4 DISEÑO DE VIGAS VIGAS CONTINUAS CONTINUAS Y LOSAS LOSAS EN UNA DIRECCION DIRECCION 4.1 GENERALIDADES La aplicación aplicación mas inmediata inmediata de la teoría del diseño a flexión flexión del hormigón hormigón armado es cuando se presentan problemas de vigas soportadas por varios apoyos y sistemas de losa que trabajan en una dirección, figura 4.. !stos tipos tipos de estructu estructuras ras son "nicas en el hormigón hormigón armado ya que a diferencia diferencia de otros materiales los ensambles ensambles son monolíticos, es decir no requieren conectores entre elementos y la transferencia de tensiones se reali#a por continuidad estructural. $
%$$&
L
$4
L%
$i
$n
Li
Ln
'igura 4..a. (iga continua y modelo de an)lisis estructural
*+N1
N2
L1
Li
LN
'igura 4..b. Losa en una dirección apoyada en vigas o muros cargueros.
diferencia del diseño de secciones, en donde solo se consideraba un determinado momento, en estos casos se debe conocer la variación del momento flector que prod produc ucen en las las carg cargas as exte extern rnas as en toda toda la long longit itud ud del del elem elemen ento to.. !l mome moment nto o flec flecto tor r varia considerablemente desde el centro de la lu# hasta los apoyos donde cambia de signo, es decir la tracción es en la parte superior de la sección. sección. -gualmente cambia cambia con la presencia de las cargas vivas, situación que se debe considerar en el diseño para tener en cuenta las combinaciones mas desfavorables que puedan actuar en la estructura. La variación variación del momento momento en la longitud longitud de los los elemen elementos tos se puede determinar determinar usando usando el mtodo aproximado de los coeficientes del /- para revisiones o diseños preliminares de estructuras o mediante el uso de algoritmos matem)ticos mas o menos complejos que requieren requieren por lo general la ayuda de una calculadora calculadora programable programable o un computad computador. or. 0odos 0odos estos procedimie procedimientos ntos utili#an por lo general el an)lisis an)lisis estructural estructural el)stico o de prim primer er orde orden. n. !n la prac practi tica ca exis existe ten n proc proced edim imie ient ntos os disp dispon onib ible less de an)l an)lis isis is pl)s pl)sti tico co que que consideran la fisuracion de las secciones y la redistribución inel)stica de tensiones pero estos no se van a considerar en este texto. 4.% 4.%
PATRON DE COLOCACIÓN DE LAS CARGAS
!l primer problema a resolver es la determinación y colocación de las cargas que se van a considerar en el diseño. La carga muerta se estima con base en el peso propio de la estructura y en los elementos que siempre permanecer)n sobre ella, esta carga es constante y no varia en posición. La carga viva por el contrario se estima con bases estadísticas y su valor debe estar de acuerdo al uso y ocupación de la estructura, varia continuame continuamente nte de posición posición y el ingeniero ingeniero debe considerar considerar una disposició disposición n acertada acert ada de esta variación en la estructura. /on el fin de obtener las envolventes de los momentos y las cortantes se recomienda al lector estudiar el tema de las líneas de influencia tratadas en los cursos b)sicos del an)lisis estructural. 1n mtodo simple es colocar la carga carga viva viva de tal forma que se obtengan los valores mas desfavorables desfavorables de momento momento flector flector en las mitades de la luces y en los apoyos. apoyos. $ara las mitades de las luces la carga viva se debe colocar en forma alternada, similar a un tablero de ajedre#, con esto se logran los mayores momentos momentos positivos, positivos, figura 4.%.a y b. Los mayores mayores momentos momentos negativos negativos en cada apoyo se logran logran colocando colocando la carga viva en sus dos tramos adyacentes y altern)ndola altern)ndola en el resto de la estructura, figura 4.%.c. 4.%.c. !l diseño se reali#a para las condiciones condiciones mas exigentes exigentes de los momentos negativos y positivos positivos encontrados anteriormente. 4.& 4.&
MÉTODO DE LOS COEFICIENTES DEL ACI PARA CARGA VERTICAL
/uando se requieran reali#ar comprobaciones comprobaciones r)pidas y dimensionamientos preliminares de los elementos estructura estructurales les antes de proceder a utili#ar mtodos mtodos complejos, complejos,
es
prac practi tico co y senc sencil illo lo util utili# i#ar ar los los coef coefic icie ient ntes es de momen omento to reco recom menda endado doss por por el //- los los cuales fueron obtenidos por comprobaciones el)sticas considerando entre otros aspectos la aplicación alterna de cargas, indicada en el numeral anterior para lograr los m)ximos momentos positivos y negativos en la estructura. La expresión general para hallar los los
diferencia del diseño de secciones, en donde solo se consideraba un determinado momento, en estos casos se debe conocer la variación del momento flector que prod produc ucen en las las carg cargas as exte extern rnas as en toda toda la long longit itud ud del del elem elemen ento to.. !l mome moment nto o flec flecto tor r varia considerablemente desde el centro de la lu# hasta los apoyos donde cambia de signo, es decir la tracción es en la parte superior de la sección. sección. -gualmente cambia cambia con la presencia de las cargas vivas, situación que se debe considerar en el diseño para tener en cuenta las combinaciones mas desfavorables que puedan actuar en la estructura. La variación variación del momento momento en la longitud longitud de los los elemen elementos tos se puede determinar determinar usando usando el mtodo aproximado de los coeficientes del /- para revisiones o diseños preliminares de estructuras o mediante el uso de algoritmos matem)ticos mas o menos complejos que requieren requieren por lo general la ayuda de una calculadora calculadora programable programable o un computad computador. or. 0odos 0odos estos procedimie procedimientos ntos utili#an por lo general el an)lisis an)lisis estructural estructural el)stico o de prim primer er orde orden. n. !n la prac practi tica ca exis existe ten n proc proced edim imie ient ntos os disp dispon onib ible less de an)l an)lis isis is pl)s pl)sti tico co que que consideran la fisuracion de las secciones y la redistribución inel)stica de tensiones pero estos no se van a considerar en este texto. 4.% 4.%
PATRON DE COLOCACIÓN DE LAS CARGAS
!l primer problema a resolver es la determinación y colocación de las cargas que se van a considerar en el diseño. La carga muerta se estima con base en el peso propio de la estructura y en los elementos que siempre permanecer)n sobre ella, esta carga es constante y no varia en posición. La carga viva por el contrario se estima con bases estadísticas y su valor debe estar de acuerdo al uso y ocupación de la estructura, varia continuame continuamente nte de posición posición y el ingeniero ingeniero debe considerar considerar una disposició disposición n acertada acert ada de esta variación en la estructura. /on el fin de obtener las envolventes de los momentos y las cortantes se recomienda al lector estudiar el tema de las líneas de influencia tratadas en los cursos b)sicos del an)lisis estructural. 1n mtodo simple es colocar la carga carga viva viva de tal forma que se obtengan los valores mas desfavorables desfavorables de momento momento flector flector en las mitades de la luces y en los apoyos. apoyos. $ara las mitades de las luces la carga viva se debe colocar en forma alternada, similar a un tablero de ajedre#, con esto se logran los mayores momentos momentos positivos, positivos, figura 4.%.a y b. Los mayores mayores momentos momentos negativos negativos en cada apoyo se logran logran colocando colocando la carga viva en sus dos tramos adyacentes y altern)ndola altern)ndola en el resto de la estructura, figura 4.%.c. 4.%.c. !l diseño se reali#a para las condiciones condiciones mas exigentes exigentes de los momentos negativos y positivos positivos encontrados anteriormente. 4.& 4.&
MÉTODO DE LOS COEFICIENTES DEL ACI PARA CARGA VERTICAL
/uando se requieran reali#ar comprobaciones comprobaciones r)pidas y dimensionamientos preliminares de los elementos estructura estructurales les antes de proceder a utili#ar mtodos mtodos complejos, complejos,
es
prac practi tico co y senc sencil illo lo util utili# i#ar ar los los coef coefic icie ient ntes es de momen omento to reco recom menda endado doss por por el //- los los cuales fueron obtenidos por comprobaciones el)sticas considerando entre otros aspectos la aplicación alterna de cargas, indicada en el numeral anterior para lograr los m)ximos momentos positivos y negativos en la estructura. La expresión general para hallar los los
%
momentos tiene la forma de 2 3 coef. q L donde q es la carga uniformement uniformementee distribuida y L 5 la lu# libre. !l mtodo permite hallar igualmente las fuer#as cortantes en cada tramo de la estructura continua con la expresión ( 3 coef. q L 6 %.
