1 1. PENDAHULUAN Aliran Fluida. Macam-macam dari fluida akan dijelaskan di bawah ini. a. Berdasarkan ketunakannya (perubahan parameter partikel fluida terhadap perubahan waktu), ada aliran steady (tunak/parameter partikel fluida tidak berubah terhadap perubahan waktu) dan aliran unsteady (tak tunak/parameter partikel fluida berubah berdasarkan perubahan waktu). b. Berdasarkan keberadaan gaya geser baik antar partikel fluida, atau dengan dinding tempat fluida mengalir atau kekentalan/viskositas, ada aliran viscid (kental/ada pengaruh gaya geser) dan inviscid (tak kental/tak ada pengaruh gaya geser). Aliran yang viscid dibagi lagi berdasarkan dominannya pengaruh gaya viskositas yang biasa dituliskan dalam parameter tak berdimensi Reynold Numbernya, ada aliran Laminar dan aliran Turbulent. c. Berdasarkan kemampumampatannya (kemampuan partikel fluida untuk mengalami kompresi atau pemampatan volume dalam jumlah massa yang tetap), ada aliran compressible (mampu mampat/massa jenis dapat berubah) dan incompressible (tak mampu mampat/massa jenis konstan). d. Berdasarkan kejadian rotasi dari elemen fluida, ada aliran rotational (elemen fluida berotasi) dan irrotational (elemen fluida tidak berotasi). e. Aliran potensial, yaitu aliran yang mungkin steady (tunak) atau unsteady (tak tunak), namun pasti inviscid (tak kental/tidak ada gaya geser), incompressible (tak mampu mampat), dan irrotational (partikel tidak berotasi). Namun untuk selanjutnya yang kita gunakan adalah aliran yang steady. Aliran potensial dasar digunakan sebagai aliran elementer atau sebagai penyusun untuk aliran-aliran yang lebih kompleks. Aliran potensial dasar sederhana ini antara lain, uniform flow (aliran seragam), source (sumber), sink (serap), vortex dan doublet (kombinasi dari sumber dan serap).
2. ALIRAN FLUIDA 2.1.Berdasarkan variasi parameter aliran terhadap waktu, ada aliran steady (tunak) dan aliran unsteady (tak tunak). Aliran Tunak (Steady). Aliran tunak adalah aliran di mana, sifat-sifat dari partikel pada suatu tempat tidak akan berubah terhadap waktu. Paling mudah, misalkan ada sebuah jalan lurus. Di sepanjang jalan itu, ada 2 terowongan yang berjarak beberapa meter satu sama lainnya. Di terowongan itu dipasang alat pengukur kecepatan kendaraan yang melintas di bawahnya. Pada terowongan pertama, kecepatan mobil yang terukur selalu sebesar A, dan pada terowongan kedua, kecepatan mobil yang terukur selalu sebesar B. Atau bisa dikatakan, setiap mobil yang melewati terowongan, selalu memiliki kecepatan yang sama. Aliran mobil ini disebut sebagai aliran yang tunak.
2 Jadi dalam aliran yang tunak, sifat-sifat partikel pada suatu tempat tidak akan berubah terhadap waktu, meskipun pada tempat yang lainnya bisa jadi sifat-sifat partikel tadi akan berbeda, yang hanya disebabkan karena perubahan posisi dari partikel. Sebagai contoh, aliran air yang dipompa terus menerus melalui pipa secara konstan, sehingga parameter aliran, seperti kecepatan aliran tadi tidak akan berubah terhadap waktu. Namun, dalam kehidupan nyata, tidak ada aliran yang benar-benar tunak. Aliran yang seperti ini digunakan untuk memudahkan analisis dari perilaku fluida dan untuk menentukan hal-hal yang sifatnya empiris atau umum untuk analisis selanjutnya. Aliran Tak Tunak (Unsteady). Aliran tak tunak adalah aliran di mana, sifat-sifat dari partikel pada suatu tempat berubah terhadap waktu. Jadi sifat-sifat partikel pada tempat yang sama akan selalu berubah dan tidak sama. Analogi dengan terowongan yang dipasang alat pengukur kecepatan, pada terowongan pertama, kecepatan mobil yang terukur berubah-ubah, tak tetap, begitu pula pada terowongan kedua, kecepatan mobil yang terukur berubah-ubah. Sehingga aliran yang seperti ini disebut dengan aliran yang tak tunak. Sebagai contoh, aliran air yang dipompa secara tidak tentu (seperti membuka-tutup katup aliran dalam pipa) melalui pipa, sehingga parameter aliran, seperti kecepatan aliran tadi akan berubah-ubah terhadap waktu. 2.2.Berdasarkan kekentalan atau viskositasnya (ada tidaknya gaya geser baik antar partikel fluida, atau dengan dinding tempat fluida mengalir/viskositas), ada aliran viscid (kental) dan inviscid (tak kental). Viscid (ada pengaruh gaya geser). Aliran viscid adalah aliran yang partikel-partikel fluidanya mengalami gaya geser satu sama lain, maupun gaya geser dengan dinding tempat aliran tadi mengalir. Sebagai contoh paling mudah, seperti madu yang kita tuang dari botol, maka madu tadi akan mengalir dengan lambat dan dengan bagian madu yang menempel pada dinding botol akan jauh lebih lambat atau bahkan diam menempel pada dinding botol daripada bagian madu yang jauh dari dinding botol. Perlambatan dari bagian madu yang menempel ini disebabkan dari karakteristik madu yang viscid, sehingga gaya geser yang begitu besar menyebabkan madu yang menempel terhambat untuk mengalir. Dan apabila sudah selesai kita tuang, maka perhatikan bahwa masih banyak madu yang tertinggal menempel pada dinding botol. Inilah salah satu contoh aliran yang viscid. Coba bandingkan dengan air yang kita tuang dari botol, yang terjadi adalah air tadi akan mengalir secara spontan, tanpa adanya perlambatan bagian air yang menempel pada dinding. Sebelum menuju ke macam-macam aliran fluida yang viscid, kita perlu memahami beberapa besaran-besaran atau parameter-parameter yang tak berdimensi (tak bersatuan) (Dimensionless Parameter/Number) aliran fluida yang menyatakan karakteristik dari aliran itu sendiri.
3 Salah satu dari besaran tak berdimensi yang begitu penting dalam Mekanika Fluida, khususnya untuk suatu aliran yang viscid, adalah Reynolds Number atau angka Reynolds. Angka Reynolds menyatakan perbandingan antara suatu kecenderungan dari fluida untuk mengalir secara bebas dalam suatu bentuk geometri (dalam buku-buku dinyatakan sebagai inersia fluida), dengan gaya viskositas (gaya geser dengan dinding tempat fluida mengalir) yang menyebabkan aliran tadi cenderung terhambat. Angka Reynolds biasa dituliskan dalam persamaan,
Suku menyatakan kecenderungan fluida untuk mengalir secara bebas (inersia) pada suatu bentuk geometri dan suku menyatakan viskositas yang menghambat aliran fluida itu sendiri. Parameter tak berdimensi ini diperkenalkan oleh seorang ilmuwan dan ahli matematika Inggris bernama Osborne Reynolds, yang pada awalnya menggunakan suatu alat, di mana aliran fluida mengalir dalam pipa berdiameter (D) tertentu, dengan kecepatan (V) tertentu, lalu di pada aliran tadi diinjeksikan tinta pewarna yang masuk ke aliran karena gravitasi seperti yang diilustrasikan pada gambar 1. Dengan merubah parameter-parameter seperti massa jenis (ρ), diameter pipa (D) dan kecepatan aliran (V), maka didapati hasil percobaan seperti yang diilustrasikan pada Gambar 1. gambar 2. Osborne Reynolds memperkenalkan suatu konsep aliran viscid yang laminar dan turbulent.
Gambar 2.
Sumber gambar: Fundamental of Fluid Mechanics, 6th Edition, Munson. Aliran yang menyebabkan tinta yang masuk ke dalam aliran untuk mengalir secara konstan dan pada lintasan yang regular, dalam artian lintasan tinta tadi berupa garis lurus yang sama, disebut oleh Reynolds sebagai aliran yang laminar. Aliran yang laminar ini didapatkan oleh Reynolds dengan kecepatan aliran yang relative lambat dan pada pipa yang berdiameter tidak terlalu besar. Dan aliran yang menyebabkan tinta yang masuk ke dalam aliran untuk mengalir secara tak beraturan dan pada lintasan yang acak, disebut oleh Reynolds sebagai aliran yang Turbulen. Aliran turbulen ini didapatkan oleh
4 Reynolds dengan kecepatan aliran yang begitu cepat dan pada pipa yang berdiameter lebih besar. Mengapa demikian? Sebagai contoh, aliran laminar pada pipa dapat diilustrasikan dalam gambar 3 di bawah ini. Dampak dari viskositas yang Gambar 3. dominan menyebabkan aliran tadi mengalami perbedaan kecepatan dalam lebar alirannya. Kecepatan fluida yang menempel pada dinding akan sangat kecil mendekati nol, dan kecepatan fluida akan maksimum pada titik tengah bentangan lebar aliran. Dan kondisi yang sedemikan rupa tersebut akan selalu terjadi di sepanjang aliran, karena aliran yang laminar ini adalah aliran yang tunak atau steady. Sehingga garis lintasan dari partikel adalah sama dengan garis arusnya, dan garis-garis ini digambarkan dalam gambar 3 sebagai garis lurus dengan tanda panah sebagai penanda perbedaan kecepatan. Dan garis-garis tadi akan tetap pada posisinya, tidak akan pernah berpotongan satu sama lain. Karena viskositas yang begitu dominan dibandingkan kecenderungan aliran fluida untuk bergerak bebas (kecepatan fluida yang tidak terlalu cepat dan tempat fluida mengalir tidak begitu lebar), menyebabkan seolah-olah garis-garis tadi ada yang menahan pada tempatnya. Dan dalam angka Reynolds nya, aliran yang laminar memiliki nilai angka Reynolds di bawah 2000. Contoh dari aliran laminar adalah darah yang dipompa oleh jantung ke otak melalu pembuluh arteri. Atau aliran air yang tepat keluar dari keran air. (lihat gambar 5). Sebaliknya, apabila kecenderungan aliran fluida untuk bergerak bebas (kecepatan fluida yang begitu cepat dan tempat fluida mengalir begitu lebar/viskositas sangat kecil), menyebabkan lintasan dari partikel fluida menjadi tak menentu dan acak (lihat gambar 4), sehingga aliran turbulen ini adalah aliran yang tak tunak atau unsteady. Dan dalam angka Reynolds nya, aliran yang turbulen memiliki nilai angka Reynolds di atas 4000. Contoh dari aliran turbulen adalah aliran air dari pipa selokan ke kolam pembuangan, atau aliran air yang ada pada wastafel setelah keluar dari keran air. (lihat gambar 5).
