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271
CAPITULO 7 - Formulación Matricial del Método de Rigidez
1 Introducción
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1 .)
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..., )
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el Capitulo 6 se presentaron las ideas centrales del Método de Rigidez aplicado a ras reticulares. La aplicación del Método de Rigidez se realizó bajo una forma o es decir, la matriz de rigidez de la ra se generó aplicando sucesivos desplazamientos unitarios en cada una de las .....,..""'""'·1"I8S elegidas y los coeficientes de rigidez se obtuvieron por equilibrio de los o de porciones de la estructura. De manera similar se obtuvieron las cargas ,~:nO~[]i:lJt:l:i(Estado Primario). El procedimiento o metodologfa utilizado en el Capitulo 6, ~_·."'rrT,.r~entender las ideas centrales del Método de Rigidez y darle un significado flsico a ,••<..__ ........ una de las etapas que intervienen en la solución de una estructura utilizando este ;?··...."oyr.no.
análisis de los problemas resueltos en el Capitulo 6, aún en las estructuras simples que hemos abordado, es fácil concluir que el Método de Rigidez y en general los os matriciales, se caracterizan por una gran cantidad de cálculo sistemático, y su en la práctica se basa en la adecuación de los computadores para llevar a cabo .. o el trabajo numérico. La aplicación del Método de Rigidez conduce a-que aún para · estructuras pequeñas, el número de ecuaciones simultáneas podría ser tal que su '.solución sin computador, seria sumamente laboriosa por no decir imposible. . : El desarrollo de los métodos de cálculo de estructuras en los que el trabajo numérico .. : puede ser realizado convenientemente en un computador, lleva a procedimientos a la . vez sistemáticos y generales. E.I objetivo no es el de disminuir el número total de ;• operaciones aritméticas, sino conseguir métodos que puedan aplicarse a muchos tipos diferentes de estructuras y que utiiicen el máximo posible de procedimientos numéricos ...trpicos para los cuales ya existen rutinas en los computadores. La cuestión ahora no es ·decidir si a un ser humano le resultará el cálculo estructural tedioso, sino si el método es adecuado para ser fácilmente adaptado a una computadora. Si esto último sucede, , entonces eí método es "bueno", aunque el número total de operaciones realizadas sea . considerablemente superior al de otro método de menor facilidad de mecanizar. · El desarrollo de los equipos de cómputo y del Método de Rigidez ha permitido a los ingenieros establecer métodos que requirieren menos suposiciones y restricciones en el ..•.planteamiento de los problemas, logrando mejores resultados. En la actualidad, el •.ingeniero que se dedique al diseño de estructuras, debe estar familiarizado con los . métodos del análisis matricial de estructuras, porque constituyen una herramienta poderosa de análisis. Al mismo tiempo debe estudiar y entender el uso correcto de esta forma automática de ...-anáñsls. El resultado de un análisis por computador es sólo tan bueno como los datos y el modelo de los cuales se parte. El acrónimo GIGO (del inglés Garbage In, Garbage Out) cuya traducción al castellano podrfa ser BEBS se ha acuñado para recordarnos constantemente que "basura que entra, es igual a basura que salen, Esto significa que el criterio y la habilidad del ingeniero, nunca podrán automatizarse. El criterio y el entendimiento del comportamiento de las estructuras siempre deberán estar presentes cuando se idealice la estructura y ·se hagan las suposiciones acerca de las cargas y solicitaciones, el comportamiento del material, las condiciones de apoyo, las Conexiones entre los diversos elementos. Lo mismo se aplica a la interpretación y uso correcto de los resultados de tales análisis.
~j
J
J )
271
~~
l~
(:i)
272
,J) En este Capítulo se presentan, de manera simple, algunas de las ideas centrales de la sistematización del Método de Rigidez. Se ha esñrnado conveniente presentar estas ideas a través de varios ejemplos en orden de complejidad creciente.
.~
) ) )
7.2 Expresiones del Trabajo Real y del Trabalo Complementario Antes de abordar el tema de la sistematización en sl, conviene recordar algunas de las expresiones del trabajo real y del trabajo complementario en estructuras linealmente elásticas, expresiones que utilizaremos en algunas de las deduccíones posteriores.
) )
) )
Qi
) )
-j )
"7 )
Trabajo Real realizado por las fuerzas externas:
)
)
w= ~ ¿Q¡D¡ = ~ {QV {D} {Q}:::[K]{D}
:) {Q}T:::{D}T[Kt
[Kt
= [K]
_) (la matriz de rigidez es simétrica)
.) ) )
:. W =.!.{D}T [K]{D}
2 Trabajo Complementario realizado por las fuerzas externas:
W'= ~LDiQi
{D}=[F]{Q}
=> {D}T = {Q}T[Ft
= ~{DV{Q}
[Ft =[F]
"
(lamatrizdeflexibilidadessimétrica) ~
:. W'=~ {Q}T[F]{Q}
J
-) )
En estructuras linealmente elásticas se cumple:
W = W· :) .!.{Q}T{D} = _1_{Dr {Q} 2
) ") ,) ) )
2
c4
-)
7.3 Matriz de Transformación de Desplazamientos Siempre que el sistema Q-D sea generalizado, será posible generar una matriz, que
-J
llamaremos matriz [A], que transfotme los desplazamientos medidos en las coordenadas del sistema Q-D a los desplazamientos medidos en las coordenadas del sistema q-d. La matriz [Al se genera por geometrfa aplicando desplazamientos unitarios en el sistema
.;;
Q-D. A la matriz [A] de transformación de desplazamientos, también se le denomina Matriz de _ Compatibilidad _yaque en este-caso relaciona los desplazamientos de los extremos de - Ias barras con los desplazamientos .de los nudos. Las relaciones de compatibilidad se expresan mediante:
{d},; I = [A]nxN {D}Nx
1
Donde [A] es la Matriz de transformación de desplazamientos.
