UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DE SISTEMAS Y DE ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
CURSO: Mecánica de Fluidos II
TEMA: Flujo rápidamente variado: Resalto hidráulico y Flujo Gradualmente Variado FECHA: martes, 14 de Setiembre del 2017 INTEGRANTES: BANCES SANTISTEBAN ESAU JOEL MENDOZA BENAVIDES ALFONSO ENRIQUE SILVA GUTIERREZ FERNANDO DOCENTE: Ing. ARBULU RAMOS JOSE
1.3 LONGITUD DE RESALTO.......... 11 1.4 FORMAS DEL RESALTO EN CANALES CON PENDIENTE CASI ................................... 14 HORIZONTAL ....................................
CONTENIDO 1.FLUJO RAPIDAMENTE VARIADO: RESALTO HIDRAULICO ..................... 1
1.1 DEFINICION ................................... 1 1.2 ECUACION GENERAL DE RESALTO HIDRAULICO PARA DIFERENTES FORMAS DE SECCION. ..............................................2
2. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO ..Error! Bookmark not defined.
2.1 DEFINICION .. Error! Bookmark not defined.
2.2 CONSIDERACIONES FUNDAMENTALES ... Error! Bookmark
1.2.1 Para canales de sección rectangular.. ............ Error! Bookmark not
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2.3 ECUACION DINAMICA DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO ............. Error! Bookmark not
1.2.2 Para canales de sección circular: Error! Bookmark not defined.
1.2.3 Para canales de sección prismática, como los triangulares, parabólicos y trapeciales Error! Bookmark not defined.
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3. EJEMPLOS DE APLICACION ....... 19 4.
BIBLIOGRAFIA ........................... 24
5.
WEBGRAFIA ................................ 24
1. FLUJO RAPIDAMENTE VARIADO: RESALTO HIDRAULICO 1.1 DEFINICION El resalto o salto hidráulico es un fenómeno de la ciencia en el área de la hidráulica, frecuentemente observado en canales abiertos (naturales o
Tema: Flujo rápidamente variado: Resalto Hidráulico y flujo gradualmente variado Asunto: Trabajo Trabajo de investigación investigación N°2 Grupo No. 5
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artificiales), que se presenta en el flujo rápidamente variado, el cual va siempre acompañado por un aumento súbito del tirante y una pérdida de energía bastante considerable (disipada principalmente como calor), en un tramo relativamente corto. Ocurre en el paso brusco de régimen supercrítico (rápido) a régimen subcrítico (lento), es decir, en el resalto hidráulico el tirante, en un corto tramo, cambia de un valor inferior al crítico a otro superior a este. En un canal abierto, este fenómeno se manifiesta como el fluido con altas velocidades rápidamente frenando y elevándose sobre sí mismo, de manera similar a como se forma una ondachoque. Las siguientes imágenes muestran este fenómeno. Generalmente, el resalto se forma cuando en una corriente rápida existe algún obstáculo o un cambio brusco de pendiente. Esto sucede al pie de estructuras hidráulicas tales como vertederos de demasías, rápidas, salidas de compuertas con descarga por el
fondo, etc., lo que se muestra en las siguientes imágenes.
1.2 ECUACION GENERAL DE RESALTO HIDRAULICO PARA DIFERENTES FORMAS DE SECCION
Supóngase el resalto hidráulico formado en un canal, como el que se muestra en la siguiente figura: La ecuación que determina ese resalto hidráulico viene a estar dada por:
M: es la fuerza específica o momenta del flujo en una sección determinada.
Esta fuerza especifica o momenta viene a ser un parámetro que resulta de aplicar el teorema de la cantidad de movimiento (segunda ley de Newton) a una determinada sección en estudio y de reemplazar algunos valores convenientemente. La ecuación resultante viene a estar dada por:
= =
De donde:
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̅ = .
es la cantidad de movimiento
del fluido por la sección, por unidad de tiempo y por unidad de peso. es la fuerza hidrostática por unidad de peso. B es el coeficiente de Boussinesq
̅
Luego en la ecuación de hidráulico consideraremos:
resalto
Para canales horizontales o de pendiente pequeña ( 5º), sen tan 0. Si, además, en la ecuación se desprecian las fuerzas de resistencia con el aire y con las fronteras sólidas de canal (Faire = Ff = 0), resulta: M1= M2. Por lo que nos quedaría la siguiente expresión:
=
Las profundidades y1 y y2 que satisfacen las ecuaciones se llaman profundidades conjugadas o secuentes del resalto hidráulico, y son las respectivas profundidades antes y después del resalto hidráulico. Véase la siguiente figura.
