Formulación Matricial Metodo de Las Fuerzas

1 ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

UNIDAD II SESION II ANÁLISIS ESTRUCTURAL POR MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES: FORMULACIÓN MATRICIAL

2.1 INTRODUCCIÓN Como Ingenieros, siempre hemos estado interesados en conocer el comportamiento de las estructuras ante la aplicación de un sistema de cargas, en este interés el Análisis Estructural nos permite conocer dicho comportamiento a través de la determinación de las deformaciones y esfuerzos que se presentan en las mismas, dicho interés ha llevado al desarrollo de métodos que nos permiten calcular dichas deformaciones y esfuerzos. Los métodos clásicos de análisis estructural desarrollado a fines del siglo XIX, tienen las cualidades de la generalidad, simplicidad lógica y elegancia matemática. Desgraciadamente, conducían a menudo a cálculos muy laboriosos cuando se los aplicaba en casos prácticos, y en aquella época, esto era un gran defecto. Por esta razón sucesivas generaciones de ingenieros se dedicaron a tratar de reducir el conjunto de cálculos. Muchas técnicas ingeniosas de gran valor práctico fueron apareciendo (Método de Cross), pero la mayoría de las mismas eran aplicable sólo a determinados tipos de estructu ras. La principal objeción a los primeros métodos de análisis fue que los mismos conducían a sistemas con un gran número de ecuaciones lineales, difíciles de resolver manualmente. El empleo de la notación matricial presenta dos ventajas en el cálculo de estructuras. Desde el punto de vista teórico, permite utilizar métodos de cálculo en forma compacta, precisa y, al mismo tiempo, completamente general. Esto facilita el tratamiento de la teoría de estructuras como unidad, sin que los principios fundamentales se vean oscurecidos por operaciones de cálculo, por un lado, o diferencias físicas entre est ructuras, por otro. Desde el punto de vista práctico, proporciona un sistema apropiado de análisis de estructuras y determina una base muy conveniente para el desarrollo de programas de computación. En contraste con estas ventajas, debe admitirse que los métodos matriciales se caracterizan por una gran cantidad de cálculo sistemático. Las virtudes del cálculo con computadora radican en la eliminación de la preocupación por las operaciones rutinarias, el ingenio necesario para preparar el modelo con que se pretende representar la realidad y el análisis crítico de los resultados. Se debe ser consciente que sin un modelo adecuado o sin una interpretación final, el refinamiento en el análisis carece de sentido. En el presente curso de Análisis Estructural se desarrollará el Análisis matricial de estructuras por el método de las flexibilidades o fuerzas y por el método de las rigideces o desplazamientos.

2.2 EL METODO DE LAS FLEXIBILIDADES FLEXIBILIDADES El Planteamiento general del Método de las fuerzas para resolver estructuras hiperestáticas, como se vio en el curso de Análisis Estructural I, se basaba en la liberación de fuerzas redundantes (reacciones hiperestáticas), consiguiéndose de esta manera una estructura isostática, estable y geométricamente continua, pero incompatible, esto debido a que como se CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS POR EL MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES


liberaron restricciones que hacían la estructura hiperestática, aparecían deformaciones incompatibles con la estructura real; para volverla compatible a la estructura, se procedía a calcular (por superposición) deformaciones por efecto de las cargas reales y a las redundantes liberadas, sobre la estructura primaria (a las deformaciones debido a las redundantes en forma de fuerzas unitarias se les denomina Flexibilidades, de allí el nombre del método) y con estas plantean las Ecuaciones de Compatibilidad, hallando de este modo el valor de las Reacciones Hiperestáticas, con las cuales aplicando las ecuaciones de la estática se terminaba por resolver completamente la estructura.

2.3 CÁLCULO MATRICIAL POR EL MÉTODO DE LAS FUERZAS En la presente unidad trataremos la solución de estructuras hiperestáticas por los métodos matriciales basados en el método de las Fuerzas, aplicados a estructuras bidimensionales formadas por barras (armaduras) y vigas (pórticos). Este mismo esquema puede ser extendido a otras formas de discretizar una estructura o un medio continuo. De hecho, el método de los Elementos Finitos es la extensión del método de cálculo matricial donde se trata con elementos que no son solo barras, sino volúmenes de distintas formas geométricas que modelan un mayor número de problemas mecánicos o físicos. En todo el desarrollo del método aceptaremos las hipótesis generales en las que normalmente se desarrolla la Teoría de Estructuras, esto es, comportamiento elástico y lineal del material y estado de pequeños desplazamientos. Aunque el cálculo matricial está pensado para que las ecuaciones finales las resuelva un ordenador, existe un paso fundamental que es responsabilidad del calculista y que no podrá ser realizada por un ordenador. Se trata de la modelización del pro blema y de su correcta disc retización . El cálculo puede estar bien realizado pero de nada sirve si el problema no responde a la realidad que pretendemos representar. La discretización consiste en la representación del comportamiento de un medio continuo (la estructura) por medio de un conjunto finito de variables , en nuestro caso fuerzas aplicadas sobre el sólido y desplazamientos. Este número finito de variables, para nuestro caso son fuerzas redundantes.

