Escolas | João de Araújo Correia
Área Disciplinar de Matemática | Grupo 500 Ano letivo 2013/2014
DEPARTAMENTO MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS
ENSINO SECUNDÁRIO 12.º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A out 2013
Turmas B / C
FICHA DE ATIVIDADES N.º 2 Assunto: Probabilidade condicionada e independência.
I N F O R M A Ç Ã N Ã O Na resolução de problemas envolvendo o cálculo de probabilidade condicionada, é de grande utilidade utilizar tabelas de dupla entrada, diagramas de Venn ou diagramas em árvore, de acordo com os dados fornecidos no enunciado.
B
B
Total
P( A A B)
A B ) P( A
A) P( A
A
P( A B)
P( A B )
P( A )
Total
P(B)
P( B )
1 ou 100%
A
P( A A)
B
A B ) P( A
P ( A A B)
P (B A ) P( A B )
P(B | A A )
B
A ) P( B | A
B
P( A A
B
P( A B) = P( A ) P(B | A )
P( A A B) = P( A A) P(B | A A )
A
P(B | A ) P( A )
A
B)
= P( A A) P( B | A A )
A
P( B | A )
B
P( A
B)
= P( A ) P( B | A )
Repare que a tabela e o diagrama de Venn são preenchidos usando probabilidades de interseções, enquanto o diagrama em árvore apresenta probabilidades condicionadas ao acontecimento do ramo que o procede.
A T I V I D V D A D E S
1. Numa escola existem duas turmas, a turma A e a turma B. A turma A tem 15 rapazes e 10 raparigas. A turma B tem 14 rapazes e 10 raparigas. Escolhe-se ao acaso uma das turmas e, de seguida, um elemento dessa turma. Considere os acontecimentos: – “a turma escolhida é a turma B” X –
– “o elemento escolhido é rapaz” Y –
Qual é o valor de P X ( X Y) ?
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2. Uma caixa contém bolas, indistinguíveis ao tato, numeradas de 1 a 20. As bolas numeradas de 1 a 10 têm cor verde e as bolas numeradas de 11 a 20 têm cor amarela. Considere a experiência aleatória que consiste em retirar, sucessivamente, duas bolas da caixa, não repondo a primeira bola retirada. Considere ainda os acontecimentos: A: “a 1.ª bola retirada é verde” B: “a 2.ª bola retirada é amarela” C : “o número da 2.ª bola retirada é par”
Qual é o valor da probabilidade condicionada P ((B C) | A) ? A resposta correta a esta questão é P ((B C) | A) =
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.
Numa pequena composição, sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada , explique o valor dado, começando por interpretar o significado de P ((B C) | A) no contexto da situação descrita e fazendo referência: - à regra de Laplace; - ao número de casos possíveis; - ao número de casos favoráveis.
3. Considere os alunos de um determinado curso que se encontram escritos na cadeira de estatística. Sabe-se que metade deles frequentam as aulas, apenas 25% dos inscritos sabem o nome do professor e
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frequenta as aulas e sabe o nome do professor. Escolhe-se aleatoriamente um aluno inscrito nessa
cadeira. Qual é a probabilidade de:
3.1.
Esse aluno não frequentar as aulas, nem saber o nome do professor?
3.2.
Saber o nome do professor, se frequenta as aulas?
Sugestão: Organize a informação num diagrama de Venn ou numa tabela. 4. No último ano do seu curso, um estudante universitário tem 40% de probabilidade de obter uma bolsa de estudo; se a obtiver, a probabilidade de vir a concluir o curso é de 80% ; caso não obtenha a bolsa, a probabilidade de concluir o curso é de apenas 35% . 4.1.
Qual é a probabilidade de o estudante concluir o curso?
4.2.
Qual é a probabilidade de o estudante concluir o curso e ter bolsa?
4.3.
Suponhamos que passado algum tempo o referido estudante concluiu o curso. Qual é a probabilidade de ter obtido bolsa de estudo? Apresente o resultado sob a forma de dízima, arredondada às milésimas.
5. Num determinado país, existem 3 operadores de telemóveis, A, B e C , com quotas de mercado de 50%, 35% e 15%, respectivamente. Num estudo de mercado realizado concluiu-se que:
80% dos utilizadores da empresa A estão satisfeitos; 70% dos utilizadores da empresa B estão satisfeitos; 60% dos utilizadores da empresa C estão insatisfeitos.
