FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
SEMANA 5
Continuidad
Todos los derechos de autor son de la exclusiva propiedad de IACC o de los otorgantes de sus licencias. No está permitido copiar, reproducir, reeditar, descargar, publicar, emitir, difundir, poner a disposición del público ni ESTE LAdeSEMANA 5 utilizarDOCUMENTO los contenidos paraCONTIENE fines comerciales ninguna clase.
1
ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5
2
ÍNDICE CONTINUIDAD ..................................................................................................................................... 4 OBJETIVOSESPECÍFICOS ........................................................................................................................... 4 INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................................... 4 1.
CONCEPTO DE CONTINUIDAD ........................................................................................................... 4 1.1.
CONTINUIDAD LATERAL ...................................................................................................... 8
1.2.
DISCONTINUIDAD ................................................................................................................ 9
1.2.1.
DISCONTINUIDAD NO EVITABLE.................................................................................. 9
1.2.2.
DISCONTINUIDAD EVITABLE ..................................................................................... 12
COMENTARIO FINAL .......................................................................................................................... 15 REFERENCIAS........................................................................................................................................ 16
ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5
3
CONTINUIDAD
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Comprender el concepto de continuidad de una función, tanto en su método como en su gráfica. Conocer los tipos de discontinuidad que puede presentar una función y aplicarlos a ejemplos prácticos. Comprender a partir de ejercicios propuestos, la continuidad de una función aplicando el concepto de ecuación.
INTRODUCCIÓN Uno de los conceptos más importantes en matemática y especialmente en topología —que es una rama de la matemática— es la continuidad. Una de las características significativas de las funciones continuas es que para puntos cercanos del dominio las imágenes de estos puntos no sufren grandes variaciones. En términos simples, si una función es continua es un punto de su dominio, en consecuencia si entonces . Esta característica permite establecer el comportamiento local de una función continua en su dominio.
≈
()=.
()≈()
Otra propiedad importante de las funciones continuas en un intervalo establece que dado un punto entre dos imágenes de la función continua , existe un punto del dominio tal que Esta propiedad permite, bajo ciertas condiciones, resolver ecuaciones no lineales.
1.
CONCEPTO DE CONTINUIDAD
Según la Real Academia Española se establece que el significado de la palabra continuidad es “unión natural que tienen entre sí las partes del continuo”. En matemática, el concepto de continuidad está asociado al concepto de función. Si se considera la continuidad aplicada a funciones de variable real, una función se denominará continua, en intervalo, si la gráfica de la función no presenta saltos, lo cual indica que está compuesta por una sola pieza. Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.
ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5
4
Función continua
Función discontinua
Fuente: D. Fuentes (2015).
Una función
()
es continua en un punto
>0 >0 ,(). () = Dado
, existe
Fuente: T. Costa (2011).
= | |< ()
tal que siempre que
si:
, entonces
| ()()|<
Esto quiere decir que si se acerca al punto , entonces las imágenes se acercan a la imagen de
Si
no es continua en
se dice que
es discontinua en .
Para que una función sea continua debe cumplir con tres condiciones: a.
Que exista límite de la función
lim () ⇒ →lim ()=lim→ () → b. c.
() ⇒ () lim→ ()=()
Que
esté definida en
ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5
5
Ejemplo 1:
Dada la función
+ ≤1
()= 21 >1
Estudiar su continuidad
Primero, se debe probar si existe límite
(1) l→−im 2 = 2(1) = 112 = 02 =0 lim 21= (1) 2(1)1=121=0 →− Por lo tanto, se puede concluir que el límite existe y es 0 Segundo, se debe saber si está definida. Se observa que
+ si ≤1
, por lo tanto está definida y se puede calcular
(1) (1)= 2(1) = 112 = 02 =0 → ()=() lim→ ()=0 y (1) también es 0 =1 Tercero,
Y efectivamente el
Por lo tanto, como se cumplen las tres condiciones se puede asegurar que
()
es continua en
Ejemplo 2:
2 <3 ()= − >3 →lim 2= 32=5 l→im 31 = 10 = 01 =∞ lim→ () Dada la función
Primero, se debe probar si existe límite
Por lo tanto,
no es continua porque no coinciden los límites laterales.
ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5
6
Ejemplo 3:
Dada la función
2 1 ≤1 ()= 3 1<<2 { 310 ≥2
Determinar los valores de a y b para que la función sea continua en los reales. Para comenzar, se debe estudiar la continuidad en los puntos que pudieran presentar problemas, en este caso el 1 y el 2.
