MODULO DE RIGIDEZ DE UN MATERIAL. I. Objetivos: ∋ ∋
Determinar experimentalmente la constante elástica de un resorte por el método dinámico. Calcular el módulo de rigidez del hilo de un resorte helicoidal.
II. Materiales a utilizar: ∋ ∋ ∋ ∋ ∋ ∋ ∋
Un resorte helicoidal.
∋ ∋
Un cronómetro.
Un soporte universal con dos varillas de hierro y una nuez. Una regla graduada en milímetros. Un vernier cuya sensibilidad es 0.05 mm. Un micrómetro cuya sensibilidad es 0.01 mm. Pesas ranuradas y portapesas. Una balanza.
Un nivel de burbujas.
III. Marco teórico y conceptual: 3.1. Vibraciones Libres Libres de Partículas:
Un método para calcular la constante elástica (K) de un resorte es el método dinámico el que comprende a un movimiento armónico simple. Para mostrar esto, consideremos un cuerpo de masa m suspendido suspendido de un resorte tal como se muestra muestra en la fig.
Si se desplaza al cuerpo una distancia ym a partir de la posición de equilibrio estático y luego se le suelta sin velocidad inicial, el cuerpo se moverá hacia arriba y hacia abajo realizando un M. A. S. De amplitud ym.
Para determinar el periodo de oscilación del cuerpo m, se aplica la segunda ley de Newton en una posición arbitraria y, esto es:
↓ ∑ F y = ma y ...(1)
mg − k ( g + δ st ) = W
d 2 y dt 2
Por otro lado cuando el cuerpo está en la posición de equilibrio estático, la segunda ley de Newton, se escribe:
∑ Fy = 0 mg − k δ st
=0
...(2)
Reemplazando la ec. (2) en (1), resulta:
d 2 y dt 2
+
k m
y
=0
...(3)
Haciendo wo2 = k/m, la ecuación (3), puede escribirse en la forma siguiente:
d 2 y 2
dt
+ w0 2 = 0
.... (4)
La ecuación (4) constituye la ecuación diferencial que describe el movimiento armónico simple y su solución tiene la forma:
y
= y m sen( w0 t + φ )
...(5)
Donde: ym es la amplitud del M. A. S.; wo es la frecuencia angular y ι el ángulo de desfasaje. El periodo de oscilación de partículas es:
T = 2π m / k
...(6)
Si se considera la masa efectiva del resorte (mrf ), la ecuación se escribe de la forma:
T = 2π
(m + mrf )
...(7)
k
Si se traza una gráfica T2 vs. M, la existencia de mrf es el motivo por el cual la curva no pasa por el origen. La ec. (7) establece un medio cómo hallar el valor de la constante elástica de un resorte por el método dinámico.
3.2. Ley de Hooke:
Consideremos un resorte helicoidal, fijo en uno de sus extremos y el otro libre, al aplicar al extremo libre una fuerza exterior como por ejemplo colocando una pesa m1, el resorte experimentará una deformación x. Se encuentra que la fuerza aplicada es directamente proporcional al desplazamiento o al cambio de longitud del resorte. Esto se expresa como:
F = k x = k(x-x0)
Donde k es una constante de proporcionalidad comúnmente llamada “constante elástica o de fuerza”. Mientras mayor sea k, más rígido o fuerte será el resorte.
3.3. Torsión:
Llámese así a la deformación que experimenta una barra fija por uno de sus extremos y el otro sometido a un par de fuerzas (M = F.d), aplicado a un plano perpendicular al eje. La aplicación de la carga de torsión produce en la barra:
∋ ∋
Un desplazamiento angular de la sección en un extremo respecto del otro. Origina esfuerzos cortantes en cualquier sección de la barra.
3.4. Momento Torsor:
En la figura siguiente se observa una barra sometida a un momento torsor aplicado a un extremo de la barra. Una generatriz cualquiera, tal como AB en la superficie del cilindro, inicialmente paralela al eje y recta, se tuerce formando una hélice AC al tiempo que la sección en B gira un ángulo θ, con respecto a la sección en A.
Fig. Momento torsor aplicado a un árbol.
El momento torsor viene expresado por la relación:
M t =
Gθ L
...(10)
I p
Donde: I p, es el momento de inercia polar de la sección transversal circular con respecto a un eje que pasa por su centro,
θ es
el ángulo de giro, L la longitud de la barra y G el módulo de rigidez.
IV. Metodología: I.- Para determinar la constante elástica del resorte:
a.
Armar el equipo tal como se muestra en la figura 1. de la guía de laboratorio, suspendiendo el resorte del soporte horizontal.
b.
Medir la longitud (L0) del resorte sin deformar.
c.
Colocar el peso P1 en el extremo libre del resorte y llevarlo lentamente hasta la posición de equilibrio estático.
d.
Llevar el sistema resorte pesa de la posición de equilibrio h1 a la posición h2 produciendo así un estiramiento ∆h entre 2 a 3 cm.
e.
