UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO ‐ PERU
METODO MATRICIAL PARA RESOLVER UN PORTICO Utilizare el siguiente pórtico para explicarte el procedimiento de solución. Tomamos una Área=0.16m2 (0.40mx0.40m) I=0.002133m4 y E= 3000000tn/m2 como propiedades geométrica y de material para cada barra.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO ‐ PERU Definimos las fuerzas y desplazamientos:
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO ‐ PERU Donde: a = S0λ x 2 + S3λ y 2 a ' = S0λ y 2 + S3λ x 2 b = λ x λ y ( S0 + S3 ) c = S2 c ' = S2 d = S1 d ' =
S1 2
Luego: S0 = S1 = S2 = S3 =
EA L 4 EI L 6 EI 2
L 12 EI
UNI ERSIDAD NACIONA
DE SAN
NTONIO
BAD DEL
USCO ‐ PE RU
Para el caso de n estro pórti o, tomaremos la siguie te convención:
UNI ERSIDAD NACIONA
k2
k3
DE SAN
NTONIO
BAD DEL
USCO ‐ PE RU
48000,00
0,00
0,00
‐48000, 0
0,0
0, 0
0,00
76,80
384,00
0,00
384,00
0,00
384,00
2560,00
0,00
‐76,80 ‐384, 0
128 ,00
‐ 8000,00
0,00
0,00
48000,00
0,0
0, 0
0,00
‐76,80
‐384,00
0,00
76,8
‐384,00
0,00
384,00
1280,00
0,00
‐384, 0
256 ,00
76,80
0,00
384,00
‐76,80
0,0
384,00
0,00
48000,00
0,00
0,00
‐48000,00
0, 0
384,00
0,00
2560,00
‐384,0
0,0
128 ,00
‐76,80
0,00
‐384,00
76,80
0,0
‐384,00
0,00
‐48000,00
0,00
0,00
48000,00
0, 0
384,00
0,00
1280,00
‐384,0
0,0
256 ,00
Ahora toca hacer el ensamblaje de una
atriz de rigideces en coordenadas lobales par toda
la es ructura, para lo cual de emos tomar en cuenta lo l siguiente:
i
j
UNI ERSIDAD NACIONA
k1 =
k2 =
DE SAN
NTONIO
BAD DEL
USCO ‐ PE RU
10
11
12
1
2
3
76,80
0,0
‐38 ,00
‐ 6,80
0,00
‐384,00
10
0,00
4800 ,00
0,00
0,00
‐48000,00
0,00
11
‐384,0 ‐76,8
0,0
2560,00
384,00
0,00
1280,00
12
0,0
38 ,00
6,80
0,00
384,00
1
0,00
‐4800 ,00
0,00
0,00
48000,00
0,00
2
‐384,0
0,0
1280,00
384,00
0,00
2560,00
3
1 48000,00
2
4
5
6
0,0
0,00
‐48000,00
0,00
0,00
1
0,00
76,80
38 ,00
0,00
‐76,80
384,00
2
0,00
384, 0
2560,00
0,00
384,00
1280,00
3
‐48000, 0
0,0
0,00
48000,00
0,00
0,00
4
0,00
‐76, 0
‐38 ,00
0,00
76,80
‐384,00
5
0,00
384, 0
1280,00
0,00
384,00
2560,00
6
4 76,80
5
8
9
7
0,0
38 ,00
‐ 6,80
0,00
384,00
4
0,00
4800 ,00
0,00
0,00
48000,00
0,00
5
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO ‐ PERU
