Ejercicios Colaborativos:
1. En el sistema que se muestra en la figura, una fuerza horizontal 𝐹⃗𝑥 actúa sobre el objeto de 8,4 𝑘𝑔 (𝑚1 ). La superficie horizontal no tiene rozamiento. La polea no tiene masa ni fricción.
(a) Trace los diagramas de cuerpo libre para cada uno de los dos bloques.
T n T m2
m2g
Fx m1
m1g
(b) Aplique el método newtoniano para determinar la aceleración 8,4 𝑘𝑔 (𝑚1 ), en función de 𝐹𝑥 . En el cuerpo 2 : 𝑚2 = 4,4 𝐾𝑔
En el cuerpo 1: 𝑚1 = 8,4 𝐾𝑔
∑ 𝐹𝑥 = 0 ( 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 )
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎 𝐹𝑥 − 𝑇 = 𝑚1𝑎
∑ 𝐹𝑦 = 𝑇 − 𝑚2𝑔 = 𝑚2𝑎
∑ 𝐹𝑦 = 𝑛 − 𝑚1𝑔 = 0
𝑇 = 𝑚2𝑎 + 𝑚2𝑔 = 𝑇 = 𝑚2(𝑎 + 𝑔)
∑𝐹𝑥 = 𝑚2 ∗ 𝑎 𝐹𝑥 − 𝑇 = 𝑚2 ∗ 𝑎 (1)
Del bloque 1 se tiene ∑𝐹𝑦 = 𝑚1 ∗ 𝑎 ∑𝐹𝑦 = 𝑇 − 𝑃1 = 𝑚1 ∗ 𝑎 𝑇 − 𝑚1 ∗ 𝑔 = 𝑚1 ∗ 𝑎 (2)
Restando la ecuación (2) – (1), tenemos −𝑚1 ∗ 𝑔 + 𝐹𝑥 = 𝑚1 ∗ 𝑎 + 𝑚2 ∗ 𝑎 𝑎(𝑚1 + 𝑚2) = −𝑚1 ∗ 𝑔 + 𝐹𝑥 𝑎=
−𝑚1𝑔 + 𝐹𝑥 𝑚1 + 𝑚2
𝑎=
−𝑚1𝑔 + 𝐹𝑥 𝑚1 + 𝑚2
𝑚 + 𝐹𝑥 𝑠𝑒𝑔2 8,4 𝐾𝑔 + 4,4 𝐾𝑔
−8,4 𝐾𝑔 ∗ 9,81 𝑎= 𝑎=
−82,404 + 𝐹𝑥 12,8
𝑎𝑥
del bloque de
𝑎𝑥 =
𝐹𝑥 − 82,404 12,8
(c) Trace una gráfica cuantitativa de 𝑎𝑥 en función de 𝐹𝑥 (incluyendo valores negativos de 𝐹𝑥 ?
150
aceleracion VS Fx -5,6565625 -4,8753125 -4,0940625 -3,3128125 -2,5315625 -1,7503125 -0,9690625 -0,1878125 0,5934375 1,3746875 -7,2190625 -8,0003125 -8,7815625 -9,5628125 -10,3440625 -11,1253125 -11,9065625 -12,6878125 -13,4690625 -14,2503125
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -100
100
50
0 -16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0 -50
-100
-150
¿Para qué valores de 𝐹𝑥 acelera hacia arriba el objeto de 4,4 𝑘𝑔 (𝑚2 )?
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐹𝑥 > 82,404 𝑁
¿Para qué valores de 𝐹𝑥 permanece el sistema en reposo
2
4
𝑎𝑥 =
0=
𝐹𝑥 − 82,404 12,8
(𝐹𝑥 − 82,404 ) 12,8
𝐹𝑥 = 82,404 𝑁 (d) ¿Para qué valores de 𝐹𝑥 queda distensionada la cuerda? ¿Es válida la gráfica trazada en la parte (c) para esos valores? ¿Por qué?
