1 1.1
Estatí Estatístic stica a Descri Descritiv tiva a Definiçõe Definiçõess e Concei Conceitos tos em Estat Estatíst ística ica
a) Estatístic Estatística: a: é a ciência que se preocupa em tirar conclusões de um todo com base em uma parte
do todo. Por meio dela é possível possível coletar, apresenta apresentar, r, analisar e interpret interpretar ar um conjunt conjuntoo de dados. b) Censo: Censo: é um estudo estatístico que resulta da observação de todos os indivíduos da população
relativamente relativamente a diferentes atributos pré-definidos. Teoricamente, no censo, tem-se a informação precisa de uma variável em estudo, enquanto na estatística tem-se uma previsão da ocorrência da variável. c) Divisão Divisão da Estatístic Estatística: a: A estatística básica pode ser dividida em duas áreas:
descreve resumidamente um conjunto de dados, utilizando tabelas, gráficos, medidas de posição e de dispersão. Exemplos: Velocidade de processamento de um computador; tempo de espera para ser atendido em uma loja; opinião das pessoas quanto a violência no país; temperatura mensal de uma cidade. Estatística Indutiva ou Inferência Estatística: representa o estudos dos dados de amostras com o objetivo de entender ou tirar conclusões sobre o comportamento da população população a partir das amostras. Exemplo: Suponha que se deseja calcular a voltagem necessária para que um dispositivo elétrico elétrico chegue chegue a falhar. falhar. Para Para isso, submete-s submete-see uma amostra de tais dispositivos dispositivos a voltagens cada vez mais elevadas, até falhar cada dispositivo da amostra. Com base nos resultados, pode-se estimar a probabilidade de falha nos dispositivos, a cada voltagem.
• Estatística descritiva:
•
d) Dados de observação: observação: são valores (realizações) assumidos por uma variável e observada pelo
pesquisador e) Populaçã População: o: conjunto de indivíduos ou objetos que possuem pelo menos uma característica
comum observável. Exemplos:
Todos os eleitores do Brasil; Todos os cidadãos que possui TV;
f) Amostra: é um subconjunto finito da população que mantém as mesmas características desta
população. Exemplos:
3000 eleitores; Cidadãos entrevistados pelo serviço de televisão;
g) Variável: ariável: é uma característica que pode assumir diferentes valores de indivíduo para indivíduo.
são aquelas para as quais uma medição numérica não é possível e, apresentam como possíveis realizações uma qualidade ou atributo do indivíduo pesquisado. Variáveis quantitativas: são aquelas para as quais é possível realizar uma contagem ou mensuração. Variáveis ariáveis nominais: utilizadas quando não existe nenhuma ordenação nas possíveis realizações.
qu alitativas: • Variáveis qualitativas:
• •
1
Exemplos: Sexo (Feminino ou masculino), estado civil (Solteiro, casado, divorciado,
•
• •
viúvo), naturalidade (Uberlândia, Monte Alegre, Araguari), etc. Variáveis ordinais: utilizadas quando os seus possíveis resultados podem ser ordenados por algum critério especifico. Exemplos: Grau de instrução de um indivíduo (Ensino Médio, graduação, pós-graduação), classe classe social (Baixa, média, média, alta), classificaçã classificaçãoo de um produto (regular, bom, ótimo) etc. Variáveis ariáveis discretas: assumem valores específicos, e geralmente estão relacionadas a dados de contagem e associadas com o conjunto dos números inteiros. Exemplos: Número de filhos de um casal, número de acidentes ocorridos em uma determinada rodovia, número de moradores de uma residência, etc. Variáveis contínuas: assumem infinitos valores dentro de um intervalo, e estão associadas em geral, com os números reais e relacionadas a medições. Exemplos: Estatura de um indivíduo, temperatura de uma cidade, produção de uma cultura, etc.
h) Dados Brutos: Brutos: são os dados de observação sem nenhuma observação lógica. i) Dados elaborados elaborados ou rol: são os dados de observação em ordem crescente ou decrescente. j) Amplitude Total(A): é a diferença entre o maior valor observado e o menor valor observado. A = X (n)
− X (1) (1) = maior valor observado - menor valor observado.
Apresentação dos dados A organização, sumarização e descrição de dados podem ser feitas por meio dos métodos tabulares e gráficos. 1.2
Distri Distribui buição ção de de Freq Frequênc uências ias::
Uma distribuição de frequência é um sumário tabular dos dados que mostra o número (frequência) de itens em cada uma das classes ou categorias não sobrepostas.
• Tipos de frequências a) Frequência requência Absoluta (f (f i ): é o número de vezes que o indivíduo aparece na amostra b) Frequência requência Relativ Relativa a (f r ): f r = k
n=
f i n,
em que n é o número de observações, ou seja,
f i , sendo k o número de classes ou categorias.
i=1
c) Frequência Percentual Percentual (f (f p ): f p = f r
× 100:
d) Frequência requência Acumul Acumulada ada (F i ): indica o número de dados que possuem valores menores
ou maiores, ou então iguais ao limite superior de cada classe.
• Algoritmo para construção da distribuição de frequências para variáveis quantitativas
a) Calcular a Amplitude Total (A): A = X (n)
− X (1); √ b) Calcular o número de classes ( k ): k = n se n ≤ 100; k = 5logn se n > 100. Em ambos os casos deve-se escolher o número inteiro mais próximo; 2
Exemplos: Sexo (Feminino ou masculino), estado civil (Solteiro, casado, divorciado,
•
• •
viúvo), naturalidade (Uberlândia, Monte Alegre, Araguari), etc. Variáveis ordinais: utilizadas quando os seus possíveis resultados podem ser ordenados por algum critério especifico. Exemplos: Grau de instrução de um indivíduo (Ensino Médio, graduação, pós-graduação), classe classe social (Baixa, média, média, alta), classificaçã classificaçãoo de um produto (regular, bom, ótimo) etc. Variáveis ariáveis discretas: assumem valores específicos, e geralmente estão relacionadas a dados de contagem e associadas com o conjunto dos números inteiros. Exemplos: Número de filhos de um casal, número de acidentes ocorridos em uma determinada rodovia, número de moradores de uma residência, etc. Variáveis contínuas: assumem infinitos valores dentro de um intervalo, e estão associadas em geral, com os números reais e relacionadas a medições. Exemplos: Estatura de um indivíduo, temperatura de uma cidade, produção de uma cultura, etc.
h) Dados Brutos: Brutos: são os dados de observação sem nenhuma observação lógica. i) Dados elaborados elaborados ou rol: são os dados de observação em ordem crescente ou decrescente. j) Amplitude Total(A): é a diferença entre o maior valor observado e o menor valor observado. A = X (n)
− X (1) (1) = maior valor observado - menor valor observado.
Apresentação dos dados A organização, sumarização e descrição de dados podem ser feitas por meio dos métodos tabulares e gráficos. 1.2
Distri Distribui buição ção de de Freq Frequênc uências ias::
Uma distribuição de frequência é um sumário tabular dos dados que mostra o número (frequência) de itens em cada uma das classes ou categorias não sobrepostas.
• Tipos de frequências a) Frequência requência Absoluta (f (f i ): é o número de vezes que o indivíduo aparece na amostra b) Frequência requência Relativ Relativa a (f r ): f r = k
n=
f i n,
em que n é o número de observações, ou seja,
f i , sendo k o número de classes ou categorias.
i=1
c) Frequência Percentual Percentual (f (f p ): f p = f r
× 100:
d) Frequência requência Acumul Acumulada ada (F i ): indica o número de dados que possuem valores menores
ou maiores, ou então iguais ao limite superior de cada classe.
• Algoritmo para construção da distribuição de frequências para variáveis quantitativas
a) Calcular a Amplitude Total (A): A = X (n)
− X (1); √ b) Calcular o número de classes ( k ): k = n se n ≤ 100; k = 5logn se n > 100. Em ambos os casos deve-se escolher o número inteiro mais próximo; 2
c) Calcular a amplitude da Classe ( C ): ): C = kA−1 ; d) Calcular o limite inferior da primeira classe ( LI 1a ): LI 1a = X (1) ; e) Organizar as classes e contar as frequências;
• Observações: 1. Os intervalos das classes podem se classificar em: abertos(]a,b[ ou a − b) de modo que os limites da classe não pertencem a ela; fechados ([a,b] ou a b) em que os limites da classe pertencem a ela ou mistos ([a,b[ ou a b)no qual um dos limites pertence à classe, e o outro, não; 2. Por questões questões de ordem prática prática e estética, estética, sugere-se sugere-se utilizar de 5 a 20 classes; classes; 3. As frequências simples são representadas por letras minúsculas e as frequências acumuladas por letras maiúsculas; 4. No caso de variáveis discretas, quando a amplitude total das observações é pequena, cada valor é adotado como sendo uma classe, e nestes casos, o algoritmo apresentado não é utilizado; 5. Para Para determinados determinados cálculos cálculos estatísticos, estatísticos, todos os pontos pontos de uma classe podem ser reprerepresentad sentados os pelo ponto ponto médio da classe. classe. O ponto ponto médio da classe classe i (x¯i ) é calculado pela média média dos limites da classe. classe. Esse critério critério é conhecido conhecido como hipótese tabular tabular básica. básica.
• Exemplos: 1. Uma pesquisa foi realizada para verificar a preferência preferência dos consumidores em uma cidade cidade quanto aos cinco tipos de refrigerantes: coca-cola(C), fanta(F), pepsi-cola(P), sprite(S) e Guaraná(G), obtendo os seguintes dados: F C C F P P C G C F C S C F C F C S P C C P C S G P F P C C P G P C P G S C C P a) Classificar a variável; b) Obter a distribuição de frequências; 2. Para facilitar um projeto de ampliação da rede esgoto de um certo bairro, as autoridades tomaram uma amostra de tamanho 36 dos 270 quarteirões que compõem a região em estudo, e foram encontrados os seguintes números de casas por quarteirão: 15 27 22 36 13 29 23 45 15 18 16 25 26 10 34 23 27 44 20 30 21 32 16 34 14 20 17 24 25 26 17 25 36 22 42 29 a) Classificar a variável; b) Colocar os dados em rol; c) Construir a distribuição de frequências; d) Obter as frequencias acumuladas “Abaixo de” e “Acima de”; 3
3. Um estudo apresentou informações sobre a tecnologia dos aparelhos domésticos e sua utilização por pessoas de 12 anos ou mais. Os dados a seguir referem-se ao número de horas de uso de computadores pessoais durante uma semana para uma amostra de 50 pessoas: 1,5 1,6 1,6 2,0 2,8 3,0 3,1 3,1 3,1 3,3 3,4 3,5 3,7 3,7 3,9 3,9 4,0 4,1 4,1 4,1 4,1 4,2 4,3 4,4 4,7 4,8 5,4 5,6 5,7 5,7 5,7 5,9 5,9 6,1 6,1 6,1 6,2 7,1 7,2 7,6 8,8 9,5 10,3 10,3 10,4 10,4 10,8 11,1 12,1 12,9 a) Classificar a variável em estudo; b) Construir a distribuição de frequências; 1.3
Representações gráficas:
• Variáveis contínuas: a) Histogramas: é um gráfico de colunas justapostas, no qual a variável contínua, dividida
em classes, é representada no eixo horizontal. No eixo vertical, marcam-se as freqüências relativas ou percentuais de cada classe, construindo as colunas. b) Polígono de frequências: são segmentos de retas que tem suas extremidades correspondentes ao ponto médio da classe e a coordenada y da extremidade será proporcional a frequência da classe. c) Gráfico da frequência acumulada (ogiva): são gráficos construídos a partir da distribuição de frequências acumuladas. No caso das variáveis continuas, utiliza-se linhas contínuas. d) Histogramas com amplitudes de classes desiguais: se a distribuição de frequências possuir amplitudes de classes desiguais, deve-se fazer um ajuste de frequências antes de construir o histograma. Esse procedimento garante a proporcionalidade das áreas entre as diferentes classes. As correções das frequências são realizadas por meio das densidades de frequências (d.f), ou seja, substituindo a frequência da classe i pela df i , dada por: df i = f i /C i .
• Exemplos: 1. A distribuição de frequências abaixo refere-se ao preço em reais das refeições por quilo de 25 restaurantes próximo a UFU: Preço das refeições (R$) 10 13 13 16 16 19 19 22 22 25 Total
f i
1 4 12 6 2 25
f r
f p
0,04 4 0,16 16 0,48 48 0,24 24 0,08 8 1,00 100
Pede-se: a) Interpretar a distribuição de frequências; b) Construir o histograma e o polígono de frequências; c) Calcular as frequências acumuladas e construir o gráfico correspondente (ogivas). 4
2. Considere a seguir a distribuição de 130 empresas classificadas segundo o número de empregados: Número de Empregados f i 0 20 10 20 40 30 40 80 60 80 160 30 Construir o histograma para esses dados;
• Variáveis discretas: a) Gráfico de linhas: para as variáveis discretas a representação gráfica conveniente para
as frequências simples é o gráfico de linhas, pois só ocorre frequências nos pontos fixos, ou seja, não existe a continuidade. b) Gráfico de frequências acumuladas: são gráficos construídos a partir das frequências acumuladas e no caso discreto, assume um aspecto de escadas.
