''
BAGIAN II KINEMAT KINE MATIKA IKA PARTIKEL PARTIKEL
2.1. Pengertian Caban Cabang g mekani mekanika ka yang yang mempe mempelaj lajari ari gerak gerakan an benda benda denga dengan n kons konsep ep ruan ruang g dan dan waktu aktu tanp tanpa a memp memper erha hati tika kan n peny penyeb ebab ab geraknya
disebut
kinematika.
Sela elama
berge rgerak, rak,
sela selaiin
mengalami tranlasi, benda dapat juga mengalami rotasi. Untuk menghind menghindari ari terjadin terjadinya ya kerumitan kerumitan,, anggapla anggaplah h benda benda tersebut tersebut merupakan benda ideal yang dapat diperlakukan diperlakukan sebagai sebuah partikel . Karena benda-benda ini diperlakukan sebagai partikel
maka disebut Kinematika Partikel .
2.2. Gerak Gera Gerak k dapa dapatt
dide didefi fini nisi sika kan n
seba sebaga gaii perubahan
letak atau
kedudu kedudukan kan suatu suatu benda benda terhad terhadap ap titik titik acuan acuan atau atau titik titik asal asal tertentu. etak sebuah benda dengan mudah dapat ditentukan berd berdas asar arka kan n proy proyek eksi siny nya a pada pada keti ketiga ga sumb sumbu u suat suatu u sist sistem em koordinat tegak lurus !Koordinat Kartesius "-#-$%.
&erdasarkan lintasannya gerak dapat dibedakan menjadi gerak lurus, gerak melingkar, gerak parabola, dll. Gerak urus adalah adalah suatu suatu gerak gerak yang yang lintasan lintasannya nya merupakan merupakan garis lurus.
y P O
x1
Q
Δx x2 - x1 = Δx Δx
x
x2 Gambar (.'. )artikel &ergerak &ergerak pada sumbu-*
Fisika Dasar Teknik Teknik 1 \ Kinematika Kinematika Partikel Partikel
'(
Sutau partikel berada pada posisi * ' pada saat t ' dan *( pada saat t(.
)erubahan posisi *(-*' + * dinamakan perpindahan
partikel.
* q
*(
3
Kemiringan + kecepatan sesaat di p Kemiringan + kecepatan rata-rata
*'
p
2
t'
t + t( - t'
•
t t(
Gambar (.(. Grafik koordinat - waktu gerak
2.. Ke!e"atan Rata-rata #
v
$
Kecepatan
rata-rata
didefinisikan
perubahan
perpindahannya
sebagai
(posisi)
perbandingan
dengan
perubahan
waktu.
v
∆ x x 2 − x1 = ∆t t 2 − t 1
=
)ada gambar (.(. dilukiskan sebagai kemiringan garis p-. Kecepatan rata-rata adalah besaran ektor. )ersamaan diatas dapat diubah bentuknya menjadi / x 2
− x1 = v ( t 2 − t 1 )
atau dapat dituliskan secara umum / 0ika pada kondisi awal / t ' + t1 + 1 dengan posisi * ' + *1, dan pada kondisi akhir / t ( + t dengan posisi * ( + *, maka persamaan dapat dituliskan / x − x0
=
v t
0ika *1 + 1 maka persamaan menjadi lebih sederhana / x
=
v
t
Fisika Dasar Teknik 1 \ Kinematika Partikel
'5
2.%. Ke!e"atan &e'aat #($ Kecepatan sesaat adalah kecepatan partikel pada satu saat atau pada satu titik di lintasannya dan secara matematis didefinisikan sebagai harga limit dari kecepatan rata-rata bila jarak kedua titik tersebut semakin dekat, atau dapat dituliskan /
v
∆ x = = ∆lim t → 0 ∆t
dx dt
)ada gambar (.(. dilukiskan sebagai kemiringan garis yang memotong titik p. Kecepatan sesaat di p sama dengan kemiringan tangen di p. “ Kecepatan sesaat pada saat tertentu adalah kemiringan garis yang menyiggung kurva x terhadap t pada saat itu”
2.). Per!e"atan Rata-rata #
a
$
)ercepatan rata-rata didefinisikan sebagai perbandingan antara perubahan kecepatan pada selang waktu tertentu.
a
=
∆v v2 − v1 = ∆t t 2 − t 1
)ada gambar (.4. dilukiskan sebagai kemiringan garis p-. )ercepatan rata-rata adalah besaran ektor.
