Formelsammlung Grundlagen der Elektrotechnik

Formelsammlung Grundlagen der Elektrotechnik

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Inhaltsverzeichnis Gleichstromtechnik 1 Elektrische Grundgrößen....................................17 1.1 Elektizitätsmenge/Ladung...................................17 1.2 Stromdichte........................................................17 1.3 Leitwert..............................................................18

2 Ohmsches Gesetz....................................................19 2.1 Allgemein............................................................19 2.2 Kurzschlussstrom................................................20

3 Der Widerstand......................................................21 3.1 Schaltung von Widerständen..............................21 3.1.1 Serienschaltung...............................................21 3.1.2 Parallelschaltung.............................................22 3.1.2.1 Bei 2 Widerstände...................................22 3.1.2.2 Bei mehr als 2 Widerstände....................22 3.2 Der Leiterwiderstand..........................................23 3.2.1 Spezifische Widerstand...................................23 3.2.2 Spezifische Leitfähigkeit..................................23 3.2.2.1.1 Leitfähigkeitswerte..........................24 3.3 Temperaturabhägingkeit.....................................25 3.3.1 Warmwiderstand............................................25 3.3.2 Berechnung mit Tau........................................25 3.3.3 Temperaturdifferenz.......................................26

4 Kirchhoffschen Gesetze........................................27 3

4.1 Knotenregel........................................................27 4.2 Maschenregel.....................................................28

5 Spannungs- und Stromteilerregeln..................29 5.1 Spannungsteilerregel..........................................29 5.2 Stromteilerregel..................................................30 5.2.1 1.) Stromteilerregel.........................................30 5.2.2 2.) Stromteilerregel.........................................30 5.2.3 3.) Stromteilerregel.........................................30

6 Spannungsteiler......................................................33 6.1 Unbelasteter Spannungsteiler.............................33 6.2 Belasteter Spannungsteiler.................................34

7 MB – Erweiterung für Str. und Spg....................35 7.1 MB – Erweiterung beim Amperemeter................35 7.2 MB – Erweiterung beim Voltmeter......................36

8 Ersatzschaltbilder..................................................37 8.1 Reduzierte Ersatzschaltbilder..............................37 8.2 Stern und Dreieck-Schaltung...............................38 8.2.1 Dreieck – Stern – Transformation...................38 8.2.2 Stern – Dreieck – Transformation...................38

9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad................41 9.1 Arbeit und Energie..............................................41 9.1.1 Elektrische Arbeit............................................41 9.1.2 Mechanische Arbeit........................................42 9.1.2.1 Gewicht...................................................42 9.1.2.1.1 Erdbeschleunigung..........................42 9.1.2.2 Kraft.........................................................43 4

9.1.3 Wärmeenergie................................................43 9.1.3.1 spezifische Wärmekapazität....................43 9.1.3.1.1 H2O..................................................43 9.1.4 Gleichwertigkeit..............................................44 9.2 Leistung..............................................................44 9.2.1 Allgemein........................................................44 9.2.2 Elektrische Leistung........................................44 9.3 Wirkungsgrad......................................................45 9.3.1 Gesamt Wikrungsgrad.....................................45

Wechselstrom 10 Allgemeine Parameter.......................................49 10.1 Frequez.............................................................49 10.2 Kreisfrequenz....................................................49 10.3 Momentanwert bei Sinuswelle..........................50 10.4 Linearer Mittelwert...........................................50 10.5 Gleichrichtwert.................................................51 10.5.1 Vollweggleichrichtung...................................51 10.5.2 Einweggleichrichtung....................................51 10.5.3 Gleichrichtwert einer Sinuswelle..................52 10.5.4 Gleichrichtwert eines Dreiecksignals............52 10.5.5 Gleichrichtwert eines Rechtecksignals.........52 10.6 Effektivwert......................................................53 10.6.1 Effektivwert für beliebige Kurvenform.........53 10.6.2 Effektivwert bei Sinuswelle...........................53 10.6.3 Effektivwert bei Sinushalbwelle....................54 10.6.4 Effektivwert bei Virtelsinuswelle..................54 10.6.5 Effektivwert bei Rechtecksignal....................54 10.6.5.1 Mit Nullstellen.......................................54 5

10.6.5.2 Ohne Nullstellen....................................55 10.6.6 Effektivwert eines Dreiecksignals.................55 10.6.7 Effektivwert einer Mischgröße......................56 10.7 Scheitelfaktor – Crestfaktor...............................56 10.8 Formfaktor........................................................56

11 R, L und C im Wechselstromkreis...................59 11.1 Rein ohm'scher Widerstand im Wechselstromkreis...................................................59 11.1.1 Spannung......................................................59 11.1.2 Strom.............................................................60 11.2 Reine Induktivität im Wechselstromkreis..........60 11.2.1 Voraussetzung...............................................60 11.2.2 Spannung......................................................60 11.2.2.1 Momentanwert.....................................60 11.2.2.2 Effektivwert...........................................61 11.2.3 Induktiver Blindwiderstand...........................61 11.2.4 Induktiver Blindleitwert................................62 11.3 Reine Kapazität im Wechselstromkreis..............62 11.3.1 Voraussetzung...............................................62 11.3.2 Strom.............................................................62 11.3.2.1 Momentanwert.....................................62 11.3.2.2 Spitzenwert...........................................63 11.3.2.3 Effektivwert...........................................63 11.3.3 Blindwiderstand............................................64 11.3.4 Blindleitwert..................................................64 11.4 Serienschaltung von R und L..............................64 11.4.1 Impedanz......................................................64 11.4.2 Admittanz......................................................65 11.4.3 Bauteilleitwerte............................................66 11.5 Serienschaltung von R und C.............................66 6

11.5.1 Impedanz......................................................66 11.5.2 Admittanz......................................................67 11.5.3 Bauteilleitwerte............................................68 11.6 Serienschaltung von R, L und C..........................68 11.6.1 Impedanz......................................................68 11.6.2 Wirkspannung...............................................69 11.6.3 Blindspannung..............................................69 11.7 Parallelschaltung von R und L............................70 11.7.1 Admittanz......................................................70 11.7.2 Gesamtstrom................................................70 11.8 Parallelschaltung von R und C...........................71 11.8.1 Admittanz......................................................71 11.9 Parallelschaltung von R, L und C........................72 11.9.1 Admittanz......................................................72 11.10 Serienschaltung beliebiger Verbraucher..........72 11.10.1 Spannung....................................................72 11.10.2 Impedanz....................................................73 11.10.3 Serienschaltung gleicher Elemente............73 11.10.3.1 Widerstände........................................73 11.10.3.2 Induktivitäten......................................74 11.10.3.3 Kapazitäten..........................................74 11.11 Parallelschaltung beliebiger Verbraucher........75 11.11.1 Strom...........................................................75 11.11.2 Admittanz....................................................75 11.11.3 Parallelschaltung gleicher Elemente...........76 11.11.3.1 Widerstände........................................76 11.11.3.2 Induktivitäten......................................77 11.11.3.3 Kapazitäten..........................................77

12 Leistungen im Wechselstromkreis................79 12.1 Wirkleistung bei ohm'schen Widerstand...........79 7

12.2 Blindleistung.....................................................80 12.3 Scheinleistung...................................................81 12.4 Leistungsfaktor.................................................81

13 Schwingkreise.......................................................83 13.1 Serienschwingkreis...........................................83 13.2 Parallelschwingkreis..........................................84 13.3 Nomierung von Schwingkreisgrößen.................85 13.3.1 Kennfrequenz des Resonanzkreises..............85 13.3.1.1 nomierte Frequenz................................85 13.3.2 Kennwiderstand des Resonanzkreises..........86 13.3.3 Verstimmung.................................................86 13.3.4 Gütefaktor und Dämpfungsfaktor.................87 13.3.4.1 Serienschwingkreis................................87 13.3.4.1.1 Gütefaktor.....................................87 13.3.4.1.2 Bauteilgüte einer Spule.................89 13.3.4.2 Parallelschwingkreis..............................89 13.3.4.2.1 Gütefaktor.....................................89 13.3.4.2.2 Bauteilgüte eines Kondensators....90 13.3.5 Die Bandbreite..............................................91 13.3.5.1 Serienschwingkreis................................91 13.3.5.2 Parallelschwingkreis..............................92 13.3.6 Zusammenhang Güte, Dämpfung und Bandbreite................................................................92 13.3.7 Das Bodediagramm.......................................93 13.3.7.1 Übertragungsfunktion...........................93 13.3.7.2 Hochpass...............................................94 13.3.7.2.1 Übertragungsfunktion...................94 13.3.7.2.2 Verstärkung....................................94 13.3.7.2.3 Phasenwinkel.................................95 13.3.7.2.4 Grenzfrequenz...............................95 8