en donde el subíndice n indica la sección, y es el calado mayor del flujo en la sección especificada y k es un coeficiente que depende de la geometría de la sección. Por lo tanto, la ecuación anterior se puede escribir como:
=
Reagrupando entonces, la ecuación de un salto hidráulico en un canal horizontal es:
=
A continuación, se presentarán ecuaciones para cada forma de sección dada y dependiendo de qué régimen o tirante conjugado sea conocido, con la finalidad de obtener fácilmente el tirante conjugado faltante.
1.2.1. Para Canales de Sección Rectangular En una sección rectangular de ancho de solera b y tirante y, se tienen las siguientes relaciones: Entonces si tenemos:
Régimen supercrítico conocido conocido)
(
Aplicando estas relaciones a la ecuación general, simplificando, desarrollando y despejando obtendremos la siguiente ecuación: Se observa que para una fuerza especifica (M) dada hay dos tirantes posibles y1 e y2. Los tirantes que corresponden a la misma Fuerza Especifica se denominan conjugados. Silvester (1964, 1965) noto que, para cualquier canal prismático, la distancia a los centroides de las áreas hidráulicas puede expresarse como:
1
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=
Proceso Gráfico
Para simplificar la solución de las ecuaciones que vamos a presentar se puede recurrir a figuras que resuelven estas ecuaciones. Curva para determinar el tirante subcrítico, conocido el régimen supercrítico (y1).
Régimen subcrítico conocido ( conocido)Si se desarrolla en forma análoga y se despeja convenientemente, se obtienen las siguientes ecuaciones:
=
Donde: q = Q/b = v.y = caudal unitario La cual la podemos expresar utilizando el número de Froude:
= =
Donde:
Esta ecuación que permite calcular el tirante conjugado menor, conocidos el
q = Q/b = v.y = caudal unitario
mayor y q,
La cual la podemos expresar utilizando el número de Froude:
resalto.
,o
después del
=
Esta ecuación que permite calcular el tirante conjugado mayor del resalto, en un canal de sección rectangular, conocido el menor y el número de Froude andes del resalto.
=
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Proceso Gráfico
1.2.2. Para Canales de Sección Trapezoidal En una sección trapezoidal de ancho de solera b y taludes Z1 y Z2, se tienen las relaciones: Entonces si tenemos:
Régimen supercrítico conocido ( conocido)
Aplicando estas relaciones a la ecuación general, desarrollando, reemplazando convenientemente y despejando obtendremos la siguiente ecuación:
Curva para determinar el tirante supercrítico, conocido el régimen subcrítico (y2). Para la utilización de estas figuras presentaremos el siguiente esquema el cual muestra el proceso indicado para la utilización de dichas curvas.
321 52 2 61 2 2 61 =0 = / Donde:
=/. = /2 = +
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Esta ecuación de cuarto grado, con la raíz real positiva, que permite calcular el tirante conjugado mayor, conocidos:
==/. /2
a) el tirante conjugado menor, b) c)
Donde:
Proceso Gráfico
= / =/. = /2 = +
La resolución de la ecuación de esta ecuación proporciona una sola raíz real positiva que permite conocer el tirante conjugado menor y1, conocido y2, r y t. Proceso Gráfico
Curva para determinar el tirante subcrítico, conocido el régimen supercrítico (y1); donde observamos que se pueden obtener valores para secciones triangulares y rectangulares teniendo en cuenta el valor de “t”.
Régimen subcrítico ( conocido)
conocido
Si se desarrolla en forma análoga, se obtiene la siguiente ecuación:
321 52 2 61 2 2 61 =0 Tema: Flujo rápidamente variado: Resalto Hidráulico y flujo gradualmente variado Asunto: Trabajo de investigación N°2 Grupo No. 5
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Curva para determinar el tirante supercrítico, conocido el régimen subcrítico (y2). Para la utilización de estas figuras presentaremos el siguiente esquema el cual muestra el proceso para la utilización de dichas curvas.