Y
q
p 0
X v1
v2
Gambar (.5. )artikel &ergerak pada sumbu-*
Fisika Dasar Teknik 1 \ Kinematika Partikel
'4
V
q
7(
3
Kemiringan + percepatan sesaat di p Kemiringan + percepatan rata-rata
7'
p
2
t'
t + t( - t'
•
t t(
Gambar (.4. Grafik kecepatan - waktu gerak
2.*. Per!e"atan &e'aat #a$ )ercepatan sesaat adalah percepatan partikel pada satu saat atau pada satu titik di lintasannya dan secara matematis didefinisikan sebagai harga limit dari percepatan rata-rata bila jarak kedua titik tersebut semakin dekat, atau dapat dituliskan /
a
∆v = = ∆lim t → 0 ∆ t
dv dt
)ada gambar (.4. dilukiskan sebagai kemiringan garis yang memotong titik p. )ercepatan rata-rata adalah besaran ektor. 6alam hukum-hukum mekanika, percepatan rata-rata tidak begitu banyak
dipakai
dan
pada pembahasan selanjutnya
yang
dimaksudkan percepatan adalah percepatan sesaat. 6efinisi percepatan berlaku untuk sebarang lintasan, baik lintasan lurus maupun lengkung. )ercepatan !a% dapat dirumuskan dalam berbagai bentuk, misalnya /
dv
= dt dt
d 2 x
=
a
= dv = dv dx = v dv dt dx dt dx
dt
=
d dx
a
dt 2
Fisika Dasar Teknik 1 \ Kinematika Partikel
'<
Contoh 2.1 : )ersamaan gerak suatu partikel mengikuti persamaan * +a 8 bt ( dengan a + (1 cm dan b + 4 cm s -(. 9a:. ;entukan perpindahan partikel selang waktu antara t '+( s dan t(+< s. 9b:. ;entukan kecepatan rata-rata selama selang waktu tersebut. 9c:. ;entukanlah kecepatan sesaat pada waktu t ' + ( s.
Penyeesaian : 9a:. )ersamaan gerak / ! " 2#($%)& '($% s 2) (t)2(s2). )ada t' + ( s, maka *' + (1!cm%8 4!cm s-(% !(%(!s(% + 5= cm )ada t( + < s, maka *( + (1!cm%8 4!cm s-(% !<%(!s(% + '(1 cm )erpindahannya + *( - *' + '(1 > 5= + ?4 cm. 9b:. Kecepatan rata-rata selama selang waktu tersebut/
v
=
∆ x x 2 − x1 120 − 36 cm 84 = = = cm s −1 = 28 cm s −1 5 − 2 s 3 ∆t t 2 − t 1
9c:. Kecepataan sesaat pada waktu t ' + ( s / v
=
dx dt
=
d dt
[ a + bt ] = 2bt 2
pada t + ( s, maka kecepatan sesaat /
v
=
dx dt
=
d [ a + bt 2 ] = 2bt = 2(4 cm s − 2 )(2 s) dt
= 16
cm s −1
Contoh 2.2 : )ersamaan Kecepatan partikel, v " % & nt 2 $%*s+. 6engan / m + '1 cm@s dan n + ( cm@s5. 9a:. ;entukan perubahan kecepatan dalam selang waktu antara t ' + ( s dengan t( + < s. 9b:. ;entukan percepatan rata-rata selama selang waktu tsb. 9c:. ;entukan percepatan sesaat pada t' + ( s. Penyeesaian : 9a:. )ersamaan kecepatan / " 1#($%*s)& 2($% s ,) (t)2(s2). )ada t' + ( s, maka ' + '1!cm@s%8 (!cm s-5%!(%(!s(% + '? cm@s )ada t( + < s, maka ( + '1!cm@s%8 (!cm s-5%!<%(!s(% + =1 cm@s
Fisika Dasar Teknik 1 \ Kinematika Partikel
'=
