MAKALAH GERAK KINEMATIKA DALAM SATU DIMENSI DAN KINEMATIKA DALAM DUA DIMENSI
Diajukan sebagai syarat untuk memenuhi kegiatan pembelajaran program studi Fisika di Universitas Padjadjaran
Disusun oleh:
1. Adi Sugiarto
140101!00"
#. $arina %amadayanthi A&essa Putri
140101!00'
FAKULTAS MATEMATIKA DAN PENGETAHUAN ALAM PRODI FISIKA UNIVERSITAS PADJADJARAN JATINANGOR-SUMEDANG 2!"
1
KATA KAT A PENGANTAR PENG ANTAR
Puji dan syukur s yukur kehadirat (uhan )ang )ang *aha $uasa atas segala rahmat yang diberikan+,ya sehingga tugas *akalah yang berjudul Ge#$% Kine&$'i%$ D$l$& S$'u (i&ensi ($n Kine&$'i%$ D$l$& Du$ Di&ensi ini dapat kami selesaikan.
*akalah ini kami buat sebagai salah satu ke-ajiban untuk memenuhi tugas.
Dalam kesempatan ini kami mengu/apkan mengu/apkan terimakasih kepada semua pihak yang yang telah membantu menyumbangkan ide dan pikiran demi ter-ujudnya makalah ini. $ami membutuhkan saran maupun kritik dari pemba/a makalah ini yang dimaksud untuk me-ujudkan kesempurnaan makalah ini.
Penulis
2
KATA KAT A PENGANTAR PENG ANTAR
Puji dan syukur s yukur kehadirat (uhan )ang )ang *aha $uasa atas segala rahmat yang diberikan+,ya sehingga tugas *akalah yang berjudul Ge#$% Kine&$'i%$ D$l$& S$'u (i&ensi ($n Kine&$'i%$ D$l$& Du$ Di&ensi ini dapat kami selesaikan.
*akalah ini kami buat sebagai salah satu ke-ajiban untuk memenuhi tugas.
Dalam kesempatan ini kami mengu/apkan mengu/apkan terimakasih kepada semua pihak yang yang telah membantu menyumbangkan ide dan pikiran demi ter-ujudnya makalah ini. $ami membutuhkan saran maupun kritik dari pemba/a makalah ini yang dimaksud untuk me-ujudkan kesempurnaan makalah ini.
Penulis
2
DAFTAR ISI
udul ........................................... .................................................................. .............................................. ........................................1 .................1 $ata Pengantar ............................................ ................................................................... .............................................. .......................# # Da&tar si.............................................. si..................................................................... .............................................. ............................... ........ 2ab 3 Pendahuluan 1.1 atar 2elakang ............................................. .................................................................... ...........................4 ....4 1.# %umusan *asalah ................................ ....................................................... ..................................4 ...........4 1. (ujuan ....................................... .............................................................. .............................................4 ......................4 2ab 3 Pembahasan #.1 Pengertian kinematika ............................................ ............................................................5 ................5 #.# $inematika Dalam Satu Dimensi............................................ Dimensi............................................! ! #. $inematika Dalam Dua Dimensi ......................................... ......................................... 2ab 3 Penutup .1 $esimpulan ............................................. .................................................................... ............................. ...... .# Saran .............................................. ..................................................................... ..................................... ..............
3
)A) I PENDAHULUAN
!*! L$'$# )el$%$n+
Fisika adalah salah satu ilmu pasti yang dalam kajiannya terbatas pada &isik benda. Salah satu kajian dalam &isika ialah mengenai gerak benda yang istilah &isikanya disebut mekanika. Dalam bahasan mekanika mekanika gerak suatu benda dispesi&ikasi menjadi dua ranting bahasan yakni kinematika serta dinamika. $inematika menjabarkan mengenai gerakan benda tanpa mengaitkan apa penyebab benda benda tersebut bergerak. Sedang dinamika mengulas mengenai gerakan benda dengan menghubungkan apa menyebabkan benda tersebut bergerak. adi dalam mengulas tentang gerakan suatu benda dapat dilakukan dengan dua pendekatan yakni pendekatan kinematika atau dinamika.
!*2 Ru&us$n M$s$l$h
Sesuai dengan latar belakangmaka makalah ini membahas tentang3 1. Apa yang dimaksud dengan kinematika6 #. Apa saja yang termasuk dalam $inematika dalam satu dimensi6 . Apa saja yang termasuk dalam $inematika dalam dua dimensi6
!*, Tuu$n
(ujuan pembuatan makalah ini untuk mengetahui 3 1. Pengertian kinematika #. Pengertianpenjelasan dan klasi&ikasi kinematika dalam satu dimensi . Pengertianpenjelasan dan klasi&ikasi kinematika dalam dua dimensi
4
)A) II PEM)AHASAN
2*! PENGERTIAN KINEMATIKA
$inematika adalah ilmu yang membahas tentang gerak tanpa meninjau penyebab terjadinya gerak tersebut.Setiap hari kita berangkat dari rumah ke kampus kampus tanpa tanpa kita kita sadari sadari kita kita telah telah melaku melakukan kan perge pergeraka rakan n atau perpin perpindah dahan an kedu kedudu duka kan n
dari dari ruma rumah h ke kamp kampus us.7 .7al al dem demikia ikian n yang yang dise disebu butt
deng dengan an
bergerak8mengalamai perpindahan. Ge#$% adalah adalah perubahan posisi suatu benda terhadap titik a/uan.(itik a/uan
sendiri sendiri dide&inisika dide&inisikan n sebagai titik a-al atau titik tempat pengamat.9era pengamat.9erak k bersi&at bersi&at relati& artinya gerak suatu benda sangat bergantung pada titik a/uannya.2enda yang bergerak dapat dikatakan tidak bergerak sebagai /ontoh meja yang ada di bumi pasti dikatakan tidak bergerak oleh manusia yang ada di bumi.(etapi bumi.(etapi bila mataha matahari ri yang yang diguna digunakan kan sebagai sebagai titik titik a/uan a/uan maka maka meja meja tersebu tersebutt berger bergerak ak bersama bumi mengelilingi matahari. 2erdasarkan lintasannya gerak dibagi menjadi yaitu3 1 #
9erak 9erak lurus lurus yaitu yaitu gerak gerak yang yang linta lintasan sanny nyaa berbent berbentuk uk luru luruss 9erak 9erak parabo parabola la yaitu yaitu gerak gerak yang yang lintasan lintasanny nyaa berbentu berbentuk k parabol parabolaa 9erak 9erak meling melingkar kar yaitu yaitu gerak gerak yang yang lintasa lintasanny nnyaa berbent berbentuk uk lingka lingkaran ran
Sedangkan berdasarkan per/epatannya gerak dibagi menjadi # yaitu3 1
9erak 9erak beratu beraturan ran adalah adalah gerak gerak yang yang per/ep per/epatan atanny nyaa sama dengan dengan nol nol :a ; 0<
#
atau gerak yang ke/epatannya konstan. 9erak 9erak beruba berubah h beratur beraturan an adalah adalah gerak gerak yang yang per/ep per/epatan atanny nyaa konstan konstan :a ; konstan< atau gerak yang ke/epatannya berubah se/ara teratur.
5
2*2 KINEMATIKA DALAM SATU DIMENSI !
Ke#$n+%$ A.u$n
Apabila kita mengukur posisi jarak atau kelajuan suatu benda maka kita berpatokan pada suatu kerangka a/uan. *isalnya ketika saya mengendarai mobil yang bergerak dengan laju 10 m8s sebenarnya saya sedang bergerak di atas permukaan bumi sehingga kelajuan mobil tersebut berpatokan pada permukaan bumi sebagai kerangka a/uan. Atau ketika saya berada di dalam kereta api yang bergerak dengan kelajuan 100 m8s saya melihat seorang yang berjalan ke arah saya misalnya dengan kelajuan # m8s. aju orang yang berjalan tersebut sebenarnya ditetapkan dengan berpatokan pada kereta api sebagai kerangka a/uan sedangkan laju kereta sebesar 100 m8s berpatokan pada permukaan bumi sebagai kerangka a/uan. Apabila orang tersebut berjalan searah dengan kereta api maka kelajuan orang tersebut 10# m8s terhadap permukaan bumi sebagai kerangka a/uan. Dalam kehidupan sehari ‐ hari ketika menyebutkan kelajuan suatu gerak benda maksud kita sebenarnya terhadap permukaan bumi sebagai kerangka a/uannya hanya hal tersebut jarang dikatakan. adi Ke#$n+%$ $.u$n adalah suatu perspekti& dari mana suatu sistem diamati. Dalam bidang &isika suatu kerangka a/uan memberikan suatu pusat koordinat relati& terhadap seorang pengamat yang dapat mengukur gerakan dan posisi semua titik yang terdapat dalam sistem termasuk orientasi objek di dalamnya.
