METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE DE LA RESPUESTA
Optimización de procesos prod!ctos !ti"izando e#perimentos dise$ados
RA%MO&D '( M%ERS Virginia Virginia Polytechnic University, Department of Statistics, Stat istics, Blacksburg, VA
DOUGLAS C( MO&TGOMER% Arizona State University, Uni versity, Department of Inustrial !ngineering, !n gineering, "empe, "empe, A#
C'RISTI&E M( A&DERSO&)COO* $os Alamos %ational $aboratory, $os Alamos, %&
"abla e contenio 1. INTRODUCCIÓN.......................................................................................................3 1.1
METOD METODOLO OLOGÍA GÍA DE LA LA SUPE SUPERF RFICI ICIE E DE RESP RESPUES UESTA TA.... ......... ............ ............... ............... ........3 .3
1.1.1 Aproximació !" #a$ %&cio"$ !" r"$p&"$'a.................................................( 1.1.) La a'&ra#"*a $"c&"cia# !" RSM.................................................................+ 1.1.3 O,-"'io$ / ap#icacio"$ '0pica$ !" RSM.....................................................1) 1.1.( RSM / #a Fi#o$o%0a !"# M"-orami"'o M"-orami"'o !" #a Ca#i!a!......................... ............. 13 1.) DISEO 2 FORMULACIÓN DEL PRODUCTO PRO4LEMAS PRO4LEMAS DE ME5CLA6... ME5CLA6. ..1( 1( 1.3 DISEO RO4USTO 2 ESTUDIOS ESTUDIOS DE RO4USTE5 DEL PROCESO................ 1( 1.( REFERENCIAS 7TILES SO4RE RSM..............................................................18 ).9 CONSTRUIR MODELOS EMPIRICOS..................................................................1: ).1 MODELOS DE REGRESIÓN LINEAL................................................................1: ).) ESTIMACIÓN DE LOS PAR;METROS EN LOS MODELOS DE REGRESIÓN LINEAL... LINEAL.............. ..................... ..................... ...................... ..................... ..................... ..................... ................................................. ....................................... 1< ).3 PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES DE MENOS CUADRADOS 2 ESTIMACIÓN DE = ) .................... ............................... ...................... ..................... ..................... ............................................ ................................. )( ).( PRUE4AS DE >IPÓTESIS >IPÓTESIS EN REGRESIÓN M7LTIPLE...................... M7LTIPLE...................... ............ ........ ....): ): ).(.1 Pr&",a !" #a $i?i%icació !" #a r"?r"$ió...................................................):
+( I&TRODUCCI,& +(+ METODOLOGÍA DE LA SUPERFICIE DE RESPUESTA $a metoolog'a e superficie e respuesta ()S&* es un con+unto e tcnicas esta'sticas y matem-ticas .tiles para esarrollar, me+orar y optimizar procesos/ "ambin tiene importantes aplicaciones en el ise0o, esarrollo y formulaci1n e nuevos prouctos, as' como en la me+ora e los ise0os e prouctos e2istentes/ $as aplicaciones m-s e2tensas e )S& se encuentran en el muno inustrial, particularmente en situaciones one varias variables e entraa influyen potencialmente en las meias e esempe0o o en las caracter'sticas e calia el proucto o proceso/ !stas meias e renimiento o caracter'sticas e calia se llaman la respuesta/ %ormalmente se mien en una escala continua, aun3ue las respuestas e los atributos, las filas y las respuestas sensoriales no son inusuales/ $a mayor'a e las aplicaciones el muno real e )S& implicar-n m-s e una respuesta/ $as variables e entraa a veces se enominan variables inepenientes y est-n su+etas al control el ingeniero o cient'fico, al menos para prop1sitos e una prueba o un e2perimento/ $a 4igura 5/5 muestra gr-ficamente la relaci1n entre el renimiento e la variable e respuesta (y* en un proceso 3u'mico y las os variables e proceso (o variables inepenientes* el tiempo e reacci1n ( 5* y la temperatura e reacci1n ( 6*/ 7bsrvese 3ue para caa valor e 5 y 6 hay un valor corresponiente e renimiento y y 3ue poemos ver estos valores el renimiento e respuesta como una superficie situaa por encima el plano tiempo8temperatura, como en la 4ig/ 5/5a/ !s esta perspectiva gr-fica el entorno problema 3ue ha llevao al trmino metoolog'a e superficie e respuesta/ "ambin es conveniente ver la superficie e respuesta en el plano biimensional tiempo8 temperatura, como en la 4ig/ 5/5b/ !n esta presentaci1n estamos mirano hacia aba+o en el plano tiempo8temperatura y conectano toos los puntos 3ue tienen el mismo renimiento para proucir l'neas e contorno e respuesta constante/ !ste tipo e pantalla se enomina trazao e contorno/
Fi-!ra +(+ .a/ Una s!per0icie de resp!esta teórica 1!e m!estra "a re"ación entre e" rendimiento de !n proceso 1!2mico "as 3aria4"es de proceso tiempo de reacción . +/ "a temperat!ra de reacción . 5/( .6/ Un -r70ico de contorno de "a s!per0icie de resp!esta teórica(
9laramente, si puiramos construir f-cilmente las representaciones gr-ficas en la 4ig/ 5/5, la optimizaci1n e este proceso ser'a muy sencilla/ &eiante la inspecci1n e la parcela, observamos 3ue el renimiento se ma2imiza en la pro2imia el tiempo 5 : ; h y la temperatura 6 : <6<=9/ Desafortunaamente, en la mayor'a e las situaciones pr-cticas, la funci1n e respuesta veraera en la 4ig/ 5/5 se esconoce/ !l campo e la metoolog'a e la superficie e resoluci1n consiste en las estrategias e2perimentales para e2plorar el espacio el proceso o variables inepenientes (a3u' las variables 5 y 6*, el moelao esta'stico emp'rico para esarrollar una aecuaa relaci1n apro2imaa entre el renimiento y las variables el proceso , > mtoos e optimizaci1n para encontrar los niveles o valores e las variables e proceso 5 y 6 3ue proucen valores eseables e las respuestas (en este caso, 3ue ma2imizan el renimiento*/
+(+(+ Apro#imación de "as 0!nciones de resp!esta !n general, supongamos 3ue el cient'fico o ingeniero se refiere a un proucto, proceso o sistema 3ue implica una respuesta y 3ue epene e las variables e entraa controlables 5, 6, ///, k/ !stas variables e entraa tambin se enominan a veces factores, variables inepenientes o variables e proceso/ $a relaci1n real puee escribirse
