FranciscoLuisFloresGil
FranciscoLuisFloresGil
Dedicadoamisqueridospadres NatividadyManuel, mismejoresprofesores…
Portadadiseñoydifusióndelaobra:Íttakus Edición cortesía de www.publicatuslibros.com. Debe reconocer los créditos de la obra de la manera especificadaporelautoroellicenciador(peronode unamaneraquesugieraquetienesuapoyooapoyan elusoquehacedesuobra).Nopuedeutilizaresta obra para fines comerciales. Si altera o transforma esta obra, o genera una obra derivada, sólo puede distribuirlaobrageneradabajounalicenciaidénticaa ésta. Al reutilizar o distribuir la obra, tiene que dejar bien claro los términos de la licencia de esta obra. Algunadeestascondicionespuedenoaplicarsesise obtieneelpermisodeltitulardelosderechosdeautor. Nadaenestalicenciamenoscabaorestringelosderechosmoralesdelautor.
C/SierraMágina,10. 23009Jaén-España www.ittakus.com
Índice 5.1 Contenidos conceptuales. 5.2 Contenidos procedimentales. 5.3 Contenidos actitudinales.
15 16 16
8.1 8.2
Principios metodológicos generales de la asignatura. Principios metodológicos propios de la unidad.
20 21
9.1 9.2 9.3 9.4
Actividades de introducción. Actividades de desarrollo. Actividades de refuerzo. Actividades de ampliación.
23 26 30 31
10.1 Criterios de evaluación. 10.2 Instrumentos de evaluación y criterios de calificación.
34 35
5
Losnúmerosracionalesjuntoconlosnúmerosirracionalesformanlosnúmeros reales.Hoyendíanopodríamosentenderlasmatemáticassinestosconceptos, queyaeranusadosporalgunasdelascivilizacionesdelaantigüedad. Laintuicióndequeexistennúmerosconescrituradecimalnoperiódica,cuyas cifrassesucedenindefinidamentesinobedeceraleyalgunadeterminada,es claveparalaconstrucciónconceptualdelosnúmerosreales. Lacontraposicióndelosnúmerosirracionalesalosracionaleshacequesea convenientesuintroducciónapartirde3ºy4ºdelaE.S.O.Enestoscursoslos alumnos ya tienen amplios conocimientos aritméticos y geométricos de los números naturales, enteros y racionales, por lo que la inclusión de los irracionalesescasiunanecesidad.
Posteriormente los alumnos continuarán ampliando los conocimientos y aplicaciones sobrelos números reales enBachillerato, tal y como lorecogen loscurrículosvigentes. EltratamientodeestaunidadenlaE.S.O.seráenprincipiofácil,yaquelos números racionales e irracionales son usados en la vida cotidiana con asiduidad.Estoselodeberemoshacerveralosalumnosparadespertarasísu interésycuriosidadeneltema.
6
Losnúmerosracionalesofraccionesaparecieronmuyprontoenlahistoriade lasmatemáticas. Como la gran mayoría delosconceptos matemáticos, su descubrimiento fue debidoalanecesidadderesolverunproblema.Losantiguosnecesitabanmedir longitudes,áreas,tiempo,pesosytodootrotipodemedidas.Alenfrentarsea esto en la vida cotidiana, pronto descubrieron que no era suficiente poder contarconlosnúmerosnaturalesparahacerlodemaneraexacta,yaqueestas medidas eran susceptibles de divisiones más pequeñas que la unidad, o divisionesmayoresquelamismaperoquenoerannúmerosnaturales,porlo que fue necesario ampliar el concepto de número natural. Así surgieron los númerosracionales. Las fracciones aparecen ya en los primeros textosmatemáticosdelosquehayconstancia, quizás uno de los más antiguos y más importantes sea el Papiro Rhind de Egipto, escritohaciael1.650a.C.yquepasaporser la mayor fuente de conocimiento de la matemáticaegipcia. En Occidente tuvieron que pasar muchos sigloshastaquelosmusulmanesintrodujeron su sistema de numeración, conocido como indoarábigo. Este paso fue clave para la comprensión y el estudio de los númerosracionalesenlaviejaEuropa. Sin embargo,nofue hastaelS.XIIIcuandoLeonardo dePisa,más conocido por su apodo Fibonacci, introdujo el concepto de números quebrados o números “ruptus”, empleando además laraya para separar elnumerador del denominador.
Elconceptoolaideadenúmeroirracionalaparecióprontoenlageometría.Ya los antiguos griegos observaron que los números racionalesnocompletabanlarecta. Quizás el primero en constatarlo fue el célebre filósofo y matemático griego Pitágoras de Samos (582a.C.–507a.C.),quienestudiandountriángulo rectánguloconcatetosdelongituduno,observóque la longitud de la hipotenusa de dicho triángulo no podíatenerunvalorracional.Conestodemostróla nocompletituddelosnúmerosracionalesydedujo 7
laexistenciadeunosnúmeroshastaentoncesdesconocidos. LaEscuelaPitagóricallamóadichosnúmerosinconmensurables.Alprincipiola aparición de estos “desconocidos” desconcertó de forma alarmante a los miembrosdelaEscuelaPitagórica,pueslaexistenciadelosirracionalesponía enevidenciaquemuchassuposicionesydemostracionesdelageometríaeran falsasoestabanincompletas.Lasorpresaypreocupaciónllegóhastatalpunto que llegaron a plantearse el mantener en secreto estos números que contradecíansudoctrina,queentreotrascosaspreconizaba“laadoracióndel número como ente perfecto que gobernaba el universo y todo lo que en él existía”. Tres siglos después de su descubrimiento, Euclides trata en su obra “Los Elementos”eltemadelosnúmerosirracionales,yllegaademostrarquelaraíz cuadradadedosnopuedeserunnúmeroracional. Losmatemáticosgriegosposterioresestudiaronademásdeestosirracionales sencillos, otros cada vez más complicados, encontrándose tipos como raíz cuadradade(raízcuadradadea+raízcuadradadeb)yotrossemejantes,pero nuncallegarona tenerlaideageneraldenúmeroirracional.Estaideaaparece yabienentradoelsigloS.XVI,alconsiderarlaideadeunnúmerodecimal aperiódico, esto es un número decimal cuyas cifras se sucedían de manera indefinidasinobedeceraleyalgunadeterminada.
8
Lasmatemáticascontribuyendecisivamenteenlaconsecucióndelosobjetivos generalesdelaEducaciónSecundaria Obligatoria.Durantesu aprendizajelos alumnosvandesarrollandosucapacidaddereflexiónlógicaysucapacidadde pensamientoyabstracción. ElobjetivogeneraldelaasignaturadematemáticasdurantelaE.S.O.debeser, además de dar a los alumnos unos conocimientos para su futuro laboral y profesional,elqueadquieranlosconocimientosnecesariosparadesenvolverse como ciudadanos capaces de ejercer sus derechos y deberes en nuestra sociedadactual. Para tal fin es necesario un correcto conocimiento de los conceptos de los númerosrealesysudivisiónennúmerosracionalesynúmerosirracionales.Por lo tanto la unidad de los números racionales e irracionales resulta ser una unidadbásicaparapodercumplirlosobjetivosdemateriaydeetapa. Además cualquier unidad didáctica que quiera tratar este tema, independientemente de tratarse de 3º o 4º de la E.S.O., deberá tener unos objetivospropiosbásicos,queserán: •
•
• • •
• •
Incorporarallenguajeutilizado enlacomunicaciónhabituallasdiversas ampliacionesdelcamponumérico,paraaumentarlacomprensióndelos fenómenosquenosrodean. Clasificarlosdistintostiposdenúmeros:naturales,enteros,racionales... paraunmejorconocimientodelosmismos,demaneraqueseamplíela capacidaddecomunicaciónycomprensiónfrentealosfenómenosque nosrodean. Definir el conjunto de los números reales. Determinar propiedades y operacionesqueserealizanconlosnúmerosreales. Representar en la recta numérica números reales. Establecer la nomenclaturaadecuadaparadesignartramosenlarectareal. Leer y escribir correctamente cantidades expresadas en notación científica.Utilizarlademaneraadecuadaparacomunicarinformaciónen loscasosqueasíloaconsejen. Manejar con soltura los números racionales e irracionales en la calculadora. Reconocer las posibilidades de la notación científica para expresar de modomuycomprensivonúmerosmuygrandesomuypequeños.