$ara la aplicación adecuada de estos coeficientes se deben cumplir las siguientes limitac limitacion iones es geomtricas geomtricas y de carga en la estructura. estructura. /uando no se cumple alguno de estos requisitos requisitos se debe utili#ar utili#ar un mtodo de an)lisis an)lisis hiperestat hiperestatico ico como el de rigide#, rigide#, matricial, matricial, solución solución de ecuaciones ecuaciones simultaneas. simultaneas.
• • • • •
7e tengan mínimo dos luces Las luces sean aproximadamente iguales y la mayor de dos luces adyacentes no debe exceder exceder a la menor menor en mas del %89. Las cargas sean uniformemente uniformemente distribuidas distribuidas La carga viva no exceda en mas de tres veces la carga muerta Las secciones sean prism)ticas.
qm : Carga muerta qv : Carga viva
:
/
;
!
'
a< $atrón de carga viva con m)ximos momentos momentos positivos en :, /; y !'. !'.
b< $atr $atrón ón de de carg cargaa viva viva con con m)x m)xim imos os mom momen ento toss posi positi tivo voss en :/ y ;!. ;!.
c< $atrón de carga viva con el m)ximo momento momento negativ negativo o en :.
'igura 4.% $atrón de colocación de las cargas muertas y vivas en vigas continu continuas as /omprobaciones reali#adas con otros mtodos de an)lisis indican que los valores de momento hallados por los coeficientes del /- son conservadores mientras se mantenga mantenga el cumplimie cumplimiento nto de las restriccione restriccioness indicadas indicadas anteriormen anteriormente. te. !s importante importante mencionar mencionar que los coeficientes coeficientes propuest propuestos os tienen tienen en cuenta cuenta la redistribu redistribución ción de momento momentoss por por efectos inel)sticos inel)sticos y el ancho de los apoyos. apoyos. $ara el diseño cada coeficiente entrega dos dos diagramas diagramas de momento momento para cada lu#, uno para los m)ximos m)ximos momentos momentos negativos negativos y otro para los m)ximos m)ximos positivos. positivos. 7in embargo embargo el mtodo mtodo no perm permit itee entr entreg egar ar para para una una
determinada lu# los m)ximos momentos negativos que se presentan simult)neam simult)neamente ente bajo la acción de las cargas.
0abla 0abla 4. /oeficientes /oeficientes /- para el diseño de vigas continuas y losas en una dirección
Momento po!t!"o Luces de borde 7i el borde es discontinuo sin restricción
q ×l%
7i el borde es discontinuo e integral con el apoyo
×u l %n
u
n
q
Luces interiores
q ×l% u
n
Momento ne#$t!"o en %$ &$'$ e(te'!o' )e% p'!me' $po*o !nte'!o' /uando se tienen dos luces
q ×l%
$ara mas de dos luces
×u l % n
u
n
q
Momento ne#$t!"o en %$ ot'$ &$'$ )e %o $po*o !nte'!o'e
q ×l% u
Momento ne#$t!"o en %$ &$'$ )e to)o %o $po*o p$'$ a< losas con luces que no excedan de &.8 m y b< (igas (igas en donde la relación de suma de las rigide#es rigide#es de columnas columnas a suma de rigide#es rigide#es de vigas no exceda exceda de ocho en cada extremo extremo de la l a lu#. lu#.
n
q
×u l %n
Momento ne#$t!"o en %$ &$'$ !nte'!o' )e %o $po*o e(te'!o'e /uando el apoyo es una viga de borde o de respaldo
q ×l%
/uando el apoyo es una columna
q ×l%
Co't$nte en $% &$'$ !nte'n$ )e% p'!me' $po*o !nte'!o'
u
u
.? ×
n
n
qu × l n %
Co't$nte en %$ ot'$ &$'$ )e %o $po*o
qu × l n
ln para para mome moment nto o posi positi tivo vo es la lu# lu# libr libree entr entree apoy apoyos os y para para mome moment nto o nega negati tivo vo es el prom promed edio io de las dos dos luces luces adya adyace cent ntes es.. qu es la carg cargaa mayor mayorad adaa que que act" act"aa sobr sobree la estructura. !l valor de la fuer#a cortante para luces continuas se toma igual al obtenido en luces simplemente simplemente apoyadas a excepción de la cara exterior del primer primer apoyo interior interior en donde el valor se incrementa en un ?9 debido al efecto del balance de los momentos
7in restricción
8
4
8
=
(iga de borde /olumna
%4
1 16
1 14
a< 7in restricción
(igas con mas de dos luces
8
(iga de borde /olumna
>
>
4
%4
4
1 16
1 14
8 %4
1 14
1 16
b< (igas con dos luces
1 12
1 14
1 12
1 12
1 16
1 12
1 12
c< Losas con luces menores de &.8 m
/olumna
%
4
%
d< (igas en donde 7 @igide# de columnas A B x 7 @igide# de vigas en el nudo 'igura 4.& /oeficientes de momento en vigas continuas y losas en una dirección
.? ×
en vigas continuas C ligeramente
qu × l n
<. La cortante en el apoyo exterior por lo general da
% la
a
obtenida por
an)lisis
el)stico
pero q conservadoramente asume el valor indicado para luces simplemente apoyadas C
4.4
inferior
el ×u l n %
mtodo <.
LOSAS EN UNA DIRECCIÓN
!n las estructuras de hormigón armado la losa es el típico sistema estructural hori#ontal que permite recibir directamente las cargas verticales, debidas al peso de los elementos y al uso y ocupación de la edificación y llevarlas al sistema vertical de soporte estructural seleccionado para la edificación tal como el pórtico resistente a momentos, los muros estructurales, la mampostería y los sistemas mixtos. La losa puede estar o no
apoyada perimetralmente,
en
el
primer
caso descansa
directamente sobre columnas generando la conocida placa plana y la losa plana las cuales se estudiaran mas adelante como losas bidireccionales. !n el segundo caso la losa puede apoyarse en vigas o muros los cuales pueden estar en todo el perímetro o no. /uando la losa se apoya en dos lados "nicamente se tiene la losa unidireccional y las cargas van en sentido perpendicular a las vigas o muros de apoyo, figura 4.4.
Viga A
Viga B
Viga C
Dirección Losa
Losa
Vigas 'igura 4.4 Losa en una dirección apoyada sobre vigas
/uando se tienen vigas o muros en todos los bordes de la losa la acción estructural es en dos direcciones. 7in embargo en este caso la acción depende de la relación lu#
bl,
larga, a lu# corta, la, la cual indica que para relaciones 6 l b A % la losa bidireccional se puede al anali#ar como unidireccional porque mas del >89 de la carga se dirige a las vigas en la dirección corta de la losa. Las losas de hormigón armado pueden tambin ser maci#as o aligeradas. !l sistema de losa maci#a es muy utili#ado en pavimentos y puentes pero muy poco en edificios por las altas cargas debidas al peso propio y los altos costos en materiales. Las losas aligeradas son bastante utili#adas en la construcción de edificios por las ventajas que genera en ahorro de materiales, disminución del peso y mejora en aislamientos trmicos y ac"sticos. Los sistemas aligerados en una y dos direcciones se encuentran patentados por el instituto del acero para el hormigón armado de los !stados 1nidos C /@7-< y se les conoce comercialmente como los sistemas nervados C Doist 7ystem< en una y en dos direcciones. Los documentos que respaldan su uso como el /@7- E 4% dan los criterios de diseño para diferentes configuraciones de losa lo mismo que las características de los aligerantes, recubrimientos y detallado del refuer#o. 1n sistema típico aligerado en una dirección se indica en la figura 4.?.