!*2*!*! J$#$% J$#$% adalah seberapa jauh suatu benda berubah posisi melalui suatu
lintasan tertentu yang dinyatakan dalam angka.Dalam pengertian sehari+hari jarak dapat berupa estimasi jarak &isik dari dua buah posisi berdasarkan kriteria tertentu :misalnya jarak tempuh antara $lungkung+Singaraja<.Dalam
6
bidang matematika jarak haruslah memenuhi kriteria tertentu.2erbeda dengan koordinat posisi jarak tidak mungkin bernilai negati&.arak merupakan besaran skalar sedangkan perpindahan merupakan besaran vektor. adi $#$% adalah panjang lintasan yang ditempuh oleh suatu obyek yang bergerak mulai dari posisi a-al dan selesai pada posisi akhir. !*2*!*2 Pe#/in($h$n Perpindahan merupakan perubahan posisi suatu benda dalam selang -aktu
tertentu.Perpindahan adalah seberapa jauh jarak benda tersebut dari titik a-alnya. A*
*)
G$&0$# 1Pe#/in($h$n ($n J$#$% Ke': garis lurus
; perpindahan A+2
garis bergelombang
; jarak A+2
Pe#/in($h$n adalah besaran yang memiliki besar dan arah.2esaran adalah 3e%'o# .$onsep jarak dan perpindahan dapat dijelaskan dengan /ontoh sebuah bola
yang digulirkan pada sebuah bidang datar lurus yang digambarkan pada sebuah sumbu koordinat pada gambar 2.3. A =
+5
+4+
+#
+1
2
0
1
#
4
5
G$&0$# 2*, 1+e#$% /$($ s$'u su&0u %o#(in$'
*isalkan ada # bola yang digulirkan dari = 3 + bola pertama digulirkan ke kanan dan berhenti di 2 + bola kedua digulirkan ke kiri dan berhenti di A
7
$ita lihat pada gambar di atas panjang suatu lintasan yang ditempuh oleh dua bola tersebut adalah sama+sama satuan.,amun jika diperhatikan arahnya berbeda :kedua bola berpindah posisi ke arah yang berla-anan<. *engenai jarak tidak dipersoalkan arah kemana suatu benda bergerak sementara perpindahan tidak mempersoalkan bagaimanakah lintasan benda tersebut karena perpindahan hanya memperhitungkan kedudukan a-al dan akhir benda tersebut. Dua buah benda boleh saja menempuh jarak yang sama namun mengalami perpindahan yang berbeda. Seperti /ontoh di ba-ah ini3 >
+5
+4
+
=
+#
+1
0
D
1
#
45
!
G$&0$# 2*4 1/e#u0$h$n /osisi
Apabila ada bola ketiga yang bergerak dari = ke kanan sampai di D kemudian balik bergerak ke kiri mele-ati = lalu berhenti di > bagaimanakah jarak dan perpindahan yang terjadi6 Dengan menganalisisnya maka diperoleh3 + arak yang ditempuh bola adalah Panjang dari lintasan =D> ; =D ? D> sODC = sOD +s DC Persamaan 2.1
Dengan menggunakan persamaan 2.1maka jarak : s< ; ! ? @ ; 15 satuan + Perpindahan yang terjadi pada bola adalah => :kedududan a-alnya di = dan kedudukan akhirnya di >< x OC = x C – x O
Persamaan 2.2
Dengan menggunakan persamaan 2.2 maka x=> ; + satuan. >atatan3
8
(anda minus pada x menunjukkan arah perpindahan bola ke kiri dari titik a/uan. Perbedaan antara jarak dan perpindahan bukan saja ditandai oleh ada tidaknya arah namun juga ditandai oleh besar kedua besaran itu : s ; 15 satuan sedangkan x; satuan<. Suatu jarak dan perpindahan memiliki nilai yang sama besar apabila benda bergerak ke satu arah tertentu. >ontoh 3
Sebuah benda bergerak dari A menuju 2 kemudian dia kembali ke >. Pada peristi-a ini jarak yang ditempuh adalah :menggunakan persamaan 2.1< A2 ? 2> ; #00 m ? @0 m ; #@0 m . Sedangkan perpindahannya adalah :menggunakan persamaan 2.2< A2 B 2> ; #00 m B @0 m ; 110 m.
$esimpulan yang dapat kita ambil bah-a3 + $#$% adalah Panjang lintasan yang ditempuh sedangkan + /e#/in($h$n dapat diartikan sebagai perubahan posisi8kedudukan benda dari kedudukan a-al sampaipada kedudukan akhir. 2*, KE5EPATAN RATA-RATA DAN KE5EPATAN SESAAT6 LAJU RATARATA
$e/epatan merupakan besaran perpindahan suatu benda tiap satuan -aktu.Sedangkan kelajuan merupakan sebagai besarnya jarak yang ditempuh tiap satuan -aktu.$elajuan hanya memiliki besar saja sehingga disebut besaran skalar.Sebagai /ontoh speedometer sebuah sepeda motor yang sedang bergerak dan menyatakan bah-a sepeda motor sedang bergerak 40 km8jam maka yang dimaksudkan disini adalah kelajuan sepeda motor tersebut. Sedangkan ke/epatan memiliki besar dan arah sehingga disebut besaran vektor. *isalkan sepeda motor sedang bergerak 40 km8jam ke timur maka yang dimaksudkan disini adalah
9
kecepatan sepeda motor tersebut. adi konsep kelajuan tidak sama dengan ke/epatan. 2esarnya ke/epatan sesaat ; kelajuan sesaat pada -aktu sesaat. Dalam selang -aktu relati& lama dan arah gerakan mengalami perubahan disini dikatakan bah-a kelajuan rata+rata berbeda dengan ke/epatan rata+rata. ika gerakan hanya terjadi sepanjang garis lurus maka besarnya ke/epatan sama dengan kelajuan.
v = x / t
Persamaan 2.3
$eterangan 3 v; $e/epatan :m8s< x ; Perpindahan :m< t ; Caktu :s< Alat untuk mengukur kelajuan adalah speedometer. Alat untuk mengukur ke/epatan benda disebut velo/imeter. elo/imeter merupakan speedometer jenis linier yang memiliki skala bergerak dari angka negati& hingga positi&. 2*,*!Ke.e/$'$n R$'$-R$'$ Kecepatan rata-ratamerupakan ke/epatanyang besar perpindahan yang
ditempuh dibagi dengan selang -aktu yang diperlukan s elama benda berpindah.
E O
A
)
P
7
G$&0$# 2*8 1 )en($ 0e#+e#$% lu#us ($#i A %e ) Ke.e/$'$n #$'$-#$'$ antara A dan 2 dide&inisikan sebagai berikut3
v
=
∆ x ∆t
=
x B
− x A
t B
− t A
Persamaan 2.4
v $eterangan 3
; ke/epatan rata+rata :m8s< x; besar perpindahan :m<
10
t = -aktu yang diperlukan untuk berpindah :s< 2*,*2 Ke.e/$'$n Ses$$' Kecepatan
esaat
merupakan
ke/epatan
pada
suatu
-aktu
tertentu.$e/epatan sesaat pada -aktu kapanpun adalah ke/epatan rata+rata selama selang -aktu sangat ke/il. Dalam hal ini ke/epatan sesaat sebagai ke/epatan rata+ rata pada limit t yang menjadi sangat ke/il mendekati nol. $e/epatan sesaat dide&inisikan sebagai berikut 3
v = lim ❑ v ∆t → 0
v = lim ∆t →0
(
rata+rata
∆ x ∆ t
Persamaan 2.!
$e/epatan dan ke/epatan sesaat memiliki makna yang sama. $etika menyebutkan kata ke/epatan yang kita maksudkan sebenarnya ke/epatan sesaat.$e/epatan
atau
ke/epatan
sesaat
merupakan
perbandingan
antara
Pe#/in($h$n yang sangat ke/il dengan selang -aktu yang sangat singkat.
