenerse en cuenta la credibilidad y homogeneidad de los datos y la longitud del registro. Obviamente, si se sa be que en una estaci6n dada existen las condiciones necesarias para que se presenten errores de consideraci6n en los registros, los resultados de cual quier analisis estadistico deben tomarse con suma reserva. Aun cuando los datos son confiables, los analisis estadfsticos del tipo visto anteriormente de ben usarse, en general, s610cuando no esten afectados por cambios en las ca racterfsticas hidrologicas de la cuenca provocados por presas, urbanizacion,

Tabla 9.13 Error cuadratico Funci6n Normal Lognormal Pearson III Gumbel Gumbel 2 poblaciones .

1.

BIBLIOTECA

orov minimo 4 3 1

2

X2 se rechaza 2 1

se rechaza

Kolmog 4 3 2


282

Apendice

Tabla 9.14 Longitud del registro, en alios, necesaria para estimar avenidas con un intervalo de confianza de 0.05 y periodo de retorno T (referencia 9.8) T en alios 10 50 100

Error aceptable 10% 25% 90 110 115

18 39 48

desvfos, etc. Por otra parte, es natural pensar en que las predicciones son mas confiables a medida que aumenta la longitud de los registros. En latabla 9.14 se muestra la longitud del registro, en afios, necesaria para predecir avenidas con un intervalo de confianza de 0.05 (referencia 9.7) para diferentes perio dos de retorno T. En todo caso, los resultados de los analisis estadfsticos, como en casi to da la hidrologfa, no deben aceptarse dogmaticamente. El criterio y el juicio ingenieril deben siempre estar presentes. Aun cuando a veces se recomienda no usar registros de menos de, por ejemplo, 20 afios para analisis estadfsticos (referencia 9.8), con frecuencia no hay otra alternativa, yes ahf donde el pa pel del ingeniero adquiere clara importancia sobre los metodos del analisis. BIBLIOGRAFIA 9.1 Aleksandrov, A. D., Kolmogorov, A. N., Laurent'ev, M. A. (eds.) Mathematics. cap. XI, trad. S. H. Gould. The M. 1. T. Press, 1963. 9.2 Kite, G. W. "Frequency and risk analysis in hydrology". Water Res. Publ, Co lo. St. Univ. Fort Collins, 1977. 9.3 Gumbel, E. J. Statistics of Extremes. Columbia Univ. Press, 1958. 9.4 Abramowitz M., Stegun, 1. A. Handbook of mathematicalfunctions. Dover. New York, 1965. 9.5 Benjamin, J. R., Cornell, C. A. Probability, statistics and decision for civil engi neers. McGraw-Hili. New York, 1970. 9.6 Gonzalez Villareal, F. J. "Contribucion al analisis de frecuencias de valores ex tremos de los gastos maximos en un rio". Pub!. 277. Instituto de Ingeniena, UNAM, Mexico, dic. 1970. 9.7 Benson, M. A. "Characteristics of frequency curves based on a theoretical 1000 - year record", U. S. Geol. Surv. Water-Supply Pap. 1543-A, pp. 51-74,1952. 9.8 Linsley, .R. K., Kohler, M. A., Paulhus, J. L. H. Hydrology for engineers. Znd. ed. McGraw-Hill, 1975.

* Datos tornados de Manual de formulas y tablas matematicas. Spiegel, M.R. McGraw-Hill. Serie Schaum, excepto donde se indique 10 contrario. 283

284

Apendice A

Tabla A.I

Apendice A

285

Areas bajo la curva normal de F (z)

00

Tabla A.2

a z

La funci6n gamma

1

.jh-

~

z

0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.5000 0.5398 0.5793 0.6179

0.5040 0.5438 0.5832 0.6217

0.6554

0.5 0.6.