• Exemplos: 1. O setor pessoal de uma empresa brasileira registrou os seguintes números de faltas de funcionários em uma semana do mês de julho/2010: Número de faltas f i 2 2 3 3 4 8 5 5 6 2 Total 20 Com base nestes dados: a) Construir o gráfico de linhas; b) Obter as frequências acumuladas e representar graficamente as frequências acumuladas;
• Outras representações gráficas: a) Gráfico de setores: compara as partes estudadas com o todo, sendo apresentado em
porcentagens sobre a forma de setores em circulo e indicado para representar variáveis qualitativas. b) Ramos e folhas: são os gráficos construídos com os valores observados. Trata-se da disposição em rol dos dados, com base no isolamento de um algarismo mais significativo, denominado galho (por exemplo, dezena), e de algarismos menos significativos, denominados folhas (por exemplo, unidades). c) Gráfico de barras: similar ao histograma, possuindo o objetivo de apresentar as frequências sob a forma de barras horizontais ou verticais, separadas entre si. Os dados podem ser nominais ou quantitativos (agrupados em classes ou não). d) Gráficos de pontos (dispersão): é usado em estudos de correlação, permitindo visualizar o grau de associação entre duas variáveis quantitativas medidas em um mesmo indivíduo. Cada par de observações é representado por um ponto (x,y) do sistema de coordenadas cartesianas. 5
e) Gráfico Box-plot: é um dos mais usados gráficos da estatística e fornece ideias sobre as
medidas de posição, dispersão, assimetria, caudas e dados discrepantes.
• Exemplos:
1. Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de verificar o estado de procedência dos alunos matriculados na área de exatas na UFU, obtendo os seguintes resultados: Estado f p Ângulo(graus) MG 62 SP 17 GO 14 Outros 7 Total 100 Representar essas informações em um gráfico de setores. 2. Os dados abaixo referem-se ao número de quartos ocupados diariamente num hotel de praia durante o mês de janeiro: 55 49 37 57 46 40 64 35 73 62 61 43 72 48 54 69 45 78 46 59 40 58 56 49 42 62 53 46 81 52 Represente os dados através de um gráfico de ramos e folhas. 3. Utilizando as informações do exemplo 1, construa um gráfico de barras. 4. Um estudo realizado em 5 cidades mineiras verificou que o número de filhos de 50 famílias pode ser representado pela tabela a seguir: Número de filhos f i f r f p 1 14 0,28 28 2 18 0,36 36 3 12 0,24 24 4 6 0,12 12 Total 50 1 100 Esboçar o gráfico de barras para esses dados. 5. Os dados a seguir foram obtidos num estudo sobre a relação entre a resistência (ohms) e o tempo (min) que certos resistores sobrecarregados levam para falhar. Resistência 33 36 30 44 34 25 40 28 40 46 Tempo 39 36 34 51 36 21 45 25 45 36
Verifique, por meio do diagrama de dispersão, a relação existente entre a resistência e o tempo de falha. 1.4
Interpolações em tabelas de distribuição de frequências:
• Exemplo: A tabela a seguir representa a distribuição de salários em uma empresa: Salários 7,50 10,50 10,50 13,50 13,50 16,50 16,50 19,50 Total
fa 14 17 11 8 50
a) Qual a % de funcionários que ganham mais de 13,50 salários? b) Qual a % de funcionários que ganham entre 8 e 12 salários? 6
1.5
Natureza da distribuição de frequências:
a) Simétrica: 50% das observações estão abaixo do valor central e 50% acima. b) Assimétrica à direita: maioria dos valores estão concentrados à esquerda da distribuição. c) Assimétrica a esquerda: maioria dos valores estão concentrados a direita da distribuição. d) Multimodal: vários picos de frequência.
1.6
Técnicas de somatório
Dada as variáveis X i e Y j (i = 1,2, · ·· , n), ( j = 1,2, · ·· , m) e a constante k , temos: n
a)
X i = x1 + x2 +
i=1 n
b)
·· · + xn
m
X i Y j = x1 y1 + x1 y2 +
i=1 j=1 n
c)
· · · + xnym
m
X i
i=1
Y j = (x1 + x2 +
j=1
· ·· + xn)(y1 + y2 + · · · + ym)
n
d)
X i2 = x21 + x22 +
i=1
· · · + x2n
n
X i )2 = (x1 + x2 +
e) (
i=1
·· · + xn)2
n
f)
k =k+k+
i=1
·· · + k = nk
n
g)
kX i = kx 1 + kx2 +
i=1
1.7
n
· · · + kxn = k
X i
i=1
Medidas de posição
As medidas de posição ou de tendência central constituem uma forma mais sintética de apresentar os resultados contidos nos dados observados, pois representam um valor central, em torno do qual os dados se concentram. Portanto, constitui como objetivo ao obter as medidas de posição, encontrar um único valor, em um conjunto de valores observados, que seja representante desse conjunto. As medidas de posição mais empregadas são a média, a mediana e a moda. a) Média aritmética (¯ x): É uma medida de fácil compreensão, mais comum e simples de ser
calculada. n
i) Dados não agrupados: x ¯=
xi
i=1 n
k
ii) Dados agrupados: x ¯=
x ¯i f i
i=1
n
, em que x¯i é o ponto médio da classe i; 7
• Observação:
1. Nas distribuições de frequências, assume-se a hipótese de que todas as observações contidas em uma classe são consideradas iguais ao ponto médio da classe.
• Exemplos:
1. O número de peças defeituosas observado em amostras retiradas diariamente da linha de produção de uma indústria, durante uma semana foi de: 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 peças. Calcular o número médio de peças defeituosas por dia desta semana avaliada. 2. Considere os números de gols por partida em um determinado campeonato de futebol, agrupados e apresentados na sequência. Calcule o número médio de gols por partida. No de gols por partida f i 0 7 1 12 2 16 3 12 4 9 5 2 6 2 Total 60 3. Para a distribuição de frequências que representa a força de ruptura em libras por polegada quadrada (psi) da garrafas descartáveis de um litro de refrigerante, calcular a média. Classes f i 86,6 147 1 147 208 6 208 269 13 269 330 8 330 390 2 Total 30
• Propriedades da média aritmética:
1. A soma dos desvios (SD) de um conjunto de dados em relação a sua média é nula. 2. A soma dos quadrados dos desvios de um conjunto de dados em relação a uma constante k é mínima se e somente se k = x¯. 3. Somando ou subtraindo uma constante k a cada valor observado, a média do novo conjunto de dados ficará somada ou subtraída da constante k , em relação a média inicial. 4. Multiplicando ou dividindo-se cada valor observado por uma constante k a nova média ficará multiplicada ou dividida por k.
b) Outros tipos de média:
1. Média Ponderada (¯x p ): essa média associa as observações x1, x2 , · ·· , xn determinadas ponderações ou pesos que dependem da importância atribuída a cada uma das observações. n
wi xi
x ¯ p =
i=1 n
= wi
w1 x1 + w2 x2 + w1 + w2 +
i=1
8
· · · + wnxn , · · · + wn
sendo wi o peso da observação i. 2. Média Geométrica (G): utilizada para representar variáveis assimétricas a direita, pois nestes casos, a média aritmética, por ser muito inflacionada pelos valores extremos, não representa bem a variável. G=
√ x1.x2. · ·· .xn n
ou ainda
logG =
1 (logx1 + logx2 + n
· ·· logxn)
3. Média Harmônica (H): utilizada para variáveis que apresentam periodicidade, ou seja, uma variação harmônica como por exemplo, ondas de rádio, variação de preços, entres outros. n H =
n
1/xi
i=1
• Exemplos:
1. Suponha que uma indústria realizou ao longo dos últimos três meses cinco compras de determinada matéria prima: Compra Custo por quilo (R$) Quantidade Quilos 1 3 1200 2 3,40 500 3 2,80 2750 4 2,90 1000 5 3,25 800 Deseja-se obter informações sobre o custo médio por quilo da matéria prima. Qual é esse custo médio? 2. Sabe-se que os multiplicadores de crescimento anual de consumo de um determinado serviço telefônico foram iguais a 1,2; 1,8; 2,7; 0,9; 1,5; 2,3 e 0,7. Calcular a média aritmética, geométrica e harmônica.
c) Mediana(Md): é a realização que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados.
Ou seja, abaixo da mediana deverão estar 50% dos elementos analisados e acima da mediana deverão estar 50% dos dados analisados. i) Dados não agrupados: O valor da mediana depende da quantidade n de elementos
presentes no conjunto de dados. Se o número de dados for ímpar a mediana será igual ao valor central. No caso de números de dados par a mediana será dada pela média aritmética entre os dois valores centrais. Matematicamente, a mediana é definida como: Md =
se n é ímpar
x(n+1)/2 x( n ) +x 2
2
( n+2 2 )
se n é par
ii) Dados agrupados: Md = LI +
0,5n−F i f Md .C
em que: LI é o limite inferior da classe mediana; F i é a frequência acumulada das classes anteriores a classe mediana; 9
f M d é a frequência da classe mediana; C é a amplitude da classe mediana; n é o número de observações e classe mediana é a classe onde se encontra o indivíduo
mediano.
• Exemplos:
1. Os preços em reais para uma amostra de aparelho de ar condicionado são: 500, 840, 470, 480, 420, 440 e 440. Calcular a mediana. 2. O peso de mancais produzidos por um processo de fundição está sendo estudado. Uma amostra de seis mancais foi medida, resultando nos seguintes pesos: 1,18; 1,21; 1,19; 1,17; 1,20 e 1,21. Obter a mediana. 3. Utilizando novamente os dados referente aos números de gols por partida em um campeonato de futebol, calcular a mediana desses valores: No de gols por partida f i 0 7 1 12 2 16 3 12 4 9 5 2 6 2 Total 60 4. Suponha que a renda familiar em salários mínimos de uma amostra com 72 trabalhadores pudesse ser representada segundo a tabela: Classe f i 1 2 13 2 4 22 4 6 18 68 7 8 10 8 10 12 4 Total 72 Calcular a mediana.
d) Moda(Mo): é o valor que ocorre com maior frequência entre os valores observados. Em um
conjunto de dados, pode existir mais de uma moda ou não ter nenhum valor modal. i) Dados não agrupados: é o valor que aparece repetido mais vezes. ii) Dados agrupados: Se os dados encontram-se em uma distribuição de frequência, procede-
se das seguintes formas:
utilização de fórmula: Mo = LI +
∆1 .C, ∆1 + ∆2
em que: LI é o limite inferior da classe modal; ∆1 é a diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe imediatamente inferior; ∆2 é a diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe posterior; C amplitude da classe modal e classe modal é a classe de maior frequência. 10
utilização do ponto médio da classe modal: Mo =
LI + LS , 2
em que: LI é o limite inferior da classe modal e LS é o limite superior da classe modal
utilização do método geométrico:
• Observações:
1. Quando o método geométrico é utilizado, a moda tenderá para o limite inferior ou superior da classe modal a medida que o valor da frequência da classe anterior for maior que a d posterior ou a frequencia da classe posterior for maior que a da anterior, respectivamente. Se as classes anterior e posterior a classe modal tiverem a mesma frequência, então a moda será o ponto médio da classe. 2. As propriedades (3) e (4) da média aritmética também são válidas para a mediana e a moda.
• Exemplos:
1. Durante o mês de setembro de um certo ano, o número de acidentes por dia em um certo trecho da rodovia, apresentou os seguintes valores: 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 6 Qual é a moda de acidentes por dia? 2. Determine a moda para os seguintes conjuntos de dados: a) 150, 155, 157, 160, 160, 163, 165, 165, 170 b) 10, 12, 14, 15, 16, 19, 21 3. Considere os dados amostrais do número de circuitos defeituosos em um sistema composto por 4 circuitos. Uma amostra de 19 sistemas foi coletada, obtendo os seguintes dados: Número de circuitos defeituosos f i 1 10 2 7 3 1 4 1 Total 19 Determinar a moda, ou seja, o número modal de circuitos defeituosos por sistema. 4. O quadro a seguir representa a distribuição de frequências do peso (kg) de pessoas de uma certa faixa etária: Peso f i 40 45 3 45 50 8 50 55 16 55 60 12 60 65 7 65 70 3 70 75 1 Total 50 Calcular a moda e interpretar. 11
1.8
Relação entre, x¯, M d e Mo
a) Se x ¯ = Md = Mo: Distribuição simétrica b) Se x ¯ > Md > Mo : Distribuição assimétrica à direita. c) Se x ¯ < Md < Mo: Distribuição assimétrica à esquerda.
