Formulario de Cálculo Vectorial

1 FORMULARIO DE CÁLCULO VECTORIAL. VECTORES: Norma de un vector:

u 

u u 2

2

1

2

Vector unitario:

Producto punto o producto escalar:

u u

u  v   ui  vi  u1v1  u 2 v2    u n vn

   un 2

n

i 1

Cosenos directores:

cos( ) 

u u1 u , cos( )  2 , cos( )  3 ; u u u

cos2 ( )  cos2 (  )  cos2 ( )  1 Producto cruz o producto vectorial:

u  v  u v sen( )

u  v  u v  (u  v) 2

2

2

2

Área del paralelogramo generado por u y v:

Angulo entre dos vectores:

uv cos( )  uv

Área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo generado por u y v

A  uv

Triple producto escalar:

Componente de v a lo largo de u:

uv uv cos( )   v cos( ) u u

compu v 

Producto cruz o producto vectorial:

i j u  v  u1 u 2 v1 v 2

k u3  v3

 i(u 2 v3  v 2 u 3 )  j (u1 v3  v1u 3 )  k (u1 v 2  v1u 2 )

u1 u  (v  w)  v1 w1

u2 v2 w2

Volumen del paralelepípedo generado por

u3 v3 w3

u, v, w:

V  u  (v  w) Volumen de la pirámide inscrita es 1/6 del volumen del paralelepípedo generado por u, v y w.

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO. Ecuación vectorial de la recta:

r  r0  tv

: donde v es el

vector dirección, r0=(x0,y0,z0) y t es un escalar.

Ecuaciones paramétricas de la recta:

Ecuaciones simétricas de la recta:

x  x0 y  y0 z  z0   ; con v1 v2 v3

Ecuación vectorial del plano:

x  x0  tv1 y  y 0  tv 2 z  z 0  tv3

v1v2v3  0

n  (r  r0 )  0

donde n es el

vector normal al plano, r0 =(x0,y0,z0) y r =(x,y,z).

Ecuación escalar del plano que pasa por P0=(x0,y0,z0) y tiene como vector normal a n =(a,b,c):

a( x  x0 )  b( y  y0 )  c( z  z0 )  0 . x  x0  tv1  su1 Ecuaciones paramétricas del plano: y  y  tv  su 0 2 2 z  z 0  tv3  su 3

Distancia de un punto Q a un plano:  

D  comp n ( PQ) 

PQ n n



ax0  by0  cz 0  d a2  b2  c2



Distancia de un punto Q a una recta L esta dada por: D  SUPERFICIES. Una superficie de revolución tiene la ecuación: x2 + y2 = [r(z)]2 girando en torno al eje z y2 + z2 = [r(x)]2 girando en torno al eje x x2 + z2 = [r(y)]2 girando en torno al eje y

DERIVADAS PARCIALES

PQ u

, donde P es un punto cualquiera de la recta.

u

Superficies cuadráticas: Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0 Se clasifican en esferas, elipsoides, hiperboloides de una hoja, hiperboloides de 2 hojas, cilindro elíptico o circular recto, cilindro hiperbólico recto, cono recto, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico.

2 Derivadas parciales de orden superior: 2   f   2   f   f ( x, y)     f x  f xx ; f ( x, y)     f y  f yy 2 x x  x  x y 2 y  y  y    f      f   f ( x, y)     f y  f yx ; f ( x, y)     f x  f xy xy x  y  x yx y  x  y 2

2

Gradiente de z=f(x,y)

f ( x, y)  ( f x , f y ) .

Gradiente de w=f(x,y,z)

f ( x, y, z )  ( f x , f y , f z )

Si F(x,y,z)= z – f(x,y)= 0, entonces un vector normal a la superficie z está dado por:

F ( x, y, z )  ( Fx , Fy , Fz )

La derivada direccional de una función z=f(x,y), en la dirección del vector unitario u=(u1,u2) en el punto (x0,y0) está dada por:

Si la función z=f(x,y), es diferenciable en el punto (x0,y0) entonces:

La ecuación del plano tangente a la superficie F(x,y,z)= 0 en el punto P=(x0,y0,z0) está dada por:

Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación del plano tangente en el punto P=(x0,y0,z0) es:

La ecuación de la recta normal a la superficie F(x,y,z)= 0 en el punto P=(x0,y0,z0) está dada por: x  x0  Fx ( x 0 , y0 , z0 ) t; y  y0  Fy ( x 0 , y0 , z0 ) t; z  z0  Fz ( x 0 , y0 , z0 ) t

Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación de la recta normal en el punto P=(x0,y0,z0) es:

Para la superficie z=f(x,y), la diferencial total de z es:

REGLA DE LA CADENA (1ª. Versión) Si z=f(x,y) en donde x=x(t); y=y(t), entonces:

Du f ( x 0 , y 0 )  u  f ( x 0 , y 0 )   (u1 , u 2 )  ( f x ( x 0 , y 0 ), f y ( x 0 , y 0 ))

F ( x0 , y0 , z0 )  x  x0 , y  y0 , z  z0   0

z z dz  dx  dy x y

REGLA DE LA CADENA (2ª. Versión) Si z=f(x,y) en donde x=g1(s,t); y=g2(s,t), entonces:

z z x z y   s x s y s

z z x z y   t x t y t

;

z  dz  f x ( x 0 , y 0 )dx  f y ( x 0 , y 0 )dy

( f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ),1)  x  x0 , y  y0 , z  z0   0

x  x0  f x ( x 0 , y0 ) t;

y  y 0  f y ( x 0 , y0 ) t ;

z  z0  t

dz z dx z dy   dt x dt y dt

DERIVACIÓN IMPLÍCITA. Si F(x,y,z)= 0, en donde z=f(x,y), entonces:

F Fx z    x F x Fz z

;

F Fy z y    F y Fz z

CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARA PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES z=f(x,y). Sea D= fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)- f2xy(x0,y0), donde (x0,y0) es un punto crítico de z=f(x,y), entonces: 1. f(x0,y0) Es un valor máximo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x0,y0)<0 2. f(x0,y0) Es un valor mínimo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x0,y0)>0 3. f(x0,y0) Es un punto silla de z=f(x,y) si D<0 4. EL CRITERIO NO DECIDE SI D=0 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. Sea z=f(x,y) y h(x,y)=c una función restricción. Para maximizar (minimizar) a z sujeta a la restricción h, se deberá resolver el sistema:

SEA H ( x, y,  )  f ( x, y)   (h( x, y)  c) H H H 0 ; 0 ; 0 x y 

COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS. CILINDRICAS (r ,  , z )

tan 1 ( y x) si x  0, y  0  x  r cos( ) ; y  rsen ( ) ; z  z; x  y  r ;     tan 1 ( y x) si x  0 2  tan 1 ( y x) si x  0, y  0  r  0; 0    2 2

CAMBIO DE VARIABLE

2

2

ESFERICAS (  ,  ,  ) x  sen( ) cos( ); y  sen( )sen( ); z   cos( );   0, 0    2 ; 0    



tan 1 ( y x) si x  0, y  0  x  y  z ;   cos ( z /  );     tan 1 ( y x) si x  0 2  tan 1 ( y x) si x  0, y  0  2

2

2

1

3 POLARES

 f(x, y)dxdy   f(rcos(θ ), rsen(θ )) r drdθ R

Q

f(x, y, z)dxdydz  f(rcos(θ ), rsen(θ ), z) r drdθ dz

CILINDRICAS :

R

Q

f(x, y, z)dxdydz f(ρ sen(φ )cos(θ ),ρ sen(φ )sen(θ ),ρ cos(φ ))ρ

ESFERICAS :

S

2

sen(φ )dρ dφ dθ

Q

SEA C UNA CURVA (EN EL PLANO O EN EL ESPACIO) DADA POR:

r (t )  x(t )iˆ  y(t ) ˆj CURVA EN EL PLANO r (t )  x(t )iˆ  y(t ) ˆj  z (t )kˆ CURVA EN EL ESPACIO, ENTONCES: VECTOR VELOCIDAD v(t )  r ' (t ) ds RAPIDEZ v(t )   r ' (t ) dt VECTOR ACELERACION a(t )  r ' ' (t )  aT T (t )  aN N (t ) r ' (t ) VECTORTANGENTEUNITARIO T (t )  r ' (t ) VECTOR NORMAL PRINCIPALUNITARIO N (t ) 

T ' (t ) T ' (t )

B(t )  T (t )  N (t )

VECTOR BINORMAL

v(t )  a(t ) d 2 s  2 v(t ) dt

COMPONENTES DE LA ACELERACION

aT  a(t )  T (t ) 

COMPONENTES DE LA ACELERACION

aN  a(t )  N (t ) 

a(t )  aT2  2

v(t )  a(t ) v(t )

 ds   K   dt 

2

FORMULAS PARA LA CURVATURAEN EL PLANO K

y' '

1   y'  2

3

C

DADA POR

y  f ( x)

2

x' y' ' y' x' '

K

x'

K

T ' (t )