Se despeja aceleración de la ecuación 𝑇 − 𝑚1 ∗ 𝑔 = 𝑚1 ∗ 𝑎 𝑇 − 4,4 ∗ 𝑔 = 4,4 ∗ 𝑎 𝑎=
𝑇 − 4,4 ∗ 𝑔 4,4
De la misma manera se despeja aceleración de la ecuación 𝐹𝑥 − 𝑇 = 𝑚2 ∗ 𝑎 𝐹𝑥 − 𝑇 = 8,4 ∗ 𝑎 𝑎=
𝐹𝑥 − 𝑇 8,4
Igualando las dos ecuaciones se tiene 𝑇 − 4,4 ∗ 𝑔 𝐹𝑥 − 𝑇 = 4,4 8,4 8,4 (𝑇 − 4,4 ∗ 𝑔) = 4,4 (𝐹𝑥 − 𝑇) 8,4 𝑇 − 362,5776 = 4,4 𝐹𝑥 − 4,4 𝑇
𝑇=
4,4 𝐹𝑥 + 362,5776 12
Ahora para que la cuerda este sin tensión se iguala T=0. 0=
4,4 𝐹𝑥 + 362,5776 12
𝐹𝑥 = −
362,5776 = −82,404 4,4
𝐹𝑥 = −8,4 𝑔 La cuerda se encuentra sin tensión cuando Fx es igual a menos 8,4 veces la gravedad.
f). ¿Es válida la gráfica trazada en la parte para esos valores? ¿Por qué?
Si es válida la gráfica trazada en el punto (c), ya que los puntos coinciden tanto gráficamente como analíticamente.
2. Una carreta cargada con bultos tiene una masa total de 16,3 𝑘𝑔 (𝑚1 ), se jala con rapidez constante por medio de una cuerda. La cuerda está inclinada 23,3 0 (𝜃 𝑜 ) sobre la horizontal y la carreta se mueve 18,9 𝑚 (𝑥1 ) sobre una superficie horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre el suelo y la carreta es de 0,400 (𝜇). Con base en la anterior información, determine:
𝜃 = 23,8° 𝐹𝑓 = 𝜇𝑘 ∗ 𝑁
16,3 Kg
T TY TX
𝑆𝑒𝑛𝜃 =
𝑇𝑦 = 𝑇𝑦 = 𝑇 𝑆𝑒𝑛𝜃 𝑇
𝐶𝑜𝑠𝜃 =
𝑇𝑥 = 𝑇𝑥 = 𝑇 𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑇
𝑤 = 𝑚𝑔 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑛
∑ 𝐹𝑥 = 𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝐹𝑓 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 𝑇𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑛 − 𝑤 = 0
𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐹𝑓
𝑛 = 𝑤 − 𝑇𝑠𝑒𝑛𝜃
Tenemos dos ecuaciones para las dos incógnitas, T y n. Para resolverlas, podemos eliminar una incógnita y despejar la otra. Hay muchas formas de hacerlo; una es sustituir en la primera ecuación la expresión para n obtenida de la segunda ecuación:
𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝜇𝑘(𝑤 − 𝑇𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝑇=
𝜇𝐾 ∗ 𝑤 𝐶𝑜𝑠𝜃 + 𝜇𝑘𝑆𝑒𝑛𝜃
𝑇=
𝜇𝐾 ∗ 𝑚𝑔 𝐶𝑜𝑠𝜃 + 𝜇𝑘𝑆𝑒𝑛𝜃
a. La tensión en la cuerda.
𝑚 0,400 ∗ 16,3 𝑘𝑔 ∗ 9,81( ) 𝑠𝑒𝑔2 𝑇= 𝐶𝑜𝑠 23.3° + 0,400 ∗ 𝑆𝑒𝑛23.3°
𝑇=
63,9612 = 𝑇 = 59,41 𝑁 0,91844 + 0,158
b. El trabajo que efectúa la cuerda sobre la carreta.
𝑊 = 𝐹 ∗ 𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑊 = 59,41𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠 ∗ 18,9 𝑚 ∗ 𝑐𝑜𝑠 23.3 ° 𝑊 = 1031,27 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠
c. La energía perdida debido a la fricción.
𝐸 = 𝜇𝑘 ∗ 𝑊 = (0,400 )(1031,27 𝑁) = 412,508 𝑁
