Formulario Fisica 1
Nome Grandezza, Simbolo, Unit` a equivalenti1
1. v = ∆x/∆t ≡ pendenza della retta
radiante al secondo Velocit` a angolare, rad/s radiante al secondo2
Accelerazione angolare,
Moto uniformemente accelerato :
joule Energia, lavoro, calore, J, N·m
1. v = v 0 + at
watt Potenza, flusso radiante, W, J/s
a
coulomb Quantit` a di elettricit` elettricit` a, a , carica carica elettr elettrica ica,, po-
h
A
c
B
tenziale tenziale elettrico, elettrico, differenza differenza di potenziale, potenziale, C, A·s
g t 1. vy = gt
farad Capacit` a elettrica, F, A·s/V
ohm Resistenza elettrica, Ω, V/A
2. h = (1/2)gt 2
weber Flusso magnetico, Wb, V·s
Lancio verso l’alto :
tesla Induzione magnetica, T, Wb/m 2 , N/A·m
henry Induttanza, H, V·s/A
joule al Kg per kelvin Calore specifico, J/Kg·K watt al metro per kelvin Conducibilit` a
termica,
W/m·K
watt allo steradiante Intensit` a radiante, W/sr
y x
α 0 π /6 π /4 π /3 π /2
sin α 0 1 √ /2 √ 2/2 3 /2 1
cos α √ 1 √ 3/2 2 /2 1 /2 0
tan α √ 0 3/3 √ 1 3
1. t =
p
(2h)/g
2. h = (1/2)gt 2 3. R = v 0 5. vy =
p (2h)/g p
g/ (2h)
√
2gh
6. ax = 0 7. ay =
p
x2 + y 2
2 . Θ = t a n−1 (x/y) x/y), sinΘ = y/A, y/A, c o s Θ = x/A, x/A, tanΘ = y/x = y/x 3. c2 = a 2 + b2 − 2ab cos C
2 1 A sin B ab sin C = = c sin 2 2 sin sin C
→ −
Lancio dall’alto :
4. v0 = R
∞
1. y = A sinΘ, x = A = A cos cos Θ, A Θ, A =
4. Area= Area= 12 hc = hc =
1. h = v 0y t − (1/2)gt 2 2. hmax = (v02 )/(2g )
joule al kelvin Entropia, J/K
θ
3. v = (v0 + v )/2 Caduta libera :
volt al metro Campo elettrico, V/m, N/C
A
2. x = x 0 + v0 t + (1/2)at2 4. a = (v − v0 )/t
volt Forza elettromotrice, V, N·m/C
α 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦
≡
3. a = ∆v/ ∆t ≡ der. della vel. rispetto a t
pascal Pressione, Pa, N/m 2
b
2. lim lim∆t 0 ∆x/∆t ≡ pende pendenz nza a dell della a tg derivata di x = x (t) rispetto a t →
rad/s2
newton Forza, N, Kg·m/s2
C
1
25 luglio 2003
→ −
||B | cos α = Prodotto scalare A · B = |A||B
h
−g
R
Formule utili : 1. x − x 0 = ((v + v 0 )/2)t spostamento spostamento in funzione del tempo 2. x − x0 = vt − (1/2)at2 spostamento eliminando v 0 2
2
3. v = v 0 + 2 a(x − x0 ) Ax Bx + Ay By + Az Bz ; A ⊥ B nullo, A nullo, A B max 4. x − x0 = (v 2 − v02 )/(2a) spostamento in funzione di v 0 , v , a → − − → ||B | sin α = Prodotto vettoriale A × B = |A||B − → → ı (A ( Ay Bz − A z By ) + − ( (A Az Bx − A x Bz ) + − → k (A ( Ax By − A y Bx ); A ⊥ B max, A B Lancio 2d : nullo 1. x(t) = v 0x t Conversione da m/s a km/h si moltiplica per
3,6; da km/h a m/s si divide per 3,6 Conversione rad←→gradi ◦
◦
180 /π = /π = x x /y rad 1 Ques Questo to form formul ular ario io non non ha la pret pretes esa a di esesser sere c com ompl plet eto. o. Pu` Puo ` contene ontenere re errori errori e impr imprecisi ecisiooni, ni, se ne trov trovat ate e scri scrive vete temi mi:: Vinc Vincen enzo zo Cor Corcion cione e
[email protected]
2. y (t) = v 0y t − (1/2)gt 2 3. v =
p 2
vx + vy2
4. vx = v cosΘ 5. vy = v sinΘ 1
−
6. Θ = tan tan
(v0x /v0y )
7. tP = v 0y /g 8. tR = 2th 9. hmax = v 02y /2g
P
h θ
R
Formulario Fisica 1
1
−
10. 2Θ = sin 11. sin2Θ =
(gR/v02 ) angolo di lancio
(Rg/v02 )
2. P = mg
max gittata per π /2
12. R = (v02 sin2Θ)/g = (2v0x v0y )/g gittata
2/(gh )
√
2gh
p
1. ω =
3. ω = Θ/T = 2 π/T = 2 πf = v/R
2. T = 2 π/ω = 2π
4. ac = (2πv )/T = v 2 /R = ω 2 R = (4π2 R)/T 2
ω x0 = x 0 3. vmax = ωx
8. y (t) = R sin ωt
4. x = x 0 cos ωt , ∆x = v (m/k)2
−ωR sin ωt ax = −ω 2 R cos ωt = −ω 2 x
Pendolo : 1. ω = 2π/T =
Urti :
− → −v quantit`a di moto p = m →
2. p =
3. v =
p 2
px + py2 + pz2
→ −
4. centro centro di massa massa = (m1 x1 + m2 x2 )/(m1 + m2 ) (2 corpi) 5. vcdm = (m1 v1 + m2 v 2)/(m1+ m2 )
7. v12 = V 12 + V 22 + 2V 1 V 2 cos α urto elastico 2 dimensioni; se m 1 = m 2 ⇒ α = 90 ◦
8. V 1 = (v1 (m1 − m2 )/(m1 + m2 )) + v2 (2m2 )/(m1 + m2 ) V 2 = (v1 (2m1 )/(m1 + m 2 )) + v 1 (m2 − m1 )/(m1 + m 2 ) velocit` a dopo urto elastic stico o 1 dime dimens nsio ione ne con con bers bersag agli lio o in moto 9. v = (m1 v1 + m 2 v2 )/(m1 + m 2 ) velocit` a dopo urto anelastico 10. µ = (m1 m2 )/(m1 + m2 ) massa ridotta Attrito : 1. µs = (F a )s /F N N coeff. attr. statico 2. µd = (F a )d /F N N coeff. attr. dinamico h
mg µ = F 4. µn = mgµ
2
√
5. vp = ((mp + M )/mp ) 2gh vel. proiettile (pendolo balistico) 6. ω =
del
p mgd/I pendolo composto p
7. T = 2 π
6. V 1 = v 1 (m1 − m2 )/(m1 + m2 ) V 2 = v1 (2m1 )/(m1 + m 2 ) velocit` a dopo urto elastico 1 dimensione
3. F N normale N = mg cos Θ forza normale
l/g
√ gh
4. h = l (1 − cosΘ)
3. I = = F t
P
p g/l = v/l p
2. T = 2 π/ω = 2π 1.
k/m
7. W = (1/2)kx 20 lavoro lavoro nec necess essari ario o per allungare la molla di x 0
9. vx =
l
p m/k p
/2)kx 20 energia potenziale elastica; v = 6. (1p ω x20 − x2
7. x(t) = R cos ωt
10.
k/m = 2π/T
5. F = −kx forza elastica
6. F c = mω 2 R = m (v 2 /R)
R
p
2. v = (2πR )/T = 2 πRf = ωR ω R
5. T = (2 π )/ω
θ
4. t = l
Molla :
1. f = 1 /T
s
3. a = gh/l 5. v =
Moto circolare :
v
2
25 luglio 2003
I/mgd pendolo composto
Moto armonico : 1. x = x0 cos ωt = A cos(ωt + φ ) con A = ampiezza, φ = fase 2. a(t) = −ω 2 x(t) caratteri caratteristic stica a del moto armonico 3. velocit` velo cit`a = 4.
−ωA sin(ωt + φ) accelerazi accelerazione one = −ω 2 A cos(ωt + φ)
Rela Relazi zion one e del del moto moto arm armon onic ico o con con circolare uniforme
il
moto moto
1. x = R cos(ωt + φ) 2. T = 2 π/ω
3. y → φ = y
− π/2
Moto rotazionale (corpi estesi) : 1. ω ≡ dΘ/dt velocit` a angolare; v = Rω con Θ in rad 2. α = d 2 Θ/dt2 accelerazione angolare; a = Rα 3. Θ = Θ0 + ω0 t + (1/2)αt2
θ
Piano inclinato : 1. F = Ph/l = P sinΘ
4. Se `e un moto circolare circolare uniforme: uniforme: f = numer numero o di giri giri al second secondo; o; v = 2πRf ; ω = 2πf con ω in rad/s
Formulario Fisica 1
− →
→ → r × − p momento angolare con 5. L = − → − → p = quantit` r = vettore a di moto e − − → dall’origine a p Centro di massa :
4. F = k 0 (q 1 q 2 )/r2 Legge di Coulomb nel vuoto 5. p ≡ Q · L momento del dipolo 6. F = qk0 p/r3 forza del dipolo sulla carica q → − → − 7. E = F /q campo elettrico → − → 8. E = (k Q/r2 )− r campo elettrico
1. vcm = (Σmi vi )/Σmi
− → − → → − T = d L/dt
→ r i )/Σmi baricentro 2. R cm = Σmi − 3.