Gambar 4.
Sumber gambar: google.com
Gambar 5.
5 Untuk aliran inviscid, pengaruh dari gaya geser begitu kecil, sangat kecil sehingga dapat dikatakan sebagai nol. Dengan asumsi inviscid, maka konsep parameter angka Reynolds sudah tidak berlaku, karena nilai dari angka Reynold tadi akan begitu besar sampai tak terhingga. Aliran inviscid ini sebagai contoh adalah air yang kita tuang dari botol, maka air akan mengalir secara spontan, tanpa adanya bagian air yang melambat pada dinding botol. Tidak ada dalam kenyatannya, aliran yang bersifat inviscid, bahkan air adalah fluida yang viscid namun nilainya begitu kecil, sehingga dapat diabaikan. Asumsi inviscid digunakan untuk mempermudah dalam berbagai analisis mengenai fludia lanjutan. 2.3.Berdasarkan kemampumampatannya, ada aliran compressible (mampu mampat) dan incompressible (tak mampu mampat). Aliran compressible atau mampu mampat adalah aliran fluida yang massa jenisnya dapat berubah apabila diberikan suatu tekanan tertentu sepanjang aliran tadi. Suatu fluida yang compressible adalah fluida yang apabila diberikan suatu tekanan tertentu, volume yang ditempati oleh partikel-partikel fluida tadi dapat ter”compress” menjadi lebih kecil. Contoh paling mudah adalah, gas yang berada dalam suatu botol, apabila kita tekan botol tadi secara aksial maupun lateral, maka botol tadi dapat tergencet dan volume botol tadi mengecil, sehingga perbandingan massa gas terhadap volume botol menjadi lebih besar, atau massa jenisnya berubah. Apabila kita ganti gas dalam botol tadi dengan air, lalu kita tekan botol tadi, apa yang akan terjadi? Ya, butuh kekuatan yang begitu besar agar botol tadi dapat tergencet untuk membuat volume botol mengecil. Perbandingan massa air terhadap volume botol akan tetap meski diberikan tekanan yang begitu besar. Fluida yang seperti inilah yang dikatakan sebagai fluida yang incompressible. Sehingga aliran yang incompressible adalah aliran fluida yang massa jenisnya konstan sepanjang aliran tadi, dikarenakan butuh tekanan yang begitu besar untuk merubahnya. Contoh dari aliran compressible ini adalah aliran dari gas tertentu seperti pada sayap pesawat. Dan contoh dari aliran incompressible adalah aliran air di sekitar kapal yang bergerak. 2.4.Berdasarkan rotasi dari elemen fluida, ada aliran yang rotational (elemenl fluida berotasi) dan aliran irrotational (elemen fluida tak berotasi). Untuk memahami bagaiamana elemen fluida berotasi, kita meninjau sebuah elemen dengan menyederhanakan bentuk elemen sebagai sebuah persegi, untuk analisis dalam 2 dimensi yaitu x dan y. Perhatikan gambar 6. Sumber gambar: Fundamental Gambar 6. of Fluid Mechanics, 6th Edition, Munson.
6 Kondisi di saat kecepatan pada salah satu sumbu akan berubah sepanjang sumbu lain di dekatnya akan menyebabkan elemen dari fluida tadi akan mengalami deformasi angular. Perhatikan, suku
mengartikan perubahan kecepatan pada sumbu x terhadap
sumbu y, sepanjang sumbu y. Begitu pula dengan suku yang lainnya. Perhatikan garis OB dan OA, apabila terjadi perubahan kecepatan seperti pada gambar 6, maka dalam waktu yang begitu singkat (δt) garis OB dan OA akan berotasi sebesar sudut δβ searah jarum jam dan δα yang berlawanan arah jarum jam, yang diilustrasikan pada gambar 7. Titik B akan berpindah pada arah x sejauh (
)
Dan titik A akan berpindah pada arah y sejauh (
)
Gambar 7.
Kecepatan angular dari garis OA, adalah,
Dan misalkan sudut δα begitu kecil sehingga,
Maka, dengan memasukkan nilai δα pada limit, kecepatan angular dari garis OA adalah,
Perhatikan kembali arah perputaran sudut δα yang berlawanan jarum jam, yang dalam hal ini arah yang berlawanan jarum jam adalah positif. Dengan metode dan pendekatan yang sama, kita mendapatkan kecepatan angular dari garis OB sebagai,
7 Dan arah dari kecepatan angular untuk garis OB adalah searah jarum jam, yang dalam hal ini arah yang searah jarum jam adalah positif. Dengan menganggap bahwa sumbu z adalah keluar dari bidang kertas pada gambar 17.a dan 17.b, maka kita bisa menentukan bagaimana kecepatan angular yang merupakan laju perputaran dari elemen yang berputar di sekitar zumbu z. Apabila kecepatan angular garis OA dan garis OB adalah sama besarnya dan searah, maka elemen tadi akan mengalami suatu gerak yang disebut “berotasi tapi tidak berdeformasi”, karena bentuk elemen akan tetap, namun hanya berotasi di sekitar sumbu z. Apabila berbeda arahnya, maka elemen tadi akan mengalami deformasi angular sekaligus berotasi di sekitar sumbu z. Kecepatan angular elemen yang berotasi di sekitar sumbu z didefinisakan sebagai ratarata dari kecepatan angular garis OA dan OB. Karena arah sumbu z yang keluar dari bidang, maka arah positif adalah arah rotasi yang searah dengan perputaran jarum jam. Maka per definisi, kecepatan angular elemen yang berdeformasi dan berotasi di sekitar sumbu z adalah, )̂
(
Dengan cara yang sama, maka kecepatan angular elemen yang berdeformasi dan berotasi di sekitar sumbu lainnya adalah, (
) ̂
(
) ̂
Karena kecepatan angular juga merupakan vector, maka ketiga kecepatan angular pada tiap sumbu dapat dituliskan ke dalam suatu vector rotasi ω, ̂
̂ ̂
Yang apabila dijabarkan tiap komponennya, dapat dituliskan dalam bentuk perkalian silang (cross product) dari operator vector gradient “del/nabla” (∇) dengan vector kecepatan, sebagai, ̅)
( Sebagai bukti, operasi perkalian silang (∇
̅ ) yang disebut curl adalah, ̂
(
̅)
|
̂
̂ |
8 (
) ̂
) ̂
(
(
) ̂
Dalam menjelaskan properti atau sifat dari fluida yang berkaitan dengan rotasi dari elemen fluida yang terjadi, kita mengenalkan suatu konsep baru, yang disebut dengan Vorticiy atau Vortisitas yang dilambangkan ζ atau zeta. Yang didefinisikan sebagai dua kali dari vector rotasi, atau, ̅ Perhatikan kembali persamaan 2.1, apabila kecepatan angular garis OA dan OB adalah sama dan searah, misalkan searah jarum jam, (ingat kecepatan angular garis OA positif berlawanan arah jarum jam, dan kecepatan angular garis OB positif searah jarum jam) atau,
Maka seperti yang dijelaskan sebelumnya, elemen akan berotasi namun tidak berdeformasi, keadaan yang seperti ini disebut sebagai fluida yang memiliki properti rotational atau mampu berotasi, karena nilai ada, dan nilai dari vortisitasnya pun ada. Tanda negative menjelaskan arah rotasi dari garis yang terkait. Namun Apa yang terjadi apabila,
Yang terjadi adalah, nilai dari persamaan 2.1 adalah nol. Dan konsekuensi dari hal ini adalah vortisitasnya adalah nol. Keadaan yang seperti ini disebut sebagai fluida yang memiliki properti irrotational atau tidak berotasi. Yang dinotasikan dalam persamaan, ̅ Jangan salah kaprah ketika mendengar suatu fluida yang “berotasi”, ingat bahwa rotasi ini adalah rotasi dari elemen fluida, bukan dari alirannya. Aliran yang irrotational dapat diilustrasikan seperti ini, sebuah contoh ekstrem, kita memiliki sebuah aliran yang arah alirannya melingkar, sebuah vortex (akan dijelaskan lebih lanjut). Lihat gambar di bawah ini, apabila kita meletakkan sebuah benda berbentuk tanda plus (+) akan terus pada kondisi yang sama meskipun mengikuti aliran yang melingkar tadi. (berlawanan jarum jam dari posisi A ke B lalu ke C).