Además, presentamos las siguientes figuras (figuras 4.13a y 4.13b), las cuales permiten el cálculo tanto del tirante subcrítico como el supercrítico del resalto hidráulico para una sección trapezoidal, conocido uno de ellos. Estas figuras permiten también calcular la fuerza específica.
correspondiente valor de la curva ZC. 3. Del punto de intersección se traza una paralela al eje de ordenadas con lo cual: ---Al interceptar a la otra rama de la curva ZC, se traza una paralela al eje de abscisas y se encuentra el valor de Z.y2/b, de donde se obtiene el valor del conjugado mayor y2.- Al interceptar al eje de abscisas se encuentra el valor de ,de donde se obtiene el valor de la fuerza específica F. La siguiente figura muestra el proceso indicado:
/
A continuación, se indica el uso de las “figuras 4.13a y 4.13b”: 1. Por ejemplo, conocidos y1 se calculan los valores de:
2. Con el valor de Z.y1/b, se ingresa
Figura 4.13a Canales trapezoidales, representación adimensional.
en el eje de ordenadas y so traza una paralela al eje de abscisas, hasta interceptar al
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= ⁄ ⁄ = =12 El subíndice sección.
“n”
indica
la
La ecuación dada se resuelve por tanteos, y puede usarse el siguiente proceso: a) Para un diámetro D, un caudal Q y conocido el régimen supercrítico (y1 conocido), el segundo miembro de la ecuación es conocido.
Figura 4.13b Canales trapezoidales, representación adimensional.
1.2.3. Para Canales de Sección Circular En una sección circular de diámetro D tendremos: Entonces si tenemos:
Régimen supercrítico conocido)
conocido
b) Conocidos D y y1, y1/D es conocido, luego con las expresiones dadas: 1) Se puede calcular N1 que está en función de y1/D. 2) Se puede calcular K1 que está en función de y1/D. c) Conocidos D y supuesto un y2, se conoce y2/D, luego con las expresiones dadas:
(
Aplicando estas relaciones a la ecuación general, desarrollando, reemplazando convenientemente y despejando obtendremos la siguiente ecuación:
Donde:
=
=1 ⁄ ⁄⁄−⁄⁄
Para el área dada se tienen:
= ̅ = ,
[−]
1) Se calcula N2. 2) Se calcula K2.
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d) Para el y2 supuesto, sustituyendo valores en el primer miembro de la ecuación y cuando éste resulte aproximadamente igual al obtenido en el segundo miembro, se tendrá que el y2 considerado será la solución de la ecuación.
para el caso de una sección circular, conocido uno de ellos, a su vez que permiten calcular también la fuerza especifica.
e) Si el y2 supuesto no es el adecuado, suponer otro valor para y2 y repetir los pasos (c) y (d).
Régimen subcrítico conocido)
conocido
(
Si se desarrolla en forma análoga, se obtiene la siguiente ecuación:
= =1 ⁄ ⁄⁄−⁄⁄ = ⁄ ⁄ = =12 El subíndice sección.
“n”
indica
la
Esta ecuación se resuelve por tanteos, siguiendo un proceso similar al anterior, con la diferencia que ahora se conoce el “y2” y se tanteara los valores de “ y1”.
Proceso gráfico
Las figuras a presentar permiten el cálculo tanto del tirante subcrítico como del supercrítico del resalto hidráulico,
Canales circulares, adimensional.
representación
Estas figuras 4.16a y 4.16b permiten el cálculo tanto del tirante subcrítico como del supercrítico del resalto hidráulico, para el caso do una sección circular, conocido uno de ellos, a su vez que permiten calcular también la fuerza especifica. El uso de las figuras 4.16a y 4.16b es similar a lo indicado para las figuras 4.13a y 4.13b. Para el caso de canales de sección circular podemos utilizar también el Método de Straub el cual consiste en:
En el caso de canales circulares, una gráfica logarítmica (log-log) de yc/d frente a ( )2.5 da una línea recta en el intervalo Mediante un análisis de regresión de esta recta se obtiene la ecuación:
√ / 0.02 </ ≤ 0.85.
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. =
Donde y1 = tirante del flujo aguas arriba e se estima mediante la primera ecuación ya presentada por Straub (1978) también noto que para el tirante conjugado y2 puede estimarse por:
Y para
<1,7
= >1, 7 . = .
Estas ecuaciones proveen una base practica para estimar parámetros de salto hidráulico en un canal de sección circular.
. 1. 0 1 √ = .
Siendo el coeficiente de corrección de
1.2.4. Para Canales Sección Parabólica
=
de
En una sección parabólica se cumple que:
carga de velocidad o de Coriolis, el calado critico (calado para la energía especifica mínima) y
.