13.3.7.3 Tiefpass.................................................96 13.3.7.3.1 Übertragungsfunktion...................96 13.3.7.3.2 Verstärkung....................................96 13.3.7.3.3 Phasenwinkel.................................97 13.3.7.3.4 Grenzfrequenz...............................97

Elektrisches Feld 14 Grundgrößen......................................................101 14.1 Feldstärke.......................................................101 14.2 Flussdichte......................................................102 14.3 Permittivität....................................................102 14.4 Kraft ...............................................................103 14.5 Ladung ...........................................................103 14.6 Kapazität ........................................................104

15 Die Kapazität......................................................107 15.1 Serienschaltung...............................................107 15.2 Parallelschaltung.............................................108

16 Energie und Kraftwirkung im elektrischen Feld...............................................................................109 16.1 Energieinhalt ..................................................109 16.2 Kraft ...............................................................110 16.3 Arbeit..............................................................110 16.4 Leistung..........................................................111

17 Coulombsches Gesetz.......................................113 17.1 Kraft................................................................113 17.2 Elektrische Feldstärke......................................114 9

18 E und C im 2-schichtigen Dielektrikum....115 19 Kondensator an zeitabhängiger Spg...........117 19.1 Stromstärke zum Zeitpunkt t...........................117 19.2 Ladung............................................................118

Elektromagnetismus 20 Grundgrößen......................................................121 20.1 Magnetische Feldstärke...................................121 20.2 Flussdichte......................................................121 20.2.1 Permeabilität...............................................122 20.3 Induktivität.....................................................122 20.4 Durchflutung einer Spule.................................123 20.5 Spannung........................................................123 20.6 Kraftwirkung im magnetischen Feld................123

21 Induktionsgesetz...............................................125 21.1 Allgemein........................................................125 21.2 Induktion der Bewegung.................................126 21.2.1 Spannung....................................................126 21.3 Induzierte Spannung durch zeitlich veränderliche Magnetfelder..........................................................126 21.3.1 Flussänderung Dreiecksförmig....................126 21.3.1.1 Spannung............................................126 21.3.2 Flussänderung Sinusförmig.........................127 21.3.2.1 Spannung............................................127 21.3.3 Selbstinduktion...........................................127 21.4 Gegeninduktion - Trafoprinzip.........................129 21.4.1 Trafogesetze................................................129 10

21.4.1.1 1. Trafogesetz......................................129 21.4.1.2 2. Trafogesetz......................................129 21.4.1.2.1 Übersetzungsverhältnis...............130 21.4.1.3 3. Trafogesetz......................................130

22 Induktivität von Spulen..................................131 22.1 Für alle Spulen mit 1 mag. Wdst. Gilt...............131 22.1.1 Magnetische Feldstärke..............................131 22.1.2 Durchflutungssatz.......................................132 22.1.3 Induktion.....................................................132 22.1.4 Magnetische Fluss.......................................132 22.2 2. Form des Induktionsgesetz..........................133 22.3 Induktivität Allgemein.....................................134 22.3.1 Magnetische Widerstand............................135 22.4 Luftspule.........................................................135 22.4.1 Ringspule (Torus).........................................135 22.4.1.1 Fläche..................................................135 22.4.1.2 Länge...................................................136 22.4.1.3 Magnetischer Widerstand...................136 22.4.1.4 Induktivität..........................................136 22.4.2 Zylinderspule...............................................137 22.4.2.1 Für l ≥ d................................................137 22.4.2.1.1 Fläche..........................................137 22.4.2.1.2 Magnetischer Widerstand...........137 22.4.2.1.3 Induktivität..................................138 22.4.2.2 Für l < 10 d...........................................138 22.4.2.2.1 Fläche..........................................138 22.4.2.2.2 Magnetischer Widerstand...........139 22.4.2.2.3 Induktivität..................................139 22.5 Eisendrossel ohne Luftspalt.............................140 22.5.1 Magnetischer Widerstand..........................140 11

22.5.2 Induktivität..................................................140 22.6 Eisendrossel mit Luftspalt...............................141 22.6.1 Induktion.....................................................141 22.6.1.1 In Sättigung bei Trafo Perm N2...........141 22.6.1.2 Nicht in Sättigung bei Trafo Perm N2. .142 22.6.2 Induktivität..................................................142 22.7 Spule an Wechselspannung.............................143 22.7.1 Spannung....................................................143 22.7.2 Strom...........................................................143

23 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen...............................145 23.1 Kopplungsgrad und Streufaktor.......................145 23.1.1 Kopplungsgrad............................................145 23.1.2 Streufaktor..................................................146 23.1.3 Übersetzungsverhältnis..............................146 23.2 Gegeninduktivität...........................................147 23.2.1 Gesamtstreufaktor......................................147 23.3 Kopplung von 2 in Serie geschaltete Spulen.....147 23.3.1 Gleichsinnig wirkende Suplen.....................147 23.3.1.1 Für k = 100% , Ϭ = 0.............................147 23.3.1.2 Für 0 < k < 1, 0 < Ϭ < 1.........................148 23.3.1.3 Für k = 0, Ϭ = 1...................................148 23.3.1.3.1 Serie.............................................148 23.3.1.3.2 Parallel.........................................149 23.3.2 Gegensinnig wirkende Spulen.....................149

24 Energie im magnetischen Feld......................151 24.1 Energieinhalt...................................................151 24.2 Energiedichte..................................................152

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Anhang 25 Konstanten..........................................................157 26 Griechisches Alphabet.....................................159

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Gleichstromtechnik

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1 Elektrische Grundgrößen


1.1 Elektizitätsmenge/Ladung

Q= I⋅t Q............Elektrizitätsmenge/Ladung [As/C] I..............Stromstärke [A] t.............Zeit [s]

1.2 Stromdichte

I J= A 1 Elektrische Grundgrößen

17

d.............Leiterdurchmesser [mm] A............Leiterquerschnitt [mm²] I..............Stromstärke [A]

1.3 Leitwert

1 G= R G............Leitwert [S] R............Widerstand [Ω]

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2 Ohmsches Gesetz

2.1 Allgemein

U =R⋅I U R= I

U I= R

U............Spannung [V] R............Widerstand [Ω] I..............Stromstärke [A]

2 Ohmsches Gesetz

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2.2 Kurzschlussstrom

U0 I K= Ri IK ............Kurzschlusstrom [A] U0 ..........Quellspannung [V] Ri............Innenwiderstand [Ω]

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2 Ohmsches Gesetz

3 Der Widerstand

3.1 Schaltung von Widerständen 3.1.1 Serienschaltung

R ges=R 1 R n Rges.........Gesamtwiderstand [Ω] R1...........Widerstand 1 [Ω] Rn...........Widerstand [Ω]

3 Der Widerstand

21

3.1.2 Parallelschaltung 3.1.2.1 Bei 2 Widerstände

R1⋅R2 R ges= R 1 R 2 Rges.........Gesamtwiderstand [Ω] R1...........Widerstand 1 [Ω] R2...........Widerstand 2 [Ω] 3.1.2.2 Bei mehr als 2 Widerstände

1 1 1 1 =   R ges R 1 R 2 R n Rges.........Gesamtwiderstand [Ω] R1...........Widerstand 1 [Ω] R2...........Widerstand 2 [Ω] Rn...........Widerstand [Ω]

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3 Der Widerstand

3.2 Der Leiterwiderstand 3.2.1 Spezifische Widerstand

l⋅ R= A R............Widerstand des Leiters [Ω] l..............Leiterlänge [m] ρ.............spezifische Widerstand [Ωmm²/m] A............Leiterquerschnitt [mm²]

