CÁLCULO
SEMANA 3
MONOTONÍA Y PARIDAD
INTRODUCCIÓN Utilizar modelos que permitan resolver problemas prácticos es de vital importancia en ingeniería. Asimismo, es importante conocer el comportamiento de las funciones asociadas a esos modelos, ya que al conocer, por ejemplo, el crecimiento o decrecimiento de la función podemos realizar algunas predicciones. Del mismo modo, conocer las propiedades que caracterizan a diferentes tipos de funciones ayuda a comprender y resolver de mejor manera el tipo de situaciones anteriormente descritas. Dentro del conjunto de propiedades que se pueden analizar, las cuales nos permiten reorganizar la información asociada a un modelo, se encuentran la monotonía y la paridad.
MONOTONÍA Y PARIDAD El estudio que se realizará respecto de la monotonía y paridad se abordará en relación a las funciones elementales. Las funciones elementales constituyen un tipo de funciones de variable real. Estas funciones son de utilidad para resolver y modelar problemas prácticos. El estudio de la monotonía consiste en determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. Por otro lado, la paridad de una función está asociada a la simetría de la gráfica de la función, ya sea respecto del origen o respecto del eje de las ordenadas. Definición. Consideremos I un subconjunto no vacío de los números reales y f : I → R
función. Diremos que f es una función: a. Creciente en I , si y solamente si se tiene que para todo a, b ∈ I tales que a < b se tiene que f ( a ) < f ( b ) .
1
b. Decreciente en I , si y solamente si se tiene que para todo a, b ∈ I tales que a < b se tiene que f ( a ) > f ( b ) .
Ejemplo. Si consideramos la función afín definida por f ( x ) = mx + n , donde m ≠ 0 tenemos
que: a. Si m > 0 , entonces la función afín dada es creciente en R . En efecto, supongamos que a, b ∈ son tales que a < b . Entonces se tiene que: a < b ⇒ ma < mb ⇒ ma + n < mb + n
De donde podemos deducir que f ( a ) < f (b ) . Así de lo anterior se tiene que la función lineal dada es creciente. b. Si m < 0 , entonces la función lineal dada es decreciente en R . En efecto, supongamos que a, b ∈ R son tales que a < b . Entonces se tiene que: a < b ⇒ ma > mb ⇒ ma + n > mb + n
De donde podemos deducir que f ( a ) > f ( b ) . Así de lo anterior se tiene que la función lineal dada es decreciente. Observación 1. Si conocemos la gráfica de una función podemos determinar los intervalos
de crecimiento y decrecimiento de una función, como se menciona a continuación. • Si conocemos la gráfica de la función f y observamos que al desplazarnos por el eje
de las X de izquierda a derecha se tiene que la gráfica de la función “sube” , esto nos indica que la función es creciente. La siguiente figura ilustra la gráfica de una función creciente.
2
Fuente: Costa, T. (2011). IACC.
Observe que si a < b entonces f ( a ) < f ( b )
• Análogamente al caso anterior, si conocemos la gráfica de la función f y observamos
que al desplazarnos por el eje de las X de izquierda a derecha se tiene que la gráfica de la función “ baja” , esto nos indica que la función es decreciente. La siguiente figura ilustra la gráfica de una función creciente.
Fuente: Costa, T. (2011). IACC.
Observe que si a < b entonces f ( a ) < f ( b ) Definición. Consideremos una función de variable real f : R → R . Diremos que f es una
función:
3
a. Par si y solamente si para todo x ∈ R se tiene que f ( − x ) = f ( x ) .
b. Impar si y solamente si para todo x ∈ R se tiene que f ( − x ) = − f ( x ) .
Ejemplo. Determinemos si las siguientes funciones son pares o impares.
a. f ( x ) = 3x 2 + 3 . Solución. Para determinar si la función dada es par o impar debemos analizar si se
cumple que f ( − x ) = f ( x ) para todo número real x o si f ( − x ) = − f ( x ) para todo número real, respectivamente. Observe que: 2
2 f ( − x ) = 3 ( − x ) + 3 = 3x + 3 = f ( x )
Por lo tanto, la función f ( x ) = 3x 2 + 3 es una función par. b. f ( x ) = − x 3 + 2 x Solución. Para determinar si la función dada es par o impar debemos analizar si se
cumple que f ( − x ) = f ( x ) para todo número real x o si f ( − x ) = − f ( x ) para todo número real, respectivamente. Observe que: 3
f ( − x ) = − ( − x ) + 2 ( − x )
= − ( − x 3 ) − 2 x = x 3 − 2x = − ( − x 3 + 2x ) = − f ( x )
Por lo tanto, la función f ( x ) = − x 3 + 2 x es una función impar.