0
2 (1/2)mvcm +
k , k =energia cinetica 4. k = misurata nel sistema del c.d.m.
9.
Momento di inerzia (m.i.) : 1. T = Iα momento delle forze, con α accelerazione angolare Σri2 ∆mi
2. I = momento di inerzia; Iω momento angolare 3. k = (1/2)Iω2 energia cinetica 4. I = I cm + M h2 teorema di HuygensSteiner 5. mR2 m.i. anello 6. (1/2)R2 m.i. cilindro 7. (ml2 )/12 m.i. sbarra 2
8. (2/5)mR m.i. sfera piena 9. (2/3)mR2 m.i. sfera vuota 10. (3/2)mR2 m.i. disco (rispetto ad un asse periferico) Oscillazioni smorzate :
2. F Tot = ma = 3. x(t) = Ae
10. 11. 12.
generato da una carica puntiforme → − − → E d A = 4πk 0 Qint = (1/ε0 )Qint Teorema di Gauss, se Qint = 0 allora # linee entranti = # linee uscenti → − − → − → ∆ φ = E ∆ A flusso − → − → φ = S E d A per una superficie S → − − → E d A = 4πk0 Q per una carica puntiforme e una superficie chiusa qualunque
13. U B − U A = (qQ/r)k0 potenziale elettrico per il campo elettrico, Q puntiforme 14. V ≡ U/q , V = (k0 Q)/r Potenziale elettrostatico = energia potenziale per unit` a di carica, conduttore sferico con carica superficiale Q 15. ∆V = −Ex 0 = ED differenza di potenziale, D =distanza 16. E = −4πk0 σ condensatore 2 strati. σ = Q/A densit`a superficiale
− →
→ v 1. R = −b−
3
25 luglio 2003
−kx − bv
17. E = σ/(2ε0 ) = 2πk0 σ lamina carica, cond. 1 strato
p
18. E = k 0 (Q/r2 ) carica a simmetria sferica a distanza r > R, se r < R E = 0
(−b/2m)t
cos(ωt + φ)
4. ω (k/m ) − (b/2m)2 = p 2 = ω0 − (b/2m)2 , con ω02 = pulsazione in assenza di smorzamento
19. E = k0 (Q/R3 )r sfera uniformemente carica
Varie : 1. P = F ∆x
−→− →
2 2. W = (1/2)mvB − (1/2)mvA2 , W = F S S lavoro
−→
3. F S = F cos α componente del lavoro nella direzione dello spostamento Elettricit` a :
20. U = (1/2)Q20 /C energia condensatore 21. U = (k0 Qq )/r = (−k0 e2 )/R energia potenziale elettrone accelerato 22. C = A/(4πk0 x0 ), ∆V capacit` a condensatore
−
2. k0 = 1/(4πε 0 ) = 8.99 · 109 N m2 /C 2 3. µ0 = 4π × 107 (T · m)/A = 12.56 · 107 henry/m, permeabilit`a magnetica nel vuoto
Q/C
23. C /C = k = 1/(1 − (q /q 0 )) costante dielettrica, q carica indotta
1. ε0 = 8.85 · 10 12 C 2 /Nm 2 costante dielettrica nel vuoto
=
24. C = q 0 /V = q 0 /(Ex 0 ) dielettrici
Elettrodinamica :
1. I = Q/t intensit`a di corrente, carica per unit`a di tempo in A = C/S
Formulario Fisica 1
4
25 luglio 2003
− → 2. → = ρ · − v densit`a di corrente, ρ = densit` a di carica → − − 3. I = → · A corrente per unit`a di su− perficie. Se → `e variabile allora I = → → − − · A 4. I = N evd A , v d vel. media di deriva 5. R = V /I resistenza 6. I = qnAlv
− → → − 21. φ0 = S E − d A flusso del campo magnetico; su una superficie chiusa → − − → B d A = 0 flusso in = flusso out 22. f em = (−dφ)/(dt) Legge di Faraday − − → → → → − 23. C E d− s = − S ((d B )/(dt))d A Legge di Lenz. S=superficie, C=contorno 24. (v1 /v2 ) = −(n1 /n2 ) trasformatore → − − → 25. E d A = 4πk 0 Qint Legge di Gauss 2
7. R = (mvx0 )/(N e2 LA) = ρx0 /A con Termodinamica : m =massa elettrone, v =velocit`a elet1. P V = nRT equazione dei gas perfetti, trone, N =num. medio di elettroP V = costante a T costante ni per unit`a di volume, L =cammino 2. n = m/M = num. moli libero medio, ρ =resistivit`a 8. ∆qξ energia ricevuta dalla carica, ξ forza elettromotrice −→ → − → − 9. F E = q E campo E esercita forza su carica q → − → → 10. F = q − v = q − v × B forza magnemag
tica esercitata da un campo B su una − carica q che si muove con velocit`a → v , → − B campo magnetico 11. P = V I = I 2 R potenza dissipata 12. R = (mv)/(qB), T = (2πm)/(qB) carica in movimento in un campo magnetico uniforme che percorre una circonferenza
3. R = 8.31 J/(mole k) costante universale 4. F = (−2mvx )/(∆t) = (−mvx2 )/d, ∆t = (2d)/vx Forza della parete sulla molecola 5. F ∆t =
−2mvx Teorema dell’impulso
6. F = ( N/ 3)((m/d)vx2 ) forza totale
7. P = (2 /3)(N/V )(1/2)mv 2 pressione 8. C = Q/ (m∆t) calore specifico 9. Q = C m∆t quantit` a di calore trasferita
p
10. vq = (3RT )/M , T = 2 /(3kB )(1/2)mv 2 velocit`a quadratica media; M =peso molecolare medio gr/mole; R =costante dei gas 11. kB = 1.38 Boltzman
·
23
−
10
J/K costante di
13. B = |(µ0 /2)(I 1 /R1 ) − (I 2 /R2 )| campo magnetico al centro di 2 spire circolari → − − → → − → 14. F = q E + q − v × B forza totale
12. C x = (ma ca (T −T a ))/(mx (T x −T )) calore specifico
15. E/B = −v rapporto E/B affinch`e forza totale=0
15. ec = 1 − (T f /T c ) macchina di Carnot
13. Qnetto = Q C − QF
14. e = 1 − (QF /QC ) rendimento
16. ds = d (Qr/T ) variazione di entropia
16. forza totale su una corrente = Σ forze 17. T eq = (c1 mT 1 + c2 mT 2 )/(c1 m + c2 m) nulle sulle cariche temperatura di equilibrio − − → → 17. F = I d s × B forza esercitata dal Trasformazioni : → campo magnetico su un elemento d− s del filo → − → → 18. d B = (µ0 /4π)(Id− s × − r )/r2 Legge → di Biot e Savart, d− s =elemento di → − corrente, d B = contributo al campo → magnetico di d− s , µ0 =permeabilit`a magnetica nel vuoto 19. B = (µ0 I )/(2πr) Biot e Savart per un filo ∞ rettilineo → − → 20. B d− s = µ I Legge di Amp`ere: `e l’a0
nalogo del teorema di Gauss per calcolare il campo magnetico prodotto da correnti
1. Adiabatica: Q = 0, ∆U = − W , il sistema si raffredda (o si riscalda). L’espansione libera Q = 0, W = 0 nessun lavoro, ∆U = 0 T =costante 2. Isobara (pressione costante): vi ) =lavoro
P (vf
−
3. Isocora (volume costante): W = 0, ∆U = Q, tutto il calore assorbito va in aumento dell’energia interna 4. Isoterma (temperatura costante): energia interna solo funzione di T per un gas perfetto, ∆U = 0, P V =costante 2 l’integrale
`e quello col doppio cerchio
Formulario di Fisica Generale I Cinematica r Velocit`a: v = d dt Accelerazione: a =
d v dt
=
−
d2 r dt2
Moto uniformemente accelerato
v v0 = a t x x0 = v 0 t + 12 at2 x x0 = 12 (v0 + vx )t vx2 v02 = 2a(x x0 ) Corpo in caduta da fermo: v = 2gh t = 2h/g
− − − − √
·
·
·
g x2 − 2v2 cos 2θ
Velocit`a angolare: ω = dθ dt dω Accel. angolare: α = dt =
d2 θ dt2
Moto Circolare Uniforme
ω = 2π/T vtangenziale = ωr acentripeta = v 2 /r = ω 2 r
−
−
·
Cinetica: K = 12 mv2 1 m v 2 + 1 I ω 2 Rotazione: K = 2 T 1 CM 2 C2M I ω 2 AsseFisso Forze vive: K f K i = LTOT xf Potenziale: U = L = F d l xi Meccanica: E = K + U = 12 mv2 + U Conservazione: E f E i = L NON CONS En. potenziale forze fondamentali: Forza peso: U (h) = mgh Forza elastica: U (x) = 12 k(x l0 )2 m1 m2 Gravit` a: U (r) = G r 1 q 1 q 2 Elettrostatica: U (r) = 4πε 0 r
− ·
ω θ
− ω0 = α · t 1 2 − θ0 = ω0 · t + 2 αt Moto curvilineo d |v | ˆ v2 ˆ a = a θ + a rˆ = θ − rˆ R
dt
r
Sistemi a pi` u corpi Massa totale: mT = mi = dm Centro di massa: rCM = ( miri )/mT = ( ri dm)/mT vCM = drCM /dt = mivi /mT aCM = dvCM /dt = d 2rCM /dt2 Momento di inerzia: I asse = mi ri2 = r2 dm Teorema assi paralleli: I asse = I CM + mD2
Forze, Lavoro ed Energia = ma Legge di Newton: F Momento della forza: τ = r F Forze Fondamentali
×
Forza peso: F g = mg Forza elastica: F el = k(x l0 ) g = G Mm rˆ Gravit`a: F r2 E = 1 q 1 q 2 rˆ Elettrostatica: F 4πε 0 r2
−
−
Forze di Attrito
S Statico: F µS N D = µD N vˆ Dinamico: F V = βv Viscoso: F
| | ≤ | | − | | − Lavoro F · d l = τ dω L = · Forza costante: L = F l θf θi
−
−
·
Moto Circolare Unif. Accel.
