FUNCIÓN GENERATRIZ DE MOMENTOS Definición En probabilidad En probabilidad y estadística estadística,, la función generadora de momentos o función generatriz de momentos de una variable aleatoria X es Sea X una variable aleatoria (El valor esperado): -b < t < b Siempre que esta esperanza exista. La función generadora de momentos se llama así porque, si existe en un entorno de t = 0, permite generar los momentos de la distribución de probabilidad: probabilidad :
Si la función generadora de momentos está definida en tal intervalo, entonces determina unívocamente a la distribución de probabilidad. Un problema clave con las funciones generadoras de momentos es que esos momentos y la propia función generadora podrían no existir, en virtud de que las integrales no fuesen convergentes. Por el contrario, la función característica siempre existe (porque la integral es una función limitada en un espacio de medida finita) y, de este modo, puede usarse en su lugar. De forma general, donde
es un vector aleatorio n-dimensional, se usa
en lugar de tX :
Cálculo Si X tiene una función de densidad continua, f ( x x), entonces la función generadora de momentos viene dada por
Donde mi es el i-ésimo momento momento.. M X ( − t ) es, precisamente, la transformada bilateral de Laplace de f ( x x). Independientemente de que la distribución de probabilidad sea continua o no, la función generadora de momentos viene dada por la integral de Riemann-Stieltjes
Donde F es la función de distribución. distribución . Si X 1, X 2, ..., X n es una secuencia de variables aleatorias independientes (y no necesariamente idénticamente distribuidas) y
Donde las ai son constantes, entonces la función de densidad de S n es la convolution de la función de densidad de cada una de las X i y la función generadora de momentos para S n viene dada por
Para variables aleatorias multidimensionales X con componentes reales, la función generadora de momentos viene dada por
Donde t es un vector y
es el dot product.
Si X es una variable aleatoria discreta
Si la variable es continua
Puede demostrarse que si la función generadora de momentos existe, entonces es única y determina por completo a la distribución de probabilidad de X. Es decir, si dos variables aleatorias tienen la misma función generatriz de momentos, entonces, las dos variables tienen también la misma distribución de probabilidad. Por otra parte, si la función generadora de momentos existe, entonces es indefinidamente derivable en t=0. Esto nos asegura que generará todos los momentos, de cualquier orden, de X en cero. En efecto:
Derivando
Para la derivada segunda, se tiene:
En general, siguiendo con el proceso de diferenciación, se obtiene:
El mismo resultado se obtendría si se reemplaza la función exponencial por su desarrollo en serie de potencias alrededor de t=0.
Al derivar con respecto a t y calcular sus derivadas en t=0, se llegaría al mismo resultado.
1. Funciones generadoras de momentos de algunas distribuciones discretas. Binomial La función de probabilidad de la distribución binomial B(n; p) es
La función generadora de momentos
Poisson La función de probabilidad de una variable aleatoria de Poisson de parámetro λ es:
La función generadora de momentos viene dada por:
Binomial negativa La función de probabilidad de una variable aleatoria binomial negativa de parámetros k y p es:
La función generadora de momentos está dada por
2. Funciones generadoras de momentos de algunas distribuciones continuas. Normal La función de densidad de una variable aleatoria que se distribuye según una normal de parámetros μ y σ está dada por
Empecemos calculando la función generadora de momentos centrales.
En el último término, la parte de la integral y el factor donde se encuentra la raíz cuadrada constituyen la función de distribución de una variable aleatoria normal de parámetros N (μ+σ 2t; σ) extendida a toda la recta real, valiendo, por tanto, 1. La función generadora de momentos respecto del origen puede obtenerse fácilmente de
Uniforme La función de densidad de una variable aleatoria uniforme está dada por
La función generadora de momentos se obtiene de la manera siguiente:
Distribución Gama La función de densidad de una variable aleatoria X que se distribuye según una gama de parámetros α y θ viene dada por
La función generadora de momentos se obtiene
Función exponencial negativa La función de densidad de una variable aleatoria X que se distribuye según una exponencial negativa de parámetro θ, está dada por
La función generadora de momentos se obtiene
Queda
3.