Se puede notar que la relación yc/d solo raras veces excede, en la práctica a 0.85, cuando es casi imposible mantener el flujo critico cercano al tope de un canal circular. Así, en la ecuación anterior se aplica a la región de interés general. Straub, en 19787, (información obtenida de French, 1988) noto que, en conductores circulares, el número de Froude F1 aguas arriba del resalto, puede aproximarse mediante: Entonces si tenemos: Tema: Flujo rápidamente variado: Resalto Hidráulico y flujo gradualmente variado Asunto: Trabajo de investigación N°2 Grupo No. 5
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Régimen supercrítico conocido)
conocido
(
Aplicando estas relaciones a la ecuación general, desarrollando, reemplazando convenientemente y despejando obtendremos las siguientes ecuaciones:
. = = > . . . . . .. = = >
Régimen subcrítico conocido)
(
Si se desarrolla en forma análoga, se obtiene la siguiente ecuación:
. = = <1
Donde:
Donde:
conocido
es el número de Froude.
es el número de Froude.
Si factorizamos
tendríamos:
Estas ecuaciones se van a emplear para calcular
, y a partir de ello
calcular el tirante conjugado mayor y2, conocidos: a) El tirante conjugado menor, y1 b) F1 Se recomienda que para cálculos manuales se use la primera ecuación que a pesar de ser la de mayor grado, es de forma más sencilla. Para un proceso
. . . . . .. =
Si factorizamos
tendríamos:
Proceso Gráfico
Esquema para el uso de estas figuras: computacional, se recomienda el uso de la segunda ecuación. Proceso Gráfico
También podemos definir ecuaciones de resalto hidráulico haciendo uso del número de froude expresado por Silvester para canales no rectangulares:
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También podemos definir a los tirantes conjugados haciendo uso del parámetro lo definio Silvester como es la definición estándar del numero de Froude para canales no rectangulares. Por lo que si reemplazamos y reagrupamos en la ecuación general obtendremos:
/
=
= / ⁄ =
Para canales triangulares, k'1 = k'2 = 1/3, , y A1/T1=D1 = /2, con estas definiciones la ecuación quedaría expresada como:
=. = ⁄2 ⁄ = . ⁄ , . =. .
parabólicos cuyos Para canales parámetros pueden definirse por , en donde a es una constante, k'1 = k'2 = 2/5 , A1/T1= D1=2 /3.Con estas definiciones la ecuación quedaría expresada como :
Proceso computacional
Se usa el programa “Hcanales” el cual resuelve las ecuaciones presentadas, y permite el cálculo rápido de uno de los tirantes conjugados (mayor o menor),
para cualquier sección dada, conocido el otro tirante; así como de los principales elementos de un resalto hidráulico a partir de datos conocidos, para esto solo se necesita introducir los datos a este programa y darle click a la opción calcular.
1.3 LONGITUD DE RESALTO La longitud del resalto, ha recibido gran atención por parte de los investigadores, pero hasta ahora no se ha desarrollado un procedimiento satisfactorio para su cálculo. Sin duda, esto se debe al hecho de que el problema no ha sido analizado teóricamente, así como a las complicaciones prácticas derivadas de la inestabilidad general del fenómeno y la dificultad en definir las secciones de inicio y fin del resalto. Se acepta comúnmente que la longitud L del resalto hidráulico, se defina como la distancia medida entre la sección de inicio y la sección inmediatamente aguas abajo en que termina la zona turbulenta o en la cual se dejan de observar los rollos de agua en la superficie libre. Véase la siguiente imagen: Además, viene a ser un parámetro importante en el diseño de obras hidráulicas es la longitud del resalto, que definirá la necesidad de incorporar obras complementarias para reducir esta longitud y/o aplicar medidas de protección de la superficie para incrementar su resistencia a los esfuerzos cortantes. Existen varias fórmulas empíricas, dentro de las cuales se tienen:
Según Sieñchin, la longitud del resalto hidráulico, es:
L = k(y2-y1) donde:
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L = longitud del resalto, en m.
Y1 = tirante conjugado menor, en m.
Según Chertgúsov, la longitud del resalto es:
y2 = tirante conjugado mayor, en m. k = depende del talud Z del canal, según la siguiente tabla:
L=10.3(Y1)
1
.
Donde: L = longitud del resalto, en m. y1 = tirante conjugado mayor, en m.
