BERNARDITA A. PÉREZ URETA MATEMÁTICA
PROBABILIDAD CONDICIONADA Cuando se producen sucesos aleatorios consecutivamente de un espacio muestral, pueden darse dos tipos genéricos de situaciones: •
•
Los sucesos son independientes entre sí, de manera que no influyen uno en el otro. Cada suceso está condicionado por el resultado del anterior.
Cuando un suceso A influye en el resultado de un segundo suceso B, se dice que la probabilidad de éste es una probabilidad condicionada, expresado como P (B / A), cuyo valor es: P(B / A) =
P(A ∩ B) P(A)
“Esto es la probabilidad de que ocurra un s uceso B si ha ocurrido el suceso A” Cuando ocurre un suceso cambia el espacio muestral, por eso cambia l a probabilidad. A veces es más fácil calcular la l a probabilidad condicionada teniendo en cuenta este cambio de espacio muestral.
Ejemplos: 1) Una mujer es portadora de la enfermedad de Duchenne ¿Cuál es la probabilidad de que su próximo hijo tenga la enfermedad? Desarrollo: Según Mendel, todos los posibles genotipos de un hijo de una madre portadora (xX) y un padre normal (XY) son xX, xY, XX, XY y tienen la misma probabilidad. El espacio muestral es W = {xX, xY, XX, XY} El suceso A={hijo enfermo} corresponde al genotipo xY, por tanto, según la definición clásica de probabilidad P(A) = 1/4 = 0,25 La mujer tiene el hijo y es varón ¿qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad? Se define el suceso B = {ser varón} = {xY, XY} La probabilidad pedida es P(A|B) y aplicando la definición anterior P(B) = 0,5; A
∩
B = {xY}; p(A
∩
B) = 0,25; p(A|B) = 0,25/0,5 = 0,5
Si sabemos que es varón, el espacio muestral ha cambiado, ahora es B. Por lo tanto se puede calcular P(A|B) aplicando la definición clásica de probabilidad al nuevo espacio muestral. P(A|B) = 1/2 = 0,5
BERNARDITA A. PÉREZ URETA MATEMÁTICA
2) Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que un fumador sea hipertenso? Desarrollo: A = {ser hipertenso} B = {ser fumador} P (B) = 0,5 P(A ∩ B) = 0,1 ∩ B = {ser hipertenso y fumador} probabilidad de que dado que es fumador sea hipertenso sería: P (A|B) P(A / B) =
P(B ∩ A) P(B)
=
0,1 0 ,5
=
A La
0 ,2
Por lo tanto la probabilidad de que dado que es fumador sea hipertenso es 0,2; esto quiere decir que el 20% de los fumadores son hipertensos.
3) ¿Cuál es la probabilidad de que dado que salió un número para al lanzar un dado, salga el dos? Sea B: que salga el dos A: que salga un número par P (B ∩ A) es la probabilidad de que salga el dos y número par. {2} P (A) es la probabilidad de que salga un número par. {2,4,6} Por lo tanto: P (A ∩ B) = 1/6 P (A) = 1/2 P (B/A) = (1/6) / (1/2) = 1/3 Luego, la probabilidad de que salga el número 2, si ya sabemos que ha salido un número par, es de 1/3 (mayor que su probabilidad a priori de 1/6).
4) En un estudio sanitario se ha llegado a la conclusión de que la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios (suceso B) es el 0,10. Además, l a probabilidad de que una persona sufra problemas de obesidad (suceso A) es el 0,25 y la probabilidad de que una persona sufra a la vez problemas de obesidad y coronarios (suceso intersección de A y B) es del 0,05. Calcular la probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios si está obesa (probabilidad condicionada P(B/A)). P (A ∩ B) = 0,05 P (A) = 0,25 P (B/A) = 0,05 / 0,25 = 0,20 Es decir el 20% de personas que son obesas están propensas a sufrir problemas coronarios.
5) probabilidad de que al tirar un dado salga el número 2, condicionada a que haya salido un número impar. La probabilidad condicionada es en este caso cero, frente a una probabilidad a priori es de 1/6.