Nervios o viguetas Viga A
Viga B
Viga C
Losa nervada
Vigas 'igura 4.? Losa nervada en una dirección apoyada sobre vigas Fa que las cargas en las losas unidireccionales van en la dirección corta del modulo o panel de losa, esta se puede anali#ar estructuralmente como una viga continua de ancho
unitario si es maci#a o de ancho igual al ancho de aleta si es nervada. 7e puede utili#ar el mtodo de los coeficientes del /- si se cumplen las hipótesis u otro mtodo de an)lisis el)stico. !l refuer#o esta constituido en general por dos capas de acero en forma de malla que atienden las solicitaciones externas C refuer#o principal< y los problemas de retracción y cambios de temperatura Crefuer#o secundario<. !l acero principal va en dirección perpendicular a las vigas de apoyo y el secundario es normal al refuer#o principal. !n general las losas de edificios no requieren refuer#o por cortante por las altas )reas de carga que se manejan pero en los sistemas nervados hay casos donde la cortante es critica y se debe atender convenientemente. Los espesores de losa y vigas se pueden seleccionar inicialmente de la tabla &.4 y los anchos unitarios utili#ados para los diseños de losas maci#as unidireccionales pueden ser 8.%?, 8.?8 y .88 m. !n la practica se prefiere el ancho de .8 m y los diseños se refieren por tanto a esta franja típica.
4.?
PROCEDIMIENTO GENERAL DE DISEÑO A FLE+IÓN
4.,.1 D!men!on$m!ento et'-&t-'$% /on el fin de evitar grandes deflexiones y cumplir los requisitos exigidos para atender la flexión y la cortante se define inicialmente el espesor de la losa y las vigas usando los valores recomendados en la tabla &.4. 7i se trata de una losa maci#a de define un ancho de franja unitario b, si es losa aligerada la franja queda definida al seleccionar el ancho del nervio, bG, y las dimensiones del aligerante C largo, ancho y alto< y si es viga se define un ancho mayor o igual a %?8 mm.
Eemp%o 4.1 $ara la losa unidireccional de la figura 4.= definir cuales pueden ser las dimensiones estructurales iniciales considerando solo los requisitos geomtricos.
A
A´
A”
B
B´
B”
CC´
C”D
D´
D”
1
Bm
2 B.
Bm
! Bm
4 ! " 4#$ m
! " 4#% m
! " 4#% m
! " 4#$m
'igura 4.= $lanta típica para el ejemplo 4.
So%-&!/nH La edificación esta compuesta de pórticos viga I columna que conforman el sistema estructural resistente a momento y losas en una dirección que se apoyan en vigas cargueras intermedias. Las vigas principales ,% ,& y 4 reciben adem)s de su propio peso las cargas de las vigas intermedias J, 5, :J, :5, /J, /5, ;J, ;5 y las vigas de amarre espacial , :, / y ; soportan su propio peso. a< ;imensionamiento de la losa maci#a. 1tili#ando la tabla &.4 para losas maci#as en una dirección los espesores mínimos sonH Lu# : h 488
≥
= =K.mm
$ara el tramo de borde
%4 h
≥
488
= 4&.mm
$ara el tramo central
%B
Lu# :/
h
≥
4?8 %B
= =.mm
en todos los tramos
$or simetría el espesor recomendado de la losa es h ≥ =K mm. !l valor se debe redondear al m"ltiplo de %? mm mas cercano 7ea h 3 ?8 mm. 7e asume una ancho de franja para el an)lisis estructural y el diseño de b 3 ?88 mm. La sección de franja se muestra en la figura 4.K.
&ran'a t()ica * +1%$ mm , 'igura 4.K 7ección de losa maci#a y franja típica del ejemplo 4. b< ;imensionamiento de la losa aligerada. -nicialmente se definen las características del nervio y el tipo de aligerante de acuerdo al numeral B. del código del /-. !n resumen se debe cumplir queH
• • •
•
el ancho del nervio debe ser mayor o igual a 88 mm y su altura menor o igual a tres y medio veces el ancho. !l espaciamiento libre entre nervios debe ser menor o igual a 8.K? m /uando se utilicen ladrillos de arcilla o bloques de hormigón huecos como aligerantes y su resistencia es mayor o igual a la del hormigón de los nervios, el espesor de la losa sobre el aligerante debe ser mayor o igual a un doceavo de la separación libre entre nervios o 48 mm. 7i se utili#an otros aligerantes o formaletas removibles el espesor de la losa sobre el aligerante debe ser igualmente mayor que la doceava parte de la separación de los nervios o ?8 mm.
!l espesor de la losa aligerada se obtiene de la tabla &.4H Lu# : h 488
≥
= %=.mm
$ara el tramo de borde
B.? h
≥
488
= >8.mm
$ara el tramo central
% Lu# :/
h
≥
4?8 %
= %4.mm en todos los tramos
$or simetría el espesor recomendado de la losa es h ≥ %= mm. !l valor se redondear al m"ltiplo de %? mm mas cercano 7ea h 3 %88 mm.
debe
La selección del aligerante depende de criterios económicos y constructivos disponibles en el sitio de la construcción. !l uso de cajas de madera, bloques de poron C icopor <, bloque prefabricados de hormigón, ladrillos de arcilla y formaletas recuperables en metal, fibra o madera constituyen solo algunos ejemplos de las posibilidades en este campo. !n este ejemplo se puede usar como aligerante ladrillos de arcilla de seis huecos con dimensiones %88 x ?8 x 488 mm con resistencia a compresión menor que la del hormigón del nervio. La sección de losa dimensionada se indica en la figura 4.B. b 3 ?88 mm
?8 mm
h 3 %88 mm
88 mm
488 mm
88 mm Ladrillos de arcilla
'igura 4.B 7ección típica de losa aligerada en una dirección del ejemplo 4. !l ancho de franja queda definido como b 3 488 88 3 ?88 mm. c < ;imensiones de las vigas principales. Las vigas , %, & y 4 tienen luces de %.8 m y soportan las vigas intermedias que reciben la losa. 1tili#ando la tabla &.4H $ara el tramo : y ;! h
%88
≥ B.?
= =4>.mm
$ara el tramo :/ y /; h
&?8
≥ %
= =4&.mm
La altura se puede asumir como h 3 K88 mm con el fin de tener alguna reserva de sección para atender la flexión y la cortante. !l ancho de la viga por lo general se define con base en las dimensiones de las columnas o muros portantes. !n general este ancho debe ser al menos 88 mm menor que el de las columnas Cpor refuer#o del nudo< o igual al de los muros. 7i las columnas se asumen de b 3 h 3?88 mm se puede utili#ar un ancho de viga de b 3 488 mm. (er sección de vigas principales en figura 4.>.a. d< ;imensiones de las vigas intermedias. !stas vigas tienen luces de B.8 m y se apoyan en las vigas principales. ;e la tabla &.4H $ara los tramos I% y %I& h
B88
≥
= 4&%.mm
B.? $ara el tramo %I& h B88
≥
= &B.mm
% 7e puede asumir un espesor de h 3 ?88 mm y un ancho de b 3 &88 mm. La sección de las vigas intermedias se puede ver en la figura 4.>.b.
h 3?88 mm h 3 K
88 mm
b 3 &88 mm
b 3 488 mm a< 7ección vigas principales b< 7ección vigas intermedias 'igura 4.> 7ecciones de vigas del ejemplo 4. 4.?.%
Dete'm!n$&!/n )e %$ &$'#$ en %o$ * "!#$
Las cargas que act"an en la losa se deben al peso propio mas las cargas vivas definidas de acuerdo al tipo de uso y ocupación de la edificación. !l peso propio para la losa se determina conociendo sus dimensiones y los valores promedio sugeridos para
las divisiones interiores, acabados y las instalaciones. !l peso propio de las vigas se determina con las dimensiones iniciales. Las cargas vivas se asumen de acuerdo a los valores establecidos localmente por estudios estadísticos y se presentan en un código o norma de construcción C *7@I>B<.
Eemp%o 4.0 ;eterminar las cargas en losa y vigas para el ejemplo 4.. /onsiderar & hormigón armado con una %densidad de %.4 2g 6m . !n la losa aligerada usar un peso % de ladrillos de .8 M*6 m . !n general usar un peso de divisiones de .? M*6 m y % acabados e instalaciones de .% M*6 m .
So%-&!/nH 7e determinaran las cargas para el diseño deH a< losa maci#a b< la losa aligerada c< las vigas intermedias y d< las vigas principales. a< /argas de diseño de la losa maci#a. $eso de la
qm , pp
losaH $eso de divisiones, acabados e
= %.4 × 8.? × >.B = &.?.kN 6 %m %
qm ,adic.