Según Hsing, la longitud del resalto en un canal trapezoidal es mucho mayor, de acuerdo con la siguiente fórmula:
=514 −
yc = tirante crítico, en m.
Según el U.S. Bureau of Reclamation, la longitud L del
) resalto en un canal rectangular horizontal, se puede calcular con la siguiente tabla:
donde: L = longitud del resalto, en m. y1= tirante conjugado menor, en m.
donde:
y2 = tirante conjugado mayor, en m.
L = longitud del resalto, en m.
Según Pavlovski, la longitud del resalto es:
L = 2,5(1,9 y2-y1)
y1 = tirante conjugado mayor, en m. y2 = tirante conjugado menor, en m.
F1=
= Numero de Froude en la
donde:
sección supercrítica.
L = longitud del resalto, en m.
L/ L/ = 9.75 1.
y1 = tirante conjugado mayor, en m. y2 = tirante conjugado menor, en m.
Según Schaumian, la longitud del resalto es:
L=3.6(
1 )(1 -
)
donde: L = longitud del resalto, en m.
Según Silvester, para canales rectangulares horizontales la proporción es una función del número de Froude supercrítico aguas arriba.
Según Silvester, para el caso de secciones no rectangulares, existe una relación funcional entre la relación para canales prismáticos de cualquier forma:
y1 = tirante conjugado mayor, en m. y2 = tirante conjugado menor, en m.
L/ L/ = σ 1Γ
donde σ y Γ son factores de forma.
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Para canales triangulares simétricos, con un ángulo = 47.3 º en el vértice:
L= 4.26 1.
y para canales parabólicos, con F1 3.0:
L= 11.7 1.
Luego para canales trapeciales usaremos la siguiente tabla la cual nos indica los valores de σ y Γ correspondientes dependiendo de las características geométricas de este.
horizontal con la So = 0 o para pendiente diferente de 0 mediante la siguiente figura. El U.S. Bureau of Reclamation, también presento la figura mostrada, la cual vendría a ser la curva con S = 0 de la figura anterior junto con algunas características del flujo, que se desarrolló ante todo para resaltos en canales rectangulares horizontales. En ausencia de datos adecuados, esta curva puede aplicarse aproximadamente a resaltos formados en canales trapezoidales.
Longitud en términos de la profundidad
Según el U.S. Bureau of Reclamation, se puede calcular la longitud del resalto para un canal rectangular, tanto para una pendiente
y2 y F1 de resaltos en canales horizontales (con base en los datos y recomendaciones del U. S. Bureau of Reclamation)
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1.4 FORMAS DEL RESALTO EN CANALES CON PENDIENTE CASI HORIZONTAL Los resaltos hidráulicos pueden ser de varios tipos, y suelen clasificarse en atención a su ubicación respecto de suposición normal y al número de Froude F.
1.4.1.2. Resalto hidráulico repelido.
Es aquel resalto que se forma a una distancia, no determinada teóricamente, aguas abajo de la posición normal descrita en el numeral anterior. Ocurre porque la profundidad impuesta aguas abajo, Y’2, es menor que Y2. El R.H., en
1.4.1 Tipos de R.H, Según su Posición Existen tres posibles posiciones del R.H, con respecto a su fuente de generación (compuertas, vertederos de
rebose y rápidas), mostradas en la Figura 5, dependiendo de la profundidad Y’2, de aguas abajo, impuesta por algún control o por cualquier condición particular del flujo. 1.4.1.1. Resalto hidráulico libre o en posición normal. Es la posición ideal de un R.H. para la cual Y1 y F1, inmediatamente aguas arriba del mismo, también se verifica que Y2 =Y’2. Véase la Figura 5a.
esta situación, se desplaza aguas abajo hasta una posición tal que Y1 y F1, de la posición normal, cambian a nuevos valores Y’1 yF’1, tales que satisfacen, junto con Y2 = Y’2, a la ecuación de las profundidades conjugadas. Véase la Figura 5 b. 1.4.1.3. Resalto hidráulico sumergido o ahogado.
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Es la situación del R.H. que se desplaza hacia aguas arriba, es decir, hacia la fuente generadora, en virtud de que la profundidad Y’2, del flujo, aguas abajo del resalto, es mayor que la profundidad Y2 que, junto con Y1 y F1, satisfacen a la ecuación de las profundidades conjugadas. Los nuevos valores de Y’1 y F’1, bajo la condición de R.H. ahogado, no son determinables teóricamente. Véase la Figura 5 c
2.2.