Done la forma e la funci1n e respuesta veraera f es esconocia y 3uiz-s muy complicaa, y ? es un trmino 3ue representa otras fuentes e variabilia no contabilizaas en f/ As', ? incluye efectos tales como error e meia en la respuesta, otras fuentes e variaci1n inherentes al proceso o sistema (ruio e fono, o variaci1n e causa com.n @ especial en el lengua+e el control esta'stico e procesos*, el efecto e otros*, > as' sucesivamente/ "rataremos ? como un error esta'stico, asumieno a menuo 3ue tiene una istribuci1n normal con meia cero y varianza 6/ Si la meia e ? es cero, entonces
Fi-!ra +(5 .a/ S!per0icie de resp!esta para e" mode"o de primer orden 8 9 :; < =# + < >#5( .4/ Dia-rama de contorno para e" mode"o de primer orden(
$as variables 5, 6, ///, k e la ecuaci1n 5/6 se enominan normalmente variables naturales, ya 3ue se e2presan en las uniaes naturales e meia, como graos 9elsius (=9*, libras por pulgaa cuaraa Psi*, o gramos por litro para la concentraci1n/ !n muchos traba+os )S& es conveniente transformar las variables naturales en variables coificaas 25, 26, ///, 2k, 3ue generalmente se efinen como aimensionales con meia cero y la misma propagaci1n o esviaci1n est-nar/ !n trminos e las variables coificaas, la funci1n e respuesta veraera (5/6* se escribe ahora como
Debio a 3ue la forma e la funci1n e respuesta veraera f es esconocia, ebemos apro2imarla/ De hecho, el uso e2itoso e )S& epene en gran meia e la capacia el e2perimentaor para esarrollar una apro2imaci1n aecuaa para f/ %ormalmente, un polinomio e oren ba+o en alguna regi1n relativamente pe3ue0a el espacio variable inepeniente es apropiao/ !n muchos casos, se utiliza un moelo e primer oren o e seguno oren/ Para el caso e os variables inepenientes, el moelo e primer oren en trminos e las variables coificaas es
$a figura 5/6 muestra la superficie e respuesta triimensional y el iagrama e contorno biimensional para un caso particular el moelo e primer oren, a saber,
!n tres imensiones, la superficie e respuesta para y es un plano situao por encima el espacio 25, 26/ !l gr-fico e contorno muestra 3ue el moelo e primer oren puee representarse como l'neas rectas paralelas e respuesta constante en el plano 25, 26/ !s probable 3ue el moelo e primer oren sea apropiao cuano el e2perimentaor est interesao en apro2imar la superficie e respuesta veraera sobre una regi1n relativamente pe3ue0a el espacio variable inepeniente en un lugar one hay poca curvatura en f/ Por e+emplo, consiere una pe3ue0a regi1n alreeor el punto A e la 4ig/ 5/5b !l moelo e primer oren probablemente ser'a apropiao a3u'/
Fi-!ra +(> .a/ S!per0icie de resp!esta para e" mode"o de primer orden con interacción 8 9 :; < =# + < >#5 ) ?#+( #5( .4/ Dia-rama de contorno para e" mode"o de primer orden con interacción(
$a forma el moelo e primer oren en la ecuaci1n 5/; se enomina a veces moelo principal e efectos, ya 3ue s1lo incluye los efectos principales e las os variables 25 y 26/ Si e2iste una interacci1n entre estas variables, puee agregarse f-cilmente al moelo e la siguiente maneraC
!ste es el moelo e primer oren con interacci1n/ $a figura 5/ muestra la superficie e respuesta triimensional y el gr-fico e contornos para el caso especial
7bserve 3ue la aici1n el trmino e interacci1n 8;25 26 introuce la curvatura en la funci1n e respuesta/ !sto conuce a iferentes tasas e cambio e la respuesta como 25 se cambia para iferentes valores fi+os e 26/ Similarmente, la tasa e cambio en y a travs e 26 var'a para iferentes valores fi+os e 25/ A menuo, la curvatura en la superficie e respuesta veraera es lo suficientemente fuerte como para 3ue el moelo e primer oren (incluso con el trmino e interacci1n incluio* sea inaecuao/ !s probable 3ue se re3uiera un moelo e seguno oren en estas situaciones/ Para el caso e os variables, el moelo e seguno oren es
!ste moelo probablemente ser'a .til como una apro2imaci1n a la superficie e respuesta veraera en una regi1n relativamente pe3ue0a alreeor el punto B en la 4ig/ 5/5b, one e2iste una curvatura sustancial en la funci1n e respuesta veraera f/ $a figura 5/; presenta la superficie e respuesta y el gr-fico e contornos para el caso especial el moelo e seguno oren
7bserve la superficie e respuesta en forma e mont'culo y los contornos el'pticos generaos por este moelo/ "al superficie e respuesta por'a surgir al apro2imar una respuesta tal como el renimiento, one se esperar'a 3ue estuviera operano cerca e un punto m-2imo en la superficie/
Fi-!ra +(? .a/ S!per0icie de resp!esta para e" mode"o de se-!ndo orden 8 9 :; < =# + < ># 5 ) @#+5 ) >#5 5 ) ?#+ #5( .6/ Dia-rama de contorno para e" mode"o de se-!ndo orden(
!l moelo e seguno oren es ampliamente utilizao en la metoolog'a e superficie e respuesta por varias razones/ !ntre ellos est-n los siguientesC 5/ !l moelo e seguno oren es muy fle2ible/ Puee tomar una amplia variea e formas funcionales, por lo 3ue a menuo funcionar- bien como una apro2imaci1n a la veraera superficie e respuesta/ $a 4igura 5/< muestra varias superficies e respuesta y tramas e contorno iferentes 3ue pueen ser generaas por un moelo e seguno oren/
Fi-!ra +(: A"-!nos eemp"os de tipos de s!per0icies de0inidas por e" mode"o de se-!ndo orden en dos 3aria4"es #+ #5( .Adaptado con permiso de Empirica" Mode" 6!i"din- Response S!r0acesB G( E( P( 6o# &( R( DraperB on i"e amp SonsB &eH %orB +J=@/
6/ !s f-cil estimar los par-metros (los E Fs* en el moelo e seguno oren/ !l mtoo e los m'nimos cuaraos, 3ue se presenta en el cap'tulo 6, puee utilizarse para este prop1sito/ / !2iste una consierable e2periencia pr-ctica 3ue inica 3ue los moelos e seguno oren funcionan bien en la resoluci1n e problemas reales e superficie e respuesta/ !n general, el moelo e primer oren es
> el moelo e seguno oren es