Profundizandoybuscandounosconceptosmásespecíficospodríamosdefinir lossiguientesobjetivos,tantopara3ºcomopara4ºdelaE.S.O.: • •
Expresarfraccionesenformadecimal. Distinguirlosnúmerosdecimalesexactos,periódicospurosyperiódicos mixtos. 9
• • • • • • •
Obtener la expresión fraccionaria de los números decimales exactos, periódicospurosyperiódicosmixtos. Reconocer los números irracionales como números decimales no periódicosconinfinitascifras. Clasificarlosnúmerosdecimalesenracionaleseirracionales. Representarlosnúmerosracionaleseirracionalesenlarectareal. Utilizarlosintervalosparaexpresarconjuntosdenúmeros. Calcular aproximaciones de un número irracional por exceso y por defecto. Aproximarnúmerosutilizandolastécnicasderedondeoytruncamiento.
Deberemostenerencuentaque,encasodehabervistoestaunidaden3ºdela E.S.O., para los alumnos de 4º podremos incluir otros temas a tratar, tales comolaspotenciasylasraíces.
10
Seentiendeporcompetenciasbásicasdelaeducaciónsecundariaobligatoria elconjuntodedestrezas,conocimientosyactitudesadecuadasalcontextoque todo el alumnado que cursa la E.S.O. debe alcanzar para su realización y desarrollopersonal,asícomoparalaciudadaníaactiva,laintegraciónsocialy elempleo. Apartirdelaño2008todosloscursosdelaE.S.O.deberánincluirunapartado decompetenciasbásicasensuprogramación,yserárecomendablequeenla unidad didáctica indiquemos que competencias básicas contribuiremos a adquirir. La adquisición de las competencias básicas permitirá al alumnado tener una visión ordenada de los fenómenos naturales, sociales y culturales, así como disponer de los elementos de juicio suficientes para poder argumentar ante situacionescomplejasdelarealidad. Laorganizaciónyfuncionamientodeloscentros,lasactividadesdocentes,las formas derelaciónque seestablezcan entrelos integrantesdela comunidad educativa y actividades complementarias y extraescolares pueden facilitar tambiénellogrodelascompetenciasbásicas. Lalecturaconstituyeunfactorprimordialparaeldesarrollodelascompetencias básicas. Los centros deberán garantizar en la práctica docente de todas las materiasuntiempodedicadoalamismaentodosloscursosdelaetapa. Con este fin recomendaremos la lectura de libros que traten los números racionales eirracionalesdeunamanera sencillaysindemasiadaprofundidad, adecuado al nivel de los alumnos de educación secundaria. Algunos títulos interesantesparaellosserían: • Númerosracionaleseintroduccióndelosirracionales.Autor:RaúlNúñez Cabello.EditorialPublicatuslibros.com. • Matemáticas, Números reales 3 ESO, Cuaderno 1. Autor: Manuela GarcíaDomínguez.Editorial:Cesma. • Eldiablodelosnúmeros.Autor:HansMagnusEnzensberger.Editorial Siruela.
11
Elcurrículodelaeducaciónsecundariaobligatoriadeberáincluir,deacuerdo conlorecogidoenelAnexoIdelRealDecreto1631/2006,de29dediciembre, almenoslassiguientescompetenciasbásicas: a) Competencia en comunicación lingüística, referida a la utilización del lenguaje como instrumento de comunicación oral y escrita tanto en lengua española como en lengua extranjera, de representación, interpretación y comprensióndelarealidad,deconstrucciónycomunicacióndelconocimientoy de organización y autorregulación del pensamiento, las emociones y la conducta. Seráimportantequeelalumno/aseacapazdeleeryentenderlosenunciados delosproblemassindificultad,asícomoquesepaprocesarlainformaciónque aparece en los enunciados. Así mismo deberán poder redactar procesos matemáticosylassolucionesalosproblemas. b) Competencia de razonamiento matemático, entendida como la habilidad para utilizar números y operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión del razonamiento matemático para producir e interpretar informaciones y para resolver problemas relacionados con la vida diaria y el mundolaboral. Forma parte de la competencia matemática la habilidad para interpretar y expresarconclaridadyprecisióninformaciones,datosyargumentaciones,lo que aumenta la posibilidad real de seguir aprendiendo a lo largo de la vida, tanto en el ámbito escolar o académico como fuera de él, y favorece la participaciónefectivaenlavidasocial. c) Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico y natural, que recogerá la habilidad para la comprensión de los sucesos, la prediccióndelasconsecuenciasylaactividadsobreelestadodesaluddelas personasylasostenibilidadmedioambiental.Paraelloseráimportantequelos alumnosseancapacesdecomprenderciertosconceptoscientíficosytécnicos quehoyendíapodemosverencualquiermediodecomunicación. d) Tratamiento de la información y competencia digital, entendida como la habilidad para buscar, obtener, procesar y comunicar la información y transformarlaenconocimiento,incluyendolautilizacióndelastecnologíasdela información y la comunicación (TIC) como un elemento esencial para informarseycomunicarse. e)Competenciasocialyciudadana,entendidacomoaquéllaquepermitevivir ensociedad,comprenderlarealidadsocialdelmundoenqueseviveyejercer laciudadaníademocrática.Paraelloseráimportantesercapazdeanalizarlos datos estadísticos relativos a la ciudadanía que en los diferentes medios de comunicaciónpodemosverdiariamente. f)Competenciaculturalyartística,quesuponeapreciar,comprenderyvalorar críticamentediferentesmanifestacionesculturalesyartísticas,utilizarlascomo fuente de disfrute y enriquecimiento personal y considerarlas como partedel 12
patrimonio cultural de los pueblos. Será importante que los alumnos sean capaces de analizar expresiones artísticas visuales desde el punto de vista matemático así como conocer otras culturas, especialmente en un contexto matemático. g) Competencia para aprender a aprender, supone disponer de habilidades para iniciarse en el aprendizaje y ser capaz de continuar aprendiendo de maneracadavezmáseficazyautónomadeacuerdoalospropiosobjetivosy necesidades. h)Competenciaparalaautonomíaeiniciativapersonal,referidoporunapartea la adquisición de la conciencia y aplicación de un conjunto de valores y actitudes personales interrelacionadas, como la responsabilidad, la perseverancia,elconocimientodesímismoylaautoestima,lacreatividad,la autocrítica,elcontrolemocional,lacapacidaddeelegir,decalcularriesgosyde afrontar los problemas, así como la capacidad de demorar la necesidad de satisfaccióninmediata,deaprenderdeloserroresydeasumirriesgos.Incluye tambiénlacapacidademprendedoraparaidear,planificar,desarrollaryevaluar unproyecto. Las matemáticas en general y esta unidad sobre los números racionales e irracionales enparticular, podrán colaborar a la adquisiciónde las siguientes competenciasbásicas: •
Puede entenderse que todo el currículo de la materia contribuye a la adquisición de la competencia matemática, puesto que la capacidad parautilizardistintasformasdepensamientomatemáticoconobjetode interpretar y describir la realidad y actuar sobre ella, forma parte del propioobjetodeaprendizaje.
•
La incorporación de herramientas tecnológicas como recurso didáctico para el aprendizaje y para la resolución de problemas contribuye a mejorarlacompetenciaentratamientodelainformaciónycompetencia digital de los estudiantes, del mismo modo que la utilización de los lenguajes gráfico y estadístico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de comunicación. Ya hemos comentado la cantidad de completos programas informáticos existentes para la realización de cálculos con números racionales e irracionales y la creacióndegráficas,entreotrasutilidades.
