ANALISIS MATRICIAL MATRICIAL DE ESTRUCTURAS ESTRUC TURAS POR
EL METODO DE LA
RIGIDEZ Introducción Como Ingenieros, siempre hemos estado interesados en conocer el comportamiento de las estructuras ante la aplicación de un sistema de cargas, en este interés el Análisis Estructural nos permite conocer dicho comportamiento comportamiento a través de la determinación de las deformaciones y esfuerzos que se presentan en las mismas. , dicho interés ha llevado al desarrollo de métodos os métodos clásicos de análisis estructural desarrollados a fines del siglo !I!, tienen las cual cualid idad ades es de la gene genera rali lida dad, d, simp simpli lici cida dad d lógi lógica ca y eleg elegan anci cia a mate matemá máti tica ca.. "esgraciadamente, "esgraciadamente, conduc#an a menudo a cálculos muy la$oriosos cuando se los aplica$a en casos prácticos, y en aquella época, esto era un gran defecto. %or esta razón sucesivas generaciones de ingenieros se dedicaron a tratar de reducir el con&un con&unto to de cálcul cálculos. os. 'uchas 'uchas técni técnicas cas ingeni ingeniosa osas s de gran gran valor valor prácti práctico co fueron fueron aparecie apareciendo ndo ('étodo ('étodo de Cross), Cross), pero la mayor#a de las mismas mismas eran aplica$l aplica$le e sólo sólo a determinados tipos de estructuras. a principal o$&eción a los primeros métodos de análisis fue que los mismos conduc#an a sistemas con un gran n*mero de ecuaciones lineales, dif#ciles de resolver manualmente. El empleo de la notación matricial presenta dos venta&as en el cálculo de estructuras. "esde el punto de vista teórico, permite utilizar métodos de cálculo en forma compacta, precisa y, al mismo tiempo, completamente general. Esto facilita el tratamiento de la teor#a de estructuras como unidad, sin que los principios fundamentales se vean oscurecidos por operaciones de cálculo, por un lado, o diferencias f#sicas entre estructuras, por otro. "esde "esde el punto punto de vista vista prácti práctico, co, propo proporci rciona ona un sistem sistema a apropi apropiado ado de análi análisis sis de estructura estructuras s y determin determina a una $ase muy conveni convenient ente e para para el desarro desarrollo llo de program programas as de computación. En cont contra rast ste e con con esta estas s vent venta& a&as as,, de$e de$e admi admiti tirs rse e que que los los méto método dos s matr matric icia iale les s se caracterizan por una gran cantidad de cálculo sistemático as virtudes del cálculo con computadora computadora radican en la eliminación de la preocupación preocupación por las operaciones rutinarias, el ingenio necesario para preparar el modelo con que se pretende representar la realidad y el análisis cr#tico de los resultados. +e de$e ser consciente que sin un modelo adecuado o sin una interpretación final, el refinamiento en el análisis carece de sentido. En el presente curso de Análisis Análisis Estructural se desarrollará el Análisis Análisis matricial de estructuras por el método de las rigideces.
EL METODO DE LA RIGIDEZ Este método ya fue visto en el curso de Análisis Estructural I, el cual consist#a en analizar una estructura introduciendo en la misma, deformaciones unitarias en sus nudos, ante las cuale cuales s la estru estructu ctura ra reacci reacciona ona prese presenta ntand ndo o esfue esfuerzo rzos s que que pued pueden en ser ser de tracci tracción ón o compresión, corte y fleión, ca$e se-alar que cada deformación introducida en los nudos representa los grados de li$ertad que tienen los nudos para deformarse o desplazarse en el espacio. En este método se consideran a los desplazamientos de los nudos (traslaciones y rotaciones) como las incógnitas inmediatas. +e escri$en ecuaciones de equili$rio en cada nudo de la estructura en términos de a) las cargas aplicadas, /) las propiedades de los elementos que se conectan al nudo y c) los desplazamientos desconocidos de los nudos. +e tiene as# un con&unto de ecuaciones alge$raicas lineales, en donde cada incógnita representa un desplazamiento, que pueden resolverse simultáneamente para encontrar los
desplazamientos de los nudos. Estos desplazamientos se usan luego para determinar las fuerzas (o momentos) internas en los elementos as# como las reacciones en los apoyos.
