UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA UNIDAD DE CIENCIAS BASICAS
Materia: Matemática III Ciclo: I/2012 GUÍA Nº 5: Funciones de Varios Variables En los ejercicios del 1 al 11 describa la región R del plano coordenado xy que corresponde al dominio de la función dada 6) f x,y
1
1)
2 2 x x y ,y 4
2)
x ,y l n xl n ( s i n
7)
3)
2 x x ,y 6 9 4 3
8)
2 2 x ,y l n y x
9)
1 ,y x s i ny
, 4) f xy
1
x 2 2 x 2 0
5)
x ,y
11)
x ,y
x
xy
x ,y
y
2 2 x y 9 4
10) f x, yxy
1
2 2 1 6 x y
En los siguientes ejercicios determine el dominio de la función dada. 12)
2 2 x x y ,y ,z
1 ,y ,z x 2 2 13) h x y z
Dibujar las siguientes superficies y algunas curvas de nivel. 14)
2 ,y 5 x x
16)
,y 62 3 x x
,y x2y2 15) fx
1
Relacione cada conjunto de curvas de nivel con la superficie adecuada.
17)
a)
18)
b)
19
c)
20)
d)
2
f
En los siguientes ejercicios calcule 21)
x
y
f y
3 2 ,y 3 4 x x y
x y ,y 3 2 23) fx
2 ,y 1 x y x
24)
2 ,y 5 x x y
2
2
,y 25) fx
22)
, 26) fxy 3 x y
3 ( x y
x y 2 3
, e 27) fxy
28)
29)
2 x s i n x ,y 4
31)
x ,y g t x
y
2 3
x ,y 1 ln xy x
30) f x, yy
( g continua para toda t )
En los siguientes ejercicios calcule f x f y y f z ,
32) 34)
1 /
3 ,y ,z 3 x x y
x z l n x y ,y , 2
2
33)
2 2 x y z x x z ( ,,) 3
35)
(, ,z ) xy y z l n x
2 ,,) 2 x y z s i n hx yz 37) (
3 x y
, , ) e 36) f(xyz
En los siguientes ejercicios, calcule la derivada parcial de la función con respecto a cada una de las variables. 38)
c o s t, 2t
,, 4 s i n c o s 40) h k m
c h k m p c m ,,,, 42) A
R R 3 0 ,R 4 5 ,R 9 1 2 R 2
41)
,,,, W P V v g P V
2
1 2 r l
lT ,, ,w r
1 1 1
1
R R R 1 2
3
3
44) calcule
guv , ve
43)
q
u 2 2 v
39)
si
2 2 45) El plano x 1 corta al paraboloide z x y en una parábola. Determine la pendiente
3
de la tangente a la parábola en (1, 2, 5)
Calcule todas las derivadas parciales de segundo orden de las siguientes funciones. 46)
48)
, cosxy 47) hxy
x x y ,y 3 5
2
x ,y l nx y
g x y x y y y , 4 s i n c
49)
2 2 2 f f f 2 2 Muestre que cada una de las funciones siguientes satisface la ecuación 2 x y z
1
x y z x yz , , 2
50 )
2
2
3 4 (, xy ,) z e c o s x y
51)
2w 2 2 c 2 donde c es Muestre que las siguientes funciones son soluciones de la ecuación t2 x una constante. 4
52)
w t sinxc
53)
w c t c o s2 x2
ln2 w x2ct
54)
En los siguientes ejercicios verifique la igualdad de las derivadas parciales cruzadas.
55)
uln3 y2x
w e y l n x x l n x
56)
x y y x s i n s i n 57) h
En los siguientes ejercicios calcule f xy escogiendo el orden más adecuado de derivación.
58)
1
x x y ,y s i n
f x, y x 59) 2 3 2 x yy x yy y , 4l n
, y 60) f xy
61)
Para los siguientes ejercicios construya un diagrama de árbol y calcule
dw
utilizando la regla
dt
de la cadena. Donde se indique, evalúe la derivada en el valor dado de t . 62)
, c o s , s i n , w xy x t y t t
63)
xy 2 2 w x t y t z , c o s , s i n , zz
64)
2l n , l n 1 , t a n , w y e z x t y t z
65)
w z x y x t y t z e t s i n , , l n , ,
2
2
x
1
2
t 1
En los siguientes ejercicios construya un diagrama de árbol y calcule 66)
z u
y
z
v
x 5 l n , l n c o s , s i zey x u v y u
x 1 z x uv y u t a n, c o s , s i 67) y
68) Si
f u,v,w
es
diferenciable
y
, u xy ,v y zy wz
muestre
que.