4
x + 3x − x 5
c. f ( x ) =
3
x + 1 2
Solución. Para determinar si la función dada es par o impar debemos analizar si se
cumple que f ( − x ) = f ( x ) para todo número real x o si f ( − x ) = − f ( x ) para todo número real, respectivamente. Observe que: 5 3 ( − x ) + 3 ( − x ) − ( − x ) f ( − x ) = 2 ( − x ) + 1
=
− x 5 + 3 ( − x 3 ) + x x + 1 2
− x 5 − 3x 3 + x x 5 + 3x 3 − x = =− = − f ( x ) 2 2 x +1 x +1
Por lo tanto, la función f ( x ) = 3x 2 + 3 es una función par. Observación 2. No toda función f : R → R es par o impar. En efecto, si consideramos por
ejemplo la función polinomial f ( x ) = 3x 4 + 2 x 3 + 4 x − 1 podemos observar que: 4
3
f ( − x ) = 3 ( − x ) + 2 ( − x ) + 4 ( − x ) − 1
(1)
= 3 x 4 − 2 x 3 − 4 x − 1
Mientras que: − f ( x ) = − 3x 4 + 2 x 3 + 4 x − 1
(2)
= −3 x 4 − 2 x 3 − 4 x + 1
Por lo tanto, de las igualdades (1) y (2) podemos deducir que: •
f ( x ) = 3x + 2 x + 4 x − 1 no es una función par ya que f ( − x ) ≠ f ( x ) .
•
f ( x ) = 3x 4 + 2 x 3 + 4 x − 1 no es una función impar ya que f ( − x ) ≠ − f ( x ) .
4
3
5
Sin embargo, dada una función real f : R → R , siempre podemos descomponer f como la suma de una función par con una función impar, a saber: f ( x ) =
Observe que la función f ( x ) =
1
1
1
f ( x ) + f ( − x ) + f ( x ) − f ( − x ) 2 2
f ( x ) =
1
f ( x ) + f ( − x ) es una función par, mientras que
2
f ( x ) − f ( − x ) es una función impar.
2
FUNCIONES ELEMENTALES Se denomina función elemental a un cierto conjunto de funciones entre las cuales se encuentran la función lineal, la función afín, la función polinomial, la función parte entera, la función cuadrática, la función raíz cuadrada, entre otras. Estudiar inicialmente este conjunto de funciones permite tener un espectro de modelos matemáticos básicos. Estos modelos permiten abordar ciertos problemas en áreas de la economía, física, entre otras.
Inicialmente se analizarán las propiedades de monotonía y paridad de la función Racional, función Valor Absoluto, función Parte Entera, función Exponencial y la función Logarítmica.
Función racional Una función de variable real f se denomina función racional si: f ( x ) =
a0 + a1 x + ... + an x b0 + b1 x + ... + bm x
n
m
Donde a n , bm ∈ R − {0}. (Prado et al., 2006).
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Estudio de monotonía. Para determinar los intervalos de crecimiento de una función
racional se requiere manejar algunas herramientas del cálculo diferencial. Por este motivo, estudiaremos los intervalos de monotonía de dos casos particulares de función racional: f ( x ) =
1 ax + b
y f ( x ) =
1 ax + bx + c 2
.
Donde a, b, c ∈ R y a ≠ 0 Intervalos de monot onía de f ( x ) =
1 ax + b
. Para determinar los intervalos de monotonía de
la función racional dada usaremos la observación 1 y la gráfica de la función, la cual se estudió en la semana 2. La gráfica de la función racional f ( x ) =
1 ax + b
está dada por:
Fuente: Costa, T. (2011). IACC.