~
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_)
rj
J
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J ~
........
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"-_
.
s, ~::_.
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,,;J
273
")
i )
LOS elementos de la columna "i" de la matriz [A] son los desplazamientos de extremo de (en el sistema q-d) debidos a la aplicación de un desplazamiento unitario Dj (en el ,,'sistema Q,.D) manteniendo todoelos.otroe desplazamientos Di nulos. Para que exista la '. ~',matriz [A] es necesario que el sistema Q-D sea generalizado, es decir los " desplazamientos {D} deben ser independientes para poder variarlos arbitrariamente, por -:ejemplo hacer Dj = 1 manteniendo todos los otros desplazamientos nulos. , A continuación se muestra a manera de ejemplo, la generación a partir de la definición, de la primera y tercera columna de la matriz [A], para el pórtico mostrado a continuación. 2
5 i6 ~tl~~
5
)
)
JB -~;r:7
1~3
3
) )
11
4;.10 12
Q-D Sistema generalizado '"N" grados de libertad
DI = 1 Primera columna de [A]
I
\
q-d Sistema no generalizado "n" grados de libertad
Resto cero
Resto cero
D3 = 1 Tercera columna de [A]
)
) )
En este caso particular la matriz [A] de transformación de desplazamientos será de orden 12x6, es decir, doce filas y seis columnas. En general la matriz [A] es de orden
,)
nxN.
)
) ") -')
)
....,
) )
J )
J )
7.4 Ensamblaje de la Matriz de Rigidez A continuación se mostrará la manera de generar la matriz de rigidez de una estructura a partir de las matrices de rigidez de las barras que la componen. Para ello utilizaremos un pórtico simple como el mostrado en la figura a continuación en la cual se indica el sistema de coordenadas globales Q-D y el sistema de coordenadas locales q-d de la estructura "desmembrada" que corresponde a las coordenadas locales de cada una de las barras. Nótese que el sistema global Q-D, de N grados de libertad (en este caso seis) es generalizado. mientras que el sistema local q-d, de n grados de libertad (en este caso doce) no es generalizado ya que existen relaciones entre los desplazamientos, por ejemplo d, = c4, d)=ds• d9=d12, etc. En el sistema Q-D la matriz de rigidez será definida positiva (asumiendo que la estructura es estable) mientras que en el sistema q-d la matriz de rigidez de la estructura "desmembrada" no será definida positiva.
.., :)
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273
~
{)
274
fl 2
4
5
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...
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) ~5~~~·~6-·-.------~7
3
11
4;.10
2 3
12
Q-D
) )
) ) ) )
Sistema generalizado "NU grados de libertad
q-d Sistema no generalizado "n" grados de libertad
En el sistema Q-D el trabajo realizado por las cargas externas nadales (cargas aplicadas en los nudos) se acumula como energía interna de deformación, es decir: WQ-D = .!..{D}T[K]{D} =U1NTERNA 2 En el sistema q - d debe acumularse la misma energía de deformación.
Wq-d= ~ [d }T[k]{d} = ~ {d}T [q ] =UOOERNA
) )
-j ) ~
) ) )
_) ) )
Donde [k] es la matriz de rigidez de la estructura "desmembrada" o "no ensamblada" y es del tipo diagonal. Para el caso de la estructura utilizada para esta demostración, conformada por tres barras, tendrá la siguiente forma:
) ) )
[kl13X3)
[k] =
[ O]
)
[k3J (Jx3)
[ O]
) 12 x 12
Relación entre los desplazamientos en ambos sistemas: {d} = [A] {O} :::::> {d}T = {D}T [A]T Uq-d
=.!.., {d}T [k] {d} =
2
UQ-D =
Ya que
la
! {D}T[A]T [k] [A] {D} 2
! {D}T[K] {D}
2 energía interna es la misma en los sistemas Q-D y.q-d, debe cumplirse que: {D} T [A]T [k] [A] {D} = {D}T [K] {D}
En consecuencia, la matriz de rigidez de la estructura en el sistema Q-D, puede obtenerse a partir de las matrices de rigidez de las barras que conforman la estructura mediante la siguiente transformación:
[K]NxN
=
)
[lq] matriz de rigidez de ia barra i
[k2] (6x6)
[A]T, [k] [A] n x N Nxn . nxn
La expresión anterior permite "ensamblar" la matriz de rigidez de la estructura, sin embargo, ya que la matriz [k]n x n contiene muchos ceros, su utilización resulta ineficiente desde el punto de vista numérico, es mucho más conveniente utilizar la siguiente expresión:
~
J ---1 _)
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-d ~ ~
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-j
J j )
J
.:.~~:~¿:i-d.~:..:~:~:.:.::.~:::: __';;:;;.~_ ..~j:.~.,;~. ¿~_.: :z_.::.;~~..:~ :;~,~;
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r
275
.
:}
.
.
j
¡.~:
~c
Veamos la deducción de esta expresión, asumiendo que la estructura tiene un total de m barras:
[Al] )
[A2]
»
.......... <,
)
I I I
-,'.