0ig. a
a rigidez de un nudo se define generalmente como la fuerza (o momento) necesaria para producir un desplazamiento unitario o rotación en el nudo, si en todos los nudos restantes de la estructura no se permite ning*n tipo de desplazamiento. %ara este análisis consideraremos el resorte lineal de la figura a. la relación entre la fuerza aplicada F y el alargamiento x del resorte puede epresarse como F=kx
En la Epresión 1 es la constante del resorte o la fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario. Escri$iendo la ecuación en forma general y matricial
[F]=[][!] "onde 2 son los desplazamientos.
D"t"r#in$ción d" %$ M$tri& d" Ri'id"& Analizaremos de forma general una $arra inclinada en el plano $idimensional local y, que tra$a&a fleo3compresión (viga 3 columna).
Cada uno de los esfuerzos producidos al li$erar giros y desplazamientos verticales, pueden calcularse haciendo empleo de las ecuaciones de momentos y cortantes del método de las deformaciones angulares. %ara cada desplazamiento o giro li$erado se puede escri$ir en forma matricial
EA+L , , -EA+L , 0 / , ./EI+L 1EI+L , -./EI+L0 06& , 1EI+L/ 2EI+L , -1EI+L/ 06y& -EA+L , EA+L , =, '6z& 0 / , -./EI+L -1EI+L , ./EI+L0 061 , 1EI+L/ /EI+L , -1EI+L/ 06y1 [F(]=[(])[u(]...............................................(4)
, 1EI+L/ /EI+L , -1EI+L/ 2EI+L
06z1
u6& Escri$iendo en forma u6y& compacta * u6z& u61 u6y1 u6z1
"onde 5067 8epresenta a las fuerzas en los etremos de la $arra en e&es locales. 5167 'atriz de rigidez local del elemento &1. 5u67 'atriz de deformaciones locales de los nudos & y 1. a ecuación (4) para el sistema y en coordenadas glo$ales será
[F]=[*])[U]...............................................(/) "onde 507 8epresenta a las fuerzas en los nudos de la estructura en coordenadas glo$ales. 597 'atriz de rigidez glo$al del sistema. 5:7 'atriz de deformaciones glo$ales de los nudos.
%ara resolver la estructura se resuelve la ecuación (/) hallando los desplazamientos en coordenadas glo$ales y luego se calcula los desplazamientos locales y con estos los esfuerzos en los nudos de cada elemento.
C$r'$3 nod$%"3 "4ui5$%"nt"3 ;asta ahora hemos supuesto que las cargas esta$an aplicadas en los nudos, y por lo tanto eiste una correspondencia $iun#voca entre los puntos de aplicación de las cargas y los desplazamientos que están siendo calculados. +i esto no ocurriera, por e&emplo tuviéramos cargas en el tramo de las $arras, en forma distri$uida o concentrada, de$emos sustituir las cargas en las mismas por un sistema de cargas equivalentes aplicadas en los nodos que produzca en la estructura el mismo efecto que las cargas originales.
%odemos descomponer las cargas tal como se indica en la figura
Como
podemos o$servar las cargas, reacciones y deformaciones de la estructura a) serán equivalentes a la suma de los dos estados $) y c). Como las deformaciones de nodos en $) son nulas, serán iguales las deformaciones de los casos c) y a). < sea que las cargas de c) producen la misma respuesta estructural en lo referente a desplazamientos de nudos que las cargas originales. Estas serán entonces las cargas equivalentes en los nudos, que no son más que las reacciones de empotramiento perfecto cam$iadas de signo.
%or lo tanto esfuerzos en los etremos de $arra (esfuerzos finales en $arras o elementos mecánicos) se o$tienen por la suma de los casos ($) y (c). 06a=06$>06c %ero 06$=16u6, por lo tanto, los esfuerzos finales para elementos cargados será
[F(]=[(] [u(]6[F(c]
Rot$ción d" "7"3 "n "% 8%$no ;asta el momento epresamos la matriz de rigidez del elemento $arra, seg*n un sistema de e&es locales, estando los desplazamientos y esfuerzos de etremo de $arra referidos a los mismos.
?omaremos por lo tanto como e&e el que coincide con el e&e geométrico de la pieza y
los e&es y y z coincidentes con los e&es principales de la sección transversal. ?al sistema pertenece a la $arra, y no depende de la orientación de la misma en la estructura y lo denominaremos sistemas de e&es locales. %or el contrario, cuando las piezas se unen entre s# para formar la estructura, es necesario tener un sistema de coordenadas com*n para todos los movimientos y esfuerzos de etremo de $arras, a dicho sistema lo denominaremos sistema de e&es glo$ales.