•
Las matemáticas contribuyen a la competencia en comunicación lingüística,yaquesonconcebidascomounáreadeexpresiónqueutiliza continuamentelaexpresiónoralyescritaenlaformulaciónyexpresión de las ideas. Por ello, en todas las relaciones de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, y en particular en la resolución de problemas,adquiereespecialimportancialaexpresióntantooralcomo escrita. El estudio de los números reales requiere ciertos conceptos y términosespecíficosqueelalumnoaprenderáausar.
13
Las matemáticas contribuyen a la competencia en expresión culturaly artística, porque el mismo conocimiento matemático es expresión universaldelacultura,siendolageometríaenparticularparteintegralde laexpresiónartísticadelahumanidad,alofrecermediosparadescribiry comprender el mundo que nos rodea y apreciar la belleza de las estructurasquehacreado. • Elconocimientodelosnúmerosrealesesespecialmenteimportantepor ejemplo en arquitectura, ya que es fundamental a la hora de realizar cálculos de estructuras, dimensiones, pesos, etc. También es útil en dibujo, pintura, o escultura, para obtener proporciones adecuadas que aumentenlabellezadelaobra.UnconocidoejemploelParthenon,cuyo frontalsediseñómanteniendoentodomomentolasproporcionalidades áureas. •
Lospropiosprocesosderesolucióndeproblemascontribuyendeforma especialafomentarlaautonomíaeiniciativapersonal,porqueseutilizan para planificar estrategias,asumir retos y contribuyena convivircon la incertidumbre, controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones. • La unidad dedicada a los números reales (racionales e irracionales) deberácontenergrancantidaddeproblemasdetodotipo.Laresolución de los mismos hará que el alumno obtenga laconfianza necesaria en suscapacidades,ylosconocimientosnecesariosparapoderenfrentarse aproblemasensuvidacotidiana. •
14
El medio para alcanzar las capacidades enumeradas en los objetivos lo constituyenloscontenidos. Launidaddidácticasobrelosnúmerosracionaleseirracionaleslaincluiremos dentro del bloque de Aritmética y Álgebra que aparecerá en nuestra programación. Dividiremos los contenidos en contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales.
Naturalmente,loscontenidosdelaunidadvariaránsegúnelcursoparaelque laqueramosusar.Enprimerlugardefiniremosunoscontenidosconceptuales básicosyacontinuacióndaremosotroscontenidosconlosquelospodremos completar: Contenidosconceptualesbásicos: • • • • • • • • •
Númerosdecimalesexactos.Fraccionesdecimales. Númerosdecimalesperiódicospurosyperiódicosmixtos. Expresióndecimaldeunafracción. Expresiónfraccionariadeunnúmerodecimalexactoyperiódico. Númerosirracionales. Sucesivasampliacionesdelosconjuntosnuméricos.Númerosreales. Clasificacióndelosdistintostiposdenúmeros. Intervalosdenúmerosreales. Aproximacionesdecimalesdenúmerosracionaleseirracionales.
Contenidosconceptualesparaampliarlaunidad: • Númerodecimalperiódicoysufraccióngeneratriz. • Números naturales, enteros y racionales elevados a potencias de exponentenaturalyexponentenegativo. • Lanotacióncientífica. • Elrectánguloáureocomoexpresióndelarelaciónentredosmagnitudes quenosepuedeexpresarcomounnúmeroracional. • Algunos irracionales conocidos: π, φ y raíces cuadradas o de índice superiordeunnúmeronatural,sinoesentera. • Operacionesquepuedenrealizarseconnúmerosreales.Propiedades. • Representación de números reales. La recta real. Nomenclatura para designardeterminadostramosdelarectareal.
15
• • • • • • • • •
• • • • • •
• • • • •
Obtencióndelaexpresióndecimaldeunafracción. Obtencióndelaexpresiónfraccionariadeunnúmerodecimalexactoo periódico. Utilización de los porcentajes para expresar fracciones y números decimales. Realización mental de operaciones con números decimales y porcentajes. Utilización de diferentes procedimientos para efectuar cálculos de maneralomássencillaposible. Clasificación de números reales en números racionales y números irracionales. Búsquedadepropiedadesyrelacionesenconjuntosdenúmeros. Expresióndeconjuntosdenúmerosrealesmedianteintervalos. Obtención de aproximaciones decimales de números racionales e irracionales por exceso y por defecto, y mediante redondeo y truncamiento hasta un orden dado, dando cuenta del error absoluto cometidoencadacaso. Realización de operaciones con números reales utilizando sus aproximacionesdecimalesyevaluandoelerrorcometido. Métodosgeométricos,teoremadePitágoras,paralarepresentaciónde ciertosnúmerosrealesenlarectareal. Representacióndenúmerosrealesenlarectarealmediantesucesivas aproximacionesdecimales. Comparación de números reales utilizando sus aproximaciones decimales. Resolucióndeproblemasrealesqueimpliquenlautilizacióndenúmeros decimales,porcentajes,númerosrealesyaproximaciones. Uso de las calculadoras científicas para efectuar cálculos y adquirir destrezas operatorias con raíces cuadradas, potencias y raíces de cualquieríndice.
Valorar lapresencia y utilidadde los números decimales encontextos reales. Analizardeformacríticalosporcentajesendistintoscontextos. Interés por la búsqueda de números reales en las matemáticas y en problemasrelacionadosconlavidareal. Disfrute por la presentación ordenada de los trabajos realizados para calcularaproximacionesdecimalesdenúmerosreales. Valoración de las propias capacidades para resolver problemas cotidianosenlosquesedebanutilizardealgunamaneralosnúmeros reales, con y sin calculadora. Gusto por la precisión en los cálculos realizados.
16
Comoyahemosdicho,elusodelosnúmerosracionaleseirracionalesesalgo cotidiano en nuestra vida diaria. Esto hará que el tratamiento de los temas transversalesseafácilenelauladebidoaquelosalumnosobservaránpronto lautilidaddeloexplicado. Dentro de los muchos temas transversales que podremos exponer en esta unidad hemos elegido algunos de los definidos en la legislación vigente,y a continuaciónhemosexpuestounaseriedesugerenciasparasudesarrolloenel aula.
Resultarecomendablequeelalumnodesarrolleelsentidocríticoparaconsumir de forma adecuada y responsable, valorando la información sobre las cantidadesvlamedidadelascosas.Podemosutilizar: Unaprimeraaplicacióndelosnúmerosrealeseselmanejofluidodelas fracciones y los porcentajes, cuestión importante, ya que facilita el desarrollo de un sentido crítico ante situaciones de compra y venta dondeaparezcan.Elestudiodelaproporcionalidadyenparticulardelos porcentajespermiteunainterpretaciónexactadelosvaloresderebajas eincrementosdelospreciosdelosartículoscomerciales. • Actividad sobre elaboración del presupuesto familiar, aprovechando la necesidad de trabajar con decimales (redondeo) al utilizar euros. Se puede aprovechar la actividad para concienciar a los alumnos la importancia deuna buenaplanificación económica por partedetodos. Es necesario que los alumnos valoren la importancia de un consumo responsable y tomen conciencia de que dominar las operaciones y cálculos básicos es fundamental para desenvolverse con éxito en la sociedadactual. •
Esimportantelasensibilizaciónporloselementosfísicosybiológicosdelmedio natural,yqueelalumnovaloreyparticipeenactividadesdeconservacióndel medionatural. Puede plantearse una actividad que podemos titular: “La lluvia y los pluviómetros”.Tratarádeuntemadegraninterésmedioambiental,comoesel agua. A la hora de abordarlo conviene fomentar la preocupación científica y social sobre problemas relacionados con el agua, como la sequía y las inundaciones.Unestudiodelacapacidaddenuestracuencahidráulicaydelos recursoshídricosdelosquedisponemospuedeserutilizadoparatrabajarcon fracciones,porcentajesydecimales.
17
Mediante la utilización de ejercicios y actividades sobre los números racionales y reales relacionados con el reparto. Así fomentaremos en los alumnos la idea de igualdadyjusticia. Enclasedeberemosincidirenlanecesidadde compartir con los demás, sin olvidar la importanciadesertolerantes con las personas quesondiferentesporsuraza,sexoocondición social.