= .? + .% = %.KkN 6 m
instalacionesH
/arga muerta total en losaH
qm
= qm, pp + qm,adic. = &.? + %.K = =.%kN 6 m% %
R La carga muerta en la losa es de =.% M*6 m . %
R La carga viva es de acuerdo al *7@I>B para vivienda de .B M*6 m . $ara una franja de diseño de 8.?8 m la carga muerta es de q m 3 =.% x 8.? 3 &. M*6m y la carga viva es de qv 3 .B x 8.? 3 8.> M*6m.
qm + !#1 -N.m
A
A´ 4#$ m
qv + $#/ -N.m
A” 4#$ m
B 4#$ m
B´ 4#% m
B” 4#% m
'igura 4.8 /argas de diseño para la losa maci#a del ejemplo 4.%
b< /argas de diseño de la losa aligerada. $eso losa de recubrimientoH qm ,rec. = 8.8 $eso nervioH × q
= %.4 × 8.8? × >.B = .BkN 6 %m
C 4#% m
8.?
% m ,nerv.
8.?8
× %.4 × >.B = 8.KkN 6 m
$eso aligeranteH qm
= .8 M*6m% %
$eso divisiones, acabados e
qm ,adic.
= .? + .% = %.KkN 6 m
instalacionesH
R /arga muerta
q
= .B + 8.K +.8 + %.K = ?.=kN 6 m % es
decir una disminución totalH m del 89 del peso de la losa maci#a para las mismas condiciones geomtricas. 7i se requiere disminuir el peso propio se puede utili#ar otro aligerante o una formaleta recuperable. $or ejemplo con cajas de madera com"n no recuperable de dimensiones ?8 x K?8 x 888 mm se tieneH qm,rec. 3 .B M*6m% M*6m%
qm,alig.3 8.?
qm ,nerv.
q m,adic.
%
= %.KkN 6 m
8.8 × 8.? % = × %.4 × >.B = 8.4KkN 6 m 8.K?
qm,torta
= 8.8% × %.4 × >.B = 8.4KkN 6 m% %
R La carga muerta total es de qm 3 4.>K M*6m que equivale a una disminución del peso propio en %89 respecto a la losa maci#a equivalente. 7e puede reducir aun mas el peso propio considerando el caseton recuperable. !n este % ultimo caso la carga por peso propio es de qm 3 .B %.K8 8.4K 3 4.&? M*6m con una disminución del &89 del peso propio de la losa maci#a. !n este ejemplo se va a trabajar con el caseton no recuperable para una carga por % peso propio de q m 3 4.>K M*6m .
R La carga viva es igual al caso de losa maci#aH qv 3 .B M*6m
%
/on franjas de ancho 8.K? m qm 3 4.>K x 8.K? 3 &.K M*6m qv 3 .B8 x 8.K? 3 .4 M*6m
qm + !#0 -N.m
A
A´ 4#$ m
qv + 1#4 -N.m
A” 4#$ m
B 4#$ m
B´ 4#% m
B” 4#% m
C 4#% m
'igura 4. /argas de diseño para la losa aligerada del ejemplo 4.%
c< /argas de diseño de las vigas intermedias. !stas vigas reciben como carga las reacciones de la losa mas el peso propio de la viga. 1tili#ando el mtodo aproximado de los coeficientes del /- se estimaran las cargas inicialmente para el caso de losa maci#a y luego la losa aligerada. (igas y ! H qm
=
&. × 4. 8
+ 8.&× 8.?× %.4 × >.B = %.4 + &.? = ?.>kN 6 m
% × 8.? qv
= 8.> × 4.8
= &.=kN 6 m
% × 8.? (igas J y ;5 H qm
= .?
×
&.× 4. 8
+
&. × 4.
8
% × 8.? qv
= .? ×
% × 8.?
8.> × 4.8 8.> × 4.8 % ×+ 8.?
=%
(igas 5 y ;J H qm
×
+ 8.& × 8.? × %.4 × >.B = &8.%kN 6 m
&.× 4. 8
= K.KkN 6 m
% × 8.?
+ 8.&× 8.? × %.4 × >.B = %B.&kN 6 m
% × 8.? qv
= % × 8.> × 4.8
= K.%kN 6 m
% × 8.? (iga : H qm
=
&.× 4.8
&. × 4. ?
+% × 8.?
qv
=
+ 8.&× 8.? × %.4 × >.B = &>.>kN 6 m
% × 8.? 8.> × 4.8
% × 8.?
+
% × 8.?
8.> × 4.?
(iga :J y /5 H qm
=%
×
= K.KkN 6 m
&. × 4. ?
+ 8.& × 8.? × %.4 × >.B = &.4kN 6 m
% × 8.? qv
=%×
8.>
= B.kN 6 m
× 4.? % × 8.?
$or simetría ya se tienen las otras cargas de las vigas. La tabla 4.% presenta el resumen. 0abla 4.% /argas de diseño en vigas intermedias del ejemplo 4.%. Losa maci#a mtodo coeficientes //arga CM*6m q
?.>
J &8.%
5 %B.&
q
&
K
q
>.?
&K.>
: &>.>
: J &.4
: 5 &.4
/ &.4
K.
K.
B
B
B
&?.?
4K.=
&>.?
&>.?
&>.?
qm + 1%#/ + !/#/ 3 -N.m
1
qv + !#6 + #13 -N.m
2
!
#$ m
4
#$ m
#$ m
&igura 4#12 Cargas de dise5o en vigas intermedias de e'em)o 4#2 0abla 4.& /argas de diseño en vigas intermedias del ejemplo 4.%. Losa aligerada (-N /arga CM*6m q
&.4
J %4.K
5 %&.&
&
B
K.
&%.K
: %4.?
: J %?.K
: 5 %?.K
/ %?.K
K.
K.
B
B
B
&8.B
&%.4
&4.
&4.
&4.
d< /argas en las vigas principales. La carga de estas vigas esta conformada por el peso propio mas las reacciones de las vigas intermedias. Las vigas principales llevan la carga a las columnas o muros respectivos. 1tili#ando el mtodo de los coeficientes del /-H
V!#$ 1 * 4H qm = 8.K × 8.4 × %.4 × >.B = =.=kN 6 m pm , AJ
=
&8.%
×B.8
= %8.Bk
pm , AO
N
=
% pv , AJ
=
K.K
×B.8
=
&.4
×B.8
×B.8
= &.%kN
%
= &8.Bk
pv, AO
N
=
% pm , BJ
%B.&
K.%
×B.8
= %B.BkN
% %
= %?.=kN
pm , BO
=
&.4 ×B.8
pv , BJ
%
=
B.× B. 8
= %?.=kN
= &%.4k
pv , B O
N
=
% Las otras cargas se obtienen por simetríaH
B. ×B.8 %
= &%.4kN
% M* & M*
& M* %> M*
%= &%
%= M* &%
%= &%
%= &%
& M* % M* %> M* & M*
qm + 6#6 -N. m
A
B
C
12 m
D
12 m
12 m
12 m
'igura 4.& /argas de diseño en viga principal E del ejemplo 4.%
% M* & M*
& M* %> M*
%= &%
%= M* &%
%= &%
%= M* &% M*
qm 3 =.= M*6 m
/
:
% m
% m
;
% m
'igura 4.4 /argas de diseño en viga principal E 4 del ejemplo 4.%
V!#$ 0 * 2H qm = 8.K × 8.4 × %.4 × >.B = =.=kN 6 m p m, AJ
= %.?
×
&8.%
× B.8
= %=8k
pm , AO
N
×
= %.?
% pv , AJ
×
= %.?
K.K
×B.8 %
%B.&
× B.8
= %4&kN
%
= ==k
pv , AO
N
×
= %.?
K.%
× B.8 %
= =%kN
p m, BJ
×
= %.?
&.4
× B.8 %
= %K8k
pm , BO
N
×
= %.?
&.4
× B.8 %
= %K8kN
pv , BJ
= %.?
×
B. × B. 8
= K8 k
pv , BO
N
×
= %.?