xf xi
−
Moto Circolare
·
− −
v2 sin2 θ hmax = 0 2g 2 v sin(2θ) xmax = 0 g
−
−
Impulso e Momento Angolare Quantit` a di moto: p = m v t Impulso: I = pf p i = t12 F dt r p Momento angolare: L = Intorno ad un asse fisso: L = I asse ω
−
Equazioni cardinali
× | |
·
= m · v p = p = L = I · L ω I card: F = d p /dt = m · a /dt II card: τ = d L Asse fisso: | τ | = I · α T
i
T
T
CM
asse
i
ext
T
ext
T
CM
T
ext
asse
v0 φ0 = arctan ωx 0 f = ω/2π, T = 2π/ω Molla: ω = k/m Pendolo: ω = g/L
−
0
T
−
Energia
Moto del Proiettile
y = x tan θ
−
·
−
Forza elastica: L = 12 k (xf l0 )2 + 12 k (xi l0 )2 Forza peso: L = mgh 1 1 Gravit` a: L = Gm 1 m2 rf ri 1 1 q 1 q 2 Elettrostatica: L = 4πε 0 ri rf dL v = τ ω Potenza: P = = F dt
asse
Momenti di inerzia notevoli Anello intorno asse: I = mr 2 Cilindro pieno intorno asse: I = 12 mr2 1 Sbarretta sottile, asse CM: I = 12 mL2 Sfera piena, asse CM: I = 25 mr2 Lastra quadrata, asse : I = 16 mL2
⊥
Gravitazione 3a legge di Keplero: T 2 = Vel. di fuga: v =
2GM T
· − · ·
Fluidi Spinta di Archimede B A = ρ L V g Continuit`a: A v = costante Bernoulli: p + 12 ρv2 + ρgy = costante
·
Onde Velocit`a v, pulsazione ω, lunghezza d’onda λ, periodo T , frequenza f , numero d’onda k. v = ω/k = λ/T = λf ω = 2π/T , k = 2π/λ
Urti Per due masse isolate pT = costante: m1 v1 +m2 v2 Anelastico: vf = m1 +m2 Elastico (conservazione energia): m1 v1i + m2 v2i = m1 v1f + m2 v2f m1 (v12i v12f ) = m2 (v22f v22i ) m2 1 2 v1f = m v + m21m m1 +m2 1i +m2 v2i m2 m1 2m1 v2f = m1 +m2 v2i + m1 +m2 v1i
Onde sonore
−
−
− −
Moto Armonico x(t) = A cos ωt + φ0 v(t) = ωA sin ωt + φ0 a(t) = ω 2 A cos ωt + φ0 = v0 2 A = x20 + ω
− −
1
−ω2x(t)
3
Elasticit` a Modulo di Young: F/A = Y ∆L/L Compressibilit` a: ∆ p = B ∆V /V Modulo a taglio: F/A = M t ∆x/h
Onde su una corda
⇔
4π2 GM S
RT
Leggi di conservazione p T = costante F ext = 0 T = costante L τe xt = 0 E = costante LNONCONS = 0
⇔ ⇔
R
Velocit`a: v = T /µ Spostamento: y = y max sin(kx Potenza: P = 12 µv(ωy max)2
− ωt)
Velocit`a: v = B/ρ = γp/ρ v(T ) = v(T 0 ) T /T 0 Spostamento: s = s max cos(kx ωt) Pressione: ∆P = ∆P max sin(kx ωt) ∆P max = ρvωsmax
− −
Intensit` a: I = 12 ρv(ωsmax)2 = Intensit` a(dB): β = 10log10
I I 0
Soglia udibile I 0 = 1.0
−
× 10
Effetto Doppler
f =
v + v cos θ O
v
−v
O
S cos θS
f
2 ∆P max 2ρv
12 W/m2
Termodinamica Primo principio
Calore e cap. termica: Q = C ∆T Calore latente di trasf.: Lt = Q/m Lavoro sul sistema: dW = pdV Q + W sulsistema En. interna: ∆U = Q W delsistema B dQREV Entropia: ∆S AB = T A
·
−
−
Calore specifico
Per unit`a di massa: c = C/m Per mole: cm = C/n Per i solidi: cm 3R Gas perfetto: c p cV = R cV c p γ = c p /cV 3 5 5 monoatom. 2 R 2 R 3 5 7 7 biatomico R R 2 2 5
≈ −
Gas perfetti
Eq. stato: pV = nRT = N kb T Energia interna: ∆U = nc V ∆T T V Entropia: ∆S = nc V ln T fi + nR ln V f i Isocora (∆V = 0): W = 0 ; Q = nc v ∆T Isobara (∆ p = 0): W = p∆V ; Q = nc p ∆T Isoterma (∆T = 0): V W = Q = nRT ln V f i Adiabatica (Q = 0): pV γ = cost. T V γ 1 = cost. ; p 1 γ T γ = cost. W = ∆U = γ 1 1 (P f V f P i V i )
− −
−
−
−
−
−
Macchine termiche
Efficienza: η =
W QH
=1
−
QC QH
C.O.P. frigorifero = QW C C.O.P. pompa di calore= QW H T C Eff. di Carnot: ηREV = 1 T H Teorema di Carnot: η ηREV
≤
−
x Resistenza termica: R = ∆ kA Resistenza serie: Req = R1 + R2 Resistenza parallelo: R1eq = R11 + R12 Legge Stefan-Boltzmann: = eσAT 4 L. onda emissione: λmax = 2.898mmK T
P
Gas reali
Eq. Van Der Waals: n 2 ( p + a( V ) )(V nb) = nRT
Esp. lineare: ∆L/Li = α∆T Esp. volumica: ∆V /V i = β ∆T Coefficienti: β = 3α β gas perfetto, p costante: β = 1/T Conduzione e irraggiamento
Corrente termica: Q kA ∆T =∆ ∆t = R = ∆x ∆T
P
Derivate d f (x) = f (x) dx d (a x) = af (a x) dx d f (g(x)) = f (g(x)) g (x) dx d n x = nxn 1 dx d 1 = n xn1+1 dx xn d x e = e x dx d ln x = x1 dx d sin(x) = cos(x) dx d cos(x) = sin(x) dx
| || |
·
x
y
− − −
z
−
·
−
−
−
− −
−
−
·
·
−
·
·
Altre costanti
Accel gravit`a sulla terra: g = 9.81 m/s2 Raggio terra: RT = 6.37 106 m Massa terra: M T = 5.98 1024 kg Massa sole: M S = 1.99 1030 kg Massa luna: M L = 7.36 1022 kg Vol. 1 mole di gas STP: V ST P = 22.4 L Temp 0 assoluto θ 0 = 273.15 C
× × × × −
Integrali
Grav.: G = 6.67 10 11 m3 /(s2 kg) Vel. luce nel vuoto: c = 3.00 108 m/s Carica elementare: e = 1.60 10 19 C Massa elettrone: me = 9.11 10 31 kg Massa protone: m p = 1.67 10 27 kg Cost. dielettrica: ε0 = 8.85 10 12 F/m Perm. magnetica: µ0 = 4π 10 7 H/m Cost. Boltzmann: kb = 1.38 10 23 J/K N. Avogadro: N A = 6.022 1023 mol 1 8.314J/(mol K) C. dei gas: R = 0.082L atm/(mol K) C. Stefan-Boltzmann: σ = 5.6 10 8 W/(m2 K4 )
×
·
−
Costanti fondamentali
·
−
× × × × × × × ×
−
Costanti fisiche
×
·
| |
Espansione termica dei solidi
±
∓
−
ˆ A/ A versore: A = Prodotto vettoriale: ˆi jˆ kˆ A B = Ax Ay Az Bx By Bz B = (Ay Bz Az By )ˆi A + (Az Bx Ax Bz ) jˆ + (Ax By Ay Bx )kˆ
×
− ± ∓ ∓ ± ± − −
Calcolo vettoriale Prodotto scalare: B = B cos θ A A B = A x Bx + Ay By + Az Bz A = A A = A A2 + A2 + A2
×
− − ± ± ±
−
−
· · | |
Trigonometria sin(α) sin2 (α) + cos2 (α) = 1, tan(α) = cos( α) sin( α) = sin(α), cos( α) = cos(α) sin(α β ) = sin(α)cos(β ) cos(α)sin(β ) cos(α β ) = cos(α)cos(β ) sin(α)sin(β ) sin(α) = cos(π/2 α) = sin(π α) cos(α) = sin(π/2 α) = cos(π α) α) α) sin2 (α) = 1 cos(2 , cos2 (α) = 1+cos(2 2 2 β sin(α) + sin(β ) = 2 cos α 2 β sin α+ 2 β cos(α) + cos(β ) = 2cos α 2 β cos α + 2
◦
f (x)dx = I (x) − a) f (x − a)dx = I (x I (a · x) f (a · x)dx = a x x1 dx = n +1 1 , n =1−1 x1 = − (n − 1) · x , n = 1 x dx = ln x e dx = e sin(x)dx = cos(x) cos(x)dx = − sin(x) n+1
n
n−1
n
x
x
x1
f (x)dx = I (x1 )
x0
− I (x0)
Approssimazioni (x0 = 0) sin x = x + O(x2 ) (1 + x)α = 1 + αx + O(x2 ) ln(1 + x) = x + O(x2 )
Versione 2, 13 giugno 2011.