3.2.2 Spezifische Leitfähigkeit

l R= ⋅A 1 =  R............Widerstand des Leiters [Ω] l..............Leiterlänge [m] 3 Der Widerstand

23

γ.............spezifische Leitfähigkeit [Sm/mm²] A............Leiterquerschnitt [mm²] 3.2.2.1.1 Leitfähigkeitswerte

Kupfer CU : =56 S

m mm 2 m mm 2

Aluminium Al : =35 S

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3 Der Widerstand

3.3 Temperaturabhägingkeit 3.3.1 Warmwiderstand

RW = R K⋅1⋅T  R W =R K⋅[1⋅ T ⋅T 2 ] RW..........Warmwiderstand [Ω] RK...........Kaltwiderstand 1 [Ω] α............Temperaturkoeffizient [1/k] α=α20....gilt bei 20º C ΔΤ...........Temperaturdifferenz [1K]

3.3.2 Berechnung mit Tau

R K⋅W RW =  K 1 o = −20 C  3 Der Widerstand

25

ϑW..........Warmtemperatur [K] ϑK...........Kalttemperatur [K] RW..........Warmwiderstand [Ω] RK...........Kaltwiderstand 1 [Ω] τ.............Temperaturbeiwert

3.3.3 Temperaturdifferenz

 T =W − K RW −1 RK T =  ϑW..........Warmtemperatur [K] ϑK...........Kalttemperatur [K] RW..........Warmwiderstand [Ω] RK...........Kaltwiderstand 1 [Ω] α............Temperaturkoeffizient [1/K] ΔΤ...........Temperaturdifferenz [1K]

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3 Der Widerstand

4 Kirchhoffschen Gesetze

4.1 Knotenregel

Σ I =0

Σ Izufl. = Σ Iabfl. ΣI............Summe der Ströme in einem Knoten ΣIzufl.........Summe der zufließenden Ströme ΣIabfl.........Summe der abfließenden Ströme


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4.2 Maschenregel

Σ U =0

Σ UVerbraucher = Σ UQuellen ΣU..................Summe der Spannungen in einer Masche ΣUVerbraucher......Summe der Verbraucherspannungen ΣUQuellen..........Summe der Quellspannungen

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5 Spannungs- und Stromteilerregeln

5.1 Spannungsteilerregel

Ui Ri = U ges R ges


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5.2 Stromteilerregel 5.2.1 1.) Stromteilerregel

I i RK Gi = = I K Ri G K Die Teilströme verhalten sich so wie die Leitwerte bzw. umgekehrt zu den betreffenden Widerständen.

5.2.2 2.) Stromteilerregel

R ges Gi I i = I ges⋅ = I ges⋅ Ri G ges Ein Teilstrom = dem Gesamtstrom mal den Gesamt Widerstand dividiert durch jenen Teilwiderstand durch den der betreffende Strom fließt.

5.2.3 3.) Stromteilerregel Für 2 Widerstände parallel:

30


RK I i = I ges⋅ Ri R K Ein Teilstrom = dem Gesamtstrom mal dem gegenüberliegenden Widerstand dividiert durch die Summe der Widerstände.


31

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6 Spannungsteiler

6.1 Unbelasteter Spannungsteiler

x p= l p.............Potentimeterstellung x.............Gesamte Potentimeter l..............Potentimeter - Abegriffener Widerstand

6 Spannungsteiler

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6.2 Belasteter Spannungsteiler

x p= l Rs a= Ra p.............Potentimeterstellung x.............Gesamte Potentimeter l..............Potentimeter - Abegriffener Widerstand a.............Maß für Belastung Rs............Potentimeter Widerstand [Ω] Ra...........Abgegriffene Widerstand [Ω]

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6 Spannungsteiler

7 MB – Erweiterung für Str. und Spg.

7.1 MB – Erweiterung beim Amperemeter

I n= Ia n.............Messbereichserweiterungszahl I..............Gesamtstrom - der zu messende Strom [A] Ia.............Strom durch Amperemeter - zulässiger Strom [A]


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RiA R n= n−1 Rn...........Nebenwiderstand [Ω] n.............Messbereichserweiterungszahl RiA...........Innenwiderstand [Ω]

7.2 MB – Erweiterung beim Voltmeter

U n= UV n.............Messbereichserweiterungszahl U............Gesamtspannung - die zu messende Spg. [V] Uv...........Spannung durch Voltmeter- zulässige Spg. [V]

RV = Riv⋅n−1 Rv...........Vorwiderstand [Ω] n.............Messbereichserweiterungszahl RiV...........Innenwiderstand [Ω] 36


8 Ersatzschaltbilder

8.1 Reduzierte Ersatzschaltbilder

U0 I K= Ri IK............Kurzschlussstrom [A] U0...........Leerlauf Spannung [V] Ri............Innenwiderstand [Ω]


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8.2 Stern und Dreieck-Schaltung 8.2.1 Dreieck – Stern – Transformation Der Stern Widerstand = dem Produkt der beiden anliegenden Dreieckswiderständen dividiert durch die Summe der Dreieckswiderstände.

R 12⋅R 13 R1 = R12 R13R 23 R1...........Stern Widerstand [Ω] R12..........Anliegender Dreiecks Widerstand [Ω] R13..........Anliegender Dreiecks Widerstand [Ω] R23..........Dreiecks Widerstand [Ω]

8.2.2 Stern – Dreieck – Transformation Der Dreieck Widerstand = Die Summe aller möglichen Produkte der Sternwiderstände dividiert durch den gegenüberliegenden Sternwiderstand.

R1⋅R2 R1⋅R3 R 2⋅R3 R12 = R3 R1...........Stern Widerstand [Ω] 38


R2...........Stern Widerstand [Ω] R3...........Gegenüberliegende Stern Widerstand [Ω] R12..........Dreiecks Widerstand [Ω]


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9 Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad

9.1 Arbeit und Energie 9.1.1 Elektrische Arbeit

W =U⋅I⋅t=P⋅t Arbeit= Leistung⋅Zeit W...........Arbeit [Ws] U............Spannung [V] I..............Strom [A]


41

t.............Zeit [s] P.............Leistung [W]

9.1.2 Mechanische Arbeit

W =G⋅h W...........Arbeit [Nm] G............Gewicht [N] h.............Höhe [m] 9.1.2.1 Gewicht

G=m⋅g m...........Masse [kg] G............Gewicht [N] g.............Erdbeschleunigung [m/s²] 9.1.2.1.1 Erdbeschleunigung

g=9,81

m s2

g.............Erdbeschleunigung [m/s²] 42


9.1.2.2 Kraft

F =m⋅a m...........Masse [kg] F.............Kraft [N] a.............Beschleunigung [m/s²]

9.1.3 Wärmeenergie

Q=m⋅c⋅ =m⋅c⋅1−2  Q............Wärmeenergie [kJ] Δϑ..........Temperaturdifferenz [K] c.............spezifische Wärmekapazität [kJ/kg.K] m...........Masse [kg] ϑ1...........Anfangstemperatur [K] ϑ2...........Endtemperatur [K] 9.1.3.1 spezifische Wärmekapazität 9.1.3.1.1 H2O

c=4,19

kJ kg⋅K


43

c.............spezifische Wärmekapazität [kJ/kg.K]

9.1.4 Gleichwertigkeit

1Ws=1Nm=1J 9.2 Leistung 9.2.1 Allgemein

W P= t Arbeit Leistung = Zeit W...........Arbeit [Ws] t.............Zeit [s] P.............Leistung [W]

9.2.2 Elektrische Leistung

P=U⋅I 44


U2 P= P= I 2⋅R R U............Spannung [V] I..............Strom [A] P.............Leistung [W] R............Widerstand [Ω]

9.3 Wirkungsgrad

P ab = 1 P zu Pab..........Abgegebene Leistung [W] Pzu..........Zugeführte Leistung [W] η............Wirkungsgrad

9.3.1 Gesamt Wikrungsgrad

GES =1⋅2⋅3 ηGES.........Gesamtwirkungsgrad


45

η1...........Wirkungsgrad 1 η2...........Wirkungsgrad 2 η3...........Wirkungsgrad 3

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Wechselstromtechnik


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10 Allgemeine Parameter

10.1 Frequez

1 f= T f.............Frequenz [Hz] T.............Periodendauer [s]

