Flujo gradualmente variado

UNIVERSIDAD SAN PEDRO

FACULTAD: INGENIERI A

CHIMBOTE -PERU

ESCUELA: INGENIERI A CIVIL

I. FLUJO GRADUALMENTE GRADUALMENTE VARIADO

TEMA: FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y RAPIDAMENTE VARIADO EN CANALES POR: TELLO BAZAN GERALD


FACULTAD: INGENIERI A

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ESCUELA: INGENIERI A CIVIL

INTRODUCCIÓN El flujo gradualmente variado es un fenómeno que se presenta cuando el tirante de un flujo varía a lo largo del canal con un gasto siempre constante, disminuyendo o incrementándose dependiendo del tipo de flujo que se presenta, ya sea flujo gradualmente acelerado (abatimiento) o flujo gradualmente retardado (remanso). Las causas que producen el flujo gradualmente variado pueden ser diversas, entre ellas pueden mencionarse a: cambios en la sección geométrica, cambios de la pendiente, cambios en la rugosidad de las paredes y/o fondos, curvas horizontales en el trazo, obstrucciones del área hidráulica, etc. Fundamentalmente en los problemas relacionados con el flujo gradualmente variado, se desea calcular la distancia existente entre dos tirantes dados o los tirantes extremos entre una distancia determinada; habiendo sido desarrollados diversos métodos de cálculo, en la presente práctica de laboratorio únicamente será presentada la solución de la ecuación diferencial de flujo variado mediante el método m étodo de Runge-KuttaSimpson de cuarto grado (para el cálculo de tirantes dada una distancia). En estos métodos el cálculo depende de la geometría del canal, debiéndose hacer las consideraciones pertinentes. Es necesario mencionar que la aplicación de los métodos es indistinto, pudiendo ser aplicado en el sentido del flujo o en sentido contrario al mismo. Básicamente la única dificultad de los métodos radica en el hecho de que es necesario realizar un gran número de cálculos iterativos para obtener resultados confiables. TEMA: FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y RAPIDAMENTE VARIADO EN CANALES POR: TELLO BAZAN GERALD


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FLUJO GRADUALMENTE VARIADO FUNDAMENTO TEÓRICO El flujo gradualmente variado, es un flujo permanente cuya profundidad varía de manera gradual a lo largo del canal. Se tendrán en cuenta las siguientes hipótesis: 1. La pérdida de altura en una sección es igual que la de un flujo uniforme con las mismas características de velocidad y radio hidráulico. 2. La pendiente del canal es pequeña (<10%). Esto quiere decir que la profundidad del flujo puede medirse verticalmente o perpendicularmente al fondo del canal y no se requiere hacer corrección por presión ni por arrastre del aire. 3. El canal es prismático. 4. Los coeficientes de distribución de la velocidad y el de rugosidad son constantes en el tramo considerado. Ecuación dinámica del flujo gradualmente variado

Figura 1. TEMA: FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y RAPIDAMENTE VARIADO EN CANALES POR: TELLO BAZAN GERALD



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Deducción de la ecuación de flujo gradualmente variado. La figura 1 muestra el perfil de un flujo gradualmente variado en una longitud elemental dx de un canal abierto. La altura de la línea de energía en la sección aguas arriba, con respecto a la línea de referencia es (1)

Donde H, Z, d y  son según se muestran en la figura 1, es el coeficiente de energía y v es la velocidad media del flujo a través de la sección. Se asume que  y  son constantes en el tramo del canal. Tomando el piso del canal como el eje x y derivando la ecuación (1) con respecto a x se obtiene, (2)

Si Sf es la pendiente de la línea de energía del piso del canal

, S 0 la pendiente

y S w la pendiente de la superficie del

agua , sustituyendo estas expresiones en la ecuación (2) y resolviendo para S w se tiene: (3)

La ecuación (3) representa la pendiente de la superficie del agua con respecto al fondo del canal y se conoce como la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado. Para pendientes pequeñas cos  1, d  y, dd/dx  dy/dx y la ecuación (3) puede escribirse: TEMA: FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y RAPIDAMENTE VARIADO EN CANALES POR: TELLO BAZAN GERALD



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(4)

Si se tiene un canal rectangular ancho, se puede calcular la pendiente del piso del canal para que ocurra flujo uniforme utilizando la ecuación de Manning:

Dadas

las

características

del

canal,

vale

la

aproximación y expresando , donde q es el caudal por unidad de ancho y y n es la profundidad normal, se obtiene (5)

La hipótesis 1 permite usar la fórmula de flujo uniforme para calcular la pendiente de energía, es decir, (6)

Donde y es la profundidad del flujo gradualmente variado. El término

Como

de la ecuación (4) puede desarrollarse así:

(ancho superior) = b para canal rectangular,




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(7)

La ecuación (4) puede expresarse según las ecuaciones (5), (6) y (7) como (8)

CLASIFICIACIÓN DE CANALES EN FGV. A efectos de identificar el comportamiento de la superficie libre en flujo gradualmente variado, los canales se clasifican en función de su pendiente de fondo y también de su rugosidad y el caudal que circula por ellos. Definición: La pendiente crítica (Sc) resulta ser aquella pendiente para la cual en un canal de geometría y rugosidad conocidas, por el que circula un caudal Q, el tirante normal coincide con el tirante crítico. Clasificación: 









En el caso que la pendiente de fondo sea negativa (S 0 < 0),, esto es la cota del fondo del canal crece en la dirección del flujo, se clasifica como canal tipo A (pendiente adversa). En el caso que la pendiente de fondo valga cero (S 0 = 0), esto es canal de fondo horizontal, se clasifica como canal tipo H (pendiente nula). Cuando la pendiente de fondo del canal resulta igual a la pendiente crítica (S0 = Sc), el canal se clasifica como tipo C (pendiente crítica). Obsérvese que esto implica (y 0 = yc). Cuando la pendiente de fondo del canal resulta mayor que la pendiente crítica (S0 > Sc), el canal se clasifica como tipo S (pendiente fuerte). Se verifica en este caso (y 0 < yc). Cuando la pendiente de fondo del canal resulta menor que la pendiente crítica (S0 < Sc), el canal se clasifica como tipo M (pendiente suave). En esta condición se cumple (y 0 > yc).




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Observación: 

Para un canal ancho, de pendiente de fondo conocida, el canal se clasifica M o S dependiendo si

  ⁄⁄ Al sustituir en la ecuación de flujo gradualmente variado las expresiones para el número de Froude y para la pendiente de la línea de energía

   ⁄      ;   ⁄ resulta una ecuación diferencial de primer orden, 

  

cuya primitiva no es obtenible analíticamente. En el caso en que la forma de la sección del canal no cambie con la progresiva, la función  se simplifica  . ,

   

Tipos de perfil de flujo Los perfiles de flujo se clasifican con base en dos criterios básicos: 1. Según su profundidad. 2. Según la pendiente del canal. El primer criterio divide la profundidad del canal en varias zonas: Zona 1: Sobre la profundidad normal (en pendiente subcrítica) ó sobre la profundidad crítica (en pendiente supercrítica). Zona 2: Entre las profundidades crítica y normal. Zona 3: Bajo la profundidad crítica (en pendiente subcrítica) ó bajo la profundidad normal (en pendiente supercrítica). El segundo criterio considera cinco condiciones de la pendiente: H: Horizontal. M: Moderada o subcrítica. C: Crítica.




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S: Pronunciada o supercrítica. A: Adversa. Estos dos criterios permiten hacer la clasificación como H2, H3; M1, M2, M3; C1, C2, C3; S1, S2, S3; A2 y A3, donde la letra se refiere a la pendiente y el número a la zona de profundidad. CÁLCULO DEL PERFIL DE FLUJO MÉTODO DIRECTO POR PASOS Este es un método sencillo, aplicable a canales prismáticos. Divide el canal en tramos cortos y desarrolla los cálculos para cada sección comenzando por una conocida (la sección de control por ejemplo). Si el flujo es subcrítico los cálculos se inician desde aguas abajo y se desarrollan hacia aguas arriba y si es supercrítico se parte de aguas arriba continuándose hacia aguas abajo. Tomando un tramo corto del canal, como lo ilustra la figura 4, se cumple que (9)




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Figura 4. Tramo del canal para la deducción de los métodos de paso. Definida la energía específica (E) como (10)

Reemplazando (9) en (10) y despejando

: (11)

La pendiente de la línea de energía en una sección puede calcularse según Manning, (12) y la pendiente de la línea de energía en un tramo se obtiene como (13)

Procedimiento de cálculo 1. Conocidos Q, b, y Y en la sección de control, se calcula la velocidad

v,

la

cabeza

de

velocidad

y

la

energía

específica 2. Se calcula la pendiente de la línea de energía (S f) según la ecuación (12).




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3. Se asume una profundidad según el perfil de flujo que se presenta; se obtienen los valores de E y S f para la sección con esta profundidad. 4. Se calcula

1,

entre estas dos secciones y

con la

ecuación (13); con estos resultados se halla según la ecuación (11). Así se conoce la localización de la sección a lo largo del canal. 5. Se vuelve al paso 3.


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A continuación se presenta gráficamente los perfiles de flujo resultantes en los diversos casos.