1.9
Separatrizes (Quartis)
Se um conjunto de dados é organizado em rol, o valor central ou a média entre os dois valores centrais foi definido como a mediana. Por extensão desse conceito de mediana, pode-se pensar nos valores que dividem o conjunto em quatro partes iguais, e teremos os quartis (Q 1, Q 2 , Q 3 ). O quartil Q2 coincide com a mediana. Podemos ainda ter os decis que dividem os dados ordenados em 10 (D 1 , D2 , ..., D9 ) conjuntos iguais, ou os percentis que os dividem em 100 partes iguais (P 1 , P2 , ..., P99 ). Desse modo, segue que: Q 2 = D5 = P50 = Md; P75 = Q3 ; P25 = Q1 .
• Cálculo do p-ésimo percentil: p 1. Organize os dados em rol e calcule o índice ( i): i = 100 n, em que p é o percentil procurado e n o número de observações. 2. Se i não for um número inteiro, arredonde-o para cima. Esse número denomina a posição do p-ésimo percentil. 3. Se i for um número inteiro, o p-ésimo percentil será a média dos valores nas posições i e i + 1.
• Exemplos: 1. As notas finais de nove alunos em uma determinada disciplina são iguais a: 89,88, 94, 65, 42, 73, 66, 66 e 35. Calcular e interpretar os quartis. 2. Os sálarios dos empregados de uma indústria são: 2710, 2755, 2850, 2880, 2880, 2890, 2920, 2940, 2950, 3050, 3130 e 3325. Determine os quartis e o 85 o percentil. 1.10
Medidas de dispersão
Sabemos que sucessivas realizações de um fenômeno não produzem o mesmo resultado. Por exemplo, o desempenho de consumo do carro não é o mesmo para cada tanque de combustível. Existe uma variabilidade nos resultados que nesse caso pode depender de vários fatores como tipo de estrada, marca do combustível, condições climáticas, desgaste do veiculo com o tempo, entre outras. Dessa forma, resumindo o conjunto de dados em uma única medida de posição, não se tem ideia dessa variabilidade. Assim, é necessário obter uma medida que nos indique o quanto os dados se encontram dispersos em torno da região central, ou da média, sendo a medida de dispersão usada para esse fim.
• Exemplo: Três grupos de alunos submeteram-se a um teste, obtendo as seguintes notas: Grupo A: {1, 8, 10, 10, 11, 12, 18} x¯A = 10; MdA = 10; MoA = 10 Grupo B: {1, 2, 10, 10, 10, 13, 24} x¯B = 10; MdB = 10; MoB = 10 Grupo C: {10, 10, 10, 10, 10, 10, 10} x ¯C = 10; MdC = 10; MoC = 10
12
A média, a mediana e a moda são iguais, mas os três grupos apresentam comportamento diferenciado. O grupo C é mais homogêneo e o grupo B é o que apresenta a maior variação das notas. Nesse caso a variabilidade que é distinta nos três grupos não pode ser identificada apenas com as medidas de posição, seria necessário uma medida de dispersão. As principais medidas de dispersão são: a amplitude total, a variância e o desvio padrão, o coeficiente de variação e o erro padrão da média. a) Amplitude total (A): corresponde a diferença entre a maior (máximo) e a menor observação
(mínimo) de um conjunto de dados. i) Dados não agrupados: A = X (n)
− X (1);
ii) Dados agrupados: A = x ¯k x ¯1 , em palavras, é a diferença entre o ponto médio da última
−
classe e o ponto médio da primeira classe.
• Exemplos:
1. Encontre a amplitude total do conjunto de dados: 2, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 10 e 12. 2. Utilizando o exemplo da distribuição de frequências do peso (kg) de pessoas de uma certa faixa etária, calcular a amplitude total: Peso f i 40 45 3 45 50 8 50 55 16 55 60 12 60 65 7 65 70 3 70 75 1 Total 50
• Problemas associados a esta medida:
1. Não considera todas as observações no cálculo; 2. Não se tem ideia do comportamento dos dados entre os extremos; 3. Apresenta muita variação de uma amostra para outra, mesmo que ambas sejam extraídas da mesma população.
• Características desejadas em uma medida de dispersão:
1. Considera todas as observações no cálculo; 2. É facilmente calculável e compreensível; 3. Deve estar exposta o menos possível as flutuações das amostras.
b) Variância(s2 ) e desvio padrão(s): n
(xi
i) Dados não agrupados: s2 =
Soma de quadrados dos desvios (SQD) n−1
i=1
− x¯)2
; Desenvolvendo a soma de quadrados dos desvios e aplicando algumas propriedades algébricas, n
obtém-se que: s2 =
i=1
2
xi
n
x2i
−
i=1
n
.
n−1
13
=
n−1
k
ii) Dados agrupados: s2 =
i=1
2
x ¯i f i
k
x ¯2i f i
−
i=1
n
n−1
• Observações: 1. O desvio padrão √ 2 (s) é definido como sendo a raiz quadrada positiva da variância, ou
seja, s = s ; 2. Quanto as unidades dessas medidas de dispersão, tem-se que o desvio padrão possui a mesma unidade dos dados, enquanto a variância tem a unidade dos dados elevada ao quadrado. Para a variância a unidade não tem significado físico por estar ao quadrado, o que dificulta a interpretação
• Exemplos:
1. Os dados a seguir referem-se a produção, em toneladas, de um certo produto de uma indústria: 50 280 560 170 180 500 250 200 1050 240 180 1000 1100 120 420 510 480 90 870 360 Calcular a produção média da indústria, variância e desvio padrão. 2. Uma inspeção feita em uma amostra de 30 embalagens, cada uma contendo uma dúzia de ovos, ao serem transportados de uma granja até o local destinado, apresentou os seguintes número de ovos danificados: Número de ovos quebrados f i 0 13 1 9 2 3 3 3 4 1 5 1 Total 30 Determinar a variância. 3. Um estudo foi realizado para investigar a quantidade (em milhões) de passageiros transportados em diferentes épocas do ano por uma grande empresa de transporte urbano: Classes f i 1,5 4,5 5 4,5 7,5 10 7,5 10,5 12 10,5 13,5 6 13,5 16,5 7 Total 40 Pede-se: Determinar a média e o desvio padrão.
• Propriedades da variância e do desvio padrão:
1. Somando-se ou subtraindo-se uma constante k a cada observação, a variância e o desvio padrão não se alteram. 2. Multiplicando-se ou dividindo-se cada observação por uma constante k , a nova variância ficará multiplicada ou dividida por k2 , e o novo desvio por k. 14
3. A variância de uma constante é igual a zero. 4. A variância e o desvio padrão são sempre positivos, e são usados todos os valores observados em seu cálculo. c) Coeficiente de variação: Conjuntos de dados com diferentes unidades de medida, ou mesmo
para uma única unidade, se os conjuntos de dados possuem médias diferentes, suas variabilidades não podem ser comparadas pela variância ou desvio padrão. Uma medida de variabilidade que não depende desses fatores é o coeficiente de variação, que não possui unidade de medida e pode ser calculado pela fórmula: CV =
s 100. x ¯
• Exemplos:
1. Uma pesquisa sobre temperatura ( o C ) e pressão (atm) em uma caldeira industrial mostrou os seguintes resultados: T(o C ) 400 450 350 500 600 550 P(atm) 40 52 37 67 70 72 a) Calcular a média e o desvio padrão para cada variável; b) Que atributo apresenta maior variabilidade? 2. Numa empresa, o salário médio dos homens é de R$4000, com desvio padrão de R$1500, e o das mulheres e em média R$3000, com desvio padrão de R$1200. Qual salário apresenta maior variabilidade?
d) Erro padrão da média (sx¯ ): é uma medida de dispersão que mede a precisão com que a média
amostral foi calculada. Quanto menor for seu valor, mais provável será a chance de obter a média da amostra nas proximidades da média da população. O erro padrão da média é dado por: sx¯ =
√ sn
Observe que se n → ∞ sx¯ → 0
• Exemplo:
1. Em um estudo sobre a acidez de algumas soluções, o ph de um certo produto foi medido, obtendo os seguintes resultados: 5,1 5,3 5,2 5,5 4,9 6,2 6,0 5,8 5,3 5,0 5,1 5,4 5,1 6,1 5,6 5,4 5,8 5,7 5,5 5,1 a) Calcular o erro padrão da média usando as duas primeiras linhas dos dados; b) Agora, utilize todos os dados;
15
2
Probabilidade
Neste capítulo serão abordados os conceitos de probabilidade que dão suporte para o estudo de estatística e experimentação. Quando fala-se de probabilidade, pretende-se identificar a chance de ocorrência de um determinado resultado de interesse, em situações nas quais não é possível calcular com exatidão o valor real do evento. Desta forma, trabalha-se com chances ou probabilidades. 2.1
Conceitos
a) Experimento aleatório: consiste em um experimento que pode ser efetuado repetidas vezes,
sob as mesmas condições de realização, mas cujos resultados não são essencialmente os mesmos em todas as repetições.
• Exemplos:
1. Lançamento de uma moeda ou dado; 2. Tempo de vida útil de um componente eletrônico; 3. Número de chamadas telefônicas que chegam a uma central em um intervalo de tempo;
b) Espaço amostral (Ω) : conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento. c) Evento: é um subconjunto do espaço amostral.
• Exemplos:
1. Uma fábrica produz determinado artigo. Da linha de produção são retirados três artigos, e cada um é classificado como bom (B) ou defeituoso (D). Qual o espaço amostral associado a esse experimento? Se A é definido como sendo “dois artigos bons”, quais são os elementos pertencentes a esse evento? 2. Qual o espaço amostral associado a um experimento que consiste em determinar o tempo de decomposição industrial em um aterro sanitário? Se A é o evento “o tempo de decomposição está entre dois e doze anos”, como pode ser representado esse evento?
2.2
Operações de conjuntos
As operações com conjuntos podem ser aplicadas aos eventos. Então define-se: a) Evento interseção (A B): é o conjunto formado pelos resultados que pertencem aos eventos A e B simultaneamente.
∩
b) Evento união (A
∪ B): é o evento formado pelos resultados de A ou B, ou seja, os resultados
que pertencem a pelo menos um dos eventos.
c) Evento complementar (A¯ ou Ac ): é o evento formado pelos resultados que não pertencem
ao evento considerado. d) Evento mutuamente exclusivo: Dois eventos são mutuamente exclusivos se e somente se A B = ∅.
∩
Se a união de n eventos mutuamente exclusivos é o próprio Ω, temos que tais eventos formam uma partição de Ω.
16
2.3
Definição e axiomas de probabilidade
Probabilidade: a definição clássica de probabilidade nos diz que a probabilidade de ocorrer o
evento A é definida como: P (A) =
n números de casos favoráveis A = = Ω N números de casos possíveis
• Exemplos: 1. Qual a probabilidade de se retirar dois ou mais artigos bons, no experimento que tem por finalidade classificar os artigos da linha de produção de uma fábrica? 2. Qual a probabilidade de obter duas caras em duas jogada de uma moeda?
• Axiomas de Probabilidade: Axioma 1: A probabilidade de um certo evento ocorrer corresponde a um número não negativo, ou seja, P (A) 0.
≥
Axioma 2: A probabilidade de ocorrer todo o espaço amostral é igual a um, isto é, P (Ω) = 1. Axioma 3: Se A1 , A2 , , An são eventos mutuamente exclusivos, P (A1 P (A1 ) + P (A2 ) + + P (An )
· ··
·· ·
∪ A2 ∪ An) =
A partir desses axiomas, pode-se enunciar as seguintes propriedades, que são úteis no cálculo de probabilidades: Propriedade 1: 0
≤ P (A) ≤ 1, ∀ evento A .
Propriedade 2: P (∅) = 0 Propriedade 3: Se A1
⊂ A2, então P (A1) ≤ P (A2) Propriedade 4: P (Ac ) = 1 − P (A) Propriedade 5: P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 ) • Exemplos: 1. Suponha que o seguinte quadro represente uma possível divisão de alunos matriculados na UFU em um determinado semestre: Sexo Cursos Masculino (M) Feminino (F) Total Engenharia (E) 70 40 110 Matemática (MT) 15 15 30 Química (Q) 10 20 30 Computação (C) 20 10 30 Total 115 85 200 Calcular: a) A probabilidade de uma pessoa selecionada aleatoriamente estar matriculada em engenharia; 17
b) P(M)? c) P(MT ∪ M)? d) P(E ∪ C)? e) P(Qc )? 2. Considere um experimento e os eventos A e B associados a este experimento. Seja P(A)= 1/2; P(B)= 1/3 e P (A∩ B)= 1/4. Calcule: a) P (Ac ); b) P (A ∪ B); c) P (Ac ∩ B c ); d) P (Ac ∪ B c ); e) Qual a probabilidade que B ocorra e A não ocorra. 2.4
Análise Combinatória
Nem sempre é possível enumerar o espaço amostral. Nestes casos, deve-se usar a análise combinatória como processo de contagem. Nas combinações estamos interessados somente em selecionar objetos sem nos preocuparmos com a ordem. Assim, o número total de combinações de n objetos N N ! selecionados dentre os N objetos distintos, denotado por N n é: n = n!(N −n)! .