Elconocimientodelpropiocuerpoydesusórganosesunaparteesencialenla educación para la salud. Para poder desarrollar este tema transversal podremosrealizarenclaselassiguientesactividades: Actividad que pide cuantificar los glóbulos rojos que tenemos en la sangre, la cantidad de sangre en nuestro cuerpo y el porcentaje que suponedichasangreconrespectoalpesocorporaldeunapersona. • Actividad sobre una figura humana (por ejemplo una estatua o un alumno voluntario) utilizando las distancias ombligo-pies y ombligocabezapararelacionarsucocienteconelnúmeroáureo. •
Respetoyvaloracióndelaaportacióndelasdistintasculturasenlabúsqueda desistemasdenumeracióneficacesyeneldesarrollodelasmatemáticasen general. ElprogresodelaHumanidadcomoresultadodelaaportación detodaslasculturas. Paratratarestetemapodremosusarlaintroducciónhistórica de este libro para que de esa forma, los alumnos puedan comprobar cómo diferentes civilizaciones y culturas han ido contribuyendo con sus conocimientos y estudios, tanto en éstecomoentodo tipodetemas,alavance ydesarrollode la sabiduríade la humanidad.
18
Esta unidad puede llegar a ser bastante extensa por lo que tendremos que atenernos al tiempo que podamos dedicarle, a la hora de plantearnos los objetivosycontenidosdelamisma. Igualmentenoseráiguallatemporalizaciónenuncursode3ºquede4ºdela E.S.O.yaquesesuponequelosdecuartocursoconocenyalamateriatratada. Lonormalseráqueen3ºdelaE.S.O.dediquemosunas8o9sesionesala unidadyen4ºdelaE.S.O.unas6o7sesiones,siempresegúnelnivelinicial delosalumnos. Otrotemaatenerencuentaseráelusoderecursosdidácticosparaampliarlos contenidos, el uso de ordenadores, libros, etc hará que necesitemos dedicar más tiempo a la unidad del que en un principio pensáramos. No obstante, debemos tenerencuenta que launidad didácticadebe deser undocumento abierto, de forma que aunque inicialmente tuviésemos pensado dedicar un tiempo determinado, si luego observáramos que fuese necesario realizar alguna actividad de ampliación, siempre podríamos extender el tiempo dedicadoalaunidad.
19
Seráimportante queconozcamoslosprincipiosmetodológicosgeneralesdela asignatura,yaquecualquieradeelloslospodremosaplicarenlaunidad. Losprincipiosmetodológicosdeláreadematemáticasserían: •
•
•
•
•
•
•
•
En la E.S.O. es cuando el niño empieza a desarrollar y a usar verdaderamente su capacidad de razonamiento y abstracción. Las matemáticassonunaherramientaimprescindibleparalograrlosmejores avances en estos campos. El profesor debe fomentar al máximo el esfuerzo en sus alumnos para lograr en ellos el mejor desarrollo en ambasfacultades. Lasmatemáticasdebensermostradasalosalumnosporelprofesorde lamaneramáscercanaposiblealmundocotidiano.Elalumno/adebede entenderqueestárodeadoporconceptosmatemáticosqueademásno dejadeusar. LosalumnosdelaE.S.O.tienengraninterésenlasnuevastecnologías, ylasmatemáticasconstituyenunáreaenlaqueelusodelasTICson muyútiles,ayudandocomorecursosdidácticosalprofesor.Ésteademás podráhacerveralosalumnosquetodaslasnuevastecnologíasquenos rodeantienensusprincipiosenconceptosmatemáticos Las matemáticas es una asignatura que fomenta la imaginación y la curiosidad en los alumnos. Un mismo problema, ejercicio o juego matemáticopuederesolversedemuchasformasposibles,ytodasellas darán el mismo resultado correcto. Al mismo tiempo, habrá otros ejercicios o problemas que sean o tengan resultados sorprendentes. Todoestodebeserusadoporelprofesorparaqueelalumno/asesienta atraído por la asignatura, haciendo uso del mayor número posible de estetipodeejerciciosojuegosydestacandoasíelcarácterlúdicodela asignatura. Eltrabajoengrupodebeseranimadoporelprofesordematemáticas, quien debe desarrollar actividades que cree hábitos de trabajo en equipo,fomentandolaparticipacióndetodoslosalumnos. En las matemáticas, será fundamental que el profesor presente el contenido de forma bien estructurada, organizada y secuenciada, adaptándose a las particularidades de cada alumno/a, ya que es muy importanterespetarlosritmosdeaprendizajedeellos. Asimismoesimportanterespetarlaformacíclicadelaenseñanzadelas matemáticas,lograndoporejemploquelosalumnosquetuviesenalgún problema la primera vez que se explicara algo, tuvieran la opción de enterarseenotraocasión. Lostemasdebeniniciarseconunapequeñaintroducciónqueafiancey resuma loscontenidosenlosquese basela nuevaunidaddidáctica, y queyahayansidovistosanteriormenteporlosalumnos.Deestaforma sedacontinuidadysefacilitalacomprensióndelosnuevosconceptos. 20
•
Elprofesordematemáticasdebemostraralosalumnoslarelaciónde lasmatemáticasconotrasasignaturas.Alhacerestoelprofesorlogrará que el alumno/a asiente mejor los conocimientos y le haga ver la importanciaytrascendenciadelasmatemáticas.
Launidad deberáiniciarseconexplicacionesy pruebasquepersiganundoble objetivo: evaluar los conocimientos previos, y motivar a los alumnos por el aprendizajedenuevoscontenidos.Enestesentido,proponemoslarealización delassiguientesactividades: Las actividades de arranque irán orientadas a repasar conceptos ya conocidos por los alumnos, recordando los distintos conjuntos de números,lasoperacionesposiblesentreellosysusrepresentacionesen larecta. • Es importante llamar la atención de los alumnos sobre la presencia y utilidad de los números fraccionarios y los números decimales en contextos de la vida real: partes de un total, medidas de magnitudes (longitud,área,volumen"etc.),sistemamonetario,etc. • Pedir a los alumnos que aporten ejemplos propios les ayuda a reflexionarsobreesautilidad. • Aportar ejemplos de números irracionales en distintos contextos (geométricos, artísticos, de la vida real,...), llamando la atención sobre losnúmerosmásconocidos:π,elnúmeroáureo,etc. •
Encuantoalnivelydificultaddeltema,seprestaráespecialatencióna: Lasrelacionesentreconjuntosnuméricosentrañanciertadificultadpara los alumnos y hay que asegurarse de que son comprendidas. Es necesariohacerhincapiéenlarelacióndeidentidadexistenteentrelos númerosracionalesy1osdecimalesperiódicos. • Elsalto conceptualdelos números racionales alos irracionales puede resultarcomplicadoporlaaparicióndeinfinitascifrasquenoserepiten. • Convienededicarunespecialesfuerzoparaquelosalumnosalcancenel mayorgradodecomprensiónposiblealahoradeidentificarytrabajar con los distintos tipos de números que aparecen en la unidad. La detección de las dificultades es posible realizarla a partir de las actividadespropuestas. •
Otrassugerenciasdidácticasatenerencuentason: •
Practicar el paso de números decimales a fraccionarios y viceversa, haciendo hincapié en la equivalencia de ambas expresiones. Dichas actividadesserviráncomointroduccióndelnúmeroirracional,haciendo verlaimposibilidaddeexpresarloscomofracciones. 21
Larepresentacióngráficadenúmerosirracionales,queenestaunidad se realiza sobre todo a través de sus sucesivas aproximaciones decimales,deberíasersuficienteparaquelosalumnossedencuentade laíntimarelaciónexistenteentrelarectarealyelconjuntodetodoslos númerosreales. • Las aproximaciones decimales de los números irracionales son un instrumentoeficazalahoraderealizaroperacionesyordenarconjuntos denúmerosreales.Elprofesordebeevaluarelnivelderigorconquese debe medir el error cometido, sobre todo en aquellas actividades que tenganrelaciónconlageometríaolavidacotidiana. • Practicarconlarectareal,representandonúmeros,intervalosabiertosy cerrados,semirrectasyvaloresabsolutos. • Esimportantequelosalumnosseanconscientesdelerrorqueconlleva todamedida.Porello,puedenproponerseejemplosenlosque,apartir desituacionesreales,seanotorialafaltadeexactitudenunaestimación. •
Como materiales didácticos se podrán utilizar tanto en 3º como en 4º de la E.S.O.lossiguientesrecursos: •
•
• • •
La calculadora científica constituye una herramienta básica en el desarrollo de esta unidad. Los alumnos deben aprendercuálessonlasteclasquedebenutilizar en cada caso, y adquirir habilidades en su manejo. Para ello se propone la práctica con fracciones, cálculo de porcentajes, aproximaciones decimales de los números reales,etc. Juegos de dominó en los que intervengan los números reales y sus representaciones en la rectareal. Vídeos. De la serie "Ojo matemático": Cálculos aproximados (nº 16) MetrovídeoEspañola. Programasdeordenadordecálculomatemático. Papel milimetrado para representar sucesivas aproximaciones de un númeroirracional.