!n algunas situaciones, se usan polinomios apro2imaos e oren superior a os/ $a motivaci1n general para una apro2imaci1n polin1mica para la funci1n e respuesta veraera f se basa en la e2pansi1n e la serie e "aylor alreeor el punto 25G, 26G, ///, 2kG/ Por e+emplo, el moelo e primer oren se esarrolla a partir e la e2pansi1n en serie e "aylor e primer oren
Done 2 se refiere al vector e variables inepenientes y 2G es el vector e variables inepenientes en el punto espec'fico 25G, 26G, ///, 2kG/ !n la ecuaci1n 5/H s1lo hemos incluio los trminos e primer oren en la e2pansi1n, por lo 3ue si e+amos 3ue EG : f (25G, 26G, ///, 2kG*, E5 : ( f @ 25* , ///, Jk : ( f @ 2k* , "enemos el moelo e apro2imaci1n e primer oren en la !cuaci1n 5/K/ Si incluyramos trminos e seguno oren en la !cuaci1n 5/H, esto conucir'a al moelo e apro2imaci1n e seguno oren en la !cuaci1n 5/L/ 4inalmente, observe 3ue e2iste una estrecha relaci1n entre )S& y an-lisis e regresi1n lineal/ Por e+emplo, consiere el moelo
$os E Fs son un con+unto e par-metros esconocios/ Para estimar los valores e estos par-metros, ebemos recopilar atos sobre el sistema 3ue estamos estuiano/ !l an-lisis e regresi1n es una rama e la construcci1n e moelos esta'sticos 3ue utiliza estos atos para estimar los E Fs/ Debio a 3ue, en general, los moelos polinomiales son funciones lineales e las E esconocias, nos referimos a la tcnica como an-lisis e regresi1n lineal/ "ambin veremos 3ue es muy importante planificar cuiaosamente la fase e recolecci1n e atos e un estuio e superficie e respuesta/ De hecho, los tipos especiales e ise0os e2perimentales, llamaos ise0os e superficies e respuesta, son valiosos a este respecto/ Una parte sustancial e este libro est- eicaa a ise0os e superficies e respuesta/ "enga en cuenta 3ue los an-lisis y los ise0os eben ser cuiaosamente combinaos/ Si estamos planeano analizar atos e nuestro e2perimento planeao usano un moelo e primer oren, entonces el ise0o 3ue seleccionamos eber'a ser aecuao para este an-lisis/ De manera similar, si anticipamos una curvatura similar a la 3ue se puee moelar con un moelo e seguno oren, entonces se ebe seleccionar un ise0o iferente/ Se han construio buenos ise0os e superficies e respuesta para 3ue funcionen bien bas-nose en un moelo particular asumio, pero tambin se han estructurao e manera 3ue sean capaces e evaluar los supuestos el moelo 3ue se est- analizano para eterminar si las impresiones iniciales el sistema el e2perimentaor Ba+o estuio coincien con la veraera relaci1n subyacente 3ue prou+o los atos a analizar/ Por lo tanto, el e2perimentaor ebe pensar cuiaosamente acerca e los ob+etivos e un e2perimento en particular y lo 3ue el an-lisis anticipao implicar- antes e seleccionar el ise0o para la recopilaci1n e atos/
+(+(5 La nat!ra"eza sec!encia" de RSM $a mayor'a e las aplicaciones e )S& son e naturaleza secuencial/ !s ecir, al principio se generan algunas ieas sobre 3u factores o variables pueen ser importantes en el estuio e superficie e respuesta/ !sto suele conucir a un e2perimento ise0ao para investigar estos factores con vistas a verificar el papel e los factores 3ue influyen en la respuesta y la eliminaci1n e los no importantes/ !ste tipo e e2perimento se enomina usualmente un e2perimento e tamiza+e/ A menuo, al comienzo e un estuio e superficie e respuesta, e2iste una lista bastante larga e variables 3ue por'an ser importantes para e2plicar la respuesta/ !l ob+etivo el cribao e factores es reucir esta lista e variables caniatas a un n.mero relativamente pe3ue0o para 3ue los e2perimentos posteriores sean m-s eficientes y re3uieran menos pruebas o pruebas/ %os referimos a un e2perimento e cribao como fase cero e un estuio e superficie e respuesta/ Dao 3ue el inters en un e2perimento e etecci1n se encuentra en la comprensi1n el comportamiento bruto el sistema y c1mo los factores est-n relacionaos con la respuesta, un moelo e primer oren se selecciona com.nmente/ $a clase e ise0os e superficie e respuesta 3ue se utilizan para los e2perimentos e cribao son bien aecuaos para comprener me+or los efectos principales e iferentes variables inepenientes y comparar sus contribuciones relativas con los cambios en los valores e respuesta/ Puesto 3ue esto representa una etapa temprana en la secuencia planificaa e e2perimentos, el ob+etivo es eterminar cu-les e los factores son m-s influyentes en la respuesta mientras se utiliza una proporci1n tan pe3ue0a como sea posible el presupuesto e2perimental total/ %unca ebe realizar un an-lisis e superficie e respuesta hasta 3ue se haya realizao un e2perimento e etecci1n para ientificar los factores importantes/ Una vez 3ue se ientifican las variables inepenientes importantes, comienza la fase uno el estuio e superficie e respuesta/ !n esta fase, el ob+etivo el e2perimentaor es eterminar 1ne se encuentran los atos recogios en relaci1n con una respuesta ieal/ A menuo, hay os resultaos posibles con los niveles o a+ustes actuales e las variables inepenientes 3ue resultan en un valor e la respuesta 3ue est- cerca el 1ptimo (tal como el punto B en la figura 5/5b*, o el proceso est- funcionano en alg.n otro )egi1n (posiblemente* ale+aa e la 1ptima (tal como el punto A e la figura 5/5b*/ Si los a+ustes o niveles actuales e las variables inepenientes no son consistentes con el renimiento 1ptimo, entonces el e2perimentaor ebe eterminar un con+unto e a+ustes a las variables e proceso 3ue mover-n el proceso hacia el 1ptimo/ !sta fase e la metoolog'a e superficie e respuesta hace un uso consierable el moelo e primer oren y una tcnica e optimizaci1n llamaa el mtoo e subia m-s pronunciaa/ !stas tcnicas ser-n iscutias e ilustraas en el 9ap'tulo