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PROBABILIDAD COMPUESTA La probabilidad compuesta (o regla de multiplicación de probabilidades) se deriva de la probabilidad condicionada. La fórmula para calcular esta probabilidad compuesta es: P(A ∩ B) = P(B / A) * P(A)
Nota: Esta probabilidad se puede calcular despejando la probabilidad de la unión si se saben todos los datos necesarios. Ejemplos: 1) Estudiamos el suceso A (porcentaje de varones mayores de 40 años casados) y el suceso B (varones mayores de 40 años con más de 2 hijos) y obtenemos la siguiente información: Un 35% de los varones mayores de 40 años están casados. De los varones mayores de 40 años y casados, un 30% tienen más de 2 hijos (suceso B condicionado al suceso A). Calcular la probabilidad de que un varón mayor de 40 años esté casado y tenga más de 2 hijos (suceso intersección de A y B). Por lo tanto:
P (A) = 0,35 P (B/A) = 0,30 P (A ∩ B) = 0,35 * 0,30 = 0,105
Es decir, un 10,5% de los varones mayores de 40 años están casados y tienen más de 2 hijos.
2) Estudiamos el suceso A (alumnos que hablan inglés) y el suceso B (alumnos que hablan alemán) y obtenemos la siguiente información: Un 50% de los alumnos hablan inglés. De los alumnos que hablan inglés, un 20% hablan también alemán (suceso B condicionado al suceso A). Calcular la probabilidad de que un alumno hable inglés y alemán (suceso intersección de A y B). Por lo tanto: P (A) = 0,50 P (B/A) = 0,20 P (A ∩ B) = 0,50 * 0,20 = 0,10 Es decir, un 10% de los alumnos hablan inglés y alemán.
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PROBABILIDAD TOTAL Cuando los sucesos elementales de un experimento no se refieren a todo el espacio muestral sino a algún subconjunto del mismo, el cálculo de probabilidades se hace más complejo. Un ejemplo típico de este problema es el experimento consistente en sacar bolas de tres bolsas distintas, de manera que en cada bolsa existe una distribución de bolas diferente. ¿Cuál sería la probabilidad de que una bola extraída sea de un determinado color? La fórmula para calcular esta probabilidad es: Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito: Los sucesos A tienen que formar un sistema completo , es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%). Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A. Para calcular este tipo de probabilidades usaremos el diagrama de árbol ya que nos permite fácilmente obtener una respuesta correcta. Veamos esto con el ejemplo anterior.
Ejemplos: 1) Se tienen tres urnas con bolitas de dos colores (rojas y negras), en la primera urna se tienen 2 bolas rojas y tres azules; en la segunda urna se tienen 3 rojas y 7 azules; y en la tercera se tienen 4 rojas y 4 azules. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja de una de estas tres bolsas? 2/5 3/5
1/3
3/10
1/3
7/10 4/8
1/3
4/8
La respuesta sería:
P(R) = P(U1)*P(r) + P(U2)*P(r) + P(U3)*P(r) =
1
*
2
3 5
1 +
*
3
3 10
1 +
*
4
3 8
=
0,67
BERNARDITA A. PÉREZ URETA MATEMÁTICA 2)
En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser elegidas: a) Amarilla: probabilidad del 50%. b) Verde: probabilidad del 30% c) Roja: probabilidad del 20%. Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así, si la papeleta elegida es: a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%. b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60% c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de g anar del 80%.
Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?
Desarrollo: 1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman 100% 2.- Aplicamos la fórmula: Luego, P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54 Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%. 3) Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos:
a) Carlos, con una probabilidad del 60% b) Juan, con una probabilidad del 30% c) Luis, con una probabilidad del 10% En función de quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo es la siguiente: a) Si sale Carlos: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%. b) Si sale Juan: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%. c) Si sale Luis: la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%. En definitiva, ¿cual es la probabilidad de que te suban el sueldo?: Desarrollo: 1.- Los tres candidatos forman un sistema completo 2.- Aplicamos la fórmula: P (B) = (0,60 * 0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 * 0,60) = 0,15 Por tanto, la probabilidad de que te suban el sueldo es del 15%.