5
f
f f x y z
69)
El voltaje V de un circuito que satisface la ley V IR cae lentamente cuando la batería se acaba. Al mismo tiempo, la resistencia R aumenta conforme el resistor se calienta. Utilice la ecuación d V V d I
V d d t Id t R
para determinar el cambio de la corriente ( I ) en el instante en que R 600, d V d R I 0 .0 4a m p e re, 0 . 0 1 v o l t s / s e g u n. 0 .0 5 o h m / s e g u n, y d t d t 70)
Muestre que si w f s es cualquier función diferenciable de s y si s y 5x, entonces w w 5 . x y
En los siguientes ejercicios calcule
71) 72)
w r
y
w
2 2 4 2 2 , c o s , s i w xy x r y r
x y , , w , x r y r z z
Suponga que las siguientes ecuaciones definen a y implícita para calcular
x .
Use derivación
dy dx
3 2 x-4 y x 5 73) 3
75)
como una función diferenciable de
x 2 x y y 5 = 2
2
74)
2 5 3 7 x y y x
76)
3 x e s i n x y yl n
y
Derive implícitamente para obtener las derivadas parciales primeras de z 77)
79)
x zy zx y x zes iny z
1 1 1
81) xyz
82)
78)
t a n xy n ta yz
80)
3 3 z x y y z y 5
s i n y zs i n x y s i n x z + +
6
y z e y e l n x l 2 2 3 83) x
Calcule el gradiente de la función indicada en el punto dado. Trace también el gradiente junto con la curva de nivel que pasa por el punto. x y x ,y , 2 ,1
84)
86)
85)
f en
2
2
2
2
x y , , 1 x y , 2 87) g
2
g y x ,y , 1 , x
Calcule
,y , 1 , x l n x y
2 2
el punto indicado
88)
2 2 2 ( , , ) 2 , 1 , , x y z x y zz l n x
89)
( x , y , zz ) 2 3 x y z t a n x z , 1 , ,
90)
, , 1 , 0 , , x y z ec o s z y s i n x
3
22
1
1
x y
Calcule la derivada de la función en P0 en la dirección de v 2
y 1 x , y 3 s e c 2 x y , P 1 , 1 , v 1 , 0 x
91)
92)
, , ,1 , 1 , 2 , 3 , , x y z x y y z z x P v 0
93)
x x y ze c o s y z P v , , 3 , 0 , 0 , 0 , 2 , 1 , 0
Determine las direcciones en que las funciones crecen y decrecen más rápidamente en P0 . Luego calcule las derivadas de las funciones en estas direcciones. 94)
2 x y , , 1 , x yx y e s i n y P 0
95)
y 2 , , ,0 1 , 2 , x y zx ezP l n
Determine todos los máximos locales, mínimos locales y puntos sillas de las siguientes funciones. 96) 98) 100)
2 2 x yxx y y xy , 3 3
3 ,y x x y2 x y 2
4 4 x x y ,y 4
97)
2 x yx x y y y , 4 6 2
99)
2 x x x y ,y 6 2 3
101)
4 x ,y 4 x y x
3
2
7
1
102)
104)
106)
1
, 2 2 xy 1 x y
103)
, xy x y x x 2 e , c o s xy
fx, yysin
105) f
,y 8 3 x x x y 4
2
2
107) Muestre que los únicos máximos y mínimos posibles para z en la superficie 3 3 ocurren en ( 0,0) y ( 3,3) . Muestre que no hay un máximo ni z x y 9 x y un mínimo en el primero de estos puntos y determine si tiene un máximo o un mínimo en el segundo punto.
108) Encuentre la distancia más corta del punto
1,0, -2)
4 . y z al plano x2
109) Una compañía que fabrica cajas ha recibo un pedido de un cliente. El requisito es que la caja sea rectangular de tal modo que la suma de su largo con el perímetro de una sección transversal no exceda de 108 pulgadas.
