Flujo y Separación de Partículas Sólidas por Medio de la Mecánica de Fluidos Considere una partícula que se mueve en un fluido en una sola dimensión, bajo la influencia de una fuerza externa. Esta fuerza externa puede deberse a la gravedad o a un campo de fuerza centrífuga. La teoría básica del flujo de sólidos a travs de fluidos se basa en el concepto de cuerpos con movimiento libre,
!onde F es la fuerza resultante que act"a sobre cualquier cuerpo, dv/d9 es la aceleración del cuerpo # m es. La masa del mismo. En la $ig. %%&%, las fuerzas que act"an sobre el cuerpo que está ca#endo, son la fuerza externa (FE), una fuerza de flotación (FB) # la fuerza de arrastre (FD) debida a la f r ricci i cción del fluido en su dirección de velocidad con respec respecto a la partícula. partícula. 'or tanto,( tanto,( por medio de la Ec. %%& %%&), La fuerza externa (FE) puede expresarse con la le# de *e+ton como co mo !onde BE es la aceleración de la partícula, resultante de la fuerza externa. La fuerza de arrastre se obtiene mediante la Ec. %%&)) !onde es la viscosidad v iscosidad del fluido # -. es la velocidad terminal de la partícula ver más adelante el significado/.. significado/ La fuerza de flotación se obtiene del principio de 0rquímedes. La masa del fluido desplazado por el sólido es (m/Ps) P, donde 's # ' son las densidades del sólid sólido # fluido, respectivamente. 'or tanto,
1ustitu#endo las Ecs. %%&2, %%&)) # %%&3 en la Ec.%%&%, se obtiene
Nota: Consideramos que que la fuerza externa es la gravedad, por lo que aE es igual a la aceleración de la gravedad g y esto reemplazo también en la ecuación 22-2 Dado que para esferas m = (π*(Dp 3)/6)ps
A la velocidad terminal, dv/dO 4 O y
a !c" ##$%& es un enunciado de la ley de 'to(es, que es aplica)le a la carda de part*culas esf+ricas con fluiD laminar. 'e utiliza, por eemplo, para calcular la viscosidad usando un viscos*metro de carda de una esfera" -na esfera de di.metro conocido cae a trav+s de un fluido de viscosidad desconocida en un tu)o" 'e mide el tiempo de carda entre los dos puntos indicados y mediante la !c" ##$ %&, es posi)le determinar la viscosidad"
Velocidad erminal. Considere la partícula de la $ig. %%&% ca#endo en un campo gravitacional, de tal
manera que otras partículas que puedan estar presentes no alteren su carda. 0 medida que la partícula cae, su velocidad aumenta # continuará incrementándose 5asta qu6 las fuerzas de aceleración # resistencia sean iguales. Cuando se alcanza este punto, la velocidad de la partícula permanece constante durante el resto de su carda, a menos que se rompa el equilibrio de fuerzas. Esta "ltima velocidad constante, se conoce como velocidad erminal.