[email protected] et al.
2
F o r mul a r io d i F IS IC A 2 Elementi di Calcolo vettoriale LEGGE DI COULOMB 1) Prodotto scalare qq 1 qq0 F = k 20 u r = u r A ⋅ B = A x B x + Ay B y + Az B z r 4πε 0 r 2 2 2) Prodotto vettoriale −12 C dove: ε 0 = 8.8542 ⋅10 i j k Nm 2 Tab 1.1 A × B = A x Ay Az Carica (C) Massa (Kg) B x
By
dU dU dU , , dx dy dz
3) ∇U = gradU =
= ∇U ⋅ ds
dU
Campo elettrostatico E F 1 q E= = u 2
FLUSSO: φS (E) = E ⋅ S dove: E campo di flusso, S = nS in cui:
q0
a) Spaziale dq = ρ ( x ', y ', z ')dτ ⇒ ρ =
S
∂v x ∂v y ∂vz + + ∂ x ∂y ∂z
∫ ρ (x ', y ', z ')dτ 1 ρ dτ 1 ρ ( x, y, z ) dxdydz = E= u u 4πε ∫ r 4πε ∫ r q=
Campo solenoidale se div v = 0, TEOREMA DELLA DIVERGENZA φS ( v) = v ⋅ ndS = div vdV
∫
∫
S
V
vy
v z
irrotazionale "
S
dq
, dl dove: λ è la densità lineare di carica, dl è il tratto infinitesimo di linea.
⇒ v = ∇U ,
∫ λ ( x ', y ', z ')dl In tal caso: 1 λ dl E= u 4πε ∫ r q=
Se il campo è solenoidale e conservativo: ∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U + + = div v = div ∇ U = ∂ x 2 ∂y 2 ∂z 2 =∇
2
Σ
λ= c) Lineare dq = λ ( x ', y ', z ')dl ⇒
In un CAMPO CONSERVATIVO si ha:
∫ v ⋅ d l = 0
dq
Σ
0
∂2 ∂2 ∂2 = ∇⋅∇ = 2 + 2 + 2 ∂ x ∂y ∂z
Ñ
2
τ
∫ σ ( x ', y ', z ')d Σ In tal caso: 1 σ d Σ E= u 4πε ∫ r
∫
2
0
q=
6) Operatore di Laplace (o Laplaciano): ∇
2
d Σ dove: σ è la densità superficiale di carica, d Σ = dx ' dy ' è l’area della superficie infinitesima di carica dq.
TEOREMA DI STOKES v ⋅ dl = rot v ⋅ ndS Ñ
∫
τ
b) Superficiale dq = σ ( x ', y ', z ')d Σ ⇒ σ =
5) ROTAZIONE (O ROTORE) DI V: i j k se rot v = 0 ∂ ∂ ∂ = ∇ × v , si dice "campo rot v = v x
ô
0
dove: V è il volume racchiuso dalla superficie S
∂ x ∂y ∂z
dq
, d τ dove: ρ è la densità spaziale di carica, dτ = dx ' dy ' dz ' è il volume elementare di carica dq. In tal caso:
∫ v ⋅ ndS
4) Divergenza di v: div v =
4πε 0 r
Densità di carica:
S è la superficie elem. attraversata dal flusso n è la direzione normale alla superficie S
In generale: φS ( v) =
-1.6022 ⋅10-19 9.1094 ⋅10-31 -19 -27 +1.6022 ⋅10 1.6726 ⋅10 0 1.6749 ⋅10-27
Elettrone e Protone p Neutrone n
Bz
Σ
0
l
2
In caso di distribuzioni uniformi di carica
⋅ v = ∇ ⋅ ∇U = ∇ U = 0
q = ρτ ,
2
Alcune proprietà: div ROTORE
q = σΣ ,
q = λl .
Alcuni esempi immediati:
= 0 e poichè ⇒ di v w = ∇ ⋅ w ⇒ div rot v = ∇ ⋅ ∇ × v = 0 sempre div rot v
1) Disco sottile di raggio di raggio R e di carica uniforme q: E( x) = ±
1
1− 2πε 0 R 2 q
x x 2 + R2
u x
,
Definisco “Potenziale rispetto all’infinito di un punto distante r” : qq ∞ q ⇒ U (r ) = 0 Vr = V ( r ) = E ⋅ ds = r 4πε 0 r 4πε 0 r
2) Anello sottile di raggio a e di carica unif. q P
∫
E
Potenziale di un dipolo elettrico q
E( x) =
x
V ( P ) =
ux
4πε 0 ( a + x 2 )3 / 2 3) Piani paralleli, indefiniti, uniformemente carichi con densità superficiale uno +σ l’altro -σ posti risp. a distanza dall’origine x1 e x2 tali che x1
•
2
X2
W1 =
∫
0
=
q0 q 1 4πε 0 ri
−
2 1 2 1 2
mv B2 − 2 B
mv
−
1 2 1 2 1
Legge di GAUSS: φS (E) =
x
2
l 1
q0q 1 4πε 0 r f
mv 2A
= q0 E( z B − z A )
∫
Capacità di un conduttore: C =
1 1 = q0 − 4πε 0 r A r B
• Sferico:
∆ Ec = ( Ec ) f − ( Ec )i = q0 ∫ i E ⋅ d s
DIFFERENZA DI POTENZIALE f
V si dice potenziale
elettrico. In forma locale: dU
∫
q V
R1 R2
R 1
R2 − R1
R 2
2πε 0 d
ln( R2 / R1 ) d è la sovrapposizione dei 2 cilindri concentrici S • Piano: C = ε 0 h dove h è la distanza tra le 2 armature
− Vi = − ∫ i E ⋅ d s , dove
C = 4πε 0
• Cilindrico: C =
Energia Potenziale e LAVORO
V f
ε0
CONDENSATORI.
f
f
ρ P
q
− U i = − q0 ∫ i E ⋅ ds
qinterne
r Nei conduttori metallici le cariche sono libere + di muoversi e si dispongono all’esterno. dq ++ + All’interno E=0 q + Il conduttore è tutto allo stesso potenziale la + + q superficie esterna è una sup. equipotenziale σ Quindi: E = u n dove u n è perpendicolare alla ε0 superficie e diretto all’esterno se la densità è positiva, entrante se negativa. 1 dq 1 σ d Σ = Potenziale: V ( P ) = 4πε 0 q r 4πε 0 Σ r
dove l 1 è una curva
Teorema dell’energia cinetica:
U f
ε0
CONDUTTORI.
= q0VA − q0VB = U A − U B
mv
1
In forma differenziale: div E = ∇ ⋅ Ε =
mv 2A
2 A
Σ
∂V ∂V ∂V ,− ,− ∂ ∂ ∂z x y Segue pertanto: ∇ × Å = 0
∆ Ec + ∆E p = 0 mv B2 −
Σ
ovvero E = − grad V = −
Principio di conservazione dell’energia: 1
∫
Ñ
Il campo elettrico è conservativo, pertanto: W i , f
r2
∫ Dato che E è conservativo la ∫ E ⋅ d s = 0 ,
∫ dW = q ∫ E ⋅ ds l1
P
r1
Teorema di STOKES in un campo elettrico E ⋅ ds = rot E ⋅ nd Σ = ∇ × E ⋅ nd Σ Ñ
Lavoro della forza elettrica.
