Magíster en Ingeniería Estructural y Geotécnica
ENUNCIADOS 1. Plantear la ecuación de equilibrio para una modificación del reticulado visto en clase consistente en que el apoyo de la derecha se cambia por un deslizante horizontal y se agrega una barra que une las dos rótulas (figura) y verificar si al tratar de resolver para carga horizontal unitaria en nudo A MATLAB entrega un diagnóstico que implica que la matriz de equilibrio es singular. Si tal es el caso, modifique la geometría con un cambio muy pequeño en las coordenadas del nudo B, y resuelva; modifique dividiendo por 2, por 4, por 8, y por 16 las variaciones de las coordenadas de B, y vea que va sucediendo con las tensiones. 2. Plantear la ecuación de equilibrio para un reticulado de cuerdas paralelas a distancia 3.5m, con montantes cada 4m, y luz de 64m con diagonales en cada uno de los 16 paneles (inclinadas hacia abajo en los 8 primeros paneles y hacia arriba en los restantes); la estructura está rotulada en el nudo izquierdo inferior y tiene un deslizante en el nudo derecho inferior. Resolver para dos estados de carga; uno con carga gravitacional de 1 ton en todos los nudos de la cuerda inferior; el otro con el doble de carga vertical en los nudos de la mitad izquierda del reticulado. Rehacer considerando la sujeción y la carga gravitacional en los correspondientes nudos nud os de la cuerda superior; comparar los resultados en los elementos más solicitados. 3. Escribir una función de MATLAB que entregue la matriz de equilibrio de una barra uniaxial tridimensional dadas las coordenadas x 1 ,y 1 ,z1 ,x 2 ,y 2 ,z2, de los dos extremos; también debe entregar la longitud de la barra, y los tres cosenos directores de ella (antes es necesario deducir las fórmulas correspondientes). Usar la función para resolver un reticulado formado por tres barras de igual longitud 3m, rotuladas entre sí en sus extremos superiores, y rotuladas a tierra en puntos de un plano horizontal que forman un triángulo equilátero de lado 2m. Resolver para carga de dirección arbitraria que actúa en el vértice.
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DESARROLLO
EJERCICIO 1
1. Plantear la ecuación de equilibrio para una modificación del reticulado visto en clase consistente en que el apoyo de la derecha se cambia por un deslizante horizontal y se agrega una barra que une las dos rótulas (figura) y verificar si al tratar de resolver para carga horizontal unitaria en nudo A M ATLAB entrega un diagnóstico que implica que la matriz de equilibrio es singular. Si tal es el caso, modifique la geometría con un cambio muy pequeño en las coordenadas del nudo B, y resuelva; modifique dividiendo por 2, por 4, por 8, y por 16 las variaciones de las coordenadas de B, y vea que va sucediendo con las tensiones.
-Numeración de GsDL y geometría Haciendo a=1
Fig. 1 Esquema de numeración de GsDL del reticulado
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-Matriz de incidencia
1 3 5 7 11 13 a= 15 1 1 15 5 3 1
2
3
4
4
5
6
6
7
8
9
12
9
14 11 16 13
10 10 12 14 16 8 10 12 14 8
2
15
2
7
16
9
6
11
4
13
2
11 12
-Matriz de equilibrio de cada elemento
0 1 C1=C5= 0
0.7071 0.7071 C2=C6= C9 = C10 = 0.7071
1 0 C3=C7= C13= 1
0.7071 0.7071 C4=C8= C11= C12= 0.7071
1
0.7071
0
0.7071
-Pre-localización de la matriz C C = C26 13 -Formación de la matriz de equilibrio de la estructura a=[1 2 3 4] C(a,1)=C1 a=[3 4 5 6] C(a,2)=C2 a=[5 6 7 8] C(a,3)=C3 a=[7 8 9 10] C(a,4)=C4 a=[11 12 9 10] C(a,5)=C1
a=[13 14 11 12] C(a,6)=C2
