FORMULARIO DE CÁLCULO VECTORIAL. VECTORES: Vector unitario:
Norma de un vector: u
2
2
u
2
= u1 + u 2 + + u n
cos(α ) =
u1 u
, cos( β ) =
u2 u
u⋅v =
u
, cos(γ ) =
u3 u
;
cos(θ ) =
cos 2 (α ) + cos 2 ( β ) + cos 2 (γ ) = 1
u ⋅v
Área del triángulo es la u × v = u v sen(θ ) mitad del 2 2 2 u × v = u v − (u ⋅ v) 2 área del paralelogr Área del paralelogramo amo A = u × v generado por u y v generado por u y v: Triple producto escalar: u2
u3
u ⋅ (v × w) = v1
v2
v3
w1
w2
w3
∑u ⋅v i
= u1v1 + u 2 v2 + + u n v n
i
Componente de v a lo largo de u: compu v
=
uv
u ⋅v
cos(θ ) =
u
u
=
v cos(θ )
uv
Producto cruz o producto vectorial:
u1
n
i =1
Angulo entre dos vectores:
Cosenos directores:
Producto punto o producto escalar:
Producto cruz o producto vectorial: i
j
k
u × v = u1
u2
u3
v1
v2
v3
=
= i (u2v3 − v2u3 ) − j (u1v3 − v1u3 ) + k (u1v2 − v1u2 )
Volumen del paralelepípedo V = u ⋅ (v × w)
generado generad o por u, v, w: Volumen de la pirámide inscrita es !" del volumen del paralelepípedo generado por u, v y w#
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO. r = r 0
+ tv
$cuaci%n vectorial de la recta: : donde v es el vector direcci%n, r &'() & ,y ,y & ,z ,z& * * y t es un escalar#
$cuaciones param+tricas de la x = x0
$cuaciones sim+tricas de la recta: x − x0 v1
=
y − y0 v2
=
z − z 0 v3
; con
v1v2v3
≠0
n ⋅ (r − r 0 ) = 0
$cuaci%n vectorial del plano: donde n es el vector normal al plano, r 0 =(x 0,y 0,z 0 ) y ) y r =(x,y,z). $cuaciones param+tricas del plano: x = x 0 + tv1 + su1 y = y 0 + tv 2 + su 2 z = z 0 + tv3 + su 3
recta:
+ tv1 y = y 0 + tv 2 z = z 0 + tv 3
$cuaci%n escalar del plano ue pasa por P&'() & ,y ,y & ,z ,z& * * y tiene como vector normal a n '(a,-,c*: a( x − x0 ) + b( y − y 0 ) + c( z − z 0 ) = 0
# .istancia de un punto / a un plano: → →
D = comp n ( PQ )
PQ n
=
n
=
ax 0
+ by 0 + cz 0 − d a2 + b2 + c2
→
PQ× u D =
.istancia de un punto / a una recta 0 está dada por: cualuiera de la recta#
u
, donde P es un punto
SUPERFICIES. 8uper2cies cuadráticas: A) 4 9y 3 4 Cz3 4 .)y 4 $)z 4 yz 4 ;) 4 ' & 3
1na super2cie de revoluci%n tiene la ecuaci%n: 3 3 3 ) 4 y ' 5r(z*6 girando en torno al e7e z 3 3 3 y 4 z ' 5r()*6 girando en torno al e7e ) 3 3 3 ) 4 z ' 5r(y*6 girando en torno al e7e y
8e clasi2can en es?eras, elipsoides, @iper-oloides de una @o7a, @iper-oloides de 3 @o7as, cilindro elíptico o circular recto, cilindro @iper-%lico recto, cono recto, para-oloide elíptico, para-oloide @iper-%lico#
DERIVADAS PARCIALES
∇ f ( x, y) = ( f x , f y )
.erivadas parciales de orden superior:
;radiente de z'?(),y* . ;radiente de w'?(),y,z*
∇ f ( x, y, z ) = ( f x , f y , f z ) ∂ ∂ ∂ ∂ f ∂ ∂ ∂ ∂ f = f y = f yy f ( x, y) = f ( x, y ) = = f x = f xx ; 2 2 ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ y ∂ y ∂ ∂2 ∂ ∂2 ∂ ∂ f ∂ ∂ f = = f ( x, y ) = f f ; f ( x, y) = = f = y yx ∂ x∂ y ∂ x ∂ y ∂ x ∂ y∂ x ∂ y ∂ x ∂ y x 2