)erubahan kecepatannya + ( - ' + =1 > '= + 54 cm@s. 9b:. )ercepatan rata-rata selama selang waktu tersebut/
a
=
∆v v 2 − v1 60 − 18 cm 42 = = = cm s −2 = 14 cm s − 2 5 − 2 s 3 ∆t t 2 − t 1
9c:. Kecepataan sesaat pada waktu t ' + ( s / a
=
dv dt
=
d dt
[m + nt ] = 2nt 2
pada t + ( s, maka kecepatan sesaat / a
=
dv dt
=
d [ m + nt 2 ] = 2nt = 2(4 cm s − 2 )( 2 s ) dt
=8
cm s − 2
2.+. Gerak L,r,' engan Per!e"atan Kn'tan Gerak dipercepat yang paling sederhana ialah gerak lurus dengan percepatan konstan, artinya kecepatan berubah teratur selama gerak berlangsung. 0ika digambarkan dalam grafik kecepatan-waktu !gambar (.<.%, diperoleh garis lurus yang artinya besar pertambahan kecepatan rata-rata sama besar dalam selang waktu yang sama besar pula sehingga percepatan ratarata (
a
) dapat diganti dengan percepatan konstan (a).
V v2"v at
v
v1"v# v#
# t "# 1
t2"t
t
Gambar (.<. Grafik kecepatan - waktu
a
=
∆v v2 − v1 = ∆t t 2 − t 1
6ari gambar dapat dilihat / t'+1 /'+1 dan t(+t /(+,
Fisika Dasar Teknik 1 \ Kinematika Partikel
'A
maka /
a
=
v − v0
=
t − t 1
v − v0 t − 0
dan diperoleh / v " v# & at
Kecepatan rata-rata /
v
=
v0
+v 2
0arak perpindahan yang ditempuh !posisi% / x = v t v + v = 0 t 2 v + v0 + at t x = 0 2 x
x
= v0 t + 1 at 2 2
6ari persamaan / + 1 8 at
t =
v − v0 a
6ari )ersamaan / x
=
v0
+ v t dengan mensubstitusi nilai t / 2
2 2 v0 + v v − v0 v 2 − v0 = x = 2a 2 a 2 v 2 = v 0 + 2ax
)ersamaan-persamaan / + 1 8 at x
= v 0 t + 1 at 2
v2
2
= v + 2ax 2
0
adalah persa%aan gerak dengan per$epatan konstan, untuk kejadian dimana partikel berada dititik pangkal pada saat t '+1. Untuk
kejadian
khusus,
jika
percepataannya
nol,
maka
persamaannya menjadi lebih sederhana /
Fisika Dasar Teknik 1 \ Kinematika Partikel
'?
+ 1 + konstan x
=
v t
6ari penjabaran persamaan diatas Gerak urus dapat dibedakan menjadi dua / 1.
-erak urus /eraturan (-/) Suatu
benda
disebut
&ergerak
urus
&eraturan
apabila
lintasannya merupakan garis lurus dan kecepatannya setiap saat tetap atau suatu benda juga dikatakan &ergerak urus &eraturan apabila dalam selang waktu yang sama dapat menempuh jarak yang sama dan lintasannya merupakan garis lurus. )ersamaannya yang berlaku / + 1 + konstan x
2.
=
v t
-erak urus /erubah /eraturan (-//) Suatu benda &ergerak urus &erubah &eraturan jika benda tersebut bergerak dengan lintasan garis lurus dan kecepatannya selalu berubah secara beraturan. )ersamaan yang berlaku / + 1 8 at x
= v 0 t + 1 at 2
v2
2
= v + 2ax 2
0
-// dibagi menjadi dua macam / a. Gerak urus &erubah &eraturan dipercepat98a:. b. Gerak urus &erubah &eraturan diperlambat9-a:.
