“LA MECANICA MATRICIAL DE HEISENBERG” Murillo caballero Víctor Fran Mec!nica Cu!ntica I "ni#er$i%a% Nacional %e Tru&illo' (er) *+ %e ,a-o %el ./*0
*12 INTR3D"CCI3N A inicio$ %el $i4lo 55 la ru6tura %e lo$ conce6to$ cl!$ico$ con lo$ e76eri,ento$ reali8a%o$ era e#i%ente1 Lo$ 6ri,ero$ ,o%elo$ 9ueron 6ro6ue$to$ 6or Ein$tein' Niel$' Arnol% So,,er9el% So,,er9el% - ,uc:o$ otro$; #ene$ 9í$ico$ to,aron el li%era84o en la elaboraci>n %e una teoría teoría acor% acor%e e con lo$ nue#o$ nue#o$ 6o$tul 6o$tula% a%o$ o$ encont encontra% ra%o$; o$; teoría teoría n cl!$ica' %ebía $er ba$a%a en lo$ e76eri,ento$ - no en la intuici>n1 A%e,!$ %e ren ,ate,!tica ,!$ elabora%a %e la ,ec!nica cu!ntica1 E$ta 9or,ulaci>n $e ba$a en rico$ %e lo$ $i$te,a$ e$t!n 9un%a%o$ e7clu$i#a,ente en la$ relacione$ entre canti%a%e$ 6erteneciente$ al $i$te,a n e7ito$a %e la ,ec!nica cu!ntica ba$a%o en la teoría %e ,atrice$1 ,atrice$ 1 Hei$en Hei$enber ber4 4 traba& traba&o o con con %ato$ %ato$ e76er e76eri,e i,enta ntale$ le$ relac relacion iona%o a%o$ $ a la tran$ic tran$ici>n i>n at>, at>,iica %e la$ la$ inter nterac acc cione ione$ $ %e lo$ lo$ !to,o$ !to,o$ con con cuanto$ cuanto$ %e %e lu8 lu8'' 9otone$ 9otone$'' trat tratan an%o %o %e i%en i%enti ti@c @car ar lo$ lo$ ob$e ob$er# r#ab able le$ $ rele# ele#an ante te$1 $1 De e$ta e$ta ,ane ,anera ra =l ar4u,ent> ,ica 6ara lo$ !to,o$1
.12 RA3NAMIENT3 DE HEISENBERG En o6ini>n %e Hei$enber4' una teoría 9í$ica correcta :a %e :acer u$o )nica e7clu$i#a,ente %e canti%a%e$ o ,a4nitu%e$ ob$er#able$1 Lue4o :acien%o u$o %el 6rinci 6rinci6io 6io %e corr corre$6 e$6on% on%enc encia ia %e Bo:r Bo:r $e lan8> lan8> a enten% enten%er er lo$ lo$ e$ta%o e$ta%o$ $ e$tacionario$ %el !to,o1
Werner Heisenberg
Su ra8ona,iento era' a6ro7i,a%a,ente el $i4uiente "na car4a en ,o#i,iento con una %eter,ina%a 9recuencia %ebía e,itir ra%iaci>n con %ic:a 9recuencia co,o en la teoría cl!$ica1 E$te :ec:o era una con$ecuencia ,ate,!tica %el an!li$i$ %e Fourier r,ula %e Bal,er' Hei$enber4 6o$tulaba lo co,o ni#ele$ %e ener4ía' 6ue$ $e $abía n %a un $alto cualitati#o al a@r,ar
tran$9or,ar$e en el con&unto A n, t1 A$í' 6or e&e,6lo la 6o$ici>n %el electr>n 7 t %ebía $er $u$titui%a 6or una tabla 5 n, t1 A continuaci>n Hei$enber4 ra8ona co,o :abría %e calcular$e 5 . n, t :a$ta obtener la 9>r,ula x nm ( t )= 2