= →lim ()= →lim () →lim 2 1=lim → 3 2∙1 1=∙13 21=3 1=3 = →lim ()= →lim () →lim 3=lim → 310 ∙23=3∙210 23=610 23=16 Primero, para
Primera ecuación
Segundo, para
Segunda ecuación
De esta forma se tiene un sistema de ecuaciones lineales
3=1 ∙(1) 23=16
ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5
7
3=1 23=16 0=15 =15
Ahora que ya se tiene el valor de , se reemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones, en este caso en la primera.
3=1 153=1 3=14 = 143
1.1. CONTINUIDAD LATERAL Se dice que una función
()=lim→ ()
()
es continua por la izquierda en el punto
=
si:
Fuente: D. Fuentes (2015)
ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5
8
Se dice que una función
()=lim→ ()
()
es continua por la derecha en el punto
=
si:
Fuente: D. Fuentes (2015)
1.2. DISCONTINUIDAD Existen dos tipos de discontinuidad: evitable y no evitable o inevitable. La ocurrencia de cada una de ellas depende de cuál de las tres condiciones expuestas anteriormente puede fallar.
1.2.1. DISCONTINUIDAD NO EVITABLE Existen tres tipos de discontinuidad no evitable. a. La primera es cuando los límites existen, son finitos pero son diferentes entre ellos. En este caso se está ante una discontinuidad de salto finito.
→lim () ≠ →lim ()
Fuente: D. Fuentes (2015)
ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5
9
Ejemplo:
Sea la función
<2 ()= 21 5 ≥2
Evaluar la continuidad de la función para
=2
→lim ()= →lim () →lim 21=lim → 5
2∙21=25 3≠7
±∞ lim→ ()=± ∞ lim→ ()=±∞
b. Otro tipo de discontinuidad no evitable que se puede presentar es cuando uno o ambos límites laterales son . En este caso se está ante una discontinuidad de salto infinito.
Fuente: D. Fuentes (2015)
Ejemplo:
Sea la función
21 <2 ()= − ≥2 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5
10
Evaluar la continuidad de la función para
→lim ()= →lim () l→im 21=lim→ 21
=2
2∙21= 221 5≠ 01 5≠∞
c. Por último, puede suceder que uno de los límites sí exista pero el otro no, en este caso se está ante una discontinuidad esencial.
lim→ ()=∃ lim→ ()=∄
Fuente: D. Fuentes (2015)
Ejemplo:
Sea la función
()=2 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5
11
→lim ()= →lim () →lim 2= ∄
12=∄ 3≠∄
1.2.2. DISCONTINUIDAD EVITABLE Existen dos tipos de discontinuidades evitables, en este caso se puede redefinir esta función en el punto de estudio y de esta forma hacerla continua.
lim→ ()=∃ pero ()no está definida
Fuente: D. Fuentes (2015)
3 <4 ()= 7 >4 →lim ()= →lim () →lim 3=lim → 7 34=7 7=7 Ejemplo:
Sea la función
ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5
12
=7 lim→ ()=() lim→ ()=(4) < > ≤ ≥ lim→ ()= ∃ ,además () está definina,pero lim→ ()≠()
Se puede comprobar que el límite existe para continua. Para eso = ningún punto de la función ya que no la incluye. Esto se puede evitar sustituyendo
, pero ahora es importante evaluar si es , pero no se puede sustituir el 4 en
por
Fuente: D. Fuentes (2015)
Ejercicios propuestos.
Dada la función
1 ≤0 ()= 32 >0 →lim ()= →lim () →lim 1=lim → 32 0 1=3∙02 1≠2 Evaluar su continuidad
Función discontinua no evitable de salto finito. Para
Para
ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5
13
Fuente: D. Fuentes (2015)
ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5
14
COMENTARIO FINAL En el transcurso de esta semana se ha fortalecido el estudio de la continuidad de funciones. En el estudio de la continuidad se ha definido y aplicado su concepto, estimando su valor y representándolo gráficamente. El concepto de continuidad aunque parece tan lejano no esta tan alejado de nuestra realidad y es tremendamente necesario. A menudo nos encontramos con diferentes fenómenos con características y comportamiento continuos como por ejemplo el crecimiento, la velocidad, el volumen entre otras. Como continuidad en la vida cotidiana podemos asociarlo y es aplicable a todo proceso continuo, gradual y que no presenta interrupciones.
ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5
15
REFERENCIAS Prado D. (2006). Cálculo diferencial para ingeniería. Segunda edición. México: Pearson Educación. Stewart, J.; Redlin, L. y Watson, S. (2007). Precálculo. Quinta edición. Santa Fe, México: Editorial Cengage Learning.
PARA REFERENCIAR ESTE DOCUMENTO, CONSIDERE: IACC (2015). Continuidad. Fundamentos de cálculo. Semana 5.
ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5
16
ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5
17