B. ×B.8
= K8kN
%
% Las otras cargas se obtienen por simetríaH
%=8 M* == M*
%4& M* =% M*
%K8 K8
%K8 M* K8
%K8 K8
%K8 K8
%4& =%M
%=8 M* == M*
qm + 6#6 -N. m
A
B
C
12 m
12 m
D 12 m
12 m
'igura 4.4 /argas de diseño en viga principal E % del ejemplo 4.%
%=8 M* == M*
%4& M* =% M*
%K8 K8
%K8 M* K8
%K8 K8
%K8 K8
& %>M
% M* & M*
qm + 6#6 -N. m
A
B 12 m
C 12 m
D 12 m
12 m
'igura 4.? /argas de diseño en viga principal E 4 del ejemplo 4.% 4.?.&
Momento * &o't$nte en %o$ * "!#$
La determinación de los momentos flectores que generan las cargas en las diferentes secciones criticas de la estructura se reali#a utili#ando el an)lisis estructural el)stico. 7i se cumplen las hipótesis, el mtodo de los coeficientes del /- es una excelente herramienta para iniciar el proceso de calculo. 7i se dispone de un procedimiento de
an)lisis mtodo
estructural
mas
elaborado
es
conveniente
utili#arlo
en
lugar
del
aproximado. !s importante comparar algunos resultados obtenidos con ambos mtodos para ju#gar la bondad del procedimiento aproximado. a< Losa. La planta de la losa dispone de una serie de franjas típicas o nervios, con geometría similar, los cuales se deben anali#ar combinando adecuadamente las cargas muertas y vivas de tal forma que se obtengan los m)ximos momentos positivos y negativos en las diferentes secciones de la estructura. b< (igas. 7e utili#a igualmente el procedimiento de an)lisis disponible y combinando adecuadamente las cargas se obtienen los m)ximos momentos y cortantes en la estructura.
Eemp%o 4.2 $ara la losa del ejemplo 4. determinar los momentos flectores y las fuer#as cortantes para el diseño de la losa y las vigas.
So%-&!/nH La losa solo tiene una franja típica la cual se anali#ara por el mtodo de rigide# y por el mtodo de los coeficientes del /-. provechando la simetría solo se dan los resultados de momento para la mitad de la franja típica de losa. a< 2omentos y cortantes en la losa. /onsiderando las posibles combinaciones de carga viva y muerta se obtienen para la mitad de la franja de losa ocho estados. Los dos primeros para obtener los m)ximos momentos positivos en cada tramo de franja y los seis restantes para lograr los m)ximos momentos negativos, figura 4.=.
!n la tabla 4.4 se resumen los valores obtenidos para las combinaciones de carga propuestas. -gualmente la tabla 4.? presenta los
momentos
utili#ando
el
mtodo
aproximado de los coeficientes del /-. 7e puede notar como la diferencia entre ambos procedimientos varia entre el 8.?9 y &&9 que en muchos casos pr)cticos es aceptable dada la variabilidad en la estimación de las cargas y en el cumplimiento en obra de la resistencia del hormigón y del acero. 0abla 4.4 2omentos de diseño losa maci#a del ejemplo 4.&. 2todo de rigide# 2omentos en M*x m 6 Cancho de franja< M M M M7 M7 M7 M
Co m3.
M
M
MA
M
A
10
5
10
A6
10
5
10
6
8.
8.
K.?
8.
?.
4.
=.?
%.
K.K
,.
K.4
.
K.?
%
8.
4.
K.?
2.
?.
.
K.
,.
K.?
.
K.4
,.
K.?
&
8.
=.
:.1
&.
4.
.
K.%
?.
K.?
.
K.4
?.
K.?
4
8.
4.
K.
&.
;.
&.
=.
%.
K.B
?.
K.&
.
K.?
?
8.
=.
K.=
.
4.
&.
9.;
?.
K.
%.
K.?
?.
K.4
=
8.
4.
K.?
&.
?.
.
=.?
4.
:.8
4.
=.>
%.
K.=
K
8.
=.
K.?
.
?.
4.
=.=
%.
K.
4.
:.,
4.
=.>
B
8.
4.
K.?
&.
?.
.
K.
?.
K.K
%.
=.>
4.
:.8
10
M 10
M C
Los valores en negrilla y sombreados son los m)ximos obtenidos en todas las combinaciones de carga y son los que controlan el diseño.
1#2 qm 7 1#6 qv + %#16 -N . m1#2 qm + !#02 -N.m
A
A´ 4#$ m
A” 4#$ m
B 4#$ m
B´ 4#% m
B”
C
4#% m
4#% m
a3 Com,inación 8 1 : 9;imos momentos )ositivos en uces 1
A
A´ 4#$ m
!#02 -N.m
A” 4#$ m
B 4#$ m
B´ 4#% m
B”
C
4#% m
4#% m
,3 Com,inación 8 2 : 9;imos momentos )ositivos en uces 2<4 = 6# %#16 -N . m
A
A´
A”
!#02 -N.m
B
B´
B”
C
4#$ m 4#$ m 4#$ m 4#% m 4#% m 4#% m c3 Com,inación 8 ! : 9;imo momento negativo en A´ %#16 -N . m
A
A´ 4#$ m
A” 4#$ m
B 4#$ m
!#02 -N.m
B´ 4#% m
B” 4#% m
d< /ombinación E 4 H 2)ximo momento negativo en 5
'igura 4.= /ombinaciones de carga para la losa del ejemplo 4.&
C 4#% m
%#16 -N . m
A
A´ 4#$ m
!#02 -N.m
A” 4#$ m
B
B´
4#$ m
4#% m
B” 4#% m
C 4#% m
e3 Com,inación 8 % : 9;imo momento negativo en B %#16 -N . m
A
A´ 4#$ m
A” 4#$ m
!#02 -N.m
B
B´
4#$ m
4#% m
B” 4#% m
C 4#% m
>3 Com,inación 8 6 : 9;imo momento negativo en B´ ?.= M* 6 m
J 4.8 m
&.K% M*6m
5 4.8 m
: 4.8
:J 4.?
:5 4.?
/ 4.? m
g< /ombinación E K H 2)ximo momento negativo en :5 ?.= M* 6 m
J
5
:
4.8 4.8 m 4.8 4.? h< /ombinación E B H 2)ximo momento negativo en /
&.K% M*6m
:J
:5 4.?
/ 4.? m
'igura 4.= /ombinaciones de carga para la losa del ejemplo 4.&. /ontinuación
0abla 4.? 2omentos de diseño losa maci#a del ejemplo 4.&. 2todo coeficientes /-
Com3.
MA
M10
MA5
MA5
2omentos en M*x m 6 C ancho de franja< M10 MA6 MA6 M10 M7 M7
1nica
&.4 4
?.>8
B.%?
K.?
?.=
Com3. 1nica
K.?
K.?
?.=
K.?
>.? 8
M10
M75
=.?&
>.?8
2omentos en M*x m 6 Cancho de franja< M7 M7 M10 M75 M10 MC >.?8
=.?&
6
6
>.?8
>.?8
=.?&
>.?8
0abla 4.= /omparación de los momentos de diseño en losa maci#a del ejemplo 4.& 2omentos en M*x m 6 C ancho de nervio< M M M M7 M7 M7 M
M
M
MA
M
@igid
8.
=.
>.
&.
K.
4.
B.K
?.
>.=
?.
pro
&.
?.
K.B
?.
K.
?.
B.?
=.
>.?
II
&
K
&
%
Meto )o
;if.
M
M
>.?
?.
>.=
=.
>.?
=.
>.?
8.%
.8
$or simetría no se colocan los valores para las otras luces. !l momento 2 no se puede comparar por la diferencia de hipótesis en cada mtodo.
b< 2omentos y cortantes en vigas intermedias. !n la tabla 4.% y la figura 4.% se indicaron las cargas muertas y vivas que soportan las vigas intermedias utili#ando los coeficientes del /- Csi se dispone de mtodos mas elaborados se pueden precisar mas estos valores, utili#ando por ejemplo el mtodo de rigide#<. $ara este ejemplo se continuara utili#ando los coeficientes del /- indicado en la figura 4.& caso a< cuando existe viga de borde. La tabla 4.= entrega los valores obtenidos de los momentos de diseño para las vigas intermedias.