Soltar y dejar oscilar el sistema.
f.
A continuación medir con el cronómetro la duración de unas 10 oscilaciones. Anotar sus valores en la tabla I.
g.
Calcular el período de oscilación.
h.
Repetir todos los pasos de “a” hasta “g” para las demás pesas y anote sus respectivos valores en la tabla I.
II - Para calcular el módulo de rigidez del resorte.
a.
Con el Vernier y/o cronómetro medir 12 veces el diámetro del resorte. Anotar sus valores en la tabla II
b.
Con el Vernier y/o cronómetro medir 12 veces el diámetro del hilo del resorte en diferentes posiciones. Anotar sus valores en la tabla II
c.
Contar el número de espiras que posee el resorte. Anotar este valor en la tabla II.
V. Cálculos y resultados Tabla I. Datos y cálculos para hallar “k”
No
Masa (g)
Tiempo (s)
Tiempo
Periodo (T)
T2
Promedio
(s)
(s2)
0.2952 0.3566 0.3786 0.4074 0.4414
0.087 0.127 0.143 0.166 0.195
(t) 1 2 3 4 5
25 45 65 85 105
1
2
3
4
5
3.23 3.33 3.81 4.04 4.55
3.22 3.71 3.74 4.24 4.41
2.55 3.81 3.67 3.90 4.36
2.68 3.56 3.89 4.18 4.42
3.04 3.42 3.87 4.01 4.33
2.952 3.566 3.786 4.074 4.414
Tabla II. Datos y cálculos para “G”
D(cm) d(mm) N
1.510 0.90 75
1.520 0.89 79
1.510 0.89 76
1.500 0.91 77
1.500 0.89 78
1.500 0.90 76
1.520 0.89 77
1.490 0.91 79
1.495 0.89 79
1.485 0.91 76
1.500 0.91 75
1.515 0.90 78
Grafico T(cuadrado) V s (T2)en(s 2)
0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 25
45
65
85
105
VI. Cuestionario: 1.
Con los datos de la tabla I y la ecuación (7), trazar una gráfica colocando los cuadrados de los períodos
de oscilación(T2), en el eje de las ordenadas y las masas (m), en el eje de las abscisas, y a partir de ella determinar el valor de la constante elástica del resorte (k), así como la masa efectiva del mismo.
Para el gráfico T vs. mi;
(Masa) en (g)
Ajuste de curva: Se utilizo la siguiente formula:
y
b=
= a + b x
∑ ( xy) − n( x y) ∑ x − n x 2
a
2
= y − b x
Datos Iniciales: N 1 2 3 4 5
N 1 2 3 4 5
x
=
∑ x
i
n
=
i
n
=
325( g ) 5
xy (g s2) 2.175 5.715 9.295 14.11 20.475 51.77
= 65( g )
0.718( s 2 ) 5
T2 (y) (s2) 0.087 0.127 0.143 0.166 0.195
y (s2) 0.087 0.127 0.143 0.166 0.195 0.718
x (g) 25 45 65 85 105 325
∑ y y = b=
Masa (x) (g) 25 45 65 85 105
= 0.1436( s 2 )
∑ ( xy) − n( x y ) ∑ x − n x 2
2
b = [51.77 - 5(65)(0.1436)] / [25125 - 5 (65)2] b = 0.001275 (s2/g)
a
= y − b x
a = 0.1436 - 0.001275 (65) = 0.060725(s2) y = 0.060725 (s2) + 0.001275 (s2/g) x(g)
Datos finales con ajuste de curvas:
N 1
Masa (x) (g) 25
Y2 (s2) 0.093
X2 (g2) 625 2025 4225 7225 11025 25125
2 3 4 5
45 65 85 125
0.118 0.148 0.169 0.195
Para determinar la constante elástica del resorte (k)
a)
Para determinar la constante del resorte: Se tiene que: b = 4Β2/k k = 4(3.1415)2 / (0.0127515 (s2/g)) = 30.963 (N/m) k = 30.96 (N/m) Variación de k () k) Del gráfico hallamos la variación de Φ:
∑ ( y i − y1 ) 2 n σ= − 2 2 n 2 − n x ( x ) − ∑ i ∑ 1 0.000127 5 σ= − 5( 25125) − (325) 2 5−2
1/ 2
1/ 2
) b = Φ= ∀ 0.0001029 (s2/g) Luego para ) k:
∆k = ∆k =
− 4π 2 b 2
∆ b
− 4(3.146) 2 (0.001275 ) 2
(±0.0001029 )
) k = ∀2498.945 (g/s2)*(1Kg/1000g)*(m/m) ) k = ∀3.4989 (N/m) Para el trato del error: Error = ) k/k = (2.4989(N/m)/30.96 (N/m)) = 0.08072 Para el error porcentual: Error % = 0.08072 *100% = 8.072%
b)
Para determinar la masa efectiva del resorte:
a=
4π 2 m ef k
m ef
=
m ef =
ak 4π 2 (0060725 )(30.96) 4(.1416) 2
mef = 0.0476219(N)(s2/m) = 0.0476219(Kg.)(m/s2)(s2/m) mef == 47.62 (g).
2.
Con los datos de la tabla I y el valor de “k” obtenido, hallar el módulo de rigidez del resorte (G), utilizando la ecuación (23), con su respectivo valor absoluto y porcentual.
Tabla II. Datos y cálculos para “G”
D(cm) d(mm) N
1.510 0.90 75
1.520 0.89 79
1.510 0.89 76
1.500 0.91 77
1.500 0.89 78
1.500 0.90 76
1.520 0.89 77
De los promedios: D(cm) = 1.504 (cm) R = 0.752 (cm) R = 7.52 (mm) d(mm) = 0.899 (mm)
r = 0.4495 (mm)
N = 76.82 = 77.
De la siguiente ecuación:
G G
= =
4 NkR 3 r 4 4(77)(30.96)(7.52) 3 (0.4495 ) 4
G = 99331365.54(N/m)(N/m) G = 99.33 * 109 (N/m) G = 99.33 (GPas)
La variación del módulo esta dado por:
∆G = ∆G =
∂G ∂G ∂G ∆k + ∆R − ∆r ∂k ∂R ∂r 4 NR 3 r 4
∆k +
Donde:
) k = 2.4289 (N/m)
10 NkR 2 r 4
∆R +
− 16 NkR 3 r 5
∆r
1.490 0.91 79
1.495 0.89 79
1.485 0.91 76
1.500 0.91 75
1.515 0.90 78
Rmax − Rmin
∆R = ∆r =
2 r max
− r min
2
=
=
(0.76) − (07425) 2
(0.455) − (0.445) 2
=
=
0.01 2
= 0.00875 = 0.0875(cm)
0.005( mm)
N = 77 (Espiras) Hallando ) G: G = G1 + G2 - G3
Hallando G1:
∆G 1 =
4 NR 3 r 4
∆k =
4(77)(7.52) 3 (0.4485) 4
2.4989
) G1 = 8.027 (GPas)
Hallando G2:
∆G 2 =
12 NkR 2 r 4
∆R =
12(77)(30.96)(7.52) 2 (0.4495 ) 4
(00875 )
) G2 = 3.47 (Gpas) Hallando G3:
∆G 3 =
− 16 NkR 3 r 5
∆r =
− 16(77)(30.96)(7.52) 3 (0.4495 ) 5
(0.005)
) G3 = 4.42 (Gpas) Luego: G = G1 + G2 - G3
) G = (8.02 + 3.47 + 4.42)(Gpas) Para el Error Absoluto:
Error = ) G / G = (15.91)(Gpas)/(99.33)(Gpas) = 0.1602 Para el error porcentual:
0.1602 (100%) = 16%
3.
¿Qué importancia tiene el determinar el módulo de rigidez de algunos materiales?
Saber el módulo de rigidez de algunos materiales sólidos, nos permite averiguar que tan rígido o duro puede ser este material y, si se requiere o no un esfuerzo grande para impartirle una deformación, el módulo de rigidez de un material sólido depende directamente de la forma que tenga éste. Y posteriormente nos será de mucha utilidad para poder establecer la resistencia de estructuras, entre otras cosas.
4.
¿Cuáles son las posibles fuentes de error en la experiencia?
∋
En la instalación del equipo de la figura 1, la barra no podría permanecer horizontal durante la experiencia.
∋ ∋
En la obtención del tiempo, respecto de las 10 oscilaciones con diferentes masas.
∋
Posiblemente también en el cálculo los redondeo de cifras.
En la medición de los diámetros interior y exterior del resorte helicoidal.
VII. Conclusiones:
Luego de la siguiente practica se llego a las siguientes conclusiones:
Luego de seguir los procedimientos se puede experimentar la existencia del modulo de rigidez de un material.
Un cuerpo esta sometido a varias condiciones como torsión, modulo de rigidez.
Se llego a comprobar experimentalmente la constante elástica (k), de un resorte.
VIII Recomendaciones y Sugerencias: ∋ ∋ ∋ ∋
IX.
Que al realizarce la practica se tenga cuidado en el seguimiento de los procedimientos de la guía de laboratorio. Ser cuidadoso al tomar las medidas. Tener cuidado al manipular los instrumentos de medición puesto que son de gran precisión. Armar correctamente los equipos para seguir los procedimientos siguientes.
Bibliografía
∋
Félix Aucallanchi V.
∋ ∋ ∋ ∋
Goldemberg, J. Singer, F Beer-Jonsthon Tipler, P.
“Física I” Edit. Racso 1991.
“Física General y Experimental”, Vol. I y II “Resistencia de Materiales”, Edit. Harla. México 1999 “Mecánica de materiales”. Edit. Mc Graw Hill. Colombia 1993 “Física”, Vol. I. Edit. Reverté. España 1994.