2.4 PRINCIPIOS DEL ANÁLISIS

2.4.1 Principio de Compatibilidad: Los desplazamientos nodales deben ser consistentes y debe existir continuidad entre estos y las deformaciones en los extremos de los elementos. Matricialmente se puede escribir la ecuación de Continuidad como:

{e}=[a]{u} Donde {e} es el vector deformaciones, {u} es el v ector desplazamientos y [a] es la matriz de continuidad o matriz de transformación de desplazamientos, que depende de la geometría de la estructura.

2.4.2 Relaciones

Constitutivas:

Las deformaciones se consideran relacionadas linealmente con los esfuerzos mediante la ecuación constitutiva de la ley de Hoocke, que matricialmente se puede escribir como:

CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS POR EL MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES


{e}=[f]{s} Donde {e} es el vector deformaciones, {s} representa a los esfuerzos y [f] es la matriz de flexibilidades de las barras que forman parte de la estructura, es cuadrada y diagonal, de orden igual al número de barras.

2.4.3 Principio de Equilibrio: Debe haber equilibrio entre los esfuerzos internos y las fuerzas de c uerpo (externas), aplicadas a la estructura:

{R}=[a]T{s} Donde {R} es el vector cargas, {s} representa a los esfuerzos y [a] T es la transpuesta de la matriz de continuidad.

2.5 FORMULACIÓN DEL CALCULO MATRICIAL POR EL MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDAES 2.5.1 Matriz de Transformación de Fuerza. A partir de la ecuación de equilibrio, para una estructura estáticamente determinada, podemos escribir las fuerzas internas {S}, en función de las fuerzas nodales {R}: {S}= [b]{R} Donde [b] es la matriz, generalmente rectangular, denominada Matriz de Transformación de Fuerza, relaciona las fuerzas internas con las fuerzas externas. Cada elemento de la matriz [b], representa una componente de la fuerza interna S(i), producida por una fuerza externa unitaria R(i). Para una estructura hiperestática, se puede definir: {S}= [bR]{R}+[b x]{X} Donde [bR] es la matriz de transformación de fuerza de una estructura primaria (isostática), {R} es el vector fuerzas externas reales aplicadas en los nudos, [bx] es la matriz de transformación de fuerza considerando las redundantes liberadas como fuerzas externas aplicadas en los nudos. Escribiendo de otra manera compacta: {S}= [bR|bx] R X CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS POR EL MÉTODO DE LAS FLEXIBILIDADES


Donde bR y bx son las matrices de transformación de fuerza que nos representan las influencias de las cargas R conocidas, y las acciones hiperestáticas (redundantes) sobre las fuerzas internas de los elementos, por separado.

2.5.2 Condición de Compatibilidad en el Método de las Fuerzas. Al establecer una estructura primaria isostática, liberando tantas redundantes como reacciones hiperestáticas tenga una estructura, estamos volviéndola incompatible, ya que aparecerán deformaciones que no son reales, para salvar esta condición se debe plantear las ecuaciones de compatibilidad, con lo cual se establece la siguiente condición: Ux =0

En donde Ux es el sub vector deformaciones nodales del sistema que corresponden a las redundantes hiperestáticas.

2.5.3 Relación Fuerza- Desplazamiento, Coeficiente de Flexibilidad, Matriz de Flexibilidad. Para un elemento de una estructura la deformación que ocurre en sus extremos, se puede escribir como: u=fS o escrita en forma matricial {ua}=[f a]{Sa} La relación anterior se conoce como relación Fuerza Desplazamiento y el {u a} es el vector deformaciones del elemento a, el vector {Sa} son las acciones internas o esfuerzos del mismo elemento y la matriz [f a] es la matriz de flexibilidad del elemento a. Matriz de Flexibilidad de Barra de Pórtico Plano

a

f =S=

L/EA

0

0

0

L /3EI

3

L /2EI

0

L /2EI

2

L/EI

2

Matriz de Flexibilidad de una barra de armadura:

a f = L/EA

Para una estructura compuesta por varios elementos: {u}=[f]{S} Donde la matriz [f] es una matriz diagonal que contiene las matrices de flexibilidad de los elementos de la estructura.



Para una Estructura isostática se puede escribir los desplazamientos nodales como: u= b T*f*b*R En donde bT: es la transpuesta de la matriz de transformación de Fuerza, b: la matriz de transformación de Fuerza y R el vector cargas Nodales y f es la matriz diagonal de flexibilidad que contiene las flexibilidades de los elementos que conforman la estructura. Si hacemos: F= b T*f*b En donde F es la matriz total de flexibilidad o la matriz de Flexibilidad del sistema. Entonces se puede escribir: u= F*R Para un sistema hiperestático se tiene: u = b RT*f*bR*R + bRT*f*bx*X y ………….(1) ux= b XT*f*bR*R + bXT*f*bx*X …………..(2) o u = F RR *R + ux= F XR *R +

F RX *X F XX *X

y ……………………..(3) ……………………..(4)