Ejemplos: Los ejemplos en los cuales ocurre flujo gradualmente variado son muy diversos. A continuación se presentan tan solo algunos de los más usuales para canales de pendiente suave (mild slope) y fuerte (steep slope).

Otros ejemplos de perfiles de flujo gradualmente variado para canales de pendiente crítica, horizontal y adversa respectivamente son:




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PROBLEMAS PROPUESTOS Y SOLUCIONADOS PROBLEMA 1. Un canal rectangular de pendiente S = 0.0008 y ancho 1m. toma agua de un embalse. La cota de la superficie del agua en el embalse se encuentra 2m. por encima de la solera del canal. A 100 m. aguas debajo de la embocadura, el canal pasa a tener una anchura de 3m. En la transición, la anchura del canal viene dada por la siguiente expresión. B = 1 – 0.016 ( 2x3 – 15x2)

0≤x≤5

B = 3m.

x>5

Se pide: Calcular el calado en las secciones x = 0 y x = 9800m. DATOS:

Numero de Manning = 0.013 x< 5 Numero de Manning = 0.015 x>5

SOLUCION Veamos que tipo de pendiente tenemos, sabiendo que si se verifica    la pendiente es suave para cualquier caudal. 



  



Para b = 1m y n = 0.013

0.0008 < 0.004421

Para b = 3m y n = 0.015

0.0008 < 0.004081

Por lo tanto, la pendiente es suave en todo el canal para cualquier caudal. Llamamos tramo 1 al tramo de canal hasta la transición y tramo 2 al tramo aguas debajo de esta, calculemos los calados normal y critico. Para ello partimos de un caudal Q = 1 m 3 /s para el cual tenemos:

   

   




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   

   

Con otros caudales, obviamente, los valores obtenidos serán distintos pero se sigue dando la situación de mayor calado normal en el tramo 1. Tenemos, entonces, una forma de la superficie libre como se representa en la figura:

Tanteando caudales tenemos: Q

Yc = Y2

Y1

H1

1

0.467

0.744

0.8362

2

0.742

1.162

1.3131

3

0.972

1.513

1.7136

4

0.177

1.825

2.0701

El Caudal solución es Q = 3.8 m 3 /s. Con este caudal: X=0



X = 9800

           






PROBLEMA 2.




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PROBLEMA 3. Un canal trapezoidal de base 5 m. y taludes de los cajeros 1.5 :1 y n= 0.23 parte de un embalse cuyo nivel sobre la solera del canal es de 3metros. Suponiendo que se trata de un canal largo, calcular el caudal desaguado por el canal en los siguientes casos: a) La pendiente de la solera del canal es de 0.0005. SOLUCION Supongamos como hipótesis que el canal es de pendiente suave (Yc < Yo). En tal caso, el calado seria el uniforme, por encima del calado critico, como se indica en la figura.

Por la formula Manning:

⁄      ⁄   Donde el radio hidráulico es     Y para un canal de sección trapezoidal, tenemos:

          TEMA: FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y RAPIDAMENTE VARIADO EN CANALES POR: TELLO BAZAN GERALD



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 Sustituyendo en la formula de Manning:

⁄  ⁄ ( )              (   √  ) ⁄  Tenemos, entonces, como incógnitas, el caudal y el calado normal Si suponemos que las perdidas en la embocadura son despreciables, podemos igualar energías entre las secciones del embalse y del canal en la zona de la embocadura, que llamamos 1 (embalse) y 2 (canal)

   ⁄                 (    )   De esta forma, se tiene dos ecuaciones, (1) y (2), con dos incógnitas, Yo y Q, de las cuales obtenemos:

 ⁄     Calculemos ahora el calado crítico, para comprobar si la hipótesis de pendiente suave era o no correcta:

          (    ) De donde se obtiene      Al ser        TEMA: FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y RAPIDAMENTE VARIADO EN CANALES POR: TELLO BAZAN GERALD


II.


FLUJO RAPIDAMENTE VARIADO




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INTRODUCCION La principal característica del Flujo Rápidamente Variado (FRV) es que la curvatura de las líneas de corriente es pronunciada, con lo cual la suposición de una distribución hidrostática de presiones deja de ser válida. En ocasiones el cambio en la curvatura puede ser tan abrupto como para romper virtualmente el perfil de flujo, resultando en un estado de alta turbulencia y perfil de flujo discontinuo. El ejemplo más conocido de una situación como la descripta es el resalto hidráulico. La restricción de no poder suponer una distribución hidrostática de presiones ha llevado a que no se puedan aplicar los enfoques desarrollados para los flujos gradualmente variados o uniforme, de forma tal que los problemas de FRV se han tratado mayormente de forma experimental o sobre la base de relaciones empíricas desarrolladas para un número de casos aislados. Usualmente no es posible utilizar el concepto de valores promedios en la sección transversal para FRV, dado que es necesario conocer las distribuciones de velocidad y presión a fin de aplicar correctamente las leyes de conservación a volúmenes de control. Para simplificar el análisis en ocasiones se aplican dichas leyes de conservación entre secciones seleccionadas lejos de la zona de FRV, con lo cual se puede establecer el comportamiento del flujo pre y post FRV, pero no exactamente como es el perfil de flujo en ese lugar. Un tratamiento analítico de FRV puede efectuarse asumiendo fluido perfecto y flujo potencial, complementado con alguna suposición respecto a como es la distribución de velocidades en la vertical. Las más usadas son las teorías de Boussinesq, que presume la velocidad varía linealmente en vertical TEMA: FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y RAPIDAMENTE VARIADO EN CANALES POR: TELLO BAZAN GERALD



