Formelsammlung Vektorrechnung

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Formelsammlung Vektorrechnung

Ma thema tisc tisc he Sym Sym bo le und Forme Forme ln:

  x1     x2         P1  y1   P2  y 2           z1     z2   l=

Punkt

b ezoge n auf rec htw inkli inklige ge s x / y / z - Koo rd inate nsys nsystem tem

tenschreibweise

  x1 +  x 2       2    y +  y 2    M  1  2     z1 +  z 2      2       x 2 −  x1   →    P1 P2 =   y 2 −  y1        z 2 −  z1  

P2

Vektor, Vektor, de r durch

!

i

→

d en Pfeil Pfeil von P1 →

n a c h P2 bestimmt ist.

a !

=

a

=a

 x a

>0

xa

2

xa , ya un u nd za !

Vektor a mit de n Komponenten un d  za  xa , ya und

+ y +z 2

a

!

=

!

a

Eiheitsvektoren in den Richtungen der x-, x-, y- und z-Ac hse hse e ines räumlichen rechtwinkligen Koordinatensystems

j

=

!

k 

=1

 1      =  0       0  

!

Geg envektor zu zu a

  xa     xb     xa +  xb            a + b =  ya  +  yb  =  ya +  yb              za     zb     za +  zb  

Summ e d er Vektoren !

  xa     xb     xa −  xb            a − b =  ya  −   yb  =   ya −  yb              za     zb     za −  zb  

Differenz !der Vekto! ren a , b

  x a    k ⋅ xa         k ⋅a = k  y a  =  k  ⋅  y a           z a    k ⋅ z a  

Multiplikation des ! Vektors a mit einem Ska la r k

!

!

!

!

!

(Zeilen (Zeilen sc hreib w eise) eise) !

=

a

a

  xa    −  xa         − a = −1 ⋅ a = −1 ⋅   ya  =  −  ya           za    −  za  

!

!

)

!

!

Vektor a mit de n Komponenten

za

!

!

!0

i , j , k 

  xa      a =  y a        z a   = ( xa  ya

=1 ,

a

d em Punkt P zug eordn ete r Ortsvekto Ortsvekto r mit dem Koordinate nursp nursp rung 0 a ls Anfa ng s- und P als Endpunkt

a

!

!

!

  x p      0 P =  p =  y p    z      p  

!

Einheitsvektor mit der ! Richtung von a un d d er Lä ng e 1 in Betrag-RichtungsSc hreib w eise eise

 cosα a     =   , a ≠ 0 α a sin    

!o

!

!

!

a

P2

i

!

 a cosα a     =  α a   a sin    

!o

Mittelpunkt M zwischen zwei Punkten un d P1 und

Vektor a mit den Komponenten in Betrag-RichtungsSc hreib w eise eise (2-dimensional)

Ab sta nd zwe ier PunkPunkte un d P1 und

→

!

a

P2 in Koo Koo rd ina-

( x2 −  x1 )2 + ( y2 −  y1 )2 + ( z2 − z1 )2

!

!

P1 und Punkt

!

a ,b

!

!

a −b

(k

∈

!

!

= a + −b

R)

!

Betrag d es Vektors a

2

a

  y   =  ATAN  a       xa    x a < 0   y a   α a =  ATAN    x    + 180   a  

!

a

(Lä (Lä ng e d es Vektors ! a) !

zum Ve ktor a höriger Winkel

α  a

!

= k ⋅b

!

oder b

!

= k ⋅a

od er zus zusam am meng efa ßt: !

!

k1 ⋅ a + k 2 ⋅ b

geα a

nic nic ht beide

(2-dimensional)

"

1

!

zwei !Vektoren a und un d b sind kollinear od er lilinear ab häng ig

!

=0 k i = 0

⇒

Vektoren besitzen die g leic leic he Richtung Richtung

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Ma thema tisc tisc he Sym Sym bo le und Forme Forme ln: !

c

!