Por lo tanto, si usamos la observación 1 y analizamos la gráfica de la función racional f ( x ) =
•
1 ax + b
podemos observar que:
Si a > 0 entonces f ( x ) =
− b es decreciente en R − . ax + b 2a 1
7
•
Si a < 0 entonces f ( x ) =
Intervalos de monotonía de
− b es creciente en R − . ax + b 2a 1
f ( x ) =
1 ax + bx + c 2
. Para determinar los intervalos de
monotonía de la función racional dada usaremos la observación 1 y la gráfica de la función. Primero, recordemos que la gráfica de la función racional f ( x ) =
1 2 ax + bx + c
está dada por:
1. Si a > 0 los tipos de gráficas asociados a una función racional se ilustran a continuación:
Fuente: Costa, T. (2011). IACC.
Por lo tanto, si usamos la observación 1 y analizamos la gráfica de la función racional f ( x ) =
1 ax 2 + bx + c
podemos observar que si a > 0 entonces:
b • f es creciente en −∞, − y f es decreciente en 2a
b 2 − 2a , +∞ , si b − 4ac ≤ 0 .
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b b • f es creciente en −∞, − − {r 1} y f es decreciente en − , +∞ − {r 2 } , si 2a 2a b 2 − 4ac > 0 . Donde r1 , r 2 son las raíces de la ecuación ax 2 + bx + c = 0
2. Si a < 0 los tipos de gráficas asociados a una función racional se ilustran a continuación:
Fuente: Costa, T. (2011). IACC.
Por lo tanto, si usamos la observación 1 y analizamos la gráfica de la función racional f ( x ) =
1 ax + bx + c 2
podemos observar que si a < 0 entonces:
•
b b y es creciente en , si b 2 − 4ac ≤ 0 . f es decreciente en −∞, − f − , +∞ 2a 2a
•
b b y es creciente en f es decreciente en −∞, − r f − − , +∞ − {r 2 } , si { } 1 2a 2a b − 4ac > 0 . Donde r1 , r 2 son las raíces de la ecuación ax + bx + c = 0 2
2
9
Estudio de paridad. Para determinar si una función racional es par o impar solo debemos
aplicar la definición. Lamentablemente no todas las funciones racionales son par o impar, de hecho existen funciones racionales pares, impares y ni pares ni impares. Ejemplo. Observe que:
•
f ( x ) =
2 x − 1 3 x + 1
f ( − x ) =
•
2
no es ni par ni impar, en efecto ya que f ( − x ) =
−2 x − 1 ≠ f (x) y 3 x 2 + 1
−2 x − 1 ≠ − f ( x ) . 3 x 2 + 1
−3 x 4 + 6 x 2 + 2 f ( x ) = x3 + 7 x
es
una
función
impar
ya
que
−3 x 4 + 6 x 2 + 2 − 3x 4 + 6 x 2 + 2 f ( − x ) = =− = − f (x) 3 x + 7x − x 3 − 7 x
Función Exponencial Definición. Sea a > 0 , a ≠ 1 , definimos la función exponencial de base a ,
f : R → R ,
definida por f ( x ) = a x .
Propiedades de la func ión exponencial
A continuación realizaremos un estudio de las funciones exponenciales indicando las propiedades que satisfacen, además de analizar su gráfica dependiendo de los valores que puede tomar su base. Consideremos a > 0 , a ≠ 1 , y la función exponencial de base a ,
f : R → R , definida por
f ( x ) = a , entonces se tiene que: x
a. La función exponencial tiene como dominio el conjunto de los números reales, independiente de la base de la función exponencial.
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b. Una función exponencial tiene como conjunto imagen el conjunto de los números reales positivos. c. La gráfica de una función exponencial siempre intersecta el eje de las ordenadas solamente en el punto ( 0,1) . Para ilustrar lo anterior revisemos en un mismo eje coordenado, la gráfica de las x
1 funciones exponenciales f ( x ) = e , g ( x ) = 2 , h ( x ) = 4 x
x
Fuente: Costa, T. (2011). IACC.
De la figura anterior, podemos observar que las tres gráficas intersectan al eje de las ordenadas solamente en el punto ( 0,1) .
d. Toda función exponencial es positiva, es decir f ( x ) = a x > 0 , para todo x ∈ R . Por lo tanto, la ecuación a x = 0 , no posee solución en el conjunto de los números reales. e. Una función exponencial f ( x ) = a x es creciente si y solamente si a > 1 y es decreciente si y solamente si a < 1 . Lo anterior puede quedar en evidencia si analizamos la gráfica de las funciones x
1 exponenciales f ( x ) = 3 y g ( x ) = sobre un mismo eje coordenado. 3 x
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Fuente: elaboración propia.