Sebaliknya ke/epatan rata+rata merupakan perbandingan antara /e#/in($h$n 'o'$l dengan selang -aktu total selama terjadi perpindahan. 2*,*, L$u R$'$-R$'$ Ke"aj#an rata-ratamerupakan hasil bagi antara jarak total yang ditempuh
dengan selang -aktu untuk menempuhnya. $ita ambil /ontoh seorang sis-a berangkat dari rumah menuju sekolah dengan jarak 10 km dengan -aktu 1 jam. Untuk /ontoh ini kelajuan rata+rata adalah 10 km81 jam sehingga menjadi 10 km8jam. ni adalah kelajuan rata+rata. tu artinya sis-a tersebut tidak setiap hari pergi berangkat ke sekolah dengan laju 10 km8jam. Pasti ada juga perlambatan ma/et di jalan dll.
v
=
∆ s s B − s A = ∆t t B − t A
Persamaan 2.$
v $eterangan 3
; ke/epatan rata+rata :m8s< x ; jarak total yang ditempuh :m<
11
t ; -aktu yang diperlukan untuk menempuh jarak :s< 2*4 PER5EPATAN Percepatan dide&inisikan sebagai perubahan ke/epatan yang terjadi selama
selang -aktu tertentu bersi&at tetap. Perubahan ke/epatan persatuan -aktu* Per/epatan menyatakan seberapa /epat perubahan ke/epatan sebuah benda. v a
Persamaan2.%
=
t
2*4*! Pe#.e/$'$n R$'$-R$'$
Percepatan rata-rata dide&inisikan sebagai hasil bagi perubahan ke/epatan
:∆v< dengan selang -aktu :∆t < yang diperlukan untuk terjadinya perubahan ke/epatan tersebut. a
=
∆v ∆t
Persamaan 2.&
2*4*2 Pe#.e/$'$n Ses$$' Percepatan esaat dide&inisikan sebagai analogi terhadap ke/epatan sesaat
dalam suatu saat atau -aktu.
a = lim ∆t →0
(
∆ v ∆ t
Persamaan 2.'
2*8 HU)UNGAN UMUM ANTAR POSISI6 KE5EPATAN6 DAN PER5EPATAN
2erikut adalah gambaran umum hubungan antar posisi ke/epatan dan per/epatan3
TURUNAN
INTEGRAL
G$&0$# 2*" 2erikut juga disampaikan penjelasan se/ara singkat mengenai konsep 1Hu0un+$n u&u& /osisi6 %e.e/$'$n ($n /e#.e/$'$n
Penggunaan gambar 2.6 misalnya3 jika diketahui &ungsi posisi maka &ungsi ke/epatan adalah turunan pertama dari &ungsi posisi. Serta &ungsi per/epatan
12
adalah turunan kedua dari &ungsi posisi. (ntinya) turun satu tingkat ; turunan pertama turun dua tingkat ; turunan kedua. Sementara itu misalnya3 jika diketahui &ungsi per/epatan maka &ungsi ke/epatan adalah integral pertama dari &ungsi per/epatan. Serta &ungsi posisi adalah integral kedua dari &ungsi per/epatan. (ntinya) naik satu tingkat ; integral pertama naik dua tingkat ; integral kedua. Selanjutnya akan dijelaskan se/ara lebih mendetail mengenai hubungan umum yang ada pada gambar 2.6.$e/epatan dapat di/ari dengan turunan dari &ungsi posisinya. Sebaliknya jika &ungsi ke/epatan diketahui &ungsi posisi dapat ditentukan dengan mengintegralkan &ungsi ke/epatan tersebut.
;
dx d t
Persamaan 2.1*
Apabila persamaan 2.10 diintegralkan maka dihasilkan persamaan di ba-ah ini3
∫d x
9
x
∫d x x 0
∫v
d t
t
∫v·dt
;
t 0
t
x – x * 9
∫v·dt t 0
t
x
9 x ;
∫v·dt
Persamaan 2.11
Dengan3 x ; posisi a-al :m< x 9 posisi pada -aktu t :m< 9 ke/epatan yang merupakan &ungsi -aktu :m8s< K,mp,nen p,sisi pada arah sumbu E dan sumbu y adalah3 t
x
9 x ;
∫ v x · d t
Persamaan 2.12
13
t
Persamaan 2.13
∫ v y · d t
9 ;
Per/epatan merupakan turunan pertama dari &ungsi ke/epatanterhadap -aktu dan turunan kedua dari &ungsi posisi terhadap -aktu.
dv d t
=
a
Fungsi ke/epatan dapat
Persamaan 2.14
ditentukan dengan mengintegralkan &ungsi
per/epatan.
∫@ v
Persamaan 2.1!
=
Apabila saat t 0ke/epatannya 0dan pada saat t ke/epatannya maka batas+ batas integralnya3 v
t
∫d v
∫a·dt
=
v0
t 0
t
∫a·dt
– * = t
=
t 0
Persamaan 2.1$
∫a · d t
Dengan3 * ; ke/epatan a-al :m8s< 9ke/epatan pada -aktu t :m8s< a 9 per/epatan yang merupakan &ungsi -aktu :m8s #< K,mp,nen p,sisi pada arah sumbu E dan sumbu y adalah3 t
∫ a · d t
=
Persamaan 2.1%
x
t
=
+
∫ a y · d t
Persamaan 2.1&
2*" GERAK DAN KE5EPATAN RELATIF erak re"ati merupakan gerak suatu benda sangat bergantung pada titik
a/uannya.2enda yang bergerak juga dapat dikatakan tidak bergerak sebagai /ontoh kursi dibumi dipastikan tidak bergerak jika dilihat oleh manusia yang ada
14
dibumi.Akan tetapi jika matahari yang dijadikan titik a/uan maka mejabergerak bersama bumi mengelilingi matahari. Kecepatanre"ati dapat dide&inisikansebagai ke/epatan dengan pengamatan
yang dilakukan pada kerangka a/uan yang berbeda berhubungan antara satu dengan yang lainnya. 2erikut disampaikan mengenai konsep dan /ontoh soal untuk menentukan ke/epatan relati& dari ke/epatan+ke/epatan yang berada di jalur yang berbeda. 3A(
Arus sungai
3P( 3PA
G$&0$# 2*< 15on'oh so$l /enen'u$n %e.e/$'$n #el$'i= ($#i %e.e/$'$n-%e.e/$'$n >$n+ 'i($% se$lu#
Sebagai /ontoh pada gambar 2.7 perahu akan menyeberangi sungai ke sisi seberang se/ara tegak lurus. angkah yang harus dilakukan adalah menentukan 3PA sebagai ke/epatan perahu tehadap air :ke/epatan relati& perahu terhadap
tepian jika air tidak bergerak<. 3P( adalah ke/epatan perahu terhadap tepi sungai. Serta 3A( adalah ke/epatan air terhadap tepi sungai :arus sungai<. 2erikut adalah /ontoh soal sesuai dengan gambar 2.7 . $e/epatan perahu pada air tenang 3PA ; 1'5 m8s. ika perahu tersebut akan menyeberang lurus ke seberang sungai :ke/epatan arus 3A( ; 1#0 m8s< berapa arah sudut perahu ke hulu sungai6 Penye"esaian: Perhatikan bah-a 3P( ; 3PA ? 3A( untuk men/apai hal ini perahu
harus diarahkan ke hulu untuk mengatasi arus yang menariknya ke hilir. Dengan
15
demikian 3PA menunjuk ke hulu dengan sudut
Sehingga didapat3 Sin
θ
;
θ
sebagaimana digambarkan.
V AT V PA
1 , 20 m / s 1 , 85 m / s
;
; 0!4' Dengan demikian θ ; 404 sehingga perahu harus mengarah ke hulu dengan sudut 404. :9ian/oli #0013"@< 2*< GERAK LURUS )ERATURAN 1GL)
Suatu benda dikatakan melakukan gerak lurus beraturan jika ke/epatannya selalu konstan.$e/epatan konstan artinya besar ke/epatan dan arah ke/epatan selalu konstan.$arena besar ke/epatan dan arah ke/epatan selalu konstan maka bisa dikatakan bah-a benda bergerak pada lintasan lurus dengan kelajuan konstan. 9erak lurus beraturan adalah suatu gerak yang berke/epatan konstan pada lintasan yang lurus.9erak lurus beraturan :92< memiliki /iri+/iri yaitu3 a. 2ergerak pada lintasan lurus. b. $e/epatannya konstan. /. Per/epatannya sama dengan nol.