Algunasestrategiasalasquepodemosrecurrirson: • •
• • •
Ofrecer en cada caso el tiempo necesario para la construcción significativadelosconocimientos. Alternareltrabajoindividualconeldegrupoypropiciarelintercambio fluido de papeles entre alumnos para corregir posibles prejuicios sexistas. Diversificarel uso decódigos ymodosdeexpresiónconobjetodeque losalumnosestablezcanrelacionespertinentes. Individualizar, en la medida de las posibilidades, el seguimiento del aprendizajedecadaalumno. Coordinar los distintos ritmos de trabajo y de adquisición de conocimientos. 22
Las actividades o experiencias de aprendizaje son el conjunto de tareas o actuacionesdetodaíndolequelosalumnosylasalumnasdebenrealizarpara alcanzar los objetivos previstos y adquirir los contenidos seleccionados. Es importante disponer de un amplio y variado repertorio de actividades para atender (sin dificultades añadidas) alestilo y alritmode aprendizaje decada alumno o alumna. Con ello, sin embargo, no se pretende homogeneizar los tiempos de actividad y las tareas propiamente dichas. Un mismo tiempo educativopuede y debepermitirla realizaciónde actuacionesdiversasenun mismogrupodealumnosyalumnas. Obviamenteserándiferenteslasactividadesarealizaren3ºy4ºcursodela E.S.O.,noobstante trataremos deexponervarias que puedan ser usadas en cualquieradelosdoscursos.Lasactividadeslaspodremosclasificarenvarios tipos:
Tratarán de averiguar las ideas, los intereses, las necesidades, etc., de los alumnosylasalumnassobreloscontenidosquesevanatrabajar.Conellas, sesuscitarálacuriosidad intelectualy la participación detodosenlas tareas educativas. . Podríamos decir, como afirmaba Pitágoras, que en el mundo que nos rodea todo puede medirse o contarse con números enteros o sus cocientes, los números fraccionarios. Su famoso teorema dio origen a los números irracionales,yaquesiloscatetosdeuntriángulorectángulomidenunmetrode lado, la hipotenusa no se puede expresar con un número racional. Compruébalo tú mismo. Además, observa como la realidad confirma este hecho: 1º-¿Esposibleexpresarladiagonaldeunsalónrectangularde6por5metros conunnúmeroracional? 2º-¿Sepuedeexpresarmedianteunnúmeroracionallalongitudperimetralde cualquierplazacircular,porejemplo,ladeunaderadio10m?
A pesar de ser los más utilizados en la vida diaria, a veces los números racionales pueden acarreamos sorpresas "desagradables". Fíjate en esta situaciónreal: 1º-Raúlquierecomprarunterciodekilodejamón.Elcharcutero,muyamable, queesacantidadexactanosepuedevender.¿PodríasconvenceraRaúlde queelcharcuterotienerazón? 23
De todas maneras, un número como el anterior, llamado periódico, no es lo másfrecuenteenlocotidiano.Unaformadecomprenderloconsisteenrealizar elsiguienteexperimento: 2°.-Semetenenunabolsabolasmarcadasconlas10cifras.Sesacaunabola yseanotasucifraparaformarlapartedecimaldelnúmeroysemetedenuevo enlabolsa.Serepiteelmismoprocesoparaobtenerlasegundacifra,latercera yasísucesivamente.Laprobabilidaddeque,alrepetiresteproceso,aparezca un bloque de cifras que se repita constantemente es muy pequeña. Por ejemplo,paraelnúmerodelaactividadanterior,0,3333...,apartirdelacoma tendría que salir indefinidamente en cada extracción un 3… Parece muy improbable. Continuemosconotronúmeroqueseguramenteyaconocesdeotroscursos: 3º-HistoriadePi( π).Enundocumentoegipcioescritohaciael1650a.C.(el papirodeRhind)yasemencionaestenúmeroyseledaunvalorde256/81,o loquees3,1604.Compáraloconlascuatroprimerascifrasdepi.¿Teparece que habían afinado mucho? Más adelante, el matemático chino Tsu ChengChih (que vivió hace 1500 años) le dio un valor de 355/113. Utiliza la calculadorayobservaelresultado.¿Esmejoraproximaciónquelaanterior? Seráinteresantequesepasqueelnúmeropinuncapodráexpresarsemediante una fracción, ya que es un número que tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Laideadedesignarelnúmeroconelsímbolo πesbastante más reciente que las aproximaciones anteriores. Es de hace unos 300 años y se le ocurrió al matemático inglés WilliamJones,aunquequienpopularizósuusofueelsuizo LeonardEulerunoscienañosmástarde,enelS.XVIII. WilliamJones
Alolargodelahistoria,losmatemáticosdetodoelmundo han tratado de obtener las mayores aproximaciones a π. Una de las últimas es la que lograron David y Gregory Chudnovsky, de la Universidad de Columbia, en Nueva York, que hallaron el valor de π con 1.011.196.691 decimales. Escrita en folios normales, la cifra que obtuvieron ocuparía unas 260.000 páginas. 4º- Este número que te mostramos ahora no lo conoces. Si embargo, está presenteennuestravidacotidianaoenmanifestacionesartísticas,aunqueno tehayasdadocuenta: CogetuDNI,unbonobúsounatarjetadecrédito.Mideellargoyelanchoy divide¿Quénúmeroresulta?Aproximadamente1,6.Másexactamente,1,618... Parece a simple vista un número cualquiera, pero en realidad para los matemáticos es un "número de oro". Y a en la antigua Grecia, filósofos y artistasdescubrieron que los rectánguloscuyoslados aybestánen relación a/b = 1,618... son especialmente armoniosos (por ejemplo, uno en el que el ladocortotenga10centímetros,yellargo16,18.Dibújaloentucuaderno)Un 24
rectánguloasílollamaronrectánguloáureo.Aesenúmeroledieronpornombre 1+
númeroáureo.Eselresultadode
2
5
.
Realiza esta operación con tu calculadora y observa como vuelve a salir 1,618...Losimbolizaronconlaletragriega Ф(fi)enhonordelescultorFidias, maestrodelasproporciones.Elrectánguloáureotieneunacuriosapropiedad. Sicreasenéluncuadradocomoladoelladocortodelrectángulo,laparteque sobra es, a su vez, un rectángulo áureo. Hazlo con el rectángulo que has dibujado antes. Resulta una especie de hijo del anterior que guarda exactamentelasmismasproporcionesquesupadre.Vuelveamedirloslados del nuevo rectángulo obtenido y efectúa la división corres ponte. De nuevo 1,6... A lo largo de la historia, muchos artistas han apreciado labelleza y la armonía delos rectángulos áureos. Cientos de cuadros están pintados sobre lienzosqueguardanexactamenteesasproporciones, ylasfachadasdealgunasdelasgrandesobrasdela arquitectura(elPartenóndeAtenasolacatedralde Notre Dame de París) son rectángulos áureos. En este cuadro, titulado "Semitaza gigante volando con anexo inexplicable de cinco metros de longitud" el pintor Salvador Dalí dispuso todos los objetos siguiendo rectángulos áureos (ABCD, ABEF, AGHF, IJHF,JH]Tomamedidasycompruebaestehechoen algunosdeestosrectángulos.
