UNIVERSIDAD NACIONAL
“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”
FACULTAD DE INGIENERÍA CIVIL ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
Informe de Laboratorio Nº 01 MÓDULO DE RIGIDEZ DE UN MATERIAL
Curso
:
Física II.
Docente
:
Msc. VÁSQUEZ
Alumno
:
PACCINI SÁNCHEZ, Jean Carlos.
GARCÍA, Optaciano.
Huaraz, de Mayo del 2012.
Módulo de Rigidez de un Material.
INTRODUCCIÓN
En esta primera práctica de laboratorio titulada “modulo de rigidez de un material”, se va determinar en forma experimental la constante elástica y el
módulo de rigidez de un resorte helicoidal.
Cuando un cuerpo en nuestro caso un resorte, es sometido a fuerzas externas o fuerzas axiales, sufren esfuerzos de comprensión o de tención que provoca su deformación (deformación bastante pequeña), donde la deformación es proporcional al esfuerzo; esta relación se conoce como Ley de Hooke, en nuestro experimento haremos que se cumpla esta ley, trabajando en el rango elástico donde los materiales retornan a su forma original cuando les suspenden las cargas aplicadas. Y no nos pasaremos de este rango pues al pasarnos el cuerpo sufrirá una pequeña deformación, saliendo del rango elástico y no regresara a su estado original. Y a la relación entre el esfuerzo y la deformación se le denominada Módulo De Rigidez, y en esta práctica nos dedicaremos a enseñarles el cálculo y a calcularlo mediante el método dinámico, esperemos que se pueda entender las explicaciones; sin más que decir pasaremos al desarrollo de esta práctica.
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Módulo de Rigidez de un Material.
I. OBJETIVOS a.- Determinar la constante elástica de un resorte por el método dinámico. b.- Calcular el módulo de rigidez del hilo de un resorte helicoidal.
II. MATERIAL A UTILIZAR -
Un resorte helicoidal. Un soporte universal con dos varillas de hierro y una nuez. Una regla graduada en milímetros. Un vernier cuya sensibilidad es de 0.05 mm. Un micrómetro cuya sensibilidad es de 0.01 mm. Pesas ranuradas y portapesas. Una balanza. Un cronómetro. Un nivel de burbujas.
III. MARCO TEORICO Y CONCEPTUAL
3.1 Vibraciones libres de partículas: Un método para calcular la constante elástica ( k ) de un resorte es el método dinámico el que comprende un movimiento armónico simple. Para mostrar esto, consideremos un cuerpo de masa m suspendido de un resorte tal como se muestra en la Fig.1.
Fig.1 Instalación del equipo para hallar la constante elástica k de un resorte.
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Módulo de Rigidez de un Material.
- Si se desplaza al cuerpo una distancia ym a partir de la posición de equilibrio estático y luego se suelta sin velocidad inicial, el cuerpo se moverá hacia arriba y hacia abajo realizando un M.A.S. de amplitud ym . - Para determinar el periodo de oscilación del cuerpo m, se aplica la segunda ley de newton en una posición arbitraria y esto es:
↓Σy=. .st = y
...(1)
Por otro lado cuando el cuerpo está en la posición de equilibrio estático, la segunda ley de newton, se escribe:
Σy=0 .. st = 0 .=.st
…(2)
Reemplazando la ec. (2) en (1), resulta:
Haciendo
=
= 0…(3) , la ecuación (3), puede escribirse en la forma siguiente:
= 0 ...(4)
La ecuación (4) constituye la ecuación diferencial que describe el movimiento armónico simple y su solución tiene la forma:
=
Donde:
, es la amplitud del M.A.S.
, es la frecuencia angular.
, el angulo de desfasaje.
El periodo de oscilación de la partícula es:
=2√
…(6)
...(5)
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Módulo de Rigidez de un Material.