∑ x
nk
(t ) x km (t )
k
'
e$ %ecir' la$ canti%a%e$ 5 n, eran ,atrice$1 Da%a$
%o$
,atrice$
X nm y Pnm
%e$criben
%o$
canti%a%e$
9í$ica$'
Hei$enber4 6u%o 9or,ar un nue#o arre4lo %el ,i$,o ti6o al co,binar lo$ X nk P km t=r,ino$ ' n %e e$to$ coe@ciente$ %e 9or,a $e6ara%a' la corre$6on%encia con la$ $erie$ %e Fourier 6er,itieron a Hei$enber4 %e%ucir la re4la 6or la
( XP )mn=∑ X mk Pkn k = 0
Ma7 Born not> n 6ara ,atrice$' 6or lo n' el ,o,ento' la ener4ía - to%o$ lo$ ob$er#able$ $on inter6reta%o$ co,o ,atrice$1 Debi%o a la re4la %e ,ulti6licaci>n el 6ro%ucto %e6en%e %el or%en' e$ %ecir XP ≠ PK 1 La ,atri8 5 %e$cribe co,6leta,ente el ,o#i,iento %e una 6artícula ,ecanocu!ntica1 Debi%o a
012 F3RM"LACI3N MATEMATICA "na #e8
X y P ' 6u%o encontrar lo$
ele,ento$ %e la ,atri8 en ca$o$ e$6eciale$ 4uia%o 6or el 6rinci6io %e corre$6on%encia1 Co,o lo$ ele,ento$ %e ,atri8 $on la analo4ía ,ecanocu!ntica %e lo$ coe@ciente$ %e Fourier %e la$ >rbita$ cl!$ica$' el ca$o ,!$ $i,6le e$ el o$cila%or ar,>nico; %on%e X y P $on $inu$oi%ale$1
3.1.- Oscilador Armónico En uni%a%e$ %on%e la ,a$a - la 9recuencia %e un o$cila%or $on uno' la ener4ía %el o$cila%or e$ H =
1 2
2
2
( P + X )
La >rbita cl!$ica con ener4ía E e$ i4ual a
( t ) P ( t ) =¿ √ 2 E sin (t ) X ( t ) =√ 2 E cos ¿ La con%ici>n rbita'
nh 2 π
o en uni%a%e$ %on%e
ℏ e$ uno' la ener4ía e$ un entero1
La$ co,6onente$ %e Fourier %e
X ( t ) -
P (t ) $on ,u- $i,6le$' ,uc:o ,!$
$i $e lo$ co,bina con A ( t ) = X ( t ) + iP (t )= √ 2 E e
it
−it
A ( t )= X ( t )−iP ( t )= √ 2 E e †
† %on%e a,bo$ A - A
tienen una $ola 9recuencia -' X - P 6ue%en
$er encontra%o$ %e $u $u,a o %i9erencia1 Co,o A ( t ) tiene una $erie %e Fourier cl!$ica con una $ola 9recuencia ,!$ ba&a - el ele,ento %e ,atri8
A m
e$ el
(m−n )− ésimo coe@ciente %e Fourier
A
%e la >rbita cl!$ica' la ,atri8 6ara
no e$ cero $olo en la línea $obre la
√ 2 E n 1 La ,atri8 6ara
%ia4onal1 En cu-o ca$o e$ i4ual a
A
†
e$ %e la ,i$,a
,anera 6ero en la línea %e aba&o %e la %ia4onal con lo$ ,i$,o$ ele,ento$1 † Recon$tru-en%o X - P %e A - A obtene,o$
[ √ [
√ 2 X ( 0 )=
√ 2 P ( 0 )=
√
0
√ 1
h √ 1 0 2 π 0 √ 2
h
2 π
0
0
√ 2
0
0
√ 3
⋮
i √ 1
0
−i √ 1
0