v Pada gerak lurus beraturan :92< ke/epatan rata+rata :
=
∆ x ∆t
=
x
− x 0
t
− t 0
Persamaan 2.1'
$eterangan 3 v; ke/epatan benda
16
E0; kedudukan a-al benda E; kedudukan akhir benda t0; -aktu pada saat benda berada pada kedudukan a-al t; -aktu pada saat benda berada pada kedudukan akhir ika a-alnya benda itu diam atau pada saat benda berada pada kedudukan a-al sama dengan nol :E0;0< -aktunya sama dengan nol :t 0;0< maka persamaan 2.19 menjadi3 x v
=
t
Persamaan 2.2*
2*? GERAK LURUS )ERU)AH )ERATURAN 1GL))
9erak lurus berubah beraturan :922< dapat dide&inikan sebagai suatu gerak yang berada pada lintasan lurus dengan per/epatan konstan. Suatu benda dikatakan melakukan gerak lurus berubah beraturan :922< jika per/epatannya selalu konstan.Per/epatan merupakan besaran vektor :besaran yang mempunyai besar dan arah<.Per/epatan konstan berarti besar dan arah per/epatan selalu konstan setiap saat.Akan tetapi arah per/epatan selalu berubah maka per/epatan benda tidak konstan.Demikian juga sebaliknya. >ontoh 1 3 2esar per/epatan konstan :kelajuan benda bertambah se/ara konstan<
*isalnya mula‐mula mobil diam. Setelah 1 detik mobil bergerak dengan kelajuan m8s. Setelah # detik mobil bergerak dengan kelajuan ! m8s. Setelah detik mobil bergerak dengan kelajuan @ m8s. Setelah 4 detik mobil bergerak dengan kelajuan 1# m8s dst. (ampak bah-a setiap detik kelajuan mobil bertambah m8s.$ita bisa mengatakan bah-a mobil mengalami per/epatan konstan sebesar m8s per sekon ; m8s #.Se/ara ringkasnya yaitu sebagai berikut.
17
9erak lurus berubah beraturan :922< dapat dide&inikan sebagai suatu gerak yang berada pada lintasan lurus dengan per/epatan konstan. >iri+/iri dari 922 yaitu3 2ergerak pada lintasan lurus $e/epatannya berubah se/ara beraturan Per/epatannya konstan
a. b. /.
$arena dalam 922 per/epatan benda selalu konstan maka per/epatan sesaat benda sama dengan per/epatan rata+ratanya. adi besar pe/epatan benda sama dengan besar per/epatan rata+ratanya begitupun dengan arahnya. adi notasi vektor yang menggunakan tanda panah di atasnya atau di/etak tebal tidak perlu dibuat lagi. De&inisi per/epatan rata+rata yaitu hasil bagi antara perubahan ke/epatan :v< dengan selang -aktu :t < yang diperlukan untuk terjadinya perubahan ke/epatan tersebut. Persamaan umum untuk per/epatan yaitu3
a
=
∆v
=
∆t
v − v0
Persamaan 2.21
t − t 0
ika ditetapkan bah-a kedudukan a-al adalah keadaan dimana -aktu a-al samadengan nol :t0;0< maka persamaan 2.21 menjadi3 v ;v0 ? at Persamaan 2.22
2erdasarkan persamaan 2.22 jika benda memulai gerakan dari kedudukan a-al : x0< pada saat -aktu a-al sama dengan nol :t 0;0< maka persamaannya akan menjadi3 =
v t
x B x0
Persamaan 2.23
$arena dalam 922 ke/epatan benda berubah se/ara beraturan maka ke/epatan rata+rata benda adalah nilai tengah dari ke/epatan a-al dengan ke/epatan akhirbenda tersebut. v
=
1 #
:v 0
+ v<
Persamaan 2.24
18
Dengan mensubstitusikan persamaan 2.2 ke persamaan 2.23 maka diperoleh persamaaan 3 x − x 0
Persamaan 2.2!
= v0 t + 1# at #
ika ditetapkan keadudukan a-al sama dengan nol : x0;0< maka persamaan 2.2! dapat ditulis3 x = v 0 t +
1 #
Persamaan 2.2$
#
at
dengan membalik persamaan 2.22 terlebih dahulu sehingga menjadi 3
=
v − v0
Persamaan 2.2%
a
Setelah itu persamaan 2.27 disubstitusikan pada persamaan 2.23 sehingga didapat persamaan 3
=:
v − v0
#
<:
v − v0 a
<
x"x0 x"x0 ; :v2 B v02<8#a Persamaan 2.2& v2; v02 ? #a: x"x 0 $
Persamaan 2.2&
ika ditetapkan kedudukan a-al benda sama dengan nol : x0; 0< maka persamaan 2.2# dapat ditulis menjadi3
v# = v02 % 2ax
Persamaan 2.2'
2*@ GERAK JATUH )E)AS DAN GERAK VERTIKAL KE ATAS
9erak jatuh bebas dan gerak vertikal ke atas merupakan /ontoh dari 922.9erak jatuh bebas merupakan suatu gerak benda yang jatuh tanpa ke/epatan a-al pada ketinggian tertentu.Artinya Ge#$% $'uh 0e0$s atau GJ) adalah salah satu bentuk gerak lurus dalam satu dimensi yang hanya dipengaruhi oleh adanya gaya gravitasi. ariasi dari gerak ini adalah gerak jatuh diper/epat dan gerak peluru.. 2esarnya per/epatan gravitasi : g < ini adalah sebesar @' m8s# :
19
namun untuk mempermudah dalam perhitungan seringkali nilai g dianggap 10 m8s# < yang arahnya ke ba-ah yaitu menuju pusat bumi atau ke ba-ah. Persamaan untuk gerak jatuh bebas sama dengan persamaan&2.22$' &2.2!$'&2.2#$dengan mengganti a dengan B g : karena arah positi& ke atas < serta menghilangkan ke/epatan a-alnya :v0< sehingga didapat persamaan 3 a y = + g
Persamaan 2.3*
v (; + gt
Persamaan 2.31
( B y0 ; B 18# gt #
Persamaan 2.32
v (# ; + # g :y+y0<
Persamaan 2.33
ika ke/epatan a-al benda lebih dari nol :v0(G 0< maka gerak yang terjadi adalah lemparan vertikal ke atas. Sehingga persamaan yang didapat sama dengan persamaan &2.22$' &2.2!$' &2.2#$ hanya mengganti nilai a dengan B g sehingga menjadi3 v ( = v0( "gt
Persamaan 2.34 1 #
gt #
Persamaan 2.3!/2.3$
" = + v (# ; v02 + # g :y+y0< 2*! ANALISIS GRAFIK PADA GL)
1. 9ra&ik antara ke/epatan dengan -aktu :v " t <
0raik 2.1
2erdasarkan gra&ik di atas tampak bah-a besar ke/epatan bernilai tetap pada tiap satuan -aktu. 2esar ke/epatan tetap ditandai oleh garis lurus bera-al
20
dari t ; 0 hingga t akhir. Untuk menghitung besarnya perpindahan sesuai dengan gra&ik tersebut dapat dilakukan dengan menghitung luas diba-ah gra&ik v+t tersebut.>ontoh 3 perhatikan gra&ik di ba-ah ini ket) da"am ms dan t da"am sek,n )
0raik 2.2
Dari gra&ik tersebut besar perpindahan yang terjadi adalah 15 m. #. 9ra&ik perpindahan terhadap -aktu : E+t <
0raik 2.2
Dari gra&ik tersebut dapat dilihat bah-a besar perpindahan sebanding dengan selang -aktu yang diperlukan.angan bingung dengan kemiringan pada garis yang me-akili v. Perhatikan /ontoh gra&ik di ba-ah ini 3
0raik 2.3
21
Pada saat t ; 0 s besar perpindahan yang ditempuh oleh benda adalah 0 m. Pada saat t ; 1 s besar perpindahan yang ditempuh oleh benda adalah # m. Pada saat t ; # s besar perpindahan yang ditempuh oleh benda adalah 4 m. Pada saat t ; s besar perpindahan yang ditempuh oleh benda adalah ! m dan seterusnya. 2erdasarkan hal ini dapat disimpulkan bah-a benda bergerak dengan ke/epatan konstan sebesar # m8s. 2*!! ANALISIS GRAFIK PADA GL)) A* G#$=i% $n'$#$ %e.e/$'$n (en+$n $%'u Pertama benda yang mengalami per/epatan positi& : penambahan ke/epatan<3 A*! 9ra&ik antara ke/epatan dengan -aktu :v B t < dengan v0; 0
0raik 2.4 A*29ra&ik 3‐t untuk ke/epatan a-al : 3o< tidak sama dengan nol
0raik 2.!