Admita que cada utilizador de telemóvel é cliente apenas de uma empresa. Num inquérito realizado a utilizadores de telemóvel verifica-se que um cliente inquirido ao acaso está satisfeito com o serviço prestado pelo seu operador. Qual é a probabilidade de ele ser cliente da empresa B ? Apresente o resultado em percentagem, arredondado às unidades.
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Su g es tão d e r es o lu ção :
Consideremos os acontecimentos: A: “ser cliente do operador A” B: “ser cliente do operador B” C : “ser cliente do operador C” S: “estar satisfeito com o serviço”
Sabe-se que P( A) = 0,5 ; P(B) = 0,35 ; P(C ) = 0,15 ; P(S | A ) = 0,8 ; P(S | B ) = 0,7 e P( S | C ) = 0,6 .
Erro típico Um dos erros mais frequentes dos alunos é fazerem uma interpretação incorreta da informação fornecida no enunciado. Por exemplo, muitos alunos interpretam P (S A) = 0,8 em vez P (S | A ) = 0,8 . Para não cometer este erro, deve sempre lembrar-se de que enquanto a probabilidade da interseção P ( A B) se refere ao espaço de resultados , a probabilidade condicionada P ( A | B ) foca a atenção em B , ou seja, o espaço de resultados passa a ser o conjunto B .
Pretende-se calcular a probabilidade de ser cliente do operador B , sabendo que está satisfeito com o serviço, isto é P(B | S ). Assim:
P(B | S ) =
P(S | B) P(B) P(B S ) = P(S ) P(S A) P(S B) P(S C )
= = =
0,7 0,35 0,5 0,8 0,7 0,35 0,15 0,4 0,245 0,4 0,245 0,06 0,245 0,70 5
0,35 , ou seja, 35%
6. Nos jogos da selecção nacional, sabe-se que 80% das grandes penalidades assinaladas a favor de Portugal são marcadas por jogadores do FCP. A probabilidade de uma grande penalidade ser convertida em golo é de 70% , se o jogador for do FCP e de 40% , caso contrário. Suponhamos que, num determinado jogo, é marcada uma grande penalidade a favor de Portugal. 6.1.
Qual é a probabilidade de a grande penalidade ser marcada por um jogador do FCP e ser convertida em golo? Apresente o resultado sob a forma de dízima.
6.2.
Qual é a probabilidade de a grande penalidade ser convertida em golo? Apresente o resultado sob a forma de dízima.
6.3.
Num determinado jogo, uma grande penalidade é assinalada a favor de Portugal e o jogador falha. Qual é a probabilidade de o marcador ser um jogador do FCP? Apresente o resultado sob a forma de fracção irredutível.
Sugestão: Comece por organizar a informação construindo um diagrama em árvore.
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7. Seja o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória, e sejam A e B dois acontecimentos ( A e B ) com P ( A) 0 . Mostre que P (B | A) 1 –
1 P (B) . P ( A)
8. Num determinado concurso, um concorrente tem que lançar uma moeda equilibrada ao ar e de seguida lançar um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6 . O concorrente ganha o prémio se no lançamento da moeda ficar voltada para cima a face nacional e no lançamento do dado ficar voltada para cima uma face com um número inferior a 3 . Determine a probabilidade de o concorrente ganhar o prémio.
9. Sejam A e B dois acontecimentos de um mesmo espaço de resultados, tais que P ( A) = P ( A B) =
1 3
1 5
e
. Determine P (B) , se :
9.1. A e B forem acontecimentos incompatíveis. 9.2. A e B forem acontecimentos independentes. 10. Sejam A e B dois acontecimentos do mesmo espaço de resultados . Mostre que se A e B são independentes, então A e B são independentes. 11. Uma formiga desloca-se ao longo de um caminho que, como a figura mostra, vai apresentando bifurcações. A formiga nunca inverte a sua marcha. Ao chegar a uma bifurcação, opta 70% das vezes pelo caminho da esquerda. Qual é a probabilidade de a formiga ser apanhada pela aranha?
(A) 1,14
(B) 0,21
(C) 0,42
(D) 0,49
Soluções: 1.
7
2.
24
6.3.
2 3
8.
5 19 1
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3.1. 0,45 3.2. 0,4 4.1. 0,53 4.2. 0,32 4.3. 0,604 5. 35% 6.1. 0,56 9.1.
2 15
9.2.
1 6
6.2. 0,64
11. (B)
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