cap'tulo M presentar- tcnicas para el an-lisis el moelo e seguno oren y la eterminaci1n e coniciones 1ptimas/ $os ise0os e superficies e respuesta para moelar la respuesta cerca el 1ptimo se seleccionan e nuevo para coinciir con el an-lisis anticipao/ A menuo, el plan es caracterizar la relaci1n entre la respuesta y las variables inepenientes clave utilizano el moelo e seguno oren e la forma en la ecuaci1n 5/L/ $os ise0os se construyen para poer estimar la respuesta para las combinaciones e factores e entraa alreeor el 1ptimo esperao, one la curvatura en la relaci1n es com.n/ Dao 3ue esta etapa e la e2perimentaci1n se centra en la eterminaci1n e un me+or con+unto e valores e entraa para los 3ue el proceso e operar, una porci1n generosa el presupuesto e2perimental se reserva generalmente para esta parte el proceso/ Una etapa final e la e2perimentaci1n, 3ue generalmente no re3uiere sofisticaos ise0os e superficie e respuesta o una gran porci1n el presupuesto e2perimental, es un e2perimento confirmatorio/ !sta recolecci1n e atos es generalmente simple y pe3ue0a, pero est- ise0aa para confirmar 3ue el 1ptimo ientificao 3ue se obtuvo en la fase os se puee lograr establecieno las variables inepenientes en los a+ustes esignaos/ !ste proceso e2perimental secuencial se realiza generalmente entro e una regi1n el espacio variable inepeniente enominaa regi1n e operabilia/ Para el proceso 3u'mico ilustrao en la 4ig/ 5/5, la regi1n e operabilia es G hr NO5 K h y 5GG=9 6 LGG=9/ Supongamos 3ue actualmente estamos operano a los niveles 5 : 6,< hr y 6 :
Fi-!ra +(K La re-ión de opera4i"idad "a re-ión de e#perimentación(
$a naturaleza secuencial e la metoolog'a e superficie e respuesta permite al e2perimentaor aprener sobre el proceso o sistema en estuio a meia 3ue avanza la investigaci1n/ !sto asegura 3ue urante el curso e la aplicaci1n )S& el e2perimentaor aprener- las respuestas a preguntas tales como (5* la ubicaci1n e la regi1n el 1ptimo, (6* el tipo e funci1n e apro2imaci1n re3ueria, (* la elecci1n apropiaa e e2perimental Dise0os, (;* cu-nta replicaci1n es necesaria y (<* si se re3uieren o no transformaciones en las respuestas o en cual3uiera e las variables el proceso/ Debio a 3ue la naturaleza e un estuio superficial e respuesta tiene etapas m.ltiples con ob+etivos iferentes, hay varios aspectos 3ue se eben me+orar a lo largo el proceso/ !n primer lugar, muchos estuios tienen restricciones presupuestarias 3ue inicar-n cu-nto y 3u atos se pueen recopilar/ !s importante planificar toas las etapas el estuio y permitir 3ue se isponga e recursos aecuaos para responer eficazmente a las preguntas importantes en caa fase/ !n seguno lugar, ya 3ue los conocimientos a3uirios en las primeras fases el estuio ayuan a eterminar lo 3ue los e2perimentos posteriores estuiar-n, es importante planificar c1mo se conectar-n las iferentes fases y 3u informaci1n puee aprovecharse e las primeras fases/ !n tercer lugar, la selecci1n e un moelo para el an-lisis e los atos e caa fase se basa en la comprensi1n actual el proceso subyacente/ !s importante pensar en la secuencia e e2perimentos como un mecanismo para no tener 3ue hacer emasiaas suposiciones en cual3uier etapa, !+ecutar un gran e2perimento complicao 3ue tiene muchas suposiciones no probaas puee conucir a errores costosos y espericio e recursos/ Por lo tanto, una serie e e2perimentos m-s pe3ue0os pueen verificar algunas suposiciones al principio e la secuencia y pueen permitir al e2perimentaor proceer en etapas posteriores con mayor confianza/ Por .ltimo, volvemos a mencionar la cone2i1n entre la elecci1n el e2perimento y el an-lisis planificao/ Antes e saltar para recopilar atos, los ob+etivos e caa fase eben estar claramente efinios y la naturaleza el ise0o e la superficie e respuesta
ebe refle+ar las metas y el an-lisis planeao/ Puesto 3ue a menuo hay sorpresas al recolectar y analizar atos, es .til consierar lo 3ue por'a salir mal con el e2perimento y tener un plan para mane+ar algunas e estas sorpresas/ Una parte sustancial e este libro 8cap'tulos , ;, L y H8 se eica a e2perimentos ise0aos .tiles en )S&/
+(+(> O4eti3os ap"icaciones t2picas de RSM $a metoolog'a e superficie e respuesta es .til en la soluci1n e muchos tipos e problemas inustriales/ Qeneralmente, estos problemas se ivien en tres categor'asC 5/ &apeo e una superficie e respuesta sobre una regi1n e inters particular/ 9onsieremos el proceso 3u'mico e la 4ig/ 5,5b/ %ormalmente, este proceso funcionar'a en un a+uste particular e tiempo e reacci1n y temperatura e reacci1n/ Sin embargo, ocasionalmente pueen ser necesarios algunos cambios en estos niveles normales e operaci1n, tal vez para proucir un proucto 3ue cumpla con otros re3uisitos espec'ficos el cliente/ Si la funci1n e respuesta esconocia veraera ha sio apro2imaa sobre una regi1n alreeor e las coniciones operativas actuales con una superficie e respuesta aaptaa aecuaa (igamos una superficie e seguno oren*, entonces el ingeniero e proceso puee preecir por aelantao los cambios en el renimiento 3ue resultar-n e 9ual3uier rea+uste a las variables e entraa, a saber, tiempo y temperatura/ 6/ 7ptimizaci1n e la respuesta/ !n el muno inustrial, un problema muy importante es eterminar las coniciones 3ue optimicen el proceso/ !n el proceso 3u'mico e la 4ig/ 5/5b, esto implica eterminar los niveles e tiempo y temperatura 3ue an como resultao un renimiento m-2imo/ Un estuio e )S& 3ue comenz1 cerca el punto A en la 4ig/ 5/5b conucir'a eventualmente al e2perimentaor a la regi1n cerca el punto B/ Un moelo e seguno oren por'a entonces ser utilizao para apro2imar la respuesta el renimiento en una regi1n estrecha alreeor el punto B y el e2amen e esta superficie apro2imaa e la respuesta los niveles 1ptimos o la conici1n para "iempo y temperatura/ / Selecci1n e las coniciones e operaci1n para lograr las especificaciones o re3uerimientos el cliente/ !n la mayor'a e los problemas e superficie e respuesta hay varias respuestas 3ue eben ser consieraas simult-neamente/ Por e+emplo, en el proceso 3u'mico e la 4ig/ 5/5, supongamos 3ue aem-s el renimiento, hay otras os respuestasC costo y concentraci1n/ %os gustar'a mantener el renimiento por encima el KGR, mientras 3ue al mismo tiempo mantener el costo por eba+o e ; @ libra Sin embargo, el cliente ha impuesto especificaciones e concentraci1n e tal manera 3ue esta importante propiea f'sica ebe ser e M< T g @ litro/ Una forma e resolver este problema es obtener superficies e respuesta para las tres respuestas8renimiento, coste y concentraci1n8 y luego superponer los contornos para estas respuestas en el plano e tiempo8temperatura, como se ilustra en la 4ig/ 5/K/ !n esta figura hemos mostrao los contornos para el renimiento : KGR, costo : ; @ libra, concentraci1n : M6 g @ litro, y concentraci1n : ML g @ litro/ $a regi1n no sombreaa en esta figura representa la regi1n 3ue contiene coniciones operativas 3ue satisfacen simult-neamente toos los re3uisitos el proceso/ !n la pr-ctica, problemas comple+os e optimizaci1n e procesos como este pueen resolverse a menuo superponieno contornos e superficie e respuesta apropiaos/