[Áml
-")
,
nxN
)
[k1] [Al] [k [A2]
J
2]
~ ) --)
)
nxN
.e "0
) )
, } )
~~.,.7.5 Principio de Contragradlencla Este principio establece la relación entre las cargas medidas en el sistema Q-D y las cargas en los extremos de las barras medidas en el sistema q-d (sistema local de coordenadas). {d} = [A] {D} ({d} y {D} son compatibles)
{Q} = [A]T {q}
)
Principio de Contragradiencia:
)
Este principio establece que si los vectores {d} y {D} - que representan desplazamientos compatibles - están relacionados mediante {d} = [A] {D}. entonces los vectores {q} y {Q} (en equilibrio) que representan las fuerzas correspondientes a {d} y {D} están relacionados a través de {Q} = [Af {q}.
,.
) }
1
({Q} y {q} están en equilibrio)
A continuación se demuestra este Principio: {d} = [A] {D} =>
{3d} = [A] {3D} {3d}T = {3D}T [A]T
(1)
Trabajo virtual (desplazamientos virtuales, véase el acápite 2.4) para una estructura formada por el ensamblaje de barras unidas en los nudos:
¿Q (3D) = ¿q (3d)::) j
J .)
)
~i)
{8D} T {Q} = {&l}T {q}
Reemplazando en (1) en (2): {3D}T {Q} = {BD}T [A]T{q}
(2)
(3)
Ya que el vector {3D} es arbitrario y la relación .(3) debe cumplirse para cualquier valor que adopte {5D}, deberá cumplirse necesariamente que {Q} = [A]T {q}. Esto demuestra también, que el principio de los desplazamientos virtuales transforma las ecuaciones de compatibilidad, en ecuaciones de equilibrio ya que {Q} = [A]T {q} representa las ecuaciones de equilibrio de nudo, tal como se comprobará en los ejemplos que se presentan a continuación. 275
.
".~: ...:-:/~i._'U ...;,'
:";:;:
,:' '-.._;;.:....:_: .....•.
i:')
Eje_mp1.0
.)
!-1
-)
Apliquemos las ideas expuestas a la solución de la armadura mostrada, Esta armadura fue resuelta en el Ejemplo 6 ..2, acápitE.! 6.3. .
) )
3
)
Barra 1:
El = lOO, OOQ kgfcm2
B~2:
Ea = 2 x
Al
) )
= 15() cm'}.
Al:::::
lü 6 kgfcm2 5 cm2
)
)
sen 0.=0.6
)
cosa=O.8
-3 J ~
• Sistemas de Coordenadas
)
)
) )
.K_h.==:::::::::I1 _..
1
) )
1
\\\
Q-D
)
q-d
• Generación de la matriz de transformación de desplazamientos {d}
=
)
[A} {D}
,:":"
)
)
)
) ~
~'. " cosa ~'lI'
'j
,.
,
~
)
( dd J = [1cosa 1
2
O ](DI J -sena D 2
,~
7)
.J • Matrices de rigidez de barra en el sistema q-d (sistema focal de las barras)
"'J
..J
,
)
• Aporte de la barra 1 a la matriz de rigidez de la estructura [K,] = [A,]" [k,] [A,] "' [ ~ ]
[E~~, ] [1
O
1
= [
et :]
Corno era de esperarse, la transfonnaci6n para la barra 1 es directa ya que el sistema local de la barra coincide con el sistema global. .
,)
t1
J
~ ')
J
8
)
) )
277
-~
• Aporte de la barra 2 a la matriz de rigidez de la estructura [1<.2] = [A2f [k2] [A2] =
[
cosa ] - sena
[E2 A2]
[cosa
-sena
J "'"
l2
E2 A
2 [
l2
cos2a - sena cosa
- cosa sena] sen'c
La transformación que se acaba de realizar equivale a calcular la matriz de rigidez de la
barra 2 ([K2]) en el sistema global de coordenadas, sistema que se indica en la figura a continuación. Este resultado se puede combrobar generando, utilizando la definición, los coeficientes de rigidez de la barra en el sistema q* - d*. ~
)
1 )
12*
~t_l'
Sistema global q'" - d*
J
• Matriz de rigidez de la estructura en el sistema Q-D EA E1A2 = 2 X 106 X 5 ~ 22,222 kg/cm _1 _1~ 41,667 kglcm .e2 450 .e.
_) )
_ cosa sena
__}
l2
[K] = [K.J+ [K2] =
I
{Q}=(
)
55,889 -10,667
-10,667] 8,000
-3.~OOJ
• Solución del sistema de ecuaciones, desplazamientos de la estructura en el sistema Q-D {D} = [Krl {Q} => DI = - 0.096 cm D2= - 0.503 cm
.)
) )
• Fuerzas en las barras en el sistema q-d
"
{dj}
J
= [Al] {D} = [1
O] {D}
=
-0.096 cm
41,667 x (-0.096) ~ -4,000 kg (compresión)
)
{q¡} = [kj] {dI}
-J
{d2} = [A21 {D} = [cosa -sene] {D} = cosa DI - sena ~
)
{q2}
~
=
=
= 0.225 cm
[k21 {d2} = 22,222 x 0.225 ~ 5,000 kg (tracción)
Resultados idénticos a los obtenidos en el ejemplo 6-2. )
• Verifiquemos el Principio de Contragradiencia:
J .) -)
) ~)
-)
1
=[
• Vector de cargas. Ya que solamente existen cargas en los nudos, el vector de cargas se ensambla de manera directa.
t
1
EA
_2_2
{Q} = [A]T {q} =:>
[~'l
= [~
Q 1 = q 1 + q2
)
[q. ] q2
COS IX
Q2 = - q2 sen a. Es fácil comprobar que las ecuaciones anteriores representan las ecuaciones de equilibrio de fuerzas en el nudo 2 de la armadura.
~
J
cos a ]
-senc
277
_..;._~.:::..'.:..::J~~'.::.