10.2 Kreisfrequenz

=2⋅⋅f ω............Kreisfrequenz [1/s] 10 Allgemeine Parameter

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f.............Frequenz [Hz]

10.3 Momentanwert bei Sinuswelle

 i t = I⋅sin ⋅t  i(t)..........Momentanwert des Strom [A] t.............Zeit [s] I..............Spitzenwert [A] ω............Kreisfrequenz [1/s]

10.4 Linearer Mittelwert

Q 1 i = = T T

t 0 T

∑ i t ⋅ t t0

i..............Liniarer Mittelwert [A] Q............Ladung T.............Periodendauer [s] i(t)..........Momentanwert des Strom [A] t.............Zeit [s]

50


10.5 Gleichrichtwert 10.5.1 Vollweggleichrichtung

Q 1  ∣i ∣= = T T

t 0T

∑ ∣i t ∣⋅t t0

|i|..........Gleichrichtwert [A] Q............Ladung T.............Periodendauer [s] |i(t)|......Absolutbetrag Momentanwert des Strom [A] t.............Zeit [s]

10.5.2 Einweggleichrichtung

∣i∣ ∣i HP∣= 2 |i|..........Gleichrichtwert Vollweggleichrichtung [A] |iHP|.......Gleichrichtwert Einweggleichrichtung [A]


51

10.5.3 Gleichrichtwert einer Sinuswelle

I 2 ∣i ∣=  Fläche unterhalb einer Sinuswelle=2 I |i|..........Gleichrichtwert [A] I..............Spitzenwert [A]

10.5.4 Gleichrichtwert eines Dreiecksignals

 I ∣i ∣= 2 |i|..........Gleichrichtwert [A] I..............Spitzenwert [A]

10.5.5 Gleichrichtwert eines Rechtecksignals

∣i ∣= I |i|..........Gleichrichtwert [A] I..............Spitzenwert [A] 52


10.6 Effektivwert 10.6.1 Effektivwert für beliebige Kurvenform



1 I eft = T

t 0 T

2

∑ [ i t ] ⋅ t t0

Ieft...........Effektivwert [A] T.............Periodendauer [s] i(t)..........Momentanwert des Strom [A] t.............Zeit [s]

10.6.2 Effektivwert bei Sinuswelle

I I eft Sinus = 2 Ieft Sinus......Effektivwert [A] I..............Spitzenwert [A]


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10.6.3 Effektivwert bei Sinushalbwelle

I I eft Sh= 2 Ieft Sh........Effektivwert [A] I..............Spitzenwert [A]

10.6.4 Effektivwert bei Virtelsinuswelle

I I 1= eft 2⋅ 2 4 Ieft 1/4.......Effektivwert [A] I..............Spitzenwert [A]

10.6.5 Effektivwert bei Rechtecksignal 10.6.5.1 Mit Nullstellen

U eft = U Ueft.........Effektivwert [V] 54


U............Spitzenwert [V] 10.6.5.2 Ohne Nullstellen



t e    U eft =U⋅ =U⋅ T Ueft.........Effektivwert [V] U............Spitzenwert [V] te............Einschaltzeit [s] T.............Periodendauer [s] λ.............Einschaltverhältnis, Tastverhältnis

10.6.6 Effektivwert eines Dreiecksignals

I I eft Dreieck = 3 Ieft Dreieck. . .Effektivwert [A] I..............Spitzenwert [A]


55

10.6.7 Effektivwert einer Mischgröße

I eft ges=  I DC  I AC 2

2

Ieft ges.......Gesamteffektivwert [A] IDC...........Gleichstromanteil [A] IAC...........Wechselstromanteil [A]

10.7 Scheitelfaktor – Crestfaktor

I F s= I eft FS............Scheitelfaktor Ieft...........Effektivwert [A] I..............Spitzenwert [A]

10.8 Formfaktor

I eft F F= ∣i ∣ 56


FF............Formfaktor Ieft...........Effektivwert [A] |i|..........Gleichrichtwert [A]


57

58


11 R, L und C im Wechselstromkreis

11.1 Rein ohm'scher Widerstand im Wechselstromkreis 11.1.1 Spannung

 ut =U⋅sin t  u(t).........Momentanwert [V] U............Spitzenwert [V] ω............Kreisfrequenz [1/s] t.............Zeit [s]


59

11.1.2 Strom

 i t = I⋅sin  t  i(t)..........Momentanwert [A] I..............Spitzenwert [A] ω............Kreisfrequenz [1/s] t.............Zeit [s]

11.2 Reine Induktivität im Wechselstromkreis 11.2.1 Voraussetzung

 i t = I⋅sin  t  Strom sei Sinusförmig 11.2.2 Spannung 11.2.2.1 Momentanwert

 ut =U⋅cost  60


u(t).........Momentanwert [V] U............Spitzenwert [V] ω............Kreisfrequenz [1/s] t.............Zeit [s] 11.2.2.2 Effektivwert

U eff = L⋅I eff Ueff..........Effektivwert [V] ω............Kreisfrequenz [1/s] L.............Induktivität [H] Ieff...........Effektivwert [A]

11.2.3 Induktiver Blindwiderstand

X L = L XL............Blindwiderstand ω............Kreisfrequenz [1/s] L.............Induktivität [H]


61

11.2.4 Induktiver Blindleitwert

1 B L =− L BL...........Blindleitwert ω............Kreisfrequenz [1/s] L.............Induktivität [H]

11.3 Reine Kapazität im Wechselstromkreis 11.3.1 Voraussetzung

 ut =U⋅cost  Spannung sei Cosinsförmig 11.3.2 Strom 11.3.2.1 Momentanwert

 i t = I⋅−sin t i(t)..........Momentanwert [A] 62


I..............Spitzenwert [A] ω............Kreisfrequenz [1/s] t.............Zeit [s] 11.3.2.2 Spitzenwert

I =C⋅U I..............Spitzenwert [A] ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F] U............Spitzenwert [V] 11.3.2.3 Effektivwert

U eft I eft =U eft⋅B C = ∣X C∣ Ieft...........Effektivwert Strom [A] Ueft.........Effektivwert Spannung [V] BC...........Blindleitwert [S] XC...........Blindwiderstand [Ω]


63

11.3.3 Blindwiderstand

1 X C =− C XC...........Blindwiderstand [Ω] ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F]

11.3.4 Blindleitwert

BC =C BC...........Blindleitwert [S] ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F]

11.4 Serienschaltung von R und L 11.4.1 Impedanz

Z = R j  L 64


 jL

Z =∣Z∣⋅e Z.............Impedanz [Ω]

R............ohmsche Widerstand [Ω] ω............Kreisfrequenz [1/s] L.............Induktivität [H]

11.4.2 Admittanz

1 Y= Z Y =G j B Y.............Admittanz [S] Z.............Impedanz [Ω] G............Leitwert [S] B............Blindleitwert [S]


65

11.4.3 Bauteilleitwerte

1 G R= R GR...........Leitwert [S]

1 B L =− L BL...........Blindleitwert [S] ω............Kreisfrequenz [1/s] L.............Induktivität [H]

11.5 Serienschaltung von R und C 11.5.1 Impedanz

1 Z = R jC 66


1 Z = R− j C Z.............Impedanz [Ω] R............ohmsche Widerstand [Ω] ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F]

11.5.2 Admittanz

1 Y= Z Y =G j B Y.............Admittanz [S] Z.............Impedanz [Ω] G............Leitwert [S] B............Blindleitwert [S]


67

11.5.3 Bauteilleitwerte

1 G R= R GR...........Leitwert [S] R............ohmsche Widerstand [Ω]

BC =C BC...........Blindleitwert [S] ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F]

11.6 Serienschaltung von R, L und C 11.6.1 Impedanz

1 Z = R j  L−  C ± j

Z =∣Z∣⋅e 68


Z.............Impedanz [Ω] R............ohmsche Widerstand [Ω] ω............Kreisfrequenz [1/s] L.............Induktivität [H] C............Kapazität [F]

11.6.2 Wirkspannung

U W =U R UW..........Wirkspannung [V] UR...........Spannung am ohmschen Widerstand [V]