Para hallar cada elemento en la matriz ensamblada solo tenemos que ubicar el lugar del elemento y buscarlo en las matrices de rigideces de cada barra, en caso de que este elemento se repitiese en más de una matriz de rigideces solo se hará una suma algebraica de cada uno de estos. Hallaremos el elemento k11 En la matriz k1 tenemos un elemento 11 que es igual a 76.80 y en la matriz k2 tenemos un elemento 11 que es igual a 48000.00; entonces k11= 76.80 + 48000.00 = 480076.80
K=
1 48076,80 0,00 384,00 ‐48000,00 0,00 0,00 0 0 0 ‐76,80 0,00 384,00
2 0,00 48076,80 384,00 0,00 ‐76,80 384,00 0 0 0 0,00 ‐48000,00 0,00
3 384,00 384,00 5120,00 0,00 ‐384,00 1280,00 0 0 0 ‐384,00 0,00 1280,00
4 ‐48000,00 0,00 0,00 48076,80 0,00 384,00 384,00 ‐76,80 0,00 0 0 0
5 0,00 ‐76,80 ‐384,00 0,00 48076,80 ‐384,00 0,00 0,00 ‐48000,00 0 0 0
6 0,00 384,00 1280,00 384,00 ‐384,00 5120,00 1280,00 ‐384,00 0,00 0 0 0
7 0 0 0 384,00 0,00 1280,00 2560,00 ‐384,00 0,00 0 0 0
8 0 0 0 ‐76,80 0,00 ‐384,00 ‐384,00 76,80 0,00 0 0 0
9 0 0 0 0,00 ‐48000,00 0,00 0,00 0,00 48000,00 0 0 0
10 ‐76,80 0,00 ‐384,00 0 0 0 0 0 0 76,80 0,00 ‐384,00
11 0,00 ‐48000,00 0,00 0 0 0 0 0 0 0,00 48000,00 0,00
12 384,00 0,00 1280,00 0 0 0 0 0 0 ‐384,00 0,00 2560,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
En el caso de que haya elemento que no existan en las matrices de rigideces de cada barra, estoy elementos se igualaran a cero. La ecuación que debemos resolver es:
Ing. José Enrique Rosa Ribera
7
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO ‐ PERU Para lo cual nos falta definir los vectores de fuerzas y desplazamientos
Q =
Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 Q 7 Q 8 Q 9 Q 10 Q 11 Q 12
D1 D2 D3
=
0 ‐50 ‐83,33 0 ‐50 83,33 0 0 Q 9 Q 10 Q 11 Q 12
D1 D2 D3
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO ‐ PERU Dc: matriz de desplazamientos conocidos Resolviendo la ecuación tenemos: {Qc} = [K11] {Dd} + [K12]{Dc} Ya que {Dc} = 0, entonces: {Qc} = [K11] {Dd}…… resolviendo: [K11]‐1{Qc} = [K11]‐1[K11] {Dd} ‐1
{Dd} = [K11] {Qc}… (1)
{Qd} = [K21] {Dd} + [K22]{Dc} Ya que {Dc} = 0, entonces: {Qd} = [K21] {Dd}… (2)
Por consiguiente ahora nuestro problema es hallar [K11] y [K21], los cuales obtenemos de la matriz de rigideces ensamblada.