~ ~
~ 'j
278
.1) ,
, ',o
,_)
Ejemplo 7-2 Resolver la armadura mostrada, todas las barras tienen la misma sección transversal. Nótese que la armadura es isostática interna y externamente, en .consecuencia, es posible verificar los resultados calculando fas fuerzas en las barras por equilibrio de los nudos y calcular los desplazamientos de los nudos utilizando Trabajo Virtual (fuerzas virtuales).
')
) ) ')
5
')
) 4m
.
2
E = 2xl06 kglcm2 A = lOcm2
3
) )
-j
1 ~
)
3m
)
_j
)
) .)
• Sistemas de Coordenadas
} 3
)
s
)
)
)
)
) ~
Q.-D •
:).
q-d
-4
Generación de la matriz de transformación de desplazamientos {d}
=
[A] {D}
)
d dIlO d2 [A] = d3
dt
-
O
.0
O 3/5
~
~
~
O____
o
o
o
o
o
O
O
3/5
4/5
----------------------------O 1 O O O o
o
J
O
----------------------------O 3/5 4/5 O O --------------_-------------
o
"1
Ds
DI
1
o
< _
.) .)
'J
J -
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) .)
ij
278
el'. ;~
-i
r ~ .. ...
}
"
~:::~
•
Matrices de rigidez de barra en el sistema q-d (sistema local de las barras)
[k¡ ]
Barras 1,2,3:
l
= [~~
Barras 4 Y 5:
• Matriz de rigidez total de la armadura
s
T
[KJsxs = ¿[A¡] [k¡] [Aí] i= I
I )
¡
[IC]
= ~]
I )
0.40533 O O =FA -0.07200 -0.09600
O 0.40533 0.09600 -0333.33 O
O 0.09600 0.37800 O O
-0.07200 -0.33333 O 0,40533 0.09QOO
-0.09600
O O 0.09600 0,12800
• Vector de cargas. Ya que solamente existen cargas en los nudos, el vector de cargas se ensambla de manera directa.
I ~ !
i
O O {Q}= O
I
i
1
I
O
•
-3
)
, )
• Solución del sistema de ecuaciones, desplazamientos de la estructura en el sistema Q-D
)
-0338
.
2.363
., )
{D} =
[KrJ {Q}
=> {D} = -0.600
mm
-)
2.700
_)
-3.450
) )
-.)
• Fuerzas en las barras en el sistema q-d {di}= [Aíl {D}
{qi}
=
[k¡] {di} = [k¡] [A¡] {D}
)
)
..)
..., )
.-=¡ _j
{q}=
ql
-2.25
q2 q3 q4 qs
3.75. -3.00 =
3.75 -3.75
q6
-2.25
q7
225
~
-:J :1 ._-\
279
ton
'~
;~
280
~
Ejemplo 7-3 Calcular la matriz de rigidez para la barra mostrada conformada por una zona rígida en flexión de 2 m de longitud y una zona flexible de 5 m. Se consideran deformaciones por flexión únicamente. Nótese que el sistema loeal de coordenadas está referido a la parte flexible de la barra.
) ') ) ) )
1
2m
( 1f$/Mi
)
5m
El =0()
)
El 4-)2
)
q-d
Q-D
•
')
)
Matriz de transformación de desplazamientos {d}
=
[Al {D}
-)
) ~
)
)
) )
) )
)
) • Matriz de rigidez de la zona flexible de la barra en el sistema q-d (sistema loeal)
[k]=EI
[
1
2
3
12/53 -6/52
-6/52 4/5
-6/52 2/5
-6/52
2/5
4/5
)
)
) ]
)
-;;) ~
-.: • Matriz de rigidez de la barra en el sistema Q-D [K] = [A]T [k] [A] = El
[2.144 0.88
"
-J
0.88 ] 0.80
-7 J
Este resultado se puede verificar con el obtenido en el acápite 4.6.
;~
• Verifiquemos el Principio de Contragradiencia:
_ )
{Q} = [A]T {q} :::) 01
=
02=
[~,]
=
1
O
-2 q¡ + q2 q3
La primera ecuación representa el equilibrio de momentos del brazo rígido y la segunda el equilibrio de momentos del nudo derecho.
~
.
'8
:
~
)
.
~
280
d
'D
-
) )
) }
· r
281
. .
Ejemplo 7-4 Ensamblar la matriz de rigidez para la estructura mostrada, compuesta por un sólido rigido apoyado sobre una. barra deformable (barra 1-2) en flexión e indeformable axialmente, de longitud 3 m. Se sugiere revisar el Ejemplo 6-41. 3m
J
Sólido rígido
}
-J )
Barra deformable
--)
,
1
)
• Sistemas de Coordenadas
) )
'1t21
)
)
Barra 1-2
1=3
"t
) \\
""
,\\
q-d
Q-D
)
}
• Generación de la matriz de transformación de desplazamientos {d}
=
[Al {D}
1/4
-) .-} )
I
J
I \
.)
/
_)
1
\ I/r , I
/I~
I \.' I \
:."
"
) _J o··
) .)
\\\\
) ~
)
=;
I I
I I I
_. )
wjj
.)
[A]=
I
I
j l ~
DJ= 0, D2= 1
iI
281
..
..
-"".-'-
,.j @
282
19 J
• Matriz de rigidez de barra en el sistema q-d (sistema local de la barra 1-2)
[k,l =
El
!1 [
12 _{':,
[
-~
= ~I
") )
:]
4 _;
)
") ) )
• Aporte de la barra 1 a la matriz de rigidez de la estructura
) 1
-41
[KI] = [AI]Y[kl] [Al] =
1 . 3"
..!..