(A)
(B)
(C)
9 Dari gambar tadi perhatikan bahwa bentuk dari benda (+) tadi tidak berputar sama sekali, karena elemen fluida dalam aliran tersebut tidak mengalami rotasi. Berbeda lagi apabila elemen fluida dalam aliran mengalami rotasi seperti dalam aliran rotational, maka benda (+) tadi akan berotasi juga, seperti dalam gambar di bawah ini,
Sumber gambar: Fundamental Principles of Flows, Dr. Marian Muste, IIHR - Hydroscience & Engineering, University of Iowa. Atau dalam contoh lain, seperti aliran fluida yang begitu cepat dalam pipa terbuka, seperti dalam gambar di bawah ini, benda (+) akan mengalami rotasi dalam aliran lurus dalam pipa tadi.
Sumber gambar: Fundamental Principles of Flows, Dr. Marian Muste, IIHR - Hydroscience & Engineering, University of Iowa.
2.5.Aliran Potensial. Aliran potensial adalah aliran fluida yang sifatnya irrotational, incompressible, dan inviscid karena memenuhi persamaan kontinuitas untuk fluida incompressible (∇ ∙ V ), memenuhi persamaan fluida irrotational (∇ × V = 0), dan efek viskositas yang begitu kecil sehingga diabaikan, dan secara keseluruhan diwakilkan oleh persamaan Laplace dari potensial kecepatan yang nilainya adalah nol (∇ ∙ ∇Φ ). Beberapa bentuk sederhana dari aliran potensial ini diciptakan, untuk memudahkan konstruksi aliran-aliran yang lebih rumit dalam penggunaannya. Mari me-review kembali tentang konsep stream function atau fungsi arus dan velocity potential atau potensial kecepatan, pada aliran. Stream Function (Fungsi Arus). Fungsi arus adalah sebuah fungsi yang diciptakan untuk memudahkan dalam hal analisis, yang mana apabila fungsi tadi diturunkan terhadap suatu sumbu, maka akan didapati kecepatan yang ada pada sumbu yang berbeda. Dan arah dari fungsi arus selalu tegak lurus dengan kecepatan potensial.
10 Fungsi arus ini didasarkan dari konsep aliran fluida yang memenuhi persamaan kontinuitas untuk aliran steady dan incompressible (baca kembali tentang persamaan kontinuitas). Di mana divergensi kecepatan V sama dengan nol, atau, untuk aliran 2 dimensi, ∙
Dan diperoleh hubungan sebagai berikut,
Yang dalam koordinat polar (koordinat yang menyatakan posisi dengan radius (r), sudut (θ) dan arah tegak lurus terhadap keduanya (z)),
Yang keduanya akan memenuhi persamaan kontinuitas, berikut pembuktiannya.
( (
) )
( (
) )
Velocity Potential (Potensial Kecepatan). Potensial kecepatan adalah sebuah fungsi yang diciptakan untuk memudahkan dalam hal analisis, yang mana apabila fungsi tadi diturunkan terhadap suatu sumbu, maka akan didapati kecepatan yang ada pada sumbu tadi. Dan arah potensial kecepatan selalu tegak lurus dengan fungsi arus. Potensial kecepatan ini didasarkan dari konsep aliran fluida yang irrotational, yaitu nilai ̅ ω adalah nol, atau nilai dari curl kecepatan V adalah nol ( ). (baca kembali halaman 5). ( Sehingga,
)̂
11 Dan bisa dituliskan kembali, lalu diintegralkan menjadi suatu fungsi yang sama, yang kita sebut dengan potensial kecepatan, yang dilambangkan dengan huruf yunani “fi” atau (ϕ) yang merupakan fungsi scalar. Atau, ∫
∫
Sehingga, didapatkan hubungan-hubungan sebagai berikut,
Atau bisa dituliskan kembali dengan menggunakan operator vekor gradient “del/nabla” (∇) sebagai,
Dari persamaan kontinuitas untuk fluida yang incompressible atau nilai dari divergensi kecepatan V adalah nol, atau, ∙ Apabila nilai V diganti dengan gradient dari potensial kecepatan, maka kita akan mendapati sebuah hubungan untuk fluida yang incompressible, dan irrotational, yang diekspresikan dalam persamaaan, ∙
Dengan operator ( ) ( ∙ )( ) disebut sebagai operator Laplace. Yang mewakili aliran fluida yang incompressible, inviscid, dan irrotational. Aliran yang demikian inilah selanjutnya disebut dengan aliran potensial. Berikut adalah beberapa aliran potensial yang steady, incompressible, inviscid, dan irrational dasar 2 Dimensi. Uniform Flow (Aliran Seragam). Sebuah aliran potensial yang paling sederhana yang bergerak lurus dengan kecepatan yang konstan U sepanjang alirannya, jadi aliran uniform adalah aliran yang kecepatannya tidak berubah terhadap ruang tempat aliran tadi mengalir, seperti yang diilustrasikan pada gambar 8.a. Misalkan aliran potensial tadi bergerak sepanjang sumbu x. Maka komponen kecepatan pada sumbu x adalah U (u = U) dan komponen kecepatan pada sumbu y adalah 0 (v = 0) karena hanya terjadi perpindahan sepanjang sumbu x. Aliran ini dalam kehidupan nyata seperti aliran air yang dipompa terus menerus dengan tekanan yang konstan, yang mengalir dalam pipa. Maka kecepatan air dalam pipa tadi akan terus sama sepanjang pipa tadi, selama diameter pipa juga konstan, karena apabila diameter tidak konstan, tentu debit akan berubah, sehingga kecepatan juga akan berubah.
12
Gambar 8.
Sumber gambar: Fundamental of Fluid Mechanics, 6th Edition, Munson. Maka, hubungan-hubungan berikut akan berlaku,
Sehingga, dengan melakukan integral pada masing masing hubungan, kita akan mendapatkan persamaan potensial kecepatan dari aliran seragam, yaitu,
Dengan C adalah konstanta pengintegralan, atau untuk nilai C = 0, bisa tuliskan sebagai,
Begitu pula dengan fungsi arus, hubungan-hubungan berikut akan berlaku,
Sehingga, dengan melakukan integral pada masing masing hubungan, persamaan fungsi arus dari aliran seragam adalah,
Apabila aliran bergerak membentuk sudut, atau arah kecepatan U membentuk sudut dari salah sumbu x (lihat gambar 8.b.), maka kecepatan pada sumbu x dan y adalah,
Sehingga dari kecepatan-kecepatan di atas, kita dapat menuliskan fungsi arusnya seperti berikut, (
)
Yang apabila diturunkan terhadap sumbu y akan mendapatkan kecepatan di sumbu x (u), (
)
(
)
13 Dan apabila fungsi arus diturunkan terhadap sumbu x akan mendapatkan kecepatan di sumbu y (v), (
[
)
(
)
]
Lalu potensial kecepatannya dapat dituliskan dalam persamaan, (
)
Sehingga apabila potensial kecepatannya diturunkan terhadap sumbu x akan mendapatkan kecepatan di sumbu x pula (u), [
(
)
(
)
]
Dan apabila potensial kecepatannya diturunkan terhadap sumbu y akan mendapatkan kecepatan di sumbu y pula (v), [
(
)
(
)
]
Source (Sumber) dan Sink (Serap). Source dan Sink adalah fluida yang bergerak secara radial dari sebuah titik atau menuju sebuah titik. Apabila fluida tadi bergerak dari segala arah menuju ke titik maka disebut sink atau serap dan apabila fluida tadi bergerak keluar titik ke segala arah maka disebut source atau sumber. Aliran source dan sink tidak benar-benar ada dalam kehidupan nyata, alasannya akan dibahas berikutnya. Contoh yang paling mendekati, source seperti aliran dari penyiram taman automatic atau aliran yang keluar sprinkle pada gedung-gedung ketika terjadi kebakaran. Dan sink seperti air yang masuk ke dalam lubang pembuangan di wastafel. Misalkan m adalah laju dari volume yang keluar dari titik secra radial per satuan panjang (dalam hal ini adalah keliling lingkaran) dan per satuan waktu (aliran keluar dengan kecepatan radial vr). Yang dituliskan dalam persamaan, (
)
Dengan r dan θ adalah posisi titik yang kita tinjau dalam koordinat polar. Sehingga kecepatan dari aliran yang keluar dari titik secara radial adalah,
Gambar 9.
14 Karena aliran yang keluar atau masuk dari titik ada hanya dalam arah radial, dan tidak ada yang tangensial (vθ = 0), maka hubungan-hubungan di bawah ini berlaku,
Sehingga, dengan mengintegralkan hubungan di atas, maka kita mendapatkan persamaan dari potensial kecepatan, yaitu, ∫
∫
∫
Yang apabila diturunkan terhadap koordinat radialnya (∂r), maka akan menghasilkan kecepatan radialnya (vr).