• Exemplos: 1. Em um congresso científico existem 15 engenheiros e 12 arquitetos. Qual a probabilidade de se formar uma comissão com cinco membros, na qual figurem 3 engenheiros e 2 arquitetos? 2. Suponha que num lote com 20 peças existam 5 defeituosas, e escolhemos 4 peças do lote ao acaso. Qual é a probabilidade de se escolher duas peças defeituosas na amostra? 2.5 2.5.1
Probabilidade Condicional e Independência Probabilidade Condicional
Algumas vezes, as probabilidades necessitam ser reavaliadas à medida que informações adicionais se tornam disponíveis. Uma maneira de incorporar informação adicional em um modelo de probabilidade é considerar que o resultado gerado é um elemento de um dado evento. Esse evento, denotado por B, define as condições em que se sabe que o resultado é satisfatório. Então, as probabilidades podem ser revistas de modo a incluir esse conhecimento. A probabilidade de um evento A, sabendo qual será o resultado do evento B, é dada por P (A/B) e é chamada de probabilidade condicional de A dado B. Desse modo, a probabilidade condicional P (A/B) é definida como: P (A/B) =
P (A B) com P (B) = 0 P (B)
P (B/A) =
P (B A) com P (A) = 0 P (A)
∩
Analogamente,
∩
Dessas expressões é possível definir a regra do produto de probabilidade: P (A
∩ B) = P (B)P (A/B) = P (A)P (B/A) 18
• Exemplos: 1. Utilizando os dados dos alunos matriculados em uma universidade, determine: Sabendo que uma pessoa selecionada ao acaso está matriculada em matemática, qual a probabilidade que ela seja do sexo masculino? 2. Num certo colégio, 4% dos homens e 1% das mulheres têm mais de 1,75 de altura. 60% dos estudantes são mulheres. Um estudante é escolhido ao acaso e tem mais de 1,75m. Qual é a probabilidade de que seja homem? 2.5.2
Eventos independentes
Da regra do produto de probabilidades, surge a definição de eventos independentes. Dois eventos A e B são independentes se e somente se P (A/B) = P (A) ou P (B/A) = P (B). Assim, se A e B forem independentes, temos: P (A/B) =
P (A B) = P (B)
∩
⇒ P (A ∩ B) = P (A/B)P (B) =⇒ P (A ∩ B) = P (A)P (B)
Generalizando, vários eventos são independentes entre si, se forem independentes dois a dois, ou ainda: P (A ∩ B ∩ · · · ∩ W ) = P (A)P (B) · · · P (W )
• Exemplos: 1. Suponha que três componentes de um sistema elétrico funcionam em série. O sistema funcionará se os componentes, 1, 2 e 3 funcionam simultaneamente. Suponha ainda que cada componente funcione independentemente e que pi é a probabilidade do componente i funcionar, qual a probabilidade do sistema funcionar? 2. Suponha agora que um outro sistema é constituído por 4 componentes. Neste sistema os componentes 1 e 2 funcionam em série, e estes mesmos componentes funcionam em paralelo com os componentes 3 e 4, que por sua vez funcionam em série. A probabilidade de cada um dos componentes funcionar é de 0,90. Determinar a confiabilidade deste sistema funcionar. 3. A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a de sua mulher é de 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui 30 anos: a) ambos estejam vivos; b) somente o homem esteja vivo; c) pelo menos um esteja vivo; 2.6
Teorema de Bayes
É um importante teorema que expressa uma probabilidade condicional em função de outras probabilidades condicionais. Teorema de Bayes: Sejam B1 , B2 , Bn uma partição de Ω, ou seja, Bi B j = ∅, i = j e B1 B2 Bn = Ω. Considerando A um evento qualquer e conhecendo-se P (Bi ) e P (A/Bi ),
∪ ∪···∪
· ··
∩
temos que:
P (Bi /A) =
P (Bi )P (A/Bi ) n
[P (Bi )P (A/Bi )]
i=1
19
• Exemplos: 1. Durante o mês de dezembro, a probabilidade de chover é de 10%. Um time ganha um jogo em um dia chuvoso, com 40% de probabilidade, e em um dia sem chuva, com 60% de probabilidade. Tendo esse time ganho um jogo em um dia de dezembro, qual a probabilidade de ter chovido nesse dia? 2. Considere cinco urnas cada uma com seis bolas. Duas dessas urnas (tipo C 1), tem três bolas brancas, duas outras urnas (tipo C 2 ), tem duas bolas brancas e a última (tipo C 3 ) tem seis bolas brancas. Escolhe-se uma urna ao acaso e retira-se uma bola desta. Qual a probabilidade de que a urna escolhida seja do tipo C 3 , sabendo-se que a bola retirada á branca? 3. Para selecionar seus funcionários, uma empresa oferece aos candidatos um curso de treinamento. Ao final eles são submetidos a uma prova e 25% são classificados como bons (B), 50% como médios (M) e os restantes 25% como fracos (F). Para facilitar a seleção, a empresa pretende substituir o treinamento por um teste contendo questões de conhecimentos gerais e específicos. Para isso, gostaria de conhecer qual a probabilidade de um indivíduo aprovado no teste ser considerado fraco, caso fizesse o curso. De acordo com os resultados receberam os conceitos aprovado (A) ou reprovado (R). Sabendo que P (A/B) = 0,80; P (A/M ) = 0,50; e P (A/F ) = 0,20, encontrar P (F/A).
20
3
Variáveis aleatórias unidimensionais
Neste capítulo será apresentado o conceito de variável aleatória unidimensional, tanto para o caso discreto quanto para o caso contínuo, e também será definida as principais funções que regem as variáveis aleatórias. 3.1
Definição de Variáveis Aleatórias Unidimensionais
Considere um experimento aleatório e o espaço amostral associado a esse experimento. Uma função que associa valores reais aos eventos do espaço amostral é definida como uma variável aleatória (v.a.). Geralmente, as letras maiúsculas são utilizadas para representar a variável aleatória, e as letras minúsculas os valores que esta variável aleatória pode assumir. Por exemplo, se a variável aleatória é representada por X , as realizações dessa variável aleatória é representada pelos valores x1 , x2 , · · · , xn . As variáveis aleatórias podem se classificar em discretas e contínuas. A variável aleatória discreta é aquela que assume valores finitos, ou infinito enumerável, de valores, já a variável aleatória contínua é aquela que assume um número infinito não enumerável de valores, ou seja, são valores oriundos de grandezas mensuradas em uma escala real. 3.1.1
Variável Aleatória Discreta
Uma variável discreta X pode ser definida como aleatória discreta se a cada um de seus valores se associa uma probabilidade P (X ).
• Exemplos: 1. Se um experimento consiste no lançamento de um dado, a função: X : “o dobro do valor obtido menos um”, define uma variável aleatória discreta, que pode assumir seis valores possíveis: 1, 3, 5, 7, 9 e 11 com probabilidade igual a 1/6. 2. Se um experimento consiste em observar o número de carros vendidos durante um dia em uma garagem, conforme tabela abaixo: Vendas de carros Dias P (X ) 0 54 54/300 = 0,18 1 117 117/300 = 0,39 2 72 72/300 = 0,24 3 42 42/300 = 0,14 4 3 3/300 = 0,01 5 12 12/300 = 0,04 Total 300 1,00 e Y for definido como sendo “o número de carros vendidos em um dia”, Y poderá assumir os valores 0, 1, 2, 3, 4 e 5 com probabilidade 0,18;0,39;0,24;0,14;0,01 e 0,04, respectivamente.
• Distribuição de Probabilidade Para cada valor x1 , x2 , · ·· , xn que a variável aleatória X assume serão atribuídos números reais, representando as probabilidades de a variável aleatória X ser igual a esses valores. Essas probabilidades serão denotadas por P (X = x1 ) = p1 , P (X = x2 ) = p2 , · · · , P (X = xn ) = pn , e devem satisfazer às seguintes condições: a) 0
≤ pi ≤ 1 ∀i = 1,2, · · · , n. 21
n
b)
pi = 1.
i=1
As probabilidades pi , i = 1,2, · · · , n formam o que se denomina função de probabilidade da variável aleatória X . b
Para quaisquer valores de a e b, tem-se que P (a < X < b) =
P (X = xi ).
xi >a
Para os exemplos dados anteriormente, as distribuições de probabilidade nestes casos são: X P (X = x) Y P (Y = y)
3.1.2
1 3 5 7 9 11 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1,00 0 1 2 3 4 5 0,18 0,39 0,24 0,14 0,01 0,04 1,00
Variável Aleatória Contínua
A variável aleatória é dita contínua se corresponder a dados de medida, pertencentes aos conceito de v.a. contínua será mais bem entendido por meio dos seguintes exemplos:
. O
R
1. Se um experimento consiste em verificar as alturas de 30 universitários, a função: X : “Altura de um universitário”, define uma variável aleatória contínua, que pode assumir quaisquer valores entre 130 e 220 cm. 2. Se um experimento consiste em mensurar os pesos dos 30 universitários, a função: Y : “Peso de um universitário”, define uma variável aleatória contínua, que pode assumir quaisquer valores entre 60 e 130 kg. 3. Se um experimento consiste em verificar a durabilidade de um lote de 50 pneus, a função: Z : “tempo de vida útil de um pneu”, define uma v.a. contínua, que pode assumir quaisquer valores entre 50.000 e 70.000 km. Com base nos exemplos apresentados, a variável aleatória contínua está vinculada a dados oriundos de uma mensuração que resultam a um intervalo de números reais.
• Função Densidade de Probabilidade Se a variável aleatória X é contínua, define-se uma função, denotada por f (x), e denominada função densidade de probabilidade (f.d.p.) da variável aleatória X , que representa, fisicamente, a curva das probabilidades de todos os infinitos valores de X . Deste modo, áreas serão usadas para representar as probabilidades, e probabilidades são valores numéricos positivos, portanto, a função densidade deve estar inteiramente acima do eixo x. Uma função de densidade de probabilidade é construída de modo que a área abaixo da curva até o eixo x seja igual a 1, quando calculada para a amplitude de X para o qual f (x) foi definida. Se essa amplitude de X for um intervalo finito, é sempre possível estender o intervalo para incluir o conjunto inteiro dos reais, definindo-se f (x) como sendo igual a zero em todos os pontos nas porções estendidas do intervalo. Isso é válido pois uma variável contínua X tem uma probabilidade zero de assumir exatamente qualquer um de seus valores. Essa função f (x) deve satisfazer às seguintes propriedades: a) f (x)
≥ 0, para todo x ∈ R 22
b)
+∞
f ( f (x)dx = 1
−∞ b
c) P ( P (a
P (a ≤ x < b) = P ( P (a < x ≤ b) = P ( P (a < x < b) b) = ≤ x ≤ b) = P (
f ( f (x)dx,
a
∀ a e b.
• Exemplo: 1. Suponha que o erro na temperatura de reação (em 0C ), ), para um experimento de laboratório controlado, seja a variável aleatória contínua X , que tem a seguinte função de densidade de probabilidade: f ( f (x) =
x2 3 ,
0,
se −1 < x < 2 caso contrário
a) Verifique se as propriedades (a) e (b) de f ( f (x) são satisfeitas; b) Determine a P (0 P (0 < X ≤ 1) 3.2
Função Repartiç Repartição ão ou Função Função de Distrib Distribuição uição Acum Acumulada ulada
A função de distribuição acumulada nos fornece a probabilidade de que a variável em questão esteja esteja abaixo de um determina determinado do valor. valor. Em geral, ela é represen representada tada por F ( F (X ) ou φ(X ). Assim, F ( F (X ) = P ( P (X ≤ x).
• Variável Aleatória Discreta: Para uma variável aleatória discreta a função de distribuição acumulada será definida como: F ( F (x) = P ( P (X ≤ x) = P ( P (X = xi ) para −∞ < x < +∞.
xi
• Variável Aleatória Contínua: Para uma variável aleatóriaxcontínua a função de distribuição acumulada será definida como: F ( F (x) = P ( P (X ≤ x) = f ( f (t)dt para −∞ < x < +∞.