[ 0
) )
4
El [ 3 -2
)
4
") )
.• Matriz de rigidez de la estructura en el sistema Q-D
') )
.) ) ) Resultado idéntico al obtenido en el Ejemplo 6-41 del acápite 6.16, en el cual la matriz de rigidez de la estructura se generó utilizando la definición y aplicando sucesivos desplazamientos unitarios en las coordenadas.
J )
.1',
~
)
'.
{Q} = [A]T {q} =>
[~,]
)
"
• Verifiquemos el Principio de Contragradiencia:
)
-;,:
= [~
-1/4] 1/4
[qj]
)
)
q2
~
Q¡ = ql-0.25 q2
~
J
)
De la figura mostrada a continuación, es fácil comprobar que las ecuaciones anteriores representan las ecuaciones de equilibrio del sólido rigido. Q2 ,, , ,\, , ,,,, , r: \ , 1I \ -----Ji" Q 1
)
-J
r----:"I, __.
.}
\
\
\
)
\
ql
4
\.1''l2
Equilibrlo del sólido rígido:
Ql + Q2= ql Q2(4) = 'l2
:;)
)
") ~
)
.:: Ejemplo 7-5 Ensamblar la matriz de rigidez para la estructura mostrada, compuesta por un sólido rrgido (barra 2-3) apoyado sobre una barra deformable (barra 1-2) en flexión e indeformable axialmente, de longitud 4 ID.
~
~ ... -
)
.J o•••
282
.)
~
..)
.. .'~-¡
.:~.~.t.:..~::.',~_'~~~,~.
~~~¡.,!;~;'.,. -...;
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~·~·.T :..'~~.:~~.~~.~.-::-;.',~:~'~ .~::~::;,,, ..,,.,, o. , "::A ~::." ..~ ;.: =:.:~.,.:~~':',.'~~.,
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"
')
283
")
r
) "
}
. 3_00m
)
El
)
-i
..
4.00m
• Sistemas de Coordenadas 2
~ )
~2
)
]
)
)
1=4
Barra 1-2
) \\\\
Q-D
q-d
• Generación de la matriz de transformación de desplazamientos {d}
=
[A] {D}
I
! J
)
} -')
-1
di = 1 d2 =0
)
-1 )
DI=I,
DI =0, D2=)
D2=O
,_)
.) .;)
)
-) )
-j
• Matriz de rigidez de barra en el sistema q-d (sistema local de la barra 1-2)
)
-==, )
)
[1<,]- El
[
12
6]
_t~
_~
f
t
8
~
"5 ) '"'1
[3
_ El _I;
283
4).
{f)
284
\,.¡;
:] Ji
• Aporte de la barra 1 a la matñz de rigidez·de la estructura
~
")
7._:
)
.;,;:
!] [11 -:][:
'~:l .:<-
)
S§
)
"lO.
~~ ~
El
)
)
• Matriz de rigidez de la estructura en el sistema Q-D
)
)
[K]= [K]] = El[ 1:
3~] 1
32
16
=EI [0.18750 . 0.09375
0.09375 ]
)
0.06250
)
J
• Comprobemos el resultado anterior. ensamblando la matriz de rigidez, utilizando estrictamente la definición:
) _)
")
DI = 1 D2=0
)
k2t=0.375EI/4
.t--4_00m---tI
)
)
-J 12EI
)
-------7 = 0.1875 El
)
)
)
6EI 42 = 0.3750 El
)
)
) ~
kll = 0.1875 El Dl=O
k21= 0.09375 El
;)
D2=1
:)
) .t--4_00 m_
J ~J
.....
...:~" ....
)
..... :~:.:;> -:
'~
~---~_.t --a. = (5/4) /5
) )
= 0.25
a 4Ela
--¡- = 0.25
El
) -~ .~ .~
-j
kt2= 0.09375 El
kn= 0.0625 El
J ~
\
1
\
;.~
286
t·· "
c.
.1
~
• Matriz de rigidez de la estructura en el sistema Q-D
kl~EA/Li
Barra 1-4 2-4
.....,.....
n~1
[,Ai]
[Ar]T Ik~
O,Q
EA/S EA/5. EA/3
2.;3
I
(
0.0 EA .
.,.0.8 -4/3 :E= [K] =
0.128 EA
L -r'"
16/11EA
(
...
0.7206 EA
C. (
• Desplazamientos en el sistema Q-b {Q} = [K] {D} Di = 13.8175/ EA
i
{lO} = [0.7206 EA] {DI}
(
F (
• Fuerzas en las barras.
(
{dí} = [Ai] {D}
{qi} = [Id] {di}
'(
Barra 1-4 2..3
24
(q;) ,;",[k¡][di} (Ton)
di
[ki] EA/5 EA/5 EA/~
0.0
0.0
-0.8 DJ -4/3 Di
-2.220 6.167
• Resultados finales (axiales y reacciones en toneladas)
j
r ( ::/.; ':')
~~; I'!
Ejemplo 7..7 Resolver el pórtico mostrado, compuesto por un muro o placa (barra 1-3) una columna y
':'~~ ;'~i
tl
una viga qué se ha modelado con un brazo rígido de 0.75 m a la izquierda. Se ignoran las deformaciones axiales y por fuerza cortante, 20t on
.....
®
0.5m
J
Columna 0.25XO,Sm
;',.....
1:,:;,
1 3.00
'~~t
f_
m
..'+ a>
0.5 m.,
:.
~ ...
F......~..
a.••••••••••••
:_ ..~•• 9.~ ••••••••
. .
Pla ca 0.2 Sxl.5m
G>
Viga O.25XO.5m
f-.
,...
'\::... ~., .......