Dan apabila diturunkan terhadap koordinat sudutnya (∂θ), maka akan menghasilkan kecepatan tangensialnya (vθ) yang nilainya nol.
Begitu pula dengan fungsi arus, karena fungsi arus apabila diturunkan terhadap suatu sumbu akan menghasilkan kecepatan di sumbu yang lain, maka hubungan-hubungan berikut juga akan berlaku,
Sehingga, dengan melakukan integral pada masing-masing hubungan, maka didapatkan fungsi arus, ∫
∫
∫
Yang apabila fungsi arus diturunkan terhadap koordinat sudutnya (∂θ), maka akan menghasilkan kecepatan radialnya (vr).
15
Dan apabila fungsi arus diturunkan terhadap koordinat radialnya (∂r), maka akan menghasilkan kecepatan tangensialnya (vθ) yang nilainya sama, nol.
Nilai m ini untuk selanjutnya disebut sebagai kekuatan source apabila nilainya positif (aliran radial keluar dari titik menuju ke segala arah) dan disebut sebagai kekuatan sink apabila nilainya negative (aliran radial masuk ke titik dari segala arah). Dan pada source atau sink kurva dari fungsi arusnya (garis arus) adalah garis-garis yang keluar atau masuk titik, sementara potensial kecepatannya adalah berupa lingkarang-lingkaran sepusat. Contoh pengaplikasian dalam suatu permasalahn, misalkan ada alrian yang mengalir dalam saluran dari luar menuju pusat seperti dalam gambar 10. Saluran tadi membentuk sudut sebesar 30 derajat atau π/6 terhadap sumbu x. Dan tinggi dari saluran tadi dianggap sebagai 1 satuan sumbu z ke dalam bidang. Diketahui bahwa potensial kecepatan aliran ini adalah,
Gambar 10.
Tentukanlah laju volume aliran per satuan tinggi saluran dan per satuan waktu, atau debit m per satuan tinggi saluran!
Laju dari volume per satuan waktu adalah debit, adalah sama dengan,
Sementara luasan penampang saluran adalah lebar saluran (S) yang sama dengan lengkungan lingkaran dari sudut nol hingga π/6, dikali dengan tinggi saluran yang nilainya 1 (karena kita ingin mengetahui debit m per satuan tinggi saluran), ∫
∫
Karena aliran bergerak dalam koordinat radial (sehingga kecepatan radial vr saja yang diperhitungkan karena kecepatan tangensial vθ adalah nol), maka debit m per satuan tinggi saluran adalah,
16
∫ Dan dari potensial kecepatan, apabila kita turunkan terhadap koordinat-koordinat terkait, maka akan kita dapatkan komponen-komponen kecepatan pada tiap koordinat, sebagai berikut,
Sehingga dengan mensubstitusikan nilai kecepatan radial vr pada persamaan untuk mencari debit, ∫
∫
( )
Maka laju volume aliran per satuan tinggi saluran per satuan waktu adalah –π/3 atau sekitar -1.05 satuan. Perhatikan tanda negative di sini menyatakan bahwa aliran tadi merupakan aliran sink karena nilai m yang negative, dan aliran bergerak dari segala arah menuju titik yang juga merupakan pusat dari lingkaran. Perhatikan dari persamaan 2.14, apabila nilai r = 0 yang juga merupakan pusat dari source atau sink, maka kecepatannya akan menjadi tak terdefinisi atau tak terhingga, yang menyebabkan aliran ini tidak benar-benar ada dalam kehidupan nyata. Vortex. Vortex adalah sebuah aliran potensial dasar, di mana aliran tadi mengalir dalam lintasanlintasan berbentuk lingkaran yang sepusat. Vortex adalah kebalikan dari konsep source dan sink. Kalau source dan sink kecepatan yang arahnya tangensial (vθ) adalah nol, maka Vortex kecepatan yang arahnya radial (vr) yang nol. Sehingga, alirannya divisualisasikan seperti aliran fluida yang bergerak dalam lintasan melingkar. Ingat kembali persamaan fungsi arus dan potensial kecepatan pada source dan sink,
Gambar 11.
17 Sekali lagi ditekankan bahwa pada source dan sink kurva dari fungsi arusnya adalah garis-garis yang keluar atau masuk titik, sementara kurva dari potensial kecepatannya adalah lingkaran-lingkaran yang konsentris. Karena vortex merupakan kebalikan dari konsep source dan sink, di mana kurva dari fungsi arusnya (garis arus) adalah lingkaran-lingkaran yang konsentris sementara kurva dari potensial kecepatannya adalah garis-garis yang keluar dari pusat lingkaran konsentris tadi. Sehingga kita tukarkan persamaan fungsi arus untuk source dan sink sebagai potensial kecepatan untuk vortex, begitu pula kita tukarkan persamaan potensial kecepatan source dan sink sebagai fungsi arus untuk vortex, atau katakanlah,
Dengan K adalah suatu konstanta pengganti (m/2π) pada source dan sink. Sehingga kita dapat menentukan kecepatan tangensial (vθ) dari vortex,
Tafsiran dari persamaan di atas, kecepatan tangensial dari vortex akan berbanding terbalik dari jarak titik yang ingin diketahui kecepatan tangensialnya dari pusat vortex. Yang apabila nilai dari r = 0 dalam artian pada pusat dari vortex, kecepatan tangensialnya menjadi tak terdefinisi atau memiliki singularitas (singularitas dalam matematika adalah suatu titik di mana objek tidak dapat didefinisikan secara matematis). Vortex dibedakan menjadi dua, yaitu free vortex (vortex bebas) dan forced vortex (vortex paksa). Yang membedakan di antara keduanya adalah sifat fluida yang mengalir dalam aliran vortex tadi. Free vortex adalah aliran vortex di mana fluida yang mengalir bersifat irrotational. Contoh yang paling mudah dari aliran vortex bebas ini adalah tornado atau pusaran air pada buangan bak mandi. Dan forced vortex adalah aliran vortex di mana fluida yang mengalir bersifat rotational. Oleh karena itu forced vortex tidak akan dibahas, karena bukan merupakan aliran potensial yang disebabkan sifat alirannya yang rotational. Dalam pembahasan vortex, kita perlu mengenal suatu konsep yang disebut dengan sirkulasi. Sirkulasi yang dilambangkan sebagai “gamma capital” atau ( Γ ) secara matematika didefinisikan sebagai integral dari perkalian kecepatan tangensial suatu objek dengan lintasannya sepanjang lintasannya yang tertutup. Dan dituliskan dalam persamaan integral, ∮
∙
Yang berarti bahwa integral dilakukan sepanjang C atau sepanjang keliling dari kurva yang tertutup/lintasan yang tertutup. Perhatikan gambar 12, mengapa perkalian dot/titik? Ingat dari definisi sirkulasi adalah integral dari kecepatan tangensial atau kecepatan yang menyinggung kurva, maka kita perlu mendapatkan kecepatan yang arahnya sama dengan
18 arah lintasan objek pada kurva, yaitu ds, sehingga dengan perkalian dot/titik kita akan mendapatkan kecepatan yang tangensial atau searah dengan lintasan objek. Perhatikan bahwa ds di sini adalah notasi vector yang dijabarkan untuk 2 dimensi menjadi, ̂
̂
Untuk aliran yang irrotational, di mana kecepatan adalah gradient dari potensial kecepatannya, atau (V = ∇ϕ), atau,
Gambar 12.
̂
̂
Sehingga apabila 2 persamaan terakhir disubstitusikan ke dalam persamaan sirkulasi menjadi, ∮
∙
∮
( ̂ ∙ ̂)
∮
( ̂ ∙ ̂)
Akan menghasilkan persamaan integral yang nilainya adalah nol. ∮ Mengapa nol? Karena tidak ada yang bisa mengintegralkan fungsi potensial dalam persamaan 2.17 di atas. Secara fisik dari persamaan 2.17, kita ingin mengintegralkan fungsi kecepatan potensial sepanjang lintasan yang sebenarnya adalah kurva dari fungsi arusnya, sehingga hasil dari integral tadi adalah nol. Dari persamaan 2.17 ini kita mendapati untuk sebuah aliran yang irrotational sirkulasi yang terjadi adalah nol, tidak ada sirkulasi yang terjadi. Pengecualian bagi kurva/lintasan yang mencakup titik singularitas-singularitas tertentu, seperti dalam vortex bebas yang kurvanya fungsi arusnya dan juga lintasannya berupa lingkaran-lingkaran konsentris seperti yang ditunjukan pada gambar 13 di bawah ini. Sirkulasi dari vortex bebas ini meskipun dia irrational nilainya tidak nol di sekeliling lintasan vortex yang berjari-jari r (perhatikan titik singularitas r = 0 tercakupi oleh lingkaran dengan jari-jari r). Kecepatan tangensial vortex bebas seperti yang sudah dibahas sebelumnya adalah,
Gambar 13.
Sumber gambar: Fundamental of Fluid Mechanics, 6th Edition, Munson.