0.6915 0.7258

0.7 (J.8 0.9

I

o

z

Definici6n de la funci6n gamma fen) para n

3

4

5

6

7

8

0.6591

0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628

0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664

0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700

0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736

0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772

0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808

0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844

0.5359 0.5754 0.6141 0.6517 0.6879

0.6950 0.7291

0.6985 0.7324

0.7019 0.7357

0.7054 0.7389

0.7088 0.7422

0.7123 0.7454

0.7580 0.7881 0.8159

0.7157 0.7486

0.7612 0.7910 0.8186

0.7642 0.7939 0.8212

0.7190 0.7518

0.7224 0.7549

0.7673 0.7967 0.8238

0.7704 0.7996 0.8264

0.7734 0.8023 0.8289

0.7764 0.8051 0.8315

0.7794 0.8078 0.8340

0.7823 0.8106 0.8365

0.7852 0.8133 0.8389

1.0 I.I 1.2 1.3 1.4

0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192

0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207

0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222

0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236

0.8508 0.8729 0.8925 0.9099· 0.9251

0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265

0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279

0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292

0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306

0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319

1.5

0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713

0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719

0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726

0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732

0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738

0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744

0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750

0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756

0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761

0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918

0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920

0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922

0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925

0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927

0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929

0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931

0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932

0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934

0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936

2.5 2.6 2.7 2.8

0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981

0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982

0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982

0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983

0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984

0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984

0.9948 0.996J 0.9971 0.9979 0.9985

0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985

0.9951 0.9963 0.9973 0.9980

0.9952 0.9964 0.9974 0.9981

0.9986

0.9986

0.9990 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997

0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998

0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

1.6 1.7 1.8 1.9

2.9 3.0 3. I 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997

0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9997

2

0.9987 0.9991 0.9994 0.9995 0.9997

0.9988 0.9991 0.9994 0.9996 0.9997

0.9988 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997

0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997

0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997

0.9989 0.9992 0.9995 0.9996 0.9997

0.9998 0.9998 0.9999

0.9998 0.9998 0.9999

0.9998 0.9999 0.9999

0.9998 0.9999 0.9999

0.9998 0.9999 0.9999

0.9998 0.9999 0.9999

0.9998 0.9999 0.9999

0.9998 0.9999 0.9999

0.9999 1.0000

0:9999 1.0000

0.9999 1.0000

0.9999 1.0000

0.9999 1.0000

0.9999 1.0000

0.9999 1.0000

0.9999 1.0000

9

n

>0

>0

F6rmula de recurrencia r(n r(n

2

3

+ +

nr(n) n!

1) 1)

0, 1, 2, ...

n

SI

<0

Funci6n gamma para n Cuando n

4

donde O!

< 0 la funci6n gamma puede ser definida como r(n + 1)

r0) =

n

Representaci6n grafica de la funci6n gamma

roo

5

/J

4 3

Iv

r'-'

""'I -3 -2

-1

V

\

1 5 -4

v

2 \

1 1-1

2

31 4

5

h -1-2

.._ t--

-3

11'\ :-4 If

\I~5

Algunos valores de la funci6n gamma 5

1

r(-) 2

}if

Apendice A

286

6

rem

7

r( - m

1

+ -)2

=

1'3'5'

. '(2m - 1) 2m

1

+ -) = _

(-

:_

l)m2m :

F

::j

m = 1,2,3,

-

...

m = 1, 2, 3, ...

Tabla A.3 Funcion gamma

rex)

=

i~

1 ~ x ~ 2

tX-1e-

1dtpara Para poder obtener valores adicionales empleese la formula

x

rex)

1.00 1.01 1.05 1.02 1.06 1.03 1.07 1.04 1.08 1.09

1.00000 0.99433 0.97350 0.98884 0.96874 0.98355 0.96415 0.97844 0.95973 0.95546

1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15

0.95135 0.94740 0.94359 0.93993 0.93642 0.93304

1.17 1.18 1.19 1.16

0.92670 0.92373 0.92089 0.92980

1.20 1.21 1.22 1.23 1.24

0.91817 0.91558 0.91311 0.91075 0.90852

x

I

287

Tabla A.3 (Continuaci6n).

r:: ..J7f

1'3'5' . '(2m - 1)

2

Apendice A

r (x +

1)

rex)

1.25 1.26 1.27 1.30 1.28 1.31 1.29 1.32

0.90640 0.90440 0.90250 0.89747 0.90072 0.89600 0.89904 0.89464

1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39

0.89338 0.89222 0.89115 0.89018 0.88931 0.88854 0.88785

1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49

0.88726 0.88676 0.88636 0.88604 0.88581 0.88566 0.88560 0.88563 0.88575 0.88595

=

xr (x)

x

reX)

x

rex)