1º.-Utilizatucalculadorayhallaelvalordecimalde237/100.¿Quéobtienes? ¿Cuántos decimales tiene exactamente el número obtenido?Estaesunafraccióndecimalexacta. 2º - Utiliza tu calculadora y halla el valor decimal de la fracción122/99.¿Quéobtienes?¿Cuántascifrasdecimales aparecen en pantalla? ¿Presentan alguna curiosidad? ¿Son todas las que tieneeste número? En realidadtiene infinitascifrasdecimales;alapartedecimalqueserepiteselellamaperiodo. ¿Cuáleselestenúmero? 3º.-Utilizatucalculadorayhallaelvalordecimaldelafracción480468/99000. ¿Quéobtienes?¿Cuántascifrasdecimalesaparecenenpantalla?¿Presentan alguna curiosidad? ¿Son todas las que tieneeste número? Enrealidad tiene infinitascifrasdecimales;alapartedecimalqueserepiteselellamaperiodoy a las cifras anteriores al periodo, anteperiodo. ¿Cuál es el periodo de este número?¿Yelanteperiodo?
25
4º.-Losnúmerosdecimalesanterioresprocedendefracciones,porlotantoson númerosracionales.Investiguemosahorasiexisten"otros"números. Paraelloobténcontucalculadora √3¿Quéobtienes?Silohashechobienhas obtenido1,732050808.¿Creesquetendrámáscifrasdecimales?¿Creesque será periódico? La pantalla solo tiene espacio para mostrarte estas cifras decimales,peroenrealidadfaltanmuchasotras,pues √3esunnúmerodecimal noperiódicoquedurantelaunidadllamaremosirracional. •
FotoMáticas. Las matemáticas están presentes a nuestro alrededor y una forma de plasmarla es mediante la fotografía. En Internet hay un gran número de páginas con fotos que resaltan algún contenido de matemáticas,porejemplo,lapresenciadenúmerosirracionalescomo π oФenlanaturalezayenelarte.Unadeestaspáginas: www.cnice.mecd.es/eos/MaterialesEducativos/mem2000/matefoto/libro
•
En Internet aparecen muchas cuestiones matemáticas curiosas. Si quieres navegar para encontrarlas,solo tienes que utilizar elbuscador Google, cuya dirección es www.google.com, y escribir en la línea de búsqueda "curiosidades matemáticas”. Aparecen páginas interesantes decolegioseinstitutosrealizadasporprofesoresyalumnos.
Son aquellas actividades que las unidades de programación prevén con caráctergeneralparatodoelalumnado. Vamosadaracontinuaciónalgunosejemplosquedebidoasucaráctergeneral servirántantopara3ºcomopara4ºdelaE.S.O.:
1º.-Escribeenformadecimallossiguientesnúmerosfraccionarios,indicandosi son exactos, periódicos puros o mixtos: 25/100, 3/5, 7/4, 12/40, 2/7, 15/6, 40/13. 2º.-Dadaslasfracciones6/5,9/2,11/20,23/25. a)Amplificacadafracciónaotraquetengapordenominadorunapotenciade 10. b)Expresaluegoenformadecimalcadafracciónobtenida. 3º.- Escribe los siguientes números en forma de fracción: 2,75; 0,757575... ; 3,12555 4º.- Calcula,pasando a fracción, las operaciones:0,777...+ 0,555; 2,4555... Sumaluego,directamente,losnúmerosdecimales,pasaelresultadoafracción ycompruebaqueseobtieneelmismoresultado.
26
5º.-María,LuisayCarmencompranunanovelaamediasquecuesta13euro. a) ¿Puedenpagarlas tres la mismacantidadde euros? ¿Por qué? b) ¿Ysi fueran12,75euros? 6º.-¿Cuántosminutosson6décimasdehora?¿Ycuántosminutosrepresenta 0’6666dehora? 7º.- Un coche circula a una velocidad constante de 110 km por hora. a) ¿Cuántos metros recorre en un minuto? ¿Se puede expresar el resultado en forma decimal exacta? b) Si mantiene la velocidad media a 110, ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 275 km?Expresaelresultadoenhorasyminutos. 8º.- Una clase tiene28alumnos. Eldelegado delaclasedicequesehanapuntadoparairde excursiónalasierra2/3delosalumnos.¿Es ciertoloquediceeldelegado?Sifueracierto,¿cuántosalumnossehabrían apuntado?Enotraclasede36alumnossehanapuntadoel0,777...delaclase. ¿Quéporcentajeirádeexcursión?¿Cuántosalumnosnoirán?
1º.-Clasificalossiguientesnúmerosenracionalesoirracionales,razonandola respuesta: a) -2,272727... b) 3,54787878... c) 0,001001100111... d) 5,070077000777.. 2º.-Sabemosque π=3,141592653...esunnúmeroirracionalqueaparecióal estudiarlalongituddelacircunferencia.Eselresultadodedividirlalongitudde lacircunferenciaporeldiámetro.Contestaalosiguiente: a)¿Seráirracionalelnúmero100π?Razonalarespuesta. b)Escribelascincoprimerasaproximacionesdeestenúmero, pordefectoyporexceso. c) A lo largo de la historia se han dado muchas aproximacionesde πpornúmerosfraccionarios.Tolomeodio 377/120yLiu-Hui355/113;Expresaestasfraccionesenforma decimaleindicacuáleselerrorabsolutoencadacaso. 3º.- El número irracional √2 = 1,414213562... apareció con el teorema de Pitágoras.Eselresultadodemedirladiagonaldelcuadradoconelladounidad. a)Escribelascincoprimerasaproximacionesdeestenúmero,pordefectoypor exceso. b)Losbabiloniosconocíanyalaexcelenteaproximacióndeestenúmeroporla fracción17/12.Señalaelerrorcometidotomandocuatrocifrasdecimales. 4º.-Halla el errorabsoluto yelerror relativogenerado altomar las siguientes aproximacionesde1/9:0,11;0,111;0,1111.
27
5º.-Escribeaproximacionesdecimalespordefectodelossiguientesnúmeros conunerrormenorqueunamilésima:5/9,5/6,4/11,8/7. 6º.- La medida del lado de un triángulo equilátero es 8 cm. ¿Qué clase de número es la medida de la altura? ¿El área del triángulo equilátero es un númeroracional?Razonaturespuesta. 7º.-Unnúmeroirracionaltanfamosocomo πeselnúmero áureo que aparece como cociente entre la diagonal del pentágonoregularyellado.Susímboloeslaletragriega Ф(fi)ysuvaloresФ=(1+√5)/2=1,618033... a)¿Cuántovaleladiagonaldeunpentágonoregularsiel ladomide10cm? b)Redondeasuvalorhastalosmilímetros.