19 Sehingga persamaan sirkulasinya, dengan kecepatan tangensialnya adalah K/r dan lintasannya adalah (r dθ), ∮
(
)
Dengan panjang kurva tertutup atau lintasannya tadi adalah 2π, maka sirkulasi dari vortex yang lintasannya lingkaran dan mencakupi titik singularitas r = 0 adalah, ∮
(
)
∮
Perhatikan kembali gambar 13, apabila kurva tertutup atau lintasannya adalah seperti garis yang menghubungkan titik A-B-C-D, maka sirkulasinya adalah nol. Mengapa? Karena kurva ABCD tidak mencakupi titik singularitas r = 0. Dari persamaan 2.18, kita mendapatkan suatu hubungan antara Konstanta K dan Sirkulasi Γ, yaitu,
Dan dengan mensubstitusikan hubungan di atas ke dalam persamaan fungsi arus dan potensial kecepatan untuk vortex, kita akan mendapatkan fungsi arus untuk vortex,
Yang apabila fungsi arusnya diturunkan terhadap koordinat radialnya (∂r) maka akan didapatkan kecepatan tangensialnya (vθ), (
)
Dan apabila fungsi arusnya diturunkan terhadap koordinat sudutnya (∂θ) maka akan didapatkan kecepatan radianya (vr), (
)
Dan potensial kecepatan untuk vortex adalah,
Yang apabila potensial kecepatan diturunkan terhadap koordinat radialnya (∂r) maka akan didapatkan kecepatan radialnya (vr), (
)
20 Dan apabila potensial kecepatannya diturunkan terhadap koordinat sudutnya (∂θ) maka akan didapatkan kecepatan tangensialnya (vθ), (
)
Doublet. Doublet adalah kombinasi dari sebuah source dan sink yang diletakkan satu sama lain dengan jarak yang sangat dekat. Perhatikan gambar 14 di bawah ini. Karena fungsi arus dan potensial kecepatan adalah scalar, maka dari kombinasi beberapa aliran potensial dasar dapat dengan mudah didapatkan persamaan fungsi arus dan potensial kecepatannya, yaitu dengan superposisi, hanya dengan menjumlahkan secara scalar dari masing-masing fungsi arus dan masing-masing potensial kecepatan tiap-tiap aliran dasar yang membentuk Gambar 14. suatu system. Nilai 2a adalah jarak antara source dan sink yang sangat kecil, mendekati nol. Sekarang kita ingin mengetahui fungsi arus pada sembarang titik, misalkan titik P. Fungsi arus dari source untuk titik P yang berada pada posisi koordinat radius r2 dan sudut θ2 adalah,
Dan fungsi arus dari sink untuk titik P yang berada pada posisi koordinat radius r1 dan sudut θ1 adalah,
Maka persamaan fungsi arus pada titik P adalah penjumlahan dari fungsi arus source dan fungsi arus sink, atau, ( ( Persamaan terakhir dapat ditulis kembali menjadi, (
)
)
)
21 Lalu nilai tangent dari sudut nya adalah, (
)
(
)
Dari gambar, kita mendapatkan hubungan-hubungan berikut,
Dan dengan memasukkan hubungan-hubungan di atas ke dalam persamaan tangent sudutnya, maka, (
)
Sehingga nilai dari fungsi arusnya adalah, (
)
Untuk nilai a yang sangat kecil dan mendekati nol, maka, (
)
Pada hakekatnya, sebuah doublet itu adalah sebuah source dan sebuah sink yang diletakkan berdekatan atau nilai a mendekati nol, dengan menguatkan kekuatan doublet m atau nilai m mendekati tak terhingga. Hal ini membuat nilai dari ma/π akan konstan. Karena nilai a yang mendekati nol sehingga nilai a2 juga nol, menjadikan,
Nilai ma/π ini dituliskan kembali sebagai K, yang disebut sebagai kekuatan doublet. Yang apabila fungsi arusnya diturunkan terhadap koordinat radialnya (∂r) maka akan didapatkan kecepatan tangensialnya (vθ),
Dan apabila fungsi arusnya diturunkan terhadap koordinat sudutnya (∂θ) maka akan didapatkan kecepatan radianya (vr), (
)
22 Dengan cara yang sama, maka potensial kecepatannya adalah,
Sehingga, apabila potensial kecepatan diturunkan terhadap koordinat radialnya (∂r) maka akan didapatkan kecepatan radialnya (vr),
Dan apabila potensial kecepatannya diturunkan terhadap koordinat sudutnya (∂θ) maka akan didapatkan kecepatan tangensialnya (vθ),
Rangkuman dari persamaan-persamaan dasar dari beberapa aliran potensial sederhana. (sumber : Fundemental of Fluid Mechanics, 6th Edition, Munson) 1. Aliran Seragam (Uniform Flow) Fungsi arus, Potensial kecepatan,
( (
) )
2. Source dan Sink (m > 0 adalah source, dan m < 0 adalah sink) Fungsi arus,
Potensial kecepatan,
3. Vortex. Fungsi arus,
Potensial kecepatan,
4. Doublet (Kombinasi source dan sink pada jarak yang kecil) Fungsi arus,
Potensial kecepatan,
23 3. SUPERPOSISI ALIRAN POTENSIAL DASAR Seperti yang sudah kita ketahu dari bahasan sebelumnya, bahwa aliran potensial dasar digunakan untuk membentuk aliran-aliran lain yang lebih kompleks, yang pula dapat mewakili aliran di sekitar suatu benda, dan dapat dengan mudah kita bisa menentukan persamaan-persamaan untuk fungsi arus dan potensial kecepatannya, yang nantinya akan sangat bermanfaat dalam analisis distribusi tekanan dan sebagainya. (dengan mengaplikasikan hukum Bernoulli untuk aliran yang steady, incompressible, inviscid, dan irrotational, apabila kita mengetahui kecepatan dan posisi di suatu titik, maka kita dapat menentukan tekanan yang ada pada titik tersebut dan titik lain, baca kembali hukum Bernoulli.) Untuk menentukan persamaan-persamaan fungsi arus dan potensial kecepatan pada aliran yang kompleks, yang terbentuk dari kombinasi beberapa aliran potensial dasar, dapat dilakukan cukup dengan menjumlahkan persamaan-persamaan yang ada secara scalar, karena fungsi arus dan potensial kecepatan adalah fungsi scalar.
Perlu diperhatikan bahwa setiap kurva dari fungsi arus atau garis arus di dalam sebuah aliran potensial dapat dianggap sebagai batas dari suatu benda padat. Jadi dari kombinasi-kombinasi yang kita bentuk dari beberapa aliran potensial dasar, dapat menghasilkan garis arus yang bersesuain dengan bentuk benda yang akan kita analisis, atau dapat dikatakan bisa menggambarkan aliran di sekitar benda tadi. 3.1. Aliran di sekitar benda separuh (half body). Aliran di sekitar benda separuh didapatkan dari sebuah source dengan kekuatan source m yang diletakkan pada pusat koordinat dalam aliran uniform dengan kecepatan konstan U. Seperti pada gambar 15 di bawah ini, Yang terjadi adalah aliran uniform tadi akan terdesak untuk menjauhi pusat source karena P aliran yang keluar ke segala arah dari pusat source, dan terus akan terdesak hingga pengaruh dari source tadi menghilang, sehingga seolah-olah aliran yang terjadi menggambarkan aliran yang terjadi pada suatu benda yang Gambar 15. bentuknya separuh, oleh karena itu disebut sebagai aliran di sekitar half body atau benda separuh. Kondisi yang sepert ini diilustrasikan pada gambar 16 di bawah ini.
Sumber gambar: Fundamental of Fluid Mechanics, 6th Edition, Munson.
Gambar 16.
24 Kembali pada gambar 15, fungsi arus yang dihasilkan pada titik sembarang, misalkan titik P adalah,
Dengan fungsi arus untuk source adalah,
Dan fungsi arus untuk aliran uniform nya adalah,
Sehingga fungsi arus untuk kombinasi di atas adalah,
Dan dengan potensial kecepatan yang dihasilkan adalah,
Dengan potensial kecepatan untuk source adalah,
Dan potensial kecepatan untuk aliran uniform adalah,
Sehingga potensial kecepatan untuk kombinasi di atas adalah,
Kita dapat menentukan komponen kecepatan radialnya dan kecepatan tangensial dengan cara menurunkan fungsi arus atau potensial kecepatan terhadap sumbu-sumbu yang terkait, misalkan kita menggunakan potensial kecepatan. Sehingga apabila potensial kecepatan diturunkan terhadap koordinat radialnya (∂r) maka akan menghasilkan kecepatan radialnya (vr),
Dan apabila kita menurunkan potensial kecepatan terhadap koordinat sudutnya (∂θ) maka akan menghasilkan kecepatan tangensialnya (vθ),
25
Perhatikan kembali gambar 15 sebelumnya, perhatikan beberapa titik sepanjang sumbu x negative dekat dengan pusat koordinat. Pada salah satu titik itu, sudah sangat jelas apabila kecepatan dari source akan sama dengan kecepatan aliran uniform (ingat bahwa kecepatan aliran uniform akan selalu U, sehingga kecepatan dari source yang berubah.) Dan titik di mana terjadi fenomena seperti ini, untuk selanjutnya disebut sebagi stagnation point atau titik stagnasi. Kecepatan radial (vr) dari source sendiri adalah, (ingat pada source dan sink tidak ada kecepatan tangensial, (vθ = 0)).