F = q0E dW = F ⋅ ds = q0 E ⋅ ds
+q
+ dove: r 1= d(P, q); r 2= d(P, q) -q
All’esterno, x< x1 opp. X>x2 ⇒ E = 0
X1
1 1 − 4πε 0 r1 r 2 q
= qdV 2
d
CONDENSATORI IN PARALLELO
1
= C1 + C 2
Ceq
R eq
CONDENSATORI IN SERIE 1
=
Ceq
1 C1
+
1
=
2
=
Sh
=
=
1 V
=
2q
1 2
1 2
ε 0 E 2 dq dt
In condizioni stazionarie i =
q t
Si può anche osservare che:
∫
J ⋅ ds dove J è il campo di flusso della
corrente, s è la superficie della sezione di filo In condizioni di S=cost, J=cost si ha che i = JS , e inoltre: J = e ⋅ n ⋅ vd dove n è il numero delle cariche sollecitate dal campo
Equazione di continuità in regime stazionario: ∇
⋅J = 0
Legge di OHM V=R⋅i RESISTENZA: R = Resistività ρ =
h S
ρ [Ω ]
RS h
Potenza P = Ri 2
h s
= V 2
R2
1 R eq
ρ 20 [ Ω ⋅ m ] Coeff. α °C −1 1.59 ⋅ 10-8 1.67 ⋅ 10-8 2.35 ⋅ 10-8 2.65 ⋅ 10-8 5.65 ⋅ 10-8 5.92 ⋅ 10-8 6.84 ⋅ 10-8 9.71 ⋅ 10-8 10.6 ⋅ 10-8 11.0 ⋅ 10-8 12.5 ⋅ 10-8 20.7 ⋅ 10-8 98.4 ⋅ 10-8 1.38 ⋅ 10-5 0.46
4.1 ⋅ 10-3 6.8 ⋅ 10-3 4.0 ⋅ 10-3 4.3 ⋅ 10-3 4.5 ⋅ 10-3 4.2 ⋅ 10-3 6.9 ⋅ 10-3 6.5 ⋅ 10-3 3.9 ⋅ 10-3 4.7 ⋅ 10-3 3.4 ⋅ 10-3 -0.5 ⋅ 10-3 -48 ⋅ 10-3 -75 ⋅ 10-3
2.30 ⋅ 103 2 ⋅ 105 1010÷1014 2 ⋅ 1015 1016÷1017
= k ε 0
dove κ è la costante dielettrica relativa; 2) Suscettività elettrica χ = κ − 1 3) Momento di dipolo o polarizzazione
i 2 [W ]
dielettrica
Energia dissipata nel tempo t
P=
d P d τ
= αE . Si dicono
dielettrici lineari quelli in cui vale:
= Pt = Ri t 2
P = ε 0 (κ − 1)E = ε 0 χE
Dipendenza della resistività dalla temperatura ρ
R1
+
V 2
1) Costante dielettrica assoluta ε
[ Ω⋅ m ]
=ρ
V2
I Dielettrici
Dove: h è la lunghezza del filo S è la sezione del filo
W
+Ri = 2 2 2
Argento Rame Oro Alluminio Tungsteno Zinco Nichel Ferro Platino Stagno Niobio Piombo Mercurio Carbonio(grafite) Germanio Silicio Acqua Vetro Zolfo Quarzo fuso
ε 0 E 2 Sh
Intensità di corrente i =
s
R2
MATERIALE
CORRENTE ELETTRICA.
i =
1
C 2
CV 2
U
R1
+
Potenza: P = R i
1
Densità di energia elettrostatica ue
1
2 11
Energia Elettrostatica. Ue
=
4) Il campo elettrico risultante*: E R =
= ρ20 (1 + α∆t )
dove ρ 20 è la resistività del conduttore a 20°C
Densità spaziale di carica: ρ P =
∆t = t − 20°C diff. di temperatura − α °C 1 è il coefficiente termico di resistività
dq P d τ
E0 κ
= −∇ ⋅ P
Legge di Gauss per i materiali dielettrici 1) Induzione dielettrica D = ε 0 E + P ; ∇⋅D= ρ
Resistenza o resistori in serie
= R1 + R2 Potenza: P = P1 + P2 = R1i 2 + R2i 2 R eq
2)
∫ D ⋅ u d ∑ = q n
3) D è solenoidale, non è conservativo;
Resistenza o resistori in parallelo
3
4) Nei dielettrici lineari risulta:
P=
κ
−1 κ
D=
Def.: Momento magnetico della spira m = iS u n
χ χ
+1
M = m × B ovvero M = d M = m × B
Pertanto (*) diventa:
D
∫
Magnetismo
Effetto Hall
Legge di Coulomb per l’interazione magnetica F = k m
m1 m 2 r 2
dove:
m1, m2 masse magnetiche
z
k m cost. magnetica Il campo magnetico si indica con B, la sua unità di misura è il Tesla (T); altre unità di misura sono: il Gauss (G): 1G = 10 µT ;
sx
Sezione
il Weber (Wb): 1Wb = 1Tm = 1Vs
∫ B ⋅ u d ∑ = 0 n
e quindi… divB = ∇ ⋅ B = 0 il campo magnetico è solenoidale.
Su ogni e agisce una forza non elettrostatica che origina un campo elettromotore E H
F = qvB mv v qB 2 ⇒ r = ω ⇒ = = v qB r m = = F ma m c r 2π 2πm = Da cui il periodo T =
E +
= E HALL = F = v d × B = j × B e
ne
la cui direzione e verso è la stessa della F + D’altra parte si origina un campo E, dovuto alla concentrazione di cariche positive sul lato sx e negative sul lato dx del conduttore. Pertanto in equilibrio: E+EH=0. La tensione di Hall, ossia la d.d.p. tra 2 punti P, Q delle facce laterali, sarà :
qB
-q negativa… ω concorde a B +q positiva… ω discorde a B
V H = ε H =
II legge di Laplace Se considero il moto di 1 elettrone all’interno di un conduttore Fi = − ev d × B , per N elettroni
Q
∫ E P
H
⋅ d z = E H ⋅ PQ = E H a
ossia:
V HALL = E H a = a v d B =
presenti dentro il volume elementare Σds d F = N Fi = (nΣds )Fi dove n: densità elettroni
aj ne
B =
iB neb
= Ba
V A − V B
neρ
d
l’ultima uguaglianza si ottiene ponendo
ma j = n ( − e) v d
i=
d F = Σds j × B Nel caso di un filo conduttore si ha
u x = nev d
F = ev d × B
Moto di q in un campo uniforme B
d F = −(Σds )nev d × B
ab
La forza di Lorentz agente su ogni elettrone è:
cambia direzione ma non cambia in modulo. L’unica accelerazione possibile è quella centripeta.
N.B.:
i
j =
Forza di Lorentz F = qv × B la velocità
ω
Pianta
Sia dato un conduttore di sezione rettangolare a⋅ b. Si voglia determinare il n° dei portatori di carica positivi. La densità di corrente vale:
2
Nel M. il flusso è sempre
dx
i = Σ j
V A
− V B R
, e R = ρ
d
Σ
=ρ
d ab
da cui il numero dei portatori di carica positivi è
d F = ds i × B = i d s × B ,
n=
in quanto i e d s sono concordi
jaB eV H
=
iaB eSV H
Al solito vale i = j S, dove S = ab. Il numero dei portatori di carica negativi è uguale a quello dei positivi, per la neutralità globale del sistema.
Lungo un tratto di filo AB: i = costante B
∫
F = i d s × B A
Conduttore rettilineo l e campo costante B B
∫
F = i d s × B = il × B A
F = ilB sin ϑ Momento meccanico su una spira
B
M = iSB sin ϑ (*)
un
dove S = ab = area racchiusa dalla spira
4
θ
Campo magnetico prodotto da una corr ente
-Solenoide toroidal e µ0=4π10-7 H/m µ0 Ni B = 2π R F orza tra 2 conduttori percorsi da corr ente -F il i rettili nei parall eli
ì 0i ds × u r
1° legge di Laplace d B =
4π
Legge di Ampere-Laplace:
B=
r 2 ì 0i ds × u r
∫
4π r 2 Campo magnetico prodotto da una car ica i n moto Ricordando che: J = ids = n ⋅ q ⋅ vd Per un volume elementare: dB =
B=
Per 1 sola carica: Da cui posto c
2
=
µ0 qv × u r
µ0 qv × u r 2
4π
1
r
⇒ B=
ε 0 µ0
2
∫ B ⋅ ds = 0
Ñ
∇× B = µ 0 j ∇⋅ j = 0 In caso di correnti stazionarie ∇⋅∇× B = 0 In forma locale si scriverà:
Mutua induzione
Dati 2 circuiti i cui rispettivi flussi magnetici, dovuti al passaggio di corrente risp. i1 e i2, sono concatenati con i circuiti reciproci:
P
Φ12 = M 12i1 Φ 21 = M 21i2
-Fi lo r ettilineo inf inito (legge di Biot-Savart) ì 0i
dove:
uφ
R
ì iR 0 2r 3
2
un =
ì
0
In tal caso i circuiti sono coincidenti: 1≡2 Φ = Mi dove M è il coeff di autoinduzione.
m
Equazioni di Maxwell per i campi elettrici e magnetici costanti
2π r 3
µ 0i 2 R
(1) ∇⋅ E =
un
ρ ε0
(3) ∇⋅ B = 0
(2) ∇× E = 0 (4) ∇× B = µ 0 j
Forza elettromotrice del generatore G
B
r
coeff. di mutua
= M 21 = M induttanza
Autoinduzione
B(0) = B max =
P
M 12
M dipende da fattori geometrici e dalle proprietà magnetiche del mezzo
m = iΣu n = iπR 2u n ed r 2 = x 2 + R 2 x
0
Se la curva chiusa Γ non circonda il filo allora:
θ a
=
2π R
Il segno è + se il verso su Γ è concorde con il verso di rotazione della vite dx, il cui verso di avvitamento è quello della corrente i. Viceversa sarà negativo.
dove R è la distanza del punto P dall’asse del filo e θa l’angolo come in figura:
-Spira cir colare ì 0iR 2 B( x ) = un 3/ 2 2 2 2 ( x + R )
µ0i1i2
∫ B ⋅ ds = ± µ i
Ñ
-F ilo r ettil in eo di l unghezza 2a ì i ì 0 ia B = 0 cos ϑa = 2π R 2π R R 2 + a 2
2π R
ε = Rt i = ( R + r )i dove r è la resistenza interna del generatore
V A − VB
-Solenoide Detto: N = numero tot. di spire n = N/d densità lineare delle spire
B
r
B0
= µ0 ni
d 2
d se d >> r ⇒ B0
= Ri = ε − ri
dove A e B sono i poli + e – del generatore G A circuito aperto i = 0 ⇒ V A − V B = ε A circuito chiuso i ≠ 0
+ 4r = µ 0ni 2
⇒ V A − VB = ε − ri
Quindi ε è la d.d.p. misurata ai capi del generatore a circuito aperto.