Determine las dimensiones de una caja que cumpla las especificaciones del cliente de volumen máximo. 8
110) Se va a construir una caja rectangular, sin tapa, de un trozo de cartón de 12 m 2. Encuentre el máximo volumen de esta caja.
Diferencial total. Si z f x, y y
x
y
y
son los incrementos en x y y , entonces las diferenciales de las
variables independientes x y y son dx x y dy y . La diferencial total de la variable dependiente z f x, y es: z z d z d x x y
Aplicación de la diferencial total a cálculos aproximados. es derivable en el punto x y
Supongamos que la función z f x, y total
de
esta
función
está
,
dado
por
zfx x y y fx , ,
El incremento de
donde
x x y y fx , ,y
. Si tomamos la aproximación z dz podemos realizar algunos cálculos aproximados de la siguiente manera: f x x y y f x y x , , x
En la que el error es un infinitésimo de orden superior respecto a x y y .
Ejemplo: estimación del cambio en el volumen. Calcular el volumen de material necesario V para fabricar un vaso cilíndrico de las dimensiones siguientes (figura): Radio interior: R Altura interior: H Espesor de las paredes y del fondo del vaso: k
9
Solución Daremos dos soluciones al problema: la exacta y la aproximada.
Solución exacta: el volumen buscado es igual a la diferencia entre los volúmenes de los 2
2
R k H k cilindros exterior e interior es decir V
Solución aproximada: si f denota el volumen del cilindro interior, entonces 2 ,H fR R . Si las magnitudes R y H aumentan en k , la función f recibirá el incremento
Entonces V
f
, el cual constituye el volumen buscado, es decir V
f .
df o sea:
f f V R R H 2
2 V R H RR
k R H R Hk Tenemos V 2 Como
c m Hc m k 4 , 2 0 , 0 . 1 Si aplicamos estos resultados a datos concretos, por ejemplo R obtenemos: 2
–
2 R k H k Valor exacto: V
2
2
V 4 0 . 1 2 0 0 . 14 2 0 .
–
k R H 2 Valor aproximado: V 10
0 . 1 4 2 2 0 4 5 5 . V
Por lo tanto, mediante la formula aproximada obtenemos un resultado con un error inferior al 2% del valor exacto. Trace la curva f x, yc junto con ecuación de la recta tangente.
f y
la recta tangente en el punto dado. Escriba la
1) Una lata cilíndrica está diseñada para tener un radio de 1 pulgada y una altura de 5 pulgadas, pero estas medidas tienen un error de dr 0.03 y dh 0.1. Estime el cambio absoluto resultante en el volumen de la lata. 2) Cierta empresa fabrica tanques cilíndricos circulares rectos, con 25 pies de altura y 5 pies de radio, para el almacenamiento de melaza. ¿Cuál es la sensibilidad del volumen de los tanques a pequeñas variaciones en la altura y el radio? (es decir, en cambio de una unidad en r ¿cuántas unidades cambia a V ? y un cambio de una unidad en h ¿Cuántas unidades cambia a V ?. Si usted es el encargado de control de calidad preocupado por el volumen correcto de los tanques ¿a qué tendrá que prestar más atención?¿a los radios o a las alturas? 3) Suponga que en el problema anterior los valores de r y h se invierten para que r 25 y h 5 , ¿a cuál de las dos variables deberá prestar mayor atención?
4) Usted planea calcular el área de un rectángulo largo y delgado a partir de las medidas de su largo y ancho. ¿Cuál dimensión debe medir con más cuidado? Justifique su respuesta. 5) Usted planea calcular el volumen dentro de un tramo de tubería que tiene cerca de 36 pulgadas de diámetro y 1 milla de largo. ¿Con cuál medición debe tener más cuidado, con el largo o con el diámetro? ¿por qué? 6) Cerca del punto 1,2), ¿es más sensible y a los cambios en ?¿cómo lo sabe?
,y x x x yy 2
2
a los cambios en x o
7) Un contenedor tiene la forma de una sólido rectangular y tiene una longitud interior de 8 m, un ancho interior de 5 m, una altura interior de 4m y un espesor de 4 cm. Use la diferencial total para aproximar la cantidad de Material necesario para construir el contenedor.
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