Misalkan titik stagnasi terjadi pada koordinat x = -b atau r = b dan y = 0 atau θ = π (sudut adalah 180 derajat karena berada pada kuadran 2, di mana sumbu x negative adalah bersudut 180 derajat), maka,
Sehingga kita dapat menentukan titik stagnasi dalam hubungan di bawah ini,
Dan karena posisi titik stagnasi yang terjadi pada koordinat r = b dan θ = π, dengan mensubstitusikan nilai r dan θ pada persamaan fungsi arus untuk benda separuh (persamaan 3.1), menjadi,
Fungsi arus yang mewakili titik terjadinya stagnasi ini adalah fungsi arus yang apabila diplotkan dapat dijadikan batasan dari permukaan benda separuh. Lalu perhatikan lagi persamaan 3.5 yang juga memuat suku m/2, yang apabila kita gantikan dengan ψ stagnasi, maka,
26 Yang bisa dituliskan kembali menjadi suatu hubungan,
Nilai dari m/2π adalah sama dengan Ub (perhatikan persamaan 3.5). Lalu substitusikan pernyataan ψstagnasi untuk ψ pada persamaan 3.1, maka,
Dari persamaan di atas, kita mendapatkan suatu hubungan,
Atau, (
)
Karena r sin θ adalah koordinat y, (
)
Yang dapat menyatakan lebar dari benda separuh tadi. Perhatikan, bila θ = 0 atau θ = 2π, di mana sudut-sudut tersebut menyatakan bagian benda yang terpotong (lihat gambar 16), maka lebar dari benda separuh tadi (tinggi y diukur dari sumbu x) adalah ± πb. Tidak hanya itu, kita bisa menentukan kecepatan yang ada pada suatu titik. Pada sebelumnya kita sudah mengetahui kecepatan tangensial dan kecepatan radialnya (persamaan 3.3 dan 3.4), yang jumlah dari kuadratnya adalah besaran dari resultan kecepatan yang ada pada suatu titik, atau, ( (
(
)
)
) (
)
(
(
)
)
Dan substitusi persamaan 3.5 pada persamaan di atas, (b = m/2πU), maka, (
)
(
)
27
*
(
)
(
)
(
)
(
) +
Sehingga, dapat ditulis kembali (b = m/2πU), [
]
Atau, *
+
Setelah kita mengetahui kecepatan di 2 sembarang titik, kita dapat menentukan tekanan pada 2 titik tadi dengan persamaan Bernoulli untuk aliran yang steady, incompressible, inviscid, dan irrotational.
Berikut adalah contoh dari permasalahan aliran di sekitar benda separuh. Bentuk sebuah bukit di suatu tempat menyerupai bentuk dari benda separuh seperti pada gambar 17 di bawah ini. Ketinggian bukit mencapai 200 meter. Lalu ada angin berkecepatan 40 m/s dari titik 1 di daratan bawah seperti yang diilustrasikan pada gambar 17. 40 m/s 200 m
K Gambar 17.
(1) Tentukanlah berapa besar kecepatan pada titik 2 di bukit! (2) Tentukanlah berapa perbedaan tekanan (pressure drop) antara titik 1 yang jauh berada di bawah bukit, dan titik 2 apabila ρ udara = 1.225 kg/m3! Untuk menentukan besar kecepatan pada titik 2, kita cukup menggunakan persamaan 3.8 tentang kecepatan di sembarang titik. Yang perlu kita perhatikan adalah posisi dari titik 2 dalam koordinat polar. Dari gambar, posisi titik 2 adalah bersudut 90 derajat (θ = π/2).
28 Karena titik 2 ini ada pada permukaan benda (pada kurva fungsi arus stagnasi atau ψstagnasi), sehingga dengan mengubah sedikit dari persamaan 3.6 kita bisa menentukan radius (r) titik 2 terhadap pusat. (
)
(
)
Substitusikan nilai r = bπ/2 dan θ = π/2 untuk titik 2 ke persamaan 3.8, maka, *
+
[
( )
] (
*
+
[
) ]
Sehingga kecepatan pada titik 2 adalah, √
√ [
[
]
]
√[
]
√[
]
√
(
)
Lalu untuk menentukan perbedaan tekanan antara titik 1 dan 2, kita dapat menggunakan persamaan Bernoulli (persamaan 3.9). Kita tahu bahwa kecepatan pada titik 1 adalah sama dengan kecepatan angin karena berada di daratan bawah yaitu V1 = 40 m/s, dan juga kita tahu titik 1 memiliki ketinggian nol (karena berada di daratan bawah, y1 = 0). Dari pengerjaan sebelumnya, kita telah menemukan nilai dari posisi radius titik 2 dari pusat, yang juga merupakan ketinggian dari titik 2 itu sendiri. Atau,
Dan bπ adalah lebar dari benda separuh seperti yang sudah dibahas sebelumnya, dan juga nilai bπ sama dengan 200 m, yaitu ketinggian maksimum bukit. Sehingga ketinggian titik 2 adalah,
29 Sekarang kita telah mengetahui kecepatan pada titik 1 dan titik 2, dan juga posisi ketinggian titik 1 dan titik 2,
Sehingga persamaan Bernoulli menjadi,
(
) ((
( )
) (
) )
(
)(
)
Maka perbedaan tekanan titik 1 dan titik 2 adalah 1597.22 Pascal. 3.2.Oval Rankine. Sebelumnya kita telah membahas aliran di sekitar benda separuh. Sekarang kita akan membahas aliran di sekitar benda yang penuh. Aliran yang seperti ini adalah source dan sink yang berkekuatan sama m yang diletakkan segaris dengan jarak tertentu, dan diletakkan dalam aliran uniform berkecepatan U yang konstan, seperti yang diilustrasikan pada gambar 18. P Yang terjadi adalah, aliran dari source akan terhisap oleh sink pada bagian di antara keduanya, dan aliran uniform akan terdorong menjauhi pusat dari source menjauhi pusat source, lalu akan terhisap mendekati pusat dari sink, sehingga aliran yang terbentuk menjadi seperti aliran yang mengalir di sekitar sebuah oval. Oleh karena itu, Gambar 18. aliran yang seperti ini disebut dengan aliran di sekitar Oval Rankine. Bentuk alirannya diilustrasikan dalam gambar 19 di bawah ini.
Sumber gambar: Fundamental of Fluid Mechanics, 6th Edition, Munson.
Gambar 19.
30 Kembali ke gambar 18, fungsi arus dari kombinasi ini pada sembarang titik, misalkan titik P adalah,
Dengan fungsi arus untuk source dan sink adalah,
Dan fungsi arus untuk aliran uniform nya adalah,
Sehingga fungsi arusnya adalah,
Yang dapat disederhanakan menjadi (baca kembali tentang doublet), (
)
(
)
Dan potensial kecepatannya yang dihasilkan adalah,
Dengan potensial kecepatan unuk source dan sink adalah,
Dan potensial kecepatan untuk aliran uniform adalah,
Sehingga potensial kecepatannya adalah,
Yang bisa disederhanakan menjadi, (
)
Pengenalan tentang Oval Rankine ini akan sangat bermanfaat untuk menganalisis aliranaliran yang lebih penting, yang mana apabila jarak antara source dan sink ini kita kecilkan hingga sangat kecil, maka oval yang terjadi akan lebih tumpul dan menghasilkan sebuah bentuk lingkaran. Dan perhatikan lagi bahwa source dan sink yang berdekatan dengan
31 jarak yang sangat kecil adalah sebuah doublet, dan konsep inilah yang akan digunakan untuk contoh aliran potensial berikutnya, yaitu aliran di sekitar silinder diam. 3.3.Aliran di Sekitar Silinder Diam. Seperti yang sudah dipaparkan sebelumnya, apa yang akan terjadi apabila jarak antara source dan sink pada Oval-oval Rankine dikecilkan hingga sangat kecil sehingga seperti sebuah doublet? Yang terjadi adalah oval tadi akan menjadi lebih tumpul, dan lebih gendut, menghasilkan sebuah bentuk lingkaran. Jadi apabila kita meletakkan sebuah doublet berkekuatan m, dalam sebuah aliran uniform dengan kecepatan U yang konstan, maka aliran yang terjadi adalah seperti aliran yang berada di sekitar silinder diam. Kita tahu bahwa fungsi arus untuk doublet berkekuatan m adalah,
Dan fungsi arus untuk aliran uniform berkecepatan U adalah,
Gambar 20.