Sin embargo, no es raro encontrar problemas con m-s e os variables e proceso y re3uisitos e respuesta m-s comple+os para satisfacer/ !n tales problemas, ser-n necesarios otros mtoos e optimizaci1n m-s eficaces 3ue la superposici1n e trazos e contorno y, a menuo, no s1lo pueen ientificar una regi1n 3ue satisface los re3uisitos m'nimos el cliente, sino tambin encontrar una combinaci1n 1ptima e variables e entraa para lograr un renimiento ieal/ Discutiremos la metoolog'a para resolver estos tipos e problemas en el 9ap'tulo K/
Fi-!ra +(@ La re-ión no som4reada 1!e m!estra "as condiciones para "as c!a"es e" rendimiento @;B e" costo N >? "i4raB K5 - "itro N concentración N K= - "itro(
+(+(? RSM "a Fi"oso02a de" Meoramiento de "a Ca"idad Durante las .ltimas caas, las organizaciones inustriales e !staos Unios y !uropa se han interesao por la calia y la me+ora e los procesos/ $os mtoos esta'sticos, incluyeno el control esta'stico e procesos (SP9* y el ise0o e e2perimentos, +uegan un papel clave en esta activia/ $a me+ora e la calia es m-s efectiva cuano ocurre temprano en el ciclo e esarrollo el proucto y el proceso/ !s muy if'cil, costoso e ineficiente fabricar un proucto mal ise0ao/ Inustrias como semiconuctores y electr1nica, aeroespacial, automotriz, biotecnolog'a y prouctos farmacuticos, ispositivos micos, prouctos 3u'micos y inustrias e procesos son e+emplos en los 3ue la metoolog'a e ise0o e2perimental ha ao lugar a un menor tiempo e ise0o y esarrollo e nuevos prouctos, 4abricaci1n, tienen una mayor fiabilia, tienen un renimiento e campo me+orao, y cumplir o superar los re3uisitos el cliente/ )S& es una rama importante el ise0o e2perimental en este sentio/ )S& es una tecnolog'a cr'tica para esarrollar nuevos procesos, optimizar su renimiento y me+orar el ise0o y @ o la formulaci1n e nuevos prouctos/ A menuo es una importante herramienta e ingenier'a concurrente, ya 3ue el ise0o e prouctos, esarrollo e procesos, calia, ingenier'a e fabricaci1n y personal e operaciones a menuo traba+an +untos en un entorno e e3uipo para aplicar )S&/ $os ob+etivos e la me+ora e la calia, incluia la reucci1n e la variabilia y el me+oramiento el renimiento el proucto y el proceso, pueen lograrse a menuo irectamente utilizano )S&/
+(5 DISEQO % FORMULACI,& DEL PRODUCTO .PRO6LEMAS DE MECLA/ &uchas activiaes e ise0o y esarrollo e prouctos implican problemas e formulaci1n, en los 3ue se mezclan os o m-s ingreientes/ Por e+emplo, supongamos 3ue estamos esarrollano un nuevo proucto e limpieza para el hogar/ !ste proucto se formula mezclano varios tensioactivos 3u'micos +untos/ !l ingeniero e proucto o cient'fico esea encontrar una mezcla apropiaa e los ingreientes para 3ue la capacia e corte e grasa e la limpiaora sea buena, y e manera 3ue genere un nivel aecuao e espuma cuano est en uso/ !n esta situaci1n, las variables e respuesta, a saber, la capacia e cortar grasa y la cantia e espuma, epenen e los porcenta+es o proporciones e los tensioactivos 3u'micos iniviuales (los ingreientes* 3ue est-n presentes en la formulaci1n el proucto/ !2isten muchos problemas inustriales en los 3ue las variables e respuesta e inters en el proucto son una funci1n e las proporciones e los iferentes ingreientes utilizaos en su formulaci1n/ !ste es un tipo especial e problema e superficie e respuesta llamao problema e mezcla/ Aun3ue traicionalmente pensamos en problemas e mezcla en el ise0o el proucto o en el entorno e la formulaci1n, ocurren en muchos otros entornos/ 9onsierar el grabao por plasma e obleas e silicio, un proceso e fabricaci1n com.n en la inustria e semiconuctores/ !l grabao se realiza usualmente introucieno una mezcla e gases entro e una c-mara 3ue contiene las obleas/ $as respuestas meias incluyen la velocia e ata3ue, la uniformia el ata3ue 3u'mico y la selectivia (una meia e las velociaes e ata3ue relativas e los iferentes materiales sobre la oblea*/ "oas estas respuestas son una funci1n e las proporciones e los iferentes ingreientes mezclaos +untos en la c-mara e grabao/ !2isten tcnicas especiales e ise0o e superficies e respuesta y mtoos e construcci1n e moelos para problemas e mezcla/ !stas tcnicas se iscuten en los cap'tulos 56 y 5/
+(> DISEQO RO6USTO % ESTUDIOS DE RO6USTE DEL PROCESO !s bien sabio 3ue la variaci1n en las caracter'sticas clave el renimiento puee resultar en una mala calia el proucto y el proceso/ Durante los a0os ochenta, se prest1 consierable atenci1n a este problema, y se esarroll1 metoolog'a para el uso el ise0o e2perimental, espec'ficamente para lo siguienteC 5/ Para ise0ar prouctos o procesos para 3ue sean robustos a las coniciones ambientales/ 6/ Para ise0ar o esarrollar prouctos para 3ue sean robustos a la variaci1n e componentes/ / Para minimizar la variabilia en la respuesta e salia e un proucto alreeor e un valor ob+etivo/ Por robusto, 3ueremos ecir 3ue el proucto o proceso se esempe0a e forma consistente en el ob+etivo y es relativamente insensible a los factores 3ue son if'ciles e controlar/