11.6.3 Blindspannung

U B =U L −U C UB...........Blindspannung [V] UL...........Spannung an der Induktivität [V] UC...........Spannung an der Kapazität [V]


69

11.7 Parallelschaltung von R und L 11.7.1 Admittanz

1 1 Y= − j R L − j

Y =∣Y∣⋅e Y.............Admittanz [S]

ω............Kreisfrequenz [1/s] L.............Induktivität [H]

11.7.2 Gesamtstrom

U U I ges = − j R L 1 1 I ges =U⋅ − j  R L 70


Iges..........Gesamtstrom [A] U............Spannung [V] R............ohmsche Widerstand [Ω] ω............Kreisfrequenz [1/s] L.............Induktivität [H]

11.8 Parallelschaltung von R und C 11.8.1 Admittanz

1 Y =  j C R  j

Y =∣Y∣⋅e Y.............Admittanz [S]

R............ohmsche Widerstand [Ω] ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F]


71

11.9 Parallelschaltung von R, L und C 11.9.1 Admittanz

1 1 Y =  j C −  R L ± j

Y =∣Y∣⋅e Y.............Admittanz [S]

R............ohmsche Widerstand [Ω] ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F] L.............Induktivität [H]

11.10 Serienschaltung beliebiger Verbraucher 11.10.1 Spannung

U ges =U 1U 2U n Uges.........Gesamtspannung [V]

72


U1...........Spannung an der Impedanz Z1 [V] U2...........Spannung an der Impedanz Z2 [V] Un...........Spannung an der Impedanz Zn [V]

11.10.2 Impedanz

Z ges=Z 1Z 2Z n Zges..........Gesamtimpedanz [Ω] Z1............Impedanz 1 [Ω] Z2............Impedanz 2 [Ω] Zn............Impedanz n [Ω]

11.10.3 Serienschaltung gleicher Elemente 11.10.3.1 Widerstände

R ges=R 1 R 2R n Rges.........ohmsche Gesamtwiderstand [Ω] R1...........ohmsche Widerstand 1 [Ω] R2...........ohmsche Widerstand 2 [Ω] Rn...........ohmsche Widerstand n [Ω]


73

11.10.3.2 Induktivitäten

L ges= L1 L2 L n Lges..........Gesamtinduktivität [H] L1............Induktivität 1 [H] L2............Induktivität 2 [H] Ln............Induktivität n [H] 11.10.3.3 Kapazitäten

1 1 1 1 =   C ges C 1 C 2 C n Cges.........Gesamtkapazität [F] C1...........Kapazität 1 [F] C2...........Kapazität 2 [F] Cn...........Kapazität n [F]

74


11.11 Parallelschaltung beliebiger Verbraucher 11.11.1 Strom

I ges =I 1I 2 I n Iges..........Gesamtstrom [A] I1............Strom durch Admittanz Y1 [A] I2............Strom durch Admittanz Y2 [A] In............Strom durch Admittanz Yn [A]

11.11.2 Admittanz

Y ges =Y 1Y 2Y n Yges..........Gesamtadmittanz [S] Y1...........Admittanz 1 [S] Y2...........Admittanz 2 [S] Yn............Admittanz n [S]


75

11.11.3 Parallelschaltung gleicher Elemente 11.11.3.1 Widerstände

1 1 1 1 =   R ges R 1 R 2 R n Rges.........ohmsche Gesamtwiderstand [Ω] R1...........ohmsche Widerstand 1 [Ω] R2...........ohmsche Widerstand 2 [Ω] Rn...........ohmsche Widerstand n [Ω]

G ges=G1G 2G n Gges.........Gesamtleitwert [S] G1...........Leitwert 1 [S] G2...........Leitwert 1 [S] Gn...........Leitwert n [S]

76


11.11.3.2 Induktivitäten

1 1 1 1 =   L ges L1 L 2 Ln Lges..........Gesamtinduktivität [H] L1............Induktivität 1 [H] L2............Induktivität 2 [H] Ln............Induktivität n [H] 11.11.3.3 Kapazitäten

C ges=C 1C 2C n Cges.........Gesamtkapazität [F] C1...........Kapazität 1 [F] C2...........Kapazität 2 [F] Cn...........Kapazität n [F]


77

78


12 Leistungen im Wechselstromkreis

12.1 Wirkleistung bei ohm'schen Widerstand

t 0T

1 p= P= ⋅∑ pt⋅ t T t 0

p= P=U eft⋅I eft 12 Leistungen im Wechselstromkreis

79

P=S⋅cos =U eft⋅I eft⋅cos  p.............Leistungsmittelwert [W] P.............Wirkleistung [W] T.............Periodendauer [s] p(t).........Leistung [W] t.............Zeit [s] Ueft.........Effektivspannung [V] Ieft...........Effektivstrom [A] S.............Scheinleistung [VA]

12.2 Blindleistung

Q=S⋅sin=U eft⋅I eft⋅sin Q............Blindleistung [Var] S.............Scheinleistung [VA] Ueft.........Effektivspannung [V] Ieft...........Effektivstrom [A] ϕ............Phasenwinkel [°]

80


12.3 Scheinleistung

S=  P Q S=U eft⋅I eft 2

2

S.............Scheinleistung [VA] Q............Blindleistung [Var] P.............Wirkleistung [W] Ueft.........Effektivspannung [V] Ieft...........Effektivstrom [A]

12.4 Leistungsfaktor

P cos = S ϕ............Phasenwinkel [°] S.............Scheinleistung [VA] P.............Wirkleistung [W]


81

82


13 Schwingkreise

13.1 Serienschwingkreis

Resonanz dann , wenn I mZ =0 1 res =  LC

13 Schwingkreise

83

U ges I res = R eZ  ωres.........Resonanzfrequenz [1/s] L.............Induktivität [H] C............Kapazität [F] Ires...........Resonanzstrom [A] Uges.........Gesamtspannung [V] Im(Z)......Imaginärteil aus Z Re(Z)......Realteil aus Z

13.2 Parallelschwingkreis

Resonanz dann , wenn I mY =0 1 res =  LC ωres.........Resonanzfrequenz [1/s] 84

13 Schwingkreise

L.............Induktivität [H] C............Kapazität [F] Im(Y)......Imaginärteil aus Y

13.3 Nomierung von Schwingkreisgrößen 13.3.1 Kennfrequenz des Resonanzkreises

1 0=  LC ω0...........Kennfrequenz [1/s] L.............Induktivität [H] C............Kapazität [F] 13.3.1.1 nomierte Frequenz

 = 0 ν.............nomierte Frequenz [1/s] ω............Aktuelle Frequenz [1/s] ω0...........Kennfrequenz [1/s] 13 Schwingkreise

85

13.3.2 Kennwiderstand des Resonanzkreises



L Z 0= C Z0............Kennwiderstand [Ω] L.............Induktivität [H] C............Kapazität [F]

13.3.3 Verstimmung

1  0 v=− = −  0  v.............Verstimmung ν.............nomierte Frequenz [1/s] ω............Aktuelle Frequenz [1/s] ω0...........Kennfrequenz [1/s]

86

13 Schwingkreise

13.3.4 Gütefaktor und Dämpfungsfaktor

1 Q= d Q............Gütefaktor d.............Dämpfungsfaktor 13.3.4.1 Serienschwingkreis 13.3.4.1.1 Gütefaktor

UL U c 0 L Q= = = = U ges U ges R 1 0 C 1 G = = R 0 C⋅R 0 C Q............Gütefaktor Uges.........Gesamtspannung [V] 13 Schwingkreise

87

UL...........Spannung an der Induktivität[V] UC...........Spannung an der Kapazität [V] ω0...........normierte Frequenz [1/s] L.............Induktivität [H] R............Widerstand [Ω] C............Kapazität [F] G............Wirkleitwert [S]

0 L L Q= = = R  LC⋅R L 1 Z0 ⋅ = C R R



Q............Gütefaktor ω0...........normierte Frequenz [1/s] L.............Induktivität [H] R............Widerstand [Ω] C............Kapazität [F] Z0............Impedanz [Ω]

88

13 Schwingkreise

13.3.4.1.2 Bauteilgüte einer Spule

L Q= R Q............Gütefaktor ω............Kreisfrequenz [1/s] L.............Induktivität [H] R............Widerstand [Ω] 13.3.4.2 Parallelschwingkreis 13.3.4.2.1 Gütefaktor