1.50 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59

0.88623 0.88659 0.88704 0.88757 0.88818 0.88887 0.88964 0.89049 0.89142 0.89243

1.76 1.77 1.78 1.79

0.92137 0.92376 0.92623 0.92877

1.60 1.61 1.62 "1.63

0.89352 0.89468 0.89592 0.89724

1.80 1.81 1.82 1.83 1.84 1.85 1.86 1.87 1.88 1.89

0.93138 0.93408 0.93685 0.93969 0.94261 0.94561 0.94869 0.95184 0.95507 0.95838

1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1.69

0.89864 0.90012 0.90167 0.90330 0.90500 0.90678

1.70 1.71 1.72 1.73 1.74 1.75

0.90864 0.91057 0.91258 0.91467 0.91683 0.91906

1.90 1.91 1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99

0.96177 0.96523 0.96877 0.97240 0.97610 0.97988 0.98374 0.98768 0.99171 0.99581

2.00

1.00000

Apendice A

288

VaLorespercentiles (X;) de La distribucion ji-cuadrado con n grados de Libertad (area sombreada = p).

2 XO.025

2 XO.01

2 XO.OO5

0.0039 0.103 0.352 0.711

0.0010 0.0506 0.216 0.484

0.0002 0.0201 0.115 0.297

0.0000 0.0100 0.072 0.207

1.61 2.20 2.83 3.49 4.17

1.15 1.64 2.17 2.73 3.33

0.831 1.24 1.69 2.18 2.70

0.554 0.872 1.24 1.65 2.09

0.412 0.676 0.989 1.34 1.73

6.74 7.58 8.44 9.30 10.2

4.87 5.58 6.30 7.04 7.79

3.94 4.57 5.23 5.89 6.57

3.25 3.82 4.40 5.01 5.63

2.56 3.05 3.57 4.11 4.66

2.16 2.60 3.07 3.57 4.07

14.3 15.3 16.3 17.3 18.3

11.0 11.9 12.8 13.7 14.6

8.55 9.31 10.1 10.9 11.7

7.26 7.96 8.67 9.39 10.1

6.26 6.91 7.56 8.23 8.91

5.23 5.81 6.41 7.01 7.63

4.60 5.14 5.70 6.26 6.84

23.8 24.9 26.0 27.1 28.2

19.3 20.3 21.3 22.3 23.3

15.5 16.3 17.2 18.1 19.0

12.4 13.2 14.0 14.8 15.7

10.9 11.6. 12.3 13.1 13.8

9.59 10.3 11.0 11.7 12.4

8.26 8.90 9.54 10.2 10.9

7.43 8.03 8.64 9.26 9.89

34.4 35.6 36.7 37.9 39.1

29.3 30.4 31.5 32.6 33.7

24.3 25.3 26.3 27.3 28.3

19.9 20.8 21.7 22.7 23.6

16.5 17.3 18.1 18.9 19.8

14.6 15.4 16.2 16.9 17.7

13.1 13.8 14.6 15.3 16.0

11.5 12.2 12.9 13.6 14.3

10.5 11.2 11.8 12.5 13.1

43.8 55.8 67.5 79.1

40.3 51.8 63.2 74.4

34.8 45.6 56.3 67.0

29.3 39.3 49.3 59.3

24.5 33.7 42.9 52.3

20.6 29.1 37.7 46.5

18.5 26.5 34.8 43.2

16.8 24.4 32.4 40.5

15.0 22.2 29.7 37.5

13.8 20.7 28.0 35.5

90.5 101.9 113.1 124.3

85.5 96.6 107.6 118.5

77.6 88.1 98.6 109.1

69.3 79.3 89.3 99.3

61.7 71.1 80.6 90.1

55.3 64.3 73.3 82.4

51.7 60.4 69.1 77.9

48.8 57.2 65.6 74.2

45.4 53.5 61.8 70.1

43.3 51.2 59,2 67.3

2 XO.99

x5.975

2 XO.95

XO.90

2 XO.75

2 XO.50

2 3 4

7.88 10.6 12.8 14.9

6.63 9.21 11.3 13.3

5.02 7.38 9.35 11.1

3.84 5.99 7.81 9.49

2.71 4.61 6.25 7.78

1.32 2.77 4.11 5.39

0.455 1.39 2.37 3.36