−∞
• Propriedades da Função Repartição ou Função de Distribuição Acumulada i) 0 ≤ F ( F (X ) ≤ 1 ii) F ( F (−∞) = lim F ( F (x) = 0 x→−∞ iii) F (+ F (+∞) = lim F ( F (x) = 1 x→+∞ iv) F ( F (x) é sempre crescente v) P ( P (a
F (b) − F ( F (a), se b > a ≤ x ≤ b) = F (
• Exemplos: 1. Um carregamento de oito microcomputadores similares para um ponto-de-venda contém três que apresentam apresentam defeitos. defeitos. Se uma escola faz uma compra compra aleatória de dois desses microcomputadores, pede-se: a) Determinar a distribuição de probabilidade para o número de microcomputadores defeituosos; b) P (0 P (0 ≤ X ≤ 1); c) Obter a função de distribuição acumulada. 23
2. O diâmetro X de um cabo elétrico é uma v.a. contín contínua ua definida pela seguinte seguinte função: função: f ( f (x) =
0 k(2x (2x 0
x2 )
−
para x < 0 para 0 ≤ x ≤ 1 para x > 1
a) Encontre o valor de k para que f ( f (x) seja uma função densidade de probabilidade; b) Calcular a probabilidade de x ser menor que 0,5; c) Obter a distribuição acumulada F ( F (X ). 3.3 3.3.1 3.3.1
Parâmetr Parâmetros os caracterí característico sticoss de uma Distrib Distribuição uição de Probab Probabilida ilidade de Esperan Esperança ça Matemá Matemátic tica a
Muitas vezes tem-se o interesse em estimar parâmetros característicos de uma distribuição de probabilidade de uma variável aleatória qualquer. Um desses parâmetros é a Esperança Matemática, que representa uma média aritmética ponderada ou um valor esperado de uma variável aleatória. Na prática, a esperança pode ser entendida como um “centro de distribuição de probabilidade”, isto é, a média de uma distribuição de probabilidade. A Esperança Matemática é definida da seguinte forma:
•
Se X é uma variável aleatória discreta: n
µx = E (X ) =
xi P ( P (X = xi )
i=1
•
Se X é uma variável aleatória contínua:
µx = E (X ) =
+∞
xf ( xf (x)dx
−∞
•
Propriedades da Esperança Matemática i) E (k ) = k , sendo k uma constante ii) E (kX ) = kE (X ) iii) E (X
Y ) = E (X ) ± E (Y ) Y ) ± Y ) iv) E (X ± K ) = E (X ) ± K
v) E (X Y ) Y ) =E (X )E (Y ) Y ) se X e Y são variáveis aleatórias independentes.
3.3.2 3.3.2
Variânc ariância ia e desvi desvio o padrão padrão
Anteriormente foi apresentado que a esperança matemática fornece a média de uma distribuição de probabilidade probabilidade.. Porém, Porém, nestas situações situações não se tem a informação informação a respeito respeito do grau de dispersão das probabilidades em torno da média. Portanto, a medida que será utilizada para estimar o grau de dispersão (ou de concentração) de probabilidade em torno da média será a variância. A variância é definida da seguinte forma: V ( V (X ) = σx2 = E (X 2 )
− [E (X )])]2 = E (X 2) − µ2 24
•
Se X é uma variável aleatória discreta, então a esperança matemática E (X 2 ) é dada por : n 2
E (X ) =
xi2 P ( P (X = xi )
i=1
•
Se X é uma variável aleatória contínua, então a esperança matemática E (X 2 ) é: 2
E (X ) =
+∞
x2 f ( f (x)dx
−∞
O desvio padrão é obtido por meio da seguinte expressão: σx =
•
Propriedades da Variância
σx2 .
i) V ( V (k ) = 0, sendo k uma constante; ii) V ( V (kX ) = k 2 V ( V (X ) iii) V ( V (X
V (X ) ± K ) = V ( iv) V ( V (X ± Y ) Y ) = V ( V (X ) ± V ( V (Y ) Y ), se X e Y são variáveis aleatórias independentes
• Exemplos: 1. Um estudo do número de carros alugados em uma operadora durante certo período do ano foi realizado e obteve se a seguinte função de probabilidade: X P ( P (X = x)
0 1 2 3 4 0,05 0,25 0,36 0,21 0,13
Obter a média e o desvio padrão para esses dados. 2. Dada a v.a. contínu contínuaa com a seguinte seguinte função densidade densidade de probabilidade probabilidade::
f ( f (x) =
0 k k (2 0
para x < 0 para 0 ≤ x < 1 − x) para 1 ≤ x < 2 para x ≥ 2
a) Determinar o valor de k para que f ( f (x) seja uma função densidade de probabilidade; b) Esboce o gráfico de f ( f (x); c) Encontre a distribuição acumulada F ( F (X ); d) Construa o gráfico de F ( F (X ) e) Calcular a esperança, a variância e o desvio padrão de f ( f (x).
25
4
Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Em muitas situações, pode-se estar interessado em observar duas características simultaneamente. Neste casos, deve-se tratar cada característica como uma variável aleatória, e, portanto, as duas variáveis aleatórias conjuntamente como uma variável bidimensional. 4.1
Definição de Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Considere um experimento aleatório e o espaço amostral associado a esse experimento. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias. Então, (X, Y ) define uma variável aleatória bidimensional. Os valores da variável aleatória bidimensional (X, Y ) são representados pelos pares ordenados (x,y). Se tanto a variável aleatória X quanto a variável aleatória Y assumirem um número finito ou infinito numerável de valores, então dizemos que a variável aleatória bidimensional é discreta. Caso a variável aleatória X e a variável aleatória Y assumirem, cada uma, um número infinito não enumerável de valores, então a variável bidimensional é considerada uma variável aleatória contínua. Pode acontecer o caso de uma variável aleatória ser discreta e a outra variável aleatória ser contínua. No entanto, somente os casos em que ambas as variáveis são discretas ou ambas são contínuas será abordado neste curso. 4.2
Variável Aleatória Discreta
Seja (X, Y ) uma variável aleatória bidimensional discreta. A cada valor possível (x, y) associase um número real, denotado por p(x,y), representando a probabilidade de a variável aleatória X assumir o valor x, ao mesmo tempo em que a variável aleatória Y assume o valor y, isto é, p(x, y) = P (X = x, Y = y). O conjunto de todas as probabilidades p(x, y), para todos os valores válidos para as variáveis aleatórias X e Y , é definido como a função conjunta de probabilidades da variável aleatória bidimensional discreta (X, Y ). Esses números p(x, y), como representam probabilidades, devem satisfazer às seguintes condições: a) 0 b)
≤ p(x, y) ≤ 1 para todo (x, y)
p(x, y) = 1
x
y
• Exemplos: 1. Uma fábrica produz determinado tipo de peça. A peça pode ser produzida por duas linhas de produção distintas. A capacidade de produção da linha I é de 4 peças por hora, e a capacidade de produção da linha II é de 3 peças por hora. Representando o número de peças realmente produzidas pelas duas linhas em uma determinada hora através de uma variável aleatória bidimensional (X,Y ), então o número de peças produzidas pela linha I representará a variável X e o número de peças produzidas pela linha II a variável Y . Sendo assim, tem-se a seguinte função conjunta de probabilidades: Y\X 0 1 2 3 Total
0 0,01 0,01 0,01 0,01 0,04
1 0,01 0,02 0,03 0,02 0,08
2 0,05 0,06 0,06 0,05 0,22
3 0,08 0,09 0,07 0,09 0,33
4 Total 0,11 0,26 0,06 0,24 0,08 0,25 0,08 0,25 0,33 1
Determinar a probabilidade de a linha I produzir um número maior de peças do que a linha II em uma determinada hora. 26
2. A função de probabilidade conjunta da variável aleatória bidimensional discreta (X, Y ) é p(x, y) = c(2x + y), em que 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 3. a) Determinar o valor da constante c e obter a função conjunta da variável bidimensional (X, Y ); b) Calcular a P (X ≥ 1; Y ≤ 2); 4.2.1
Distribuições de Probabilidades Marginais
Se mais de uma variável aleatória for definida em um experimento aleatório, será importante distinguir entre a distribuição de probabilidades conjuntas de X e Y e a distribuição de probabilidades de cada variável individualmente. A distribuição individual de probabilidade de uma variável aleatória é referida como a distribuição de probabilidades marginais. Em geral, a distribuição de probabilidades marginais de X pode ser determinada a partir da distribuição de probabilidades conjuntas de X e de outras variáveis aleatórias. Se X e Y são variáveis aleatórias discretas, com função de probabilidade conjunta P (X,Y ), então as funções de probabilidades marginais de X e Y são: p(x) = P (X = x) =
p(x, y)
e p(y) = P (Y = y) =
Todo y
p(x, y)
T odo x
É importante lembrar que, como p(x) e p(y) são funções de probabilidade, então as condições 0 ≤ p(x) ≤ 1 e p(x) = 1 devem ser satisfeitas, e, analogamente, 0 ≤ p(y) ≤ 1 e p(y) = 1.
x
y
Voltando ao exemplo anterior das linhas de produção, tem-se que as probabilidades marginais de X e Y são dados, respectivamente, por: x p(x)
0 1 2 3 4 0,04 0,08 0,22 0,33 0,33 1
y p(y)
0 1 2 3 0,26 0,24 0,25 0,25 1
• Observação: 1. A E (X ), E (Y ), V (X ) e V (Y ) podem ser obtidas calculando as distribuições marginais de X e Y , e em seguida, determinando as esperanças e variâncias pelo método usual. 4.2.2
Distribuições de Probabilidades Condicionais
A probabilidade condicional de variáveis aleatórias bidimensionais é calculada de forma semelhante à probabilidade condicionada de eventos, vista no capítulo de probabilidades. Desse modo, a função de probabilidade condicionada de X dado que Y = y , denotada por p(x|y), é definida por: P (X = x Y = y) =
|
P (X = x; Y = y) P (Y = y)
• Exemplos: 1. Utilizando novamente o exemplo das duas linhas de produção, calcule: a) P(X=0|Y=0) b) P(X=2|Y=1) c) P(X=4|Y=3) 27
2. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias, representando, respectivamente, o número de gols marcados pela equipe A e o número de gols marcados pela equipe B em um campeonato de futebol. Portanto, é possível expressar a função de probabilidade conjunta dessa variável aleatória bidimensional discreta por meio da seguinte tabela: Y\X 0 1 2 3 p(y) 0 0,04 0,08 0,04 0,04 0,2 1 0,08 0,16 0,08 0,08 0,4 2 0,08 0,16 0,08 0,08 0,4 p(x) 0,2 0,4 0,2 0,2 1 a) Qual a probabilidade do número de gols marcados pela equipe A, sabendo que a equipe B marcou um gol? 4.2.3
Variáveis Aleatórias independentes
Diz-se que X e Y são variáveis aleatórias independentes quando o resultado de X , por exemplo, de modo algum não influencia o resultado de Y , e vice-versa, ou seja, p(x|y) = p(x) para todo x e y, ou equivalentemente, se p(y|x) = p(y) para todo x e y. Assim, se (X, Y ) é uma variável aleatória bidimensional discreta, diz-se que X e Y são variáveis independentes se, e somente se, p(x, y) = p(x) p(y)
para quaisquer x e y. Essa relação é consequência do conceito de probabilidade condicionada, pois =x;Y =y) por exemplo, como P (X = x|Y = y) = P (X e, no caso de independência, p(x|y) = p(x), P (Y =y) segue que p(x, y) = p(x) p(y).
• Exemplo: 1. Verifique se as variáveis bidimensionais (X, Y) do exemplo das linhas de produção e também das equipes do campeonato de futebol são independentes. 4.2.4
Funções de Variáveis Aleatórias
Seja (X, Y ) uma variável aleatória bidimensional discreta. Seja W = H (X, Y ) uma função da variável aleatória bidimensional discreta (X, Y ). Então, W será uma variável aleatória unidimensional discreta, e neste caso, tem-se o interesse em obter a sua função de probabilidade p(w), que é obtida a partir da função H (X, Y ) e dos valores assumidos pelas variáveis X e Y .
• Exemplos: 1. Utilizando os dados do exemplo das linhas de produção considere a variável W = X + Y que representa o número total de peças produzidas pelas duas linhas, em uma determinada hora. a) Determinar a função de probabilidade da variável aleatória W b) Calcular a E (X ), E (Y ), E (W ) 2. Sejam X e Y variáveis aleatórias que representam o número de carros importados e o número de carros nacionais, respectivamente, que uma concessionária vende ao longo de uma semana, conforme a tabela a seguir: y x 0 1 2
0 0,015 0,05 0,035 28
1 0,06 0,20 0,14
2 0,045 0,15 0,105
3 0,03 0,10 0,07
a) Calcule as distribuições marginais das variáveis X e Y ; b) Obtenha a distribuição da variável Z = X.Y c) Calcule E (X ), E (Y ), E (Z ) 4.2.5
Covariância de duas variáveis aleatórias
A covariância entre duas variáveis aleatórias é uma medida de relação linear entre as variáveis. Se X e Y são duas variáveis aleatórias, a covariância de X e Y é definida por: cov(X,Y ) = E [(X
− E (X ))(Y − E (Y ))].