IL IC R Q= = = = I ges I ges 0 L 0 C R⋅0⋅C = G Q............Gütefaktor Iges..........Gesamtstrom [A] 13 Schwingkreise

89

IL.............Strom durch Induktivität[A] IC............Strom durch Kapazität [A] R............Widerstand [Ω] ω0...........normierte Frequenz [1/s] L.............Induktivität [H] C............Kapazität [F] G............Wirkleitwert [S] 13.3.4.2.2 Bauteilgüte eines Kondensators

C Q= G Q............Gütefaktor ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F] G............Wirkleitwert [S]

90

13 Schwingkreise

13.3.5 Die Bandbreite 13.3.5.1 Serienschwingkreis

B* 1 R B= = ⋅ 2 2 L B............Bandbreite B*...........Bandbreite* R............Widerstand [Ω] L.............Induktivität [H]

13 Schwingkreise

91

R B= L *

B*...........Bandbreite* R............Widerstand [Ω] L.............Induktivität [H] 13.3.5.2 Parallelschwingkreis

1 G B= ⋅ 2 C B............Bandbreite G............Leitwert [S] C............Kapazität [F]

13.3.6 Zusammenhang Güte, Dämpfung und Bandbreite

f0 B= = f 0⋅d = f go − f gu Q B............Bandbreite 92

13 Schwingkreise

f0............nomierte Frequenz[Hz] fgu...........Untere Grenzfrequenz [Hz] fgo...........Obere Grenzfrequenz [Hz] Q............Gütefaktor d.............Dämpfungsfaktor

2

0 = go⋅ gn ω0...........nomierte Frequenz [1/s] ωgu..........Untere Grenzfrequenz [1/s] ωgo..........Obere Grenzfrequenz [1/s]

13.3.7 Das Bodediagramm 13.3.7.1 Übertragungsfunktion

U 2 Wirkung H  j = = U 1 Ursache H(jω)......Übertragungsfunktion U1...........Eingangsspannung [V] U2...........Ausgangsspannung [V]

13 Schwingkreise

93

13.3.7.2 Hochpass 13.3.7.2.1 Übertragungsfunktion

R

H  j =

R− j

1 C

R

= R

1 j C

H(jω)......Übertragungsfunktion R............Widerstand [Ω] ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F] 13.3.7.2.2 Verstärkung

∣H  j ∣=

R



1 R 2  C  2

|H(jω)|. .Absolutwert Übertragungsfunktion R............Widerstand [Ω] ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F]

94

13 Schwingkreise

13.3.7.2.3 Phasenwinkel

=arctan 

1   RC

ϕ............Phasenwinkel [°] ω............Kreisfrequenz [1/s] R............Widerstand [Ω] C............Kapazität [F] 13.3.7.2.4 Grenzfrequenz

g=

1 RC

ωg...........Grenzfrequenz [1/s] R............Widerstand [Ω] C............Kapazität [F]

13 Schwingkreise

95

13.3.7.3 Tiefpass 13.3.7.3.1 Übertragungsfunktion

1 H  j = 1 j  RC H(jω)......Übertragungsfunktion R............Widerstand [Ω] ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F] 13.3.7.3.2 Verstärkung

1 ∣H  j ∣= 2 1 R C   |H(jω)|. .Absolutwert Übertragungsfunktion R............Widerstand [Ω] ω............Kreisfrequenz [1/s] C............Kapazität [F]

96

13 Schwingkreise

13.3.7.3.3 Phasenwinkel

=arctan − R C  ϕ............Phasenwinkel [°] ω............Kreisfrequenz [1/s] R............Widerstand [Ω] C............Kapazität [F] 13.3.7.3.4 Grenzfrequenz

1 g= RC ωg...........Grenzfrequenz [1/s] R............Widerstand [Ω] C............Kapazität [F]

13 Schwingkreise

97

98

13 Schwingkreise

Elektrisches Feld

13 Schwingkreise

99

100

13 Schwingkreise

14 Grundgrößen

14.1 Feldstärke

 F = E Q U  E= d U............Spannung [V] d.............Abstand [m]

14 Grundgrößen

101

E.............elektrische Feldstärke [V/m] F.............Kraft auf eine Probeladung [1N] Q............Ladung [C/As]

14.2 Flussdichte

 =⋅E  D Q  D= A D............Flussdichte [As/m²] E.............elektrische Feldstärke [V/m] ε.............Permittivität [F/m] A............Fläche [m²] Q............Ladung [C/As]

14.3 Permittivität

=r⋅0 ε.............Permittivität [F/m] εr............relative Permittivität 102

14 Grundgrößen

ε0............Naturkonstante Permittivität [F/m]

Permittivität des leeren Raumes=0 =8,854⋅10−12

F m

14.4 Kraft

 =m⋅a F m...........Masse [kg] F.............Kraft auf eine Probeladung [1N] a.............Erdbeschleunigung = 9,81 [m/s²]

14.5 Ladung

∣ Q= A⋅∣D ∣ Q= A⋅⋅∣E

Q= I⋅t Q=C⋅U Q............Ladung [C/As] I..............Strom [A] 14 Grundgrößen

103

t.............Zeit [s] A............Fläche [m²] D............Flussdichte [As/m] ε.............Permittivität [F/m] E.............elektrische Feldstärke [V/m] C............Kapazität [F] U............Spannung [V]

14.6 Kapazität

Q C= U A⋅ C= d C............Kapazität [F] Q............Ladung [C/As] A............Fläche [m²] d.............Abstand [m] ε.............Permittivität [F/m]

104

14 Grundgrößen

U............Spannung [V]

14 Grundgrößen

105

106

14 Grundgrößen

15 Die Kapazität

15.1 Serienschaltung

C 1⋅C 2 C ges= C 1C 2 Cges.........Gesamt Kapazität [F] C1...........Kapazität 1 [F] C2...........Kapazität 2 [F]

15 Die Kapazität

107

15.2 Parallelschaltung

C ges=C 1C 2 Cges.........Gesamt Kapazität [F] C1...........Kapazität 1 [F] C2...........Kapazität 2 [F]

108

15 Die Kapazität

16 Energie und Kraftwirkung im elektrischen Feld

16.1 Energieinhalt

C⋅U² W= 2 C............Kapazität [F] W...........Energieinhalt [Ws] U............Spannung [V]


109

16.2 Kraft

Q² F= 2⋅A⋅ F.............Kraft [N] Q............Ladung [C/As] A............Fläche [m²] ε.............Permittivität [F/m]

16.3 Arbeit

W =U⋅Q W...........Arbeit [J] Q............Ladung [C/As] U............Spannung [V]

110


16.4 Leistung

W P= t W...........Arbeit [J] P.............Leistung [W] t.............Zeit [s]


111

112


17 Coulombsches Gesetz

17.1 Kraft

F=

Q 1⋅Q 2 2

4⋅r ⋅⋅  F =Q⋅E Q1...........Ladung 1 [As][C] Q2...........Ladung 2 [As][C] r.............Radius [m] ε.............Permittivität [F/m] 17 Coulombsches Gesetz

113

r.............Radius [m] Q............Ladung [C/As] E.............Elektrische Feldstärke [V/m]

17.2 Elektrische Feldstärke

D E=  D............Flussdichte [As/m²] E.............elektrische Feldstärke [V/m] ε.............Permittivität [F/m]

114

17 Coulombsches Gesetz

18 E und C im 2-schichtigen Dielektrikum

E 1 r2 = E 2 r1 E1...........Feldstärke 1 [V/m] E2...........Feldstärke 2 [V/m] ε1............Permittivität 1 [F/m] ε2............Permittivität 2 [F/m]


115

116


19 Kondensator an zeitabhängiger Spg.

19.1 Stromstärke zum Zeitpunkt t

U c i t =C⋅ t i(t)..........Stromstärke [A] C............Kapazität [F] ΔUC.........Spannung [V] Δt...........Zeit [s]


117

19.2 Ladung

qt =C⋅U c t  q(t).........Ladung [As][C] C............Kapazität [F] UC (t).......Spannung [V]