CONSIDERACIONES
1.4.2. Tipos de R.H, Según el Número de Froude “F” El Bureau of Reclamation de los Estados Unidos investigó diferentes tipos de resalto hidráulico en canales con pequeña pendiente u horizontales, cuya base de clasificación es el número de Froude en la sección de aguas arriba.
2. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO
FUNDAMENTALES
2.1. DEFINICION El flujo gradualmente variado es una forma de flujo estacionario no uniforme con una variación gradual en la profundidad y velocidad de flujo, esto implica que las pendientes sean pequeñas y sin cambios bruscos, así mismo la superficie libre debe mantenerse siempre suave, es decir sin discontinuidades o zigzag. Véanse las siguientes imágenes sobre este tipo de flujo.
El flujo es permanente. La rugosidad del canal es constante (n, C y k constantes) La distribución de velocidades en cada sección no presenta ninguna variación importante con respecto a la distribución de velocidades de una sección vecina. Esta hipótesis implica que el coeficiente de Coriolis, , es constante a lo largo del flujo. La pendiente longitudinal del canal es constante y pequeña (θ < 10°). No hay entrada de aire al flujo. La resistencia al flujo se debe principalmente a la fricción del agua con las fronteras sólidas del canal. La distribución de presiones en la sección transversal del canal sigue la ley hidrostática de presiones. Las líneas de corriente del flujo se consideran aproximadamente paralelas entre sí (flujo paralelo). Las pérdidas de carga por fricción, hf, se calcularán, sin introducir un error apreciable, con la ecuación de flujo uniforme que se emplee para tal fin (ecuación de Manning, ecuación
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de Chèzy o ecuación de Darcy & Weisbach), suponiendo que el flujo es uniforme entre dos secciones consecutivas.
2.3. ECUACION DINAMICA DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO Ecuación dinámica del flujo gradualmente variado. Considérese el perfil de un flujo gradualmente variado en una longitud diferencial dx, un canal como se muestra en la figura 5.2. Donde: E = energía total para una sección cualquiera. dE = diferencial de energía o cambio de energía en el dx. dx = longitud diferencial del tramo del canal. dZ = incremento en la altura o carga de posición de la sección dx.
So ≠ Sw ≠ SE ϴ≠β
∗cos==/
, para ϴ=pequeño
=∗ ∗
…………(5.1)
Estudiando una sección cualquiera del flujo, como la representada en la sección 1, se obtiene que la carga o energía total sobre el plano de referencia es:
α es el coeficiente de Coriolis que se supone constante en el tramo del canal considerado; los otros términos ya se definieron anteriormente. Tomando el fondo del canal como el eje x, y diferenciando la ecuación (5.1) con respecto a esta longitud, se tiene:
= ∗ ∗ …………(5.2)
Interpretación de cada uno de los términos: a)
SE = pendiente de energía o de cargas totales, constante en el dx considerado, pero variable a lo largo de la dirección x
d = tirante perpendicular o normal a la sección y = tirante vertical En general se cumple que:
= =tan=sin= …………(5.3)
So = pendiente longitudinal del fondo del canal, constante
β = ángulo que forma el horizonte de energía con la línea de alturas totales
pendiente de la
línea de energía, el signo negativo se debe al hecho de que hay disminución de energía útil en el sentido del escurrimiento, luego:
Sw = pendiente de la superficie libre o eje hidráulico
ϴ = ángulo que forma el perfil longitudinal del fondo del canal con la horizontal
=
b)
(para ϴ=pequeño), pendiente de fondo, el signo negativo se debe a que Z decrece a medida que X crece, es decir, SO se supone positiva si la inclinación es descendente hacia aguas abajo (Z decrece cuando X crece) y negativa en caso contrario, luego:
=
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…………(5.4)
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c)
∗ ∗ = ∗∗ = ∗ ∗ ∗ = = ∗ = ∗ = / …………(5.5)
De otro lado:
…………(5.6)
Sustituyendo resulta:
(5.6)
en
(5.5),
∗ ∗ =∗ ∗ ∗ …………(5.7)
Pero en forma general se tiene que:
∗ ∗ =
…………(5.8)
Luego:
∗ ∗ = ∗ …………(5.9)
Sustituyendo (5.3), (5.4) y (5.9) en (5.2), resulta:
= ∗ 1 ∗ =
O también:
= − − − − De donde:
o
= ∗
…………(5.10)
De (5.8) en (5.10) se obtiene:
= −∗ −∗∗ − ∗ −∗∗∗
o
=
…………(5.11)
En la práctica se adopta α=1 de lo cual se obtiene:
= −∗ = ∗ − ∗ −∗ − ∗ = = −∗ = ∗ − ∗ −∗ −∗ o
…………(5.12)
En (5.12) reemplazando
,
de la ecuación de continuidad, resulta:
o
…………(5.13)
Las ecuaciones (5.10), (5.11), (5.12) y (5.13) son diferentes formas de representar la ecuación diferencial del flujo gradualmente variado, y se le denomina con el nombre de ecuación dinámica del flujo gradualmente variado. Estas ecuaciones representan la pendiente de la superficie del agua con respecto al fondo del canal; el tirante y se mide a partir del fondo del canal, tomándose este fondo como eje de abscisas (x). Ademas podemos expresar esta ecuación dinámica usando la ecuación de Manning, como se muestra a continuación: Partiendo de la ecuación de manning y reemplazando la velocidad en función de Q y A.