!"ora a la ec#aci$n %%&' le aadiremos #n acor de +orrecci$n eniendo-
Donde VH es la velocidad terminal para la sedimentación o)staculizada"
1edimentación
El mecanismo de sedimentación puede describirse observando lo que ocurre durante una prueba de sedimentación intermitente en una probeta de vidrio, a medida que los sólidos se sedimentan a partir de una suspensión. La $ig. %%& )7a muestra una suspensión preparada recientemente con una concentración uniforme de partículas sólidas uniformes en toda la probeta. En cuanto se inicia el proceso, todas las partículas empiezan a sedimentarse # se supone que alcanzan con rapidez las velocidades ter minales bajo condiciones de sedimentación obstaculizada. 1e establecerán varias zonas de concentración $ig.%%&'). La zona D de sólidos sedimentados incluirá de manera predominante las partículas más pesadas, que se sedimentan más rápido. En una zona de transición poco definida situada por encima del material sedimentado, existen canales a travs de los cuales debe subir el fluido. Este fluido es forzado desde la zona D al comprimirse. La zona C es una región de distribución de tama8o variable # concentración no uniforme. La zona B es una zona de concentración uniforme, de casi la misma concentración # distribución que 5abía al inicio. En la parte superior de la región B existe un límite por encima del cual está el líquido transparente de la región !. 1i la suspensión original tiene un tama8o cercano a las partículas más peque8as, la línea entre ! # B es definida. 0 medida que contin"a la sedimentación, las zonas varían como se ilustra en la $ig. %%&', c, d. *ótese que ! # D crecen a expensas de B. 'or "ltimo alcanza un punto en donde B # C desaparecen # todos los sólidos aparecen en D0 esto se conoce como p#no cr1ico de sedimenaci$n $ig. %%&'e) &es decir, el punto en el cual se forma una sola interfase discernible entre el líquido clarificado # el sedimento. Las velocidades de sedimentación son mu# lentas en esta sus pensión densa. La fase f inal es un caso extremo de sedimentación obstaculizada. 1e puede usar la Ec. %%&%% para estimar velocidades de sedimentación. Esta expresión toma en cuenta la densidad # viscosidad efectivas del fluido, pero no considera la aglomeración de par tículas, de manera que la velocidad de sedimentación calculada puede tener un error considerable. En la operación ilustrada de sedimentación intermitente, las alturas de las diferentes zonas var ían con el tiempo, las mismas zonas estarán presentes en un equipo operando con rgimen continuo. 1in embargo, una vez que se 5a alcanzado un estado estable cuando a alimentación al espesador de la suspensión por unidad de tiempo es igual a la velocidad de eliminación de 9odos # líquido clarificado/, las alturas de todas las zonas serán constantes. En la $ig. %%&): se muestran las zonas para una sedimentación conin#a.
El equipo es sólo un tanque cilíndrico con aberturas para la alimentación de la suspensión # la eliminación del producto. El tanque se llena con una suspensión diluida # se permite que sedimente. !espus de un cierto periodo se decanta un líquido clarificado 5asta que aparece el lodo en el drenaje. El lodo se extrae del tanque por una abertura del fondo, como se indica en la $ig. %;&%;.
Los espesadores continuos $ig. %%&%)/ son tanques de gran diámetro # baja profundidad con rastrillos giratorios de baja velocidad para eliminar el lodo. La suspensión se alimenta por el centro del tanque. 0lrededor de la parte superior del tanque está un derrame de líquido clarificado. El rastrillo sirve para raspar el lodo 5acia el centro de la parte inferior para su descarga. El movimiento del rastrillo tambin
+2lc#lo de #n espesador conino. El dise8o de un espesador requiere de las especificaciones del área de sección transversal # la profundidad. Es posible dise8ar una unidad para obtener un producto específico de manera continua usando información de sedimentación intermitente. Las mediciones de laboratorio del tipo antes analizado en relación con la $ig. %%&)7, son las pruebas más satisfactorias para determinar las características de sedimentación de una cierta suspensión o lodos. 0unque estas pruebas son intermitentes, su análisis es "til para el dise8o de espesado res continuos. La $ig. %%&%% muestra los resultados de esta prueba cuando se obtiene la altura de la interfase líquido&sólido en función del tiempo. Las pendientes de esta curva en cualquier momento representan velocidades de sedimentación de la suspensión en ese instante # son características de una concentración específica de sólidos.
La primera porción de la curva tiende a ser lineal, correspondiendo a una velocidad (constante de sedimentación de los lodos a la concentración inicial. En el espesamiento, esta región inicial representa una parte insignificante del tiempo total de espesamiento. 0 medida que transcurre el tiempo, la velocidad de sedimentación disminu#e. Cae # Clevenger )3/ en ):)= # >#nc5 2;/ en ):?%, propusieron un modelo para explicar esto, suponiendo que la velocidad de sedimentación es proporcional a la concentración de sólidos suspendidos. @na ve4 que se pasa la región de velocidad constante de sedimentación de la $ig. %%&%%, cada punto de la curva corresponde a una concentración diferente de sólidos.