1#2 qm 7 1#6 qv
1
2 #$ m
! #$ m
4 #$ m
'igura 4.K /aso "nico carga de diseño en vigas intermedias, ejemplo 4.&
0abla 4.K 2omentos 2ayorados en vigas intermedias. 2todo coeficientes del /2omentos en M* x m
V! A A5 A6 7 75> 76> C> C5> C6 D D5 D6 E
M1
M1=
M
M
%> % = &? = % %>
%% %8 %K %& %K %8 %%
? & %> &B &% &B &% &4 K
4 %B %= &? %> &? &% &4 K
M0= > B %4 %8 %4 %8 %%
M
M
M2=
M
4 %B %= &? %> &? % %
? & %> &B &% %8 III III III
%% %8 %K %& 4 III III III
== % % = & B= III III III
0abla 4.B /ortantes 2ayoradas en vigas intermedias. 2todo coeficientes del //ortantes en M*
V! A A5 A6 7 75> 76 > C> C5> C6 D D5 D6 E
V1=0
V0=1
V0=2
V2=0
V2=4
V4=2
> % % % >
% % % % % % %
> % % % % %
> % % % >
% % % % IIIII IIIII IIIII
> % % IIIII IIIII IIIII
c< 2omentos y cortantes en vigas principales. !stas vigas soportan, adem)s de su peso, las cargas que le transmiten las vigas intermedias representadas por las cortantes de la tabla 4.B. Los momentos y cortantes se deben obtener con un mtodo hiperestatico de an)lisis estructural. !n este ejemplo ya no se puede utili#ar el mtodo de los coeficientes del /- por la presencia de cargas concentradas en las luces.
// -N 1/4 -N
12 -N 2$! -N 241 -N
2$! -N 2$! -N
2$! -N 12 -N // -N 2$! -N %4 -N 1/4 -N
qm + 0#/ -N. m
A
B 12 m
C 12 m
D 12 m
12 m
'igura 4.B /argas 2ayoradas en viga principal E del ejemplo 4.%
$ara resolver el ejemplo se considera una estructura de un solo piso con altura de &.? m y columnas de b 3 h 3 ?88 mm. Las vigas son de 488 x K88 mm. !l an)lisis estructural se reali#a solo para carga vertical utili#ando el mtodo matricial de rigide# y los resultados de los momentos y cortantes de diseño se muestran en las tablas 4.> y 4.8 para todos los pórticos de la edificación. dem)s el ejemplo se resuelve para las cargas indicadas en la figura 4.> sin reali#ar ninguna combinación ya que el efecto de las vigas intermedias es fijo en las posiciones indicadas y solo varia la magnitud por efectos de la presencia o no de la carga viva. /omo la relación qv 6 qm es baja C P 8.&8< se puede indicar que el efecto de la carga viva, en este caso, es leve en la alteración de los esfuer#os internos de vigas y columnas.
$ort. $ort. $ort. $ort.
> % % >
> 4 4 >
& &
% ? ? %
%8 4& 4& %8
A
% 4 4 %
% 4 4 %
%8 4& 4& %8
B
!#% m
% 4 4 %
% ? &
B 4 B III
C
4 II
>> %%B >> IIII
D
qm + 0#/ -N . m
12 m
12 m
12 m
12 m
'igura 4.> /argas en $órticos del ejemplo 4.&. 2todo de rigide#
0abla 4.> 2omentos en los pórticos del ejemplo 4.&. 2todo matricial de rigide# 2omentos en M* x m
P/'t!&
M
MA
M
M
M7
M
M
MC
M
M
MD
M
% & 4
& K = &
48 K> K> 48
=> & & =B
=? % % =4
& =% = &8
=% % % ==
=% % & K%
& = => 4&
=? & &B
=> 4 B? III
48 B4 &= III
&? K? & III
0abla 4.8 /ortantes en los pórticos del ejemplo 4.&. 2todo matricial de rigide# /ortantes en M*
P/'t!&o
VA=7
V7=A
V7=C
VC =7
VC
VD=C
VD=E
VE=D
%8>
%=%
%?&
%4B
%4B
%?&
%=%
%8>
%
488
?8%
4BB
4K>
4K=
4>8
?&
4%K
&
&>>
?84
4B&
4B4
4>>
4=K
%K>
>%
4
%8
%=8
%4>
%?%
%K>
%%
IIII
IIII
4.?.4
Dete'm!n$&!/n * e%e&&!/n )e% 'e?-e'@o $ ?%e(!/n en %o$ * "!#$
La determinación del refuer#o a flexión tanto en la losa como en las vigas se inicia colocando en cada elemento el refuer#o mínimo necesario para cada sección y comprobando si con este refuer#o se cumple la exigencia de momento solicitada por las cargas externas. !n caso afirmativo se coloca este refuer#o mínimo en caso negativo se debe determinar una cantidad de refuer#o mayor por alguno de los procedimientos explicados en la teoría del diseño a flexión del hormigón armado. !n todos los casos se debe comprobar con el acero colocado el cumplimiento de '.2n 3 2u .
$ Re?-e'@o en %$ %o$. !l refuer#o mínimo a flexión en losas se define como el equivalente al de retracción y temperatura el cual depende de la resistencia a fluencia del acero utili#ado. 7i fy 3 %B8 2$a o &?8 2$a Qmin 3 8.88%8 7i fy 3 4%8 2$a o malla electrosoldada Qmin 3 8.88B 7i fy A 4%8 2$a Qmin 3 C8.88B x 4%8 < 6 fy !n ning"n caso la cantidad de refuer#o en losas debe ser menor que 8.884 C b x h <. !ste refuer#o no debe separarse mas de tres veces el espesor de la losa ni 4?8 mm. !n general el refuer#o practico de losas lo constituyen las barras E & , 4 y E ?.
Eemp%o 4.4 ;eterminar el refuer#o de la losa maci#a del ejemplo 4. considerando un hormigón de fJc 3 % 2$a y un acero de fy 3 4%8 2$a. 1sar un dJ3 %? mm
So%-&!/nH !l refuer#o mínimo para esta losa esH
A s ,min
2 = 8.88B× ?88 ×?8 = &?mm
%
!s decir se deben colocar &? mm de acero en cada franja de b 3 ?88 mm. 7i se asume acero E 4 C s 3 %> mm%< la separación de barras es de %> 6 &? x ?88 3 4KB mm. 7in embargo como la separación m)xima es de 4?8 mm la cantidad de acero E 4 que se podría colocar como refuer#o mínimo en la losa esH barras E 4 cada 4?8 mm que % equivalen a %> 6 8.4? 3 %BK mm 6 m C %BK x 8.? 3 4&.? mm% 6 franja<. La cuantía de refuer#o Q 3 %BK 6 C 888 x %?< 38.88%& CQ 3 4&.? 6 C ?88 x %?< 3 8.88%& <. $ara esta cuantía C Q 3 8.88%& < la capacidad en flexión de la losa esH
%
n = 8.>8 × 8.88%&× 4%8 ×888
M ∃
×%?
× − 8.?> ×
8.88%& × 4%8
=
= &.% ×8
N .mm
% !l resultado indica que con barras E 4 cada 8.4? m la capacidad supera a la requerida por las cargas externas C tabla 4.? <. 7i se usan barras de menor di)metro por ejemplo la % E & Cs 3 K mm < la separación de barras es CK 6 &?< x ?88 3 %=& mm 7i se colocan E & R 8.&8 m la cuantía es Q 3 CK 6 8.&8< 6 C 888 x %?< 3 8.88> y el valor del momento esH Φ 2n 3 .8 M*.m que aun es alto en esta losa. Los códigos /- y *7@ recomiendan colocar en cualquier caso una cantidad % de refuer#o siempre mayor que 8.884 x b x h 3 %8 mm 6 m C E & R 8.&? <. La tabla 4. resume las cantidades de refuer#o por flexión que se deben colocar en la losa.
0abla 4. 2omentos y refuer#o en la losa maci#a del ejemplo 4.4 N-
A
2u CM*.m<
Cent'o
&.
?.
E&R
Φ.2n
E&R
>.
N)o
>.
7 5
=.
E&R 8.&? >.
Φ.2n
E&R
Cent'o
B.
s
K.
>.
7
2u CM*.m<
A 5
E&R 8.&? >.
>. E&R 8.&8 8.>&
Cent'o ?. E&R >.
Cent'o =. E&R 8.&? >.
A 6
K.
E&R >.
7 6 >. E&R 8.&8 8.>&
Cent'o ?.
7 B.
E&R
E&R
>.
>.
Cent'o =.
C >.