Dari kedua gra&ik tersebut terlihat bah-a ke/epatan benda bertambah se/ara beraturan sesuai dengan perubahan -aktu.9aris miring pada gra&ik &v"t$ menyatakan per/epatan benda yang selalu konstan. Untuk menghitung besarnya perpindahan pada gra&ik tersebut dapat dilakukan dengan menghitung luas daerah diba-ah gra&ik : v"t < tersebut. Ked#a/ benda mengalami perlambatan :per/epatan negati&< 3 A*, 9ra&ik 3‐t untuk ke/epatan akhir & t$ ; 0
22
0raik 2.$
A*4 9ra&ik 3‐t untuk ke/epatan akhir : 3t< tidak sama dengan nol
0raik 2.%
2erdasarkan gra&ik :#.!< dan :#."< terlihat bah-a ke/epatan berbanding terbalik dengan perlambatan :per/epatan negati&<.Semakin lama -aktunya ke/epatan benda semakin berkurang se/ara beraturan. )* G#$=i% $n'$#$ /e#.e/$'$n (en+$n $%'u 1a t ‐
0raik 2.&
2erdasarkan gra&ik :#.'< terlihat bah-a per/epatan benda selalu konstan berapapun lamanya benda itu bergerak. 5* G#$=i% $n'$#$ /e#/in($h$n (en+$n $%'u 1 x t ‐
Pertama pada saat benda mengalami per/epatan 5*! 9ra&ik x‐t untuk kedudukan 8 posisi a-al : x o< ; 0 E
0raik 2.'
23
5*2 9ra&ik x‐t untuk kedudukan 8 posisi a-al : x o< tidak sama dengan nol
E
0raik 2.1*
2erdasarkan gra&ik :#.@< dan :#.10< terlihat bah-a besar perpindahan berbanding lurus dengan selang -aktu yang diperlukan. Semakin lama -aktu yang ditempuh semaki besar juga perpindahannya. Ked#a pada saat benda mengalami perlambatan :per/epatan benda bernilai
negati&< 3 5*,
9ra&ik
x‐t
untuk
kedudukan8posisi
a-al
: x o<
;
0
E 0raik 2.11
5*4
9ra&ik x"t untuk kedudukan 8 posisi a-al tidak sama dengan nol
E
0raik 2.12
24
2erdasarkan gra)ik 2.11 dan 2.12 terlihat bah-a besar pertambahan perpindahan semakin berkurang seiring dengan pertambahan -aktu. adi pertambahan perpindahan akan terus berkurang sampai dengan benda tersebut berhenti. 2*!2
GERAK P ELURU ATAU PARA)OLA
9erak peluru atau parabola merupakan suatu gerak yang lintasannya berbentuk parabola.9erak peluru atau parabola adalah gerak dua dimensi yang memadukan dua sumbu yaitu sumbu horiHontal dan sumbu vertika l. 2*!2*! Jenis enis Ge#$% Pelu#uBP$#$0ol$ ‐
Dalam kehidupan sehari ‐hari terdapat beberapa jenis gerak peluru8parabola antara lain sebagai berikut3 1. 9erakan benda berbentuk parabola ketika diberikan ke/epatan a-al dengan sudut teta terhadap garis horisontal sebagaimana tampak pada gambar di ba-ah. Dalam kehidupan sehari‐hari terdapat banyak gerakan benda yang berbentuk demikian. 2eberapa di antaranya adalah gerakan bola yang ditendang oleh pemain sepak bola gerakan bola basket yang dilemparkan ke dalam keranjang gerakan bola tenis gerakan bola volly gerakan lompat jauh dan gerakan peluru atau rudal yang ditembakan dari permukaan bumi.
G$&0$# 2*?
Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar diba-ah ini y
25
hmaks
I 1
EG$&0$# 2*@
#. 9erakan benda berbentuk parabola ketika diberikan ke/epatan a-al pada ketinggian tertentu dengan arah sejajar horisontal sebagaimana tampak pada gambar di ba-ah. 2eberapa /ontoh gerakan jenis ini yang kita temui dalam kehidupan sehari+hari meliputi gerakan bom yang dijatuhkan dari pesa-at atau benda yang dilemparkan ke ba-ah dari ketinggian tertentu.
G$&0$# 2*!
. 9erakan benda berbentuk parabola ketika diberikan ke/epatan a-al dari ketinggian tertentu dengan sudut teta terhadap garis horisontal sebagaimana tampak pada gambar di ba-ah.
G$&0$# 2*!! 2*!,
MENGANALISIS GERAK PELURU ATAU PARA)OLA
26
9erak peluru adalah gerak dua dimensi di mana melibatkan sumbu horisontal dan vertikal*ika posisi benda setiap saat dinyatakan dengan :Ey< maka gerak peluru ditandai oleh gerak lurus beraturan :92< untuk komponen E dan gerak jatuh atau gerak lurus berubah beraturan :922< untuk komponen y. (erlebih dahulu kita rumuskan ke/epatan a-al untuk komponen gerak horisontal :v0y< dan ke/epatan a-al untuk komponen gerak vertikal :v 0y< sebagai berikut3 Persamaan 2.3%
v0E ; v0 /os I
v0y ; v0 sin I Persamaan 2.3&
Persamaan gerak untuk masing+masing komponen adalah sebagai berikut3 $omponen+E :92< Persamaan 2.3'
aE ; 0
Persamaan 2.4*
vE ; voE ; vo /os I
Persamaan 2.41
E+Eo ; vEt $omponen +y :922< Persamaan 2.42
ay ; +g
Persamaan 2.43
vy ; voy + gt ; v o sin J B gt
Persamaan 2.44
1 Persamaan posisi ke/epatan dan arah benda setiap saat3 # Posisi3 p*sisi
=
x
#
+ ( #
$e/epatan3
v = v x#
Persamaan 2.4!
Persamaan 2.4$ #
+ v (
Dengan arah3
27
=
Persamaan 2.4%
v ( v x
Pada kebanyakan kasus seringkali titik a-al yang dipilih gerak peluru adalah titik asal koordinat jadi E o ; yo ; 0. Pada kasus ini persamaan lintasan peluru diperoleh dengan mensubstitusi nilai t pada persamaan 2.dengan nilai t pada persamaan 2.1 diperoleh3
v0 ( g # x − # x # v v *x *x
( =
Persamaan 2.4&
Persamaanparabola.
2*!4*! Men+$n$lisis Ge#$% Pelu#u /$($ )i($n+ Mi#in+
vo y = vo.sinβ
β
!*
y
x
G$&0$# 2*!2
α
Pada sumbu K terjadi gerak 922 sehingga a E ; g sin Ldan pada sumbu ) terjadi gerak 922 sehingga a y ; g /os L *aka persamaan posisi E dan y dapat di jabarkan sebagai berikut 3
E ; oE t ?
1 # 2 aE t
Persamaan 2.4' 28
1 # 2 ay t
y ; oy t +
Persamaan 2.!*
7ubungan antara y terhadap E 3 Dari persamaan 2.93
E ; oE t ?
1 # 2 aE t
0 ; oE t ?
1 # 2 aE t B E
0 ; aE t# ? #oE t B #E
t =
−2 Vox ± √ (2 Vox )2− 4 ax (−2 x )
t =
−2 Vox ± √ 4 Vox 2+ 8 axx
t =
−2 Vox + √ 4 Vox 2+ 8 axx
2 ax
2 ax
Persamaan 2.!1
2 ax
Substitusi persamaan :< ke persamaan :#< 3
y ; oy t +
y =Voy
(
1 # 2 ay t
−2 Vox + √ 4 Vox 2 + 8 axx 2 ax
) ( 1 − ay 2
−2 Vox + √ 4 Vox 2+ 8 axx 2 ax
)
2
Persamaan 2.!2
29
Untuk men/ari nilai ekstrim 3 1. *en/ari -aktu untuk men/apai ketinggian maksimum :dari a/uan E dan y sesuai asumsi< y ; oy B ay t 1 ; oy B ay t
ty maks
t% maks
;
Vo y ay
Vo sin β g cos α
;
2
; # ty maks ;
Vo y ay
;
2
Vo sin β g cos α
Persamaan 2.!3
#. *en/ari )maks y# ; oy# B #ay )maks ; oy# B #ay )maks 1 #ay)maks ; oy# Persamaan 2.!4
β 2
)maks
;
Voy 2 ay
;
Vo sin ¿ ¿ 2 ¿ ¿ ¿ ¿
. *en/ari Kmaks Kmaks
; oEtE maks ?
