FUNDAMENTOS DE CÁLCULO
SEMANA 1
Sumatorias
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ÍNDICE SUMATORIAS ....................................................................................................................................... 4 OBJETIVOSESPECÍFICOS ........................................................................................................................... 4 INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................................... 4 1.
SUCESIONES................................................................................................................................... 4 1.1.
TÉRMINO ENÉSIMO ............................................................................................................. 5
1.2.
SUCESIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA ....................................................................................... 5
1.3.
PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS ................................................................. 8
2.
INDUCCIÓN .................................................................................................................................. 10
3.
SUMATORIAS ............................................................................................................................... 11 3.1.
TEOREMA DEL BINOMIO ................................................................................................... 14
3.1.1 FACTORIAL ........................................................................................................................... 14 COMENTARIO FINAL .......................................................................................................................... 16 REFERENCIAS........................................................................................................................................ 17
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SUMATORIAS
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Aplicar el concepto de término enésimo para la formación de sucesiones lineales y cuadráticas. Comprender y aplicar el concepto de progresión para el cálculo de términos solicitados al igual que para la suma de los mismos en contextos reales. Conocer el teorema principal de inducción para comprobar la veracidad de un enunciado. Comprender y aplicar los principios y las propiedades de las sumatorias aplicadas a la resolución de problemas.
INTRODUCCIÓN Durante esta primera semana se abordarán temas que tienen relación con sumatorias y sus propiedades. Para comenzar se analizarán las sucesiones que ayudan a desarrollar la lógica en un ejercicio de modelamiento matemático. A su vez, se reconocerán las sucesiones lineales y cuadráticas además del tema de inducción. Las sumatorias ayudarán a encontrar la suma de un conjunto finito de números, para ello se pueden utilizar las propiedades de las sumatorias y aplicar sus fórmulas que serán muy útiles como aplicación a situaciones de la vida cotidiana. Las temáticas están presentadas como definiciones y ejemplos concretos tratando de dar énfasis a la resolución de problemas y al trabajo individual.
1. SUCESIONES Una sucesión es un conjunto de números que sigue una secuencia lógica y donde cada uno de ellos tiene un orden determinado de acuerdo a su ley de formación. Las sucesiones pueden ser de orden creciente o decreciente. Por ejemplo:
Esta es una sucesión cuyo primer término es 3, es una sucesión creciente ya que el valor de sus términos va aumentando y la diferencia entre ellos es +2.
Fuente: material elaborado especialmente para esta asignatura.
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1.1. TÉRMINO ENÉSIMO El término enésimo o término general es aquel que determina el orden de la sucesión. Ejemplo 1:
Encontrar los 4 primeros términos de
desde
. Esto es:
Primer término Segundo término Tercer término Cuarto término Por lo tanto la sucesión sería 3, 5, 7, 9 Ejemplo 2:
Obtener los 3 primeros términos de
desde n = 0. Esto es:
Por lo tanto, los términos de la sucesión son: {
1.2. SUCESIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA
Una sucesión lineal tiene la forma corresponde a la diferencia, , donde posición del término y es el valor que falta para completar el término enésimo.
es la
Observa la siguiente sucesión:
La diferencia entre ellos es +3, por lo tanto
corresponde a
.
El primer término de la sucesión corresponde a 5, pero esto no coincide al evaluar el primer término de ( ), por lo tanto hay que sumar 2, quedando la expresión que modela la sucesión: . Ahora es necesario comprobar: Para el primer término Para el segundo término Para el tercer término
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Para el cuarto término Y así sucesivamente.
Esto permite determinar cualquier término de la sucesión, por ejemplo calcular el término 10 de esta sucesión:
O calcular el término 15 de esta sucesión:
Ejemplo 3:
a. Hallar el término enésimo de la siguiente sucesión. b. Hallar el término 12 de la sucesión.
Primero se trabaja con el numerador: La diferencia entre los términos de los númeradores es +5, por lo tanto se tiene Al evaluar el primer término no coincide el primer término que es 3, por lo tanto hay que restar 2, quedando la expresión , para el numerador.
Luego se trabaja con el denominador: La difrencia entre los términos de los denominadores es +3, por lo tanto se tiene Al evaluar el primer término no coincide con el primer término que es 4, por lo que hay que sumar 1, quedando la expresión , para el denominador.
Finalmente el término enésimo está dado por la expresión:
Ahora se puede calcular el término 12 de la sucesión: ¿Cómo reconocer una sucesión lineal?
es el término 12.
Observa la siguiente sucesión:
+6
+6
+6
Fuente: material elaborado especialmente para esta asignatura.
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La diferencia entre cada uno de los términos es +6, valor que es constante para todos los términos y se encuentra de forma inmediata. Si la difencia es constante e inmediata o de primer orden, se está ante una sucesión lineal. Pero ¿qué pasa con esta otra sucesión?
Fuente: material elaborado especialmente para esta asignatura.
Su diferencia no es constante, por lo tanto no es una sucesión lineal. Entonces ¿qué tipo de sucesión es? Para saber qué tipo de sucesion es se debe volver a encontrar diferencias ahora en un segundo orden.
Fuente: material elaborado especialmente para esta asignatura.
Si ya se tiene un valor constante, pero que no fue inmediato pues fue necesario volver a sacar sus diferencias, a esta sucesión se le denomina sucesión cuadrática. Una sucesión cuadrática tiene la forma
Donde: corresponde a la diferencia común de segundo orden. corresponde a la diferencia entre el primer y segundo término corresponde al primer término de la sucesión.