5 6 7 8 9

16.7 18.5 20.3 22.0 23.6

15.1 16.8 18.5 20.1 21.7

12.8 14.4 16.0 17.5 19.0

11.1 12.6 14.1 15.5 16.9

9.24 10.6 12.0 13.4 14.7

6.63 7.84 9.04 10.2 11.4

4.35 5.35 6.35 7.34 8.34

2.67 3.45 4.25 5.07 5.90

10 11 12 13 14

25.2 26.8 28.3 29.8 31.3

23.2 24.7 26.2 27.7 29.1

20.5 21.9 23.3 24.7 26.1

18.3 19.7 21.0 22.4 23.7

16.0 17.3 18.5 19.8 21.1

12.5 13.7 14.8 16.0 17.1

9.34 10.3 11.3 12.3 13.3

15 16 17 18 19

32.8 34.3 35.7 37.2 38.6

30.6 32.0 33.4 34.8 36.2

27.5 28.8 30.2 31.5 32.9

25.0 26.3 27.6 28.9 30.1

22.3 23.5 24.8 26.0 27.2

18.2 19.4 20.5 21.6 22.7

20 21 22 23 24

40.0 41.4 42.8 44.2 45.6

37.6 38.9 40.3 41.6 43.0

34.2 35.5 36.8 38.1 39.4

31.4 32.7 33.9 35.2 36.4

28.4 29.6 30.8 32.0 33.2

25 26 27 28 29

46.9 48.3 49.6 51.0 52.3

44.3 45.6 47.0 48.3 49.6

40.6 41.9 43.2 44.5 45.7

37.7 38.9 40.1 41.3 42.6

30 40 50 60

53.7 66.8 79.5 92.0

50.9 63.7 76.2 88.4

47.0 59.3 71.4 83.3

70 80 90 100

104.2 116.3 128.3 140.2

100.4 112.3 124.1 135.8

95.0 106.6 118.1 129.6

I

.-

XO.05

2

XO.995

289

Tabla A.S Valores criticos d para la prueba Kolmorogov-Srnirnovde bondad del ajuste*

Tabla A.4

n

Apendice A

2

2

XO.25

2 XO.IO

0.102 0.0158 0.575 0.211 1.21 0.584 1.92 1.06

2

Tamafio de La muestra

a = 0.10

a = 0.05

a = 0.01

5 10 15 20 25 30 40

0.51 0.37 0.30 0.26 0.24 0.22 0.19

0.56 0.41 0.34 0.29 0.26 0.24 0.21

0.67 0.49 0.40 0.35 0.32 0.29 0.25

n grande

1.221F

1.361F

1.631F

*Tomada de la referencia 9.5.

Apendice

B

Regresi6n y correlaci6n

B.1 REGRESION LINEAL SIMPLE Uno de los modelos mas simples y comunes en la hidrologia esta basado en la suposicion de que dos variables se relacionan en forma lineal. En gene ral, el objetivo de un modelo de esta naturaleza es poder estimar el valor de una variable, que se denomina variable dependiente, a partir del valor de la otra, que se llama variable independiente. Ejemplo B.l. En la tabla B.l se muestra el escurrimiento anual y la precipita cion anual de 1966 a 1977 en la estacion hidrometrica Altamirano, sobre el rio Tzanconeja, Chis. yen la estacion climatol6gica del mismo nombre. LJa mando x a la precipitaci6n y y al escurrimiento, se desea saber si un modelo de la forma: y=a+f)x

(B. 1)

Tabla B.1 Datos de la estaci6n Altamirano, Chis. ana 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977

y = escurrimiento anual, m 0.557 0.436 0.562 0.776 0.600 0.391 0.359 0.567 0.635 0.495 0.580 0.325 291

x = lluvia anual, m 1.637 1.655 1.884 2.018 1.536 1.349 1.327 1.555 1.405 1.335 1.391 1.133