a=[15 16 9 10] C(a,10)=C2
a=[15 16 13 14] C(a,7)=C3
a=[5 6 11 12] C(a,11)=C4
a=[1 2 15 16] C(a,8)=C8
a=[3 4 13 14] C(a,12)=C4
a=[1 2 7 8] C(a,9)=C2
a=[1 2 11 12] C(a,13)=C3
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0 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.7071 0.7071
0
0
0
0.7071
0
0
0
0
0
0
0
0.7071
0
0
0
0
0.7071
0
0
0
0.7071
0
0
0
0
0.7071
0
0
0.7071
0
0
0
0
0.7071
0
0
0
0
0
0.7071
0
0
0
0
0.7071
0
0
0
0
0
0.7071
0
1
0
0
0.7071
0
0
0
0
0
0.7071
0
0
0
0
0.7071
0
0
0.7071
0
0
0
0
0.7071
0
0
0
0.7071
0 0 0 0 0 0 0.7071 0 1 0.7071 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.7071 1 0 0 0 0 0 0 0.7071 0 0 0 1 0.7071 0 0 0 0 0 0 0 0.7071 0 0 0 0 C= 0 0 0 0.7071 0 0 0 0 0 0 0 0.7071 1 0 0 0 0 0 0 0 0.7071 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.7071 0 0 0 0 0 0.7071 1 0 0 0 0 0 0 0.7071 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.7071 0 0 0 0 0 0 0.7071 0
-Vector de carga Q Q=zeros(16,1) Q(5)=1
0 0
0 0 1 0 0 0 Q= 0 0 0 0 0 0 0 0
1
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-Eliminación de las líneas correspondientes a los GDsL restringidos en la matriz de equilibrio y en el vector de carga. GDsL restringidos r=[ 1 2 12 ] Eliminando las líneas correspondientes C(r,:)=[ ] Q(r,:)=[ ] -Ecuación de equilibrio de la estructura
F=C\Q F1
0 0.7071
0
0
0
0
1 0.7071 0 0 0 0 F2 0 0 0 F3 0 0.7071 1 F4 0 0.7071 0 0 0 0 0 1 0.7071 0 0 F5 0 0 0 0.7071 0 0 F6 0 F7 0 0 0 0.7071 0 0 = 0 0 0.7071 1 0 F8 0 F9 0 0 0 0 0 0.7071 F10 0 0 0 0 1 0.7071 0 0 0 0 0.7071 F11 0 F12 0 0 0 0 0 0.7071
F13
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.7071
0
0
0
0
0
0
0
0.7071
0
0
0
0
0
0.7071
0
0
0
0
0
0.7071
0
0
0
0.7071
0
0
0
0
0
0.7071
0
0
0
0
0
0
0.7071
0
0
0
0
0
0.7071
0
0
0
0
0
0
0.7071
0
0
0
0
0
0.7071
0
1
0
0
0
0
0.7071
0
0
0
0
0
0.7071
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
0.7071
0
0.7071
0
0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
\
0
Al resolver utilizando Matlab da como resultado que la matriz de equilibrio es singular. Quiere decir que aún efectuando el cambio de la derecha por un apoyo deslizante horizontal y se agrega una barra entre las dos rótulas se mantiene que una parte de la estructura (barra AB) sea un mecanismo. Por lo que se continuara con el ejercicio modificando la coordenada de B. -Modificando las coordenadas de B deltab=0.1 m (Fig.2)
0
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Fig. 2 Modificación de las coordenadas de B
Realizando la modificación de aumentarle 0.1m a la coordenada B y luego dividiendo esa modificación a la coordenada B entre 2, 4, 8 y 16 y utilizando el script “ejercicio1” (adjunto
en archivo comprimido) se presentan los siguientes resultados: Fuerzas
Coordenada de B+deltab
Dividiendo B entre 2
Dividiendo B entre 4
Dividiendo B entre 8
Dividiendo B entre 16
F1 F2
-3.7279 -2.636
-7.8701 -5.565
-16.154 -11.423
-32.723 -23.139
-65.86 -46.57
F3
-4.4447
-8.5822
-16.864
-33.431
-66.568
F4 F5
-2.9435 -4.1421
-5.8652 -8.2843
-11.719 -16.569
-23.433 -33.137
-46.864 -66.274
F6
-2.636
-5.565
-11.423
-23.139
-46.57
F7 F8
-3.7279 -2.636
-7.8701 -5.565
-16.154 -11.423
-32.723 -23.139
-65.86 -46.57
F9
3.636
6.565
12.423
24.139
47.57
F10 F11
2.636 2.2218
5.565 5.1508
11.423 11.009
23.139 22.724
46.57 46.156
F12
2.636
5.565
11.423
23.139
46.57
F13
0.29289
0.29289
0.29289
0.29289
0.29289
Tab. 1 Fuerzas en los elementos modificando las coordenadas de B