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D1 0 ‐50 ‐83,33 0 ‐50 83,33 0 0 Q9 Q10 Q11 Q12
=
48076,80 0,00 384,00 ‐48000,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 48076,80 384,00 0,00 ‐76,80 384,00 0,00 0,00
384,00 384,00 5120,00 0,00 ‐384,00 1280,00 0,00 0,00
‐48000,00 0,00 0,00 48076,80
0,00 384,00 1280,00 384,00 ‐384,00 5120,00 1280,00 ‐384,00
0,00 0,00 0,00 384,00 0,00 1280,00 2560,00 ‐384,00
0,00 0,00 0,00 ‐76,80 0,00 ‐384,00 ‐384,00 76,80
0,00 0,00 0,00 0,00 ‐48000,00 0,00 0,00 0,00
‐76,80 0,00 ‐384,00 0,00
0,00 384,00 384,00 ‐76,80
0,00 ‐76,80 ‐384,00 0,00 48076,80 ‐384,00 0,00 0,00
0,00 ‐76,80 0,00 384,00
0,00 0,00 ‐48000,00 0,00
0,00 ‐384,00 0,00 1280,00
0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 ‐48000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
384,00 0,00 1280,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8
0,00 0,00 0,00 0,00
‐48000,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00
48000,00 0,00 0,00 0,00
0,00 76,80 0,00 ‐384,00
0,00 0,00 48000,00 0,00
0,00 ‐384,00 0,00 2560,00
0 0 0 0
El criterio para dividir la matriz ensamblada es tomar la división entre las fuerzas conocidas y desconocidas, de tal manera que [K11] sea una matriz cuadrada. Entonces resolvemos la ecuación (1), ya que no es tan sencillo invertir una matriz de 7x7, usaremos el Excel para hallar la inversa, así como las multiplicaciones entre matrices, para lo cual se usan las siguientes fórmulas: Minversa: que nos devuelve la matriz inversa de una matriz seleccionada; lo que debemos hacer es en una celda escribir “=minversa”, nos pedirá que
seleccionemos la matriz a invertir, entonces la seleccionamos la matriz “=MINVERSA(C94:I100)” y nos dará como resultado el primer elemento de la matriz inversa, para poder ver todos los elementos de la matriz tenemos que seleccionar el numero de filas y columnas que tendrá nuestra matriz inversa (que siempre es una matriz cuadrada y del mismo orden de la matriz que estamos invirtiendo) y tomando como primer elemento de esta selección el elemento que obtuvimos al introducir la formula de minversa, y apretamos F2, luego la combinación CTRL + SHIFT + ENTER, y nos mostrará todos los elementos de la matriz inversa. Mmult: que nos da el producto de dos matrices; debemos escribir en una celda la fórmula “=mmult”, nos pedirá el ingreso de matriz1 y matriz2 separadas
por “;” y finalmente seguimos los pasos explicados en la función anterior.
Ing. José Enrique Rosa Ribera
10
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO ‐ PERU Ahora, resolvamos la ecuación (1): ‐1
{Dd} = [K11] {Qc}
K11
[K11]‐1
=
=
48076,80 0,00 384,00 ‐48000,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 48076,80 384,00 0,00 ‐76,80 384,00 0,00 0,00
384,00 384,00 5120,00 0,00 ‐384,00 1280,00 0,00 0,00
‐48000,00
0,0227923 7,811E‐06 ‐0,001954
7,811E‐06 ‐0,001954 0,0227923 ‐7,81E‐06 0,0009748 0,0009748 2,083E‐05 ‐1,56E‐06 7,811E‐06 2,083E‐09 ‐2,34E‐06 ‐2,34E‐06 ‐1,56E‐06 0,0003909 ‐0,001954 1,562E‐06 ‐0,000195 ‐0,000195
0,03254 ‐1,56E‐05 ‐0,003904
0,0227923 ‐7,81E‐06 0,0009748 0,0009748
7,811E‐06 2,083E‐09 ‐2,34E‐06 2,34E 06
0,032561 1,56E‐05 0,005863 0,013675
0,00 0,00 48076,80 0,00 384,00 384,00 ‐76,80
0,00 ‐76,80 ‐384,00 0,00 48076,80 ‐384,00 0,00 0,00