!l profesor Qenichi "aguchi us1 el trmino ise0o robusto e par-metros (o )PD* para escribir su enfo3ue a esta importante clase e problemas inustriales/ !sencialmente, la metoolog'a robusta e ise0o e par-metros se esfuerza por reucir la variaci1n el proucto o proceso eligieno niveles e factores controlables (o par-metros* 3ue hacen 3ue el sistema sea insensible (o robusto* a los cambios en un con+unto e factores incontrolables 3ue representan la mayor'a e las fuentes e variabilia/ "aguchi se refiri1 a estos factores incontrolables como factores e ruio/ !stos son los factores ambientales tales como los niveles e humea, los cambios en las propieaes e las materias primas, la forma en 3ue el cliente utilizar- el proucto, el enve+ecimiento el proucto y la variabilia e los componentes mencionaos en los puntos 5 y 6 anteriores/ Por lo general suponemos 3ue estos factores e ruio son incontrolables en el campo, pero pueen ser controlaos urante el esarrollo el proucto o proceso para los prop1sitos e un e2perimento ise0ao/ Se ha prestao consierable atenci1n a la metoolog'a efenia por "aguchi, y se han escubierto una serie e fallas en su enfo3ue/ Sin embargo, hay muchos conceptos .tiles en su filosof'a, y es relativamente f-cil incorporarlos en el marco e la metoolog'a e superficie e respuesta/ !n el cap'tulo 55 se presentar- el enfo3ue e superficie e respuesta para estuios e robustez e ise0o y proceso robustos/
+(? REFERE&CIAS TILES SO6RE RSM !l origen e )S& es el papel seminal e Bo2 y ilson (5H<5*/ "ambin escriben la aplicaci1n e )S& a procesos 3u'micos/ !ste ocumento tuvo un profuno impacto en las aplicaciones inustriales el ise0o e2perimental, y fue la motivaci1n e gran parte e la investigaci1n en el campo/ &uchos e los ocumentos clave e investigaci1n y aplicaciones se citan en este libro/ "ambin se han publicao cinco art'culos sobre )S&C ill y unter (5HMM*, &ea y Pike (5HK<*, &yers et al/ (5HLH*, &yers et al/ (6GG;* y Anerson89ook et al/ (6GGHa*/ !l art'culo e &yers (5HHH* sobre las futuras orientaciones en )S& ofrece una visi1n e las necesiaes e investigaci1n en el campo/ "ambin hay otros os libros completos sobre el temaC Bo2 y Draper (5HLK* y Whuri y 9ornell (5HHM*/ Una seguna eici1n el libro e Bo2 y Draper fue publicaa en 6GGK con un t'tulo ligeramente iferente XBo2 y Draper (6GGK*Y/ Un volumen eitao por Whuri (6GGM* consiera algunos temas especializaos e )S&/ $a monograf'a e &yers (5HKM* fue el primer libro eicao e2clusivamente a )S&/
5() CO&STRUIR MODELOS EMPIRICOS 5(+ MODELOS DE REGRESI,& LI&EAL $a aplicaci1n pr-ctica e la metoolog'a e superficie e respuesta ()S&* re3uiere el esarrollo e un moelo apro2imao para la superficie e respuesta veraera/ $a superficie e respuesta veraera subyacente es normalmente impulsaa por alg.n mecanismo f'sico esconocio/ !l moelo e apro2imaci1n se basa en atos observaos el proceso o sistema y es un moelo emp'rico/ $a regresi1n m.ltiple es una colecci1n e tcnicas esta'sticas .tiles para construir los tipos e moelos emp'ricos re3uerios en )S&/ A moo e e+emplo, supongamos 3ue eseamos esarrollar un moelo emp'rico 3ue relacione la via .til e una herramienta e corte con la velocia e corte y el -ngulo e la herramienta/ Un moelo e superficie e respuesta e primer oren 3ue por'a escribir esta relaci1n es
Done y representa la via .til e la herramienta, 25 representa la velocia e corte y 26 representa el -ngulo e la herramienta/ Se trata e un moelo e regresi1n lineal m.ltiple con os variables inepenientes/ A menuo llamamos a las variables inepenientes preictor variables o regresores/ !l trmino ZlinealZ se usa por3ue la !cuaci1n 6/5 es una funci1n lineal e los par-metros esconocios E G, E 5 y E 6/ !l moelo escribe un plano en el espacio biimensional 25, 26/ !l par-metro E G fi+a la intersecci1n el plano/ A veces llamamos coeficientes e regresi1n parcial E5 y E6, por3ue E 5 mie el cambio esperao en y por unia e cambio en 25 cuano 26 se mantiene constante y E 6 mie el cambio esperao en y por unia e cambio en 26 cuano 25 se mantiene constante/ !n general, la variable e respuesta y puee estar relacionaa con k variables e regresi1n/ !l moelo
Se enomina moelo e regresi1n lineal m.ltiple con k variables e regresi1n/ $os par-metros E +, + : G, 5, ///, k, se llaman coeficientes e regresi1n/ !ste moelo escribe un hiperplano en el espacio k8imensional e las variables regresivas [2+\/ !l par-metro E + representa el cambio esperao en la respuesta y por unia e cambio en 2+ cuano toas las variables inepenientes restantes 2i (i ] +* se mantienen constantes/
$os moelos 3ue son m-s comple+os en apariencia 3ue la !cuaci1n 6/6 a menuo pueen ser analizaos por m.ltiples tcnicas e regresi1n lineal/ Por e+emplo, consiere agregar un trmino e interacci1n al moelo e primer oren en os variables, igamos
^ : 25 26 y E : E 56, entonces la ecuaci1n 6/ se puee escribir como
_ue es un moelo est-nar e regresi1n lineal m.ltiple con tres regresores/ 9omo otro e+emplo, consiere el moelo e superficie e respuesta e seguno oren en os variablesC
Si e+amos 3ue 2 : 25 6, 2; : 26 6, 2< : 25 26, E : E55, E; : E66 y E< : E56, entonces esto se convierte en
_ue es un moelo e regresi1n lineal/ !n general, cual3uier moelo e regresi1n 3ue sea lineal en los par-metros (los valores E* es un moelo e regresi1n lineal, inepenientemente e la forma e la superficie e respuesta 3ue genere/ !n este cap'tulo presentaremos e ilustraremos mtoos para estimar los par-metros en moelos e regresi1n lineal m.ltiple/ A menuo se enomina a+uste e moelo/ "ambin se iscutir-n mtoos para probar hip1tesis y construir intervalos e confianza para estos moelos, as' como para verificar la aecuaci1n el a+uste el moelo/ %uestro enfo3ue se centra principalmente en los aspectos el an-lisis e regresi1n .til en )S&/ Para presentaciones m-s completas e regresi1n, consulte &ontgomery, Peck y Vining (6G56* y &yers (5HHG*/