E&R 8.&? >.
E&R 8.&8 8.>&
$erpendicular al refuer#o de flexión se debe colocar el acero de retracción y temperatura que equivale a E & R 8.48 m. La figura 4.%8 ilustra la disposición en planta y en corte de la colocación del refuer#o en la losa. 1n valor importante para comparar la economía en el diseño estructural de una losa es la cantidad de refuer#o por metro cuadrado. !ste índice o factor por lo general varia entre ? Mg y 8 Mg en losas típicas de edificios comerciales y de vivienda. $ara este ejemplo el valor se obtiene asíH
=C r
F
.8 8.&?
+
.8
+% 8.&? ×
.8 8.&?
<.barras 6 m × 8.?=8kg 6 m = =.4kg 6 m
%
@6 La cantidad de refuer#o por metro cuadrado de losa es de =.4 Mg.
A
A5
7
A6
1
s flexión E & R 8.&? m rriba E & R 8.&? m bajo s retracc. y 0emp. E & R 8.&? m
0 E & R 8.&? m
E & R 8.&? m
E & R 8.&? m
E & R 8.&8 m
E & R 8.&? m
E & R 8.&? m
E & R 8.&? m
E & R 8.&? m
'igura 4.%8 ;etalle del refuer#o en el panel de losa :% del ejemplo 4.4
Eemp%o 4., ;eterminar el refuer#o de la losa aligerada del ejemplo 4. considerando un hormigón de fJc 3 % 2$a y un acero de fy 3 4%8 2$a. 1sar un dJ3 %?8 mm
So%-&!/nH !n la figura 4. se indicaron las cargas de diseño para anali#ar los nervios de la losa aligerada, falta por determinar los momentos y el refuer#o. !n la tabla 4.% se muestran los momentos Cmtodo de los coeficientes< y el refuer#o requerido en cada nervio utili#ando la metodología del diseño de secciones no rectangulares. La figura 4.%% muestra así mismo el detallado del refuer#o en la losa. La sección de cada nervio y los datos requeridos para determinar la capacidad a flexión de la sección se indican en la figura 4.%. !l refuer#o mínimo para cada nervio % es 8.88B x ?88 x %88 3 B8 mm que se puede cubrir con una barra E ? C s 3 %88 % mm <. /on este refuer#o la capacidad en flexión en la mitad de la lu# es de φ 2n C< 3 %.> M*.m y en el apoyo es de φ 2n CI< 3 .4 M*.m. /on otras barras la capacidad esH
• • •
%
s 3 % E 4 Cs 3 %?B mm < φ 2n C< 3 =.? M*.m φ 2n CI< 3 4. M*.m % s 3 E = Cs 3 %B4 mm < φ 2n C< 3 B. M*.m φ 2n CI< 3 ?.% M*.m % s 3 % E ? Cs 3 488 mm < φ 2n C< 3 %?.8 M*.m φ 2n CI< 3 >.& M*.m
b 3 ?88 mm
εc
c hf 3 ?8 mm
h 3 %88
s
d 3 K? mm
mm
εs 3 ε t bG 3 88 mm
'igura 4.% 7ección típica de los nervios de la losa aligerada
0abla 4.% 2omentos y refuer#o en losa aligerada del ejemplo 4.?. N2u CM*.m<
Φ.2n
N)o 2u CM*.m< s
Φ.2n
A
Cent'o
A 5
Cent'o
4.
K.
8.%8
=.
E?
E?
E?
7
Cent'o
7 5
A 6
Cent'o
7
>.
=.
.8
E?
E?
E?
E?
Cent'o
7 6
Cent'o
C
.8
B.
%.&8
B.
%.&8
B.
%.&8
E?
E?
%E4
E?
%E4
E?
%E4
!l refuer#o por retracción y temperatura, que va perpenticular al de flexión, y esta locali#ado a %? mm del borde superior de la losa, tiene una cuantía de 8.88B x 888 % x ?8 3 >8 mm que equivalen a una barra E & R K 6 >8 3 8.K> m. /omo el espaciamiento de este refuer#o debe ser menor o igual a ? x hf 3 ? x ?8 3 %?8 mm 3A se debe colocar una barra E & R 8.%? m para un srt 3 K 6 8.%? 3 %B4 mm% y cuantía Q 3 8.88?K.
3 Re?-e'@o en "!#$ . Fa que las vigas son vaciadas monolíticamente con la losa ellas deben anali#arse como secciones 0 y L para momento positivo y como sección rectangular para momento negativo C si se anali#an para cualquier momento como rectangulares es porque no hay transferencia de tensiones entre la losa y la viga efecto que produce una disminución en la capacidad en flexión de la sección <.
A
A5
7
A6
1
'r 3 =.& Mg
0 8 ! " $#2% m
18%
18%
Aigerante
'igura 4.%% ;etalle del refuer#o en el panel de losa :% del ejemplo 4.?
Eemp%o 4.8 ;iseñar a flexión las vigas intermedias del ejemplo 4.. /on una capa de refuer#o a tracción la cuantía de refuer#o mínimo es 8.88&& x &88 x 4&? 3 4& % % mm la cual se puede cubrir con % barras E = C s 3 % x %B4 3 ?=B mm <. /on este refuer#o la cuantía es de ρ 3 8.884& y la sección se anali#a asíH ncho efectivo de aleta. $ara vigas 0 paralelas se tieneH
b≤
luz ⇒ b ≤ B888 4 4
(b − b ) ≤ B× h w
(b − b ) ≤ l %
⇒ b ≤ = × ?8 + &88 ⇒ b ≤ 88.mm
f
%
w
⇒ b ≤ %888.mm
⇒ b ≤ l n + bw ⇒ b ≤ &K88 + &88 ∴b ≤ 4888.mm
n
%
!l valor de diseño es b 3 88 mm. /onsiderando la viga : que es la mas solicitada 3A 7ea c 3 hf 3 ?8 mm 3A c 6 dt 38.? P 8.&88 y a 3 4%.? mm
A
s
=
%K? = ×8 . N .mm
= K?B.mm% % E B % E K 3 K>4 mm %
8.>8 × 4%8 × 4&? 4%.? −
%
θ
=
a
K>4 =88 × 4&?
)=
(
8.88&K × 4%8 × 4&? 8.B? × %
= &B.mm
8.88&K
c
=
&B
= 4?.mm
8.B?
7e comprueba que la hipótesis inicial es correcta y que el eje neutro esta en la aleta por lo tanto la sección es rectangular. 7e pueden perfeccionar mas los c)lculos y asumir una relación C c 6 dt < 3 4? 6 4&? 3 8.8& 3A c 3 8.8& x 4&? 3 4? mm y a 3&B mm
A
=
8.B?× %×88
× &B
s 3 % E B % E K 3 K>4 mm
%
%
= s KKK.mm =
a
4%8
K>4 × 4%8 8.B? × %×88
= &B.m
c
m σ t
=
&B
= 4?.mm
8.B?
4&? − 4? = 8.8%=8 > 8.88? ⇒ Cumple+ 4?
= 8.88& ×
= 8.>8 × 8.B? × %×88 × &B × 4&? − n ∃ . M
&B =
%
N .mm = %K>.kN .m
= %K> ×8
!l requerimiento es 2u 3 %K? M*.m el cual se cumple satisfactoriamente. $ara momento negativo la sección es rectangular y el mayor momento se encuentra en la viga : apoyo E % con un valor de C &B? &?8< 6 % 3 &=B M*.m. 7ea c 6 d t 3 8.&88 3A c 3 8.&88 x 4&? 3 &8.? mm y a 3 &8.? x 8.B? 3 mm. A
=
8.B? × % × &88 ×
s A ⇔
= 4?.mm %
= %EB + EK = 48K.mm%
4%8 a
=
48K × 4%8
8.B? × % × &8 8
s
= 8.m m σ t
= 8.88&×
4&?
c
=
8
= %>.mm 8.B?
−%>
%>
= 8.88K > 8.88? ⇒ cumple+
8
= 8.>8 × 8.B? × %× &88 ×8 × 4&? − ∃ . M n
=
= %8 ×8 . N .mm = %8.kN .m
%
7e concluye que la capacidad mec)nica de la viga es un ??9 de la exigida por las cargas externas, y se debe modificar la sección. 1na primera alternativa es considerar el refuer#o a compresión y aumentar al m)ximo admisible la relación c 6 d t 3A 7ea c 6 dt 3 8.&K? 3A c 3 =& mm y a 3 &> mm
=
A s
8.B?