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Haciendo las modificaciones en las coordenadas de B la matriz de equilibrio deja de ser singular y la operación puede realizarse lo que da como resultado las tensiones que se muestran en la columna 2 de la Tab. 1. Al dividir la modificación de la coordenada B (deltab) entre 2,4,8,16 se obtiene que las tensiones se amplifican aproximadamente en el mismo factor por el que se dividió la modificación de B y eso hace que mientras la modificación en las coordenadas de B se hace más pequeña las tensiones van aumentando. La modificación en las coordenadas de B genera cambios en los esfuerzos internos de las barras, pero globalmente las reacciones de los apoyos se mantienen constante lo que explicaría por qué el esfuerzo interno de la barra 13 se mantiene constante. Esto quiere decir que la variación de los esfuerzos en la barra 13 no depende de la modificación de las coordenadas de B, sino que dependen de los efectos que los apoyos le produzcan. EJERCICIO 2
Plantear la ecuación de equilibrio para un reticulado de cuerdas paralelas a distancia 3.5m, con montantes cada 4m, y luz de 64m con diagonales en cada uno de los 16 paneles (inclinadas hacia abajo en los 8 primeros paneles y hacia arriba en los restantes) (Fig. 3 (a)); la estructura está rotulada en el nudo izquierdo inferior y tiene un deslizante en el nudo derecho inferior. Resolver para dos estados de carga; uno con carga gravitacional de 1 ton en todos los nudos de la cuerda inferior; el otro con el doble de carga vertical en los nudos de la mitad izquierda del reticulado. Rehacer considerando la sujeción y la carga gravitacional en los correspondientes nudos de la cuerda superior; comparar los resultados en los elementos más solicitados.
-Estados de carga Sujeción en los nudos inferiores a) Carga gravitacional de 1 ton en todos los nudos de la cuerda inferior (Fig. 3 (b)). b) Carga gravitacional de 2 ton en los nudos de la cuerda inferior de la mitad izquierda del reticulado (Fig. 4 (a)). Sujeción en los nudos superiores c) Carga gravitacional en todos los nudos de la cuerda superior (Fig. 4 (b)). d) Carga gravitacional de 2 ton en los nudos de la cuerda superior de la mitad izquierda del reticulado (Fig. 5 (a)). -Numeración de GsDL En la Fig. 5 (b) se muestra el esquema de la numeración de los GsDL de la estructura.
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(b)
(a)
Fig. 3 (a) Esquema del reticulado, (b) Estado de carga gravitacional de 1 ton en todos los nudos de la cuerda inferior
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b b
(a)
Fig. 4 (a) Estado de carga gravitacional de 2 ton en los nudos de la cuerda inferior de la mitad izquierda del reticulado, (b) Estado de carga gravitacional de 1 ton en todos los nudos de la cuerda superior
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a
(b)
Fig. 5 (a) Estado de carga gravitacional de 2 ton en los nudos de la cuerda superior de la mitad izquierda del reticulado, (b) Esquema de numeración de GsDL del reticulado
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-Matriz de incidencia La numeración de los GsDL y la identificación de los elementos efectuado en el paso anterior permite que sumándole 4 a cada elemento de una fila de la matriz de incidencia se convierta en la siguiente. También a partir de la numeración e identificación se forman algunos patrones en la matriz de incidencia lo cual se muestra a continuación: Desde el elemento 1 al 17 el patrón en la matriz de incidencia es el siguiente:
1
2
3
4
5
6
7
8
.