= 1 // 5.14
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Entonces
= / 5.15 = = 5.16
Se pide: ∆y, ∆E — > ?
a) Cálculo de la altura del resalto ∆y: ∆y = y2-y1 …..(4.37) en la cual no se conoce y2
El número de Froude es.
Usando las ecuaciones. 5.15 y 1.15 en la Ec. 5.10:
= 1 = / 5.17
3. EJEMPLOS APLICACION
DE
Cálculo de y2, utilizando el método gráfico. Para esto se requiere conocer:
.+. . ...
r=
Donde:
V1= =
=4.7619 m/s
Luego: r=
= 3.8525
también:
∗..
t=
=
= 1.3333
Con los valores de r= 3,8525 y t = 1,3333, se ingresa a la figura de curvas, de donde se obtiene J= 3,1, como se muestra.
Ejemplo 1 Un canal trapezoidal tiene un ancho de solera de 0,40 m, las pendientes de las paredes son de 1 sobre 1 y transporta un caudal de 1 m3/s. El tirante aguas arriba del resalto es 0,30 m. Hallar la altura del resalto y la pérdida de energía en este tramo. SOLUCION: Datos:
Luego: J=
= 3.1
Y2= 3.1 Y1 Y2=3.1 (0.3)
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Y2= 0.93 m
donde:
Sustituyendo los valores de y1 y y2 en (4.37), se obtiene:
V2= =
.+.. .∗.
=0.8085 m/s
Luego: Hv2=
= 0.0333
Sustituyendo valores en (4.38), se tiene: ∆E = (0,30 + 1,1557) - (0,93 + 0,0333) ∆E = 0,4924 m-kg/kg
∆y = 0,93-0,30
Usando el proceso computacional:
Valores más exactos se obtienen si se utiliza Hcanales, así ingresando, los datos del problema, se obtiene:
∆y = 0,63 m
b) Cálculo de la pérdida de energía ∆E
Ejemplo 2
/
Un gasto de 100 /s (2.8 ) fluye en un canal circular de 6.0 ft (1.8 m) de diámetro. Si el tirante del flujo aguas arriba es de 2.0 ft (0.61 m), determínese el tirante del flujo aguas abajo que provoque un salto hidráulico. Sabemos que: ∆E = E1-E2 también: ∆E=(Y1 + hv1) – (Y2+hv2) …….(4.38)
Solución por el método de straub: El tirante critico aguas arriba estimado para α =1 es
.. √ . .. √ .. Yc
hv1=
=
Calculo de hv2: Hv2=
∗
=
=2.69 ft (0.820 m)
Calculo de hv1:
∗ .∗.
=
= 1.1557
Cuando Yodo=0.45, la aproximación de straub puede emplearse para estimar F1 y Y2
. ..
F1=
=
= 1.77
Entonces para F1 >1.7 Y2=
..
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=
...
=3.58 ft (1.09m).
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Dado: Flujo de agua en un canal rectangular.
Ejemplo 3 Un gasto de 100
/
(3530 /s) se presenta en canal trapecial con taludes de 2:1 y un ancho en la base de 5 m (16 ft). Si el tirante del flujo aguas arriba es de 1.0 m (3.3 ft), determínese el tirante aguas abajo que provoque un salto hidráulico. Solución: En la estación aguas arriba
A1 = (b + zy1) y1 = [5+ 2(1)]1 =7.0 (75 )
T1 =B +2(Z)Y1= 5+ 2(2)1=9.0 m (30 ft)
. ..