B0 al centro del solenoide
d
R
Sia dato un filo circondato da una curva Γ chiusa
v×E
Circuiti particolari
B=
= i2 B1 =
i2
Legge di Ampere
dove c è la velocità della luce c=3*10 m/s
cos θa=1 ⇒
i1
2π R
Per unità di lungh. d=1m: F1,2
8
2a
= i2 B1d =
µ0i1i2 d
dove d è la lunghezza di un tratto del filo 2
= ε 0µ0 v × E
1 c
F1,2
nd τ
r 2
4π
Correnti equiverse FORZA ATTRATTIVA Correnti discordi FORZA REPULSIVA
5
i
Legge di Faraday Se varia il Φ (B ) concatenato con un circuito, compare
un campo conservativo
nel circuito una f.e.m. indotta
εi
Φ = − d (B)
εi
Φ(B) = ∫ Σ B ⋅ u n d Σ = BΣ cosθ = BΣ cos ωt d Φ(B ) = ω BΣ sin ω t εi = −
dt
R
=−
1 d Φ (B ) R
dt
dt
da cui ε MAX
A circuito aperto (R=∞) e quindi se mediante uno strumento viene misurato il voltaggio ossia d Φ (B) come nel caso del generatore G V = ε i = − dt
εi
= Ñ∫i Ei ⋅ dl = −
d Φ(B) dt
=−
i=
d
B ⋅ d S dt ∫
R
=
Quando varia i in un circuito, varia il
i=
d Φ(B) dove : τ
dt
=
L R
Pertanto: ε L
2
εi
R
Φ(B) concatenato e
∂Φ( B ) d = − ( Li ) dt ∂t
− t − R L t ε τ − = − 1 e 1 e R R
ε
= costante di tempo del circuito RL
= − L
di dt
= −ε
e
−t
τ
dove i L
=
ε L R
=−
ε R
e
−
t τ
Se il circuito è aperto:
Ad originare il campo elettromotore non può essere la forza di Lorentz (v=0). Dovrà esserci una forza F indotta che muove gli elettroni di conduzione e genera la corrente indotta. La forza che agisce su una carica –e
ε
−t
− t
dove τ ' = L / R ' R R’ = resistenza del mezzo (es.: aria): R’ >> R t t di ε 1 −τ ' R ' − τ ' ε L (t ) = − L = − ( R ' τ ' ) − e = ε e dt R τ ' R R ' Se t=0 allora ε L (0) = ε >> ε ⇒ d.d.p. elevata ⇒ R Scintilla nell’interruttore. Pertanto la corrente i = ε L è
i (t ) =
F = −e ( E + v × B ) quindi B variabile da luogo ad E indotto, e poiché ∂B d S ε i = Ñ Ei ⋅ dl = − ⋅
∫ ∂t S
per il teorema di Stokes
∫ E ⋅ dl = ∫ ∇× E ⋅ndS
da cui segue:
R
dove: L = coeff. di autoinduzione o induttanza N.B.: L si misura in Henry [H]. In genere L=cost. di ε L = − L ; tale εL si oppone alla f.e.m ε del generatore. dt Circuiti RL. In tali circuiti sono presenti un resistore R e un’induttanza complessiva L. Supponiamo che si chiuda tale circuito, per la legge di Ohm avremo: di ε + ε L = Ri ⇒ ε = L + Ri ⇒ ε dt = Ldi + Ridt dt (ε − Ri ) dt = Ldi che separando le variabili e integrando
2) B variabile nel tempo.
Ñ
=−
ε L
= v× B
i
=
ε i2
quindi compare una f.e.m ε L autoindotta:
Se B è uniforme, oltre che costante nel tempo, il flusso concatenato è costante e ε i = 0 .
∫
2
= (mB sin θ )ω = iω BΣ sin ωt =
d Φ (B)
= Ñ∫i Ei ⋅ dl = Ñ∫ v × B ⋅ d l = −
B
R
Si può mostrare che:
εi
= ω BΣ
un
Autoinduzione
Sugli elettroni di conduzione della spira agisce la forza di Lorentz, per cui il campo elettromotore indotto:
−e
B
ω BΣ sin ω t
P = M ω
1) Moto di una spira in B = costante.
F
εi
B v
La potenza meccanica
≠ 0: dt 1) Il conduttore si muove in una regione dove B è costante; 2) B non è costante nel tempo anche se il conduttore è fermo; 3) Una qualsiasi combinazione dei 2 casi precedenti.
Ei =
v×B
v×B
La potenza elettrica indotta P = ε ii = Ri
S
corrente autoindotta di verso tale da generare un flusso secondario, che si oppone all’aumento del flusso Φ( B)
Distinguiamo i casi per cui
L’intensità sarà:
il segno meno è indice del fatto che ε si oppone alla variazione di flusso. Se d Φ (B) > 0 ⇒ cioè Φ( B) aumenta (avvicinando il dt magnete), per cui si origina una ε i , e quindi una
Questa è la legge di Lenz.
ω
Generatore di corrente G
Se R è la resistenza del circuito:
i=
∂B = 0 e quindi ∇ × E = 0 ossia E è ∂t
Se B=cost. allora
e
τ'
= i0 e τ '
L
S
detta extracorrente di apertura.
∂ ∇× E = − B ∂t
6
R '
θ
Considerazioni ENERGETICHE nei circuiti RL Poiché ε = Ri + L
di
, Potenza P = ε i = Ri 2
+ Li
Corrente di spostamento:
di
Legge di Ampere-Maxwell .
dt dt 2 Lavoro prodotto ε idt = Ri dt + Li di Possiamo osservare che ε idt = ε dq è il lavoro
dove j s
compiuto dal generatore; il termine Ri 2 dt rappresenta il lavoro speso per far circolare la corrente (effetto Joule), mentre Li di il lavoro speso contro la f.e.m. di autoinduzione ε L = −Ldi / dt per far aumentare la
∫ B ⋅ dl = µ ∫ j
dove i s
la cui variazione dà il lavoro fatto dal generatore contro la f.e.m. di autoinduzione. Quando si apre il circuito sul resistore viene speso il lavoro: ∞ ε 2 ∞ 2 R 't / L 1 ε2 1 2 2 W R = Ri dt = R ' 2 e − dt = L 2 = Li∞ 0 R 0 2 R 2 Possiamo concludere che l’energia immagazzinata nell’induttanza W L viene restituita attraverso R quando si riapre il circuito.
=
= ∫ τ
B02 2µ0
i1
=
φ 21 i2
∂t
(4) ∇× B = µ0 j + µ 0ε 0
u = 12 ε 0 E 2 +
V
In assenza di carica ρ
(1) ∇ ⋅ E = 0 2 0
B
(3) ∇ ⋅ B = 0
2 µ0
d τ
= 0
1 2 µ0
B2
= 0 le eq. diventano: ∂B (2) ∇ × E = − ∂t ∂Å (4) ∇× B = µ 0ε 0 ∂t j
1. Resistore R
i (t ) =
ε0
cos ω t = i0 cos ω t R V R (t ) = Ri (t ) = Ri0 cos ω t = V0 R cos ω t
come coeff. di mutua induzione.
La ε1i indotta nel circuito 1 dovuta alla variazione di i 2 e
La corrente e la f.e.m sono in fase 2. I nduttore L
alla conseguente variazione del flusso φ21 concatenato
Vale la relazione ε = Ri + L
=−
col circuito 1 è ε1i
dφ21 dt
= − M
∂Å ∂t
Circuiti a corrente alternata ε (t ) = ε 0 cos ω t
Nel caso di circuiti concatenati abbiamo definito
φ12
legge di Ampere-Maxwell
µ 0 n 2 Sd
Mutua induzione M =
legge di Faraday
(3) ∇ ⋅ B = 0
= µ 0ni al centro del solenoide U L
∂E →B ∂t
Ai campi E e B è associata la densità di energia elettromagnetica (J/m3)
dove L’ =induttanza x unità di volume L ' = L V S = sezione del solenoide d = lunghezza del solenoide n = n° di spire x unità di volume
poiché B0
∂φS (E) ∂t
ε0
Energia magnetica per un solenoide u L = 12 L′i 2 [J/m3]
0
= ∫S js ⋅ dS = ∫ S ε 0 ∂E ⋅ d S = ε 0 ∂t
Equazioni di Maxwell per i campi elettrici e magnetici variabili ρ ∂B (1) ∇ ⋅ E = (2) ∇ × E = −
∫
=
∂E ⋅ dS = µ0 ∫ S j + ε 0 ⋅ d S = ∂t
∂B →Å ∂t
i
µ02 n 2 i 2
S
tot
Concludendo un campo magnetico variabile nel tempo produce una variazione del campo magnetico e viceversa:
= ∫ 0 Lidi = 12 Li 2
= 12 µ0 n 2i 2 = 2 1µ
0
= µ0 (i + i s ) = µ0i tot
che dipende solo dagli stati iniziale e finale. Possiamo definire l’energia intrinseca della corrente U L = 12 Li 2
u L
E
Ñ
corrente costante in un circuito resistivo (con resistenza R ). Nell’intervallo di tempo in cui la corrente passa da 0 al valore i, il generatore oltre a spendere il lavoro per l’effetto Joule deve spendere contro εL :
∫
= ε 0 ∂ = densità di corrente di spostamento ∂t
In forma integrale:
corrente da i a i+di. Quando la corrente ha raggiunto il valore di regime, il generatore continua a fornire la potenza ε i∞ = Ri∞2 necessaria per mantenere una
W L
∇× B = µ 0 jtot = µ 0 ( j + js )
In forma locale:
di2
.
di dt
e poiché R=0 ⇒
i (t ) = i0 cos ω t ,
dt
di V L (t ) = L dt = −ω Li0 sin ω t
= ω Li0 cos (ωt + π 2) La corrente è in ritardo sulla f.e.m di π/2
Anche se nel circuito 1 non c’è una f.e.m. propria, compare una i 1, dovuta alla corrente i 2 che varia nel circuito 2 tramite il termine di accoppiamento M.