.
.
.
.
.
.
.
65
66 67 68
Desde el elemento 18 al 33 el patrón en la matriz de incidencia es el siguiente:
3
4
7 . .
8
63
7
8
11 12
.
.
.
.
.
.
64 67 68
Desde el elemento 34 al 49 el patrón en la matriz de incidencia es el siguiente:
1
2
5
6
5 . .
6
9
10
.
.
.
.
.
.
61
62 65 66
Desde el elemento 50 al 57 el patrón en la matriz de incidencia es el siguiente:
3
4
5
6
7 . .
8
9
10
.
.
.
.
.
.
31
32 33 34
Desde el elemento 58 al 65 el patrón en la matriz de incidencia es el siguiente:
33
34 39 40
37 . .
38 43 44
61
62 67 68
.
.
.
.
.
.
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-Matriz de equilibrio de cada elemento
0 1 C1:C17= 0
1 0 C18=C49= 1
0.7526 0.6585 C50=C57= 0.7526
0.7526 0.6585 C58=C65= 0.7526
1
0
0.6585
0.6585
-Pre-localización de la matriz C C = C68 65 -Formación de la matriz de equilibrio de la estructura Patrón 1
1
2
3
4
5
6
7
8
.
.
.
.
.
.
.
.
Patrón 4
3
4
5
6
7 . .
8
9
10
.
.
.
.
.
.
65
66 67 68
Para i=1:17 C(a(i,:),i)=C1 Patrón 2
3
4
7
8
.
.
.
.
.
.
.
.
63
7
8
11 12
31
32 33 34
Para i=50:57 C(a(i,:),i)=C50
64 67 68
Para i=18:33 C(a(i,:),i)=C18
Patrón 5
Patrón 3
33
34 39 40
37 . .
38 43 44
61
62 67 68
1
2
5
6
5
6
9
10
.
.
.
.
.
.
.
.
61
62 65 66
Para i=34:49 C(a(i,:),i)=C18
.
.
.
.
.
.
Para i=58:65 C(a(i,:),i)=C58
Magíster en Ingeniería Estructural y Geotécnica Utilizando el comando “spalloc” en Matlab, la matriz de equilibrio queda de la siguiente
manera: Posición
Valor
Posición
Valor
Posición
Valor
Posición
Valor
Posición
Valor
(2,1)
-1
(11,19)
1
(17,38)
-1
(16,53)
0.6585
(55,62)
0.7526
(4,1)
1
(11,20)
-1
(21,38)
1
(17,53)
0.7526
(56,62)
0.6585
(6,2)
-1
(15,20)
1
(21,39)
-1
(18,53)
-0.6585
(53,63)
-0.7526
(8,2)
1
(15,21)
-1
(25,39)
1
(19,54)
-0.7526
(54,63)
-0.6585
(10,3)
-1
(19,21)
1
(25,40)
-1
(20,54)
0.6585
(59,63)
0.7526
(12,3)
1
(19,22)
-1
(29,40)
1
(21,54)
0.7526
(60,63)
0.6585
(14,4)
-1
(23,22)
1
(29,41)
-1
(22,54)
-0.6585
(57,64)
-0.7526
(16,4)
1
(23,23)
-1
(33,41)
1
(23,55)
-0.7526
(58,64)
-0.6585
(18,5)
-1
(27,23)
1
(33,42)
-1
(24,55)
0.6585
(63,64)
0.7526
(20,5)
1
(27,24)
-1
(37,42)
1
(25,55)
0.7526
(64,64)
0.6585
(22,6)
-1
(31,24)
1
(37,43)
-1
(26,55)
-0.6585
(61,65)
-0.7526
(24,6)
1
(31,25)
-1
(41,43)
1
(27,56)
-0.7526
(62,65)
-0.6585
(26,7)
-1
(35,25)
1
(41,44)
-1
(28,56)
0.6585
(67,65)
0.7526
(28,7)
1
(35,26)
-1
(45,44)
1
(29,56)
0.7526
(68,65)
0.6585
(30,8)
-1
(39,26)
1
(45,45)
-1
(30,56)
-0.6585
(32,8)
1
(39,27)
-1
(49,45)
1
(31,57)
-0.7526
(34,9)
-1
(43,27)
1
(49,46)
-1
(32,57)
0.6585
(36,9)
1
(43,28)
-1
(53,46)
1
(33,57)
0.7526
(38,10)
-1
(47,28)
1
(53,47)
-1
(34,57)
-0.6585
(40,10)
1
(47,29)
-1
(57,47)
1
(33,58)
-0.7526