+upongamos el vector : de la figura referido al sistema de e&es ! e @. as componentes del mismo serán :=.cosB y :y=.senB.(4)
En el sistema de e&es e y, las componentes serán :=:cos(B3D) y :y=:.sen(B3D).(/)
uego :=:.cosα.cosθ>:.senα.senθ……………………………..(3) :y=:.senα.cosθ3:.cosα.senθ…………………………….(4)
8eemplazando (4) en () y (F). :=:.cosθ>:y.senθ :y=3:.senθ>:y.cosθ
En forma matricial
: = :y
cosθ θ 3sen:
senθ
*
cosθ
:y En forma compacta
5:67=5?7G5:7, donde 5?7 es la matriz de rotación. Cam$iando de notación, en coordenadas locales u6 y en coordenadas glo$ales u.
[u(]=[T])[u]
(H)
?anto las solicitaciones como los desplazamientos pueden epresarse como vectores en el plano, podemos entonces aplicar la transformación lineal antes vista para llevar los esfuerzos y desplazamientos de etremos de $arra del sistema local al glo$al.
[u(] &=[T])[u] &
()
[u(]1=[T])[u]1 (J)
Escri$iendo en forma compacta [u(] =[T])[u]
(K)
"onde 5u67 es el vector deformación de la $arra, incluye los dos nudos, en e&es locales. 5u7 es el vector deformación de la $arra en e&es glo$ales. 5?7 es la matriz transformada de , ya que considera los dos nudos de la $arra.
'ediante análisis matemático se calcula que la matriz 5?7, transformada, para un elemento en el plano $idimensional es
5?7 =
cosθ 3senθ M M M M
senθ cosθ M M M M
M M 4 M M M
M M M cosθ 3senθ M
M M M senθ cosθ M
M M M M M 4
'ediante análisis matemático se demuestra que la inversa de la matriz 5?7 es igual a su transpuesta, (matriz ortogonal). Ahora, del mismo modo se tiene, para las solicitaciones (fuerza eternas)
[F(]=[T])[F] .(L) [F]=[T]T)[F(].(4M)
Además de la ecuación (4) se sa$e que
[F(]=[(])[u(]...............................................(4) 8eemplazando (4) y (K) en (4) se tiene
[F]=[T]T)[(] [T][u].(4M) @
[F]= [] [u].(44) @
[]= [T]T)[(] [T] donde 517 es la matriz de rigidez de la $arra en coordenadas glo$ales.
8E+:'EN "E 'O?<"<. +I+?E'A?IPACIQN %8RC?ICA. 4.
{F}=
M 0y1 'z1 F.
Ensam$lar el vector S0T del sistema, cuya dimensión será el n*mero de incógnitas del sistema.
H. Introducir en el vector S0T las cargas eternas aplicadas en los nudos seg*n corresponda. . Calcular la matriz 5?7 y 5?7? de cada elemento de acuerdo a la inclinación del mismo. J. Calcular la matriz de rigidez en e&es locales, separando filas y columnas de las restricciones, cuya dimensión es de . K. %aso de locales a glo$ales de cada matriz de rigidez de las $arras, previo cálculo en locales de las mismas.
[]= [T]T)[(] [T]
9. Ensamblar la matriz de rigidez global, c!a dimensi"n es igal al n#mero de inc"gnitas del sistema $ara resol%er el mismo. Ecaci"n matricial global& [F]= [*] [U] "onde
[F]9 ector fuerzas del sistema calculado en el paso F. [*]9 'atriz de 8igidez Ulo$al ensam$lada en el paso J. [U]9 ector deformaciones glo$ales, incógnitas del sistema, formado en el paso /. 4M. %roceso de retorno a. %asar las deformaciones glo$ales a locales en cada $arra [u(] =[T])[u]
$. Calcular los esfuerzos en cada $arra [F(]=[(] [u(]6[F(c]
506c7 vector fuerzas empotramiento perfecto.
44. Uraficar esfuerzos cortantes y 'omentos flectores se sigue el mismo criterio de trazado de gráficas para el método de Cross.
Ferza de Em$otramiento 'er(ecto.
-MA=L/ +./ FA=-L+/ M@= L/ +./ F@=-L+/
L L/
L/
M@= PL+B F@=-P+/
L a
-MA=PL+B FA=-P+/
b
-MA=P$L6/$?+L0
L
M@= P<$/ +L/ FA=- P$/>L6/
E:EMPLOS DE APLICACI;N9
