Stahlbau Grundlagen
Der Grenzzustand der Stabilität nach Theorie II. Ordnung Prof. Dr.-Ing. Uwe E. Dorka
Leitbauwerk Leitbauwerk Halle Geometrisch perfektes System: keine Kräfte in den Diagonalen, Gleichgewicht im Nachbarzustand führt auf das Stabilitätsproblem „Systemknicken“
Geometrisch imperfektes System: zh
Schiefstellung liefert Kräfte in den Diagonalen, Gleichgewicht am verformten System führt auf das Spannungsproblem „Zugkraft in der Diagonalen“
z
1
Z ist von d abhängig, aber d ist auch von Z abhängig (elastische Verformung Verformung der Diagonalen) -> nicht sofort so fort geschlossen lösbar
Imperfekte Systeme - Einführungsbeispiel Bestimmung der Gesamtverformung dges aus Anfangsschiefstellung d0 :
Anfangsschiefstellung d0 und Ersatz der Zugdiagonalen durch Feder mit der Steifigkeit K
•
anfängliche Federkraft aus Gleichgewicht:
•
daraus folgt die zusätzliche Verformung der Feder:
•
zusätzliche Federkraft
•
neue Federkraft
•
daraus folgt weitere Verformung:
•
und erneuter Zuwachs der Federkraft….
dies sind Reihen mit immer kleiner werdenden Zuwächsen!
Imperfekte Systeme - Einführungsbeispiel Bestimmung der Gesamtverformung dges aus Anfangsschiefstellung d0 :
d0
geometrische Reihe
Imperfekte Systeme - Einführungsbeispiel Bestimmung der Gesamtverformung dges aus Anfangsschiefstellung d0 :
d0
• Analog lässt sich die Federreaktion H entwickeln
Imperfekte Systeme - Einführungsbeispiel Bestimmung der Gesamtverformung dges aus Anfangsschiefstellung d0 :
d0
dabei ist:
Zusammenhang mit Systemknicken!
oder auch: damit stehen 2 einfache Wege zur Berechnung eines imperfekten Systems zur Verfügung: 1. 2.
Steigerung über die Knicklast Steigerung über den 1. Verformungs bzw. Lastzuwachs
Imperfekte Systeme - Einführungsbeispiel Bestimmung der Gesamtverformung dges aus Anfangsschiefstellung d0 :
Elastizitätstheorie 2. Ordnung umstellen liefert: Pel strebt gegen Pcr (Systemknicken) aber H ≤ Hpl durch plastische Grenzlast der Zugdiagonalen!
Imperfekte Systeme - Einführungsbeispiel Bestimmung der Gesamtverformung dges aus Anfangsschiefstellung d0 :
Elastizitätstheorie 2. Ordnung umstellen liefert: Pel strebt gegen Pcr (Systemknicken) aber H ≤ Hpl durch plastische Grenzlast der Zugdiagonalen!
Plastizitätstheorie 2. Ordnung plastische Grenze: plastische Grenzlast der Feder
PR wahre Traglast dR
Grenzverformung
Imperfekte Systeme - Einführungsbeispiel Bestimmung der Gesamtverformung dges aus Anfangsschiefstellung d0 :
Elastizitätstheorie 2. Ordnung umstellen liefert: Pel strebt gegen Pcr (Systemknicken) aber H ≤ Hpl durch plastische Grenzlast der Zugdiagonalen!
Plastizitätstheorie 2. Ordnung plastische Grenze: plastische Grenzlast der Feder
PR wahre Traglast dR
Grenzverformung
Verformter elastischer Einzelstab – analytische Lösung zusätzliches Moment aus N am verformten Stab: • Gleichgewicht am verformten Stab:
mit M0: Anfangsmoment aus w0(x) •
Werkstoff
Verformter elastischer Einzelstab – analytische Lösung
• DGL • mit: • folgt:
Da die Biegelinie aus der Lösung der DGL die Form: hat, wird für die Anfangsverformung der afine Ansatz gewählt:
Verformter elastischer Einzelstab – analytische Lösung
• Einsetzen
mit
• es folgt:
wird
Verformter el. Einzelstab – Lösung mit Laststeigerung • Hinweis: Die Norm geht von einem parabelförmigen Verlauf aus! • Moment w0:
• 1. Zuwachs
• Ansatz für den Verlauf der
Vorverformung: hier als Knickform angenommen:
• 2. Zuwachs
Krümmung:
Verformter Einzelstab – Näherungslösung
unendliche geometrische Reihe
• mit
Vorverformter Einzelstab: elastisches Verhalten • Nur exakt, wenn q=konst, d.h. DM, DDM, DDDM alle affin • Vorverformung muß in guter Näherung der Knickbiegelinie entsprechen!