1 # 2 aE tE maks 2
2
2 Vo sin β 1 4 Vo sin β + g sin α 2 2 g cos α 2 2 g cos α
; oE
2
2
;
Vo cos β 2 Vo sin β g sin α 2 Vo sin β + 2 2 g cos α g cos α
;
Vo cos β 2sin β 2 Vo sin β sin α + 2 g cos α g cos α
2
2
2
30
2
2 Vo sin β cos βcosα
;
K maks
2
g cos α
2
+
2 Vo sin
2
2
β sin α 2 g cos α
α cos βcosα + sin β sin ¿ ¿ ¿ ; β ¿ 2 2 Vo sin ¿ ¿ 2
2 Vo sin β cos ( β + α )
K maks ;
2
Persamaan 2.!!
g cos α
2*
v0y
v0
y
α
31
β
G$&0$# 2*!,
Pada sumbu E terjadi gerak 92 sehingga a E ; 0 Pada sumbu y terjadi gerak 922 sehingga a y ; g sin L *aka persamaan posisi dapat dijabarkan sebagai berikut 3 E ; oE t
t;
Persamaan 2.!$
x Vox 1 2 a y t 2
y ; oy t +
y =
Vo y x
( )
1 x − a y Vo x 2 Vo x
Vo y x
2
( ) 2
x − g sin α y = 2 2 Vo x Vo x
y =
1
Vo y sin β
(
2
1 x x − g sin α 2 2 Vo cos β 2 Vo cos β
)
Persamaan 2.!%
Untuk men/ari nilai ekstrim 3 1. Caktu men/apai tinggi maksimum y
; oy B ay t
1
; oy B ay t
32
Vo y t
;
a y
= Vo sin β g sin α
Persamaan 2.!&
t%maks
#.
2
; #t ;
Vo y a y
=
2 Vo sin β g sin α
*en/ari nilai )maks y#
; oy# B # ay )maks
0
; oy# B # ay )maks
# ay )maks ; oy# 2
)maks
;
Vo y 2 a y
β Vo sin ¿ )maks
;
¿ ¿2 ¿ ¿ ¿ 2
)maks
;
2
Vo sin β 2 g sin α
Persamaan 2.!'
. *en/ari nilai Kmaks Kmaks
; oE .tmaks
;
Vo cos β
2 Vo sin β g sin α
33
2
Vo sin 2 β X maks = g sin α
Persamaan 2.$*
2*, KINEMATIKA DALAM DUA DIMENSI 2*,*! Pen+e#'i$n Ge#$% Melin+%$#
9erak melingkar merupakan gerak benda yang lintasannya membentuk lingkaran. 2anyak /ontoh gerak melingkar dalam kehidupan sehari+hari seperti gerakan komidi putar gerak bandul yang diayunkan berputar pelari yang mengelilingi lapangan berbentuk lingkaran atau gerakan akrobatik di pasar malam Mtong stanM. 2*,*2 )es$#$n-)es$#$n Fisis ($l$& Ge#$% Melin+%$#
Dalam gerak lurus kita mengenal tiga besaran utama yaitu perpindahan :linear< ke/epatan :linear< dan Per/epatan :linear<. 9erak melingkar juga memiliki tiga komponen tersebut yaitu /e#/in($h$n su(u'6 %e.e/$'$n su(u' ($n /e#.e/$'$n su(u'* Pada gerak lurus kita
juga mengenal 9erak urus 2eraturan dan 9erak urus 2erubah 2eraturan. Dalam gerak melingkar juga terdapat +erak ,elingkar Beraturan &+,B$ dan +erak ,elingkar Beruba- Beraturan &+,BB$. Pembahasan dari besaran+besaran &isis gerak melingkar yaitu sebagai berikut3 2.3.2.1 Perpindahan #d#t
ika kita tinjau sebuah /ontoh gerak melingkar misalnya gerak roda kendaraan yang berputar. $etika roda berputar tampak bah-a selain poros :pusat roda< bagian lain roda lain selalu berpindah terhadap pusat roda sebagai kerangka a/uan. Perpindahan pada gerak melingkar disebut perpindahan sudut. Ada tiga /ara menghitung sudut. >ara pertama adalah menghitung sudut dalam derajat : ° <. Satu lingkaran penuh sama dengan
34
!0 ° . >ara kedua adalah mengukur sudut dalam putaran. Satu lingkaran penuh sama dengan satu putaran. Dengan demikian satu putaran ; !0 ° . >ara ketiga adalah dengan radian. %adian adalah satuan Sistem nternasional :S< untuk perpindahan sudut sehingga satuan ini akan sering kita gunakan dalam perhitungan.
,ilai radian dalam sudut adalah perbandingan antara jarak linear Edengan jari+jari roda r.
x ( rad )=
adi3
Perhatikan bah-a satu putaran sama dengan keliling lingkaran sehingga dari persamaan di atas diperoleh 3
rad =
2 πr
2erikut ini konversi sudut yang perlu di ketahui 0
360
1 putaran ;
; # πrad
180
1 rad ;
π
derajat ;
57,3
0
35
Derajat putaran dan radian adalah besaran yang tidak memiliki dimensi. adi jika ketiga satuan ini terlibat dalam suatu perhitungan ketiganya tidak mengubah satuan yang lain. 2.3.2.2 Kecepatan #d#t
Dalam gerak melingkar bagian yang berbeda memiliki ke/epatan yang berbeda. *isalnya gerak roda yang berputar. 2agian roda yang dekat dengan poros bergerak dengan ke/epatan linear yang lebih ke/il sedangkan bagian yang jauh dari poros atau pusat roda bergerak dengan ke/epatan linear yang lebih besar. =leh karena itu bila kita menyatakan roda bergerak melingkar dengan kelajuan 10 m8s maka hal tersebut tidak bermakna tetapi kita bisa mengatakan tepi roda bergerak dengan kelajuan 10 m8s. Pada gerak melingkar kelajuan rotasi benda dinyatakan dengan putaran per menit :biasa disingkat rpm B revolution per minute<. $elajuan yang dinyatakan dengan satuan rpm adalah kelajuan sudut. Dalam gerak melingkar kita juga dapat menyatakan arah putaran. misalnya kita menggunakan arah putaran jarum jam sebagai patokan. ika sudut yang ditempuh mengalami perubahan dari
2
1
ke
dalam selang -aktu t 1 ke t# maka ke/epatan sudut rata+rata dari
benda dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut.
$e/epatan sudut rata+rata ;
´ ; (
∆ ∆ t
!"t"rangan 3
36
´ ; $e/epatan sudut rata+rata ( ∆ ; Perpindahan sudut ∆ t ; Selang -aktu 2.3.2.2.1
Kecepatan #d#t esaat
$e/epatan sudut sesaat dapat ditentukan dengan mengambil selang -aktu
∆ t mendekati 0 sehingga ke/epatan sudut sesaat dirumuskan
sebagai berikut 3
( ;
( ´
lim ∆ x→0
s"$ingga
lim ∆
( ;
∆x → 0
∆ t
( ;
$eterangan 3
( ; ke/epatan sudut sesaat ∆ ; perpindahan sudut ∆ t ; selang -aktu 2.3.2.3 Percepatan #d#t
37
Dalam gerak melingkar terdapat per/epatan sudut apabila ada perubahan ke/epatan sudut. Per/epatan sudut terdiri dari per/epatan sudut sesaat dan per/epatan sudut rata+rata. Per/epatan sudut rata+rata diperoleh dengan membandingkan perubahan ke/epatan sudut dan selang -aktu. Se/ara matematis ditulis 3 2.3.2.3.1 Percepatan #d#t ata-ata ika ke/epatan sudut dari benda yang bergerak rotasi mengalami
perubahan maka di katakatakan benda itu mengalami per/epatan sudut jadi dengan demikian per/epatan sudut rata+rata di rumuskan sebagai berikut 3
Per/epatan sudut rata+rata ;
α´ =
∆(
keterangan
α´ ; per/epatan sudut rata+rata ∆ ( ; perubahan ke/epatan sudut ∆ t ; selang -aktu 2.3.2.3.2
Percepatan #d#t esaat
Per/epatan sudut sesaat diperoleh dengan mengambil selang -aktu
∆ t m"nd"kati 0 sehingga ke/epatan sudut sesaat dirumuskan sebagai berikut 3
α = lim ∆ t →0
∆( ∆ t
38
α =
d( dt
$eterangan3
α ; per/epatan sudut sesaat ∆ ( ; perubahan ke/epatan sudut ∆ t ; selang -aktu !* Hu0un+$n $n'$#$ Ke.e/$'$n Linie# (en+$n Ke.e/$'$n su(u'
2esarnya ke/epatan linear :v< benda yang menempuh lintasan lingkaran sejauh delta E dalam suatu -aktu dapat dinyatakan dengan persamaan 3
v;
∆x ∆ t N persamaan 1
Dengan menggunakan persamaan yang menyatakan hubungan antara
perpindahan linier dengan perpindahan sudut:
=
x < r atau E ; r
kita dapat menurunkan antara besarnya posisi pada lintasan dan besarnya perpindahan sudut. 39
∆ x ; r ∆ N persamaan #
Dimana
∆ x ; perubahan posisi r ; jari+ jari lingkaran dan
besarnya perpindahan sudut.Sekarang kita subtitusikan
∆ ;
∆ x pada
persamaan # ke dalam persamaan 1
v;
∆x ∆ t ;
karena
∆ ∆ t
r ∆ ∆t
;
( maka kita dapat menurunkan persamaan yang
¿ menghubungkan ke/epatan linier :v< dengan ke/epatan sudut : ( keterangan 3
v;
r(
∆ ) ∆ t
r(
$eterangan3 v ; ke/epatan linier r ; jari+jari lingkaran :lintasan<
( ; ke/epatan sudut Dari persamaan di atas tampak bah-a semakin besar nilai r :semakin jauh suatu titik dari pusat lingkaran< maka semakin besar ke/epatan linearnya dan semakin ke/il ke/epatan sudutnya. 2* Hu0un+$n $n'$#$ Pe#.e/$'$n Linie# (en+$n Pe#.e/$'$n Su(u'
40
2esarnya per/epatan tangensial untuk perubahan ke/epatan linear selama selang -aktu tertentu dapat kita nyatakan dengan persamaan3
at
∆v ∆ t N persamaan 1
;
$eterangan 3
at
; per/epatan tangensial
∆ v ; perubahan ke/epatan linier ∆ t ; perubahan selang-aktu Dengan menggunakan persamaan yang menyatakan hubungan antara ke/epatan linier dengan
ke/epatan sudut :v ; r( <kita
dapat
menurunkan hubungan anatara besarnya perubahan ke/epatan linier :
∆ v ¿ dan besarnya perubahan ke/epatan sudut ∆ v ;
;
$arena
yakni 3
r ∆ ( N persamaan #
Sekarang kita subtitusikan nilai
at
(∆ ( ),
∆v ∆ t N
∆( ∆ t ;
at
;
∆ v pada persamaan # ke persamaan 1
r∆( ∆ t
α maka kita dapat menurunkan hubungan antara
per/epatan tangensial :
at ¿
dengan per/epatan sudut :
α ¿
.