Apendice B

292

293

Regresi6n lineal simple

representa adecuadamente la relaci6n entre las dos variables y cuales son los valores de a y (3 que hacen que la representaci6n sea la mejor posible. Si se dibujan los datos en una grafica, como se muestra en la figura B.l, se observa que, para cualquier funci6n del tipo de la ecuacion B.l, se cometera un error e, en la predicci6n para un valor Xi de la variable independiente, cuyo valor es: (B.2) donde Yi es el valor de y estimado por la ecuaci6n B.l. Para encontrar los valores de a y (3 que hacen que la representaci6n de la relaci6n entre X y Y sea la mejor posible, conviene hacer que M

=

(B.3)

1:e?

sea mfnimo. De este modo se evita, por ejemplo, que los errores positivos y negativos se compensen, como sucederfa si se tratara de hacer 1:ei = 0 6 las dificultades algebraicas que aparecen al tratar de minimizar 1:!e, I· Para que M sea mfnimo, se debe cumplir que: aM aa

0

(B.4)

=0

(B.S)

=

y que: aM a(3

--

Sustituyendo (B.3), (B.2) Y (B.l) en (B.4) y (B.S) se obtiene: aM aa aM a(3

--

21: [a

21:x; [a

+ (3x; -

y;J

+ (3x; - YiJ

(B.6)

= 0

I!l

ci

0

(B.7)

o bien:

o

(B.8)

~

o

(B.9)

+-

~ I!l

o

~ o

0

Apendice B

294

(B.8) Y (B.9) se denominan ecuaciones normales. Su solucion, en termi nos de ex y {3, es: I:y; I:xT -

ex

=

nI:xT -

(I:x;)

(B. 10)

2

- I:x; I:y;

nI:x;y;

{3

I:x;y; I:x;

(I:x;)

nI:xT -

=

12

= 28.37;

I:x;y;

ex -

{3

8.289

=

3.009 8.289

=

-0.028

En la figura B.1 se muestran los datos y la recta de regresi6n correspon diente. Siempre que se realice un ajuste por regresi6n como el anterior, con viene determinar que tan bien se ajusta la recta a los puntos medidos, 0 dicho en otras palabras, que tanta dispersi6n existe entre los puntos en torno a la recta. Para ello se calcula el coeficiente de correlaci6n como (referencias B.1 y B.2) ax (B.12) p = {3 ay

donde ax

0.251 0.124

=

(0.251) (0.124)

=

0.735

En general, un coeficiente de correlaci6n de 0.8 6 mayor es aceptable, aunque esto no debe tomarse dogmaticamente.

B.2 REGRESION LINEAL MULTIPLE Lo anterior puede extenderse ados 0 mas variables dependientes. Por ejem plo, para el caso de dos variables dependientes, XI y X2, el modelo lineal adop ta la forma: (B.B)

donde ex, {3I Y {32 son los parametres

a encontrar.

En este caso, es posible demostrar que las ecuaciones normales son (refe rencia B.2): (B. 14) I:(xlY)

= exI:xI +(3II:(XI)2+{32I:(Xlx2)

(B. 15)

I:(xlY)

= exI:x2+{3II:(XIX2)+{32I:(X2)2

(B.16)

cuya soluci6n proporciona los valores de ex, {31 y {32 y el coeficiente de co rrelaci6n multiple es (referencia B.2):

desviacion estandar de x. desviacion estandar de y.

(0.363)

0.363.

+ 0.363 X

-0.028

ces dicha correlacion no es aceptable. En el caso del ejemplo, se tiene:

= 9.793

Asi, la ecuacion de regresi6n resulta:

y

enton

p

Por 10 tanto, de las ecuaciones (B. 10) y (B.11): -0.229

El coeficiente de correlacion p varia entre - 1 Y + 1. Cuando su valor se acerca a-I (en el caso de (3 < 0) 0 a + 1 (cuando (3 > 0), se dice que hay una buena dependencia 0 correlaci6n lineal entre x y y. Cuando p-O,

y por 10 tanto:

332.152 I:xT

295

(B.ll)

2

Asi, para el ejemplo en cuesti6n se tiene: n

Regresi6n lineal multiple

R =

(1 -

(B.17)

296

Apendice B

donde S2

yixl' X2

1

= n-3 --

Regresion no lineal

297

Por 10 tanto, dichas ecuaciones resultan: !;(yi -

Yi)2.