desde cero en el fondo hasta su máximo en la superficie libre, y la de Fawer, que asume una variación exponencial. Las ecuaciones así obtenidas son resueltas numéricamente, con métodos especialmente adaptados a las particularidades de las ecuaciones resultantes. En lo siguiente se analizarán estructuras de medición y/o descarga, donde se sucede FRV, basándose en el enfoque de internar aplicar ecuaciones globales de balance (fundamentalmente energía) corregidas mediante coeficientes obtenidos experimentalmente. Se presentarán aplicaciones a vertederos, compuertas y alcantarillas.




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MARCO TEORICO DEFINICION: Corresponde al flujo que se produce cuando hay una irregularidad importante como una compuerta o un vertedero. En general la ecuación que gobierna el FRV es del tipo

Q



Cc 2 gh

Donde Cc es un coeficiente particular para cada caso. Un caso especial de FRV corresponde al resalto hidráulico que consiste en una singularidad o alteración del eje hidráulico. CARACTERÍSTICAS: a) La curvatura de las líneas de flujo impide la suposición de una distribución hidrostática de presiones. b) La variación rápida del flujo ocurre en tramos cortos, de forma tal que las pérdidas por fricción contra las fronteras son pequeñas y pueden ser despreciadas en un análisis primario. c) El FRV en una estructura de transición tendrá sus características físicas determinadas por la geometría de la frontera y el estado del flujo. d) Ante bruscos cambios en la geometría del canal se pueden formar vórtices, remolinos, corrientes secundarias y zonas de separación que complican el patrón del flujo. Esto dificulta definir las fronteras del flujo (que ya no serán las fronteras sólidas del canal), así como determinar valores promedios en la sección para las variables del flujo. a) Aún cuando en situaciones como la anterior sea posible aproximar las distribuciones de velocidades, los coeficientes α y β son difíciles de cuantificar con exactitud y generalmente notoriamente superiores al valor 1. TEMA: FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y RAPIDAMENTE VARIADO EN CANALES POR: TELLO BAZAN GERALD



DIVISION: En un Flujo rápidamente variado los cambios en las características del flujo son abruptos a lo largo de la conducción. Este tipo de flujo se subdivide a su vez en rápidamente variado retardado o acelerado, según que la velocidad disminuya o aumente en el sentido del flujo. El salto hidráulico es un ejemplo de flujo rápidamente variado retardado

11. Flujo Rápidamente Variado (FRV) El FRV presenta curvaturas de las líneas de corriente muy pronunciadas lo que puede ocasionar alta turbulencia. El resalto hidráulico o salto hidráulico es un ejemplo de este tipo de flujo. • La distribución de presiones no se puede suponer hidrostática pues la

curvatura del flujo es muy pronunciada. • La variación en el tipo de flujo tiene lugar en un tramo muy

corto en donde

la influencia de la fricción es despreciable. TEMA: FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Y RAPIDAMENTE VARIADO EN CANALES POR: TELLO BAZAN GERALD



• Las características geométricas de la estructura influyen grandemente en

las características físicas del flujo. • Los coeficientes de distribución de velocidad son usualmente mucho

mayores que 1.0 y no se pueden determinar con precisión cuando existen cambios bruscos de sección geométrica. • El FRV puede ser acelerado o retardado. El salto hidráulico

El salto hidráulico es la sobre-elevación brusca del nivel del agua debido a un cambio de pendiente de supercrítica a subcrítica, lo que lleva a un aumento en la profundidad y a una disminución de la velocidad en el sentido del flujo. Es un ejemplo de flujo rápidamente variado y fue investigado experimentalmente por el científico italiano Bidone en 1818. Los primeros experimentos fueron realizados en París y reportados en 1819. La teoría del salto hidráulico se desarrolló inicialmente para canales horizontales o con poca inclinación por lo que la componente del peso del agua en la dirección de la corriente tiene poco efecto.


Flujo gradualmente variado

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