2
8i (),y,z*' z ?(),y*' &, entonces un vector normal a la super2cie z está dado por:
∇ F ( x, y, z ) = ( F x , F y , F z ) 0a derivada direccional de una ?unci%n z'?(),y*, en la direcci%n del vector unitario u'(u ,u3 * en el punto () & ,y & * está dada por: Du f ( x 0 , y 0 ) = u • ∇ f ( x 0 , y 0 ) =
= (u1 , u 2 ) ⋅ ( f x ( x 0 , y 0 ), f y ( x 0 , y 0 ))
0a ecuaci%n del plano tangente a la super2cie (),y,z*' & en el punto P'() & ,y & ,z& * está dada por:
∇ F ( x0 , y0 , z 0 ) • ( x − x0 , y − y0 , z − z 0 ) = 0
8i la ?unci%n z'?(),y*, es di?erencia-le en el punto () & ,y & * entonces:
∆ z ≅ dz = f x ( x 0 , y 0 )dx + f y ( x 0 , y 0 )dy 8i la super2cie es z'?(),y*, la ecuaci%n del plano tangente en el punto P'() & ,y & ,z& * es: ( f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ),−1) • ( x − x0 , y − y0 , z − z 0 )
=0
8i la super2cie es z'?(),y*, la ecuaci%n de la recta normal en el punto P'() & ,y & ,z& * es:
0a ecuaci%n de la recta normal a la super2cie (),y,z*' & en el punto P'() & ,y & ,z& * está dada por: x
= x0 + F x ( x 0 , y0 , z 0 ) t ;
y
= y0 + F y ( x 0 , y0 , z 0 ) t ;
z = z 0
+ F z ( x 0 , y0 , z 0 ) t
x
∂ z dx ∂ z dy + ∂ x ∂ y
dz dt
;
= y0 − f y ( x 0 , y0 ) t ;
z = z 0
+ t
=
∂ z dx ∂ z dy + ∂ x dt ∂ y dt
.$B=VAC=EN =FP0GC=TA# 8i (),y,z*' &, en donde z'?(),y*, entonces:
B$;0A .$ 0A CA.$NA (3# Versi%n* 8i z'?(),y* en donde )'g(s,t*D y'g3(s,t*, entonces:
∂ z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y = + ∂ s ∂ x ∂ s ∂ y ∂ s
y
B$;0A .$ 0A CA.$NA (# Versi%n* 8i z'?(),y* en donde )')(t*D y'y(t*, entonces:
Para la super2cie z'?(),y*, la di?erencial total de z es: dz =
= x0 − f x ( x 0 , y0 ) t ;
∂ z F x =− ∂ x F z
∂ z ∂ z ∂ x ∂ z ∂ y = + ∂t ∂ x ∂t ∂ y ∂t
∂ F = − ∂ x ∂ F ∂ z
;
∂ z F y =− ∂ y F z
∂ F = − ∂ y ∂ F ∂ z
CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARA PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES z=f(x,y). 8ea .' ? )) () & ,y & *? yy () & ,y & *H ? 3 )y () & ,y & *, donde () & ,y & * es un punto crítico de z'?(),y*, entonces: # ?()& ,y & * $s un valor má)imo relativo de z'?(),y* si .I& y ? )) () & ,y & *J& 3# ?()& ,y & * $s un valor mínimo relativo de z'?(),y* si .I& y ? ,y & *I& )) () & K# ?()& ,y & * $s un punto silla de z'?(),y* si .J& L# $0 CB=T$B=M NM .$C=.$ 8= .'& F10T=P0=CA.MB$8 .$ 0A;BAN;$# 8ea z'?(),y* y @(),y*'c una ?unci%n restricci%n# Para ma)imizar (minimizar* a z su7eta a la restricci%n @, se de-erá resolver el sistema: SA H ( x, y, λ ) = f ( x, y ) + λ (h( x, y ) − c)
∂ H =0 ∂ x
;
∂ H =0 ∂ y
;
∂ H =0 ∂λ
COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFRICAS.