De la gráfica podemos observar que la función f es una función creciente, mientras que la función g es decreciente. f. Sí a, b ∈ + son tales que a ≠ 1 y b ≠ 1 entonces para todo x, y ∈ se tiene que las siguientes propiedades de potencias se satisfacen. +y
•
x y x a a =a
•
(a )
•
( ab ) = a xb x .
•
a a = x . b b
•
a
x
y
.
= a xy .
x
x
x y
a
x
= a x − y , para todo x, y ∈ .
g. Dado x ∈ no nulo se tiene que si a, b ∈ R + son tales que a ≠ 1 y b ≠ 1 entonces a = b si y solamente si a = b . x
x
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Función Logarítmica Definición. Considere a ∈ R + , a ≠ 1 , definimos la función logaritmo en base a por: +
R → R
log a
y → log a ( y )
Donde log a ( y ) = x si y solamente si a x = y . Observación. La expresión log a ( y ) se lee logaritmo en base a de y . Ejemplo. En cada caso determinemos el valor de la variable x .
a. log3 ( 27 ) = x . Si aplicamos la definición de función logaritmo tenemos:
log 3 ( 27 ) = x ⇔ 3 = 27 ⇔ 3 = 33 x
x
Por lo tanto, se tiene que log 3 ( 27 ) = x si y solamente si x = 3 . 3
b. log x ( 8 ) = . Si aplicamos la definición de función logaritmo tenemos: 2
log x ( 8 )
=
3 2
⇔
3
=8
x 2 2
x
3
⇔
=8
3
Por lo tanto, se tiene que log x ( 8 ) = si y solamente si x = 4 . 2
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Propiedades de las fun ciones logarítmicas
Consideremos a > 0 , a ≠ 1 , y la función logarítmica de base a ,
+
f : R → R , definida por
f ( x ) = log a ( x ) , entonces se tiene que:
a. La gráfica de la función logarítmica intersecta al eje las abscisas solamente en el punto
(1, 0) , independiente de la base de la función logarítmica. Lo anterior se ilustra en la siguiente figura
Fuente: Costa, T. (2011). IACC.
b. La gráfica de la función logarítmica no intersecta al eje de las ordenadas. De hecho, independiente de la base de la función logarítmica se tiene que log a ( 0 ) no está definida. c. La función logarítmica es creciente si a > 1 , mientras que si a < 1 la función logarítmica es decreciente lo cual queda en evidencia al analizar la siguiente figura.
Fuente: Costa, T. (2011). IACC.
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d. Si a ∈ R + es tal que a ≠ 1 entonces para todo x, y ∈ R + se tienen las siguientes propiedades: •
log a ( xy ) = log a ( x ) + log a ( y ) .
•
log a
•
log a ( x n ) = n log a ( x ) , para cualquier n ∈ R .
x = log a ( x ) − log a ( y ) . y
Observación. Es importante señalar que: log a ( x + y ) ≠ log a ( x ) + log a ( y ) log a ( x − y ) ≠ log a ( x ) − log a ( y ) log a ( x ) log a ( y )
≠ log a ( x ) − log a ( y )
e. Si a, b ∈ + son tales que a ≠ 1 y b ≠ 1 entonces para todo y ∈ + se tiene que: loga ( y ) =
logb ( y ) logb ( a )
.
Observación. En las bases de las funciones exponenciales existen dos bases que
destacaremos, la base b = 10 y la base b = e , definiendo respectivamente las funciones logarítmicas conocidas como función “ logaritmo común” y función “ logaritmo natural” , las cuales se denotan por log = log10 y ln = loge respectivamente.
Función parte entera y función valor absoluto En esta sección estudiaremos dos funciones de variable real que se utilizan en el cálculo diferencial y algunas aplicaciones, la función parte entera y la función valor absoluto.