Si se considera la masa efectiva del resorte (m rf), la ecuación se escribe de la forma:
=2√ +mrf
…(7)
Si se taza una grafica: T 2 vs m la existencia (mrf), es el motivo por el cual la curva no pasa por el origen. La ec. (7) establece un medio como hallar el valor de la constante elástica de un resorte por el medio dinámico.
3.2 Ley de Hooke: Esta ley establece que si se aplica una carga axial a un aun cuerpo, el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación unitaria, siendo la constante de proporcionalidad el “MODULO ELASTICO” o “DE RIGIDES”, siempre y cuando no se sobrepase el límite de proporcionalidad, esto es:
=
Donde: es el esfuerzo normal, E deformación unitaria.
…(8)
es el modulo de elasticidad y
es la
Si la carga aplicada al cuerpo es tangencial, esta producirá deformaciones angulares, en estas condiciones la ley de Hook establece:
=
...(9)
Donde: es el esfuerzo cortante, G es el modulo de rigidez y la deformación unitaria por cizalla.
3.3
Torsión:
Llámese torsión a la deformación que experimenta un barra fija por uno de sus extremos y el otro sometido a un par de fuerzas (M = F.d), aplicado a un plano perpendicular al eje. Como se muestra en la Fig. 2. La aplicación de la carga de torsión produce en la barra: -
Un desplazamiento angular de la sección en un extremo respecto del otro. Origina esfuerzos cortantes en cualquier sección de la barra.
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Módulo de Rigidez de un Material.
Fig.2. cilindro sometido a un momento externo
Para deducir la ecuación de torsión deben establecer las siguientes hipótesis.
Hipótesis I: Las secciones del árbol perpendiculares al eje longitudinal se conservan como superficies planas después de la torsión del árbol.
Hipótesis II: Todos los diámetros de la sección transversal se conservan como líneas rectas diametrales después de la torsión del árbol.
3.4 Momento Torsor (M t) En la Fig 3. Se observa una barra sometido a un momento torsor M ex aplicado a un extremo de la barra. Una generatriz cualquiera, tal como AB en la superficie del cilindro, inicialmente paralela al eje y recta, se tuerce formando una hélice AC al tiempo que la sección en B gira un ángulo , con respecto a la sección en A.
Fig.3. momento torsor aplicada a un árbol
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Módulo de Rigidez de un Material.
El momento torsor viene expresado por la relación: M t
G
L
I p
…(10)
Donde: I p, es el momento de inercia polar de la sección transversal circular con respecto a un eje que pasa por su centro, es el ángulo de giro, L la longitud de la barra y G el módulo de rigidez.
3.5 Resortes Helicoidales: La fig.4a, representa un resorte helicoidal de espiras cerradas estiradas bajo la acción de una fuerza axial P .el resorte está formado por un alambre de radio r, enrollada en forma de hélice de radio R, la pendiente de esta hélice es pequeña de tal manera que podemos considerar con bastante aproximación que cada espira está situada en un plano perpendicular al eje del resorte.
Para determinar los esfuerzos producidos por la fuerza P, se hace un corte al resorte por una posición m-m, y se determina las fuerzas resistentes necesarias para el equilibrio de una de las porciones separadas por esta sección. Después de analizar la distribución de esfuerzos. La fig. 4b muestra el diagrama de cuerpo libre de la parte superior del resorte, para que el resorte este en equilibrio, en la sección m-m, deberá actuar una fuerza de corte Pr y un momento M T=PR. El esfuerzo con cortante máximo se produce en la parte interna del resorte y viene expresado por:
= = = 1 …(11)
En los resortes en los que el valor de r es bastante pequeño comparado con el valor R, la razón r / 2R = 0, Entonces:
=
…(12)
7
Módulo de Rigidez de un Material.
Fig.4 a. Resorte helicoidal sometido a carga axial
3.6 Elongación de un Resorte: La elongación del resorte de espiras cerradas según su eje puede determinarse con suficiente precisión, empleando la teoría de la torsión. La fig.6, representa un elemento infinitamente pequeño del alambre del resorte aislado como un “cuerpo libre” de longitud “dL”.