] 0
i √ 2 0 … 0 i √ 3
0
−i √ 2
0
…
⋮
]
la$ cuale$' %e6en%ien%o %el $i$te,a %e uni%a%e$ utili8a%o' $on la$ ,atrice$ %e Hei$enber4 6ara el o$cila%or ar,>nico1 A,ba$ ,atrice$ $on :er,ítica$ %ebi%o a
reale$1 (ara :allar
- P (t ) e$ $i,6le una #e8
coe@ciente$ %e Fourier en el ca$o cu!ntico $on lo$
X mn ( t ) = X mn ( 0 ) e
El 6ro%ucto ,atricial %e
Pmn ( t )= P mn( 0) e
i ( Em− En) t
X - P no e$ :er,ítico' 6ero tiene una 6arte real
e i,a4inaria1 La 6arte real e$ la ,ita% %e la e76re$i>n $i,=trica ,ientra$
i,a4inaria E$
9!cil
e$
6ro6orcional
#eri@car
nico e$
( XP + PX ) '
e76lícita,ente
ih 2 π ' ,ulti6lica%a 6or
la ,atri8 i%enti%a%1 A%e,!$ ta,bi=n $e 6ue%e #eri@car
1 2
2
2
( X + P )
e$ una ,atri8 %ia4onal con #alore$ 6ro6io$
Ei
1
al
3.2.- Conservación de Energía El o$cila%or ar,>nico e$ ,u- e$6ecial %ebi%o a n' Hei$enber4 in#e$ti4> al o$cila%or anar,>nico %e Ha,iltoniano 1
2
2
1
H = X + P 2
2
3
+ ϵ X
En e$te ca$o la$ ,atrice$ X - P no $on ,atrice$ %ia4onale$ %ebi%o a rbita$ cl!$ica$ e$t!n %e$6la8a%a$ - a6la$ta%a$; a$í $e tiene lo$ coe@ciente$ %e Fourier %e ca%a 9recuencia cl!$ica1 (ara %eter,inar lo$ ele,ento$ %e ,atri8' Hei$enber4 re
Hei$enber4 not> n ,atricial %e X - P ' ten%ría creo %eri#a%a$ te,6orale$ dH dt
P∗dP
=
dt
+
( X +3
2
ϵ
X
dt
)∗dX
=0
%on%e A∗ B e$ el 6ro%ucto $i,=trico
A∗B =
1 2
( AB + BA ) 1
Da%o$ n - ab$orci>n %e 9otone$ 6arece %e,an%ar n %e la ener4ía $e ,anten4a 6or lo ,eno$ en 6ro,e%io1 Si una on%a n atra#ie$a al4uno$ !to,o$ - uno %e ello$ lo ab$orbe' e$e !to,o nece$ita in9or,ar a lo$ otro$
6o%r! lle4ar a lo$ otro$ !to,o$ a tie,6o' =$to$ ter,inar!n ab$orbien%o el ,i$,o 9ot>n %e to%a$ ,anera$ - %i$i6an%o la ener4ía a $u alre%e%or1 Cuan%o una $eJal lo$ alcan8a' lo$ otro$ !to,o$ %eben %e al4una ,anera reto,ar e$a ener4ía1 E$ta 6ara%o&a in%u&o a Bo:r' Kra,er$ - Slater a aban%onar la con#er$i>n %e ener4ía e7acta1 El 9or,ali$,o %e Hei$enber4' cuan%o $e n %e la teoría in#olucrar! el cola6$o %e la 9unci>n %e on%a1
3.3.- Tratamiento Hamiltoniano En la 9or,ulaci>n :a,iltoniana' lo$ corc:ete$ %e (oi$$on %e la$ 9uncione$ %e la$ coor%ena%a$ - ,o,ento$ can>nico$
$on
e$ta %e@nici>n i,6lica
Lo$ corc:ete$ %e (oi$$on $on in#ariante$ re$6ecto a cualn can>nica1 A%e,!$ tiene otra$ i,6ortante$ 6ro6ie%a%e$