0,00 384,00 1280,00 384,00 ‐384,00 5120,00 1280,00 ‐384,00
0,00 0,00 0,00 384,00 0,00 1280,00 2560,00 ‐384,00
‐0,001954 0,0228131 ‐7,81E‐06 0,0009748 0,0009748 1,562E‐06 ‐7,81E‐06 2,083E‐05 2,343E‐06 2,343E ‐06 ‐0,000195 0,0009748 2,343E‐06 0,0004888 0,0004888 0,000195 0,0009748 2,343E 06 0,0004888 0,0020513
0 0 0 ‐76,8 0 ‐384 ‐384 76,8
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO ‐ PERU Con {Dd} podemos resolver la ecuación (2): {Qd} = [K21] {Dd}
K21
=
0,00 ‐76,80 0,00 384,00
0,00 0,00 ‐48000,00 0,00
0,00 ‐384,00 0,00 1280,00
0,00 0,00 0,00 0,00
‐48000,00
0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00
0 0 0 0
0,244 Q9 Q10 Q11 Q12
=
0,00 ‐76,80 0,00 384,00
0,00 0,00 ‐48000,00 0,00
0,00 ‐384,00 0,00 1280,00
0,00 0,00 0,00 0,00
‐48000,00 0,00 0,00
0,00
0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00
0,000 0,000 0,000 0,000
‐0,001 ‐0,049
0,244 ‐0,001 0,057 0,057 0,814
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO ‐ PERU Estas son las reacciones, entonces dibujamos la solución.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO ‐ PERU Pero nuestro objetivo principal es graficar los diagramas de fuerzas axiales, cortantes y momento flector para lo cual hallaremos las fuerzas internas de cada barra. Conservando la orientación que le dimos a cada barra en un principio, hallaremos las fuerzas internas (qxi, qyi, qmi, qxj, qyj, qmj) que son las fuerzas en dirección X, Y e momento de cada barra en coordenadas locales. Primero hallamos las matrices de rigideces en coordenadas locales (k’) para cada barra, debemos tener mucho cuidado en no confundir estas matrices con las de rigideces en coordenadas globales.
⎡ ⎢ L ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎡ k ⎤ = ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ ⎢− ⎢ L ⎢ ⎢ 0 ⎢
EA 0 12
EI
EI 2
L
L
EI
4
EI
2
L EA 0
−
12
L 0
EI 3
L
6
3
6
−
0
L
−
0 0
L
6
EI 2
L
0
⎤ ⎥ ⎥ 12 EI 6 E⎥I − 3 2 L L ⎥ ⎥ EI 2 EI 6 ⎥ − 2 L L ⎥ ⎥ EA 0 0 ⎥ ⎥ EI E⎥ I 12 6 − ⎥ 3 2 L L ⎥ EA 0
0
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO ‐ PERU
k3 =
48000,00 0,00 0,00 ‐48000,00 0,00 0,00
0,00 76,80 384,00 0,00 ‐76,80 384,00
0,00 384,00 2560,00 0,00 ‐384,00 1280,00
48000,00 0,00 0,00 ‐48000,00 0,00 0,00
0,00 ‐76,80 ‐384,00 0,00 76,80 ‐384,00
Ahora hallamos las matrices de transformación de coordenadas para cada barra (T).
⎡ λ x ⎢ −λ y ⎢ ⎢ 0 [T ] = ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
λ y
0
λ x
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0⎤
0
0
0
⎥ ⎥ 0 0 0⎥ ⎥ λ x −λ y 0 ⎥ −λ y λ x 0 ⎥ ⎥ 0 0 1⎦
0,00 384,00 1280,00 0,00 ‐384,00 2560,00
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO ‐ PERU
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 ‐1,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 T3 = 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 Hallamos todas estas matrices para poder resolver la siguiente ecuación en cada barra:
{q} = ⎡⎣ k ⎤⎦ [T ]{ D} La matriz {D} se refiere a los desplazamientos hallados en la ecuación (1) y los que ya conocemos que son iguales a cero; de manera que cada desplazamiento corresponde a la dirección indicada en la matriz {q} las cuales son dirección en x, y e m(giro) en el extremo de la barra que se está analizando. Para la barra 1 tenemos:
{D} =
D10 D11 D12
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Comenzamos:
q1xi
48000,00
0,00
0,00
‐48000,00
0,00
0,00
0,000
1,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
q1yi
0,00
76,80
384,00
0,00
‐76,80
384,00
‐1,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000 0,000
q1mi
0,00
384,00
2560,00
0,00
‐384,00
1280,00
0,000
0,000
1,000
0,000
0,000
0,000
q1xj
=
‐48000,00
0,00
0,00
48000,00
0,00
0,00
0,000
0,000
0,000
0,000
‐1,000
0,000
0,244
q1yj
0,00
‐76,80
‐384,00
0,00
76,80
‐384,00
0,000
0,000
0,000
‐1,000
0,000
0,000
‐0,001
q1mj
0,00
384,00
1280,00
0,00
‐384,00
2560,00
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
1,000
‐0,049
q2xi
48000,00
0,00
0,00
‐48000,00
0,00
0,00
1,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,244
q2yi
0,00
76,80
384,00
0,00
‐76,80
384,00
0,000
1,000
0,000
0,000
0,000
0,000
‐0,001 ‐0,049
q2mi
0,00
384,00
2560,00
0,00
‐384,00
1280,00
0,000
0,000
1,000
0,000
0,000
0,000
‐48000,00
0,00
0,00
48000,00
0,00
0,00
0,000
0,000
0,000
1,000
0,000
0,000
0,244
q2yj
0,00
‐76,80
‐384,00
0,00
76,80
‐384,00
0,000
0,000
0,000
0,000
1,000
0,000
‐0,001
q2mj
0,00
384,00
1280,00
0,00
‐384,00
2560,00
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
1,000
0,057
q3xi
48000,00
0,00
0,00
‐48000,00
0,00
0,00
0,000
‐1,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,244
q3yi
0,00
76,80
384,00
0,00
‐76,80
384,00
1,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
‐0,001
0,00
384,00
2560,00
0,00
‐384,00
1280,00
0,000
0,000
1,000
0,000
0,000
0,000
0,057
q2xj
q3mi
=
=
q3xj
‐48000,00
0,00
0,00
48000,00
0,00
0,00
0,000
0,000
0,000
0,000
1,000
0,000
0,000
q3yj
0,00
‐76,80
‐384,00
0,00
76,80
‐384,00
0,000
0,000
0,000
1,000
0,000
0,000
0,000
q3mj
0,00
384,00
1280,00
0,00
‐384,00
2560,00
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
1,000
0,057
(Cada unos los recuadros son matrices) Efectuamos la multiplicación de estas matrices para cada barra por las formas ya explicadas y haciendo uso de una hoja Excel.
Ing. José Enrique Rosa Ribera
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FUERZAS INTERNAS EN COORDENADAS LOCALES
Ing. José Enrique Rosa Ribera
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tenemos como resultado
q1xi q1yi q1mi q1xj q1yj q1mj
q2xi q2yi q2mi q2xj q2yj q2mj q3xi q3yi q3mi q3xj q3yj q3mj
=
=
=
‐53,12 0,00 31,24 53,12 0,00 ‐31,24
0,00 3,12 ‐52,09 0,00 ‐3,12 83,33 46,88 62,50 312,52 ‐46,88 ‐62,50 312,52
Ing. José Enrique Rosa Ribera
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TENEMOS QUE HACER UNA CORRECCION EN LA BARRA 2 DEBIDO A LA TRANSFORMACION DE LA CARGA DISTRIBUIDA EN LAS CARGAS EQUIVALENTES. ESTA CORRECCION CONSISTIRA EN HACER UNA SUMA ALGEBRAICA DE LAS REACCIONES PRODUCIDAS POR LA CARGA DISTRIBUIDA SOBRE LA BARRA 2 COMO SI ESTA FUERA UNA VIGA DOBLEMENTE EMPOTRADA.
q2xi q2yi q2mi q2xj q2yj q2mj
q2xi q2yi q2mi q2xj q2yj q2mj
=
=
0,00 3,12 ‐52,09 0,00 ‐3,12 83,33
+ + + + + +
0 50 83,33 0 50 ‐83,33
=
0,00 53,12 31,24 0,00 46,88 0,00
0,00 53,12 31,24 0,00 46,88 0,00
Con las fuerzas internas ya nos es posible trazar los diagramas de fuerzas axiales, cortantes y momentos para cada barra.
Ing. José Enrique Rosa Ribera
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