=
…(13)
Donde R es el radio del resorte, representado por OS en la figura y es el ángulo central en S de dL.
Fig.4 b .D.C.L. de la sección m-m
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Módulo de Rigidez de un Material.
Bajo la acción del momento de torsión, M v, el radio Oa de la sección transversal del alambré girara hasta ocupar Ob. El punto de la aplicación de la fuerza O (punto C) descenderá verticalmente la distancia Ce. Fig.6. deformación de un resorte helicoidal
=
…(14)
Como el angulo es pequeña el arco cd puede considerarse como una recta perpendicular a OC, con lo que la ec. (14) se escribe.
= De la grafica se observa que: se escribe:
…(15)
≅. = = y
, con lo que la ec. (15)
= ==.
…(16)
Donde
es el ángulo de torsión correspondiente al elemento dL.
Teniendo en cuenta la ec. (10), esté ángulo en función del momento torsor se escribe:
= Reemplazando la ec. (17) en (16), resulta:
=( ) = = …(18)
=
La distancia vertical , es la aporta del elemento de longitud dL al desplazamiento vertical, la elongación total se obtiene integrando la ec. (18).
= ∫ = ∫…(19)
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Módulo de Rigidez de un Material.
=
…(20)
Teniendo en cuenta que la longitud total del alambre es:
=2
…(21)
Donde N es el número de espiras del resorte, la ec. (20), puede escribirse:
= 2 = …(22)
Si el alambre es de sección circular de radio r, el momento polar de inercia es
, entonces la elongación se escribe:
=
= =
=
...(23)
La ecuación 23 nos permite determinar experimentalmente el modulo de rigidez de un resorte siempre que se conozca: N = numero de espiras, K=constante del resorte, R=radio del resorte y r=radio del alambre.
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Módulo de Rigidez de un Material.
IV.METODOLOGÍA
4.1) Para determinar la constante elástica del resorte: a. Armamos el equipo tal como se muestra en la figura 1, suspendiendo el resorte del soporte horizontal. b. Medimos la longitud (L 0) del resorte sin deformar. c. Colocamos el peso P 1 en el extremo libre del resorte y se llevo lentamente hasta la posición de equilibrio estático. d. Llevamos el sistema resorte-pesa de la posición de equilibrio h 1 a la posición h2 produciendo así un estiramiento h entre 2 a 3 cm.
e. Soltamos y dejamos oscilar el sistema. f.
Después medimos con el cronómetro la duración de unas 10 oscilaciones. Y anotamos los datos en la tabla I.
g. Proseguimos calculando el período de oscilación. h. Repetimos todos los pasos de “a” hasta “g” para las demás pesas y anotamos los valores en la tabla I.
Tabla I. Datos y cálculos para hallar K Nº
Masa (gr.)
Tiempo (s) 1
2
3
4
5
Tiempo
Periodo ( T )
T 2
Promedio ( t )
(s)
(s2 )
1
70
5.89
5.95
5.97
5.93
5.94
5.936
0.5936
0.3523
2
80
6.34
6.34
6.31
6.38
6.40
6.354
0.6354
0.4037
3
90
6.79
6.75
6.81
6.78
6.80
6.786
0.6786
0.4604
4
100
7.17
7.20
7.15
7.18
7.19
7.178
0.7178
0.5152
5
110
7.33
7.31
7.36
7.35
7.38
7.346
0.7346
0.5396
6
120
7.65
7.69
7.67
7.70
7.63
7.668
0.7678
0.5895
7
130
7.91
7.95
8.00
7.95
7.94
7.950
0.7950
0.6320
8
140
8.37
8.32
8.40
8.35
8.38
8.364
0.8364
0.6995
9
150
8.82
8.83
8.81
8.78
8.80
8.808
0.8808
0.7758
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Módulo de Rigidez de un Material.