Siendo: T

f*bR f*bx f*bR f*bx

F RR = b R * T F RX = b R * T F XR = b X * T F XX = b X *

O escrita matricialmente: u ux

= =

FRR

FRX

FXR

FXX

R * X

Para estructuras sobre apoyos rígidos: u ux=0

= =

FRR

FRX

FXR

FXX

R * X

Siendo la Condición de compatibilidad: FXRR+FXXX=



Luego la redundante se calcula: -1

X=

-FXX *FXRR

Para calcular los desplazamientos nodales u, reemplazamos el valor de las Redundantes X en la ecuación (3). -1

u= (FRR-FRX*FXX *FXR)*R o u= F'*R

Donde: -1

F'= FRR-FRX*FXX *FXR

F’: es la matriz de flexibilidad de la estructura hiperestática.

Para obtener las deformaciones en las barras, hacemos uso de la ecuación de constitutiva:

{e}=[f]{s} Ahora podemos comprobar que la solución obtenida sea única (correcta):

[b X]T*{e}= 0

2.6 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS POR EL MÉTODO DE LAS FUERZAS. Determinar el grado de hiperestaticidad de la estructura. Definir la estructura primaria isostatizada. Definir las fuerzas externas en Nudos R. Calcular las matrices de transformación de Fuerzas br y bx, la matriz br, como se dijo es una matriz rectangular, cuyas filas es igual al número de barras de la estructura y las columnas representan los esfuerzos en las barras calculadas para fuerzas nodales unitarias R. La matriz bx, es la contiene los esfuerzos calculados en las barras para cargas unitarias debido a las redundantes hiperestáticas. Para hallar la matriz br, se resuelve la estructura primaria aplicando cargas unitarias en los nudos donde existen cargas nodales R, y para hallar la matriz bx se resuelve la estructura primaria para cargas unitarias que representan las redundantes. a e. Se determinan las matrices de flexibilidad f , de cada elemento las cuales formaran parte de la matriz diagonal de flexibilidad (f) de la estructura. f . Se determinan las matrices de flexibilidad FXR y F XX con: a. b. c. d.

F XR = F XX =

b XT*f*bR b XT*f*bx

g . Se calcula la inversa de F XX h . Se calculan las redundantes con: X=

-1

-FXX *FXRR



i.

El valor de las redundantes se reemplaza en: {S}= [b R]{R}+[b x]{X}, para hallar los esfuerzos en las barras.

j .

Otra forma de hallar los esfuerzos en las barras es mediante la ecuación: S=b’R

En donde

b’=bR -

bX*FXX-1*FXR

k . Los desplazamientos nodales u se calculan mediante:

u= F’ R siendo F ’=bRT*f*b’ l.

Calcular las deformaciones en las barras con:

{e}=[f]{s} APLICACIÓN A ARMADURAS SOBRE LA OBTENCIÓN DE LAS MATRICES b R y bX. Para el caso de armaduras, para hallar las matrices b R y bX, se tiene que resolver una estructura primaria isostática que es una sub estructura de la hiperestática, pero tantas veces como cargas nodales tenga la estructura (para bR); una segunda alternativa de resolver sería hacer {S R}=[bR]R, lo cual implica resolver la estructura primaria para las cargas reales, con lo cual se ahorraría tiempo de cálculo, quedando la expresión {S}= S R+[bx]{X}, (Arturo Tena Colunga, 2007). Como tercera alternativa, las matrices en cuestión pueden calcularse a partir de la Matriz de Equilibrio o Continuidad [a]; en la Ecuación de Equilibrio {R}=[a]T{s}, se puede dividir la matriz [a] en a R y a X, que son respectivamente, la matriz de equilibrio de la estructura primaria y la matriz de equilibrio asociada a las redundantes del sistema, así: T

[a] =

[[aR]T

]

T

[aX]

En donde aR y a X tendrán tantas filas como barras tenga la armadura y en el caso de aR tendrá tantas columnas como grados de libertad tenga la estructura primaria, y b X tendrá tantas columnas como redundantes tenga el sistema. Luego operando convenientemente en la ecuación de equilibrio, se llega a la expresión: (Arturo Tena Colunga, 2007).



T -1

[S]=

T -1

[aR ]

-[aR ] [aX]

[0]

[I]

T

{R} {x}

En donde:

[bR]=

T -1

[aR ]

y

[0]

T -1

[bX]= -[aR ] [aX] [I]

T

ENSAMBLADO DE LA MATRIZA [a]:

A partir de la ecuación de continuidad determinar la matriz de continuidad o de transformación de desplazamientos, la cual está dada por: k Nudo j

[a]= i -{u i}

Nudo k

T

{ u i}

i

T

y θ i

j

x

Donde i es el número de barra, nudo j y nudo k (con grados de libertad), inicio y fin de la barra, respectivamente, { ui} es el vector posición de la barra respecto al eje coordenado x,y y θ es el ángulo que forma el elemento con el eje x positivo, medido en sentido anti horario.

{ui}=

cos θi sen θi


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