Reattanza dell’induttore = ωL 7
3.
≠ 0 la soluzione generale della (2) sarà IG2 = {c1 y1 (t ) + c2 y2 (t ) + y (t ) / c1 , c2 ∈ R} se λ ≠ ±iω ⇒ γ ≠ 0 ⇒ y ( x ) = c3 cos ω t : c3 ∈ R se λ = ±iω ⇒ γ = 0 ⇒ y ( x ) = (c3t + c4 ) cos ω t : c3 , c4 ∈ R
Condensatore
= q / ε (t ) ⇒
C
dq (t )
i (t ) =
Se invece ε 0
q (t ) = Cε 0 cos ω t
= ω Cε 0 cos (ω t + π / 2 )
dt
la corrente è in anticipo sulla f.e.m. SE i (t ) = i0 cos ω t
i0
VC (t ) =
ω C
Potenza nei circuiti RLC serie
cos (ω t − π / 2)
Detti V eff
=
V 0
Reattanza del condensatore = 1/ωC
L
Circuito RLC serie
L+C
i (t ) = i0 cos ω t
φ
=
tan φ
cos φ =
e
Si ricorda che ω Definendo: γ
R
=
2 L
ω0
,
=
V0
R
=
P
z 0
ε 0 cos ω t
d q
=L
dt 2
+R
E ( x , t ) = Em sin(kx − ωt )
1
B ( x , t ) = Bm sin(kx − ωt ) B
LC
L
dt
2
+R
dq dt
dt
+
q
C che nel caso in cui è assente la f.e.m. ( ε 0 d 2q
DETTI: ω = 2πν = pulsazione o frequenza angolare 2π = n° d’onda k = λ ω = c velocità della luce k
=0)
q
C
R 2 L
±i
1 LC
−
R2
= −γ ± i
le
cui
γ 2 − ω 02
4L − λ1t
Bm
2
S=
PERTANTO: Smorzamento forte
γ2
b)
t γ
2
−ω02
+ Be − t γ
1 µ0
E × B in modulo S =
2
−ω02
)
S
=
Smorzamento critico
γ2 c)
= ω02 ⇒ R 2 = 4L / C
i (t ) = e−γ t ( A + Bt )
γ
< ω 02 ⇒ R 2 < 4 L / C
i (t ) = De
−γ t
sin(ω t + φ ) , ω
1
2 EB [W/m ]
µ0
I
=
ω
2 0
−γ
1 µ 0c
E2
=
c µ0
B2
la densità di energia elettrica e magnetica: u E = 12 ε 0 E 2 u B = 21µ0 B 2 utot = u B + u E
Smorzamento debole 2
µ0ε 0
poiché B = E / c = E µ0ε 0 risulta…
> ω02 ⇒ R 2 > 4L / C
i (t ) = e −γ t ( Ae
k
= 3 ⋅108 m / s
Vettore di Poynting
1
a)
1
risulta E m = ω = c e inoltre c =
≠ λ2 ⇒ IG1 = { Ae + Be−λ t / A, B ∈ R} − λ t / A, B ∈ R} se λ1 = λ2 ⇒ IG1 = {( A + Bt )e
se λ1
E
delevata
+ = 0 (1) a cui è associata l’equazione
=−
E e B sono in fase e perpendicolari tra loro
(2)
caratteristica Lλ 2 + Rλ + 1/ C = 0 soluzioni sono: λ
= ieff Veff = 12 i0V 0
= 2πν
dq
V0i0 cos φ
Onde piane
Per tali circuiti vale l’equazione differenziale: 2
2
Questo condizione si verifica solo in circuiti prevalentemente resistivi o in condizione di risonanza. In tal caso il carico resistivo:
1 V 0 R
1
= Veff ieff cos φ = 2
= V0 R2 + (V0L − V0C ) 2 = R 2 + (ω L −1 ω C ) 2 i0 V0 = z0i0 dove z 0 è l'impedenza della serie ω C R
si definisce
2
1 1 2 = ⇒ = 0 ω Se cos φ = 1 ⇒ ω L − ω C LC
C
V0
ω L −
i0
=
cosφ è detto fattore di potenza
V0
V (t ) = V0 cos (ω t + φ )
2
Potenza media P
R
ieff
e
= S medio =
L’intensità:
2
=
Resistenza criti ca Rc = 2 L / C
8
1 2µ0
1 µ 0c
Em Bm
E2 =
=
1 µ0
1 2 µ 0c
Eeff Beff
E m2
=
Legge di spostamento di Wien
Inoltre…
λ MAX = 2898 ⋅ T −1µ m
Iθ
λ MAX è la lunghezza d’onda a cui si ha il massimo dell’intensità della radiazione emessa
Riflessione e rifrazione
κ = direzione (d’incidenza, di riflessione,ecc…)
La velocità di propagazione nel mezzo:
= v1 λν 1
λ2ν = v2
= 2π = ω
κ1
λ1
λ1
⇒
v1
=
λ2
e κ2
v1
NB: nota la lunghezza d’onda nel vuoto λ0 è
= 2π = ω λ2
κ1
e
κ2
v2
possibile determinare la lunghezza d’onda nel
v2
=
MIN MAX
c
Eθ
= θ r
III legge (legge di Snell): n1 sin θ1 = n2 sin θ 2 c
n2
e
v1
=
MIN MAX
c
= Em
α α
sin θ 2 nacqua=1.33;
c
c v2
d sin θ d sin θ
v2
CMQ.: α
= n2
= mλ = (2m + 1)λ / 2 =λ
L
r 1
φ
= =
a sin θ λ f tan θ sx
f
= ∆xsx tan θ dx = ∆xdx
f L
L
Specchi sferici
π d
Equazione degli specchi sferici 1 1 2
= Eθ sin(ω t + β )
p
1
1
2 µ0c
E02
⇒ I MAX =
− =− q
R
Lenti sottili
sin θ
⇒ (E θ =0 ) MAX = 2Ε 0
=
π
∆x
θ
d
2 λ Eθ = 2Ε 0 cos β
Poiché I 0
2
m=1,2,… m=1,2,…
∆x
2π d
sin θ λ E = E1 + E2
β
φ
= =
xa
r 2
d
ai due raggi r 1 e r 2 sono E1 = E0 sin ω t , E2 = E0 sin(ω t + φ )
dove:
⇒ Iθ
Geometricamente risulta:
Intensità le leggi del campo E relative
=
α
sin α = I m α
P
Il passo fra 2 max ∆ x
dove: φ
m=1,2,… m=1,2,…
2
naria≈1
Interferenza MAX MIN
=c
sin α
= mπ = (2m + 1)π / 2
Nel passaggio vuoto-mezzo
sin θ vuoto
= mλ = (2m + 1)λ / 2
d sin θ d sin θ
L’intensità delle onde di diffrazione
nello stesso piano di quello incidente
=
.