!"#"$D%"!A S ( r , θ , z )
x
= r cos(θ ) ; y = rsen (θ ) ; z = z ;
r ≥ 0; 0
x 2
+ y 2
tan −1 ( y x) si x > 0, y ≥ 0 = r 2 ; θ = π + tan −1 ( y x) si x < 0 2π + tan −1 ( y x) si x > 0, y < 0
≤ θ ≤ 2π
SF%"!AS ( ρ , θ , φ )
= ρ sen(φ ) cos(θ ); y = ρ sen(φ ) sen(θ ); z = ρ cos(φ ); ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π ; 0 ≤ φ ≤ π tan −1 ( y x) si x > 0, y ≥ 0 ρ = x 2 + y 2 + z 2 ; φ = cos − 1 ( z / ρ ); θ = π + tan − 1 ( y x ) si x < 0 2π + tan −1 ( y x) si x > 0, y < 0 x
CAM!IO DE VARIA!LE
∫∫ f(x, y)dxdy = ∫∫ f(!cos( θ ), !sen(θ )) ! d!dθ CI"I#$RIC S : ∫∫∫ f(x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f(!cos( θ ), !sen(θ ), z) ! d!dθ dz ESFERICS : ∫∫∫ f(x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f(ρ sen(φ )cos(θ ),ρ sen(φ )sen(θ ), ρ cos(φ ))ρ %&"RES
R
'
R
S
'
'
2
sen(φ )d ρ d φ d θ
8$A C 1NA C1BVA ($N $0 P0ANM M $N $0 $8PAC=M* .A.A PMB: r (t ) = x(t )i* + y (t ) j*
!'%VA $ # P#A$&
r (t ) = x(t )i* + y (t ) j* + z (t ) k * !'%VA $ # SPA!"& , $(&$!S : v (t ) = r (t )
V!(&% V#&!"DAD v(t )
=
ds
= r (t ) dt V!(&% A!# %A!"& $ a(t ) = r (t ) = a( ( (t ) + a $ $ (t )
%AP"D-
V!(&% (A$,$( '$"(A%"&
( (t ) =
r (t ) r (t )
V!(&% $&%)A# P%"$!"PA# '$"(A%"&
$ (t ) =
( (t ) ( (t )
+ (t ) = ( (t ) × $ (t )
V!(&% +"$&%)A#
!&)P&$$( S D #A A!#%A!"& $
!&)P&$$( S D #A A!#%A!"& $
a( a $
= a (t ) ⋅ ( (t ) =
v (t ) ⋅ a (t )
= a (t ) ⋅ $ (t ) =
v(t ) a(t )
2
=
d 2 s dt 2
−a = 2 (
v (t ) × a(t ) v (t )
2
ds = * dt
F&%)'#AS PA%A #A !'%VA('%A $ # P#A$& * = * =
y
[1 + ( y) ] 2
3
! DADA P&%
y = f ( x)
2
x y − y x
[( x) + ( y ) ]
2 32
2
! DADA P&% x = x (t ), y = y (t )
F&%)'#AS PA%A #A !'%VA('%A $ # P#A$& & $ # SPA!"& * = * =
( (t )
=
r (t )
r (t ) × r (t ) r (t )
3
a (t ) ⋅ $ (t ) v (t )
2
%!'%D Q' #AS F&%)'#AS !&$ P%&D'!(&S V!(&%"A# S S& S AP#"!A $ A !'%VAS $ # SPA!"&
LONGITUD DE ARCO
A%A D #A S'P%F"!"
∫∫ %
dS =
∫∫
1 + [ f x ( x, y )]
2
b
+ [ f y ( x, y )] 2 dA
s
%
=∫
r (t ) dt =
a
b
∫ [ x (t )]
2
+ [ y (t )] 2 + [ z (t )] 2 dt
a
=NT$;BA0 .$ 0GN$A .$ 1N CAFPM V$CTMB=A0 (TBA9AM B$A0=OA.M* b
∫ F ⋅ dr = ∫ F ⋅ (ds = ∫ F ( x(t ), y(t ), z (t )) ⋅ r (t )dt
!
!
a
S" F S '$ !A)P& V!(&%"A# D #A F&%)A F ( x, y ) = ) i* + $ j* . ! V"$ DADA P&% r (t ) = x (t )i* + y (t ) j*
$(&$!S
∫ F ⋅ dr = ∫ )dx + $dy
!
!
S" F S '$ !A)P& V!(&%"A# D #A F&%)A F ( x, y , z ) = ) i* + $ j* + P k * . ! V"$ DADA P&% r (t ) = x (t )i* + y (t ) j* + z (t ) k * $(&$! S
∫ F ⋅ dr = ∫ )dx + $dy + Pdz
!