C) .jr-1.50ri1_" ..I,.~-4.OD
286
m----.r ....
l <: (.
f
Ejemplo 7-6 Resolver la estructura mostrada, compuesta por un sólido rígido (barra 1-3-4) y tres __ barras .tipoarmadura. ..
.
:'..
.
'1J!-I.--4.00m--....r..1.
• Sistemas de Coordenadas
l-i~~~~~ 3
q-d
Q-D
• Generación de la matriz de transformación de desplazamientos {d} = [A] {D}. Recuerde que asumimos desplazamientos pequeños. 1
DI = 1
i
La barra 1-4 no se deforma, sólo experimenta movimiento de sólido rigido (rotación). los \ alegamientos de las barras son positivos y los acortamientos (compresión) negativos. 1
II \
DI
I
=1
!
o
1
,
[A]=
o
-0.8 4 3
-0.8 (DI) 4
3
285
~::...___ 1 ~ ...,
El
27E1
0.15 m ,,1.
t
.1
El
,,1,
1~2
4.00m---l~
Modelo de la estructura y sistema Q - D
Sistemaq - d
Nótese que en la barra 3 -4 el sistema q - d corresponde a la parte flexible de la barra. • Generación de la matriz de transformación de desplazamientos {d}
=
[A] {D}. 1
D3= 1
¡=
dl=
1
~= 1
D3= 1
O
O
1
[A1-J]
.....~~~.- ---._-_.~----------_.}-------------~-------- _._-------d]= 1 O O
. ~_~
[A] = ~:\
~__.
ds=
o
~=
O O
d7=
~
._.__.. L_ .._._I~~~) _
-0.75 1
O O
o
o
--_._~~~_.-----_._~_._---------~-_.__ ._ .._ ..~---_.\
,
j
• Matrices de rigidez de barra en el sistema q-d (sistema local de coordenadas) y aporte de cada barra a la matriz de rigidez de la estructura. [Id]
Barra 1-3
[Aí] I [ki][Ai]
[Ai]
12 6 27EI 32 -3 -3- 6
[!
4
-?i'
t
~]
12
El 3
2-4
12
..
,.
3'-4
El
"4
6
6 -4
4
6
-'4
[! o ~]
6
-4
12
o
-'3 4
42
- 42 ..J
6 -3 31
o
6
4 2
12 - 42 6 4 12 4:1: 6
z
0.4444 El [ O -0.6667
o o o
o o.
-O. 666~ O
1.3333
6
2
-0.75
6 4
o
1
~
o
El ~ ~
~
1. 6~80 O. 7~13] 0.7813 1.0000
4
.J }
o
O]
-4
L [K] =
)
12 -18 El [-018 36
287
12.4444 El [-18.0000 -0.6667
-18.0000 37.6680 0.7813
-0.6667] 0.7813 2.3333
l
288
• Desplazamientos
en el sistema Q-D {Q} = [K] {D}
{Q}=
{D} =
[r]
{D}
[Kr
= _!_ El
I
{Q}
1
5.2551]
"J )
".,
2.4974
[ 06653
) )
• Fuerzas en las barras.
.)
{di} = [Ai] {D}
)
{qi} = [Id] {di}
o
O
O
1
1
O
{d·l = [A](D}~ fd·} = 00
O O O
O O O
di di
e· o
O -0.75 o1
1 O O
)
d"1
..
di = d"6
.6653
O 1
.)
J
5.2551
d"
•
.4974, ZS51}
5.2551
2.4974
0.6653
d-7
'}
• 1/ El
-1.8730
2.4974
}
o
.)
0.6653
di
'-j
";> Barra
lk¡] x El
{di] (TonlEn
{q;} ... [k¡)(d;)
1-3
[ 12 -18) -18 36
{5.255~
{18.1079 -4.6853
{S.2551} 0.6653
[1.8921 ] -2.6164
1-0.6667 0.4444
24
3'4
r·
-0.3750 -0.1875 1975 -0.3750
-0.3750 1.0000 0.3750 0.5000
-7
1
2.497
)
)
) -0.6667] 1.3333 -0.1875 0.3750 0.1875 0.3750
r
-0.37S0] 0.5000
2.4974
o
0.3750 1.0000
973O} 0.6653
:>
r
)
)
3.5372 1.537z S3n} 2.6164
)
.) . :.~
') .)
\
• Diagramas de fuerzas internas finales
,;
i
18.108
4.68
1.892
"
/ 49.638 DFC{ton) 1
• Rigidez lateral del pórtico ~
5.255
= 3.806 El
288
__
.. >
"="
/
KL =
~
..
._
/
J
3.537
,_'
~
18.10&--
)
!IIi!i!itL '
--
. .., ."
,
Ejemplo 7-8 Resolveremos nuevamente el pórtico del Ejemplo 7-7, modificando el sistema q - d para la barra 3-4 (la barra con brazo rigido a la izquierda) • Nuevo sistema q - d. El Sistema Q -D es el mismo que hemos utilizado en el Ejemplo 7-7. 3
1
3
r ,
~~,.,
27 El
1 l
El
t~
_j
O.75m'"
!
1
1
1~
3~
Nuevo Sistema q - d
4.00m--;.f
....
64
Modelo de la estructura y. sistema Q - D
!
i
r.I!B~-----)
\: EI=oo
21
1
}
5
3.00 m
_J
1
2
~1
El
I
•
Matrices de rigidez de barra en el sistema q-d (sistema local de coordenadas).
1 )
Nótese que el sistema q - d adoptado para la barra 3-4 involucra la determinación de la matriz de rigidez de la barra, tal como se hizo en el acápíte 4.6 o en el Ejemplo 7-3. Dicha matriz de rigidez corresponde. al caso 7 del acápite 4.11, con a = 0.75 m y b = 4 m.