1º.-UtilizaelTeoremadeThalespararepresentar2/5y-6/5. 2º.-UtilizaelTeoremadePitágoraspararepresentar √2,√3,√5. 3º.- Marta dice que entre los números fraccionarios 1/2y1/3nohayningúnnúmero. a)DibujaestosnúmerosenelsegmentounidadOU= 12cm.¿EsciertalaafirmacióndeMarta? b)Silacontestaciónesnegativa,dibujaalgúnpunto dandosuvalor. 4º.- Representa decimaleslosnúmerosreales: π=3,14159...y√3=1,73205...
por
sucesivas
aproximaciones
5º.-¿Cuáleselmenordelossiguientesnúmeros? a)3,141y3,0141 b)1,4142135y1,4142125 6º.-Escribetresnúmerosrealescomprendidosentre1,4142y1,4143. 7º.-Ordenademenoramayor,sinhacercálculos,losnúmeros √5,1/5,5,- 5,555…,-√5. 8º.-Sehahechounaencuestaentrescolegiosparasabercuántosalumnos leenmásdedoslibrosalmes.Losresultadoshansido:ColegioA:2decada10 alumno.ColegioB:3decada15alumnos.ColegioC:20decada100alumnos. a)Escribelosresultadosenformafraccionaria,decimalyentantosporcien. b)¿Enquécolegioseleemás?¿Encuálmenos? 9º.-Representaelnúmero1,9999...enlarecta: a)Porsucesivasaproximacionesdecimales. 28
b)Comonúmeroracional,expresándolopreviamenteenformafraccionaria. 10º.-Ordenademayoramenorlossiguientesnúmerosirracionales: 1,10110111011110..., 1,10100100010000..., 1,01001000100001..., 1,01101110111..,
1°.-Calculasincalculadoralasumadelosnúmerosreales: √2=1,414213...y√=1,732050...condosdecimalesexactos. 2º.-Calcula,sinutilizarlacalculadora,lasumayelproductodelosnúmeros10 yπ. a)Contresdecimalesexactos. b)Concuatrodecimalesexactos. 3º.- 20.- Calcula, sin utilizar la calculadora, la suma y el producto de los números√13=3,605551...y√5=2,236067... a)Condosdecimalesexactos. b)Contresdecimalesexactos. 4º.-Losladosdeunrectángulomiden √2cm.y √3cm.¿Suáreaesunnúmero irracional? 5º.-Elladodeuncuadradomide√2cm.¿Suáreaesunnúmeroirracional? 6º.- La noria gigante de una feria mide 30 m de diámetro. Cuatro amigos se montan en una cestilla. ¿Cuántosmetrosrecorrenencadavuelta?Aproximael resultadoametrospordefectooporexcesosegúnsea lomásconveniente. 7º.-Unalbañiltrabajaenlaconstruccióndeunafuente circular. Mide la circunferencia de la fuente y obtiene 31,5 m, y a continuación el diámetro, que, según él, mide12,2m.¿Soncorrectaslasmedidas?Sihayerror,¿esaceptable? 8º.- La sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,... aparece con frecuencia en la naturaleza, como en la reproducción de los conejos,enlaposicióndelostallosdeunaplanta,etc. a)Buscalareglaquepermitepasardeuntérminoalsiguiente. b)Compruebaqueelcocientedeuntérminoyelprecedenteseaproximahacia elnúmerodeoro1,61803398... 9º.-LapartecentraldelafachadadelacatedraldeNôtreDamedeParís,entre laspuertasyelcomienzodelastorres,formaunrectánguloáureo.Calculala alturasilaanchuramide48metros. 10º.-Unrecintodeunjardíntieneformadetriánguloequilátero.Sisuladomide 10 m, ¿cuál es su área? Expresa el resultado con una cifra decimal. ¿Qué aproximaciónconsigue?¿Quéerrorsecomete? 29
1º.-Representaenlarectareallossiguientesintervalos: a)[-5,-3],b)[-2,3],c)[1,+∞],d)[-3,2], e)[-∞,2],f)[-∞,-2],g)[3,+∞],h)[-5,-1] 2º.-Representa: a)Elintervalo[3,4]yseñalaenéltresnúmerosracionalescualesquiera. b)Elintervalo[2,5]yseñalaenéltresnúmerosirracionalescualesquiera. 3º.-Hallalosintervalosmáspequeños,deextremosnúmerosenteros,encuyo interiorseencuentraelsiguientenúmeroracional:a)√17b)√39c)√33d)√70. 4º.-Representalosintervalosdeextremosenteros,conundecimalycondos decimales,quecontienenalnúmeroirracional√7=2,6457... 5º.- Un círculo de radio 5 cm. tiene su centro en el origen de coordenadas. ¿Qué intervalo determinan los puntos del círculo que pertenecen al eje de abscisas?
Paraaquellosalumnosyalumnascuyosritmosdeaprendizajeseanmáslentos (alumnado con necesidades educativas especiales), es imprescindible la programación de actividades de refuerzo que, de acuerdo con sus características,faciliteneldesarrollodesuscapacidades. Parapoderrealizarlasconmáséxitorealizamoslassiguientessugerencias: Insistir,sisecreenecesariooseapreciandificultades,enlarealización de ejercicios que trabajen la expresión de fracciones en decimales y viceversa,asícomolasoperacionesconporcentajes. • Realizar actividades sobre diferenciación de números racionales e irracionalesypracticarlaobtencióndeaproximacionespordefectoypor excesodeéstosúltimos. • Pediralosalumnosqueplanteenyresuelvanporsímismosproblemas que impliquen la realización de aproximaciones de distintos números medianteredondeoytruncamiento. •
Algunosejemplosdeestasactividadesserían: 1º.-Clasificalassiguientesfraccionessegúnsuexpresióndecimal:10/9,2/15, 5/21,37/10. 2º.- Expresa cada uno de los siguientes números decimales en forma fraccionaria:4,77777...,1,234234234...;83,56666... 3º.-Calcula,pasandoafracción,lasoperaciones:a)3,4545...+0,555... b)6,030303...-1,777...,c)2,3555 1,8999...d)3,999...,1,988... 30
4º.-Unalumnoescribe:1,4444...+1,6666...=3.¿Escierto? 5º.- De los siguientes números, indica cuáles son racionales y cuáles irracionales: a)72,1232112321...b)15,7171171l1711117...c)-8,2525...d)0,202002... 6º.-Loscatetosdeuntriángulorectángulomiden2cm.y3cm.¿Cuántomidela hipotenusa?¿Esunnúmeroirracional? 7º.- Escribe el número decimal exacto que se aproxima en cada caso, por defectoyporexceso,hastaladiezmilésima: a)2,12345678... b)7,010203040... c)0,818818881... d)2,252552555... 8º.-Calculaelmáximoerrorqueseproducecuandoseaproxima17/3por5,66. 9º.- ¿Cuál es el orden de error de las aproximaciones decimales de √42 = 6,48074069...cuandosetoma:a)6,48;b)6,480;c)6,481? 10º.-Representaenlarectareallosnúmeros2/3y7/5;para dividirunsegmentoen3ó 5partesiguales,puedesutilizarel teoremadeThales.