Para a variável aleatória discreta esta fórmula pode ser reescrita como: cov(X,Y ) =
[X i
x
y
− E (X i)][Y i − E (Y i)]P (xi, yi)
ou ainda, cov(X,Y ) = E (XY )
.
− [E (X )E (Y )]
• Exemplos: 1. Verifique se as variáveis do exemplo das linhas de produção e também do exemplo das vendas dos carros importados e nacionais são correlacionadas;
• Definição: Quando a cov(X,Y ) = 0, tem-se que X e Y são variáveis aleatórias não correlacionadas linearmente.
• Proposição: Se X e Y são duas variáveis aleatórias independentes, cov(X,Y ) = 0. No entanto, a recíproca não é verdadeira.
• Teorema: Para duas variáveis aleatórias X e Y tem-se que: a) V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2cov(X,Y); b) Se X e Y são independentes, então: V(X+Y)=V(X)+V(Y) 4.2.6
Coeficiente de correlação
Há uma outra medida da relação entre duas variáveis aleatórias que é frequentemente mais fácil de interpretar que a covariância. A correlação entre as variáveis aleatórias X e Y , denotada por ρ(X,Y ) é: ρ(X,Y ) =
• Observações:
σX,Y cov(X,Y ) = σX σY V (X )V (Y )
1. Para quaisquer duas variáveis aleatórias X e Y , −1 ≤ ρ(X,Y ) ≤ +1. 2. Quando ρ(X,Y ) = 1 existe uma relação linear perfeita entre X e Y (direta). 29
3. Quando ρ(X,Y ) = −1 existe uma relação linear inversa perfeita entre X e Y . 4. Na equação de regressão linear ( Y = ax + b), temos: Se a > 0 então ρ(X,Y ) é positivo e se a < 0 então ρ(X,Y ) é negativo.
• Exemplo: 1. Para os exemplos das linhas de produção e das vendas dos carros importados e nacionais calcule o coeficiente de correlação; 4.3
Variável aleatória contínua
Seja (X,Y ) uma variável aleatória bidimensional contínua. Isso significa que tanto a variável aleatória X quanto a variável aleatória Y assumem, cada uma, um número infinito não enumerável de valores. Portanto, a variável aleatória bidimensional contínua ( X,Y ) pode assumir um número infinito não enumerável de valores. A função densidade de probabilidade conjunta da variável aleatória bidimensional contínua (X,Y ), denotada por f (x,y) e representando a superfície de probabilidades dos valores (x,y) que a variável aleatória (X,Y ) assume é, uma função que deve satisfazer às seguintes condições: a) f (x,y) b)
+∞
≥ 0 para todo par (x,y); +∞
−∞
f (x,y)dxdy = 1
−∞
O cálculo da probabilidade de a ≤ X ≤ b e c ≤ Y ≤ d é dado por: b
P (a
≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) =
d
a
f (x,y)dydx
c
• Exemplos: 1. Suponha que a variável aleatória bidimensional contínua (X,Y ) tenha a função densidade de probabilidade conjunta dada por: f (x,y) = x2 + xy 3 , 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2. a) Verifique se f (x, y) é uma função densidade de probabilidade conjunta. b) Calcular P (X ≤ 1/2; Y ≥ 1/2) 4.3.1
Função densidade de probabilidade marginal
De modo análogo as variáveis discretas, pode-se estar interessado na função densidade de probabilidade da variável aleatória X ou na função de densidade de probabilidade da variável aleatória Y , determinadas, respectivamente, função densidade de probabilidade marginal de X denotada g(x), e função densidade de probabilidade marginal de Y , denotada por h(y). Essas funções são definidas da seguinte maneira: g(x) =
+∞
f (x,y)dy e h(y) =
−∞
+∞
f (x,y)dx.
−∞
É importante lembrar que, como g(x) e h(y) são funções densidade de probabilidade, g(x) ≥ 0
para todo x e
+∞
−∞
g(x)dx = 1, assim como h(y)
≥ 0 para todo y e
+∞
−∞
h(y)dy = 1.
Por meio destas funções g(x) e h(y), pode-se calcular a probabilidade de ocorrer x ou a probabilidade de ocorrer y . 30
• Exemplos: 1. Voltando ao exemplo anterior: a) Determine a função de densidade de probabilidade marginal da variável X e da variável Y . b) Qual a probabilidade de x estar entre 0,2 e 0,4? c) Qual a probabilidade de y estar entre 0,5 e 0,75? 4.3.2
Distribuições de Probabilidade Condicionais
Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com função densidade conjunta f (x,y) e distribuições marginais g(x) e h(y). A função densidade de probabilidade condicional de X , dado que Y = y é definida por: f (x,y) , h(y) > 0, h(y)
f (X Y = y) =
|
e função densidade de probabilidade condicional de Y , dado que X = x é dada por: f (x,y) , g(x) > 0, g(x)
f (Y X = x) =
|
• Exemplos: 1. Utilizando o exemplo da variável aleatória bidimensional contínua (X,Y ), com função densidade de probabilidade conjunta dada por: f (x,y) = x2 + xy 3 , 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2, pede-se: a) Determinar f (x|y) e f (y|x); b) Calcular P (Y < 1/2|X < 1/2) 2. Seja (X,Y ) uma variável aleatória bidimensional contínua com função densidade de probabilidade conjunta dada por: f (x,y) = cx(1 − y), 0 < x < 1 e 0 < y < 1. Calcular: a) O valor da constante c. b) A função densidade de probabilidade condicionada f (x|y). c) A função densidade de probabilidade condicionada f (y|x). 4.3.3
Variáveis Aleatórias Independentes
Diz-se que X e Y são variáveis aleatórias contínuas independentes quando o resultado de X , por exemplo, de modo algum não influencia o resultado de Y , e vice-versa, ou seja, X e Y serão independentes se g(x|y) = g(x), ou equivalentemente, se h(y |x) = h(y), para todo x e y. Então seja (X,Y ) uma variável aleatória bidimensional contínua. Diz-se que X e Y são variáveis aleatórias contínuas independentes se, e somente se, f (x,y) = g(x)h(y)
para todo x e y , em que f (x,y) é a função densidade de probabilidade conjunta da variável aleatória bidimensional (X,Y ), e g(x) e h(y) são as funções densidade de probabilidade marginais de X e Y , respectivamente. Essa relação é consequência do conceito de probabilidade condicionada: como g(x|y) = f (x,y) h(y) , para todo x e y , logo f (x,y) = g(x)h(y) e, no caso de independência, g(x|y) = g(x), para todo x e y , logo f (x,y) = g(x)h(y); analogamente, como h(y|x) = f (x,y) e, no casos de g(x) independência, h(y |x) = h(y), para todo x e y, logo f (x,y) = g(x)h(y). 31
• Exemplos: 1. Utilizando novamente o exemplo da variável aleatória bidimensional contínua (X,Y ), com função densidade de probabilidade conjunta dada por: f (x,y) = x2 + xy 3 , 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2, verificar se as variáveis X e Y são independentes. 2. O consumo de gasolina de uma marca de carro em determinada viagem é representado por uma variável aleatória X com função densidade de probabilidade dada por: f (x) = x2 , 0 < x < 2, e consumo de óleo representado por uma variável aleatória Y com função 3 densidade de probabilidade dada por g(y) = y4 , 0 < y < 2. Supondo que o consumo de gasolina e o consumo de óleo sejam independentes, qual a probabilidade de o consumo de óleo ser menor que o consumo de gasolina?
32
5
Distribuição de variáveis aleatórias discretas
Neste capitulo serão considerados alguns modelos probabilísticos específicos que desempenham importante papel na estatística. 5.0.4
Distribuição Uniforme discreta
É a mais simples das distribuições de variáveis aleatórias discretas, e cada valor particular dessa variável assume probabilidade constante. Dessa forma, se X assume os valores x1 , x2 , · · · , xk com igual probabilidade, então a distribuição uniforme discreta é dada por: P (X = xi ) =
1 , i = 1,2, k
∀
· ·· , k
em que k é o número de possibilidades.
• Média e variância: k
E (X ) = µx =
i=1
V (X ) = σx2 =
k
1 1 xi = k k
(k + 1)(k 12
− 1)
xi e
i=1
• Exemplo: 1. Uma caixa contém quatro lâmpadas, sendo uma de 40, uma de 60, uma de 75 e uma de 100 watts. Se X representa a intensidade da voltagens das lâmpadas: a) Monte a distribuição de probabilidade, caso seja selecionada uma lâmpada aleatoriamente. 5.1
Distribuição Bernoulli
Considere uma única realização de um experimento aleatório, em que podem ocorrer dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso.
• Exemplos: 1) O jogador de basquete pode acertar ou não o arremesso de uma bola na cesta; 2) Um consumidor pode comprar ou não um produto em uma certa loja; 3) Uma peça produzida por uma indústria pode ser perfeita ou defeituosa;
Associando-se uma variável aleatória X aos possíveis resultados do experimento, de forma que: X =
1 se ocorrer o sucesso, 0 se ocorrer o fracasso,
segue que a variável aleatória X , terá uma distribuição de Bernoulli, com probabilidade de sucesso p e probabilidade de fracasso q , com p + q = 1. Nessas condições, a sua função de probabilidade é dada por: P (X = x) = px q 1−x ,
sendo q = 1 − p. 33
• Média e variância: 1
E (X ) = µx =
xP (X = x) = 0.q + 1.p = p
i=0
V (X ) = p(1
− p) = p.q
• Exemplos: 1. Em uma competição ganha aquele que indicar um número qualquer da face de um dado e após lançá-lo obter aquele número, em uma única jogada. Qual a probabilidade média esperada, assim como sua variância? 2. Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja X o número de bolas verdes. Calcular P (X = 1), E (X ) e σx2 . 5.2
Distribuição Binomial
É uma generalização da distribuição de Bernoulli. É a mais importante das distribuições teóricas de probabilidade para variáveis discretas. São realizadas n tentativas independentes de um mesmo experimento. Cada tentativa é um ensaio de Bernoulli, ou seja, podem ocorrer apenas dois resultados possíveis: o sucesso ou fracasso. A probabilidade de sucesso ( p) em cada ensaio é constante. Como as probabilidades p de sucesso se mantêm constantes em cada ensaio, a distribuição binomial é indicada para os casos em que a amostragem é feita com reposição. Seja a variável aleatória X que conta o número total de sucessos obtidos numa sequência de n ensaios independentes de Bernoulli. A variável X segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p, denotada por X ∼ B(x; n, p), e tem função de probabilidade: P (X = x) =
n x
px q n−x , x = 1, 2, 3,
·· · , n,
em que: n é o número de repetições do experimento; x é o número desejado de sucessos; n − x é o número esperado de fracassos; p é a probabilidade de sucesso num ensaio individual; 1 − p é a probabilidade de fracasso num ensaio individual;
• Média e variância: E (X ) = µx = np σx2 = npq
• Função Probabilidade Acumulada F (X ): n
F (X ) = P (X
• Exemplos: 34
≤ x) =
i=1
P (X = xi )
1. Sabendo-se que a probabilidade de um certo tipo de componente sobreviver a um teste de choque é 3/4, qual é a probabilidade de que dentre 3 componentes testados: a) Nenhum sobreviva ao teste; b) Apenas um sobreviva; c) Dois sobreviva; d) Todos os três sobreviva. e) Se X representa o número de componentes que sobrevivem ao teste de choque, determine a função de probabilidade de X e seu respectivo gráfico. f) Determine a distribuição acumulada de X e seu respectivo gráfico. g) Determine a esperança matemática e a variância de X . 2. Num determinado processo de fabricação, 10% das peças produzidas são consideradas defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com cinco unidades cada uma. a) Qual é a probabilidade de haverem exatamente três peças defeituosas em uma caixa? b) Qual é a probabilidade de haverem exatamente duas ou mais peças defeituosas em uma caixa? c) Qual a probabilidade de uma caixa não apresentar nenhuma peça defeituosa? d) Supondo que uma empresa pague uma multa de R$10,00 por caixa que apresente peças defeituosas, qual valor esperado dessa multa em um lote de 1000 caixas? 5.3
Distribuição Poisson
A distribuição de Poisson ocorre quando se tem o interesse em contar o número de sucessos ocorridos em um experimento, em um intervalo de tempo, de superfície (área) ou volume. Uma variável aleatória X com distribuição de Poisson pode assumir infinitos valores no conjunto dos inteiros positivos (v.a. discreta).
• Exemplos: 1) Número de telefonemas recebidos por hora em um escritório; 2) Número de bactérias por unidade de área em uma lâmina; 3) Número de erros de digitação por página; 4) Número de veículos que passam num cruzamento por hora; 5) Número de mortes por ataque de coração por ano em Uberlândia;
A variável aleatória X com distribuição Poisson tem função de probabilidade dada por: e−λ λx P (X = x) = , x!
sendo: X o número de sucessos em um intervalo; e = 2,718; λ a média de ocorrência de sucessos (tempo, área ou volume).