Distribución de una función de una variable aleatoria. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f X(x). Sea Y=g(X). Supongamos que g es una función inyectiva, creciente y diferenciable, entonces es posible determinar la función de densidad de Y de la manera siguiente:
Diferenciando y aplicando la regla de la cadena:
Si g(x) fuera decreciente, el resultado sería el mismo salvo que la derivada de una función decreciente sería negativa.
Teorema Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f X(x) y defínase Y=g(X). Si y=g(x); x=g-1(y) son funciones univaluadas, continuas y diferenciables y si y=g(x) es una función monótona, la función de densidad de Y está determinada por
Donde Es el Jacobiano de la transformación. Ejemplo 1 Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad f(x;μ,θ,α) donde μ,θ y α son los parámetros de localización, escala y forma, respectivamente. El efecto del parámetro de localización puede notarse más claramente si se considera la variable aleatoria normalizada Y= (X-μ)/θ el cual no contiene a μ ni a θ. Mediante el empleo del teorema, la función de densidad de Y es: Despejando x= θy + μ; y dx/dy= θ. Se tiene:
En particular si X es una variable aleatoria gama cuya función de densidad es
La función de densidad de Y=X/θ es: Despejando x= θy; dx/dy= θ. Por tanto
De manera similar si X es una distribución Weibull con función de densidad de probabilidad de
La función de densidad de Y=X/θ es: Despejando x= θy; dx/dy= θ. Por tanto
Si no existe parámetro de forma y si μ y θ son la media y la desviación típica de X, entonces la función de densidad de Y dará lugar a una función de densidad libre de parámetros con media cero y desviación típica 1. Un ejemplo de lo anterior lo tenemos con la función de densidad de la distribución normal estandarizada. Ejemplo 2 Si la variable aleatoria X se encuentra uniformemente distribuida en el intervalo (0; π). Obtener la función de densidad de probabilidad de la función Y=c.sen(X) donde c es una constante positiva cualquiera. La función de densidad de X es
Despejemos x:
Como sen(x) es creciente para (0, π/2) y decreciente para (π/2, π) se obtiene: Para el intervalo (0, π/2)
y para el intervalo (π/2, π)
La función de densidad de Y es:
Ejemplo 3 Sea Z una variable aleatoria, N(0; 1), normal con media 0 y desviación típica 1. Demostrar que Y = Z 2 es una distribución Chi-cuadrado con un grado de libertad. La función generadora de momentos de Z 2 es:
Que como sabemos es la función generadora de momentos de la distribución chi-cuadrado con un grado de libertad.
Propiedades De La Función Generatriz De Momentos La importancia de la función generadora de momentos, radica en el hecho de que ella es única y determina completamente la distribución de una variable aleatoria, esto es, si dos variables aleatorias tienen una misma función Generatriz de momentos, deben tener igual distribución. La demostración de esta propiedad omitida en estos apuntes, se basa en la unidad que existe entre la f.g.m . y la función de distribución. La existencia de la función generatriz de momentos para -b
TEOREMA: Sea X una variable aleatoria con función generatriz de momentos M x (t) . Sea y=a * x+b , entonces M y(t) = ebt M x (at)
Demostración: M y(t)= E(e yt )= E[et(ax+b) ] = E(et*ax+tb) ) = E(etax *etb )= etb*E(etax ) M y(t)= etb* M x (ta)
TEOREMA. Sean X, Y , variables aleatorias independientes y Z=X+Y , con funciones generatrices de momentos, M x (t) , M y(t) y M z (t) respectivamente, entonces: M z (t)=M x (t)M y(t)
DEMOSTRACIÓN: M z (t)= E[etz ] = E[et(x+y) ] = E(etx * ety ) = M x (t) * M y(t)
El teorema anterior, se puede generalizar a n variables aleatorias independientes, xi , con función generatriz de momentos :
ANEXO: Función característica La función característica de una variable aleatoria o de su distribución de probabilidad es una función de variable real que toma valores complejos, que permite la aplicación de métodos analíticos (es decir, de análisis funcional) en el estudio de la probabilidad.