D1=
= = 0.78 m (2.6 ft)
V1 =
==
F1 =
=
K=
=
= 14.3 m/s (47 ft/s) = 5.2
= 2.5
Entonces, de la figura 3.4 para F1=5.2 Y K=2.5
Encontrar: Parcela de perfil de superficie libre; profundidad a 100 m. Solución: Utilice la forma apropiada de la ecuación para la profundidad de flujo, Eq. 5.17
= 1 = / 1 Podemos convertir la ecuación diferencial en una ecuación de diferencia. En este enfoque, el diferencial se convierte en una diferencia.
≈ ∆∆
Donde Δx y Δy son cambios pequeños pero finitos en x e y, respectivamente. Combinando Eqs. 5.17 y 1, y reordenando,
/ ∆=∆ 1 ( )
= 4.7
Y2 = 4.7 m (15 ft) Por tanto, para un salo hidráulico es que el tirante aguas abajo, debe ser 4.7 m (15 ft).
Ejemplo 4 El agua fluye en un canal rectangular de 5 m de ancho hecho de hormigón sin terminar con n=0.015. El canal contiene un alcance largo en el que Sb es constante en Sb=0.020. En una sección, el flujo es a la profundidad y1=1,5 m, con velocidad V1 =4,0 m / s. Calcular y trazar el perfil de superficie libre para los primeros 100 m del canal, y encontrar la profundidad final.
1
Finalmente, dejamos Δy=yi+1 yi, donde yi y yi+1 son las profundidades en el punto i y el punto (i + 1) a una distancia Δx más abajo,
y+ = ∆ 1 2 ( )
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La ecuación 2 calcula la profundidad, yi+1, datos dados en el punto i. En la aplicación actual, Sb y n son constantes, pero A, Rh y yh, por supuesto, varían con x porque son funciones de y. Para un canal rectangular tenemos lo siguiente:
= = 2 = = = =
Los cálculos se realizan convenientemente y los resultados se representan mediante Excel. Obsérvese que los resultados parciales se muestran en la tabla, y que, para el primer metro, sobre el cual hay un cambio rápido de profundidad, el tamaño del paso es Δx=0.05.
Ejemplo 5 Un depósito alimenta un canal rectangular de 4.5 m de ancho y n=0.015. A la entrada, la profundidad de agua en el depósito es de 1.87 m por encima de la solera del canal. (Véase la fig.2) El canal tiene 240 m de longitud y un desnivel de 0.216 m en esa longitud. La profundidad
detrás de un vertedero situado en el extremo de descarga del canal es de 1.24 m. Determinar, empleando un solo tramo, la capacidad del canal suponiendo que la pérdida a la entrada es 0.25 (V1)2/2g.
Solución: -Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y 1, tomando como plano de referencia 1, tenemos: La profundidad en la posición x=100 m es de 0,914 m.
ℎ = 0. 2 5 001. 8 7 2 =0 2 1.87=1.25 2
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-Además tenemos:
-Estas ecuaciones (1 y 2) se resuelven por aproximaciones sucesivas hasta que L se aproxime o iguale a 240 m.
2 2 = /
Donde: q: caudal por unidad de ancho y: profundidad del agua V: velocidad del agua Vm: velocidad media del tramo Rm: Radio hidráulico medio del tramo L: Longitud del tramo -La capacidad del canal = 3.41239*4.5 = 15.3558 m3/seg -Nótese que éste resultado se puede aproximar más y, el caudal por unidad de anchura q=3.41239 (m3/seg) /m se multiplica por el ancho para hallar finalmente la capacidad del canal.
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5. WEBGRAFIA
4. BIBLIOGRAFIA
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https://www.upct.es/hidrom/publicaci ones/Tesis_pfc/PFC_JoseMCarrillo_200 4.pdf
https://es.scribd.com/document/3482 76002/Hidraulica-de-Canales-Abiertos
http://www.bdigital.unal.edu.co/1269 7/50/3353962.2005.Parte%2010.pdf
PHILIP J. PRITCHARD. 2011.Fox and McDonald’s INTRODUCTION TO FLUID MECHANICS; Flow with Gradually Varying Depth. 8° edición.
Estados
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WILEY
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HIDRAULICA
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Universidad nacional de Colombia Ramiro Marbello Pérez.
The hydraulic jump in circular jet impingment and in ither thin liquid films x lic .j.h Lienhard V.
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