5(5 ESTIMACI,& DE LOS PARMETROS E& LOS MODELOS DE REGRESI,& LI&EAL !l mtoo e m'nimos cuaraos se utiliza t'picamente para estimar los coeficientes e regresi1n en un moelo e regresi1n lineal m.ltiple/ Supongamos 3ue n` k observaciones sobre la variable e respuesta est-n isponibles, igamos y5, y6, ///, yn/ unto con caa respuesta observaa yi, tenremos una observaci1n sobre caa variable regresora, y 2i+ enotamos la i8sima observaci1n o nivel e la variable 2+/ $a "abla 6/5 muestra el ise0o e los atos/ Suponemos 3ue el trmino e error ? en el moelo tiene ! (?* : G y Var (?* : 6 y 3ue las [?i\ son variables aleatorias no correlacionaas/ Ta4"a 5(+ Datos para "a re-resión "inea" m"tip"e y
x1
y1
x
11
x2 x
12
2
x 21
x
⋮
⋮
⋮
22
… … …
xk
x1k x2k ⋮
n
xn1
xn2
…
xnk
Poemos escribir la ecuaci1n el moelo (!c/ 6/6* en trminos e las observaciones en la "abla 6/5 como
!l mtoo e los m'nimos cuaraos elige los E en la ecuaci1n 6/K para 3ue la suma e los cuaraos e los errores, ?i, se minimice/ $a funci1n e m'nimos cuaraos es
$a funci1n $ ebe minimizarse con respecto a E G, E 5, ///, E k/ $os estimaores e m'nimos cuaraos, igamos bG, b5, ///, bk, eben satisfacer
>
Done + : 5, 6, ///, k/ Simplificano la !cuaci1n 6/H, obtenemos
!stas ecuaciones se llaman las ecuaciones normales e m'nimos cuaraos/ 7bsrvese 3ue hay p : k 5 ecuaciones normales, una para caa uno e los coeficientes e regresi1n esconocios/ $a soluci1n a las ecuaciones normales ser- los estimaores e m'nimos cuaraos e los coeficientes e regresi1n bG, b5, ///, bk/ !s m-s f-cil resolver las ecuaciones normales si se e2presan en notaci1n matricial/ Ahora amos un esarrollo matricial e las ecuaciones normales 3ue es paralelo al
esarrollo e la !cuaci1n 6/5G/ !l moelo en trminos e las observaciones, !cuaci1n 6/K, puee escribirse en notaci1n matricial como
1ne
!n general, y es un vector n 5 e las observaciones, ^ es una matriz e moelo n p 3ue consiste en los niveles e las variables inepenientes e2panias a la forma el moelo, E es el vector p 5 e los coeficientes e regresi1n, y ? es un % 5 vector e errores aleatorios/ 7bserve 3ue ^ consiste en las columnas 3ue contienen las variables inepenientes e la "abla 6/5 m-s una columna aicional e 5s para e2plicar el trmino e interceptaci1n en el moelo/ Deseamos encontrar el vector e estimaores e m'nimos cuaraos, b, 3ue minimiza
7bsrvese 3ue $ puee e2presarse como
>a 3ue EF^Fy es una matriz 5 5, o un escalar, y su transposici1n (EF^Fy* F: yF^E es el mismo escalar/ $os estimaores e m'nimos cuaraos eben satisfacer
lo 3ue simplifica a
$a ecuaci1n 6/56 es el con+unto e ecuaciones normales e m'nimos cuaraos en forma e matriz/ !s intica a la !cuaci1n 6/5G/ Para resolver las ecuaciones normales, multipli3ue ambos laos e la ecuaci1n 6/56 por la inversa e ^F^/ As', el estimaor e m'nimos cuaraos e E es
!s f-cil ver 3ue la forma matriz e las ecuaciones normales es intica a la forma escalar/ !scribieno la !cuaci1n 6/56 en etalle, obtenemos
Si se realiza la multiplicaci1n matricial inicaa, se obtenr- la forma escalar e las ecuaciones normales (es ecir, la !c/ 6/5G*/ !n esta forma es f-cil ver 3ue ^F^ es una matriz simtrica p p y ^Fy es un vector e columna p 5/ 7bsrvese la estructura especial e la matriz ^F^/ $os elementos iagonales e ^F^ son las sumas e cuaraos e los elementos en las columnas e ^ y los elementos fuera e la iagonal son las sumas e prouctos cruzaos e los elementos en las columnas e ^/ Aem-s, observe 3ue los elementos e ^ ^Fy son las sumas e prouctos cruzaos e las columnas e ^ y las observaciones [yi\/ !l moelo e regresi1n a+ustao es
!n la notaci1n escalar, el moelo a+ustao es
$a iferencia entre la observaci1n yi y el valor a+ustao d i es un resiuo, igamos ei : yi 8 d i/ !l vector n 5 e resiuos es enotao por
Eemp"o 5(+ Los datos de -anancia de" transistor / $a ganancia el transistor en un ispositivo e circuito integrao entre emisor y colector (h4!* se relaciona con os variables 3ue pueen ser controlaas en el proceso e eposici1n, el tiempo e entraa el emisor (5, en minutos* y !misor (6, uniaes e 5G5; iones*/ 9atorce muestras fueron observaas espus e la eposici1n, y los atos resultantes se muestran en la "abla 6/6/ Vamos a a+ustar un moelo e regresi1n lineal utilizano la ganancia como la respuesta y el tiempo e emisi1n e emisi1n y la osis e emisor como las variables e regresi1n/ "AB$A 6/6 Datos sobre la ganancia el transistor (y* para el e+emplo 6/5 time, minutes*
�� 6 (ose, 5G5; ions*
5H< 6<< 5H< 6<< 66< 66< 66< 5H< 6<<
;/GG ;/GG ;/MG ;/MG ;/6G ;/5G ;/MG ;/DG ;/DG
�� 5 (rive8in 7bservation 5 6 ; < M K L H
x5
5 5 5 5 G G G 5 5
x6
y (gain or hFE *
5 5 G/MMMK G/MMMK G/;;;; G/K666 G/MMMK G/5MMK G/5MMK
5GG; 5MM L<6 5
5G 55 56 5 5;
66< 66< 66< 66<
6G
;/GG ;/KG ;/DG ;/K6
;/G
G G G G
G/5MMK
5 G/H;;; G/5MMK 5 −G/5MMK
56MG 55;M 56KM 566< 565
$as columnas 6 y el cuaro 6/6 muestran los valores unitarios reales o naturales e 5 y 6, mientras 3ue las columnas ; y < contienen valores e las corresponientes variables coificaas 25 y 26, one
!ste es3uema e coificaci1n es ampliamente utilizao en el a+uste e moelos e regresi1n lineal, y resulta en toos los valores e 25 y 26 cayeno entre 85 y 5, como se muestra en la "abla 6/6/ %os aaptamos al moelo
Utilizano las variables coificaas/ $a matriz moelo ^ y el vector y son
$a matriz ^F^ es
> el vector ^Fy es
$a estimaci1n e m'nimos cuaraos e E es
7
!l a+uste e m'nimos cuaraos con los coeficientes e regresi1n reportaos con un ecimal es
!sto se puee convertir en una ecuaci1n usano las variables naturales 5 y 6 sustituyeno las relaciones entre 25 y @ 5 y 26 y @ 6 como sigueC
o
Ta4"a 5(> O4ser3acionesB 3a"ores a!stadosB resid!os otra in0ormación de res!men de" eemp"o 5(+ 7bservaci1n
yi
y
ei
hii
r i
ti
Di
5 6 ; <
5GG;/G 5MM/G L<6/G 5
HK/K 5M6G/< LL6/; 5<6H/6 56MM/K
G/ 5
5/GH6 G/<< 5/G<6
5/5G G/<< 5/G
6/6
G/MK G/
G/LG5 G/5MG
G/KLK G/5<
G/65 G/G
M K
56KG/G 56MH/G
56L5/H 56G
55/H M/6
G/5 G/5;L
G/M< 5/HMG
G/
G/GGK G/666
L H 5G 55 56
HG/G 5<<
H6L/G 5
6
G/6; G/6< G/5HK G/65K G/GK
G/L6
G/L5G
G/M<5 5/5L< 5/;;6 G/KG
G/M 5/6GH 5/<6K G/K5;