Contoh 2., : Sebuah mobil mempunyai kecepatan tetap =1 km@jam. &erapa jarak yang ditempuh mobil dalam waktu 51 menit . )enyelesaian / x
=
v t
* + =1 km@j !51 menit%!' jam@ =1 menit% * + 51 km.
Fisika Dasar Teknik 1 \ Kinematika Partikel
'B
Contoh 2.' : Sebuah benda bergerak dengan kecepatan awal '1 m@s. Setelah bergerak (1 s benda tersebut berhenti. ;entukanlah / 9a:. )erlambatan yang dialami benda. 9b:. 0arak yang ditempuh dari keadaan awal sampai berhenti. )enyelesaian / 1 + '1 m@s / t + 1 !berhenti% t + (1 s.
9a:. + 1 8 at 1 + '1 m@s 8 a!m@s(%!(1 s% a
= − 10
m / s 20 s
= −0.5 m / s 2 !)erlambatan tanda a + negatif%.
9b:. 0arak yang ditempuh / 1
at 2
x
=
v0 t +
x
=
10( m / s)(20 s ) +
x
=
2
1
(−0.5m / s 2 )(20 s) 2
2 200 m − 100 m = 100 m
2./. Bena 0at, Bea' Suatu benda dikatakan mengalami gerak jatuh bebas, apabila benda tersebut dilepaskan pada suatu ketinggian tertentu terhadap tanah, tanpa kecepatan awal. &enda akan jatuh ke bmi !tanah% karena benda tersebut mendapat percepatan graitasi !g% bumi yang arahnya selalu menuju ke pusat bumi.
1+1 y
Fisika Dasar Teknik 1 \ Kinematika Partikel
(1
Gambar (.=. Gerak 0atuh &ebas
&enda jatuh bebas dari ketinggian y dari permukaan tanah dan percepatan yang dialami sebesar g, maka berlakuk persamaan / Kecepatan awal, 1 + 1 )ercepatan, a + g Kecepatan setelah t detik, + gt 0arak yang ditempuh, y
=
1 2
2
g t
2.3. Gerak 4ertika5 ke ata' &enda yang bergerak ertikal keatas karena dilemparkan dari permukaan tanah dengan kecepatan awal 1, makin lama kecepatannya akan berkurang sehingga pada titik tertinggi kecepatan benda sama dengan nol, &enda akan berhenti sesaat kemudian akan berbalik arah kembali ke bawah. )ada saat benda
bergerak
ertical
ke
atas
benda
itu
mengalami
perlambatan sebesar percepatan graitasi bumi !g%.
1
Gambar (.A. Gerak 7ertikal ke atas
Kecepatan awal, 1 )ercepatan, a + -g Kecepatan setelah t detik / + 1 > gt 0arak yang ditempuh / y
= v 0 t − 1 g t 2 2
Fisika Dasar Teknik 1 \ Kinematika Partikel
('
Untuk menghitung waktu yang diperlukan oleh sebuah benda yang dilemparkan ertikal ke atas mencapai titik tertinggi !maksimum% / )ada titik tertinggi, + 1 + 1 > gt + 1 t ymaks
=
vo g
;inggi maksimum, ymaks
= v 0 [ t maks ] − 1 g [ t maks ] 2
y maks
2
Contoh 2.0 : Sebuah benda dilemparkan ertikal ke atas dengan kecepatan awal (1 m@s, percepatan graitasi !g%+ '1 m@s(, tentukan / 9a:. aktu untuk sampai pada titik tertinggi. 9b:. ;inggi maksimum yang dapat dicapai.
)enyelesaian / 9a:. t ymaks
=
vo g
=
20 m / s 10 m / s 2
= 2 s
9b:.
y maks y maks
=
v0 [ t maks ] −
1
g [ t maks ]
2 = 40 m − 20 m
=
2
=
(20m / s)(2 s) −
1 2
2
(10m / s )(2 s)
2
20 m
2.16. Gerak Pe5,r, #Gerak Pryekti5$ Salah satu contoh gerak lengkung dengan percepatan konstan adalah gerak peluru !proyektil%. Gerak ini adalah gerak dua dimensi dari partikel yang dilemparkan miring ke udara. )engaruh gesekan udara terhadap gerak ini dianggap dapat diabaikan.