vmezzo
I legge: le onde riflesse e trasmesse giacciono
dove: n1
n
Diffrazione di FRAUNHOFER
v1
Def.: si chiama “indice di rifrazione rispetto al
II legge: θ i
λ0
mezzo λ =
v2
vuoto” – e si indica n – il rapporto n =
2
E = θ ⇒ Iθ = 4 I 0 cos 2 β I 0 E 0 ( Iθ ) MAX = 4 I 0 ⇒ 2 πd 2 π dx Iθ = 4 I0 cos λ sin θ = 4 I 0 cos λ L
(T in °K)
2µ 0c
4 E02
Equazione delle lenti sottili 1
= 4 I 0
p
1
1
q
f
+ =
dove:
1 f
1 1 = (n − 1) − r1 r 2
essendo r 1 e r 2 i raggi di curvatura dei diottri ed n l’indice di rifrazione della lente
(vettore di Poynting)
I MAX = 4 I 0
9
Formulario di Fisica 2 Trentini Francesco 27 giugno 2006
1
Forza elettrica. Campo elettrostatico
2 m1 m2 −11 Nm γ , con = 6 6710 r2 Kg2 2 q 1 q 2 F 1 9 Nm Legge di Coulomb (forza elettrostatica): F = k 2 con k = = 8 .9810 e ε0 = 8.8542 10−12 2 r C m 4πε 0
Legge di Newton (forza gravitazionale): F g = γ
Tabella atomica :
Simbolo
elettrone protone neutrone
Carica
Massa −19
−1.602177335 · 10 +1.602177335 · 10
e p n
−19
C C
0 C
F Campo elettrostatico: E(x,y,z ) = = q 0
i
1
q i ui 4πε 0 ri2
Densit` a spaziale di cariche : dq = ρ (x,y,z )dτ
N u.d.m. C
C u.d.m. 3 m
C Densit` a superficiale di cariche : dq = σ (x,y,z )dΣ u.d.m. 2 m C u.d.m. Densit` a lineare di cariche : dq = λ (x,y,z )dl m
9, 10938975 10−31 Kg 1.67262311 10−27 Kg 1.67492866 10−27 Kg
· · ·
Formule estratte dagli esercizi
Caso del Filo( 2l): E(x) =
λl √ 4πε x x 0
2
+ l2
ux e nel particolare caso E(x
±
2
x
0
λR x ux 2ε0 (R2 + x2 ) σ x Caso del Disco ( R): E(x) = 1 2ε0 R2 + x2
Caso del Anello ( R): E(x) =
2l) = 2πελ x u
3 2
− √ | |
ux e nel particolare caso E (x
R) = ± 2σε
ux
0
Lavoro elettrico. Potenziale elettrostatico
Tensione elettrica : T 1 (A
J u.d.m. C
−→ B lungo C ) = E · ds C Lavoro di un percorso chiuso : W = q E · ds = q ξ [u.d.m. J ] C Forza elettro motrice : ξ = E · ds che nel campo elettrostatico vale ξ = 0 e W = 0 1
1
0
C
Differenza di potenziale : ∆V = V B
0
B
− V A =
−
A
E ds
·
1
[u.d.m. V ]
C u.d.m. = V m
Lavoro: W AB = q 0
E ds =
C
·
−q ∆V
[u.d.m. W ]
0
Energia potenziale : ∆U e =
−W = q ∆V , U e = q V [u.d.m. J ] q Potenziale elettrostatico: V (r) = [u.d.m. V ] E · ds = 4πε r r q q Energia potenziale : U e (r) = q V (r) = q [u.d.m. J ] E · ds = 4πε r r Potenziale generato da un sistema di cariche : V (x,y,z ) = E · ds = 0
0
∞
0
∞
0
0
0
0
∞
P
Energia potenziale di un sistema discreto di cariche : U e (sistema) =
1 2
1 Conservazione dell’energia : E = E k + U e = mv2 + q 0 V 2
q i [u.d.m. V ] 4πεr i i q i q j 1 q i V ij [u.d.m. eV ] = 4πεr ij 2
i =j
i =j
−
∂V ∂V ∂V V = Campo E come gradiente di V : E = gradV = ux + u y + u z ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ L’operatore in coordinate cartesiane : = ux + uy + uz ∂x ∂y ∂z
−
∇
Teorema di Stokes :
E ds =
· chiusa si ha ∇ × E = 0 C
Σ
−∇
∇ ∇ × E · dΣ u
n in
particolare se il campo `e conservativo su una linea
Momento del dipolo elettrico: p = q a [u.d.m. C m] p ur Potenziale del dipolo elettrico: V (P ) = 4πε 0 r2 ∂V p sin θ 2 p cos θ 1 ∂V 1 ∂V Campo elettrico di un dipolo: E r = = , E θ = = , E φ = =0 3 3 ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ 4πε 0 r 4πε 0 r p vettorialmente E = E r ur + E θ uθ = (2cos θur + sin θ uθ ) ed esprimendo il dipolo in 4πε0 r3 1 coodinate polari (p = p cos θ ur p sin θ uθ ) si ha E = [3(p ur )ur p] 4πε 0 r 3
·
−
−
−
−
·
−
∂V ∂V ∂V + q ay + q az = p E = p cos θE ∂x ∂y ∂z Momento agente sul dipolo: M = r 1 F1 + r2 F2 = (r1 r2 ) q E = q a E = M = p ∂ E ∂ E ∂ E Forza su un dipolo : F = p x + py + pz = (p )E e se p E = F = p E ∂x ∂y ∂z
Energia elettrostatica del dipolo: U e = q ax
− ·
×
×
·∇
−
×
⇒
−
×
⇒ ∇
×E
Formule estratte dagli esercizi
√ − √ √
λ l + l2 + x2 Caso del Filo( 2l): V (x) = ln e quando x 2l si ha V (x1 ) 4πε 0 l + l2 + x2 λ R Caso del Anello ( R): V (x) = 2 2ε0 R + x2 σ R2 + x2 x Caso del Disco ( R): V (x) = 2ε0 p E Dipolo elettrostatico: ω = I eEl l Separatore elettrostatico. Oscilloscopio: d = h + L tan α = + L m v02 2
3
−
La legge di Gauss
Flusso del campo elettrico: Φ(E) =
Angolo solido: Ω(σ1 , σ2 ) = 2π (cos σ1
Σ
q Ω 4πε 0 [u.d.m. steradiante]
E un dΣ =
·
− cos σ ) 2
2
− V (x ) = 2πελ
ln
2
0
x 2 x1
Legge di Gauss : Φ(E) =
1 ε0
q i
i
int
∇ · E = ερ = ddτ Φ Teorema della divergenza : Φ(E) = E · u dΣ = ∇ · E dτ τ ρ Equazioni di Maxwell : ∇ × E = 0 , ∇ · E = ε ∂ V ∂ V ∂ V ρ Equazione di Poisson : ∇ · ∇V = ∇ V = + + =− ∂x ∂y ∂y ε ∂ V ∂ V ∂ V Equazione di Laplace : ∇ V = + + =0 ∂x ∂y ∂y ∂ ∂ ∂ Operatore di Lapace o Laplaciano: ∇ = ∇ · ∇ = + + ∂x ∂y ∂z Divergenza del campo elettrostatico :
0
n
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
Conduttori. Energia elettrostatica
Condizione di equilibrio di un conduttore : E = 0 all’interno σ Teorema di Coulomb: E = un ε0 q Capacit`a di un conduttore : C = [u.d.m. F ] V Condensatori in parallelo: C eq = C 1 + C 2 + ... + C n
Condendatori in serie :
1
C eq
=
1
C 1
+
1
C 2
+ ... +
1
e nel caso di due condensatori C eq =
C n 1 q 2 1 1 Energia elettrostatica in un condensatore : U e = = C V 2 = q V 2 C 2 2 U e 1 2 Densit` a di energia elettrostatica : ue = = ε 0 E τ 2 F N 1 u.d.m. 2 Pressione elettrostatica : p = = ε0 E 2 m Σ 2
C 1 C 2 C 1 + C 2
Formule estratte dagli esercizi
Capacit`a di un conduttore sferico isolato : C = 4 πε 0 R Densit` a di carica di due sfere collegate :
σ1 R2 = σ2 R1
Capacit`a di un condensatore sferico: C = 4πε 0 C = 4πε 0
R2 ε0 Σ = h h
Capacit`a di un condensatore cilindrico: C =
R1 R2 e per h = R2 R2 R1
− R
−
2πε 0 d e per h = R2 ln R R 2 1
C =
2πε 0 dR h
ε0 Σ = h
Capacit`a di un condensatore piano : C =
ε0 Σ h
q 2 1 Energia elettrostatica in un condensatore sferico : U e = 8πε0 R1 q 2 h Energia elettrostatica in un condensatore piano : U e = 2ε0 Σ
3
− R
1
−R
1
2
1
∼
R1 = R2 = R si ha
∼
R1 = R2 = R si ha
5
Dielettrici
V 0 > 1 V κ E 0 Campo elettrico in un dielettrico: E κ = κ Suscettivit` a elettrica : χ = κ 1
Costante dielettrica relativa : κ =
−
Costante dielettrica assoluta del dielettrico : ε = κε 0
εΣ Capacit`a di un condensatore con dielettrico : C κ = κC 0 = h Rigidit` a dielettrica : massimo valore del campo elettrico che pi`o essere applicato a un dielettrico senza
che avvengano scariche al suo interno. Momento di dipolo elettrico: pa = Z e x
V u.d.m. m
C u.d.m. 2 Polarizzazione del dielettrico lineare : P = ε 0 (κ 1) E = ε 0 χE m Densit` a superficiale di carica di polarizzazione : σ p = P un = P cos θ C u.d.m. 2 Induzione dielettrica : D = ε 0 E + P e si ricava che E P D m
−
·
Legge di Gauss per il vettrore D:
∇ · D = ρ e D · u dΣ = q Propriet` a dei dielettrici lineari : ρ p = −∇ · P = 0, in un dielettrico lineare le cariche di polarizzazione n
sono distribuite esclusivamente sulla superficie.
Formule estratte dagli esercizi
Condensatore con un dielettrico non totalmente pieno ( s): D = ε 0 E0 = ε E = κε 0 E V h s s 1 1 1 = = + = + q C ε0 Σ ε0 κΣ C 0 C κ
−
Condensatore con due dielettrici totalmente pieno : D = ε 0 κ1 E1 = ε 0 κ2 E2 = σ 0 = .... = V d1 d2 1 1 1 = = + = + q C ε 0 κ1 Σ ε0 κ2 Σ C 1 C 2
6
Corrente elettrica ∆q dq = [u.d.m. A] ∆t→0 ∆t dt
Intensit` a di corrente : i = lim
Densit` a di corrente : j = n + e vd
A u.d.m. 2 m
Flusso della densit`a di corrente : i =
·
j un dΣ = ΦΣ ( j)
Σ
Principio della conservazione della carica : i = Condizione di stazionariet`a : i =
·
Regime stazionario: j = 0 e τ Velocit` a di deriva : vd = E =
∇ ·
−m
Resisitivit` a del conduttore : ρ =
1
σ
j un dΣ =
j un dΣ = 0
− nσe E
1 n e2 τ S u.d.m. Conduttivit` a : σ = = m m Ωm Legge di Ohm : j = σ E oppure E = ρ j
·
[u.d.m. Ω m]
4
− ∂q ∂tint
ε0 κ1 κ2 V κ2 d1 + κ1 d2