(42,11)
-1
(51,29)
1
(57,48)
-1
(34,58)
-0.6585
(44,11)
1
(51,30)
-1
(61,48)
1
(39,58)
0.7526
(46,12)
-1
(55,30)
1
(61,49)
-1
(40,58)
0.6585
(48,12)
1
(55,31)
-1
(65,49)
1
(37,59)
-0.7526
(50,13)
-1
(59,31)
1
(3,50)
-0.753
(38,59)
-0.6585
(52,13)
1
(59,32)
-1
(4,50)
0.659
(43,59)
0.7526
(54,14)
-1
(63,32)
1
(5,50)
0.753
(44,59)
0.6585
(56,14)
1
(63,33)
-1
(6,50)
-0.659
(41,60)
-0.7526
(58,15)
-1
(67,33)
1
(7,51)
-0.753
(42,60)
-0.6585
(60,15)
1
(1,34)
-1
(8,51)
0.659
(47,60)
0.7526
(62,16)
-1
(5,34)
1
(9,51)
0.753
(48,60)
0.6585
(64,16)
1
(5,35)
-1
(10,51)
-0.659
(45,61)
-0.7526
(66,17)
-1
(9,35)
1
(11,52)
-0.753
(46,61)
-0.6585
(68,17)
1
(9,36)
-1
(12,52)
0.659
(51,61)
0.7526
(3,18)
-1
(13,36)
1
(13,52)
0.753
(52,61)
0.6585
(7,18)
1
(13,37)
-1
(14,52)
-0.659
(49,62)
-0.7526
(7,19)
-1
(17,37)
1
(15,53)
-0.753
(50,62)
-0.6585
Tab. 2 Matriz de equilibrio de la estructura
Magíster en Ingeniería Estructural y Geotécnica
-Vector de carga Haciendo un vector de 68 filas y una columna de “0”
Sujeción en los nudos inferiores a) Carga gravitacional de 1 ton en todos los nudos de la cuerda inferior Q(6:4:62)=-1 b) Carga gravitacional de 2 ton en los nudos de la cuerda inferior de la mitad izquierda del reticulado Q(6:4:34)=-2 Sujeción en los nudos superiores c) Carga gravitacional en todos los nudos de la cuerda superior Q(8:4:64)=-1 d) Carga gravitacional de 2 ton en los nudos de la cuerda superior de la mitad izquierda del reticulado Q(8:4:36)=-2 -Eliminación de las líneas correspondientes a los GDsL restringidos en la matriz de equilibrio y el vector de cargas (para los 4 estados de carga) GDsL restringidos Sujeción en la cuerda inferior r=[ 1 2 66] Sujeción en la cuerda superior r=[ 3 4 68] Eliminando las líneas correspondientes según sea la sujeción C(r,:)=[ ] Q(r,:)=[ ] -Ecuación de equilibrio de la estructura
F=C\Q
Magíster en Ingeniería Estructural y Geotécnica
Definida la ecuación de equilibrio para cada estado de carga se resuelve mediante Matlab y se tienen los siguientes resultados: Fuerza en elementos
Sujeción inferior
Sujeción superior
a (ton)
b (ton)
F1
-7.50
-11.50
0
0
F2
-6.50
-9.50
-7.50
-11.50
F3
-5.50
-7.50
-6.50
-9.50
F4
-4.50
-5.50
-5.50
-7.50
F5
-3.50
-3.50
-4.50
-5.50
F6
-2.50
-1.50
-3.50
-3.50
F7
-1.50
0.50
-2.50
-1.50
F8
-0.50
2.50
-1.50
0.50
F9
0.00E+00
0.00E+00
-1.00
-2.00
F10
-0.50
-4.50
-1.50
-4.50
F11
-1.50
-4.50
-2.50
-4.50
F12
-2.50
-4.50
-3.50
-4.50
F13
-3.50
-4.50
-4.50
-4.50
F14
-4.50
-4.50
-5.50
-4.50
F15
-5.50
-4.50
-6.50
-4.50
F16
-6.50
-4.50
-7.50
-4.50
F17
-7.50
-4.50
0
0
F18
-8.57
-13.14
-8.57
-13.14
F19
-16.00
-24.00
-16.00
-24.00