Para encontrar entonces la forma o expresión general para la sucesión anterior: A=2 B=2 C=2 Se debe reemplazar en la forma de una expresión cuadrática:
( ) Se puede verificar el término enésimo, en donde: Primer término Segundo término Tercer término Cuarto término Y así sucesivamente.
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Ahora bien, si se necesita encontrar el término 8 de esta sucesión se aplica la expresión general: .
1.3. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS a) Progresiones aritméticas Definición:
Se puede decir que el número están en progresión aritmética si para todo número natural se cumple que existe un número tal que: (d = diferencia)
{
En este caso, es cierto que para todo valor de Entonces, si los números están en progresión aritmética siempre se puede determinar (restando dos términos consecutivos) de manera de poder escribir:
Ejemplo: Pruebe que los números 1, 3, 5, 7, 9 están en
progresión aritmética. Entonces, notemos que esta progresión aritmética tiene 5 términos Ahora se debe calcular todas las diferencias de dos términos consecutivos.
Entonces sí están en progresión aritmética y diferencia de la progresión.
. Al valor de
se le conoce como la
¿Se puede calcular la suma de términos que están en progresión aritmética? El objetivo es ahora calcular la suma de , es decir:
Se debe observar que estos están en progresión aritmética, por lo que
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.
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Entonces se debe usar este hecho para calcular la suma de ellos:
=
b) Progresión geométrica
Definición: Los números
Donde
están en progresión geométrica si satisfacen:
es una constante llamada razón.
Para conocer una progresión geométrica nos es suficiente conocer el primer término razón R, pues
y la
y así sucesivamente usted puede
demostrar, usando inducción matemática, el siguiente teorema: Teorema: Si
están en progresión geométrica, entonces para todo
Ahora es necesario calcular la suma de los elementos de una progresión geométrica, es decir:
=
Para ello se utiliza la siguiente fórmula:
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Ejemplo: Calcular la suma de los 7 primeros términos de la progresión : 2, 4, 8, 16, 32…..
2. INDUCCIÓN
La inducción matemática es una herramienta de demostración matemática y que usualmente se aplica para establecer que un enunciado es verdadero para todos los naturales. El principio de la inducción señala que cierta propiedad puede ser cierta si:
a. ) es cierta, es decir, el natural 1 verifica la propiedad. b. Cada vez que es cierta se puede probar que también es cierta. Entonces se puede decir que cualquier número natural verifica la propiedad.
Ejemplo 1:
Demuestra que para todo natural se cumple que:
Solución:
,
Para Para
comprobado para
.
)
Se suma a ambas partes la expresión
a ambos lados:
Lo que asegura que es cierta para Ejemplo 2:
Demostrar que Demostrar para
es divisible por 2, para todo
por lo tanto es divisible por 2
Demostrar para
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Demostrar para
Por lo tanto, Luego,
se acepta como divisible por 2 y es divisible por 2.
como divisible por 2.
3. SUMATORIAS
Definición: Sean reales puede ser denotada por:
números reales, la suma de todos estos números
Donde
∑
es la letra griega sigma.
Como esta es una manera de denotar la suma de una colección de elementos, se puede decir que cumple con las propiedades usuales de la suma:
Fuente: material elaborado especialmente para esta asignatura.
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Fuente: material elaborado especialmente para esta asignatura.
Algunas fórmulas de las sumatorias son:
Ejemplo 1:
Calcular
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Primero, se aplica la propiedad N° 5:
Luego, para la primera sumatoria se aplica la propiedad 6 y para la segunda sumatoria se aplica la propiedad 3:
Posteriormente, se calcula el valor de la primera sumatoria aplicando fórmula:
Finalmente, se suman ambos valores:
Ejemplo 2:
Calcular
Primero, se debe identificar que la sumatoria no comienza desde 1, por lo tanto en este caso es necesario comenzarla desde 1 pero quitándole todo lo que no considera la sumatoria:
Luego, se aplica fórmula para ambas sumatorias y se obtiene el valor final:
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3.1. TEOREMA DEL BINOMIO El siguiente teorema entrega una técnica para calcular expresiones de la forma es sabida la fórmula para .
Pero ¿qué pasa cuando se quiere calcular por ejemplo veces la expresión para por sí misma:
. Para ello
? Una opción sería multiplicar 5
Esto sería un proceso un poco tedioso. El teorema del binomio entrega la facilidad de calcular esto con una sola fórmula.
3.1.1 FACTORIAL Para cada En efecto, Para cada
se llama a factorial a
=
y se define además a
=1
se llama número combinatorio a:
Ejemplo 1:
()
Teniendo las definiciones anteriores se puede continuar con la fórmula para la teoría del binomio, que señala que: Para todo
y para todo
se cumple que:
Ejemplo 2:
Determine el quinto término en el desarrollo de
:
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() ()
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COMENTARIO FINAL En el transcurso de esta semana se han fortalecido los conceptos de sucesión y de sumatorias. En sucesiones se puede comprender cómo se modelan situaciones concretas hasta encontrar el término enésimo de una sucesión, reconociendo que este término permitirá encontrar cualquier otro valor de esta. En cuanto a las sumatorias se ha trabajado con sus propiedades y el cálculo de estas, dando respuestas a los requerimientos de cada situación. En este contexto, la teoría del binomio puede ser una excelente herramienta de modelamiento matemático ya que permite desarrollar la capacidad de análisis y de razonamiento.
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REFERENCIAS Stewart, J.; Redlin, L. & Watson, S. (2007). Precálculo. Quinta edición. Santa Fe, México: Editorial Cengage Learning.
PARA REFERENCIAR ESTE DOCUMENTO, CONSIDERE: IACC (2015). Sumatorias. Fundamentos de Cálculo. Semana 1.
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