lo
%on%e e$ el Ha,iltoniano1 Me%iante la$ ecuacione$ %e ,o#i,iento %e Ha,ilton' la$ relacione$ anteriore$ $on
La %eri#a%a te,6oral %e una 9unci>n 4eneral %e coor%ina%a$ ,o,ento$ can>nico$ $e obtiene %e la$ ecuacione$ %e ,o#i,iento %e Ha,ilton
e$ %ecir
n cl!$ica1 (ara tran$9or,arla en una ecuaci>n cu!ntica' Dirac 9or,ul> la relaci>n
%on%e e$ el con,uta%or %e o6era%ore$ o ,atrice$ a - b1 De e$ta ,anera la ecuaci>n %e ,o#i,iento ,ecanocu!ntica correcta e$
%on%e u - H $on ,atrice$ in@nita$ en 4eneral' n n e$ conoci%a co,o la Ecuaci>n %e ,o#i,iento %e Hei$enber41 Su6onien%o n %el ,o#i,iento e$
E$ta ecuaci>n e$ una ecuaci>n ,atricial' - %ebi%o a e$to re6re$enta a un con&unto in@nito %e ecuacione$
(or lo n %e Dirac
-
-
%on%e $e cu,6lan la$ con%icione$
$e con#ierta en una ,atri8
12 C3MENTARI3S "n :ec:o :i$t>rico intere$ante e$ a Hei$enber4 con#ertir $u$ ,ane&o$ ,atriciale$ a ecuacione$ %i9erenciale$ con la @n ali%a% %e e76lorar la 6o$ibili%a% %e
e$tu%ian%o Hei$enber4 tal co,o el %e lo$ ni#ele$ %e ener4ía %el !to,o %e :i%r>4eno1 Aun e$te con$e&o' %e :aberlo :ec:o ,u- 6o$ible,ente :abría ter,ina%o crean%o ta,bi=n la Mec!nica 3n%ulatoria1 En no 6oco$ :i$toria%ore$ %e la ciencia :a $ur4i%o la %u%a %e n %e lo$ ,i$,o$ a $u 9or,ato en ecuacione$ %i9erenciale$ 6ara ter,inar obtenien%o %e e$te ,o%o 6or una #ía no tan in%irecta $u 9a,o$a ecuaci>n1 De$6u=$ %e to%o' Sc:r%in4er era un ,ate,!tico e76eri,enta%o n %e ecuacione$ %i9erenciale$1 Ta,bi=n e$ cierto n %e uno$ cuanto$ ,e$e$1 ta,bi=n e$ cierto %e ,anera 9or,al la e@ca$ %i$tinta$ a la$ ba$e$ @lo$>@ca$ utili8a%a$ 6or Hei$enber4 el cual n o $e a6o-> en la relaci>n %e Loui$ %e Bro4lie 6ara el an!li$i$ %e on%a$ %e ,ateria1 Mientra$ n en $u >rbita circular en torno al n)cleo at>,ico o la #eloci%a% %el electr>n ,o#i=n%o$e alre%e%or %el n)cleo' la ecuaci>n %e on%a %e Sc:r%in4er 9ue %e$%e un 6rinci6io una ecuaci>n %e on%a elabora%a 6ara on%a$ %e ,ateria' in$6ira%a en la$ ecuacione$ %e on%a %el electro,a4neti$,o cl!$ico - en la 6ro6ue$ta %e De Bro4lie1 Si,6le $encilla,ente no :a- 6unto %e co,6araci>n entre a,ba$ ba$e$ @lo$>@ca$1 Si Sc:r%in4er real,ente :i8o “tra,6a”' cubri> tan bien $u$ :uella$ lo con una %eclaraci>n $u-a 6ara tal e9ecto $e 6o%ría %e$6e&ar la %u%a' al4o