• Média e variância: E (X ) = µx = λ
35
V (X ) = σx2 = λ
A distribuição de Poisson tem aplicação também nos casos em que os parâmetros n e p da distribuição binomial dificultam o cálculo por essa distribuição (eventos raros). Isso acontece quando a probabilidade de sucesso é muito pequena e quando o número de experiências n é muito grande ( p → 0 e n → ∞). Nestes casos a distribuição de Poisson é usada como uma aproximação da distribuição binomial, sendo a aproximação considerada adequada quando ( n ≥ 50 e p < 0,1). Neste caso, a média da Poisson será: λ = µ = n.p
• Exemplos: 1. Durante um experimento de laboratório, o número médio de partículas que passam no contador em um milésimo de segundo é quatro. a) Qual é a probabilidade de que seis partículas entrem em um dado contador, em um específico milésimo de segundo? b) Qual é a probabilidade de que 10 partículas entre no contador, em 5 milésimos de segundo? c) Qual é a probabilidade de que no mínimo uma partícula entre em um dado contador, em dois milésimos de segundo? 2. Em certa instalação industrial, acidentes ocorrem com baixa frequência. Sabe-se que a probabilidade de um acidente em certo dia é de 0,005, e os acidentes são independentes uns dos outros. a) Qual é a probabilidade de que, em qualquer período de 400 dias, haja 1 acidente em um dia? b) Qual é a probabilidade de que haja no máximo três dias com acidentes? 5.4
Distribuição Geométrica
Suponha que um experimento aleatório seja realizado e que exista o interesse apenas na ocorrência de algum evento A de interesse. O experimento aleatório pode ser realizado repetidas vezes, e as repetições são independentes. Em cada repetição do experimento, a probabilidade do sucesso permanece constante. O experimento será repetido até que o evento de interesse ocorra pela primeira vez. Assim, se a variável aleatória X for definida como sendo o número de fracassos ao primeiro sucesso ou o tempo de espera para a ocorrência do primeiro sucesso, então a variável aleatória X segue a distribuição geométrica com parâmetro p, ou seja, X ∼ geom( p), e tem função função de probabilidade dada por: P (X = x) = q x−1 p,
sendo: x = 1,2,3,..., n; p a probabilidade de ocorrer o sucesso; q a probabilidade de ocorrer o fracasso.
• Média e variância: E (X ) = µx = V (X ) = σx2 =
36
1 p
q p2
• Exemplos: 1. A probabilidade de que um sinal de trânsito esteja aberto numa esquina é de 0,20. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local dez vezes, para encontrar o sinal aberto pela primeira vez? 2. As linhas telefônicas em um sistema de reservas de uma companhia aérea estão ocupadas 40% do tempo. Suponha que os eventos em que as linhas estejam ocupadas em sucessivas chamadas sejam independentes. Qual é a probabilidade de terem de ser realizadas cinco chamadas até a primeira chamada não estar com a linha ocupada? 5.5
Distribuição Pascal
É uma generalização da distribuição geométrica. Neste caso, suponha que um experimento seja realizado e que exista o interesse apenas na ocorrência de algum evento A. O experimento aleatório pode ser realizado repetidas vezes, e as repetições são independentes. Em cada repetição do experimento, a P (A) = p e a P (Ac ) = 1 − p permanecem as mesmas. O experimento será repetido até que o evento A de interesse ocorra exatamente r vezes. Desse modo, definindo a variável aleatória X como o número de repetições independentes do experimento aleatório necessárias para que o evento A possa ocorrer exatamente r vezes, essa variável segue uma distribuição de Pascal, com parâmetros p e r, ou seja, X ∼ Pascal( p, r). Evidentemente, se r = 1, a variável aleatória X terá distribuição geométrica. Sabe-se, então, que X assume o valor x se, e somente se, o evento A de interesse tiver ocorrido exatamente (r − 1) vezes nas (x − 1) repetições anteriores. Assim, a função de probabilidade da variável aleatória X é dada por: P (X = x) =
− x r
−
1 r p (1 1
− p)x−r ,
x = r, r + 1,...
• Média e variância: E (X ) = V (X ) =
r p
r(1 p) p2
−
A distribuição de Pascal é comumente chamada de distribuição binomial negativa, denominação esta que pode ser explicada pelo seguinte: a distribuição binomial surge quando tem-se um número fixo de repetições de um experimento aleatório e o interesse está no número de ocorrências; já a distribuição de Pascal é encontrada quando fixa-se o número de ocorrências a ser obtido e então registra-se o número necessário de repetições do experimento aleatório para alcançar tal objetivo.
• Exemplos: 1. Considerando o exemplo dado anteriormente do sinal de trânsito, qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local dez vezes para encontrá-lo aberto pela quarta vez? 2. Determinar o número esperado de vezes que um experimento deve ser repetido, de modo a se obterem quatro resultados bem sucedidos, sabendo-se que a probabilidade de esse experimento ser bem sucedido em qualquer repetição é 0,8.
37
5.6
Distribuição Hipergeométrica
Essa distribuição é adequada quando consideramos extrações casuais feitas sem reposição de uma população dividida segundo dois atributos. Para ilustrar considere uma população de N objetos, r dos quais têm o atributo A e N − r têm o atributo B. Um grupo de n elementos é escolhido ao acaso, sem reposição. Em geral, tem-se o interesse em calcular a probabilidade de que esse grupo contenha x elementos com o atributo A. Assim, a função de probabilidade da variável aleatória X é dada por: P (X = x) =
em que: N é o tamanho da população; n é o tamanho da amostra; r é o número de sucessos na população; x é o número de sucessos na amostra
r x
N −r n− x N n
, 0
≤ x ≤ n,
x
≤r
• Média e variância: E (X ) = np
−
V (X ) = npq
sendo p =
r N .
N N
−
n 1
,
n Se N é grande em relação a n ( N < 0,05), então as probabilidades dadas pela distribuição hipergeométrica serão aproximadamente iguais às probabilidades dadas pela binomial.
• Exemplos: 1. Em um controle de qualidade, lotes de 100 peças são examinados, e suponha que 10 peças são defeituosas. Escolhendo-se 5 peças sem reposição: a) Qual a probabilidade de não obter peças defeituosas? b) Qual a probabilidade de obter pelo menos uma peça defeituosa? 2. Um agricultor planta seis sementes escolhidas aleatoriamente de uma caixa com cinco sementes de tulipa e quatro de crisântemo. Qual a probabilidade de ele plantar duas sementes de crisântemo e quatro de tulipa? 5.7
Distribuição Multinomial
Outra distribuição de probabilidade que desempenha um importante papel na estatística é a distribuição multinomial que é uma generalização da distribuição binomial. Ela é utilizada quando em cada tentativa ocorre mais de dois resultados possíveis. Assim, como na binomial, as probabilidades permanecem constantes em cada tentativa, e as tentativas são independentes umas das outras. Desse modo, seja A1 , A2 , · · · , Ak eventos mutuamente exclusivos, que formam uma partição do espaço amostral do experimento, e p1 , p2 , ·· · , pk , as correspondentes probabilidades associadas as ocorrências desses eventos em um dado ensaio. Seja X i a variável aleatória correspondente ao número de ocorrências no evento Ai e xi o número de realizações do evento Ai (i = 1,2, · · · , k). Então,
k
k
i=1
xi = n,
pi = 1 e a função de probabilidade da distribuição multinomial é dada por:
i=1
P (X 1 = x1 , X 2 = x2 ,
· ·· , X k = xk ) = x1!x2n!! · · · xk ! px1 px2 · · · pxk 1
38
2
k
• Média e variância: E (X i ) = npi V (X i ) = npi (1
− pi), i = 1,2, ·· · , k
• Exemplos: 1. Qual a probabilidade de que, em um grupo de 10 pessoas, tenhamos 5 com sangue do tipo O, 2 do tipo B, 2 do tipo A e 1 com tipo AB. Sabe-se que as probabilidades dos tipos sanguíneos são, respectivamente, 60%, 20%, 15% e 5%. 2. Quando um pacote é enviado pelo correio uma das seguintes condições pode ocorrer: chegar em perfeito estado, chegar danificado ou perder-se pelo caminho. Se as probabilidades destes acontecimentos são, respectivamente, iguais a 0,7; 0,2 e 0,1 e se uma pessoa enviou recentemente 8 pacotes pelo correio, qual a probabilidade de que 5 chegaram corretamente ao destino, 1 for perdido e os outros dois avariados?
• Exercícios: 1. Em um determinado cruzamento entre duas plantas de milho, a probabilidade de se obter uma planta com genótipo MM é igual a 0,25, com genótipo Mm, 0,50 e com genótipo mm 0,25. De dez descendentes deste cruzamento, qual a probabilidade de qu se obtenham respectivamente 2, 5 e 3 indivíduos com genótipos MM, Mm e mm? R: 0,07690 2. Pequenos motores elétricos são expedidos em lotes de 50 unidades. Antes que uma remessa seja aprovada, um inspetor escolhe 5 desses motores e o inspeciona. Se nenhum dos motores inspecionados for defeituosos, o lote é aprovado. Se um ou mais forem verificados defeituosos, todos os motores da remessa são inspecionados. Suponha que existam, de fato, três motores defeituosos no lote. Qual é a probabilidade de que a inspeção 100% seja necessária? R: 0,2760 3. Um novo remédio tem efeito colateral indesejável em 5% das pessoas que o tomam. Se 13 pacientes tomam o remédio, qual a probabilidade de ocorrer: a) nenhuma reação negativa; R: 0, 5133 b) pelo menos três reações negativas; R: 0,02489 c) no máximo uma reação negativa. R: 0,8642 4. Por experiência, você sabe que a probabilidade de que você fará uma venda em qualquer telefone dado é 0,23. Encontre a probabilidade de que sua primeira venda, em qualquer dia, ocorra na quarta ligação ou quinta ligação. R: 0,186 5. Os passageiros de uma empresa aérea chegam aleatória e independentemente ao balcão de controle de passageiros de um importante aeroporto. A taxa média de chegada são 10 passageiros por minuto. a) Calcule a probabilidade de ninguém chegar no período de um minuto; R: 0,00004539 b) Calcule a probabilidade de três ou mais passageiros chegarem no período de um minuto; R: 0,01033 c) Calcule a probabilidade de dois passageiros chegarem em um período de 15 segundos; R: 0,2565 d) Calcule a probabilidade de pelo menos um passageiro chegar em um período de 15 segundos. R: 0,0179 6. Qual a probabilidade de que no 25 ¯ lançamento de um dado ocorra a face quatro pela 5 ¯ vez? R: 0,0356 o
a
39
6
Distribuição de variáveis aleatórias contínua
6.1
Distribuição Uniforme Contínua
A distribuição uniforme contínua é uma das mais simples distribuições contínuas. Essa distribuição é caracterizada por uma função de densidade que é plana e, portanto, a probabilidade é uniforme em um intervalo fechado [a,b]. Uma variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme no intervalo [a,b] se sua função densidade de probabilidade é dada por: f (x) =
O valor de k é dado por:
k para a x b 0 para outros valores de x
≤ ≤
a
b
0dx +
kdx +
a
−∞
0dx = 1
b
b
0+
+∞
kdx + 0 = 1
a
kx
Logo,
|ba = 1 ⇒ k(b − a) = 1 ⇒ k = b −1 a
f (x) =
1 b−a
para a ≤ x ≤ b para outros valores de x
0
• Função Probabilidade Acumulada F (X ): A distribuição acumulada de uma variável X com distribuição uniforme contínua é dada por: x
F (X ) =
a
Portanto,
1 b
−a
dt =
F (X ) =
• Média e Variância:
x a x−a x = , | − a = b−a b−a b−a b−a
1
0 x−a b −a
1
para x < a para a ≤ x ≤ b para x > b
b+a 2 (b a)2 V (X ) = 12 E (X ) =
−
• Exemplos: 1. Suponha que uma grande sala de conferência usada por certa empresa não possa ficar reservada por mais do que quatro horas. No entanto, o uso da sala é tal que conferências longas e curtas ocorrem com muita frequência. Na verdade, pode-se assumir que a duração X de uma conferência tem distribuição Uniforme no intervalo [0,4]. a) Qual é a função de densidade de probabilidade? b) Qual é a probabilidade de que qualquer conferência dada dure pelo menos três horas? 40
2. Devido à presença de quantidades variáveis de impureza, o ponto de fusão de certa substância pode ser considerado uma variável aleatória contínua distribuída uniformemente no intervalo de [100, 125]. Qual a probabilidade de a substância fundir-se entre 110 e 115? 6.2
Distribuição Exponencial
Uma variável contínua X tem distribuição exponencial com parâmetros α > 0 se sua função densidade de probabilidade for do tipo: f (x) =
αe−αx para x 0 x<0
≥0
• Média e variância: E (X ) = σx2 =
1 α
1 α2
• Função Probabilidade Acumulada F (X ): F (X ) =
0 1
para x ≥ 0
− e−αx x < 0
• Exemplos: 1. A duração, em horas, de um certo equipamento eletrônico, segue a distribuição exponencial com função densidade de probabilidade dada por: f (x) =
x 1 − 500 500 e
0
para x ≥ 0 x<0
a) Qual a probabilidade de um equipamento durar mais de 500 horas? b) Calcular a duração média e o desvio padrão. 2. Se o tempo médio entre o pedido e o atendimento em um restaurante é uma variável aleatória com distribuição exponencial de média igual a 10 minutos, determine: a) A probabilidade de espera superior a 10 minutos; b) A probabilidade de espera inferior a 10 minutos; 6.3
Distribuição Normal
A distribuição normal ou de Gauss ou Gaussiana é uma das mais importantes distribuições da estatística. Além de descrever uma série de fenômenos físicos, naturais, financeiros, nas indústrias e nas pesquisas em geral, possui grande uso na estatística inferencial. É inteiramente descrita por seus parâmetros média µ e desvio padrão σ , ou seja, conhecendo-se estes é possível determinar qualquer probabilidade em uma distribuição Normal. 41
Uma variável aleatória contínua X tem uma distribuição normal ou gaussiana se a função densidade de probabilidade for dada por: f (x) =
1 √ exp− σ 2π
1 x−µ 2 ( σ ) 2
,x
∈ R,
em que µ e σ representa a média e o desvio-padrão, respectivamente, da distribuição de probabilidade; π corresponde a 3,1415 e exp a uma função exponencial.