F20
-22.29
-32.57
-22.29
-32.57
F21
-27.43
-38.86
-27.43
-38.86
F22
-31.43
-42.86
-31.43
-42.86
F23
-34.29
-44.57
-34.29
-44.57
F24
-36.00
-44.00
-36.00
-44.00
F25
-36.57
-41.14
-36.57
-41.14
F26
-36.57
-41.14
-36.57
-41.14
F27
-36.00
-36.00
-36.00
-36.00
F28
-34.29
-30.86
-34.29
-30.86
F29
-31.43
-25.71
-31.43
-25.71
F30
-27.43
-20.57
-27.43
-20.57
F31
-22.29
-15.43
-22.29
-15.43
F32
-16.00
-10.29
-16.00
-10.29
F33
-8.57
-5.14
-8.57
-5.14
F34
-4.21E-16
-1.32E-15
0
0
F35
8.57
13.14
8.57
13.14
F36
16.00
24.00
16.00
24.00
F37
22.29
32.57
22.29
32.57
F38
27.43
38.86
27.43
38.86
F39
31.43
42.86
31.43
42.86
F40
34.29
44.57
34.29
44.57
F41
36.00
44.00
36.00
44.00
F42
36.00
36.00
36.00
36.00
c (ton)
d (ton)
Magíster en Ingeniería Estructural y Geotécnica F43
34.29
30.86
34.29
30.86
F44
31.43
25.71
31.43
25.71
F45
27.43
20.57
27.43
20.57
F46
22.29
15.43
22.29
15.43
F47
16.00
10.29
16.00
10.29
F48
8.57
5.14
8.57
5.14
F49
0
0
0
0
F50
11.39
17.46
11.39
17.46
F51
9.87
14.43
9.87
14.43
F52
8.35
11.39
8.35
11.39
F53
6.83
8.35
6.83
8.35
F54
5.32
5.32
5.32
5.32
F55
3.80
2.28
3.80
2.28
F56
2.28
-0.76
2.28
-0.76
F57
0.76
-3.80
0.76
-3.80
F58
0.76
6.83
0.76
6.83
F59
2.28
6.83
2.28
6.83
F60
3.80
6.83
3.80
6.83
F61
5.32
6.83
5.32
6.83
F62
6.83
6.83
6.83
6.83
F63
8.35
6.83
8.35
6.83
F64
9.87
6.83
9.87
6.83
F65
11.39
6.83
11.39
6.83
Tab. 3 Esfuerzos internos en las barras del reticulado Comparando los esfuerzos internos en las barras más solicitadas de la cuerda superior, de la barra 21 a la 28. Al evaluar los esfuerzos entre el estado de carga “a” y “b” se puede
apreciar que los esfuerzos para el estado de carga “b” son mayores que para el estado de carga “a”, esto debido a que la carga es mayor para el estado de carga “b”, también se aprecia que por el hecho de que la parte izquierda se encuentra más cargada, los esfuerzos son mayores en las barras de la izquierda. Se tiene que el mayor esfuerzo se encuentra en la barra 25 y es de 36.57 toneladas en compresión para el estado de carga “a”. Para el estado de carga “b” se tiene que el mayor esfuerzo se encuentra en la barra 23 y es de 44.57
toneladas en compresión. Al comparar los esfuerzos en las barras más solicitadas en la cuerda inferior se tiene la misma relación que en la cuerda superior entre los esfuerzos producidos por el estado de carga “a” y el estado de carga “b”. Para el estado de carga “a” se tiene que los mayores
esfuerzos se dan en las barras 40 y 43 con un valor de 34.29 toneladas en tensión, mientras que para el estado de carga “b” el mayor esfuerzo se encuentra en la barra 40 con un valor
de 44.57 toneladas en tensión.