C DADA POR x  x(t ), y  y(t ) 2 32   y ' FORMULAS PARA LA CURVATURAEN EL PLANO O EN EL ESPACIO

K



2

r ' (t )



r ' (t )  r ' ' (t ) r ' (t )

3

a(t )  N (t ) v(t )

2

RECUERDEQUE LAS FORMULAS CON PRODUCTOSVECTORIALES SOLO SE APLICAN A CURVAS EN EL ESPACIO. AREA DE LA SUPERFICIE

 dS   R





1   f x ( x, y )  f y ( x, y ) dA 2

2

R

LONGITUD DE ARCO b

b

s   r ' (t ) dt   a

a

x' (t )2  y' (t )2  z' (t )2 dt

INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL (TRABAJO REALIZADO) b

 F  dr   F  Tds   F ( x(t ), y(t ), z(t ))  r ' (t )dt

C

C

a

SI F ES UN CAMPO VECTORIAL DE LA FORMA F ( x, y )  Miˆ  Nˆj Y C VIENE DADA POR r (t )  x(t )iˆ  y (t ) ˆj

ENTONCES

 F  dr   Mdx  Ndy

C

C

SI F ES UN CAMPO VECTORIAL DE LA FORMA F ( x, y, z )  Miˆ  Nˆj  Pkˆ Y C VIENE DADA POR r (t )  x(t )iˆ  y (t ) ˆj  z (t )kˆ

ENTONCES

 F  dr   Mdx  Ndy  Pdz

C

C

4 INTEGRAL DE LÍNEA

SEA F(x,y)=Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, F ES CONSERVATIVO SI

M N  y x

SI C ESTA DADA POR r (t )  x(t )iˆ  y(t ) ˆj b

 f ( x, y)ds   f ( x(t ), y(t )) x' (t )  y' (t ) dtj 2

C

2

SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL, F ES CONSERVATIVO SI

a

SI C ESTA DADA POR r (t )  x(t )iˆ  y(t ) ˆj  z (t )kˆ



C

iˆ  rot ( F )  x M

b

f ( x, y, z )ds   f ( x(t ), y(t ), z (t )) x' (t )   y' (t )  z ' (t ) dt 2

2

2

a

SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL. LAS SIGUIENTES CONCLUSIONES SON EQUIVALENTES: 1.  F ES CONSERVATIVO. ESTO ES F  f PARA ALGUNA f

2.   F  dr

kˆ  P N      iˆ  z  y z  P

ˆj  y N

SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, SI F ES CONSERVATIVO,

 F  dr   f  dr  f ( x(b), y(b))  f ( x(a), y(a))

ENTONCES

C

ES INDEPENDIENTE DEL CAMINO

DONDE

C

f(x,y)

C

ES

UNA

F ( x, y )  f ( x, y )

3.   F  dr  0 PARA TODA CURVA C CERRADA

P M  ˆ N M  ˆj   0     k   x z   x y 

FUNCIÓN

POTENCIAL

DE

F,

ES

DECIR:

SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F ES

C

ÁREA DE UNA SUPERFICIE PARAMETRICA.

M N  x y

AREA DE LA SUPERFICE   dS   ru  rv dA

divF ( x, y) 

x y z ˆ x y z ˆj  ˆj  kˆ DONDE : ru  iˆ  k , rv  iˆ  u u u v v v

SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F

S

D

ES TEOREMA DE GREEN

 N M  C Mdx  Ndy  R  x  y dA  N M  C F  dr  R  x  y dA  R rot ( F )  kˆ dA

 F  N ds   div( F ) dA

C

R

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (DE GAUSS). Relaciona una integral triple sobre una región sólida Q, con una integral de superficie sobre la superficie de Q

 F  N dS   div( F )dV S

M N P   x y z

divF ( x, y, z) 

INTEGRALES DE SUPERFICIE

z  g ( x, y)





ds  1  g x ( x, y)  g y ( x, y) dA 2

2

 f ( x, y, z)dS   f ( x, y, g ( x, y)) S

R





1  g x ( x, y)  g y ( x, y) dA Forma escalar



2

2



 F  N dS   F   g x ( x, y) iˆ  g y ( x, y) ˆj  kˆ dA Forma vectorial (normal hacia arriba) S

R

Forma paramétrica

 f ( x, y, z)dS   f ( x(u, v), y(u, v), z(u, v))dS S

 F  N dS   F  r  r dA u

S

Forma escalar

D

v

Forma vectorial

R

Q

TEOREMA DE STOKES. Establece la relación entre la integral de superficie sobre una superficie orientada S y la integral de línea sobre una curva espacial cerrada que constituye el borde de S.

 F  dr   (rot (F ))  N dS

C

S