Walter Edwin Canaza Trujillo
Matemática Superior – Análisis Análisis Vectorial y Tensorial
TENSORES # comp
COMPONENTES DE UN TENSOR
A
orden
d im
Z
NOTACION DE INDICES ai x j
Para ecuaciones de 1er orden
ai x j x k
Para ecuaciones de 2do orden
A
0 con dimensión “N”
A
N
0 con dimensión “N”
C
Y así sucesivamente.
.
TENSOR DELTA DE KRONEKER
ij
1 0 0
1 i j ij 0 i j
0 1 0
E
0
0 1
R
TENSOR ALTERNANTE
eijk
eijk
1
2
OI
1 si i , j , k 1, 2, 3 ; 2, 3,1 ; 3,1, 2 1 si i , j , k 1, 3, 2 ; 3, 2,1 ; 2,1, 3 cualqui lquier er otr otro o cas caso o 0 cua
i
j j
k k
i
elmn li mj nk
R E
1i
1 j
1k
2i
2 j
2k
3i
3 j
3k
ALGEBRA TENSORIAL
CI
A
S
U
P
Adición
T
r r B s s
A
A
M
las condiciones serán que: sean del mismo peso, clase y numero de índices.
A ji i
12
Multiplicación
1
B i j
3 2
C ij ij i
12 3
E
T
1 2
A
las condiciones serán que: sean asociativas, distributivas y no conmutativas.
M
Walter Edwin Canaza Trujillo
Matemática Superior – Análisis Análisis Vectorial y Tensorial
SIMETRÍA TENSORIAL Simetría ij
:
Aqnrmp
A qmrnp
nmp : T A As imetría imetría ij qr
A rnqmp
1 ij 2 Aij A ji Aij ij T ij T 1 A A ji ij 2 ij
Z
A A N A C .
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
E
Se cumplirán siempre por las siguientes relaciones:
Tv
det T
;
v
I
-
0
TENSOR METRICO Y ELEMENTO DE LINEA 2
dS g g qr pr
Por tanto:
gij du i du j
gij
x
p
u
R OI
p
x
i
j
u
R E
1
g g ij
p q
ij
P U
TRANSFORMACIONES
S
p
p
Transformación por contravarianza
a
u
A
q
q
u
a
CI
p
Transformación por convarianza
a p
u
q
u
T
a q
A
Tensores de segundo orden
a
i1i 2
u
i1
j
i 2
u
j
u 1 u 2
j1 j 2
a
a i i ;
12
u
j 1
u
i1
j 2
u
i 2
u
a j
1 j 2
a ;
i 1 i 2
u
i 1
j
M E
j 2
u
i
u 1 u 2
T
a j j 1
2
De la misma manera se ira generalizando para tensores de 3er, 4to … y n -esimo n -esimo orden
M
A
Walter Edwin Canaza Trujillo
Matemática Superior – Análisis Análisis Vectorial y Tensorial
TEOREMAS DE TRANSFORMACIÓN Para tensores de 1er orden Ai
J t A cov ariante ;
A
i
A
J 1 A contra var iante
Z A
Para tensores de 2do orden
Aij J A J ; A J t
ij
1
N
1 t
A
A J
C
TENSORES ASOCIADOS
. E
Estos serán según el tensor q tenga de dato:
Si
A A g pj Aij A gip A pj A g A pq g ip qj ij i j j i
ip
Aj g A Aij Ai j Aim g A g im A g jn mn ij i
;
im
mj mj
-
R OI
Algunos casos especiales: Tensor covacontravariante:
Ti
T i j
Tensor contracovariante:
j
gip T
pj
R E
T ip g pj
P U
SÍMBOLOS DE CHRISTOFFEL
Símbolos de Christoffel de 1ra clase
Símbolos de Christoffel de 2da clase
ij , k ij ,k
S
g jk
g ij j k i 2 u u u 1 g ik
k k km g ijm ij ij
A CI T A
M
DERIVADA COVARIANTE
A p ,q Aij,k
A p u
q
A ij u
k
E
p
s s pq
A
; A
p ,q
A
q
u
p qr
A
r
T
A
ij
n
n
ik Anj jk Ain
; Aij ,k
A
k
u
i
nk A
nj
j
nk A
in
M