14a+21.34,61 +34.38,62 21.34a+ 108.74,6,+43.37,62

S~ = variancia de y,

34.30a+43.37,6j +86.99,62

Yi = valor estimado de y para Xli Y X2i' Ejemplo B.2. Se desea saber si en una cierta region el gasto maximo medio anual *, el area de la cuenca Y la altura media de precipitacion maxima en 24 h se pueden correlacionar linealmente, Yque tan bueno es el ajuste. Los datos se presentan en la tabla B.2.

a = 2.013;

,6,

=

15.6

Los coeficientes de las ecuaciones (B.14) a (B. 16) son:

1 026.77

= 14

!;y

;=

!;XI !;X2 !;(XlY) !;(Xl)2

304.3 = 2l.34 = 34.30 1465.94 = 108.74

!;(XlX2) !;(xzY)

= 43.37

2

= 86.99

!;(X2)

=

=

gasto maximo medio x, media anual, 102m3/s precipitacion

R = (1-

15.5 8.5 85.5 105.0 24.8 3.8 l.8 3.6 18.0 l.9 8.8 16.5 8.3 2.8

13.l3;

,62 = -0.12

15.6 . )112 = 0.9923 1 026.77

Se observa que existe una buena correlacion entre las tres variables. Las ecuaciones (B. 14) a (B.16) se pueden generalizar a mas de dos varia bles independientes; para n variables independientes, el modelo es de la forma: =

area de La x2 = aLtura cuenca, 103 km2 de max. en 24 h, cm

1 2 3 4 5 6 7 11 8 12 9 l3 10 14

628.04

por 10 que el coeficiente de correlacion multiple es:

628.04

Tabla B.2 Estacion y

1465.94

Resolviendo el sistema, resulta:

Solucion

n

304.30

l.25 0.87 5.69 8.27 l.62 0.18 0.15 0.18 1.40 0.15 0.30 0.87 0.32 0.09

l.7 2.1 l.9 l.9 2.1 2.4 3.2 2.8 2.7 2.7 2.9 2.1 2.9 2.9

(B. 17a)

Y las ecuaciones normales son:

(B.17b) Ex,.)'

Cuando las variables no se relacionan en forma lineal, es B.3 REGRESION NO LINEAL de ser, por ejemplo, en el caso de dos variables x y y:

osible usar los con ceptos anteriores para determinar una ecuacion de regresion, cuya forma pue

* Es decrr,

el promedio de los gastos maximos anuales.

Y = a xi3

(B.I8)

298

Apendice B

Si se obtienen logaritmos de la ecuacion B.18: Iny

=

Ina

+

(3 lnx

(B. 19)

Regresion no lineal

299

En los casos en que se desea ajustar a los puntos medidos un polinomio de grado n (B.25)

Definiendo y'

= In y

a

= In a

x'

In

=

se puede aplicar la metodologfa descrita para el caso de una linea recta. En este caso, las ecuaciones normales resultan:

x

se tiene: y'

=

a

+

(3x'

(B.21) Analogamente es posible hacer analisis de correlacion no lineal multiple. Por ejemplo, en el caso de dos variables independientes, se podrfa establecer la ecuacion: (B.22) Tomando logaritmos de la ecuacion B.22:

=

In a+(31 In XI

+(32 In

X2

(B.23)

(B.24) x{ Xz

a

I:xy

aI:x

I:xny

= In y = In Xl = In X2 = In a

La ecuacion (B.24) es la de un plano en los ejes Xl, xi y y' y su analisis serfa similar al correspondiente a la correlaci6n lineal multiple.

