LABORATORIO Nº 1 MODULO DE RIGIDEZ DE UN MATERIAL
INTRODUCCION En el curso de física II a lo largo de este ciclo vamos a tener la oportunidad de conocer muchos temas nuevos, entre estos tenemos el capítulo de vibraciones, en este capítulo aprendemos a determinar el módulo de rigidez de un material que es el objetivo de esta práctica de laboratorio y que más adelante probaremos experimentalmente; Esta práctica nos exige determinar la constante elástica de un resorte por el meto dinámico y también calcular el módulo de rigidez de un resorte helicoidal, todo este proceso de prueba se realizo en el laboratorio del curso de allí se tomaron los datos de modo experimental para poder demostrar los conceptos anteriores.
I.
OBJETIVOS: 1.1 Determinar la constante constante elástica de un resorte por el el método dinámico dinámico 1.2 calcular el modulo de rigidez del hilo de un resorte helicoidal
II.
MATERIALES UTILIZADOS Y SU DESCRIPCIÓN:
Un resorte helicoidal.- es un muelle de metal que se torna elástico cuando se le trata de deformar, todo resorte tiene su constante elástica.
Un soporte universal.- es un instrumento utilizado para soportar el montaje para distintos experimentos los cuales necesitan de la suspensión en el aire
Regla graduada en milímetros.- Es un instrumento de medida que nos da medidas de los objetos en cada una sus dimensiones. Esta consta de un metro y la sensibilidad de 1 cm.
Un vernier.- Un vernier consiste en una regla provista de una escala graduada en centímetros y milímetros y que lleva los apoyos para poder coger el objeto y medir el diámetro, consta también del tope o medidor que se utiliza para medir alturas de los agujeros sobre la regla se mueve un cursor o pieza móvil que lleva los apoyos de medida interior para medir
diámetros
interiormente
y
también,
espesores,
diámetro
exteriores, etc. Los apoyos de medidas interiores sirven para realizar medidas de diámetros interiores, la varilla más delgada nos sirve para medir diámetros interiores, profundidades, el mono del cursor permite las medidas de décimas de milímetro. El calibrador Vernier tiene una
sensibilidad de 0.05 mm.
Varias pesas.- son instrumentos que sirven en nuestro experimento para medir las oscilaciones del soporte cuando es sometido a varias pesas de masas diferentes de 250, 500, 1000 gramos.
El nivel de burbuja. Constituye el dispositivo más sencillo, que permite determinar la vertical que pasa por un punto, por lo tanto para fijar las líneas perpendiculares a esta vertical, contiene un líquido de gran fluidez e in congelable, de longitud relativamente estable ante las variaciones normales de temperatura
III.
.
FUNDAMENTO TEORICO.
3.1 Cuerpo rígido. Es un ente-límite, que no existe. Todos los cuerpos en la Naturaleza se deforman al aplicarles una fuerza
3.2 fuerza elástica: Son las fuerzas de reacción que se oponen a las de acción deformante. Su origen es el campo de fuerzas intermoleculares determinantes del equilibrio estructural del cuerpo.
3.3 Cuerpo elástico: Son aquellos que al cesar la fuerza deformadora adquieren de nuevo su estructura y formas anteriores a la deformación (muelle de acero).
3.4 Cuerpos inelásticos: Son los que tras la acción deformadora no recobran su forma y estructura primitivas (alambre de hierro dulce).
3.5Plasticidad: Es la propiedad contraria a la elasticidad.
3.6 Ley de Hooke: En 1679, Hooke anunciaba que: “Las deformaciones producidas en los cuerpos son proporcionales a las fuerzas deformadoras”.
Esta
ley establece que si se aplica una carga externa axial a un cuerpo, el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación unitaria, siendo la constante de proporcionalidad el “MODULO ELASTICO” o “DE RIGIDEZ”, siempre y cundo no se sobrepase el límite de proporcionalidad, esto es:
F
F 0
KX
3.7 Limite de elasticidad. Que es el punto a partir del cual la deformación deja de ser elástica. Así, pues, el comportamiento el comportamiento elástico o plástico de un cuerpo, frente a fuerzas deformantes, no es connatural a su estructura, sino que marca una simple frontera fenomenológica, en función de la carga deformante. De este modo, la ley de Hooke solo regirá en el intervalo elástico del fenómeno; de ahí que su enunciado más completo sea: “Si no se sobrepasa el límite de elasticidad, las deformaciones producidas en un cuerpo son proporcionales a las fuerzas deformantes”
3.8 Elasticidad en tracción:
La ley de Hooke (en la zona de elasticidad, por supuesto) puede tomar en este caso la forma matemática:
F
K’. x
=
En donde:
F
=
Fuerza deformante de tracción.
K’
=
Coeficiente de recuperación.
x
=
Coeficiente de recuperación.
El coeficiente de recuperación K’ es referible exclusivamente al cuerpo con el que se experimenta; de modo que si se ensaya con otro cuerpo de longitud inicial distinta, aun cuando está fabricado del mismo material y presente la misma sección, la constante toma otro valor diferente. Es por esto por lo que interesa establecer otra constante de proporcionalidad que pueda ser referible a cualquier clase de cuerpos, construidos con el mismo material, independientemente de sus medidas geométricas (longitud y sección).
3.9 Elasticidad en torsión: Las deformaciones sufridas en este caso vienen medidas por ángulos. En la dinámica de la rotación es conocido que el papel de la fuerza lo hace el par, medido por su momento; así, pues, la ley de Hooke en la torsión elástica toma la forma:
M En donde:
3.10 Torsión:
= k.
M
=
Momento del par agente.
k
=
Coeficiente de elasticidad de torsión.
=
Deformación angular conseguida.
Es la deformación que experimenta una barra fija por uno de sus extremos sometida a la acción de un par de fuerzas o par de torsión. Para torcer una barra (alambre) un ángulo hay que aplicarle el momento de un par fuerzas o momento de torsión; expresado por la siguiente relación:
4
. G. r . M t
En donde:
……………… (1)
2 L
Mt
=
Momento de torsión.
L
=
Longitud del alambre.
=
Angulo de giro total
R
=
Radio del alambre.
G
=
Módulo de rigidez.
3.11 Resortes helicoidales. La constante de rigidez en caso de un resorte, se puede encontrar utilizando la ecuación. 3
G
4 R NK
4
r
Donde:
R = Radio del resorte N = Numero de espiras del resorte R = Radio del resorte G = Modulo de rigidez
VI METODOLOGIA: 4.1 Para determinar la constante elástica del resorte. a. Armamos el equipo tal como se muestra en la Fig. 1 de la guía, suspendiendo el resorte del soporte horizontal. b. Medimos la longitud (L0) del resorte sin deformar.
c. Colocamos el peso P1 en el extremo libre del resorte y llevarlo lentamente hasta la posición de equilibrio estático. d. Llevamos el sistema (resorte-pesa) de la posición de equilibrio h1 a la posición h2 produciendo así un estiramiento ∆h entre 2 a 3 cm. e.
Soltamos y dejamos oscilar el sistema
f.
A continuación medimos con el cronometro la duración de unos diez oscilaciones. Y anotamos los valores en la tabla I de la guía.
g. Repetimos todos los pasos de a hasta la f para las demás pesas.
Tabla I: Datos y cálculos para hallar K Masa N
(m)
Tiempo t 1
2
3
4
5
Tiempo
Period
promedi
oT
T2
o 1
103.7
3.79
3.91
3.92
3.90
3.91
2
133.7
4.31
4.19
4.34
4.30
4.33
3
153.7
4.68
4.56
4.65
4.63
4.66
4
203.7
5.84
5.73
5.74
5.78
5.80
5
253.7
6.21
6.26
6.30
5.25
6.22
4.2 Para calcular el Modulo de rigidez del resorte. a. Con le vernier y/o micrómetro medimos 12 veces el diámetro del resorte. Y anotamos sus valores un la tabla II. b. Con le vernier y/o micrómetro medimos 12 veces el diámetro del hilo del resorte en diferentes posiciones c. Contamos el número de espiras que tiene el resorte. Y anotamos sus valores un la tabla II.
Tabla II .Datos y cálculos para hallar G D(cm.) 2.62
2.61
2.62
2.62
2.61
2.60
2.61
2.62
2.60
2.62
2.61
2.61
d(cm.) 0.092 0.095 0.093 0.092 0.095 0.095 0.092 0.092 0.092 0.092 0.095 0.092 N
53
53
53
53
53
53
53
53
53
53
53
V. ANALISIS DE DATOS: PARA DETERMINAR LA CONSTANTE ELASTICA DEL RESORTE. Con los datos de la tabla I procedemos a calcular el promedio del tiempo, el periodo y el periodo al cuadrado, obteniéndose el siguiente cuadro:
Tabla I: Datos y cálculos para hallar K Masa N
(m)
Tiempo t
1
2
3
4
5
Tiempo
Period
promedi
oT
T2
o 1
103.7
3.79
3.91
3.92
3.90
3.91
3.886
0.3886
0.15100
2
133.7
4.31
4.19
4.34
4.30
4.33
4.294
0.4294
0.18430
3
153.7
4.68
4.56
4.65
4.63
4.66
4.636
0.4636
0.21492
4
203.7
5.84
5.73
5.74
5.78
5.80
5.778
0.5778
0.33385
5
253.7
6.21
6.26
6.30
6.25
6.22
6.248
0.6248
0.39037
Determinamos el periodo utilizando la ecuación: T = t / n.
Donde: n: es el numero de oscilaciones completas y t : es el tiempo en realizar estas oscilaciones Para trazar la grafica de T2 = f (m) Recurrimos por el ajuste de mínimos cuadrados donde la ecuación básica de la recta es:
Y = a + bX ; a,b ε R
Pero en nuestro
caso vamos a remplazar al Y por T2 y al X por M y será:
T2 = a + bm ; a,b ε R ....................... (1)
53
Donde:
a = ∑T 2 ∑m2 - ∑m ∑T2 m n ∑m2 - (∑m)2 b = n ∑T2 m - ∑T2 ∑m n ∑m2 - (∑m)2
..............................(2)
................................. (3)
Luego pasamos a calcular los valores para obtenerlas constantes a y b de la recta
Nª 1 2 3 4 5
m (kg) 0.1037 0.1337 0.1537 0.2037 0.2537
∑
0.8485
T
m
T m
0.15100 0.18430 0.21492 0.33385 0.39037
0.0107537 0.0178756 0.0236237 0.0414937 0.0643637
0.0156587 0.0246409 0.0330332 0.0680052 0.0990369
1.2738
0.1581104
0.2403749
Reemplazando los respectivos valores en las ecuaciones (2) y (3) tenemos que los valores de “a” y “b” son:
a=
∑T 2 ∑m2 - ∑m ∑T2 m n ∑m2 - (∑m )2
= (1.2738)(0.1581104) – (0.8485)(0.2403749) 5(0.1581104) - (0.8485) 2
a = - 0.0362……… (4) b = n ∑T2 m - ∑T2 ∑m n ∑m2 - (∑m)2
=
5(0.2403749) – ( 1.2738)(0.8485) 5(0.1581104) - (0.8485) 2
b = 1.7147............ (5)
Reemplazando (4) y (5) en la ecuación ( 1) tenemos que la recta de T2 =f(m) es:
T2 = - 0.0362 + 1.7147 m ................ (β)
CALCULO DE LA CONSTANTE ELÁSTICA Y LA MASA EFECTIVA * De la ecuación numero (7) de la guía tenemos T=
2π
(m + mrf ) K
T² = 4 π² m + 4π²mrf ........................ (6) K k
* De la ecuación (β) tenemos: T2 = -0.0362 + 1.7147m
* Haciendo: (δ) = (β) T2 = 4 π² m + 4π²mrf K k
4 π² m k
4π²mrf k
=
- 0.0362 + 1.7147m
1.7147 m
=
- 0.0362
=
.................... (7)
............................. (8)
K = 23.023 N/m. ……………..(9)
De (7) tenemos:
Reemplazando (9) en (8) tenemos que: (4π²mrf )/k
=
- 0.0362
mef = 0.027 Kg. ……………(10) PARA CALCULAR EL MODULO DE RIGIDEZ (G) DEL RESORTE. Tabla II .Datos y cálculos para hallar G D(cm.) 2.62
2.61
2.62
2.62
2.61
2.60
2.61
2.62
2.60
2.62
2.61
2.61
d(cm.) 0.092 0.095 0.093 0.092 0.095 0.092 0.095 0.092 0.092 0.092 0.093 0.092 N
53
53
53
53
53
53
53
53
53
53
53
53
Primeramente para facilitar los cálculos hacemos que “D” y “d” estén en función de “R” y “r” respectivamente.
D(cm)
R(cm)
d(cm)
r(cm)
2.62
1.310
0.092
0.0460
2.61
1.305
0.095
0.0475
2.62
1.310
0.093
0.0465
2.62
1.310
0.092
0.0460
2.61
1.305
0.095
0.0475
2.60
1.300
0.092
0.0460
2.61
1.305
0.095
0.0475
2.62
1.310
0.092
0.0460
2.60
1.300
0.092
0.0460
2.62
1.310
0.092
0.0460
2.61
1.305
0.093
0.0465
2.61
1.305
0.092
0.0460
1.30625
0.04646
Utilizando la ecuación (23) de la guía tenemos que el modulo de rigidez (G) es: G = 4NKR3 ……….. (11) r 4
; Donde:
R = radio del resorte. r = radio del hilo del resorte. N = nº de espiras del resorte. K = constante elástica de resorte
Luego, de las tablas anteriores tenemos: Donde:
R = 1.30625= 1.30625 (promedio) r = 0.04646= 0.04646 (promedio) N = 53 K = 23.02 (calculado anteriormente)
Reemplazando en la ecuación (11) los respectivos valores de “R” Y “r” (promedios) ,”N” y “k” (calculado anteriormente) tenemos:
G = 4NKR3 = (4) (53)(23.02)(1.30625) 3 = 2.3346 G pa. ………(12) r 4
(0.04646) 4
Calculo del error absoluto y porcentual del modulo de rigidez (G) del resorte
Error absoluto.
Entonces de:
G = 4NKR3 r 4
Siguiendo un tratamiento estadístico para medidas indirectas (G) tenemos que:
∆G = dG dK
∆K +
dG ∆R + dR
dG ∆r dr
............. (13)
Como K es constante tenemos que: dG =………………. (14) Dk Y de
G = 4NKR3 r 4
obtenemos:
dG dR
= 12NKR2 ................. (15) r 4
dG = dr
-16NKR3 ................ (16) r 5
∆R y ∆r son los errores de “R” Y “r” respectivamente. Luego reemplazando (14), (15) y (16) en (13) tenemos que:
∆G =
12NkR2 ∆R + r 4
- 16NKR3 ∆r.......(17) r 5
Como ∆R y ∆r no son conocidos procedemos a calcularlos:
PARA ∆R: Está dado por:
∆R = +
∑( Ri – R)² (n- 1)
Ri (cm)
R(cm)
( Ri – R) (cm)
( Ri – R)² (cm) ²
1.310
1.30625
0.00375
0.0000140625
1.305
1.30625
0.00125
0.0000015625
1.310
1.30625
0.00375
0.0000140625
1.310
1.30625
0.00375
0.0000140625
1.305
1.30625
0.00125
0.0000015625
1.300
1.30625
-0.00625
0.0000390625
1.305
1.30625
0.00125
0.0000015625
1.310
1.30625
0.00375
0.0000140625
1.300
1.30625
-0.00625
0.0000390625
1.310
1.30625
0.00375
0.0000140625
1.305
1.30625
0.00125
0.0000015625
1.305
1.30625
0.00125
0.0000015625
( Ri – R)² = 0.00015625
Luego:
PARA ∆r :
∆R = +
∑( Ri – R)² (n- 1)
∆R = +
0.00015625 11
∆R = + 0.00376889 = + 0.0000376889 ………………. (18)
Está dado por:
∆r = +
∑( r i – r)² (n- 1)
r i (cm)
r(cm)
( r i – r)(cm)
( r i – r)²(cm) ²
0.0460
0.04646
-0.00046
0.000000212
0.0475
0.04646
-0.00104
0.000001082
0.0465
0.04646
-0.00004
0.000000002
0.0460
0.04646
-0.00046
0.000000212
0.0475
0.04646
-0.00104
0.000001082
0.0460
0.04646
-0.00046
0.000000212
0.0475
0.04646
-0.00104
0.000001082
0.0460
0.04646
-0.00046
0.000000212
0.0460
0.04646
-0.00046
0.000000212
0.0460
0.04646
-0.00046
0.000000212
0.0465
0.04646
-0.00004
0.000000002
0.0460
1.30625
-0.00046
0.000000212
∑( r i – r)²= 0.0000047328
Luego:
∆r= +
∆r = +
∑( r i – r)² (n- 1)
0.0000047328 11
∆r = + 0.000656 = + 0.0000656 ………….. (19)
Finalmente reemplazando (18) y (19) en sus respectivos valores en la ecuación (17) tendremos:
∆G =
∆G = +
+
12NkR2 ∆R + r 4
2
12(53)(23.02)(1.30625) (0.0000376889 ) 4 (0.04646)
∆G = + 2.649(103) pa ……………….(20)
2
+
- 16NKR3 ∆r r 5
-16(53)(23.02)(1.30625) 5 (0.04646)
3
(0.0000656 )
2
Calculo del error absoluto y porcentual del modulo de rigidez (G) del resorte Error absoluto Por lo tanto: el error absoluto será: Ea = (3∆G)/ G Ea = Ea =
3(2.983x103 pa)/ (2.33108 pa) 0.00003411
Error porcentual. Ep = Ea(100)
V.
Ep =
(0.00003411(100)
Ep =
0.003411%
CUESTIONARIO:
5.1.
Con los datos de la tabla I y la ecuación (7) de la guía trazar una grafica colocando los cuadrados de lo periodos de oscilaciones (T) en el eje de las coordenadas y las masas (m) en le eje de las abscisas, y partir de ella determinar el valor de le constante elástica del resorte (K), así como la masa efectiva del mismo.
DE LA PARTE DE LOS CÁLCULOS TENEMOS: Calculo de la constante elástica del resorte y la masa efectiva * De la ecuación numero (7) de la guía tenemos T=
2π
(m + mrf ) K
T² = 4 π² m + 4π²mrf ........................ (6) K k
* De la ecuación (β) tenemos: T2 = -0.013 + 1.523 m ................... (β)
* Haciendo: (δ) = (β) T2 = 4 π² m + 4π²mrf K k
4 π² m k
4π²mrf k
De (7) tenemos:
=
=
- 0.0362 + 1.7147m
1.7147 m
- 0.0362
=
.................... (7)
............................. (8)
K = 23.023 N/m. ……………..(9)
Reemplazando (9) en (8) tenemos que: (4π²mrf )/k
=
- 0.0362
mef = 0.027 Kg. ……………(10)
5.2.
Con los datos de la tabla II y el valor de K obtenido hallar el modulo de rigidez del resorte (G) utilizando la ecuación (23), con su respectivo error absoluto y porcentual.
DE LA PARTE DE LOS CÁLCULOS TENEMOS: El modulo rigidez del resorte (G): G = 4NKR3 = (4) (53)(23.02)(1.30625) 3 = 2.3346 G pa. r 4
El error absoluto:
(0.04646) 4
Ea = (3∆G)/ G Ea =
3(2.983x103 pa)/ (2.33108 pa)
Ea =
0.00003411
Error porcentual:
Ep = Ea(100)
5.3.
Ep =
(0.00003411 (100) )
Ep =
0.003411%
¿Que importancia tiene el determinar el modulo de rigidez de
algunos materiales? El modulo de rigidez de un material nos da el grado de inflexibilidad que tienen los materiales es decir el grado de fuerza que puede resistir a determinadas cargas externas que actúan sobre ellas; es modulo de rigidez tiene bastante relación con la constante elástica la cual nos da el grado de elasticidad de un material.
5.4.
¿Cuales son las posibles fuentes de error en la experiencia? - Error en la medición del resorte; Que puede ser debido al mal uso de los instrumentos de medición o que podríamos haber fallado al observar la regla y determinar la medida. - Error personal;
al determinar el tiempo que demora en dar una
oscilación el resorte, pues puede haber dificultad en observar o presionar el cronómetro. - Error de redondeo; originado por la representación finita de números. - Error casual o accidental; son los que sufren variaciones aleatorias (pequeñas), por ejemplo: se puede mover el sistema de trabajo con lo cual se desnivela la instalación.
- Error sistemático; que es él más típico por defecto de los instrumentos de observación y medición que tienen una precisión limitada.
- Un error se puede haber producido en el momento de calcular el momento exacto al soltar la rueda y al pulsar el botón del cronómetro aunque hallan sido milésimas de segundo.
-
El resorte en algunos caso no estebó muy bien amarrado en el sistema lo que pudo haber influido para calcular un tiempo mas prolongado que de las otras mediciones.
-
Las vibraciones en el equipo que provocan una vibración forzada.
VI. CONCLUSIONES: 1. Hemos hallado la constante elástica de un resorte por el método dinámico, o sea mediante la medición del tiempo y de la masa con los datos obtenido en el experimento el cual nos resulto K=23.02N/m.
2. Hemos calculado el módulo de rigidez de un hilo de un resorte helicoidal, solo conociendo la constante elástica y el número de espiras del resorte y los diámetros de estas mismas el cual nos dio un resultado de 2.3346 G pa.
3. Concluimos que realizamos los cálculos de los objetivos planteados al inicio.
VII. RECOMENDACIONES:
se recomienda que se organicen bien antes de empezar para que trabaje todo el grupo y todos vean y participen el la realización de la práctica.
Se sugiere a todos mis compañeros que antes de empezar la práctica de laboratorio, verifiquen bien los instrumentos que van a ser utilizados, para que de esta manera se cometan menos errores.
No se debe de jugar con los materiales del experimento por que se los puede dañar.
Seguir las instrucciones de la guía paso a paso para poder obtener resultados convenientes en el experimento.
IX. BIBLIOGRAFIA: BEER - JONSTHON
“Mecánica de materiales” Edit. Mc. Graw-Hill Colombia 1993
GOLDEMBERG
“física General y Experimental” Vol I y II Edit. Interamericana S.A. México 1972
SINGER, F
Resistencia de Materiales” Edit. Mc. Harla México 1999
TIPLER, P
“Física” Vol. I Edit. Reverte. España 1994.