Sehingga fungsi arus yang terjadi adalah,
Dan kita juga sudah tahu bahwa potensial kecepatan untuk doublet berkekuatan m adalah,
Dengan potensial kecepatan untuk aliran uniform berkecepatan U adalah,
Sehingga potensial kecepatannya adalah,
Atau,
32 Kita dapat menentukan komponen kecepatan radialnya dan kecepatan tangensial dengan cara menurunkan fungsi arus atau potensial kecepatan terhadap sumbu-sumbu yang terkait, misalkan kita menggunakan potensial kecepatan. Sehingga apabila potensial kecepatan diturunkan terhadap koordinat radialnya (∂r) maka akan menghasilkan kecepatan radialnya (vr),
Dan apabila kita menurunkan potensial kecepatan terhadap koordinat sudutnya (∂θ) maka akan menghasilkan kecepatan tangensialnya (vθ),
Untuk menentukan batas benda padat silinder (batasan berupa lingkaran), seperti dalam aliran di sekitar benda separuh, kita perlu menentukan di mana terjadi titik stagnasi. Yaitu titik di mana kecepatan system pada titik tadi adalah nol. Atau V=0, sehingga,
Yang artinya, kecepatan radial pada titik stagnasi (vr stagnasi) adalah nol dan kecepatan tangensial pada titik stagnasi (vθ stagnasi) juga nol. Perhatikan lagi, posisi di mana titik stagnasi ini hanya mungkin terjadi pada koordinat sudut θ = 0 dan θ = 180 derajat (π), dan koordinat radius misalkan r = a. Maka dengan mensubstitusikan koordinat di mana titik stagnasi mungkin terjadi ke dalam persamaan 3.13, dan mengingat kembali bahwa kecepatan radial pada titik stagnasi adalah nol, maka,
33
Sehingga didapati hubungan sebagai berikut,
Yang apabila kita masukkan hubungan dalam persamaan 3.15 di atas ke dalam persamaan fungsi arus (persamaan 3.11) maka,
Sehingga dapat dituliskan kembali menjadi, (
)
Dan dari persamaan 3.16 ini, apabila kita kembalikan lagi bahwa nilai r pada titik stagnasi adalah a, dan θ adalah 0, maka fungsi arusnya sama dengan 0, dalam artian konstan, yaitu kurva dari fungsi arus atau garis arusnya adalah konstan berupa lingkaran dengan jari jari sama dengan a, sehingga dapat mewakili fungsi arus aliran di sekitar silinder berpenampang lingkaran. Begitu pula dengan potensial kecepatan, dengan masukkan hubungan dalam persamaan 3.15 ke dalam persamaan 3.12 tentang potensial kecepatan akan didapatkan,
Sehingga dapat dituliskan kembali menjadi, (
)
Dan kita juga bisa mensubstitusikan hubungan dalam persamaan 3.15 ke dalam persamaan 3.13 untuk mendapatkan kecepatan radial di sembarang titik,
34
Disederhanakan menjadi, (
)
Dan kita juga bisa mensubstitusikan hubungan dalam persamaan 3.15 ke dalam persamaan 3.14 untuk mendapatkan kecepatan tangensial di sembarang titik, (
)
Perhatikan sebagai bukti secara logika kita bahwa persamaan 3.18 dan 3.19 mewaki aliran di sekitar sebuah silinder, masukkan nilai r = a, yang berarti koordinat tadi merupakan titik sembarang pada permukaan silinder, maka yang terjadi adalah, (
)
Kecepatan radialnya adalah nol (di dalam silinder tidak ada aliran), dan, (
)
Namun kecepatan tangensialnya memiliki nilai, karena aliran yang mengalir di sekitar silinder tadi vector kecepatannya akan selalu menyinggung / tangensial permukaan silinder. Dan dari persamaan terakhir di atas, kita mengetahui bahwa kecepatan aliran akan berada pada besaran maksimumnya pada sudut di mana nilai dari sinus nya adalah 1, yaitu ± 90 derajat. Sehingga, kecepatan aliran akan maksimum sebesar 2U di puncak dan di dasar dari (lingkaran) permukaan silinder, yang diilustrasikan pada gambar 21. Tidak hanya itu, apabila kita memasukkan nilai r = a dan θ = 0 atau θ = π pada persamaan 3.18 dan 3.19 yang terjadi adalah kedua komponen kecepatan adalah 0, yang berarti kecepatan aliran pada titik tadi adalah 0. Dan jua berarti pada kondisi tersebut adalah merupakan titik-titik stagnasi pada permukaan silinder, yang sesuai dengan pembahasan sebelumnya. Gambar 21.
Sumber gambar: Fundamental of Fluid Mechanics, 6th Edition, Munson.
35 Persamaan 3.18 dan 3.19 akan sangat bermanfaat apabila kita ingin mengetahui tekanantekanan yang terjadi pada sembarang titik. Apabila kita mengetahui kecepatan pada dua titik yang berbeda, dan posisi titik-titik tadi, maka dengan menggunakan persamaan Bernoulli untuk aliran yang steady, incompressible, inviscid, dan irrotational (persamaan 3.9). Misalkan kita mengetahui tekanan pada titik yang jauh dari lingkaran atau permukaan silinder, yang kita notasikan sebagai p0. Apabila kecepatan aliran uniform adalah U yang konstan, maka kita bisa mengetahui tekanan-tekanan yang terjadi di sembarang titik pada lingkaran atau permukaan silinder (ps) dengan persamaan Bernoulli (persamaan 3.9) menjadi,
Dan karena kecepatan radial (vr) di sembarang titik pada lingkaran atau permukaan silinder adalah 0, dan seperti yang sudah dibahas sebelumnya bahwa, kecepatan tangensialnya (vθ) adalah
Sehingga kecepatan (Vs) pada sembarang titik di lingkaran atau permukaan silinder adalah,
Lalu substitusikan hubungan di atas pada persamaan Bernoulli sebelumnya, menjadi,
(
)
(
(
(
) ) )
(
)
(
)
(
)
Dan dihasilkanlah sebuah persamaan untuk mengetahu tekanan di sembarang titik pada lingkaran atau permukaan silinder apabila diketahui tekanan pada titik yang jauh (p0), (
)
(
)
Namun perhatikan, perbedaan ketinggian kita abaikan, (mengingat bahwa permukaan silinder atau lingkaran yang digambarkan adalah merupakan potongan horizontal dari silinder sesunguhnya, atau bisa dikatakan bahwa aliran yang terjadi merupakan aliran pada bidang datar, sehingga ketinggiannya sama), maka persamaan di atas menjadi,
36 (
)
Persamaan 3.20 ini dapat menyatakan suatu hal yang menarik. Misalkan kita punya 2 titik yang posisinya saling berseberangan pada lingkaran atau permukaan silinder, dalam artian bahwa sudutnya berbeda 180 derajat satu sama lain. Sebagai contoh, salah satu titik bersudut 90 derajat, dan titik yang lainnya bersudut 270 derajat, karena nilai sinusnya yang nilainya sama tapi berbeda tanda, jika dikuadratkan akan menghasilkan nilai dan tanda yang sama, sehingga tekanan di titik-titik bersebarangan tadi sesuai persamaan 3.20 adalah sama. Atau dapat dikatakan distribusi tekanan-tekanan pada permukaan silinder atau lingkaran adalah simetris.
4. GAYA DRAG DAN GAYA LIFT PADA BENDA DI SEKITAR ALIRAN FLUIDA 4.1.PENDAHULUAN Suatu benda apapun yang berada dalam aliran fluida, akan mengalami suatu gaya-gaya akibat reaksi antara benda tadi dengan fluida di sekitarnya. Misalkan ada angin yang berhembus secara uniform dengan kecepatan U yang konstan dari suatu titik, dan pada titik yang jauh dari titik di mana angin mulai berhembus ada sebuah pohon yang diam. Maka pohon tadi ketika berinteraksi dengan hembusan angina akan mengalami suatu gaya-gaya yang menyebabkan pohon tadi mengalami guncangan-guncangan. Jadi sudah barang pasti bahwa ada gaya-gaya yang terjadi akibat interaksi antara benda dengan fluida. Sebagai keterangan untuk bahasan berikutnya, dalam contoh hembusan angin dan pohon yang sudah dijelaskan sebelumnya, kecepatan fluida pada titik yang jauh dari benda atau kecepatan hembusan angin dalam contoh, untuk selanjutnya disebut sebagai upstream velocity atau kecepatan hulu. Dan dalam analisis selanjutnya, kita tentukan bahwa pusat dari koordinat dalam analsisis adalah pada benda yang diam tadi. 4.2. KONSEP GAYA DRAG (HAMBATAN) DAN GAYA LIFT (ANGKAT) Seperti yang sudah dijelaskan dalam pendahuluan bahwa, pada benda apapun yang berada dalam suatu aliran fluida, akan terjadi interaksi antara permukaan benda dengan fluida. Interaksi-interaksi ini berupa gaya-gaya yang diakibatkan karena tekanan aliran fluida (sama seperti konsep saat menganalisis kombinasi dari aliran-aliran potensial sebelumnya). Gaya-gaya yang terjadi pada permukaan benda, secara keseluruhan disebabkan oleh 2 macam tekanan, yaitu (1) tekanan yang disebabkan oleh tekanan p, yang disebut dengan tekanan normal, dan (2) tekanan yang disebabkan oleh gaya geser atau gaya viskositas pada permukaan benda, yang disebut dengan tekanan geser (τw). Yang masing-masing dikalikan dengan luasan permukaan benda, akan menghasilkan gaya-gaya yang terjadi pada permukaan tadi.
37
Gambar 21.
Gambar 22.
Misalkan benda berbentuk sayap pesawat kita letakkan pada suatu aliran udara uniform dengan kecepatan U, maka distribusi tekanan normal p yang terjadi adalah seperti pada gambar 21. Dan distribusi tekanan gesernya (τw) adalah seperti pada gambar 22.
Dalam kenyataannya, untuk mendapatkan informasi tentang distribusi tekanan di sekitar benda begitu susah, sehingga dalam analisisnya, cukup dengan menggunakan resultan dari gaya-gaya yang terjadi pada sumbu-sumbu utama koordinat. Namun akan sangat berguna apabila kita mendapatkan informasi tentang distribusi tekanan di sekitar benda tadi. Resultan-resultan dari gaya-gaya akibat tekanan normal dan tegangan geser tadi, kita uraikan ke dalam komponen-komponen gaya pada sumbu-sumbu utama koordinat. Dan kita meninjau benda tadi dalam 2 sumbu utama, yaitu x dan y. Dengan arah x adalah searah dengan kecepatan aliran uniform U, dan arah y adalah tegak lurus dengan arah kecepatan aliran uniform U. Perhatikan gambar 23.