118


Elektromagnetismus


119

120


20 Grundgrößen

20.1 Magnetische Feldstärke

l H= 2⋅r⋅ H............Magnetische Feldstärke [A/m] r.............Radius [m] l..............Länge [m]

20.2 Flussdichte

  B = µ⋅H 20 Grundgrößen

121

H............Magnetische Feldstärke [A/m] B............Magnetischer Fluss, Induktion [T] µ............Permeabilität [H/m]

20.2.1 Permeabilität

µ=µ0⋅µr µ............Permeabilität [H/m] µr............relative Permeabilität µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m]

20.3 Induktivität

 L'= I L ges = L '⋅N L'............Induktivität einer Windung [H] Lges..........Gesamte Induktivität [H] Φ............magnetischer Fluss [Wb] I..............Stromstärke [A] 122

20 Grundgrößen

N............Windungszahl

20.4 Durchflutung einer Spule

= H⋅l= N⋅I Θ............Durchflutung [A] H............Magnetische Feldstärke [A/m] l..............Länge [m] N............Anzahl der Windungen I..............Stromstärke [A]

20.5 Spannung

 U= t U............Spannung [V] Φ............magnetischer Fluss [Vs] t.............Zeit [s]

20.6 Kraftwirkung im magnetischen Feld

F = B⋅I⋅l 20 Grundgrößen

123

F.............Kraft [N] l..............Länge [m] B............Magnetischer Fluss, Induktion [T]

124

20 Grundgrößen

21 Induktionsgesetz

21.1 Allgemein

 U = N⋅ t U............Spannung [V] ΔΦ.........magnetischer Fluss [Vs] Δt...........Zeit [s] N............Windungszahl

21 Induktionsgesetz

125

21.2 Induktion der Bewegung 21.2.1 Spannung

U 0=B⋅l⋅v U0...........Spannung [V] B............Magnetischer Fluss, Induktion [T] l..............Länge [m] v.............Geschwindigkeit [m/s]

21.3 Induzierte Spannung durch zeitlich veränderliche Magnetfelder 21.3.1 Flussänderung Dreiecksförmig 21.3.1.1 Spannung

U 0max =4⋅f ⋅N⋅max U0max.......Spannung [V] f.............Frequenz [Hz] N............Windungszahl Φmax........Fluss [Vs]

126

21 Induktionsgesetz

21.3.2 Flussänderung Sinusförmig 21.3.2.1 Spannung

U 0max =4,44⋅f ⋅N⋅max U0eft........Spannung [V] f.............Frequenz [Hz] N............Windungszahl Φmax........Fluss [Vs]

21.3.3 Selbstinduktion

 u=N⋅ t U............Spannung [V] ΔΦ.........magnetischer Fluss [Vs] Δt...........Zeit [s] N............Windungszahl

 e=−N⋅ t 21 Induktionsgesetz

127

e.............Selbstinduzierte Spannung [V] ΔΦ.........magnetischer Fluss [Vs] Δt...........Zeit [s] N............Windungszahl

e=−u e t=−ut  e.............Selbstinduzierte Spannung [V] u.............Spannung [V]

1 t =P = ⋅∑  u⋅t ...t=0 N Φ............magnetischer Fluss [Vs] P.............Leistung [W] N............Windungszahl u.............Spannung t.............Zeit [s]

128

21 Induktionsgesetz

21.4 Gegeninduktion - Trafoprinzip 21.4.1 Trafogesetze 21.4.1.1 1. Trafogesetz

U1 N1 = U2 N2 U1...........Primärseitige Spannung [V] U2...........Sekundärseitige Spannung [V] N1...........Primärseitige Wicklung N2...........Sekundärseitige Wicklung 21.4.1.2 2. Trafogesetz

U1 I2 N1 = = U 2 I1 N 2 U1...........Primärseitige Spannung [V] U2...........Sekundärseitige Spannung [V] I1............Primärseitiger Strom [A] 21 Induktionsgesetz

129

I2............Sekundärseitiger Strom [A] N1...........Primärseitige Wicklung N2...........Sekundärseitige Wicklung 21.4.1.2.1 Übersetzungsverhältnis

Oberspannung ü= Unterspannung ü.............Übersetzungsverhältnis 21.4.1.3 3. Trafogesetz

2

2

Z1 U1 N1 2 =  =  =ü Z2 U2 N2 U1...........Primärseitige Spannung [V] U2...........Sekundärseitige Spannung [V]

130

21 Induktionsgesetz

22 Induktivität von Spulen

22.1 Für alle Spulen mit 1 mag. Wdst. Gilt 22.1.1 Magnetische Feldstärke

I⋅N H= l H............Magnetische Feldstärke [A/m] I..............Strom [A] N............Windungszahl l..............Länge [m]


131

22.1.2 Durchflutungssatz

= I⋅N =H⋅l Θ............Durchflutung [A] H............Magnetische Feldstärke [A/m] l..............Länge [m] N............Anzahl der Windungen I..............Stromstärke [A]

22.1.3 Induktion

B= µ⋅H B............Magnetischer Fluss, Induktion [T] µ............Permeabilität [H/m] H............Magnetische Feldstärke [A/m]

22.1.4 Magnetische Fluss

= B⋅A Φ............magnetischer Fluss [Vs] B............Induktion [T] A............Fläche [m²]

132


I⋅N = µ⋅ ⋅A l Φ............magnetischer Fluss [Vs] B............Induktion [T] I..............Strom [A] N............Windungszahl l..............Länge [m] A............Fläche [m²]

22.2 2. Form des Induktionsgesetz

i U = L⋅ t U............Spannung [V] L.............Induktivität [H] i..............Strom [A] t.............Zeit [s]


133

22.3 Induktivität Allgemein

2

N 2 2 L= = N ⋅= N ⋅A L Rm N............Windungszahl Rm...........Magnetischer Widerstand [1/H] Λ............Magnetischer Leitwert AL...........AL - Wert

 L=N⋅ i L.............Induktivität [H] N............Windungszahl Φ............magnetischer Fluss [Vs] i..............Strom [A]

134


22.3.1 Magnetische Widerstand

1 1 R m= =  AL Rm.........Magnetischer Widerstand [1/H] Λ............Magnetischer Leitwert AL...........AL - Wert

22.4 Luftspule 22.4.1 Ringspule (Torus) 22.4.1.1 Fläche

d 2⋅ A= 4 A............Fläche [m²] d.............Durchmesser [m]


135

22.4.1.2 Länge

l= D⋅ l..............Länge [m] D............Außendurchmesser [m] 22.4.1.3 Magnetischer Widerstand

l R m= µ0⋅A Rm...........Magnetischer Widerstand [1/H] l..............Länge [m] µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m] A............Fläche [m²] 22.4.1.4 Induktivität

A L=N ⋅µ0⋅ l 2

L.............Induktivität [H] N............Windungszahl 136


l..............Länge [m] µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m] A............Fläche [m²]

22.4.2 Zylinderspule 22.4.2.1 Für l ≥ d 22.4.2.1.1 Fläche

2

d ⋅ A= 4 A............Fläche [m²] d.............Durchmesser [m] 22.4.2.1.2 Magnetischer Widerstand

l R m= µ0⋅A Rm...........Magnetischer Widerstand [1/H] l..............Länge [m] 22 Induktivität von Spulen

137

µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m] A............Fläche [m²] 22.4.2.1.3 Induktivität

A L=N ⋅µ0⋅ l 2

L.............Induktivität [H] N............Windungszahl µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m] A............Fläche [m²] l..............Länge [m] 22.4.2.2 Für l < 10 d 22.4.2.2.1 Fläche

d 2⋅ A= 4 A............Fläche [m²] d.............Durchmesser [m] 138


22.4.2.2.2 Magnetischer Widerstand

l R m= µ0⋅A Rm...........Magnetischer Widerstand [1/H] l..............Länge [m] µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m] A............Fläche [m²] 22.4.2.2.3 Induktivität

L nach Nagaoka L[ nH ]=K⋅N 2⋅d [cm] L[nH].........Induktivität [nH] K.............Nagaoka Koeffizient N............Windungszahl d[cm]........Durchmesser [cm]