Cálculos de dise8o Aeniendo en consideración lo mencionado anteriormente. Los resultados de pruebas intermitentes muestran con claridad que la velocidad de sedimentación disminu#e al aumentar la concentración. 1in embargo, la disminución es menos rápida que el incremento de concentración 0unque este balance de velocidad lineal decreciente # flujo de masa creciente como consecuencia de la ma#or densidad de sólidos en la capa que se compacta, es impredecible, tiene importancia en el procedimiento de dise8o. @na condición necesaria para la operación de un espesador continuo, es quela velocidad de sedimentación de los sólidos en cada zona debe ser, por lo menos, lo suficientemente rápida para acomodar al sólido que está llegando a ese nivel. En la parte superior del espesador, la suspensión está mu# diluida # la sedimentación es mu# rápida. En el fondo, la densidad # concentración de sólidos son en extremo altas # la velocidad de sedimentación es lenta. En un espesador que opere de manera continua, los sólidos pasan a travs de capas de todas las concentraciones entre la de alimentación # la del flujo inferior, como se indica en la $ig. %%&):. 1i los sólidos que entran a cualquier capa no pasan a travs de ella a una velocidad igual a la de llegada de sólidos a la capa, se incrementará el espesor de sta # crecerá 5acia arriba 5asta que, por "ltimo, aparecen sólidos en el derrame. El dise8o del espesador se basa en la identificación de la concentración de la capa que tiene la menor capacidad para el paso de sólidos a travs de ella en las condiciones de operación. Esta capa particular se conoce como capa limiane de la velocidad. 1e debe contar con un área suficiente para asegurar que el flujo de sólido especificado no exceda la capacidad del área limitante de la velocidad La $ig. %%&%2 describe una capa de concentración + en una prueba intermitente. 1e supone que esta capa Es la limitante de la velocidad, de manera que puede considerase que asciende a una velocidad V5 Los sólidos se sedimentan en esta capa provenientes de la inmediatamente superior, que tiene una concentración (e & de) # una velocidad (v B dv) con respecto a la columna # (v 7 dv B V5) con respecto a la capa. Los sólidos se sedimentan de esta capa a una velocidad v con respecto a las paredes # v B v5 con respecto a la capa. 1i se supone que la capa tiene una concentración constante de sólidos, entonces por medio de un balance de materiales,
Donde ' es el .rea perpendicular al fluo de sólidos"
esolviendo la Ec. %%&37 para V 5 se obtiene D sin tomar en cuenta dv,
1e 5a supuesto )3,2;/ que la velocidad de sedimentación es una función de la concentración es decir, v 8(c) de manera que dv/ dc 4 (c). 'or tanto, la Ec. %%&?; resulta en !ado que c es constante para esta capa, (c) # (c) tampoco varían, de manera que 6 tambin es constante. El 5ec5o de que 6 sea constante en la zona limitante de la velocidad, puede usarse para determinar la concentración de sólidos en el límite superior de la capa, a partir de una sola pr#ea de sedimenaci$n inermiene. 1ean co # :o la concentr ación # altura iniciales de los sólidos suspendidos en una prueba de sedimentación intermitente. El peso total de sólidos en la suspensión es +5:o;, donde 1 es el área
de sección transversal de la probeta en la cual se lleva a cabo la prueba. 1i existe una capa limitante, debe formarse primero en el fondo # moverse 5acia arriba en dirección a la interfase del líquido clarificado. 1i la concentración de la capa limitante es +5 D el tiempo para alcanzar la interfase en ea)5, la cantidad de sólidos que pasa a travs de esta capa es +5& 1Fteta/L (v5 B v5(con somrerio) /. Esta cantidad debe ser igual al total de sólidos presentes, dado que la capa que tiene esta concentración límite comenzó a formarse en el fondo # ascendió a la interfase. 'or tanto 1i :5 es la altura de la interfase en (ea) 5 con -Lcon sombrerito/ constante, de acuerdo con la Ec. %%&?), entonces