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Función parte entera Para iniciar el estudio de la función parte entera consideremos el siguiente problema: Un estacionamiento en el centro de Santiago cobra a los usuarios por el uso del estacionamiento $ 1.200 por hora cada hora o fracción de uso, con un tope de $ 12.000 diarios. El horario de funcionamiento del estacionamiento es de 10:00 a 22:00 horas. Determine una tabla con los posibles valores a cancelar por parte de los usuarios del estacionamiento, en función del tiempo de uso del estacionamiento. Solución. Observe que el valor a cancelar por un usuario del estacionamiento en función del
tiempo de uso del estacionamiento se expresa en la siguiente tabla: Tiempo
Valor a cancelar
Desde 1 minuto a 59 minutos
1.000
Desde 1 hora a 1 hora 59 minutos
2.000
Desde 2 horas a 2 horas 59 minutos
3.000
Desde 3 horas a 3 horas 59 minutos
4.000
Desde 4 horas a 4 horas 59 minutos
5.000
Desde 5 horas a 5 horas 59 minutos
6.000
Desde 6 horas a 6 horas 59 minutos
7.000
Desde 7 horas a 7 horas 59 minutos
8.000
Desde 8 horas a 8 horas 59 minutos
9.000
Desde 9 horas a 9 horas 59 minutos
10.000
Desde 10 horas a 10 horas 59 minutos
11.000
Desde 11 horas a 12 horas
12.000
Para definir una función que nos permita determinar el valor a cancelar por el uso del estacionamiento consideremos la función de variable real denominada función parte entera, la cual describiremos continuación.
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Definición. Definimos la función Parte Entera por la función de variable real [ ] : R → Z
definida por:
[ x] = n Si y solamente si n ∈ Z y n es el menor entero menor o igual a x . La gráfica de la función parte entera está dada en la siguiente figura.
Fuente: Costa, T. (2011). IACC.
Si volvemos al problema del estacionamiento y consideramos la función parte entera, podemos deducir que la función que determina el monto a cancelar por el uso del estacionamiento por el tiempo de uso es: 1000 + 1000 [ x ] Si 0 < t < 11 f ( t ) = 12000 Si t ≥ 12
Donde t es la cantidad de horas de uso del estacionamiento.
Observación. Una de las aplicaciones de la función parte entera está asociada a la
representación de funciones periódicas, lo cual se ilustra en los siguientes ejemplos.
17
Ejemplo.
Consideremos
la
función
de
variable
real
f : R → R
definida
por
2
f ( x ) = 1 − ( x − [ x ]) . Observe que la gráfica de la función f está dada por:
Fuente: Costa, T. (2011). IACC.
Ejemplo. Considere f : R → R una función de variable real periódica de periodo 2 tal que en
el intervalo [ −1,1] está definida por f ( x ) = x 2 − 1 . Determine una fórmula para f ( x ) sobre la recta real utilizando la función parte entera.
Fuente: Costa, T. (2011). IACC.
1 − ( x − [ x ]) 2 Sí [ x ] es divisible por 2 Solución f ( x ) = 2 1 − ( x − [ x + 1]) Sí [ x ] no es divisible por 2
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Función valor absoluto Definición. Definimos la función Valor Absoluto o módulo por la función de variable real
| | : R → R definida por: x si x > 0 x = 0 si x = 0 − x si x < 0
Es importante mencionar que en algunos textos de cálculo, la función valor absoluto o módulo se define por: x si x ≥ 0 x = − x si x < 0
La gráfica de la función valor absoluto se ilustra en la siguiente figura.
Fuente: Costa, T. (2011). IACC.
Observación. De la gráfica de la función valor absoluto podemos deducir que:
•
La función admite un mínimo en x = 0 .
•
La función es creciente en R + .
•
La función es decreciente en R − .
•
La función es par, es decir − x = x 19
La función valor absoluto posee algunas propiedades que cabe destacar, las cuales mencionamos a continuación. Consideremos x, y ∈ R entonces se tiene que: •
x ≥ 0
•
x = 0 ⇔ x = 0
•
xy = x y
•
x + y ≤ x + y , esta desigualdad se denomina desigualdad triangular.
•
x ≤ y ⇔ − y ≤ x ≤ y .
•
x ≥ y ⇔ x ≤ − y ∨ x ≥ y
Función cúbica y función raíz cuadrada Definición. Una función de variable real f : R → R se denomina función cúbica si f es una
función polinomial de grado 3, es decir: f ( x ) = ax + bx + cx + d 3
2
Donde a, b, c, d ∈ R y a ≠ 0 Ejemplo. La función f ( x ) = x 3 es una función cúbica cuya gráfica está dada por:
20
Fuente: Costa, T. (2011). IACC.