+ (31I:x + (32I:X2+ . . . +

+ (31I:x2 + (32I:X3 + (B.26) aI:xn

+ (31I:x'n-'-I (32'<"'xn +2+

+ Tabla B.3 i

Altura de escala, m

Casto m31s

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2.45 1.51 1.48 0.78 5.80 6.00 4.16 5.58 3.80 4.08 2.63 1.11 1.01 0.71 0.51 0.52 0.50 2.02 1.72 1.92 1.35 1.28 1.40

531 294 288 159 1635 1705 1089 1560 937 1013 616 210 201 146 120 111 81 449 369 422 266 247 280

11

o bien:

donde y'

an

(B.20)

que es una ecuacion lineal, que puede analizarse de manera analoga a como se hizo en la regresi6n lineal simple. El resultado serfa a y (3; el valor de a (ecuaci6n B.18) sera entonces:

In y

I:y

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

(3nI:xn

... + (3nI:xn+ I . . . +(3'
300

Apendice B

Regresion no lineal

Ejemplo B.3. En la estaci6n hidrometrica El Colorado, sobre el rio Lacantum, Chis., se han medido, en 1976, las alturas de escala y los gastos mostrados en la tabla B.3. Determinar una curva media que relacione la altura de escala con el gasto

><

C')

I

0

a) Usando un modelo de la forma B.18

00

co

f/)

o :"Q

b) Usando un polinomio de segundo orden (modelo B.25)

I;y' I;(x')2 E(x'y') Ex'

I;(ln E(ln I;(ln I;(ln

c-><

M E

.8

I

+

0

E

0

(j)

0 0

0

~

.8 c

= altura de escala en m.

Entonces, usando el modelo lineal B.20 se tienen los siguientes coeficientes de las ecuaciones normales: y

0 ><

::J

0..

•

II :>.

I"-

c:i

f/)

N

r-,

f/)

= gasto en m3/s,

00

X l"I"-

"0

Q)

Solucion a) Sea x

301

x

f/)

'"

(. 9

(j)

r...:

><

I :>.

0 0 0 C')

y) = 12.498 x)2 = 826.519 x In y) = 89.413 x) = 136.378

n = 23 0.901 0.775 De las ecuaciones B.IO y B.ll, 12.498 x826.519 - 89.413 X 136.378 23 x826.519 - (136.378)2 -1864.132 410.978 (3

E

o o

m'"

= -4.536

(.) f/)

Q)

23 X 89.413 -136.378x

12.498

410.978

Q)

"0

0.857

•

~

.3 (.)

Q)

Por 10 tanto, de la ecuaci6n B.21: a = e -4.536 = 0.0107

o L.O

y el modelo es: y

=

0.0107

xO.857

o

Apendice B

302

551048 A642

con un coeficiente de correlaci6n ax

p = (3 = ay

0.901

0.857 --

0.775

=

0.996 . 111111111,.11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

.

Se observa una excelente correlaci6n entre el modelo y los datos. Esto se puede yerificar visualmente en la grafica de la figura B.2.

=

an + {3, I:x + {32I:x2 aI:x + {3,I:x2 + {32I:X3 aI:x2 + {3,I:x3 + {32I:x4

UIUIIIIIIIIIIIIII~II.IIIIIIIIIIIIIIIII

D.123900028979

LA EDICION CONSTA DE 1000 EJEMPLARES Y SOBRANTES PARA REPOSICION 517

y se tiene: n I:y I:x I:x2 " I:x3 I:x4 I:xy I:x2y

6003

ESTA OBRA SE TERMINO DE IMPRIMIR EL DiA 6 DE MAYO DE 1992, EN LOS TALLERES DE GRUPOIMPRESA SA LAGO CHALC9 230, COL. ANAHUAC MEXICO, D.F.

b) Las ecuaciones normales son en este caso (ver ecuaci6n (B.26»:

I: y I:xy I:x2y

1111111111111111111111111111111

=

\

23 52.38 12.729 12,825,097 1.70099 X 10 10 2.50982 X 1013 48682.46 62,334,105

El sistema de ecuaciones es entonces: 23a + 1.27XI04{3, 1.27 X 104 a + 1.28 X 107 {3, 1.28 X 107 a + 1.70xlOlO {3,

+ 1.28X107{32 = 52.38 + 1.70xl01O {32 = 4.87x104 + 2.51xlO'3 {32 = 6.23x107

y su soluci6n es, salvo errores de redondeo: a {3, {32

Asi, el modelo resulta:

0.079 4.77xlO-3 -7.91 X 10-7

<,

9000

9000 10000 9800 9900

0.9710 0.9840 0.9822 0.9831

8000 7000

Fundamentos de Hidrologia de Superficie - Aparicio

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