4( 4+3·0.75+3· 0.75 _El 4" 4 2) k3_4 - 4 75 [ 2+6.0'4
75] _ 2+6.0'4
~
1.6680
- EI~.
7813
0.7813] 1.0000
4
Para las otras dos barras la matriz de rigidez no se modifica. j
• Generación
de la matriz de transformación
{d} = [A] {D}.
de desplazamientos
) J
di
=
._.__c!~_~. )
)
.) }
[Al =
DI= 1 1
D2= 1 O
D3= 1 O
1
O
O
º .._. ..}.
..
d3=
-... ~-~.--------º-O ---.o------Q---------_ ds= 1 dtí=
O
O
j
}
[A3_4]T [kj_4][Al-4]
-
~J )
El
,
j i
\
-_;; 289
.) J
6~80
la matriz de rigidez del pórtico en el sistema
)
~
1
[go 0.7813 1. o.1.0000 7~131
i
¡
~~~~~_._
Se observa que se obtiene el mismo resultado, respecto al aporte de la barra 3-4. En consecuencia y como era de esperarse, Q-D, es fa misma.
~
. .!.._.o __. O
.... _
Luego. el aporte de la barra 3-4 a la matriz de rigidez del pórtico es:
--j
i
..~
[Al-3]
290
() Ejemplo 7-9
"~
Resolveremos nuevamente el pórtico del Ejemplo 7-7, considrando deformaciones por corte en la barra 1-3 (muro o placa). Con esto podremos formarnos una idea de la influencia que tienen las deformaciones por corte en la repuesta frente a cargas laterales de este pórtico pequeño.
{d} = [Al {D}.
Es la misma del
• Matrices de rigidez de barra en el sistema q-d (sistema local de coordenadas). Las.. barras 2- 4 Y 3- 4 tienen la misma matriz de rigidez del Ejemplo 7-7. S610 es necesario", modificar la matriz de la barra 1 -3 incluyendo deformaciones por cortante, para esto, utilizaremos lo expuesto en el acápite 4.10.3. .
]2 El POAc
~h
G
12
.. kl-3
6
[33 -
27EI 1 +a _~
=
(concreto armado)
h)2 (1 5)2 =:;. a. = 2.76 ( T = 2.76 -T = 0.69
Ac e bh 1.2
b
-10.6S09] 24.9763
31] [7.1006 4+« = El -10.6509
32,
3
., ) )
)
) ) ") ) )
--::) -}
4
)
)
7.1006 [Al-3]T[ki-3][Al-3]
)
)
• Aporte de la barra 1- 3 a la matriz de rigidez del pórtico [kl-3] =
)
J
E
- = 2.3
a=-::---
')
)
• Sistemas Q - D Y q - d. Son los mismos del Ejemplo 7-7. • Matriz de transformación de desplazamientos Ejemplo 7-7.
)
= El
-10.6509 gOl
-10.;509
24.9763
[
o
)
.1
)
.) • Matriz de rigidez del pórtico en Q - D
[K] = ¿[Ai]T [ki] [Ai]
7.5450 -10.6509 [KFlnal1= El [-10.6509 26.6443 -0.6667 0.7813
-0.66671 O.7813 2.3333
)
)
) )
• Desplazamientos en el sistema Q-D {Q} = [K] {D}
{Q)=
[rJ
{D} = [Kr1 {Q} 6.1861J {D} = ~ 2.4450 El [ 0.9488
• Fuerzas en las barras. {di}
= [Aí]
{D}
{qi} = [ki] {di}
290
,
.....
, "
¡
o [del = [A]fo] ~ {d·l = }
d~
1
o
O 1 O 1 O O O O 1 O -0.75 O O 1 O O O O O O
di di
e·
.4450 ' 1861} .9488
d. d!;,
=
des
d; da
fkil x El
Barra
6.1861 2.4450 6.1861 0.9488 -1.8338 2.4450 O 0.9488
* l/El
{di}
[qi} == [ki] {di}
1~3
( 7.1006 -10.6509
-10.6509] 24.9763
{6.1861} 2.4450
(17.B832}
2-4
[0.4444 -0.6667
-0.6667J 1.3333
[6.1861} 0.9488
{2.1168 ] -2.8590
-0.3750 1.0000 0.3750 0.5000
-0.1875 0.3750 0.1875 0.3750
3'-4 }
1
o
r·
-0.3750 -0.1875 107' -0.3750
-0.3750] 0.5000 0.3750 1.0000
r·
2.4450 o S338} 0.9488
-4.8195
r·
3.6071 1.6165 616'} 2.8590
)
• Diagramas de fuerzas internas finales
!!@iilJ
t
i
2.859
)'6.]7,
i
3.607
17.883
=
2.859
2.117
17.883
J
--
2.11
DFC(ton)
DMF(ton-m)
3.491
• Rigidez lateral del pórtico KL=
20 ~ 3.233 El 6.1861
_)
)
)
Se sugiere al lector que compare los resultados con los del Ejemplo 7-7, tanto los desplazamientos como las fuerzas internas y la rigidez lateral. Encontrará que las fuerzas internas varían poco, la placa toma algo menos de fuerza cortante transfiriendo la diferencia a la columna. Sin embargo, el desplazamiento lateral del pórtico se incrementa un 18% con lo cual la rigidez lateral del pórtico se reduce al incluir deformaciones por cortante en el muro o placa.