139

22.5 Eisendrossel ohne Luftspalt 22.5.1 Magnetischer Widerstand

l Fe R mFe = µ0⋅µr⋅A Fe RmFe........Magnetischer Widerstand [1/H] lFe............Länge (Eisen) [m] µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m] µr............relative Permeabilität AFe..........Fläche (Eisen) [m²]

22.5.2 Induktivität

A Fe L=N ⋅µ0⋅µr⋅ l Fe 2

L.............Induktivität [H] N............Windungszahl µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m] µr............relative Permeabilität 140


AFe..........Fläche (Eisen) [m²] lFe............Länge (Eisen) [m]

22.6 Eisendrossel mit Luftspalt 22.6.1 Induktion 22.6.1.1 In Sättigung bei Trafo Perm N2

B1,5T B l Fe = I⋅N = ⋅[ l  ] µ0 µr ...............Durchflutung [A] I..............Strom [A] N............Windungszahl B............Magnetische Flussdichte, Induktion [T] µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m] lFe............Länge (Eisen) [m] µr............relative Permeabilität lδ............Länge (Luft) [m]


141

22.6.1.2 Nicht in Sättigung bei Trafo Perm N2

B1,5T I⋅N B≃ l B............Magnetische Flussdichte, Induktion [T] I..............Strom [A] N............Windungszahl lδ............Länge (Luft) [m]

22.6.2 Induktivität

A Fe L≃ N ⋅µ0⋅ l 2

L.............Induktivität [H] N............Windungszahl µ0...........Permeabilität des leeren Raumes [H/m] AFe..........Fläche (Eisen) [m²] 142


lδ............Länge (Luft) [m]

22.7 Spule an Wechselspannung 22.7.1 Spannung

i u= L⋅ t u.............Spannung [V] L.............Induktivität [H] i..............Strom [A] t.............Zeit [s]

22.7.2 Strom

1 i t = ⋅∑ u⋅ t  I konst t=0 L i..............Strom [A] L.............Induktivität [H] u.............Spannung [V] t.............Zeit [s]


143

144


23 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen

23.1 Kopplungsgrad und Streufaktor 23.1.1 Kopplungsgrad

n Nutzfluss k= =  ges Gesamtfluss k.............Kopplungsgrad Φn..........Nutzfluss [Vs]

23 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen145

Φges........Gesamtfluss [Vs]

23.1.2 Streufaktor

 =  ges σ............Streufaktor Φn..........Streufluss [Vs] Φges........Gesamtfluss [Vs]

23.1.3 Übersetzungsverhältnis

U1 ü=k⋅ U2 ü.............Übersetzungsverhältnis k.............Kopplungsgrad U1...........Spannung 1 [V] U2...........Spannung 2 [V]


23.2 Gegeninduktivität

M =k⋅ L1⋅L 2 M...........Gegeninduktivität [H] k.............Kopplungsgrad L1............Induktivität 1 [H] L2............Induktivität 2 [H]

23.2.1 Gesamtstreufaktor

=1−k

2

σ............Gesamtstreufaktor k.............Kopplungsgrad

23.3 Kopplung von 2 in Serie geschaltete Spulen 23.3.1 Gleichsinnig wirkende Suplen 23.3.1.1 Für k = 100% , Ϭ = 0

L ges= L1 L22M 23 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen147

Lges..........Gesamtinduktivität [H] L1............Induktivität 1 [H] L2............Induktivität 2 [H] M...........Gegeninduktivität [H] 23.3.1.2 Für 0 < k < 1, 0 < Ϭ < 1

L ges= L1 L22M Lges..........Gesamtinduktivität [H] L1............Induktivität 1 [H] L2............Induktivität 2 [H] M...........Gegeninduktivität [H] 23.3.1.3 Für k = 0, Ϭ = 1 23.3.1.3.1 Serie

L ges= L1 L2 Lges..........Gesamtinduktivität [H] L1............Induktivität 1 [H] L2............Induktivität 2 [H]


23.3.1.3.2 Parallel

L1⋅L 2 L ges= L1  L2 Lges..........Gesamtinduktivität [H] L1............Induktivität 1 [H] L2............Induktivität 2 [H]

23.3.2 Gegensinnig wirkende Spulen

L ges= L1 L22M Lges..........Gesamtinduktivität [H] L1............Induktivität 1 [H] L2..............Induktivität 2 [H] M...........Gegeninduktivität [H]

23 Gegenseitige indukt. Beeinflussung stromdurchflossener Spulen149


24 Energie im magnetischen Feld

24.1 Energieinhalt

2

L⋅I W= 2 N⋅⋅I W= 2 24 Energie im magnetischen Feld

151

2

N ⋅ W= 2L

2

W...........Energieinhalt [W] [J] [Nm] L.............Induktivität [H] I..............Strom [A] N............Windungszahl Φ............Magnetischer Fluss [Vs]

24.2 Energiedichte

W B⋅H w= = v 2

W µ⋅H 2 w= = v 2

152


2

B w= 2µ w............Energiedichte [Ws/m³] W...........Energieinhalt [W] [J] [Nm] B............Magnetischer Fluss, Induktion [T] H............Magnetische Feldstärke [A/m] µ............Permeabilität [H/m]


153

154


Anhang


155

156


25 Konstanten

Formelzeichen Größe

Wert

γCu

Leifähigkeitswert von 56 S⋅m/mm² Kupfer

γAl

Leifähigkeitswert von 35 S⋅m/mm² Aluminium

g

Erdbeschleunigung

c

4,19 kJ/kg⋅K Spezifische Wärmekapazität H20



0

μ

0

25 Konstanten

9,81 m/s²

Permittivitat des leeren Raumes

8,854 ⋅ 10−12 F/m

Permeabilitat des leeren Raumes

4 π ⋅ 10-7 H/m

157

158

25 Konstanten

26 Griechisches Alphabet

Buchstabe

Bezeichnung

groß

klein

Α

α

Alpha

Β

β

Beta

Γ

γ

Gamma

Δ

δ

Delta

Ε

ε

Epsilon

Ζ

ζ

Zeta

Η

η

Eta

Θ

θ

Theta

Ι

ι

Jota

Κ

κ

Kappa


159

Λ

λ

Lambda

Μ

μ

My

Ν

ν

Ny

Ξ

ξ

Xi

Ο

ο

Omikron

Π

π

Pi

Ρ

ρ

Roh

Σ

σ

Sigma

Τ

τ

Tau

Υ

υ

Ypsilon

Φ

φ

Phi

Χ

χ

Chi

Ψ

ψ

Psi

Ω

ω

Omega

160


Stichwortverzeichnis & Impressum



161

162


Stichwortverzeichnis A Admittanz 65, 67, 70ff., 75 Amperemeter 35 B Bandbreite 91ff. Blindleistung 80f. Blindleitwert 62ff. Blindwiderstand 61, 63f. C Crestfaktor 56 D Dielektrikum 115 Dreieck 38f., 52, 55, 126 E Eisendrossel 11f., 140f. Energiedichte 12, 152f. Energieinhalt 9, 12, 109, 151ff. F Flussdichte 102, 104, 114, 121, 141f. Formfaktor 56f. G Stichwortverzeichnis & Impressum

163

Gegeninduktion 129 Grenzfrequenz 93, 95, 97 H Hochpass 94 I Impedanz 64ff., 73, 88 K Kopplungsgrad 145ff. M Mittelwert 50 R Resonanz 84ff. S Scheinleistung 80f. Scheitelfaktor 56 Spule 89, 123, 131, 143, 145, 147, 149 Stern 38f. streufaktor 147 Streufaktor 145f. T Tiefpass 96 Trafo 129f., 141f.

164


V Verstärkung 94, 96 Verstimmung 86 Voltmeter 36 W Wirkleistung 79ff.


165

166


Impressum 2. Auflage 2010 Version Nr.: 327 © 2010 Jakob Vesely2008-2010 Alle Rechte Vorbehalten. Ohne ausdrückliche Genehmigung des Autors ist es nicht gestattet, das Buch oder Teile davon auf photomechanischem Wege (Fotokopie, Mikrokopie) zu vervielfältigen! Gedruckt auf 80 g/m² Elementar-Chlor-Freiem Papier


167

Formelsammlung Grundlagen der Elektrotechnik

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