!

= k1 ⋅ a + k 2 ⋅ b

od er allgem allgem ein: !

!

b ezoge n auf rec htw inkli inklig g es x / y / z - Koo rd inate nsys nsystem tem

!

!

!

!

drei Vektoren a , b ! und un d c sind komplana r od er linear abhängig

  x1     xa     xc             y1  =  y a  + r ⋅  y c              z1     z a     z c  

⇒

c1

k1 ⋅ a + k 2 ⋅ b + k 3 ⋅ c = 0 nicht a lle lle d rei k i !

c

!

=0

!

= m⋅ a + n ⋅b

ist Komponente vo n c in Richtung von !

!

a

!

n ⋅b

ist Komponente ! vo n c in Richtung von !

b !

d

!

!

!

= l ⋅ a + m⋅b + n ⋅ c !

l ⋅a

!

eines Kompo-

ist Komponente

!

a

!

m ⋅b

ist Komponente ! vo n d  in Richtung von !

!

Richtungsvektoren kollinear sind

!

!

!

r

∈

!

!

Zerlegen eines Vektors in Kom Kom p one nten : Darstellen eines Vek! tors d  durch Linearkombination dreier linear unabhängiger ! ! Vektoren a , b und un d

!

!

a

b

!

⊥b

a

!

Vektor ! a Vektor b

!

!

 x

Ortsvektoren Geradenpunkte !

a

!

(Vektor a !senkrecht zu Ve ktor b )

c

! !

α 

= ∠(a,b )

orientierter Winkel α zwischen den Vekto! !

ren a un d b

  x a     xb         a • b =  y a  •   y b           z a     z b   = xa ⋅ xb + ya ⋅ yb + za ⋅ zb !

(gilt für Ebene und Raum)

Stüt zve kto r

!

c

!

∈

!

!

R

 x

Ortsvektoren Geradenpunkte !

a

!

= a + r ⋅ (− a + b )

!

aller

cos (α ) =

Gerade in 2-PunkteForm

!

a •b !

!

a⋅b

Ska larp rod ukt zwischen den ! ! Vektoren a und un d b

Berechnung des Winke ls zw isc isc he n ! den !Vektoren a un d b

(gilt für Ebene und Raum)

!

!

a •b

= 0 oder xa ⋅ xb + ya ⋅ yb + za ⋅ zb = 0

ist ist d er Stüt Stüt zve kto r !

!

!

Richtungsvektor

g: x r

aller

parallel

ortogonale Vektoren

!

Gerade in PunktRic htung ht ung s-Fo -Fo rm

R

Sc hnittpunktprob hnittpunktprob e / berechnung

r und s können berechnet werden /  das Gleichungssystem ist ist Wid e rsp rsp ruc hsfrei hsfrei

b

= a + r⋅c

jede Komponente d as gleiche r be stimmen läßt

g1 ™ g2 wenn die

!

!

ist Komponente vo n d  in Richtung von !

!

 

Parallelitätsprobe:

= x2 a1 + r ⋅ c1 = a2 + s ⋅ c2

 x1

!

g: x

!

 x1 ∈ g wenn sich für

für jede Komponente kann da s gleiche gleiche k ermittelt ermittelt werde n

Darstellen eines Vek! tors c durch Linearkombination zwe ier linea linea r una b hängiger! Vektoren ! a und un d b im Ra Ra um:

vo n d  in Richtung von

b ! n⋅c

Zerlegen Vektors in nenten:

!

= k ⋅ c2   x c1     xc 2          y c1  = k  ⋅  y c 2           z c1     z c 2  

in der Eb Eb ene :

!

m⋅a

!

Vektoren liegen a uf einer Eb Eb ene

Punktprobe:

!

( −a + b )

ist ist d er Ric Ric htungsvektor

2

gilt für ortogonale ! ! Vektoren a ⊥ b