× % × &88 × &>
= KK%.mm%
4%8
&> = M n = KK% × 4%8 × 4&? =%%K% − .mm ×8 . N !l M u 3 &=B M*.m A 8.>8 x %K% 3 %4? M*.m 3A sección con JsH 7ea dJ3 =? mm ∃ .M
%
= &=B − %4? = %&.kN .m
=& − =? J = 8.884? > 8.88%8 f s = f y = =? ⇒ %& ×8 J A s = = BK>.mm% 1sar % E B 3 8%8 mm % 8.>8 × 4%8 × (4&? J
σ s
= 8.88& ×
− =?) A s
= KK% + BK> = %=?.mm%
1sar % E E > 3 %=B? mm
%
7in embargo en el apoyo la viga recibe parte del refuer#o positivo de la mitad de la lu# constituido por % E B % E K que se puede utili#ar como refuer#o a compresión en la #ona de momento negativo. !n este caso las dos barras E B se deben llevar hasta el apoyo para garanti#ar el trabajo del doble refuer#o. @evisando la sección doblemente refor#ada se
θ min
.
= 8.88&&
tieneH θ
=
%=B?
&88 × 4&?
= 8.8%8=
θ
J
=
8%8
= 8.88KB
&88
× 4&?
(θ − θ ) = (8.8%8= − 8.88KB) = 8.8%B J
8.B? × 8.B?
× % × =?
×
=%
=
4%8 × 4&?
(=%
8.8K%
− 4%8 ) 7e cumple que
(θ − θ
J
J
f s
) < 8.8K% ⇒
< f y
8.B? × 8.B? × %× =?
J
= =% f s × −
= &?4. Ma < 4%8 Ma
8.8%B × 4%8 × 4&?
a
=
%=B? × 4%8 − 8%8 × &?4 8.B? × % × &88 = 4&.mm σ t
M
−
(4&? −=B)
= 8.88& ×
= (%=B?× 4%8 −8%8 × &?4 )× n
c
=B
=
4&
= =B.mm 8.B?
= 8.884B ≅ 8.88?8 N .mm
4&? 4&
+ 8%8 × &?4 ×( ×8
=
%
4&? − =? )
= 4%
La capacidad de la sección es 8.>8 x 4% 3 &K M*.m A &=B M*.m 3A 7e acepta. @evisando los momentos producidos por las cargas externas mayoradas , tabla 4.=, se puede concluir que las dimensiones de &88 x ?88 son adecuadas para las vigas intermedias ya que las cantidades de refuer#o permiten obtener un comportamiento d"ctil de la estructura. $rocediendo de igual manera a la anterior en la tabla 4.& se presentan las cantidades de acero requeridas en todas las vigas intermedias indicadas.
0abla 4.& @efuer#o a flexión en vigas intermedias. fJc 3 % 2$a
V! #$
Apo*o 1
Cent 'o
Apo* o0
1=0
A
%E=
4E=
%EB &EB
7
%EB E= 4EB
75> 76> C> C5> C6 D
%EB &EB %EB 4EB
D5
%EB &EB
D6
%EB &EB
E
%E= &E=
Apo* o2
Cent'o 2=4
Apo* o4
0=2
&E=
A5 * A6
Cent 'o
4E= %E
4EB %EB % E 8 E &EB &E &EB &E 8 &E 8 &E 8 4EB &E=
&E
&E &E
%E= &E
4EB %EB % E 8 E &EB &E &EB &EB
4E
%EB &E %EB E= 4E %EB &E %E=
%E=
4E IIII
IIII
%E=
IIII
IIII
%E=
IIII
IIII
&E &E &E
1#/ m
%#$ m A
286
486
486
!86 1
#$ m
286 2
286
!86
A´
!
#$ m
4
4E=
4?8 mm
Losa &
&E= 7ección IJ
&88 mm 'igura 4.%&.a @efuer#o para la viga intermedia
A 28
48
48
!8
!8
1
2
28
!8
A´
!
4
4EB
4?8 mm
Losa &
&EB 7ección IJ
&88 mm 'igura 4.%&.b @efuer#o para las vigas intermedias J, 5
A 2 8 1$ 7 1 8 11
2 8 7 1 8 62 8 1$ 7 1 8 11
48 1
!8
!8
2
287186
48
A´
!
4 &EB
Losa
% E 8 E
4?8 mm &
4EB 7ección IJ
&88 mm 'igura 4.%&.c @efuer#o para la viga intermedia :
A 28
! 8 1$
! 8 1$
48 1
!8
!8 2
A´
28
48 !
4 !8
! 8 1$ 4%$ mm
Losa &
!8 ?ección A@A´
!$$ mm 'igura 4.%&.d @efuer#o para las vigas intermedias :J, :5, /, /J y /5.
Eemp%o 4.; ;iseñar a flexión las vigas principales del ejemplo 4.. 1tili#ar un hormigón de fJc 3 % 2$a y un acero de fy 3 4%8 2$a. 7oluciónH La sección de estas vigas es de b 3 488 mm y h 3 K88 mm con una altura efectiva d 3 =&? mm para refuer#o en una capa y dJ 3 =? mm para el refuer#o a compresión. Las cantidades de refuer#o limite sonH
•
% E B 3A Φ2n 3 %&& M*.m s min. 3 8.88&& x 488 x =&? 3 B&B mm %
4 E 8 3A Φ2n 3 ==K $ara una relación c 6 d t 3 8.&88 3A s 3 %K?% mm %
M*.m 7e puede apreciar en la tabla 4.> que las vigas y 4 quedan cubiertas por las estas cantidades de acero pero las vigas % y & requieren cantidades muy superiores. 7i se utili#a el doble refuer#o solo se logra aumentar hasta un &89 la capacidad en flexión por lo que es necesario aumentar las dimensiones de la sección. 7ea b 3 ?88 mm y h 3 B88 mm 3A
•
s min. 3 8.88&& x ?88 x K&? 3 %& mm & E B 3A Φ2n 3 484 M*.m %
B E B 3A Φ2n 3 >B? M*.m $ara una relación c 6 d t 3 8.&88 3A s 3 &>B& mm %
!n el limite admisible cuando c 6 d t 3 8.&K8 y et 3 8.88?
Φ2n
3 ?8 M*.m para
sección simplemente refor#ada. 7e concluye que la sección ?88 x B88 mm para las vigas % y & es adecuada para absorber los momentos producidos por las cargas externas. pesar de que al modificar las dimensiones de la sección varia la carga muerta por el aumento del peso propio, es necesario revisar los c)lculos anteriores para hacer las modificaciones respectivas. !n este ejercicio se continuara el diseño sin esta revisión con el fin de mostrar como es el procedimiento general hasta lograr el diseño adecuado. La tabla 4.4 ilustra el refuer#o de las vigas principales y la muestra la posición y el detallado para cada una.
figura 4.%4
0abla 4.4 @efuer#o en las vigas principales del ejemplo 4.
V!#$ 1
A 4EB
C 488 x K88 <
0
C ?88 x B88 <
4 C 488 x K88 <
7
7=
4E 8 4EB
&E
C ?88 x B88 <
2
A=7
4E &E 4E 4EB 4EB
C =EB
&E ? E 8 &E ? E 8 &E 4E 8
C=
4E
4E
D 4 E 8
&E ? E 8 &E ? E 8 &E =EB
D=
4EB 4E
? E 8 & E 4E
& E 4E
= E 4E
% E %E
4EB IIII
&E
E
4E
I I
!m
m
4 # 8
m
4 # 10
4 # 8
6 # 8
3 # 8
12 m B
!m
4 # 10
4 # 8
3 # 8
12 m
A
m
4 # 8
12 m
12 m
C
D
4 E 8 C 4 E B <
K88 mm marres transversales E & C /ortante 0orsión < 4EBC&EB< 488 mm
'igura 4.%4 @efuer#o requerido en las vigas y 4 del ejemplo 4.
!m
m
3 # 11
6 # 11
4 # 10
3 # 11
4 # 10
12 m /
!m
6# 11
3 # 10
12 m :
m
5 # 11
3 # 10
12 m
m
12 m ;
!