Definición Dada una variable aleatoria
su función característica, que se denota mediante
para real, se define como
Notar que se hace uso de la función exponencial compleja y denota la esperanza matemática. Adicionalmente usando las propiedades de la función exponencial compleja, la función característica se puede reescribir en términos de una parte real y una imaginaria:
En caso de variable aleatoria discreta, se tiene que:
Y en caso continuo, así:
Momentos Cuando los momentos de una variable aleatoria existen, se pueden calcular mediante las derivadas de la función característica. Es así que se tiene
Fórmula que se obtiene derivando formalmente a ambos lados de la definición y tomando dos veces y sustituyendo resulta
. Análogamente se relacionan momentos y derivadas de órdenes superiores.
, y derivando
Momentos Con Respecto Al Origen Los momentos con respecto al origen de una variable aleatoria X , son los valores esperados de . Para variables aleatorias de tipo discreto. X1, X2 . . ., Xn se define el momento de orden con respecto al origen, como:
En variables continuas, es:
Momentos De Orden
Respecto A Una Constante
•
En variables discretas;
•
Para variables continuas, se tiene:
Momentos De Orden Con Respecto A La Media Llamaremos, pues, de ahora en adelante, la media de la distribución de la variable o media poblacional con la letra griega
.
Luego el momento de orden
respecto a
, en variables discretas, es:
En variables continuas, es:
El momento de orden uno o primer momento, con respecto a es igual a cero , o sea :
EJERCICIOS a)
Supóngase que un número se selecciona al azar entre los enteros del 1 al 20.
Sea X el número de sus divisores. Construir la función de densidad de X . Cuál es la probabilidad de que haya 4 o más divisores al extraer un entero al azar.
SOLUCIÓN: Hagamos el siguiente análisis; para detectar el número de divisores del 1 al 20, así: 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 12 14 15 16 17 18 19 20
1
1 2
1 3
1 2
1 5
1 2
1 7
1 2
1 3
1 2
4 8
9
5 10
4
3 6
1 1 11 2 3 4 6 12
1 1 13 2 7 14
1 3
1 2
5 15
4 8 16
1 1 17 2
1 1 19 2
3 6 9 18
Variable aleatoria que representa el número de divisores en los números del 1 al 20. x
1
2
3
4
5
6
f (x)
1/20
8/20
2/20
5/20
1/20
3/20
La probabilidad de que haya 4 o más divisores, es:
b)
Se lanza un dado hasta que aparezca seis. Hallar la función de densidad del número de tiradas.
SOLUCIÓN: Sea X la variable aleatoria que nos representa el número de tiradas. Luego, puede ocurrir que aparezca, seis, en la primera tirada
4 5 10 20
Que aparezca al cabo de la segunda tirada, eso implica, que necesariamente en la primera tirada ocurrieran los resultados: 1, 2, 3, 4 o 5 únicamente y en la segunda aparecer el 6.
a)
De un lote de 10 televisores hay 4 defectuosos; se extrae una muestra de 3 sin reemplazamiento. Hallar la función de densidad del número de defectuosos en la muestra.
SOLUCIÓN: Sea X la variable aleatoria que representa el número de defectuosos en la muestra.
Los casos favorables pueden ocurrir de: y los casos posibles son
o sea, el número total de muestras posibles de tamaño 3.
__
c)
Dada la siguiente función de densidad: x
0
1
2
3
4
5
6
7
f (x)
0
c
2c
2c
3c
c2
2c2
7c2 +c
Encontrar C y hallar
SOLUCIÓN: Sabemos que para que f x (x) sea función de densidad es necesario que se cumpla que:
Partiendo de
tenemos:
c + 2c + 2c + 3c + c 2 + 7c 2 + c = 1 10c 2 + 9c -1 = 0
Pero como Luego la tabla de probabilidades, queda: x
0
1
2
3
4
5
6
7
f (x)
0
1/10
2/10
2/10
3/10
1/100
2/100
17/100
Ahora, También se puede resolver esta pregunta, utilizando el complemento; ya que sabemos que la probabilidad en todo el espacio o recorrido de la variable es 1, tenemos:
