8. Interés constante En este este sist sistem ema, a, cono conoci cido do tamb tambié ién n como como méto método do ingl inglés és,, los los pago pagos s al vencimiento de cada cuota incluyen sólo el interés devengado por el saldo insoluto, permaneciendo la deuda original sin variación hasta el vencimiento de la última última cuota, cuota, la cual cual incluy incluye e ademá además s del interés interés genera generado do en el último último período, la devolución total del préstamo. Este sistema es usado generalmente cuando las empresas se financian con la emisión de bonos, pagando durante el plazo pactado sólo intereses y redimiendo el capital en la fecha del vencimiento de la obligación.
Ejemplo 28.- Prepare la tabla referencia de reembolso de un préstamo de !". #$$$$ otorgado el % de marzo, el mismo &ue debe ser reembolsado en ' cuotas trimestrales vencidas a una (E( del )*. +as cuotas incluirán sólo el interé interés s deveng devengado ado,, ecept eceptuan uando do la última última cuota cuota &ue, &ue, además además,, inclui incluirá rá la devolución total del préstamo.
Solución Tabla referencial de reembolso: interés constante
-echa
ías
2ar.
%$n
/uota
0nterés
1mort.
$
!aldo #$ $$$,$$
3un.$'
6$
#
)$$,$$
)$$,$$
$,$$
#$ $$$,$$
!et.$4
6$
7
)$$,$$
)$$,$$
$,$$
#$ $$$,$$
ic.$5
6$
5
)$$,$$
)$$,$$
$,$$
#$ $$$,$$
2ar.$5
6$
4
)$$,$$
)$$,$$
$,$$
#$ $$$,$$
3un.$#
6$
)
)$$,$$
)$$,$$
$,$$
#$ $$$,$$
1go.5$
6$ )4$
'
#$ )$$,$$
)$$,$$ 5 $$$,$$
#5 $$$,$$
#$ $$$,$$ #$ $$ $$$,$$
Gráfico de las cuotas con interés constante
$,$$
. !uotas crecientes aritméticamente Para, el cálculo de la cuota base / de un sistema de préstamo, cuyas cuotas epe eperi rime ment ntan an un crec crecim imie ient nto o arit aritmé méti tico co prev previa iamen mente te dete determ rmina inado do,, se actualizan tanto las / de la anualidad, como el importe de la sumatorias de los gradientes. 8'59 P# : /. -1! 86#9 P7 : <. -1!<
;alor presente de las cuotas base ;alor ;alor presente de los gradientes gradient es
donde el valor presente P de ambos flu=os es igual a la suma de P# y P7 P : P# > P7 P : /. -1! > <. -1!< espe=ando / obtendremos? / : @P A <. -1!
( 10 )
+a fórmul fórmula a 8## 8##$9 nos permite permite calcu calcular lar la cuota cuota base base en présta préstamo mo &ue &ue se amortiza con cuotas crecientes aritméticamente.
Ejemplo 2. Prepare la tabla referencial de reembolso de !" #$ $$$ otorgado el % de marzo, el mismo &ue debe ser reembolsado en ' cuotas trimestrales vencidas a una (E( del )*. +as cuotas tendrán un crecimiento aritmético de !" 7$$.
Solución C =?
C = P − G.FASGi ;n FRC1;n
P = 10000
C = [ 10000 − FASG0.05:6 ] FRC 0.05;6
n=6
C = [ 10000 − 200 x11,96799375 ] 0,1970174681
i = 0.05
1498,593916
G = 200
Tabla referencial de reembolso: cuotas crecimientos aritméticamente "G#2$$% -echa
ías
2ar.
%$n
/uota
0nterés
1mort.
$
!aldo #$ $$$,$$
3un.$'
6$
#
# 46%.)6
)$$,$$
66%.)6
6 $$#.4#
!et.$4
6$
7
# '6%.)6
4)$.$C
# 74%.)7
C C)7.%%
ic.$5
6$
5
# %6%.)6
5%C.'4
# )#$.6)
' 74#.65
2ar.$5
6$
4
5 $6%.)6
5#7.#$
# C%'.)$
4 4)).44
3un.$#
6$
)
7 76%.)6
777.CC
7 $C).%7
7 5C.'#
1go.5$
6$ )4$
'
7 46%.)6 ## 66#.)'
##%.6% 7 5C6.'# ## 66#.)' D$ $$$,$$
.&. !álculo del 'radiente constante Para el cálculo del gradiente constante despe=amos < de 8##$9. /: @PA<. -1!
$.$$
<. -1!<:PA/"-/ G=
P − C .FAS 1;n FASGi ;n
<: @PA/.-1! y -1!
Gráfico de las cuotas crecientes aritméticamente
Ejemplo ($.A Fn préstamo de !". #$ $$$ se ha otorgado para ser reembolsado en ' cuotas trimestrales vencidas con crecimiento aritmético, cuya cuota base será de !". # 46%,)6. Ftilizando una (E( del )* calcule el importe del gradiente de crecimiento &ue asegure la amortización total del préstamo en el plazo pactado.
Solución G=?
G = P − G.FASGi ;n FRC1;n
P = 10000
G = [ 10000 − FASG0.05:6 ] FRC 0.05;6
n=6
G = [ 10 000 − 200 x11, 96799375] 0,1970174681
i = 0.05
G = 200
.2
!álculo de G en una anualidad )ariable
En un préstamo &ue se otorga para ser reembolsado con un determinado número de cuotas crecientes aritméticamente en forma no convencional y cuyos incrementos deben efectuarse cada cierto número de rentas, < puede calcularse por e&uivalencia financiera con el siguiente procedimiento? • • • •
-i=ar la cuota base. eterminar la proporción de los incrementos a efectuar sobre la cuota base y las fechas en &ue se efectuarán. Establecer una ecuación de e&uivalencia financiera de tal manera de despe=ar <.
El proceso se eplica con el desarrollo del siguiente e=emplo.
Ejemplo (&.- Fn préstamo de !". #$ $$$ se ha otorgado para ser reembolsado con ' cuotas trimestrales vencidas crecientes aritméticamente cuya cuota base será de !0. # $$$. +os importes de las cuotas constantes serán? #a. y 7a. el importe de la cuota base. 5a. y 4a. el importe de la cuota base más un gradiente aritmético. )a. y 'a. el importe de la cuota base más dos gradientes aritméticos. /alcule el importe del gradiente. +a (E( será del )*.
Solución
< :G P: #$ $$$. n : '
i:$.$)
/:# $$
!alculo del 'radiente '
P = C FAS 0.05;6 + G.FAS0.05:2 .FSA0.05;2 + 2G.FAS0.05;2 .FSA0.05:4
P = C FAS 0.05;6 + G[ FAS 0.05:2 .FSA0.05;2 + 2 FAS0.05;2 .FSA0.05:4
10000 = 1 000 x5, 075692068 + G[1, 686540073 +3,059483126]
10000 = 5075,692068 + 4,746023199 G
10000 = 5075,692068 + 4,746023199 G
4924,307232 = 4,746023199 g G = 1037,565078
!recimiento aritmético de las cuotas /uota #H y 7H
/uota base # $$$
(otal. # $$$,$$
5H y )H
# $$$
# $5C,)C #
7,$5C,)C
)H y 'H
# $$$
#,$5C,)C7
5 $C),#5
Tabla *eferencial +e *eembolso: !uotas !recientes ,ritméticamente n
/uota
0nterés A
1mort.
!aldo
$ # 7 5 4 ) '
# $$$,$$ # $$$,$$ 7 $5C,)C 7 $5C,)C 5 $C),#5 5 $C),#5
)$$,$$ 4C),$$ 44%,C) 5'6,5# 7%),6$ #4',45 I
)$$,$$ )7),$$ # )%%,%7 # ''%,7' 7 C%6,75 7 67%,C$
#7 77),56
7 77),56
#$ $$$,$$
#$ $$$,$$ 6 )$$,$$ % 6C),$$ C 5%',#% ) C#C,65 7 67%,C$ $,$$
&$. !uotas !recientes Geométricamente En este sistema, las cuotas eperimentan, en cada período, un crecimiento geométrico igual a una tasa 8g9 pactada previamente. El -/ &ue, aplicado sobre el importe de un préstamo, obtiene la cuota base &ue eperimentará el crecimiento geométrico puede calcularse a partir de la fórmula 86)9 ;alor presente de una anualidad cuyas rentas varían en progresión geométrica.
g n = ( 1 + i ) n P = ( 95) n − + g i 1 ( ) ( 1 + i ) R
espe=ando tenemos?
g = ( 1 + i ) R = P ( 1 + i ) ( 112 ) n n g i − + 1 ( )
Ejemplo (2.- Prepare la tabla de reembolso de un préstamo de !í. #$ $$$ otorgado para ser reembolsado en ' cuotas trimestrales vencidas a una (E( del )* con una razón de crecimiento geométrico convencional del #,$5.
Solución :G P:#$ $$$ J:' i:$.$)
g = 1, 03
g − ( 1 + i ) n R = P ( 1+ i ) n n g − ( i + i )
1, 03 −1, 05 R = 10000 x1.056 6 6 1,03 − 1,05
R = 1835,20
!recimiento 'eométrico de las cuotas !uota # 7 5 4 ) '
Importe
Gradiente $
# %5),7$ # %5),7$ # %5),7$ # %5),7$ # %5),7$ # %5),7$
#,$5 #,$5# #,$57 #,$55 #,$54 #,$5)
Total #.%5),7$ #.%6$,7' #.64',6C 7.$$),5% 7.$'),)4 7.#7C,)$
Tabla referencial de reembolso: cuotas crecientes 'eométricamente. n
!uota
$ # 7 5 4 ) '
#.%5),7$ #.%6$,7' #.64',6C 7.$$),5% 7.$'),)4 7.#7C,)$
Interés )$$,$$ 455,74 5'$,56 7%#,$' #64,%4 #$#,5#
,mort.
Saldo
#.55),7$ #.4)C,$7 #.)%',)% #.C74,57 #.%C$,'6 7.$7',#6
#$.$$$,$$ %.''4,%$ C.7$C,C% ).'7#,7$ 5.%6',%6 7.$7',#6 $,$$
Gráfico de las cuotas crecientes 'eométricamente
&&. !uotas con amortiaciones crecientes periódicamente Este sistema contempla el crecimiento de la amortización cada cierto número de cuotas, en proporciones cuya suma total debe ser el #$$* del préstamo y con una periodicidad &ue guarda relación con los vencimientos de las cuotas. Por e=emplo, un crédito reembolsable en cuotas trimestrales puede ser amortizado 8de acuerdo con el número de cuotas &ue se haya pactado para su devolución9, con las siguientes opciones?
roporción del crecimiento de la amortiación trimestral !uotas
2
/
0
#a. amortización 7a.
4$*
#$*
)*
amortización
'$*
7$*
5% #)*
5a. amortización
5$*
#)*
4a. amortización
4$*
5$*
#$$*
#$$*
(otal
#$$*
Ejemplo ((.- Prepare la tabla de reembolso de un préstamo de !".#$ $$$ otorgado para ser reembolsado con ' cuotas trimestrales vencidas a Kuna (E( del )*, +a proporción del crecimiento de la amortización está dada en el cuadro anterior.
Tabla referencial de reembolso amortiaciones crecientes
n
!uota
Interés.
,mort
Saldo
$
#$ $$$,$$
#
# $$$,$$
)$$,$$
)$$,$$A
6 )$$,$$
7
6C),$$
4C),$$
)$$,$$
6 $$$,$$
5
# 6)$,$$
4)$,$$
# )$$,$$
C )$$,$$
4
. # %C),$$
5C),$$
# )$$,$$
' $$$,$$
)
5 5$$,$$
5$$,$$
5 $$$,$$
5 $$$,$$
'
5 #)$,$$ #7 7)$,$$
#)$,$$ 7 7)$,$$
5 $$$,$$ #$ $$$,$$
$,$$
+as amortizaciones están creciendo de acuerdo con la tabla de proporción de crecimiento de la amortización? las dos primeras cuotas, el )* préstamoL las. dos siguientes, el #)* del préstamo y las dos últimas el 5$* del préstamo. El saldo insoluto está generando el interés del )* trimestral y la cuota es igual a la suma de la amortización e interésL
&2. Suma de d1'itos En una tabla de reembolso, un dígito es el número de una cuota. Es decir, a la primera cuota le corresponde el dígito #L a la segunda"el 7, etc. En un sistema &ue emplea la suma de dígitos, se forma una razón para cada cuota, cuyo numerador es igual al dígito de su respectiva cuota y el denominador es una cifra fi=a igual a la suma de los dígitos del préstamo. +a razón establecida enM cada cuota multiplicada por el importe original del préstamo constituye la proporción &ue se amortizará en cada cuota. El interés devengado por el saldo insoluto en cada período de renta y su amortización respectiva constituyen el importe de cada cuota del préstamo.
Ejemplo (/.- 1plicando la suma de dígitos, prepare la tabla de reembolso de un préstamo de !". #$ $$$ otorgado para ser reembolsado en ' cuotas trimestrales vencidas. Ftilice una (E( del )*.
Tabla referencial de reembolso n
Proporción
/uota
0nterés
1mort.
$ #
!aldo #$ $$$.$$
#"7#
6C',#6
)$$,$$
4C',#6
6 )75.%#
7
7"7#
# 47%,)C
4C',#6
6)7,5%
% )C#.45
5
5"7#
# %)C,#4
47%,)C
# 47%,)C
C #47.%'
4
4"7#
7 7'#,6$
5)C,#4
# 6$4,C'
) 75%.#$
)
)"7#
7 '47,%'
7'#,6$
7 5%$,6)
7 %)C.#4
' 7#
'"7# #
5 $$$,$$ #7 #''.'C
#47,%' 7 #''.'C
7 %)C,#4 #$ $$$.$$
$.$$
+as amortizaciones se han obtenido multiplicando el importe del préstamo por cada proporción de amortización? 1# : #$ $$$ #"7# :4C',#6 17 : #$ $$$. 7"7# : 6)7,5%, etc.
&(. Sistema de reajuste de deuda Fn sistema de rea=uste de deuda contempla la aplicación de dos tasas con=untas a los saldos deudores de un préstamo? la primera es la tasa nominal del préstamo y la segunda constituye el rea=uste de la deuda insoluta, &ue puede estar dado por la inflación, devaluación, índices de depreciación de activos fi=os, índices sectoriales, etc. enominando r a la tasa de rea=uste, e iM a la tasa del préstamo, el costo efectivo i de un sistema de rea=uste de deudas está dado por la acumulación de ambas tasas? i = ( 1 + i . ) ( 1 + r ) − 1
En el Perú, el !istema de ea=uste de euda 8!9. tiene suAorigen legal en el art. #75) del /ódigo /ivil el cual a la letra dice KJo obstante lo establecido en el art. #754, las partes pueden acordar &ue el monto de una deuda contraída en moneda nacional sea referido a índices de rea=uste automático &ue fi=e el N/P, a otras monedas o a mercancías, a fin de mantener dicho monto en valor constante. El pago de las deudas a &ue se refiere el párrafo anterior se efectuará en moneda nacional, en monto e&uivalente al valor de preferencia, al día de vencimiento de la obligación. !i el deudor retardara el pago, el acreedor puede eigir, a su elección, &ue la deuda sea pagada al valor de referencia al día del vencimiento de la obligación o al día en &ue se efectúe el pagoK.
En aplicación del artículo % de la ley 7557C, del 74 de noviembre de #6%#, el N/P publica desde elM#5 de =ulio de #6%# 8Nase : #$$9 el índice de ea=uste de euda. Este índice ha ido incrementándose hasta el #) de setiembre de #66$, fecha en &ue alcanzó el valor ') '6',$ y a partir de la cual &uedó congelado hasta el # de =ulio de #66#. En esta fecha, el N/P, según circular $#CA6# AE-"6#, dispuso K&ue la tasa efectiva máima por todo concepto de las operaciones ! dependerá del plazo del crédito y será calculado en forma tal &ue el rendimiento de estas operaciones incluido el rea=uste sea e&uivalente a las operaciones no su=etas al !KL de este modo la vigencia del ! ha sido desde el. #5 de =ulio de #6%# hasta el 5$ de =unio de #66#. +a mecánica operativa para calcular las cuotas en un sistema de rea=uste de deuda su=eto al cobro de una tasa efectiva máima por todo concepto es la siguiente? escomponer la tasa efectiva en una tasa nominal i y una tasa de rea=uste r. ea=ustar los saldos insolutos con la tasa r. !obre los saldos rea=ustados cobrar la tasa iM. +a amortización al vencimiento de cada cuota se obtiene dividiendo el saldo rea=ustado entre el número de cuotas insolutas. +a cuota total se compone en interés y amortización. • • • •
•
+a preparación de una tabla referencial de reembolso con rea=uste de deuda se eplicará con el siguiente e=emplo.
Ejemplo (.- Prepare la tabla referencial de reembolso de un préstamo de !". #$ $$$ su=eto al sistema de rea=uste de deuda. El préstamo debe ser reembolsado en ' cuotas trimestrales vencidas con una (E( del )*, la cual incluye el 5* como tasa nominal del préstamo.
Solución r:G
i:8#>iO9 8#>r9A#
P: #$ $$$
$,$) : 8#>$.$59 8#>t9At
n:'
#.$):#.$5 8#>r9
i:$.$) i:$.$5
#,$#64#C4C':#>r r:$.$#64#C4C'
Tabla referencial de reembolso: Sistema de *eajuste de +euda
n
*eajuste
Saldo
$3$&/&4/4 reajustado
Interés $3$(
,mort.
!uota
$
Saldo #$
#
#64,#C
#$ #64,#C
5$),%5
# '66,$7 7 $$4,%)
7
#'4,6)
% ''$,#$
7)6,%$
# C57,$7 .# 66#,%7 46),#) '
5
#54,)5
C $'7,'#
7##,%%
# C'),') # 6CC,)5
67%,$% )
4
#$7,%)
) 566,%#
#A'#,66
# C66,64 # 6'#,65
76',6) 5
)
'6,6$
5 ''6,CC
##$,$6
# %54,%6 # 644,6%
)66,%C L#
'
5),'5
# %C$,)7
)',#7
# %C$,)7 # 67','5
%54,%6
# #$),C#
#$ C$7,$4 ## %$C,C)
*eajuste
$$$,$$ %
/orresponde a la tasa r &ue se aplica sobre el saldo. es la suma del saldo m ás el rea=uste, es la tasa iM aplicada sobre u saldo rea=ustado, es el cociente obtenido de la división del saldo rea=ustas entre el número de cuotas insolutas, es la suma del interés más la amortización, es la diferencia entre el saldo anterior y la amortización la cuota.
Saldo reajustado Interés ,mortiación
!uota Saldo &/. 5istado de fórmulas /uota capital a amortización en un sistema de cuotas constantes vencidas. Ak = R ( I + i )
k −l − n
Ak = P.EFRCi > n ( 1 + i )
Ak = Al ( 1 + i )
k −l
( 97 ) En función de R k −l − n
( 98) En función de P ( 99 ) En función de A1
Interés en un sistema de cuotas constantes )encidas.
I k = R 1 − ( 1 + i )
k −l − n
I k = P.EFRCi < n 1 − ( 1 + i )
( 100 ) En funciónde R
k −l − n
( 98 ) En función de P
+euda e6tin'uida en un sistema de cuotas constantes )encidas. Ek = A1 FCSi , k
Ek = R ( 1 + i )
−n
( 102 ) En funci[ on de A1 FCSi ,k
( 1 + i ) k − 1 Ek = P n 1 1 + − i ) (
( 103) En función de A1 ( 104) En función de P
+euda residual en un sistema de cuotas constantes )encidas. ( 1 + i ) n−k − Dk = R n − k i ( 1 + i )
( 105) En función de R
Dk = R.FASi , n −k
( 105 ') En función de R
i ( 1 + i ) n i ( 1 + i) n Dk = P n n − k ( 1 + i ) − 1 ( 1 + i )
( 106) En función de R
7ltima renta no uniforme en una anualidad con rentas constantes )encidas. r = FSCi ,n P − R.FASi ,h −1
( 107 ) En el momento n
r 3 = FSCi ,n P − R.FASi ,h −1
( 108 ) En el momento h
R ' = R + FSCi ,h −1 P − R.FAS i ,h −1
Gradiente aritmético
( 109 ) En el momento h − 1
C = P − G.FASGi ,n FRCi ,n G=
( 110 ) Cuota base
P − C .FAS i ,n
( 111) Gradiente convencional
FASGi ,n
Gradiente 'eométrico g − ( 1 + i ) = + R P ( 1 i ) n n g − ( i + i )
( 112 ) Cuota base
roblemas propuestos !uotas constantes )encidas &. Prepare la tabla referencial de reembolso de un préstamo de !"),$$$ desembolsado el 75 de agosto y amortizable en ' cuotas constantes cada fin de bimestre. Ftilice una (J2 del 5*. p. .: !". # $#',%#. 2. /alcule la cuota constante y prepare la tabla referencial de reembolso de un préstamo de !0. % $$$ reembolsable en % cuotas con vencimiento cada 4) días. Ftilice una (J1 del 74* capitalizable mensualmente. p. :!". # #4$,5C. (. Fna empresa solicita a una entidad financiera un préstamo de !0. 7$ $$$ para ser reembolsado en 7 aos con una (E2 del 7* y cuotas constantes trimestrales vencidas. +as sumas de las amortizaciones deben ser? en el primer ao igual al 4$* del préstamo y durante el segundo ao igual al '$* del préstamo. /alcule el importe de las cuotas constantes durante el primer y segundo ao. p. primer ao? # : !"5,$46.'7L segundo ao? , : !í. 5 4C7,'%.
!uota constante cuando el préstamo se desembolsa en partes /. /alcule la cuota constante de un préstamo de s". '$$$ reembolsable en ' cuotas constantes mensuales vencidas con una (J1 del 74* capitalizable mensualmente. El préstamo ha sido desembolsado de acuerdo al siguiente cronograma? 5# de agosto, s". #$$$L ' de setiembre, s". 5$$$L 77 de setiembre, s". 7$$$. p. : s". #$'5,%6. . Prepare la tabla referencial de reembolso de un préstamo de s". 6$$$ reembolsable en ' cuotas constantes trimestrales vencidas con una (J1 del #%* capitalizable bimestralmente. El cronograma de desembolsos es el siguiente? 74 de setiembre, s". 4$$$L #) de noviembre, s". 7$ $$$L 7$ de enero, s". 5$$$. /ompruebe su respuesta efectuando su análisis a valor presente. p.
R1
:##)4,C#L
R2
: #%76,5'L P: s". %CC6,66.
!uota constante cuando e6isten )ariaciones de tasas 0. Fn préstamo de s". C$$$ fue otorgado por una institución financiera el día #4 de abril para ser amortizada con 4 cuotas constantes pagaderas cada fin de trimestre aplicando una (E1 del 7$*. En la fecha de vencimiento de la primera cuota se conocen las variaciones de la (E1 a partir de las siguientes fechas? 7' de abril, #6*L 7' de mayo, 7#*L #5 de =unio, 77*. /alcule el importe de las cuotas constantes. p. : s". #6C7,)5. 4. Fn préstamo de s". )$$$ otorgado a una (E1 del #%* para ser amortizado en % cuotas constantes trimestrales vencidas, sufre una disminución de la (E1 al #'* faltando 74 días para el vencimiento de la cuarta cuota. Q/uál será el importe de esa cuota a su vencimientoG p.
R4
:!". C47,)C.
8. Fna ma&uinaria con un precio al contado de R#$ $$$ es vendido con una cuota inicial de R7$$$ y #$ cuotas mensuales constantes con vencimiento cada 5$ días. El 5 de marzo, fecha en &ue se firmó el contrato de crédito, la (12ES fue del %* y posteriormente varió a partir del? #' de mayo al C,)L #' de agosto al C*L #' de octubre al ',)* y #' de diciembre al '*. Prepare la tabla de reembolso definitiva.
a'os en fecas anteriores al )encimiento de la cuota constante . Fn préstamo de s". )$$$ desembolsado el 75 de agosto debe ser amortizado en cuatro cuotas constantes cada 5$ días pagando una (E( del %*. /alcule el importe del primer y segundo pago si el primero se efectúa el día 7$ de setiembre y el segundo se efectúa eactamente el día de su vencimiento. p.
R1
: !" #576,6CL
R2
: !". #557,7).
&$. Fna deuda de !". 7$$$ amortizable en 4 cuotas constantes con vencimiento cada 5$ días a una (E2 al 5* tuvo el siguiente cronograma de desembolsos? da de noviembre, !". )$$L 5 de diciembre, !". #)$$. !i la (E2 disminuyó al 7,)* el # de diciembre y el cliente cancela su primera cuota el #C de diciembre, calcule el importe y el cliente cancela su primera cuota el #C de diciembre, calcule el importe de la primera cuota y formule en esa 1=¿
fecha la nueva tabla de reembolso. p.
R ¿
2=¿
!". )7',55L
R ¿
!".
)7C,'5.
a'os cu9os importes son ma9ores a la cuota constante &&. Fna deuda de s".'$$$ debe ser amortizada en % cuotas constantes trimestrales vencidas con una (E2 del 7*. -ormule la tabla de reembolso considerando &ue al vencimiento de la primera cuota el pago es de !". 1=¿
#)$$. p.
R ¿
!". #)$$L cuotas restantes %C),'4.
&2. 1l vencimiento de la segunda cuota de un crédito bancario de !". )$$$ otorgado para ser amortizado en ' cuotas constantes trimestrales vencidas con una (ET del #* se cancela el importe de !".#5$$. /onsiderando &ue el prestatario pagó oportunamente su primera cuota, calcule el importe de las 1=¿
cuotas por devengar. p. #$$4,)'L
R4
a
R6
R ¿
3=¿
2=¿
!".#$7#, 'CL
!". #5$$L
R ¿
R ¿
!".
:!".#$7#, 'C.
!uota capital en función de la cuota constante &(. /alcule el importe de la seta, séptima y octava cuota capital de un préstamo concedido a una (E1 del 7$* amortizable en #7 cuotas constantes trimestrales vencidas de !". ##$',64L dicha información es 6 =¿
necesaria para la preparación de un flu=o de ca=a.
A¿
!". %$4,)'L
8 =¿
7= ¿ A ¿
p.
!". %47,$%L
A¿
!". %%#,54.
&/. . Fn crédito debe ser amortizado en 74 cuotas constantes de !".467, %7 cada 5$ días aplicando una (E1 del #%*. /alcule el importe de la cuota 10=¿
capital correspondiente a la décima cuota. p.
A ¿
!". 4$$,C7.
&. /alcule la cuota constante de un préstamo amortizable en ' trimestres vencidos a una (E( del )*, cuya &uinta cuota capital es de !". #C%C,$#. p. :#6C$,#%.
!uota capital en función del ltimo préstamo &0. /alcule la duodécima cuota capital de un préstamo de !". #$ $$$ reembolsando en #% cuotas mensuales uniformes vencidas a una (E1 del 12=¿
74*. p.
!" )C%,)#.
A ¿
&4. Ubtenga la seta cuota capital de un crédito de !". '$$$ otorgado a una (J2 del 7,)$* durante 7 aos reembolsable con cuotas constantes cada 6 =¿
6$ días. p.
A¿
!". %74,)C.
&8. En el eamen practicado por una compaía auditora se re&uiere conocer el importe de la &uinta cuota capital de un préstamo. Para obtener este dato se tiene la siguiente información? préstamo original !". )$$$L (J1 #%*
capitalizable trimestralmenteL el número de cuotas constantes trimestrales 5=¿
vencidas es %. p.
A¿
!". '5),'C.
&. +a seta cuota capital de un préstamo amortizable en 7 aos con cuotas constante trimestrales vencidas es de !". 7$$$. /alcule el importe del préstamo otorgado a una (J1 del 74* con capitalización diaria. p. P:!". #4 C'#,%7.
!uota capital en función de la primera cuota capital 2$. +a primera cuota capital de un préstamo amortizable con cuotas constantes bimestrales vencidas es de !". )$$. /alcule la octava cuota capital sabiendo 8 =¿
&ue el préstamo devenga una (EN del 5*. p.
!". '#4,64.
A¿
2&. /alcule la seta cuota capital de un préstamo reembolsable en cuotas constantes &uincenales vencidas con una (E2 del 4*, cuya primera cuota 6 =¿
capital es de !". C)$.
p.
A¿
!" %7C,7'.
22. +a décima cuota capital de un préstamo otorgado a una (J1 del #%* con capitalización trimestral y reembolsable con cuotas constantes bimestrales 1=¿
es de !". 4$$. /alcule la primera cuota capital. p.
A ¿
!". 5$C,#'.
!uota interés en función de la cuota constante 2(. Q/uál es el importe de la cuota interés de la décima cuota constante de un préstamo otorgado a una (E1 del 7%*, reembolsable en #7 cuotas 10=¿
mensuales vencidas de !". 7)$$G
p.
I ¿
!".#46, '7. 2/. Para conocer el efecto del escudo fiscal producido por un préstamo reembolsable en 5' cuotas constantes mensuales vencidas de !" 7$$$ con una (E1 del 7'*, se re&uiere conocer el importe de la cuota interés correspondiente a la duodécima cuota. /alcule dicha suma. p. 12=¿ S / .7
I ¿
'4,7C.
2. El importe de la cuota interés de la séptima cuota constante en un financiamiento otorgado aplicando una (E1 del 7%* y reembolsable en %
cuotas semestrales vencidas es de !". 7)$$. /alcule el importe de la cuota constante. p. :!". ## 47%,)C.
!uota interés en función del préstamo 20. Fn préstamo de !". #$ $$$ debe ser reembolsable durante dos aos con cuotas constantes cuatrimestrales a una (E2 del 5*. Q/uál será el importe 5=¿
de la cuota interés de la &uinta cuotaG p.
I ¿
!". )7$,75.
24. /alcule el importe de la cuota interés de la novena cuota constante de un préstamo de !". C$$$ otorgado a una (E1 del 7#* para ser amortizado en 9 =¿
#7 cuotas mensuales vencidas. p.
I ¿
!". 56,C'.
28. +a &uinta cuota de interés de un préstamo otorgado a una (J1 del 74* y amortizable en % cuotas constantes trimestrales vencidas es de !". 554,%$. /alcule el importe del préstamo. p. P: !". #$ $$$. A 1
+euda e6tin'uida en función de
2. /alcule la deuda etinguida al final de la décima cuota en un préstamo contratado a una (E1 del 77* amortizable en cuotas constantes mensuales 10=¿
vencidas, cuya primera amortización fue de !". #)$$. p.
E ¿
!". #'
#C6,'#. ($. Valle la deuda etinguida hasta la octava cuota de un préstamo amortizable cada 4) días con cuotas constantes vencidas. +a (E1 es del 7%* y la 8 =¿
primera cuota capital fue de R. %$$.
p.
E ¿
!". C #4#C,C).
(&. +a deuda etinguida al final de la tercera cuota constante de un préstamo contratado a una (J1 del 74* capitalizable trimestralmente y amortizable en cuotas trimestrales vencidas es de !". 5 7#',)%. /alcule el importe de la primera amortización. p.
A 1
: !". #$#$,5'.
+euda e6tin'uida en función de r (2. /alcule la deuda etinguida al final del noveno pago en un préstamo concertado a una (E2 del 5* con #7 cuotas constantes vencidas trimestrales es de !". 7$$$. p.
E9
: !". 6$%%,C#.
((. /alcule la deuda etinguida al final del décimo pago en un préstamo concertado a una (J2 del 5* con 74 cuotas constantes vencidas bimestrales de !". 5$$$. p.
E10
: !". 6C'',#7
(/. +a deuda etinguida al final de la tercera cuota trimestral vencida es de !". 5 7#',)%. !i el préstamo fue pactado a una (E( del '* durante % trimestres, Q/uál es el importe de la cuotaG p. : !". #'#$,5'.
+euda e6tin'uida en función de p (. /alcule la deuda etinguida hasta la &uinta cuota de un préstamo de !". 4$$$ contratado a una (E2 del 7* amortizable en #$ cuotas constantes trimestrales vencidas. p.
E5
: !". #C$),#5.
(0. Fn préstamo de !". C$$$ ha sido contratado a una (J2 del 7* durante dos aos con cuotas uniformes bimestrales. /alcule la deuda etinguida al final de la décima cuota. p.
E10
: !". ))65,75.
(4. +a deuda etinguida al final de la décima cuota es de !". )$$$. /alcule el importe del préstamo si fue otorgado para ser amortizado en #7 cuotas constantes cuatrimestrales vencidas a una (J1 del 5'* capitalizable mensualmente. p. P: !". '675,)7.
+euda residual en función de r (8. /alcule la deuda residual al vencimiento de la cuota de un préstamo amortizable al vencimiento de la octava cuota de un préstamo amortizable en 74 cuotas constantes mensuales vencidas de !". #$$$ con una (J1 del 74* capitalizable mensualmente. p.
D8
:!". #5 )CC,C#.
(. 1 fin de cancelar un préstamo contratado para ser amortizado en #7 cuotas constantes trimestrales vencidas y &ue en la fecha tiene 4 cuotas de !". 7$$$ por devengar, se re&uiere saber el importe del saldo insoluto. Efectúe el cálculo con una (E2 del 7.)*. p.
D8
: !". ''C$,5'.
/$. +a deuda residual al vencimiento de la sétima cuota constante es de !". )$$$. !i el préstamo fue pactado para ser amortizado en 74 cuotas mensuales a una (E2 del 5*, calcule el importe de la cuota constante. p. : !". 5C6,C'.
+euda residual en función de p /&. /alcule el importe del saldo insoluto o deuda de un préstamo de !". )$$$ faltando ) cuotas ara su vencimiento total. +a deuda fue contratada para ser amortizada en #7 cuotas trimestrales constantes vencidas a una (J2 del 7*. p.
D 7
: !". 7)#7,#6.
/2. Fn préstamo de !". 5$$$ se amortiza mensualmente a una (E1 el 7$*. /alcule su deuda residual al final de la duodécima cuota constante vencida, considerando &ue el contrato estipula la amortización en #% cuotas. p. D12
: !". #$67,47.
/(. Fna persona &ue se dispone a salir del país decide cancelar sus deudas pendientes con algunas entidades del sistema financiero, el estado de sus cuentas es el siguiente? a% euda de !". %$$$ contratada a una (N1 del 74* capitalizable mensualmente, para ser amortizada en #7 cuotas trimestrales constantes vencidas. En la fecha se han cancelado #$ cuotas. b% euda de !". #7 $$$ contratada a una (E1 del 74* para ser amortizada en 74 cuotas bimestrales constantes vencidas. En la fecha se han cancelado #% cuotas. etermine el importe de las deudas residuales de ambos préstamos. p. a9 D10
: !". #C)%,$%L b9
D 18
: !". 4$7),$6.
//. un crédito de !" #$ $$$ pactado para ser amortizado en #7 cuotas constantes trimestrales vencidas se cancela totalmente después de haber transcurrido 5C días de la décima cuota. /alcule el importe del pago a efectuar con una (J1 del 74* capitalizable trimestralmente. p.
D 10+ 37 dás
: !". 7756,%5. /. Fn préstamo de !". #$ $$$ ha sido contratado para ser reembolsado en #7 cuotas trimestrales constantes vencidas. 1l término de la octava cuota la deuda residual asciende a !" 4$$$, C5. /alcule la (E( aplicada al préstamo. p. (E(: )* /0. /alcule la cuota de interés y la cuota capital correspondiente a la seta cuota constante vencida y la deuda etinguida y deuda residual al inicio de la sétima cuota. El préstamo de !"#) $$$ fue concretado para ser reembolsado en % cuotas constantes cada fin de trimestre con una (J1 del 5'* capitalizable trimestralmente. p. 7$67,C#L : !". 7C#$,#7L
E6
I 6
: !". #$ 757,'#L
: !". '#C,4#L D 6
A 6
: !".
: !". 4C'C,4$.
!álculo para allar el nmero de cuotas /4. Fna deuda de !". #) $$$ debe ser amortizada totalmente con pagos constantes bimestrales vencidos de !". 7$$$. QEn cuánto tiempo podrá amortizarse si los saldos deudores generan una (E2 del 7G)*G p. En 6,''6)76)C6 bimestres. /8. Q/uántos pagos trimestrales vencidos de !". 5$$$ deben efectuarse para amortizar una deuda de !". #7 $$$ &ue devenga una (E2 del 5*G QEn &ué fecha debe realizarse el último pagoG p. J: ),77''#%C56L -echa? 7$ días después de la &uinta cuota. /. El 7 de marzo se contrae una deuda de !". 4$$$ &ue devenga una (E2 del 5* para amortizarla con pagos uniformes vencidos de !". )$$ cada 5$ días. QEn &ué fecha se realizará el último pagoG p. J: 6,7%445C7%'L -echa de pago? ) de diciembre.
Importe de la ltima renta con n no entero $. . Fna deuda de !". '$$$ &ue devenga una (E2 del 4* será amortizada con pagos uniformes vencidos de !". #$$$ cada 4) días. a9 /alcule el número de cuotas necesarias para cancelar el crédito. b9 Q/uántos días contiene el último período de rentaG c9 !i el crédito fue otorgado el # de marzo, Qen &ué fecha vencerá la última cuotaG d9 Q/uál es el importe de la última cuotaG e9 ;erifi&ue a valor presente la consistencia del importe de las cuotas. f9 !i el préstamo se decide cancelar en % cuotas de 4) días, las C primeras de !". #$$$ Qcuál será el importe de la octava cuotaG g9 !i el préstamo de decide cancelar en % cuotas de 4) días, las C primeras de !". #$$$. Q/uál será el importe de la sétima cuotaG p. a9 C,'%##)64)5 cuotasL b9 apro. 5# díasL c9 El #$ de febrero del ao siguienteL d9 !". 'C4,C)L e9 ;P: !". '$$$L -9 !". '%C,)7L <9 !". #'4%,74.
!álculo para allar la tasa de interés &. Fn crédito comercial de !". #7$$ es otorgado para amortizarlo con #7 cuotas uniformes de !". #5$ al final de casa 5$ días. Q/uál es la (E1 cobradaG p. (E1: '),4%* 2. Fna má&uina cuyo precio al contado es de !". )$$$ se vende al crédito con una cuota inicial de !". 5$$$ y 4 cuotas uniformes &uincenales vencidas de !".'$$. QTué (E2 se ha cargado al financiamientoG p. (E2: #',$7*. (. Fna campaa publicitaria anuncia la venta de un artefacto electrodoméstico a un precio de contado de !". 5$$$. Por el Wdía de la madreX otorga la siguiente oferta? cuota inicial !")$$ y ' pagos mensuales de !".4)$. 1dicionalmente, a fin del cuarto mes, debe pagarse una cuota de !".)$. Q/uál es la (E!G p. (E!: #C,67*
!alcule constantes )encidas en per1odos de tiempo )ariables /. /alcule la cuota constante de un crédito de !". )$$$ desembolsado el 7' de abril y otorgado para ser reembolsado en ' cuotas trimestre calendario vencido (/; 8los días 7' de cada trimestre9 a una (E2 del 7*. p. : !". #$75,'%. . Fn crédito de !". %$$$ desembolsado el 7' d mayo es contratado para amortizarlo en ) cuotas uniformes cuyos vencimientos son? #' de =unio, #5 de agosto, 5# de agosto, #' de setiembre y #) de octubre. Prepare la tabla de reembolso considerando una (E2 del 7*. p. : !". #'6C,CC.
!uotas constantes anticipadas 0. /alcule la cuota de un crédito de !". 4$$$ amortizable en % cuotas constantes mensuales anticipadas con una (E2 del 5*. p. a: !". ))5, 75.
4. Fna empresa necesita un financiamiento de !". )$$$ el cual puede obtenerlo de una institución ba=o la modalidad de cuotas anticipadas a una (E2 del 5*. !i el crédito debe ser amortizado en #7 cuotas mensuales uniformes, Q/uál será el importe del préstamo bruto y cuál el importe de la renta uniformeG p. Préstamo bruto: !". ))4$,56L a? !". )4$,56. 8. Fn préstamo de !". )$$$ se otorga para ser amortizado en % cuotas constantes mensuales anticipadas a una (E2 del 4*. !i después de transcurridos #7 días del vencimiento la &uinta cuota, la (E2 se eleva al 4,)*, calcule la deuda residual en esa fecha, el importe de cada cuta por devengar y formule la tabla de reembolso con los cambios de tasas. p. D4 +12días
: !". 7$#7,6'L
R6
:
R7
:
R8
: !". C#6, 4%.
!uotas constantes diferidas . /alcule la cuota constante de un préstamo de R5$ $$$ otorgado por un organismo internacional a una empresa estatal para e=ecutar un proyecto social. El crédito debe ser amortizado en ) aos con cuotas constantes semestrales vencidas a una (E1 del #7*. El plazo total incluye dos períodos diferidos. p. : !". )5C4,4C. 0$. Fn préstamo de !". #$ $$$ es otorgado a una (E2 del 4* para ser reembolsado en el plazo de dos aos con cuotas bimestrales constantes vencidas, el plazo total incluye 5 cuotas diferidas. /alcule el importe de la cuota constante considerando &ue el préstamo se desembolsó en dos armadas? la primera de !". C$$$ y la segunda de !". 5$$$, transcurrido 5C días después del primer desembolso. p. : !". 7$#$, #5. 0&. Q/uál será el importe e&uivalente a pagar hoy si se decide anticipar tres pagos de !". 5$$$ cada uno los cuales vence dentro de cuatro, cinco y seis meses respectivamenteG +a (E2 es del )*. p. P: !". C$)C,55. 02. Fna persona re&uiere un financiamiento por el cual puede pagar % cuotas constantes bimestrales vencidas de !". 5$$$ empezando dentro de 4 cuotas meses contados a partir de hoy. /alcule el importe del préstamo &ue puede solicitar, el mismo &ue devengará una (J1 del 5'* con capitalización bimestral. p. P: !". #C )C4,%6. 0(. Fna empresa recibe un préstamo de !". 7$ $$$ para cancelarlo en el plazo de 4 aos con cuotas uniformes cada fin de trimestre. +a (E( será? 4* durante los dos primeros aos, )* el tercer ao y '* el cuarto ao. +a primera cuota vencerá al finalizar el seto mes. /alcule el importe de las cuotas constantes y la (E( promedio aplicada al préstamo durante los 4
aos de vigencia. /ompruebe su respuesta. p. !". #64%,C6L
R3
R1
: !". #%C$,CCL
R2
:
: #664,7'L (E(: 4,766645#*.