Observe que de la gráfica de f ( x ) = x 3 podemos deducir que: •
La función es creciente en R .
•
La función es impar, es decir ( − x ) = − x 3
3
Función raíz cuadrada Definición. La función raíz cuadrada es una función de variable real definida por f ( x ) = x .
Observe que el dominio de la función raíz cuadrada es el conjunto de los números reales no negativos, es decir Dom ( f ) = [ 0, +∞[ . La gráfica de la función raíz cuadrada se ilustra en la siguiente figura.
Fuente: Costa, T. (2011). IACC.
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De la gráfica de la función podemos deducir que: •
La función es creciente en [0, +∞[ .
•
La función admite un mínimo en x = 0 .
TRASLACIÓN DE FUNCIONES Observe la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas: f ( x ) = x 2 , g ( x ) = ( x − 4 ) h ( x ) = ( x + 5)
2
y
2
Gráfica de
f ( x ) = x
2
Gráfica de
g ( x ) = ( x − 4)
2
Gráfica de
h ( x ) = ( x + 5)
2
Fuente: Costa, T. (2011). IACC.
2
De las gráficas anteriores podemos deducir que las gráficas de las funciones g ( x ) = ( x − 4 ) y 2
h ( x ) = ( x + 5 ) se obtienen desplazando la gráfica de la función f ( x ) = x , 4 unidades a la 2
derecha y 5 unidades a la izquierda respectivamente. Lo anterior no es casualidad, de hecho se tiene que si conocemos la gráfica de la función de variable real f ( x ) entonces la gráfica de la función g ( x ) = f ( x − a ) es: • la gráfica de la función f ( x ) desplazada a unidades a la derecha si a > 0 , o
22
• la gráfica de la función f ( x ) desplazada a unidades a la izquierda si a < 0 . Ejemplo. Consideremos la función racional f ( x ) = g ( x ) = f ( x − 1) =
1 x − 1
1 x
y realicemos un bosquejo de la función
.
Observe que la gráfica de la función racional f ( x ) =
1 x
está dada por:
Fuente: Costa, T. (2011). IACC.
Por lo tanto, la gráfica de la función racional g ( x ) = f ( x − 1) = racional f ( x ) =
1 x
1 x − 1
es la gráfica de la función
desplazada 1 unidad hacia la derecha, como se ilustra en la siguiente
figura.
23
Fuente: Costa, T. (2011). IACC.
Considere las funciones cuadráticas f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x 2 − 4 y h ( x ) = x 2 + 5 . Realicemos la gráfica de las funciones dadas, cada una en un sistema de coordenadas.
Gráfica de
f ( x ) = x 2
Gráfica de
g ( x ) = x2 − 4
h ( x ) = x2 + 5
Gráfica de
Fuente: Costa, T. (2011). IACC.
De las gráficas anteriores podemos deducir que las gráficas de las funciones g ( x ) = x 2 − 4 y h ( x ) = x + 5 se obtienen desplazando la gráfica de la función f ( x ) = x 4 unidades hacia 2
2
abajo y 5 unidades hacia arriba respectivamente.
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Lo anterior no es casualidad de hecho se tiene que si conocemos la gráfica de la función de variable real f ( x ) entonces la gráfica de la función g ( x ) = f ( x ) + a es: • la gráfica de la función f ( x ) desplazada a unidades hacia arriba a > 0 , o • la gráfica de la función f ( x ) desplazada a unidades hacia abajo a < 0 , o
Ejemplo. Consideremos la función racional f ( x ) =
función g ( x ) = f ( x ) + 1 =
1 x − 1
+2=
2 x − 1 x −1
1 x − 1
y realicemos un bosquejo de la
.
Observe que la gráfica de la función racional f ( x ) =
1 x − 1
está dada por:
Fuente: Costa, T. (2011). IACC.
Por lo tanto, la gráfica de la función racional g ( x ) = f ( x ) + 1 = racional f ( x ) =
1 x − 1
2 x − 1 x − 1
es la gráfica de la función
desplazada 1 unidad hacia arriba, como se ilustra en la siguiente figura.
25
Fuente: Costa, T. (2011). IACC.
26
BIBLIOGRAFÍA Prado et al. (2006). Cálculo diferencial para ingeniería . México: Pearson, Prentice Hall.
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