!
S" ! S(A DADA P&% r (t )
∫
!
b
f ( x, y )ds
= ∫ f ( x(t ), y(t )) [ x (t )] 2 + [ y (t )]2 dtj a
S" ! S(A DADA P&% r (t )
∫
= x(t )i* + y (t ) j* + z (t )k *
b
f ( x, y, z ) ds
!
=NT$;BA0 .$ 0=N$A
= x(t )i* + y (t ) j*
= ∫ f ( x(t ), y(t ), z (t )) [ x (t )] 2 + [ y (t )]2 + [ z (t ) ]2 dt a
∂ ) ∂ $ = ∂ y ∂ x
SEA F(x,y)=Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, F ES CONSERVATIVO SI SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + P UN CAMPO VECTORIAL, F ES CONSERVATIVO SI rot ( F ) =
i*
j*
k *
)
$
P
∂ ∂ ∂ * ∂ P ∂ $ * ∂ P ∂ ) * ∂ $ ∂ ) = 0 = i − − j − + k − ∂ x ∂ y ∂ z ∂ y ∂ z ∂ x ∂ z ∂ x ∂ y
SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + P UN CAMPO VECTORIAL. LAS SIGUIENTES CONCLUSIONES SON E!UIVALENTES" #REA DE UNA SUPERFICIE PARAMETRICA 1 − F S !&$S%VA(" V& S(& S F = ∇ f PA%A A#,'$A f
∫ 3 − ∫ F ⋅ dr = 0
2 − F ⋅ dr S "$DP$D" $( D# !A)"$& !
PA%A (&DA !'%VA ! !%%ADA
!
A%A D #A
S'P%F"! =
∫∫ dS = ∫∫ r × r dA u
S
D&$D : r u
v
D
x y z x y z = ∂ i* + ∂ j* + ∂ k * , r v = ∂ i* + ∂ j* + ∂ k * ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v
SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, SI F ES CONSERVATIVO, ENTONCES
∫ F ⋅ dr = ∫ ∇ f ⋅ dr = f ( x(b), y(b)) − f ( x(a), y(a))
!
!
DONDE $(x,y) ES UNA FUNCI%N POTENCIAL DE F,
ES DECIR" F ( x, y ) = ∇ f ( x, y ) divF ( x, y ) =
SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F ES SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + P UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F ES divF ( x, y , z ) =
∂ ) ∂ $ ∂ P + + ∂ x ∂ y ∂ z
∂ ) + ∂ $ ∂ x ∂ y
TEOREMA DE GREEN
∂ $ ∂ ) − ∫ ! ∫∫ dA x y ∂ ∂ % ∂ $ ∂ ) * dA − dA = ∫∫ rot ( F ) ⋅ k ∫ ! F ⋅ dr = ∫∫ ∂ x ∂ y % % ∫ F ⋅ $ ds = ∫∫ div( F ) dA )dx + $dy =
!
%
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (DE GAUSS). R&'i* i-&r' -ri/'& *1r& r&i2 2'i3 !, * i-&r' 3& /&r4i& *1r& ' /&r4i& 3& !
∫∫ F ⋅ $ dS = ∫∫∫ div( F )dV S
Q
INTEGRALES DE SUPERFICIE z = 1 ( x, y ) ds
=
1 + [ 1 x ( x, y )]
2
+ [ 1 y ( x, y)]2 dA
∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f ( x, y, 1 ( x, y)) 1 + [ 1 ( x, y)] + [ 1 ( x, y)] dA Forma esca/ar ∫∫ F ⋅ $ dS = ∫∫ F ⋅ [− 1 ( x, y) i* − 1 ( x, y) j* + k *]dA Forma vectoria/ (norma/ hacia arriba) 2
x
S
%
x
S
2
y
y
%
Forma param0trica
∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f ( x(u, v), y(u, v), z (u, v))dS Forma esca/ar ∫∫ F ⋅ $ dS = ∫∫ F ⋅ [ r × r ]dA Forma vectoria/ S
D
u
S
v
%
TEOREMA DE STO"ES. E-1'&& ' r&'i2 &-r& ' i-&r' 3& /&r4i& *1r& /&r4i& *ri&-3 S y ' i-&r' 3& '5& *1r& r6 &/i' &rr3 7& *-i-y& &' 1*r3& 3& S.
∫ F ⋅ dr = ∫∫ (rot ( F )) ⋅ $ dS
!
S