Gambar 23.
Gambar 23 adalah gambar dari situasi tekanan pada suatu elemen luasan dA pada permukaan benda. Elemen luasan dA tadi membentuk sudut tertentu sebesar θ dari sumbu x. Dan apabila kita mengalikan tekanan normal p dan tekanan geser (τw) tadi dengan elemen luasan dA pada permukaan benda, maka kita akan mendapatkan gaya elementer, yang dapat diuraikan menjadi komponen-komponen gaya elementer pada sumbu x dan y.
38 Maka dari gambar 23, komponen gaya elementer pada sumbu x adalah, ( (
(
)
)
)
Dan komponen gaya elementer pada sumbu y adalah, ( (
(
)
)
)
Sehingga apabila kita mengintegralkan persamaan 3.21 mendapatkan resultan gaya pada sumbu x, ∫(
)
∫(
)
Dan dengan mengintegralkan persamaan 3.22 mendapatkan resultan gaya pada sumbu y, ∫(
)
∫(
)
Untuk selanjutnya, persamaan 3.23 menyatakan resultan gaya yang arahnya searah sumbu x atau searah dengan arah aliran uniform yang disebut sebagai Drag (FD) atau Gaya Tahan. Sementara persamaan 3.24 menyatakan resultan gaya yang searah sumbu y atau tegak lurus dengan arah aliran uniform yang disebut sebagi Lift (FL) atau Gaya Angkat. Seperti yang diilustrasikan pada gambar 24 di bawah ini. Gambar 24.
FL FD
Dari integral yang kita dapatkan dari persamaan 3.23 dan 3.24 tentu kita perlu untuk mengetahui bentuk dari benda tadi, misalkan θ sebagai posisi dari luasan elemen dA. Pada luasan elemen dA yang bersudut θ yang tidak nol atau 90 derajat terhadap sumbu x, tegangan geser dan tegangan normal tadi sama-sama akan memberikan konstribusi terhadap Drag dan Lift. Namun tidak selalu tegangan normal dan tegangan geser sama-sama berkontribusi pada Drag dan Lift, seperti pelat tipis datar yang sejajar dengan arah aliran uniform sehingga luasan permukaan akan membentuk sudut 90 derajat untuk permukaan atas, dan sudut 270 derajat untuk permukaan bawah. Kasus khusus ini akan dibahas di bawah ini.
39 (a) Untuk pelat sangat tipis (ketebalan dianggap nol) datar yang sejajar dengan arah aliran uniform yang bergerak dari ke kanan sepanjang sumbu x, seperti dalam gambar 25.a dan 25.b. di bawah ini,
Gambar 25.a. Distribusi sederhaan dari tekanan –tekanan di pelat titpis datar yang sejajar dengan arah aliran uniform
Gambar 25.b. Sudut elemen luas dA terhadap sumbu aliran uniform (gambar divisualisasikan secara berlebihan)
Karena sudut permukaan adalah 90 derajat untuk permukaan atas, dan sudut permukaan bawah adalah 270 derajat, sehingga persamaan 3.23 untuk Drag pada permukaan atas menjadi, ∫
(
∫(
)
∫(
)
(
)
)
Dan persamaan 3.23 untuk Drag pada permukaan bawah dengan sudut 270 derajat menjadi, ∫ ∫(
(
)
∫(
)
(
)
)
Maka Drag total pada pelat datar tipis yang diletakkan sejajar dengan aliran uniform,
∫(
)
)
∫(
∫(
)
Dan Lift nya dapat kita tentukan dengan persamaan 3.24 untuk permukaan atas dengan sudut 90 derajat, ∫ ∫
(
)
∫(
)
(
)
40 Dan persamaan 3.24 untuk Lift pada permukaan bawah dengan sudut 270 derajat, ∫
(
)
∫(
)
(
)
∫ Sehingga Lift total pada pelat datar tipis yang diletakkan sejajar dengan aliran uniform,
∫
∫
Perhatikan nilai Drag (persamaan 3.25) untuk pelat tipis datar yang diletakkan dengan aliran uniform tidak nol, yang disebabkan seluruhnya dari tekanan sementara tekanan normal tidak berkontribusi dalam kejadian Drag. Benda yang ini disebut sebagai benda yang streamlined karena permukaan-permukaaan mengikuti streamline atau garis arus yang terjadi di sekitar aliran.
sejajar geser, seperti benda
Perhatikan juga nilai Lift yang nol (persamaan 3.26) untuk pelat tipis datar yang diletakkan sejajar dngan aliran uniform, yang hanya disebabkan seluruhnya dari tekanan normal yang gaya-gaya Lift pada permukaan atas dan bawah saling menghilangkan satu sama lain, sementara tekanan geser tidak berkontribusi apapun.
(b) Untuk pelat sangat tipis (ketebalan dianggap nol) datar yang tegak lurus dengan arah aliran uniform yang bergerak dari kiri ke kanan (sepanjang sumbu x), seperti dalam gambar 26.a. di bawah ini,
Gambar 26.a Distribusi sederhana dari tekanan – tekanan di pelat tipis datar yang tegak lurus dengan arah aliran uniform
Gambar 26.b. Sudut elemen luas dA terhadap sumbu aliran uniform
41 Perhatikan gambar 26.b. Sudut elemen luasan permukaan dA adalah 0 derajat untuk permukaan kiri (permukaan yang berhadapan langsung dengan arah aliran) dan 180 derajat untuk permukaan kanan (permukaan yang membelakangi arah aliran). Dan dalam aliran dengan benda yang seperti ini, tentu akan terjadi perbedaan tekanan antara bagian kiri dan bagian kanan, di mana tekanan permukaan bagian kiri yang lebih besar dari tekanan permukaan pada bagian kanan.(pkiri > pkanan). Sehingga persamaan 3.23 untuk Drag pada permukaan kiri menjadi, ∫
( )
∫(
)
( )
∫ Dan persamaan 3.23 untuk Drag pada permukaan kanan dengan sudut 180 derajat menjadi, ∫
(
)
∫(
)
(
)
∫ Maka Drag total pada pelat datar tipis yang d iletakkan tegak lurus dengan aliran uniform,
∫
∫
Dan Lift nya dapat kita tentukan dengan persamaan 3.24 untuk permukaan kiri dengan sudut 0 derajat, ∫ ∫(
( )
∫(
)
( )
)
Dan persamaan 3.24 untuk Lift pada permukaan kanan dengan sudut 180 derajat, ∫ ∫(
( )
)
∫(
)
(
)
42 Sehingga Lift total pada pelat datar tipis yang diletakkan tegak lurus dengan aliran uniform,
∫(
)
∫(
)
Perhatikan nilai Lift adalah nol (persamaan 3.28) untuk pelat tipis datar yang diletakkan tegak lurus dengan aliran uniform hanya disebabkan seluruhnya oleh tekanan geser yang gaya-gaya Lift nya saling menghilangkan satu sama lain, dan tekanan normal tidak berkontribusi apapun. Perhatikan pula nilai Drag tidak nol (persamaan 3.27) untuk pelat tipis yang diletakkan tegak lurus dengan aliran uniform. Drag ini hanya disebabkan tekanan normal saja, dan tekanan geser nya tidak berkontribusi apapun. Jadi dari kasus (a) dan (b) dapat disimpulkan bahwa, pada permukaan-permukaan dengan sudut-sudut tertentu, tekanan normal dan tekanan geser tidak secara bersama-sama berkontribusi dalam kejadian Drag dan Lift. Pada kasus (a) yang bendanya dapat dikatakan streamlined, memiliki bentuk yang sedemikian rupa, sehingga fluida dapat mengalir di sekitarnya dengan mulus, dengan hambatan atau Drag yang tidak terlalu penting. Sementara pada kasus (b) yang bendanya dapat dikatakan tumpul (karena benda tidak mengikuti bentuk aliran/streamline dari fluida), yang karena “ketumpulannya” menghalangi fluida untuk mengalir di sekitarnya dengan mulus. Sehingga nilai Drag akan begitu penting. Kedua kasus ini mengartikan bahwa, hambatan atau Drag itu dipengaruhi oleh karakteristik dari benda yang berada pada suatu aliran. Hal inilah yang menyebabkan dalam perancangan sebuah kapal, haluannya dibentuk se-streamline mungkin, agar hambatan atau Drag yang terjadi juga minimum, sehingga kapal dapat bergerak dengan mulus. Untuk menentukan Drag dan Lift dengan menggunakan persamaan 3.23 dan 3.24, kita memerlukan informasi tentang distribusi dari tekanan normal p dan tekanan geser (τw) di sekitar permukaan benda. Namun untuk mendapatkan informasi tersebut begitu susah. Sehingga dalam aplikasinya di dunia keteknikan, diperlukan suatu pendekatanpendekatan mudah, yang diekspresikan dalam suatu koefisien tak berdimensi yang disebut dengan Drag Coefficient (Koefisien Hambatan) dan Lift Coefficient (Koefisien Angkat). Kedua koefisien di atas didapatkan dari eksperimen-eksperimen yang dilakukan di laboratorium dengan pendekatan-pendekatan baik analasis maupun numerik. Dan akan dijelaskan pada bagian selanjutnya.