Fisika Dasar Teknik 1 \ Kinematika Partikel
((
Gerak peluru / - percepatan konstan !g% yang mengarah ke bawah - tidak ada komponen percepatan dalam arah horisontal !a *% Daka ay + -g dan a* + 1 - pada saat t + 1, kecepatannya adalah 7o yang membentuk sudut Eo dengan umbu *-positif. Sehingga komponen * dan y dari 7o adalah / Vox = Vo Cos θo dan V oy = Vo Sin θo
Frah-* / -
;idak ada komponen percepatan dalam arah horisontal maka komponen kecepatan dalam arah * adalah konstan, dengan a* + 1 dan Vx = Vox + a x t Vx = Vo Cos θo + 0.t Vx = Vo Cos θo
Vx = Vox Frah-y / -
Komponen ertikal berubah terhadap waktu, maka ay = -g dengan a* + 1 dan Voy = Vo Sin θo maka / Vy = Voy + ay .t Vy = Vo Sin θo - gt
Vy = Voy - gt &esar adalah /
resultan ektor kecepatan !V % pada sembarang saat
V
=
V x2 + V y2
Sudut E yang dibentuk oleh ektor kecepatan dengan garis horisontal adalah /
tan θ =
V y V x
&esar koordinat * dan y / 6engan xo = 0, a x = 0 dan Vox = Vo Cos θo, yaitu /
Fisika Dasar Teknik 1 \ Kinematika Partikel
(5
x = xo + Vox.t + ½a x t 2 x = 0 + Vo Cos θo.t + ½ .0. t 2 x = Vo Cos θo.t x = Vox.t
6engan yo = 0, ay = -g dan Voy = Vo Sin θo, yaitu / y = yo + Voy.t + ½ay. t 2 y = 0 + Vo Sin θo .t - ½ .g. t 2 y = Vo Sin θo .t - ½ .g. t 2 y = Voy .t - ½ .g. t 2
7
• Voy
V
Vo
Vx
θ Vox
θ V Vx θ
Vy Gambar (.?. intasan Gerak )eluru
Vy V Contoh 2. : Seorang pemain bola menendang bola sehingga bola terpental dengan sudut 5AH dari horisontal dengan laju awal <1 ft@s. )ercepatan graitasi g + 5( ft@s(. a. ;entukan waktu !t 1% ketika bola mencapai titik tertinggi lintasannyaI. b. &erapa ketinggian melambungnya bola dalam waktu t 1 tersebutJ.
Fisika Dasar Teknik 1 \ Kinematika Partikel
(4
c. &erapa jangkauan ! x % bola dan berapa lama !t 2% bola melambung di udaraJ. d. &erapa kecepatan bola ketika kembali di tanahJ.