,mortiaciones constantes 0/. Prepare una tabla de reembolso para un préstamo de !". )$$$ &ue será reembolsado con % amortizaciones constantes trimestrales vencidas y una (E2 del 4*. El primer desembolso de !". 5$$$ se efectuó el 6 de marzo, el segundo desembolso de !". #)$$ fue el #4 de abril y el último desembolso de !". )$$ fue el #% de =unio. +as variaciones de tasas se produ=eron en las siguientes fechas? el 5$ de marzo, 5.)*L el 74 de abril, 5* y el ' de =unio, 5.6*. p. /uota 0nteré s 1mort . (otal
# 566,C 7 )'7,) $ 6'7,7 7
7 )5#,#% 6
5
4
4'7,'$
5%),)$
'55,65
'55,65
'55,65
##'),% 7
#$6',) 5
#$#6,4 5
) 5$%,4 $ '55,6 5 647,5 5
' 75#,5 $ '55,6 5 %'),7 5
C #)4,7 $ '55,6 5 C%%,# 5
% CC,#$ '55,6 5 C##,$ 5
Interés constante 0. Fna empresa ha comprado bonos por un importe de !". #$ $$$ emitidos por una empresa de leasing, los mismos &ue rinden una (E2 del 5* con intereses pagados al final de cada trimestre calendario. +a ad&uisición se efectuó el #4 de marzo. Prepare la tabla de reembolso considerando &ue los bonos deben redimirse al cabo de dos aos.
!uotas crecientes aritméticamente 00. /alcule el importe &ue habrá acumulado una empresa al finalizar el primer ao, si a fin de cada mes deposita !". )$$. espués del primer depósito estos se incrementan en !". )$ cada mes. Prepare la tabla referencial de acumulación aplicando una (E2 del 5*. p. !: !". #$ C46,4$.
!álculo del 'radiente aritmético con)encional 04. Fn préstamo de !". )$$$ se ha otorgado para reembolsarlo en % cuotas trimestrales vencidas &ue eperimentarán un crecimiento aritmético de !".6), )# en cada cuota. /alcule la cuota base aplicando una (J2 del 7* y formule la tabla de reembolso. p. /: !". )$$. 08. Fn préstamo de !". )$$$ se ha otorgado para reembolsarlo en % cuotas trimestrales vencidas &ue eperimentarán un crecimiento aritmético en cada
cuota. +a cuota base es !". )$$ y la (J2 es 7*. /alcule el importe del gradiente aritmético convencional. p. P: !". 6),)#
!álculo del 'radiente aritmético no con)encional 0. Fn préstamo de R#$ $$$ para construcción de una casaAhabitación ha sido otorgado a una (E2 del #* para pagarlo en tres aos con cuotas mensuales vencidas. +a cuota base inicial es del )$* del suelo básico familiar &ue en la fecha del desembolso es R)$$. /alcule el gradiente de crecimiento aritmético mensual &ue se iniciará a partir del décimo tercer pago. -ormule la tabla de reembolso. p. <: R #$,6#. 4$. En el siguiente diagrama de flu=o de ca=a calcule < considerando /: #$$$ y (E(: 4*. p. <: 57#,74.
!uotas crecientes 'eométricamente 4&. Prepare la tabla de reembolso de un préstamo de R )$$$ amortizable en #$ cuotas cuatrimestrales vencidas con una (E/ del 4*. /ada cuota eperimentará una tasa de crecimiento geométrico convencional de razón #,$7. p. /: R )'','$. 42. /alcule el valor presente de un préstamo otorgado para ser reembolsado con ocho cuotas trimestrales vencidas a una (E( del 4* y con un gradiente de crecimiento geométrico convencional de razón #,$7. El importe de la primera cuota fue de R #)$$. p. P: R #$ C6#. 4(. Fn crédito de R )$$$ reembolsable en #$ cuotas trimestrales vencidas, fue concedido por una institución financiera a una (E( del )*. /alcule la tasa del gradiente de crecimiento geométrico convencional para amortizar totalmente el préstamo en el plazo pactado. El importe de la primera cuota o cuota base fue R )C#,)6. p. g: 5*. 4/. Q/on cuántas mensuales podrá amortizarse un préstamo de R #$ $$$ &ue devenga una (E2 del 7* y cuya primera cuota de R %67,#' crecerá geométricamente con una razón de #,$) en cada mesG p. n:#$ cuotas.
!uotas con amortiaciones crecientes periódicamente 4. Prepare una tabla referencial de reembolso de un préstamo de R 4$$$ reembolsable con #$ cuotas trimestrales vencidas con amortización creciente. +os porcenta=es anuales de amortización serán? el primer ao, 7$*L el segundo ao, 5$* y el tercer ao )$*. +a (E1 es del 7)*.
Suma de d1'itos 40. Prepare una tabla referencial de reembolso de un préstamo de R #$$$ amortizable en 6 pagos bimestrales con cuotas crecientes de acuerdo con el sistema de suma de dígitos. +a (E( es del )*. 44. /alcule la octava amortización de un préstamo de !". %)$$ otorgado para ser reembolsado en doce cuotas mensuales, por el sistema de cuotas crecientes de suma de dígitos. +a (E2 es del 7*. p.
A 8
: !". %C#,C6.
Sistema de reajuste de deuda 48. Fn crédito de !". )$$$ es otorgado para ser amortizado en #$ cuotas pagaderas cada fin de trimestre con una (E2 del 7* rea=ustable con la inflación. 1l momento de la firma del contrato del préstamo se prepara la tabla referencial de reembolso proyectando la inflación histórica del último bimestre &ue fue en el primer mes, 7.)* y en el segundo mes, #.%*. 1l vencimiento del crédito se conocen las siguientes inflaciones trimestrales? (rim.
#
7
5
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0nf. *
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4,C
),7
#$ ),%
Prepare la tabla referencial de reembolso y la tabla definitiva.
4. Prepare la tabla referencial de reembolso y la tabla definitiva para un préstamo de !". %$$$ amortizable en #$ cuotas cada fin de mes con el sistema de rea=uste de deudas. +a tasa del préstamo será del 7* mensual y con el rea=uste no podrá eceder de un (E2 del )*. El rea=uste será la inflación calculada con el índice de precios al consumidor. 1l vencimiento del plazo del crédito se conocen las siguientes variaciones mensuales de inflación? 2es 0nf. *
#
7
5
4
)
'
C
%
6
7,)
7,5
4,7
4,$
7,7
#,%
#,)
5,C
5,7
#$ 7,%