Magíster en Ingeniería Estructural y Geotécnica
Para la sujeción de la estructura en la cuerda superior se da la misma relación y los mismos valores de esfuerzos que para los estados de carga con la sujeción del reticulado en la cuerda inferior. Al comparar los esfuerzos producidos por los estados de carga con todos los nudos cargados con 1 tonelada en la cuerda superior y en la cuerda inferior, se tiene que las mayores solicitaciones de esfuerzos se dan en las mismas barras y con los mismos valores de esfuerzos, esto se debe a que ambas distribuciones de carga genera un efecto de flexión positiva en el reticulado y genera que las barras del centro se vean más solicitados y los valores se mantengan constantes independiente a si la sujeción del reticulado es en la parte superior o inferior del mismo. El mismo caso se registra para los esfuerzos producidos por los estados de carga donde se encuentran cargados los nudos inferiores y superiores de la mitad izquierda del reticulado con una carga de 2 ton. EJERCICIO 3
Escribir una función de MATLAB que entregue la matriz de equilibrio de una barra uniaxial tridimensional dadas las coordenadas x 1 ,y 1 ,z1 ,x 2 ,y 2 ,z2, de los dos extremos; también debe entregar la longitud de la barra, y los tres cosenos directores de ella (antes es necesario deducir las fórmulas correspondientes). Usar la función para resolver un reticulado formado por tres barras de igual longitud 3m, rotuladas entre sí en sus extremos superiores, y rotuladas a tierra en puntos de un plano horizontal que forman un triángulo equilátero de lado 2m. Resolver para carga de dirección arbitraria que actúa en el vértice.
-Deducción de las fórmulas para la definición de una barra tridimensional a partir de sus coordenadas. Una fuerza F en el espacio se puede descomponer en sus componentes rectangulares Fx,Fy y Fz dirigidas a lo largo de los tres ejes coordenados. Y los cosenos de los ángulos ( ϴx, ϴy, ϴz) que forma la fuerza F con los ejes coordenados y que definen la dirección de la fuerza F
se conocen como los cosenos directores. En la Fig. 6 se muestran los cosenos directores de la fuerza F.
(a)
b
(c)
Fig. 6 Cosenos directores de la fuerza F, (a) coseno director x, (b) coseno director y, (c) coseno director z (Beer, Johnston, Mazurek, Eisenberg, 2010, Mecánica Vectorial para Ingenieros-Estática)
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Fig. 7 Esquema de Fuerza en el espacio definida a partir de dos puntos (Beer, Johnston, Mazurek, Eisenberg, 2010, Mecánica Vectorial para Ingenieros-Estática Considerando el vector MN que une los puntos M y N a partir de sus componentes escalares dx, dy y dz.
= ++ El vector unitario λ pasa a lo largo de la línea de acción de la fuerza F y se define de la
siguiente forma:
λ = 1 ++ donde:
= − = √ + +
= −
= −
La fuerza F se puede definir como el producto de la magnitud de F por el producto del
λ
vector .