)enyelesaian / a. 6i titik tertinggi, komponen ertikal Vy adalah nol !Vy + 1% Vo + <1 ft@s g + 5( ft@s( dan θo + 5AH maka / Vy = Voy – g t 1 Vy = Vo Sin θo – gt 1 0 = 50 Sin 37 H - 32t t 1 = (50 . 0,602)/32 = 0,!1 s
("a#t$ $nt$# %&n'aai titi#
t&tinggi)
*. t = 0,!1s y = Voy .t - ½ .g. t 2 y = Vo Sin θo .t - ½ .g. t 2 y = 50 Sin 37 H(0,!1) - ½ .32.(0,!1)2 y = 2,315 – 1!,16 y = 1!,1!7 t
c. 0angkauan adalah jarak horisontal mulai dari titik awal sampai dengan titik lain. ama bola melambung di udara ! t 2% adalah ( kali t 1. t 2 = 2 t 1 t 2 = 2(0,!1) = 1,2 s ta$ %&ngg$na#an $%$s y = Vo Sin θo .t 2 - ½ .g. t 22 &ngan y = 0, s&ingga t 2 = (2 Vo Sin θo)/g = (2. 50 Sin 37 H%@32 = 1,1 s 0angkauan x = Vo Cos θo .t x = 50 Cos 37 H .1,1 x = 75,112 t
d. Kecepatan bola ketika kembali ke tanah = V Vx = Vo Cos θo = 50 Cos 37 H + 3,32 t/s Vy = Vo Sin θo – gt 2 + 50 Sin 37 H - 32(1,1) = -30,101 t/s
Fisika Dasar Teknik 1 \ Kinematika Partikel
(<
V
=
tan θ
V x2 + V y2
=
V y V x
=
=
39,932 2 + ( −30)2
30 39,932
⇒
θ
Vx
= 49,946 !t / s θ
= 36,917° Vy
V
Contoh 2. : Sebuah bola dilemparkan ke udara dengan kecepatan awal <1 m@s pada sudut 5AH terhadap horisontal. Cari waktu total bola berada di udara dan jarak horisontal yang ditempuhnya jika diketahui g + '1 m@s (. )enyelesaian / Vo = 50 %/s θo = 37 H dan g + '1 m@s( Cara a%. t 2 = 2.t 1 L t 1 adalah waktu untuk mencapai titik tertinggi t 2 adalah lama bola melambung di udara Vy = Voy – g t 1 Vy = Vo Sin θo – g t 1 Untuk titik tertinggi maka Vy + 1
y
0 = 50 Sin 37 H – 10 t 1 10 t 1 = 30,01 Vy = 0
t 1 = 3,00 s ai t 2 = 2.t 1 = 2 (3,00)
=
6,01 s
Cara b%.
y = Voy . t 2 - ½ .g.
t 22 y = 0 t 1 x
y = 0 t = 0
y = 0 t 2
x
4&ngan y = 0 0 = 50 Sin 37 H t 2 - ½ .10 t 22 0 = t 2 (50 Sin 37 H - ½ .10 t 2 ) t 2 = 2(50 Sin 37 H )/10 t 2 = 6,01 s
Fisika Dasar Teknik 1 \ Kinematika Partikel
(=
•
0arak horisontal yang ditempuh !jangkauan% / x = Vox. t x = Vo Cos θo. t x = 50 Cos37 H. 6,01 x = 2!0,30 %
Contoh 2.3 : Seperti contoh soal (.A., tetapi bola dilempar dari tebing yang berada << m di atas bidang datar. 6imana bola mendaratJ. 6iketahui /
Vo = 50 m@s θo = 37 g = 10 %/s2
)enyelesaian /
•
aktu naik !waktu untuk mencapai titik tertinggi% + t ' Vy = Voy – g t 1 Vy = Vo Sin θo – g t 1 Untuk titik tertinggi maka Vy + 1 0 = 50 Sin 37 H – 10 t 1 10 t 1 = 30,01 t 1 = 3,00 s
Fisika Dasar Teknik 1 \ Kinematika Partikel
(A
y Vy = 0 Vo
y 1
y 2 =55%
θo
y = 55%
y = 0 t 1 x
y = 0
y = 0 t 2
x
Ketinggian maksimum y 1 akan diperoleh / y 1 =V ata-ata . t 1 y 1 = ½(Voy + Vy)t y 1 = ½(50 Sin 37 H + 0)3,00 y 1 = ½(30,01+ 0)3,00 y 1 = !5,272 %
0arak turun y = y 1 + y 2 = !5,272 + 55 = 100,272 % a#t$ *o8a 9at$ ai ia% s&9a$ 100,272% aa8a y = Voy - ½ .g. t 2
Voy = 0
100,272 = 0 . t - ½ .10. t 2
t = 20,054
=
4,478 s
0adi waktu total + waktu naik 8 waktu turun t 2 + t 1 8 t = 3,00 + !,!7 = 7,!7 s
0arak horisontal selama waktu tersebut adalah / x = Vox . t = Vo Cos θo. t = 50 Cos 37(7,!7) * + (B?,B
Fisika Dasar Teknik 1 \ Kinematika Partikel