12
4.2) Para calcular el Módulo de Rigidez del Resorte: a. Con el Vernier y/o cronómetro medimos 12 veces el diámetro del resorte.se anotaron los valores en la tabla II. b. Con el Vernier y/o cronómetro medimos 12 veces el diámetro del hilo del resorte en diferentes posiciones. Se anotaron los valores en la tabla II. c. Se contaron el número de espiras que posee el resorte. Se anotaron los valores en la tabla II.
Tabla II. Datos y cálculos para hallar G D(cm)
1.72
1.74
1.73
1.75
1.74
1.73
1.75
1.74
1.73
1.72
1.75
1.74
d(mm)
0.86
0.83
0.84
0.85
0.86
0.84
0.83
0.85
0.83
0.84
0.85
0.86
N
80
80
80
80
80
80
80
80
80
80
80
80
V. CUESTIONARIO
5.1 Con los datos de la tabla I y la ecuación (7), trazar una grafica colocando los
cuadrados de los periodos de oscilación ( ) en el eje de las ordenadas y la masa (mi) en el eje de las abscisas, y a partir de ella determinar el valor de la constante elástica del resorte (k), así como la masa efectiva del mismo. a) Para el trazado de la gráfica T 2 vs mí : Nº
Masa (gr.)
Tiempo (s) 1
2
3
4
5
Tiempo
Periodo ( T )
T 2
Promedio ( t )
(s)
(s2 )
1
70
5.89
5.95
5.97
5.93
5.94
5.936
0.5936
0.3523
2
80
6.34
6.34
6.31
6.38
6.40
6.354
0.6354
0.4037
3
90
6.79
6.75
6.81
6.78
6.80
6.786
0.6786
0.4604
4
100
7.17
7.20
7.15
7.18
7.19
7.178
0.7178
0.5152
5
110
7.33
7.31
7.36
7.35
7.38
7.346
0.7346
0.5396
6
120
7.65
7.69
7.67
7.70
7.63
7.668
0.7678
0.5895
7
130
7.91
7.95
8.00
7.95
7.94
7.950
0.7950
0.6320
8
140
8.37
8.32
8.40
8.35
8.38
8.364
0.8364
0.6995
9
150
8.82
8.83
8.81
8.78
8.80
8.808
0.8808
0.7758
Módulo de Rigidez de un Material.
Para realizar la grafica llevamos los datos de masa y T 2 una hoja de Excel para obtener la recta y la ecuación de dicha recta, y obtuve lo siguiente:
GRÁFICA DE MASA – T2
0.9 0.8
y = 0.005x R² = 0.9899
0.7 0.6 ) 2 s ( 2 T
0.5 Series1
0.4
Linear (Series1) 0.3 0.2 0.1 0 0
20
40
60
80
100
120
140
160
Masa (gr)
Se tiene como ecuación de la recta
=0.005
Utilizando los datos finales con ajustes de curvas: n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X :Masa (gr.)
70
80
90
100
110
120
130
140
150
Y: T 2 (s2 )
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
b) Para determinar la constante elástica del resorte (K):
Hacemos uso de la siguiente fórmula 6:
=2√
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Módulo de Rigidez de un Material.
Luego según el grafico tenemos la ecuación de como varia T 2 en función de como aumenta la masa:
=0.005 De esto:
= 0 ; = 0.005 Expresando la ecuación en forma de T 2 y de M
= 0.005 Reemplazando en la ecuación 6:
= 4. 0.005==4 . Finalmente simplificando las masas obtenemos que:
4 =
43.1416 4 1 =7.8956 =>= = 0.005⁄ =7895.683 1000
=. Luego calculamos la variación de B:
. ⁄ ∑ = 2∑ ∑ ⁄ 0. 1 59 = [79114900980100] =0.00189 Entonces:
∆= ±.
14
Módulo de Rigidez de un Material.
15
Por lo tanto la variación de K seria:
∆= ±. El error:
15 =1.8910− = ∆ = 7.0.80956
% = . %
c) Para determinar la masa efectiva del resorte:
Aplicamos la ecuación 6, del mismo modo que el anterior despejamos y obtenemos:
4 =
= . En este caso en la grafica obtenida en Excel obtuve una línea que pasaba por el origen.
5.2 Con los datos de la Tabla II y el valor de K obtenido hallar el módulo de rigidez del resorte (G) utilizando la ecuación (23), con su respectivo error absoluto y porcentual. D(cm)
1.72
1.74
1.73
1.75
1.74
1.73
1.75
1.74
1.73
1.72
1.75
1.74
d(mm)
0.86
0.83
0.84
0.85
0.86
0.84
0.83
0.85
0.83
0.84
0.85
0.86
N
80
80
80
80
80
80
80
80
80
80
80
80
Para hallar el módulo de rigidez del resorte (G):
Usamos la ec. (23):
4 = Donde: R: radio del diámetro del resorte. r: radio del diámetro del hilo del resorte.
Módulo de Rigidez de un Material.
N: número de espiras que posee el resorte.
Hallamos el promedio de ambos diámetros:
= ∑ = 20.1284 = 1.7366 , = 8.6830 = ∑ = 10.1214 = 0.845 , = 0.4225 =7.8956 Reemplazando valores:
8.6830 1000 4807. 8 956 = . =51.910 0.4225 1
= . Luego hallamos la variación del módulo de rigidez ( G) para datos mayores de 10; está dada por:
∆ = | | ∆ || ∆ | | ∆ 12 16 4 ∆ = ∆ ∆ ∆ Donde:
∆ = 2 = 0.075 − ∆ = =7. 5 10 2 ∆=0.015 = 80 Con estos datos:
∆ =∆ ∆ ∆
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Módulo de Rigidez de un Material.
4808. 6 830 1000 ∆1 = ) = 0.098 . 0.015⁄ .(
0.4225 1 12807. 8 9568. 6 830 ∆2 = 0.4245 0.075. 1000 1 = 1.31 16807. 8 9568. 6 830 1000 − ∆3 = 7. 5 10 . 0.4225 1 =1.55
∆ = . .
La magnitud física G, finalmente debe ser escrita de la siguiente forma:
El error relativo será:
=± = =0.0345
= ∆=. % =. % 5.3 ¿Qué importancia tiene el determinar el módulo de rigidez de algunos materiales? - Por que es la constante elástica que caracteriza el cambio de la forma que experimenta un material elástico cuando a este se le aplica esfuerzos cortantes. Es de mucha importancia en nuestra carrera pues es muy aplicada en las estructuras de las edificaciones, en las columnas y vigas que están sometidas a muchos esfuerzos y determinar su módulo de rigidez de estos es de vital importancia.
5.4 ¿Cuáles son las posibles fuentes de error en la experiencia? - Una de las fuentes de error que pudimos cometer fue el de no lograr con la varilla de hierro un nivel horizontal exacto. - Otra de los errores es de no medir adecuadamente el tiempo de las oscilaciones, y de al momento de estirarlo por abajo, no calcular bien el tiempo con el cronometro. - Y tal ves de no haber obtenido una oscilación netamente vertical.
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Módulo de Rigidez de un Material.
VI. RECOMENDACIONES 6.1 Cuidar que el estiramiento no sobrepase el límite elástico del resorte. 6.2 Conviene computar el tiempo a partir de una posición que no sea un extremo de la trayectoria de la masa ´´m``.
VII. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS a. GOLDEMBERG, J.
“Física General y experimental”, vol. I y II Edit. Interamericana S.A. – México 1972.
b. SINGER, F.
“Resistencia de materiales”, Edit. Harla S.A. México 1999.
c. BEER – JONSTHON
“Mecánica de materiales”. Edit. Mc Graw Hill. Colombia 1993.
d. TIPLER, P:
“ Física” Vol. I Edit. Reverte. – España 1993.
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