1ustitu#endo el valor de v 5(con somrerio) de la Ec. %%&?2 en la Ec.%%&?% # simplificando se obtiene Los datos de prueba del laboratorio pueden manejarse graficando la altura de la interfase en función del tiempo, como en la $ig. %%&%3. En esta gráfica, el valor de v 5(con somrerio) es la pendiente de la curva en ea 4 teta/L, como lo muestra la Ec . %%&%?. La tangente a la curva en (ea)5 inter secta a la ordenada en : <. La pendiente de esta línea es
Combinando las Ecs. %%&?= # %%&?3 resulta en
'or consiguiente, :< es la altura que la suspensión ocuparía si todos los sólidos presentes tuvieran una concentración
+5. En trminos del modelo antes postulado +5 es la concentración mínima para la que las capas
limite producen interferencia. La velocidad de sedimentación es una función de la concentración, determinada con una sola prueba de sedimentación como sigue. 'ara diversos valores arbitrarios de ea s, la pendiente de la tangente # su intersección en ea 4 o se determinan con una gráfica de 4 en función de teta. El valor de esta intersección se utiliza en la Ec. %%&?G, para obtener la concentración correspondiente. 0 partir de esto, se obtiene V5 en función de c.
E=emplo
1e 5izo una sola prueba de sedimentación intermitente con una suspensión de piedra caliza. 1e observó interfase entre el líquido transparente # los sólidos suspendidos en función del tiempo, # los resultados se encuentran tabulados más adelante. La prueba se 5izo con %2= g de piedra caliza por litro de suspensión. 'repare una curva mostrando la relación entre la velocidad de sedimentación # la concentración de sólidos.
1olución @sando los datos de prueba, se grafica la altura de la interfase z/ en función del tiempo (ea) $ig.%%&%?/. Con la concentración de sólidos de la suspensión inicial, +o*:o 4 %2= x 2= 4 7?;; g cmH9 !e la Ec. %%&?G,
1e determina que la tangente de la curva en ea 4 % 5 tiene una intersección en :< 4 %; cm. La velocidad de sedimentación en ese tiempo es la pendiente de la curva d4/d(ea) 4 v 4 %.G7 cml " # c 4 3%? > il . Los otros puntos se obtienen de la misma manera # se encuentran tabulados en la Aabla %%&% # graficados en la $ig. %%&%=.
Irea del espesador El área del espesador requerida está fijada por la capa que necesita el área máxima para el paso de una cantidad unitaria de sólidos. 'or consiguiente, es necesario determinar la concentración de dic5a capa. Considere la prueba de sedimentación intermitente en la que el flujo total de sólidos es la suma del flujo de las partículas que se sedimentan # el flujo específico para suministrar un f lujo global a la salida inferior. Este f lujo total es
El primer trmino del lado derec5o de la Ec. %%&?7 es el flujo de sedimentación de las par tículas que se conoce como flujo intermitente # se obtiene a partir de datos de prueba por lotes. El segundo trmino es el flujo asociado con la eliminación de sólidos por medio del flujo inferior. En la $ig. %%& %G se presenta una gráfica de la Ec. %%&?7 mostrando las contribuciones relativas de los dos flujos. En la $ig. %%&%G, el flujo de sólidos F5 con una concentración +5 , es menor que el flujo de sólidos a otras concentraciones entre la alimentación # el f lujo inferior . 'or consiguiente, F 5 es la capacidad limitante de flujo de sólidos # debe suministrarse un ár ea de tal manera que el flujo no exceda de F5? 'or consiguiente, el área requerida por el espesador es
El área calculada mediante la Ec. %%&?: es la mínima que debe suministrarse para un espesador continuo operando a estado estable.