11º.-Representaenlarectareal √85,sabiendoque85=72 +62yutilizandoelTeoremadePitágoras. 12º.-Ordenademenoramayorlossiguientesnúmeros:7/10,3/4,π,33/9,√10. 13º.-Halla,siesposible,unnúmerocomprendidoentre2,6999...y2,7000... 14º.- Calcula las siguiente operaciones de modo que el error cometido sea menor que una centésima: a) √2 + 4,222... b) √2 -0,3579 c) √2 0,1010010001...d)√2·√5. 15º.- Un alumno dibuja una circunferencia de radio 5 cm. Redondea el resultadodesulongitudamilímetros. 16º.-Representaenlarectareallossiguientesintervalosyexpresamediante unenunciadoverbalquécumplenlosnúmerosquepertenecenaellos: a)[-∞,3]b)[-4,-1] c)[1,+ ∞] d)[0,4]e)[-2,+∞] f) [-1,1] 17º.-Escribetresnúmerosdelintervalo(1,4;1,5)
Sonaquellasqueposibilitanalosalumnosyalasalumnasseguiravanzando ensusprocesosdeaprendizajeunavezquehanrealizadosatisfactoriamente las tareas propuestas enuna unidad deprogramación. Habrían dediseñarse 31
paraalumnosyalumnasconritmosdeaprendizaje“rápido”.Veamosalgunos ejemplos: Laequivalenciaentrenúmerosracionalesydecimalesexactosyperiódicos,y el concepto de número irracional, permite plantear una gran variedad de actividadesdeciertacomplejidad. 1º.-Losnúmerosfraccionarios1/3,3/7,4/11Y5/13notienenpordenominador 2,5oproductodeambos. a)Compruebaquesusexpresionesdecimalessonperiódicaspuras. b) ¿Se pueden amplificar las fracciones anteriores de modo que tengan por denominadorunapotenciade10? c)Pruebaquelosnúmerosfraccionariosquetienenpordenominador2ó5,o productosdeestos,sondecimalesexactos. 2º.-Dadoelnúmeron/11,sepide: a)Elperiodoparan=1,2,3,...,10.¿Cuántascifrastieneencadacaso? b)¿Quévaloresdebetomarnparaquenoseaperiódico? 3º.- Un alumno escribe que π = √2 + √3. Calcula el error absoluto que se produce¿Esaceptableeseerror? 4º.-Unparqueocupaunterrenocuadradode100mdelado: a)Calculalafórmulaquedaladiagonaldeuncuadradodeladox. b) Utiliza la fórmula anterior para hallar el valor de la diagonal del terreno tomando√2=1,41y√2=1,4142. c)¿Cuálesladiferenciaentrelosvaloresobtenidos?¿Cuáleselerrorrelativo quesecometealtomarelvalor√2=1,41conrespectoa√2=1,4142? 5º.-Dibujaenelplanounalíneacuyalongitudseaexactamenteiguala π¿Cuál puedeser?¿Cómosecaracteriza? 6º.- Unarquitecto quiere hacerunmonumento al número πydiseñaungran cubo con las medidas interiores largo, ancho y alto iguales a π metros. El volumenescasiunnúmeroenteroprimo.¿Sepuedeasumirestainformación? 7º.- Todo número naturalpuedeexpresarse como suma decuatro cuadrados (comomáximo).Utilizaesteresultadoparaconstruirunsegmentoiguala√46. 8º.-Unacasadecampotieneundepósitodeaguadeformacúbica,de50m3 decapacidad.Si tucalculadora noes científica,calculalamedidainterior del ladodelcubocondoscifrasdecimales. 9º.- Elige la semirrecta formada por todos los números x que cumplen la condicióndeque √(x–3)sepuedecalcular:a)[0+ ∞]b)[-∞,3]c)[3,+∞]d)[O, 3]. 10º.- Indica las semirrectas de la recta real donde los cuadrados de los númerossonmayoresque16.
32
11º.- Expresa mediante intervalos o semirrectas el conjunto de los números realescuyospuntosenlarectarealestánaunadistanciadel5: a)Menorquecuatrounidades, b)Mayorqueochounidades. 12º.- La función y = x - 4 está definida para todo x. Indica los intervalos o semirrectasdondelafuncióntomavalorespositivos. 13º.-Unaempresahaprevistoquedesdeel momento de su funciona las ganancias en millones de euros vendrán dadas por la función y = 2x – 8. Dibuja la gráfica y determina los intervalos en los que tiene pérdidas o ganancias durante los próximos 10años. 14º.- Un triángulo isósceles tiene 36 cm de perímetro. ¿En qué intervalo están las medidasdelabase? 15º.-Dadalafuncióny=x2-1,indicalosintervalososemirrectasdondela funcióntomavalorespositivosonegativos. 16º.- La raíz cuadrada de un número negativo no está definida. Halla el intervalodondelafunciónf(x)=√(x2–9)noestádefinida.
33
Entendemoslaevaluacióncomounprocesocontinuoeintegrador,basándonos enlasposibilidadesdedisponerpermanentementedeinformaciónacercadel caminoqueestásiguiendoelalumno/aensuprocesodeaprendizajeyensu formacióntotalcomopersona.Estonospermitiráregularlossiguientesritmosy estilos de la enseñanza con los del aprendizaje para reforzar los elementos positivosquevayanapareciendo,ycorregirysubsanarlosnegativosmediante lasactuacionescomplementariasqueseannecesarias.
Loscriteriosdeevaluaciónpara4ºdeESOqueseexponenacontinuación,son loscorrespondientesalDecreto148/2002,de14demayo.Perodebemostener encuentaqueapartirdelcurso2008/2009comenzaráaaplicarseelDecreto 1631/2006. 1.Aplicarlosconocimientosmatemáticosadistintassituaciones. Se trata de utilizar el conocimiento matemático para organizar, interpretar e intervenir endiversas situacionesdelarealidad, utilizando recursoshabituales enlasociedadentrelosqueesprecisodestacarlostecnológicos(calculadoras, programasinformáticos,etc.). 2.Resolverproblemas,controlarlosprocesosqueseestánejecutandoytomar decisiones. Se trata de reconocer y plantear situaciones en las que existan problemas susceptibles de ser formulados en términos matemáticos, utilizar diferentes estrategiaspararesolverlosyanalizarlosresultadosobtenidos. 3.Comunicarideasmatemáticasyutilizardistintasformasderazonamientos. Setratadeincorporarideas matemáticasalprocesodecomunicaciónhabitual delalumnado,utilizandodeformacorrectaalgunos tiposderazonamientoque sondeusocomúnyelemental. 4.Usarconceptosyestructurasconceptuales. Se trata de practicar con los conocimientos adquiridos, relacionar distintos aspectos del conocimiento matemático y reflexionar sobre las propias estrategiasutilizadasenlasactividadesmatemáticas. 5.Utilizarprocedimientosmatemáticos,algoritmosydestrezasinstrumentales. Se trata de trabajar los aspectos operativos del conocimiento matemático, desdevariospuntosdevista:laejecucióncorrecta,elsabercuándoaplicarlos, yconocerporquéfuncionan. 6.Valorarypotenciarlaspropiascapacidadesrequeridasparaelaprendizaje. Se trata de reconocer la importancia de ciertas actitudes necesarias para alcanzarundesarrolloóptimoydeseabledelascapacidadesexpresadasenlos objetivosdelárea. 34
En cuanto a la evaluación concreta de la unidad, deberemos evaluar la adquisicióndelossiguientesconocimientos: • • • • • • • •
Expresarfraccionesenformadecimal. Distinguirlosnúmerosdecimalesexactos,periódicospurosyperiódicos mixtos,yobtenersuexpresiónfraccionaria. Reconocer los números irracionales como números decimales no periódicosconinfinitascifras. Clasificarlosnúmerosdecimalesenracionaleseirracionales. Representarlosnúmerosracionaleseirracionalesenlarectareal. Utilizarlosintervalosparaexpresarconjuntosdenúmeros. Calcular aproximaciones de un número irracional por exceso y por defecto. Aproximarnúmerosutilizandolastécnicasderedondeoytruncamiento.
Hemos de tener en cuenta que en la unidad hemos recogido una serie de objetivosaalcanzarporlosalumnos,seráfundamentalqueenelapartadode evaluaciónvaloremoselcumplimientoonodedichosobjetivos.
Paralavaloracióndelprocesodeaprendizajedelaunidadsetendráencuenta el trabajo personal diario efectuado por el alumno. Para ello se harán con frecuencia pequeñaspruebas eneltranscurso delaclase, las cuales podrán serorales,enlapizarraoescritas. Seharáademásunapruebaescritaalfinaldelaunidaddidácticaparaevaluar losconocimientosadquiridosdurantelamisma. Para la calificación final de cada alumno se tendrá en cuenta toda la labor realizadaalolargodelaunidad,ysebasaráenlainformaciónrecogidaenel cuaderno del profesor mediante la observación sistemática, las pruebas puntuales, la asistencia, y la actitud del alumno/a ante la asignatura en el desarrollodelaunidad. Concretamentelacalificaciónseobtendrádelasiguienteforma: Un60%delosresultadosdelapruebaescrita. Un20%depruebascortasdeformaesporádica.Éstassonpruebasde actividades ya realizadas en clase. Así vemos qué alumnos tienen un trabajodiarioycontinuo. • Un20%deactitudantelamateria:interés,respuesta,comportamiento, esfuerzo,… • •
35
Este punto y estos porcentajes no están recogidos en ningún sitio de forma oficial,aunquelasindicacionesdadasdesdelosorganismosoficiales,asícomo lapropiaexperienciacomodocente,mellevanatratardefomentareltrabajoen los alumnos, aunque para ello tenga que dar un menor peso a las pruebas escritas.
36