41
at
;
r :
∆( ¿ ∆ t
a
$eterangan 3
at
; per/epatan tangensial
r ; jarak ke pusat lingkaran :jari+jari lingkaran<
α ; per/epatan sudut
2erdasarkan persamaan ini tampak bah-a semakin jauh suatu titik dari pusat lingkaran maka semakin besar per/epatan tangensialnya dan semakin ke/il per/epatan sudut. Semua persamaan yang telah diturunkan di atas kita tulis kembali pada tabel di ba-ah ini3 9erak urus 2esaran
Satuan
9erak *elingkar 2esara Satuan S
S
n
7ubungan antara 9erak urus dan
E :jarak<
*
rad
9erak *elingkar E ; r
v :ke/epatan <
m8s
(
rad8s
v;
m8s#
α
rad8s#
at
r(
at =r α
>atatan 3 Pada gerak melingkar semua titik pada benda yang melakukan gerak melingkar memiliki perpindahan sudut ke/epatan sudut dan per/epatan sudut yang sama tetapi besar perpindahan linear ke/epatan tangensial dan per/epatan tangensial berbeda+beda bergantung pada besarnya jari+jari :r<
42
2*,*, Ge#$% Melin+%$# )e#$'u#$n 2*,*,*! De=inisi Ge#$% Melin+%$# )e#$'u#$n
$etika sebuah benda bergerak membentuk suatu lingkaran dengan laju tetap maka benda tersebut dikatakan melakukan Ge#$% Melin+%$# )e#$'u#$n atau 9*2. 9erak rotasi bumi :bukan revolusi< putaran jarum
jam dan satelit yang bergerak pada orbit yang melingkar merupakan beberapa /ontoh dari+erak ,elingkar Beraturan.$ita mengatakan bah-a 9*2 merupakan gerakan yang memiliki ke/epatan linear tetap. *isalnya sebuah benda melakukan 9erak *elingkar 2eraturan seperti yang tampak pada gambar di ba-ah. Arah putaran benda searah dengan putaran jarum jam. Dan vektor ke/epatannya seperti yang terlihat pada gambar arah ke/epatan linear8tangensial di titik A 2 dan > berbeda. Dengan demikian arah ke/epatan pada 9*2 selalu berubah :ingat perbedaan antara kelajuan dan ke/epatan kelajuan adalah besaran skalar sedangkan ke/epatan adalah besaran vektor yang memiliki besar8nilai dan arah<.
Pada gerak melingkar beraturan besar ke/epatan linear:v< tetap karenanya besar ke/epatan sudutjuga tetap:ke/epatan linear memiliki keterkaitan dengan ke/epatan sudut yang dinyatakan dengan persamaan v ; r
ω
di
mana ke/epatan linear v sebanding dengan ke/epatan sudut :ω< yang dikatakan di sini adalah besar jadi arah tidak termasuk. ika arah ke/epatan linear8ke/epatan tangensial selalu berubah bagaimana dengan arah ke/epatan sudut 6 arah ke/epatan sudut sama dengan arah putaran partikel untuk /ontoh di atas arah ke/epatan sudut searah dengan arah putaran jarum jam. $arena besar maupun arah ke/epatan sudut tetap maka
43
besaran vektor yang tetap pada 9*2 adalah ke/epatan sudut. Dengan demikian kita bisa menyatakan bah-a 9*2 merupakan gerak benda yang memiliki ke/epatan sudut tetap. 2*,*,*2 Pe#io(e ($n F#e%uensi /$($ Ge#$% Melin+%$# )e#$'u#$n
Pada gerak melingkar Periode :(< dari benda yang melakukan gerakan melingkar merupakan -aktu yang diperlukan oleh benda tersebut untuk menyelesaikan satu putaran. Sedangkan Frekuensi :&< adalah jumlah putaran perdetik dalam gerak melingkar tersebut. Periode dan &rekuensi pada gerak melingkar memiliki hubungan yang erat adapun hubungan antara periode dan &rekuensi tersebut dinyatakan dengan rumus3
1 T =
Atau
* =
1
Caktu yang diperlukan benda untuk menyelesaikan satu putaran penuh :(< dinyatakan dalam sekon atau detik sedangkan jumlah putaran 1
perdetik :&< dinyatakan dengan satuan
s atau
−1
s
dan lebih sering
dinyatakan dengan 7ertH :7H<.
2*,*,*, Ke.e/$'$n Linie# ($n Ke.e/$'$n Su(u'
Dalam satu putaran benda menempuh lintasan linear sepanjang satu keliling lingkaran :# π r< di mana r merupakan jarak tepi lingkaran dengan pusat lingkaran. $e/epatan linear :v< merupakan perbandingan antara panjang lintasan linear yang ditempuh benda dengan selang -aktu
44
m s . Se/ara matematis
tempuh yang dinyatakan dengan satuan dirumuskan sebagai berikut 3
Panang +intasan +ini"r !"c"#atan +ini"r = -"&an .akt%T"m %$
2 πr
v;
T
1
karena ( ;
* maka ke/epatan linier juga dapat dinyatakan
dengan rumus v ; # πr* se/ara umum ke/epatan linier dinyatakan dengan rumus 3 V =
dimana s adalah jarak dengan satuan meter :m< dan t adalah -aktu dengan satuan sekon :s<. Dalam satu putaran benda menempuh lintasan sepanjang satu keliling lingkaran yang besar sudut dalam satu putaran tersebut adalah o
360
atau sering dinyatakan dengan #
π . Pada saat itu benda
mengalami $e/epatan sudut : ( < yang merupakan perbandingan antara besar perpindahan sudut yang ditempuh dengan selang-aktu.$e/epatan
sudut inidinyatakan dalam satuan
rad s , yang se/ara matematis dapat
ditulis3
!"c"#atan-%d%t =
/"sar-%d%tyang0it"m#% $ -"&an .akt%T"m % $ 45
(=
2 π
T
1
karena ( ;
(
dengan rumus
* maka ke/epatan sudut juga dapat dinyatakan
; # π &.
Se/ara umum ke/epatan sudut dinyatakan dengan rumus3
(=
Dimana
t
adalah posisi sudut dengan satuan radian :rad< dan t
adalah -aktu dengan satuan sekon :s<. 2*,*,*4 Pe#.e/$'$n Sen'#i/e'$l
Per/epatan Sentripetal :
a s# ¿
merupakan per/epatan yang terjadi
pada gerak melingkar beraturan yang arahnya selalu menuju pada pusat lingkaran.ika suatu benda melakukan gerak dengan kelajuan tetap mengelilingi suatu lingkaran maka arah dari gerak benda tersebut mempunyai perubahan yang tetap. Dalam hal ini maka benda harus mempunyai per/epatan yang merubah arah dari ke/epatan tersebut.Arah dari per/epatan ini akan selalu tegak lurus dengan arah ke/epatan yakni arah per/epatan selalu menuju kearah pusat lingkaran. Per/epatan sentripetal disebut juga per/epatan radial karena mempunyai arah sepanjang radius atau jari‐ jari lingkaran.