G/GK6 G/G; G/55< G/5H6 G/G5;
̂
5H/H K/5 ;;/M 6;/M
5 5;
566
55LK/< 5G
K/< 5
G/6 G/GKK
5/66< G/;MM
5/6
G/5<6 G/GGM
$a tabla 6/ muestra los valores observaos e yi, los corresponientes valores a+ustaos d i, y los resiuos e este moelo/ ay varias otras cantiaes aas en esta tabla 3ue ser-n efinias y iscutias m-s aelante/ $a figura 6/5 muestra la superficie e respuesta a+ustaa y el gr-fico e contorno para este moelo/ $a superficie e respuesta para la ganancia es un plano situao por encima el espacio e tiempo8osis/
Fi-!ra 5(+ .a/ S!per0icie de resp!esta para "a -ananciaB Eemp"o 5(+( .6/ E" -r70ico de contornos de -anancia(
Softare e c-lculo e esta'sticas se emplea generalmente para a+ustar moelos e regresi1n/ $a "abla 6/; y la 4ig/ 6/6 presentan parte e la salia e los atos e ganancia el transistor en el !+emplo 6/5 e &P, un pa3uete e softare ampliamente utilizao 3ue soporta la regresi1n, el ise0o e2perimental y )S&/ !ste moelo se a+ust1 a las variables coificaas en la "abla 6/6/ $a primera parte e la pantalla e la 4ig/ 6/6 es un gr-fico e los valores e la respuesta observaa y frente a los valores preichos d i (vase la figura 6/6a*/ $os pares (yi, d i* se encuentran a lo largo e una l'nea recta (la l'nea recta en el gr-fico es el resultao e un a+uste por m'nimos cuaraos*/ !sto suele ser una buena inicaci1n e 3ue el moelo es un a+uste satisfactorio a los atos/ Discutiremos otros controles e la aecuaci1n el moelo m-s aelante en este cap'tulo/ 7bsrvese 3ue las estimaciones e los coeficientes e regresi1n coincien con las 3ue hemos calculao manualmente (no es raro encontrar pe3ue0as iferencias entre los c-lculos e regresi1n e softare manual y e computaora ebio al reoneo*/ !n las secciones siguientes mostraremos c1mo se obtienen algunas e las otras cantiaes en la salia y c1mo interpretarlas/ Ta4"a 5(? Prod!cción de re-resión de MP Summary of Fit R-Square R-Square Ad, Root Mean Square Error ean of Resonse .*ser/ations 0or Sum ts3
Source Model Error
DF 2 11
(#"'"&%! (#"'1& %$#"2!!% 12$"#$% 1$ Analysis of Variance Sum of Squares !1""#$" 1%$1'#'2
Mean Square %2!"&! 122(
F-Ratio
2'#2$( )ro* + F
4# 5otal
1%
5erm
Estimate
8ntercet x1
12$2#%1&1 %2%#$2!% −!$#''1!
x2
!%&'#21 )arameter Estimates Std Error "#%'%1" 1$#22''& 1%#2((1
6(#(((1
t-Ratio 1%2#!$ 22#'% −$#1!
)ro*
+ 7t7
6(#(((1 6(#(((1 (#((1
Fi-!ra 5(5 Sa"ida de re-resión de MP( .A/ Resp!esta mode"o enteroB rea" por -r70ica pronosticada( .6/ Resid!a"es se-n "a -r70ica pre3ista(
5(> PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES DE ME&OS CUADRADOS % ESTIMACI,& DE V5 !l mtoo e m'nimos cuaraos prouce un estimaor no sesgao el par-metro E en el moelo e regresi1n lineal m.ltiple/ !sta propiea se puee emostrar f-cilmente encontrano el valor esperao e b como sigueC
Por3ue ! (?* : G y (^F^* 85 ^F^ : I/ As' b es un estimaor imparcial e E/ $a propiea e varianza e b se e2presa por la matriz e covarianza
$a matriz e covarianza e b es una matriz simtrica p p cuyo (+, +* simo elemento es la varianza e b+ y cuyo (i, +* simo elemento es la covarianza entre bi y b+/ $a matriz e covarianza e b es
"ambin es necesario estimar σ6/ Para esarrollar un estimaor e este par-metro se consiera la suma e cuaraos e los resiuos, igamos
Sustituyeno e : y 8 y : y 8 ^b, tenemos
$a ecuaci1n 6/5K se enomina error o suma resiual e cuaraos, y tiene n 8 p graos e liberta asociaos con ella/ Se puee emostrar 3ue
Por lo 3ue un estimaor imparcial e 6 est- ao por
Eemp"o 5(5 Los datos de -anancia de" transistor !stimaremos 6 para el moelo e regresi1n para los atos e ganancia el transistor el e+emplo 6/5/ Por3ue
>
$a suma resiual e cuaraos es
Por lo tanto, la estimaci1n e 6 se calcula a partir e la ecuaci1n 6/5L como sigueC
7bserve 3ue la salia e &P en la "abla 6/; calcula la suma resiual e cuaraos (mirar ba+o la secci1n e an-lisis e varianza e la salia* como 5,;5K/K6/ $a iferencia entre los os valores es roun8off/ "anto los c-lculos manuales como &P proucen estimaciones pr-cticamente inticas e 6/
$a estimaci1n e 6 proucia por la ecuaci1n 6/5L epene el moelo/ !s ecir, epene e la forma el moelo 3ue se a+uste a los atos/ Para ilustrar este punto, supongamos 3ue a+ustamos un moelo cuar-tico a los atos e ganancia, igamos
!n este moelo se puee emostrar 3ue SS! : 56/;KH,L/ Debio a 3ue el n.mero e par-metros el moelo, p, es igual a M, la estimaci1n e 6 basaa en este moelo es
!sta estimaci1n e 6 es en realia mayor 3ue la estimaci1n obtenia el moelo e primer oren, lo 3ue sugiere 3ue el moelo e primer oren es superior al cuar-tico en 3ue hay menos variabilia no e2plicaa resultante el a+uste e primer oren/ Si se ispone e repeticiones (es ecir, m-s e una observaci1n sobre y en los mismos niveles 2*, entonces se puee obtener una estimaci1n inepeniente e moelo e 6/ &ostraremos c1mo hacerlo en la Secci1n 6/K/;/
5(? PRUE6AS DE 'IP,TESIS E& REGRESI,& MLTIPLE !n los problemas e regresi1n lineal m.ltiple, ciertas pruebas e hip1tesis sobre los par-metros el moelo son .tiles para meir la utilia el moelo/ !n esta secci1n, escribimos varios proceimientos e prueba e hip1tesis importantes/ !stos proceimientos re3uieren 3ue los errores ?i en el moelo sean istribuios normalmente e inepenientemente con meia cero y varianza = 6, abreviaa ? %ID (G, = 6*/ 9omo resultao e esta suposici1n, las observaciones yi se istribuyen normalmente e inepenientemente con la meia
y la varianza = 6/
5(?(+ Pr!e4a de "a si-ni0icación de "a re-resión $a prueba e significaci1n e la regresi1n es una prueba para eterminar si e2iste una relaci1n lineal entre la variable e respuesta y y un subcon+unto e las variables e regresi1n 25, 26, ///, 2k/ $as hip1tesis apropiaas son
!l rechazo e G en la ecuaci1n 6/5H implica 3ue al menos una e las variables e regresi1n 25, 26, ///, 2k contribuye significativamente al moelo/ !l proceimiento e prueba implica iviir la suma total e cuaraos en una suma e cuaraos ebio al moelo (oa la regresi1n* y una suma e cuaraos ebio a resiual (o error*, igamos