Falsche Vorverformung! Konvergiert auf Ncr,2
Vorverformter Einzelstab: elastisches Verhalten • Nur exakt, wenn q=konst, d.h. DM, DDM, DDDM alle affin • Vorverformung muß in guter Näherung der Knickbiegelinie entsprechen!
Falsche Vorverformung! Richtige Vorverformung! Konvergiert auf Ncr,2
Konvergiert auf Ncr,1
Vorverformter Einzelstab: elastisches Verhalten • Nur exakt, wenn q=konst, d.h. DM, DDM, DDDM alle affin • Vorverformung muß in guter Näherung der Knickbiegelinie entsprechen!
Falsche Vorverformung! Richtige Vorverformung! Konvergiert auf Ncr,2
Konvergiert auf Ncr,1
Vorverformter Einzelstab: Inelastisches Verhalten Bisher: ideal elastisches Werkstoffverhalten => was passiert, wenn plastische Gelenke auftreten? • Mpl,N – plastisches Moment im Gelenk unter Berücksichtigung der MN-Interaktion • Plastizitätstheorie II. Ordnung Gleichgewicht an der verformten Fließgelenkkette
Instabil! Größere Verformungen bedeuten kleinere Tragfähigkeiten !!!
Gleichgewicht:
Vorverformter Einzelstab: Reales Verhalten
= Traglast nach Fließgelenktheorie II. Ordnung ohne Ansatz von strukturellen Imperfektionen = Traglast nach Fließgelenktheorie II. Ordnung mit Ansatz von strukturellen Imperfektionen
Vorverformtes System
[P=q∙l]
elastisches Verhalten
plastische Kette
Vorverformtes System reales Verhalten
[P=q∙l]
1.Gelenk
reales Verhalten 2.Gelenk
reales Verhalten: 3.Gelenk ->instabil
reales Verhalten: 4.Gelenk ->instabil
Vorverformtes System
[P=q∙l]
elastisches Verhalten
plastische Kette
reales Verhalten Verhalten: instabil
Vorverformtes System – reales Verhalten • Einfluss der Eigenspannungen: [P=q∙l]
– Sukzessive Reduktion der Steifigkeiten durch früheren Fließbeginn – Eigenspannungen beeinflussen
auch den Ort, wo das plastische Gelenk entsteht und damit die Form der Gelenkkette – Es kommt bei bestimmten
Systemen zu einem Versagen, bevor sich die gesamte plastische Kette gebildet hat
• Streuung der Eigenspannungen
führt zu einer Streuung von Ptrag
Zusammenfassung •
Spannungsproblem, kein Eigenwertproblem mehr, wie bei der Stabilität!
•
1/(1-q) –Verfahren als einfache Näherung (geometrische Reihe)
•
Elastische Theorie II. Ordnung: Ncr ist Grenzwert, der asymptotisch erreicht wird
•
Gewählte Vorverformung muß in 1. Näherung der Knickform entsprechen
•
Plastische Theorie II. Ordnung: plastische Gelenkketten sind instabil!
•
Eigenspannungen und andere lokale Imperfektionen haben großen Einfluß auf die Traglast, sie werden durch eine entsprechende Vorverformung berücksichtigt -> nach Elastizitätstheorie ll. Ordnung rechnen und mit plastischem Grenzzustand vergleichen (siehe DIN EN 1993-1-1)
•
Einzelstäbe und Stabsysteme verhalten sich ähnlich -> Grundlage des Ersatzstabverfahrens
Referenzen [1] Roik – Vorlesungen über Stahlbau Verlag Ernst und Sohn, 2., überarbeitete Auflage, 1983 [2] DIN EN 1993-1-1: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten Beuth Verlag, 2005 [3] Petersen – Stahlbau Vieweg, 3. Auflage, 2001 [4] Petersen – Statik und Stabilität der Baukonstruktionen Vieweg, 2., durchgesehene Auflage, 1982