46
2erdasarkan gambar di atas tampak bah-a = x1 tegak lurus terhadap v1 dan = x2 tegak lurus terhadap v2. Dengan demikian I yang merupakan sudut antara = x1 dan = x2' juga merupakan sudut antara v1 dan v2. Dengan demikian vektor v1' v2 dan
∆ v membentuk segitiga
yang sama se/ara geometris dengan segitiga = x1 x2 pada gambar di atas seperti gambar di ba-ah ini 3
∆ t
Dengan menganggap
sangat ke/il sehingga besar
∆
juga sangat ke/il kita dapat merumuskan 3
∆v v
O
∆x r
Semua ke/epatan ditulis dengan v karena pada 9*2 ke/epatan tangensial benda sama &v1 = v2 = v$. $arena hendak merumuskan persamaan per/epatan sesaat di mana
∆ t mendekati nol maka rumusan
di atas dinyatakan dalam v
47
v v ; r
. E
Untuk memperoleh persamaan per/epatan sentripetal
bagi v dengan t di mana 3
$arena ubah menjadi3
a s#
∆v ; ∆ t ;
a s#
kita
v ∆x r ∆ t
∆x ∆ t ; v :kelajuan linear< maka persamaan di atas kita v
#
r
2erdasarkan persamaan per/epatan sentripetal tersebut tampak bah-a nilai per/epatan sentripetal bergantung pada ke/epatan tangensial dan radius8jari‐ jari lintasan :lingkaran<. Dengan demikian semakin /epat laju gerakan melingkar semakin /epat terjadi perubahan arah dan semakin besar radius semakin lambat terjadi perubahan arah. Arah vektor
48
per/epatan sentripetal selalu menuju ke pusat lingkaran tetapi vektor ke/epatan linear menuju arah gerak benda se/ara alami :lurus< sedangkan arah ke/epatan sudut searah dengan putaran benda. Dengan demikian vektor per/epatan sentripetal dan ke/epatan tangensial saling tegak lurus atau dengan kata lain pada 9erak *elingkar 2eraturan arah per/epatan dan ke/epatan linear8tangensial tidak sama. Demikian juga arah per/epatan sentripetal dan ke/epatan sudut tidak sama karena arah per/epatan sentripetal selalu menuju ke dalam8pusat lingkaran sedangkan arah ke/epatan sudut sesuai dengan arah putaran benda :untuk kasus di atas searah dengan putaran jarum jam<. Dapat disimpulkan bah-a dalam 9erak *elingkar 2eraturan 3 1< 2esar ke/epatan linear8ke/epatan tangensial adalah tetap tetapi arah ke/epatan linear selalu berubah setiap saat #< $e/epatan sudut :baik besar maupun arah< selalu tetap setiap saat < Per/epatan sudut maupun per/epatan tangensial bernilai nol 4< Dalam 9*2 hanya ada per/epatan sentripetal 2*,*,*8 Pene#$/$n GM) ($l$& %ehi(u/$n seh$#i-h$#i
2eberapa masalah yang melibatkan 9erak *elingkar 2eraturan :9*2< antara lain 3 1. $omedi Putar
$uda pada komidi putar akan berputar mengelilingi pusat putaran yakni tiang komidi putar. $uda+kuda akan bergerak berputar dalam -aktu tertentu dengan &rekuensi tertentu pula. #. arum jam
49
$etiga jarum jam juga termasuk dalam salah satu /ontoh gerak melingkar. $etiga jarumnya akan berputar dengan ke/epatan yang berbeda karena masing+masing jarum jam menunjukkan -aktu yang berbeda :detik menit dan jam<. Poros jarum jam yang berperan sebagai pusat lingkaran sementara jarum jam akan berputar beraturan sesuai dengan &ungsi -aktu masing+masing jarum.
)A) III PENUTUP ,*! KESIMPULAN
Dari penjelasan materi di atas maka kami dapat menyimpulkan 3
50
1. Keran0ka ac#an adalah suatu perspekti& dari mana suatu sistem diamati jarak adalah panjang lintasan yang ditempuh oleh suatu obyek yang bergerak mulai dari posisi a-al dan selesai pada posisi akhir perpindahan adalah seberapa jauh jarak benda tersebut dari titik
a-alnya. #. Kecepatan rata-rata dide&inisikan sebagai besarnya perpindahan yang ditempuh dibagi dengan jumlah -aktu yang diperlukan selama benda bergerak8berpindah Kecepatan esaat merupakan ke/epatan pada suatu -aktu tertentu dan Ke"aj#an rata-rata dide&inisikan sebagai hasil bagi antara jarak total
yang
ditempuh
dengan
selang
-aktu
untuk
menempuhnya. . Percepatan adalah perubahan ke/epatan yang terjadi selama selang -aktu tertentu bersi&at tetap atau perubahan ke/epatan persatuan -aktu. 4. ika diketahui &ungsi posisi maka &ungsi ke/epatan adalah turunan pertama dari &ungsi posisi. Serta &ungsi per/epatan adalah turunan kedua dari &ungsi posisi. (ntinya) turun satu tingkat ; turunan pertama turun dua tingkat ; turunan kedua jika diketahui &ungsi per/epatan maka &ungsi ke/epatan adalah integral pertama dari &ungsi per/epatan. Serta &ungsi posisi adalah integral kedua dari &ungsi per/epatan. (ntinya) naik satu tingkat ; integral pertama naik dua tingkat ; integral kedua. 5. erak re"ati artinya gerak suatu benda sangat bergantung pada titik a/uannya Kecepatan re"ati berarti ke/epatan dengan pengamatan yang dilakukan pada kerangka a/uan yang berbeda berhubungan antara satu dengan yang lainnya. !. erak "#r#s 5erat#ran adalah suatu gerak pada lintasan lurus dengan ke/epatan konstan. >iri+/iri dari gerak lurus beraturan :92< yaitu3 2ergerak pada lintasan lurus $e/epatannya konstan Per/epatannya sama dengan nol erak 6#r#s 7er#5ah 7erat#ran adalah 9erak lurus berubah beraturan :922< yaitu suatu gerak yang berada pada lintasan lurus dengan per/epatan konstan. >iri+/iri dari 922 yaitu3 2ergerak pada lintasan lurus $e/epatannya berubah se/ara beraturan Per/epatannya konstan
51
". 9erak Parabola atau 9erak peluru adalah gerak dua dimensi di mana melibatkan sumbu horisontal dan vertikal * '. 9erak melingkar juga memiliki besaran+besaran &isis yaitu perpindahan sudut ke/epatan sudut dan per/epatan sudut. @. 2esaran &isis pada 9erak *elingkar memiliki hubungan dengan besaran &isis pada gerak lurus :perpindahan linear ke/epatan linear dan per/epatan linear<. 10. 9erak *elingkar 2eraturan merupakan gerakan benda pada lintasan yang melingkar dengan kelajuan dan ke/epatan sudut yang tetap. ,*2 SARAN
Dengan adanya pembahasan kinematika serta penerapannya dalam kehidupan
diharapkan
ada
tindak
lanjut
dalam
penerapan
kinematika
selanjutnya.Demikian yang dapat kami paparkan mengenai materi yang menjadi pokok bahasan dalam makalah ini tentunya masih banyak kekurangan dan kelemahannya kerena terbatasnya pengetahuan dan kurangnya rujukan atau re&erensi yang ada hubungannya dengan judul makalah ini. Penulis banyak berharap para pemba/a memberikan kritik dan saran yang membangun kepada penulis demi sempurnanya makalah ini dan dan penulisan makalah di kesempatan B kesempatan berikutnya.Semoga makalah ini berguna bagi penulis pada khususnya juga para pemba/a pada umumnya.
DAFTAR PUSTAKA
Gi$n.oli6Dou+l$s*2!4*FISIKA*J$%$#'$: E#l$n++$ h''/:BB=isi%$s&$(($-s0>*0lo+s/o'*.o&B2!!B@B+e#$%-&elin+%$#*h'&l h''/:BBso=>$n&oh$&&e(*o#(/#ess*.o&B2!!B!!B?B+e#$%-&elin+%$#B h''/:BB*=isi%$$s>i%*.o&Bho&e2B.on'en'B3ieB!!?B44B
52