291
) ,]t
292
(~
Ejemplo 7-10 Ensamblar la Matriz de Rigidez del edificio de un piso del Ejemplo 6-42, acápite 6.17. El edificio es una estructura compuesta por -una losa maciza indeformable en su plano (diafragma rrgido) apoyada sobre tres columnas circulares de 3 m de altura, empotradas en la base y articuladas en el extremosupertor con rigidez a la flexión de El = 5,400t-m2• Se desprecia la rigidez torsional de las columnas. El sistema global de coordenadas está referido al centro de gravedad de la losa.
4 ) ) )
"> )
) ) )
)
f-~1
) )
3
\\\\
J
el
) )
4m
4m
)
~(
\\\\
\\\\
q- d (Perspectiva)
Q - D (planta)
-j ;.)
4 )
• Matriz de transformación de desplazamientos {d} = [A] {D} DI
D2
D3
1
O
3
O
1
-4
) )
di
d2 [A] =
d3
-
---------------1 O 3
dt O 1 4 -----------------ds 1 O -3 d6
O
1
)
[AJ)
O
)
,)
[A2]
)
)
[A3]
) )
)
)
• Matriz de rigidez de las columnas en el sistema q-d (sistema local de la barra) r.-
J
[k] = 3EI [ 1
h3
O
~
]
• Aporte de las columnas a la matriz de rigidez de la estructura
-,
-.."
1 T
[KI] = [Al] [kl] [Al] =
3 El -3 O (3) [ 3
292
o 1 -4
~]
J, "
[K21 = [A2]T [k21[A2]
=
3EI[ C3i .~ 3
T [A3] [k3][A3] =
[K3] =
3 El
-3
(3)
r
O1 -3
o 1 4
2: J
O
-: ]
1 O
• Matriz de rigidez total de la estructura .!
J
[K] = L [Ai]T [Id] [Ai]
=
m[ ~ 5~]- [ (3)3
O 3 O
3
1,800
1,800 ]
O
O 1,800
1,800
O
35,~OO
7.6 Ensamblaje del Vector de Cargas en Nudos En el Método de Rigidez las cargas sólo pueden estar aplicadas en las coordenadas del sistema Q-D elegido para el análisis de la estructura. Sobre la estructura pueden actuar cargas directamente aplicadas a los nudos y al mismo tiempo cargas en las barras. Para las cargas aplicadas en los nudos el ensamblaje del vector de cargas {Q} es directo, mientras que para determinar el aporte de las cargas en barras a dicho vector, es necesario resolver primero el Estado Primario (véase el acápíte 6.5) estado en el cual se restringen todos los desplazamientos de los nudos medidos en el sistema Q-D y se calcula el vector de Cargas de Fijación {R}. A partir de este vector se genera el Estado Complementario, en el cual solo hay cargas en los nudos. La figura a continuación muestra una estructura con cargas aplicadas directamente en los nudos en el sistema de coordenadas elegido y cargas en las barras para las cuales será necesario resolver el Estado Primario antes de proceder a la solución de la estructura. w Estado Primario para las cargas en barras: Cargas de fijación = {R}
Q-D
)
-:
Cargas en nudos {Q}nudos
El vector de cargas total, que debe utilizarse para la solución de la estructura, se obtiene a partir de: {Q}totaJ = {Q}nudos + {Q}barras = {Q}nudos - {R} {Q} total = [K] {D} {d} = [A] {D}
,¡
-1 )
Cargas en barras {Q} barras = - {R}
(solucióndel Estado Complementario) Contragradiencia:
{Q} = [A]T {q}
La transpuesta de la matriz de transformación de desplazamientos, representa la matriz de transformación de fuerzas. El aporte de las "m" barras que componen la estructura viene dado por:
293
,,:1) ;~
294
e ~
) ) )
., )
) ) mbarras
{Q}
=
L
i= J
)
T
[A¡] {s.]
)
Si extendemos este resultado al Vector de Cargas de Fijación del Estado Primario {R}., tendremos: . mbarras
)
i-l = -{R}
J )
T
{R } = ¿ [A¡) {fi} {Qharras
)
)
(aporte de las cargas en barras al vector {Q})
')
Donde tri} es el vector de fuerzas de empotramiento en los extremos de cada una de las barras.
•
--j
. .j ~
7.7 Etapas de la FormulacIón Matricial del Método de Rigidez
)
)
a) Definir los sistemas de coordenadas Q-D y q-d
)
b) Generar las matrices [Aj] -+ {di} = [Aj] {D}
)
e) Generar las matrices de rigidez de barra en el sistema q-d -+ [k¡] d) Generar los productos [A¡]T [kí] [Aí] -+ aporte de cada una de las barras a [K]
.> ,
)
e) Ensamblar la Matriz de Rigidez de la estructura -+ [K] = ¿ [A¡]T [Ie¡] [Aí]
")
f) Ensamblar el vector {Q}nudos -+ (aporte de las cargas en nudos)
')
g) Calcular las fuerzas de empotramiento debido a las cargas en barras -+ tri}
)
h) Ensamblar el vector de Cargas de Fijación -. {R} = L [Aj]T [ri] (Estado Primario) i) Ensamblar el Vector de Cargas -'{Q}total
j) Resolver {D} =
[Kr
J
=
)
{Q}nudos - {R}
{Q}totaJ-+ (desplazamientos del Estado Complementario)
-3
k) Calcular los desplazamientos de extremo de barra -+ {di} = [A~ {D} 1) Calcular las fuerzas de extremo de barra del Estado Complementario
{q¡}
= [k¡] {
m) Calcular' las fuerzas totales de extremo de barra (Complementarlo + Primario) {q¡}total = [k¡] {di} + tri}
~
~
~ )
)
'
294