= λ = ++ = ( )+( )+( ) Los cosenos directores que definen la dirección de F se define como:
=
=
=
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Fig. 8 Barra uniaxial tridimensional A partir de la Fig. 8 la fuerza N1 y la fuerza N2 se puede definir de la siguiente manera:
= (− 1 )+(− 1 )+(− 1 ) = (2 )+(2 )+(2 ) Donde las magnitudes de cada componente , , corresponde a las componentes Q1, Q2
y Q3 que juntos forman la fuerza Q la cual es igual a N1. Se hace la misma comparación para el punto 2. A partir de la información anterior se puede definir el vector y la ecuación de equilibrio en la forma Q =CF de la barra uniaxial tridimensional:
dx L
Q1 Q2
Q3 Q = Q4 Q5 Q6
F= ( N1 )
dy L dz L C= dx L dy L dz
L
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Resolviendo el reticulado tridimensional -Geometría A partir del triángulo equilátero de lado 2 m en el plano horizontal xz, se calcula el centro del triángulo equilátero y se obtiene la coordenada (1, 0.5774) en los ejes x y z. Luego se calcula la altura a la que las barras de 3 metros de longitud concurren en la coordenada (1, 0.5774) y da como resultado el punto 0 (1, 0.5774, 2.7689). Ver Fig. 9.
Fig. 9 Esquema del reticulado tridimensional -Numeración de GsDL
Fig. 10 Numeración de los GsDL del reticulado
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-Matriz de incidencia
a=
1
2
3
4 5 6
7
8
9
4 5 6
10
11 12 4 5 6
Matriz de equilibrio de cada elemento
0.3333
0.3333
0.1925
0.1925
0.9230 C1= 0.3333 0.1925 0.9230
0.3849
-Pre-localización de la matriz C C = C12 3 -Formación de la matriz de equilibrio de la estructura a=[1 2 3 4 5 6] C(a,1)=C1 a=[7 8 9 4 5 6] C(a,2)=C2 a=[10 11 12 4 5 6] C(a,3)=C3 0 0 0.3333 0 0 0.1925 0.9230 0 0 0.3333 0.3333 0 0.1925 0.1925 0.3849 0.9230 0.9230 0.9230 0.3333 0 C= 0 0 0.1925 0 0 0.9230 0 0 0 0 0 0 0.3849 0
0
0.9230 3 C= 0 0.3849 0.9230
2 0.9230 C= 0.3333 0.1925 0.9230
0
0.9230
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-Vector de carga Q Pre-localizando un vector con ceros de 12 filas y una columna Q=zeros(12,1) Se evaluarán tres estados de carga. a) Carga de 1 ton en la dirección positiva en el eje x Q(4)=1 b) Carga de 1 ton en la dirección negativa en el eje y Q(6)=-1 c) Carga de 1 ton en la dirección positiva en el eje z Q(5)=1 -Eliminación de las líneas correspondientes a los GDsL restringidos en la matriz de equilibrio y en los vectores de carga según el estado de carga GDsL restringidos r=[ 1 2 3 7 8 9 10 11 12 ] Eliminando las líneas correspondientes C(r,:)=[ ] Q(r,:)=[ ] -Ecuación de equilibrio de la estructura
F=C\Q
a) Ecuación de equilibrio para estado de carga de 1 ton en la dirección positiva en el eje x
F1 F2
F3
0.3333 0.3333
=
0.1925
0.9230
0.1925 0.9230
0
0.3849
0.9230
1
\
0
0
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b) Ecuación de equilibrio para estado de carga de 1 ton en la dirección negativa en el eje y
F1
0.3333 0.3333
=
F2
F3
0.1925
0.9230
0.1925 0.9230
0
0
\
0.3849
0.9230
0
1
c) Ecuación de equilibrio para estado de carga de 1 ton en la dirección negativa en el eje y
0.3333 0.3333
F1
=
F2
F3
0.1925
0.9230
0.1925 0.9230
0
0
\
0.3849
0.9230
1
0
Resolviendo para los tres estados de carga con el uso del script “ejercicio3” adjunto en la
carpeta comprimida. Fuerza en elementos F1
Estado de carga a (ton) 1.50
Estado de carga b (ton) -0.3612
Estado de carga c (ton) 0.8660
F2
-1.50
-0.3612
0.8660
F3
0.00
-0.3612
-1.732
Tab. 4 Esfuerzos en los elementos para diferentes estados de carga