• Notação: X ∼ N (µ, σ2), o que implica que X tem distribuição normal com média µ = E (X ) e variância Var(X )= σ 2 .
• Propriedades da Curva normal: 1. Seu gráfico tem a forma campanular (sino); 2. É uma distribuição simétrica em relação à média; 3. O desvio padrão fornece a dispersão dos dados em torno da média; 4. As três medidas de posição (média, mediana e moda) são coincidentes e se localizam no ponto máximo da curva; 5. É duplamente assintótica em relação ao eixo das abscissas, pois lim f (x) = 0 e lim f (x) = x→−∞ x→+∞ 0; 6. Tem dois pontos de inflexão que correspondem à média ± desvio padrão. 7. A área compreendida entre a curva e o eixo x é igual a 1, ou seja,
+∞
f (x)dx = 1.
−∞
• Função Probabilidade Acumulada: A função distribuição de probabilidade acumulada da normal F( X ), também pode ser reprex sentada por φ(X ) e é dada por: F (X ) = φ(X ) = f (t)dt.
−∞
• Cálculo de probabilidades: Suponha que X ∼ N (µ, σ2 ) e desejamos calcular P (a < X < b). b
P (a < X < b) =
b
f (x)dx =
a
a
1 √ exp− σ 2π
1 x−µ 2 ( σ ) 2
Essa integral não pode ser resolvida pelos métodos tradicionais (só pode ser resolvida por aproximação numérica). Para cada valor de µ e σ e para cada intervalo (a,b), teríamos que resolver esta integral. A dificuldade para processar esse tabelamento se prendeu na infinidade de valores que µ (media) e σ (desvio padrão) poderiam assumir. Neste caso, teria que se dispor de uma tabela para cada uma das infinitas combinações de µ e σ , ou seja, em cada situação que se quisesse calcular uma probabilidade. O problema foi solucionado mediante a padronização da distribuição normal. 6.3.1
Distribuição normal padrão (ou reduzida)
A variável normal padronizada Z é obtida subtraindo cada valor de X por sua média e dividindo esse resultado pelo desvio padrão σ , ou seja, Z = X σ−µ . Das propriedades da média e do desvio padrão tem-se que essa nova variável Z tem média zero e variância igual a 1. Portanto, Z terá distribuição Normal padronizada com média 0 e variância 1, ou seja, Z ∼ N (0,1). 42
(z)2
A variável Z tem-se a seguinte função de probabilidade: f (Z ) = √ 12π exp− 2 , Z ∈ R. Neste caso, o cálculo da probabilidade só dependerá de Z . Portanto, pode-se calcular uma única vez a probabilidade no intervalo (a,b) e montar uma tabela com essas probabilidades. A probabilidade referente ao intervalo entre µ = 0 e um valor z genérico, representada por P (0 < Z < z), encontra-se na tabela da distribuição normal reduzida.
• Exemplos: 1. Calcular as seguintes probabilidades: a) b) c) d) e)
P (0 < Z < 1,64) P ( 1,33 < Z < 0) P ( 1 < Z < 2,23) P (Z > 1,96) P (Z > 2,51)
f ) P (Z = 2,7) g) P (Z < 1,0) h) P (Z > 0) i) P (1,0 < Z < 2,0) j) P (Z > 5,2)
− −
−
−
2. Dada as probabilidades encontre o valor de z : a) b) c) d)
P (0 < Z < z) = 0,4357 P (Z > z) = 0,10 P (z1 < Z < z2 ) = 0,95 com z1 e z2 simétricos P (Z > z) = 0,90
3. Os depósitos efetuados em determinado banco durante o mês de agosto de 2010 são distribuidos normalmente, com média R$10000 e desvio padrão de R$1500,00. Um depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em questão. Encontrar a probabilidade de que o depósito seja: a) R$ 10000 ou menos; b) pelo menos R$ 13000; c) um valor entre R$12000 e R$15000 d) maior que R$20000 4. Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração normal com média de 150000km e desvio padrão de 5000km. Qual a probabilidade de que um carro, escolhido ao acaso, dos fabricados por essa firma, tenha um motor que dure: a) Menos de 170000 km? b) Entre 140000km e 165000km? c) Se a fábrica substitui o motor que apresenta duração inferior à garantia, qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de motores substituídos seja inferior a 0,2 %? 6.3.2
Aproximação normal das distribuições Binomial e Poisson
Quando n é grande o cálculo de probabilidades usando a binomial e a Poisson se torna trabalhoso. Neste caso, a normal pode ser utilizada para realizar cálculos aproximados de probabilidade, sendo µ = np e σ 2 = npq na binomial e µ = λ e σ 2 = λ na Poisson. A substituição da binomial pela normal é recomendada quando np e nq forem maiores ou iguais a 5. A substituição da Poisson pela normal é recomendada quando λ ≥ 15. A binomial e a Poisson são distribuições discretas e a normal contínua, então deve se fazer uma correção de continuidade, ou seja, a probabilidade no ponto x na binomial e na Poisson será igual a probabilidade em x ± 0,5 na normal. Isso é feito para incluir todos os possíveis valores de x no intervalo. 43
• Exemplos: 1. Cinquenta e um por cento dos adultos de um determinado país fizeram a promessa de se exercitar mais e alcançaram seus objetivos. Você seleciona aleatoriamente 65 adultos desse país que fizeram tal promessa e lhes pergunta se eles cumpriram a promessa. Qual a probabilidade de que: a) Exatamente 50 desses adultos respondam sim; b) Menos de quarenta deles respondam sim. 2. Pequenos defeitos em chapas de metal ocorrem ao acaso, com média de um defeito por metro quadrado. Determinar a probabilidade de uma chapa de 1,5 m × 50 m apresentar mais de 70 pequenos defeitos. R: 0,69847
• Exercícios: 1. Sabe-se que a variável aleatória X, referente ao tempo gasto na solução de uma determinada prova, tem distribuição normal com média 40 minutos e desvio padrão de 10 minutos. a) Qual a probabilidade de uma pessoa gastar de 30 a 50 minutos na solução da prova? R: 68,26% b) Qual a probabilidade de que uma pessoa gaste gaste mais de 60 minutos? R: 2,28% c) Deseja-se fazer um agrupamento das pessoas da seguinte forma: Grupo A: 30% das pessoas que realizaram a prova no menor tempo; Grupo B: 50% seguintes; Grupo C: 20% restantes; Quais os limites de tempo esperado para a classificação dos grupos? R: X 1 = 34,8 e X 2 = 48,4
2. Um pesquisador analisou o consumo diário de calorias por um grupo formado por 3200 crianças. Encontrou um média igual a 1800kcal/dia, com um desvio padrão igual a 400kcal/dia. Sabe-se que esta variável segue uma distribuição aproximadamente normal. Encontre a probabilidade de uma criança escolhida ao acaso apresentar um consumo: a) entre 1800 e 2300 kcal/dia; R: 39,44% b) entre 1650 e 1800 kcal/dia; R: 14,8% c) entre 1500 e 1700 kcal/dia; R: 17,47% d) entre 1350 e 1650 kcal/dia; R: 22,28% e) maior que 2250 kcal/dia; R: 12,92% f) menor que 1450 kcal/dia; R: 18,94% g) caso uma amostra formada por 10% das crianças com maiores consumos precisasse ser extraída, qual seria o consumo calórico mínimo para inclusão neste grupo? R: 2312 3. Uma viagem de ônibus apresenta duração normalmente distribuída com média a 120 minutos e desvio padrão igual a 20 minutos. Pergunta-se: a) Qual a probabilidade de uma viagem durar menos de 110 minutos? R: 30,85% b) Durar mais de 90 minutos? R: 93,32% c) Qual a duração mínima de 88% das viagens? R: 96,6 4. Em um posto de grande movimento, os automóveis entram à razão de três a cada dois minutos, em média. Determinar a probabilidade de mais de 100 automóveis procurarem o posto no período de uma hora. R: 0,1335
44
5. Sabe-se que hotéis sempre garantem reservas além de sua capacidade, para assegurar lotação. Suponha que as estatísticas feitas por um hotel mostrem que, em média, 10% dos hóspedes não respondem às reservas feitas. Se este hotel aceitar 250 reservas e tiver somente 230 acomodações, qual a probabilidade de todos os hóspedes que tiverem respondido às reservas conseguirem acomodação quando chegarem ao hotel? R: 0,87698
45
7
Técnicas de Amostragem
A amostragem tem por objetivo principal determinar meios e métodos de estudar as populações por meio de amostras. Observe que quando obtemos informações a partir de amostras e tentamos atingir a população estamos realizando uma inferência. 7.1
Como selecionar uma amostra
É preciso garantir que as amostras que serão utilizadas para se fazer a inferência sejam obtidas de forma adequada. Não adianta nada o uso de técnicas refinadas de estatística se a amostra não for representativa da população. Uma amostra representativa significa que, a menos de certas pequenas discrepâncias inerentes à aleatoriedade sempre presente, a amostra dever possuir as mesmas características básicas da população, no que diz respeito a variável que desejamos pesquisar. 7.2
Amostragem com reposição e sem reposição
Na amostragem com reposição o objeto ou indivíduo selecionado volta à população antes de um novo sorteio. Nesse caso, o número de amostras possíveis de tamanho n retiradas de uma população de tamanho N é dada por: N n . Por exemplo de uma população de tamanho 10 é possível retirar 100 amostras de tamanho 2. Na amostragem sem reposição o objeto ou indivíduo selecionado não retorna à população antes de um novo sorteio. Nesse caso o número de amostras possíveis de tamanho n retiradas de um população de tamanho N é dada por N n . Por exemplo, de uma população de tamanho 10 será possível retirar 45 amostras de tamanho 2.
7.3
Definições
• População: conjunto de indivíduos com pelo menos uma característica observável em comum. • Amostra: porção ou fração da população, retirada segundo algumas técnicas específicas, que matem as mesmas características de interesse da populacão.
• Parâmetro: variância
é uma medida associada à uma característica populacional. Ex: Média ( µ), etc.
(σ2 ),
ou estimador: é uma medida associada à uma característica amostral. Ex: Média (x), variância (s2 ).
• Estatística
• Estimativa: é um valor numérico obtido por meio do estimador. 7.4
Por que amostrar?
i) Economia: menor custo; ii) Rapidez: menor quantidade de trabalho, ou seja, menor tempo; iii) Precisão: melhor qualidade no treinamento proporciona entrevistadores mais homogêneos pos-
síveis, consequentemente maior precisão nos resultados.
46
7.5
Etapas no processo de amostragem
1. Objetivos da pesquisa: escrever ou estabelecer de forma clara os objetivos. 2. População que fornecerá as amostras: definição da população que se quer estudar. 3. Dados a serem coletados: decidir quais os dados serão coletados, ou seja, definir as variáveis baseando-se nos objetivos da pesquisa (atender ao item 1). 4. Definir o método de medição: entrevistador, a própria pessoa selecionada responde ao questionário, telefonemas, etc. 5. Grau de precisão desejado: dimensionar o tamanho da amostra, ou seja, definir n. 6. Listagem das unidades amostrais: escolha da unidade amostral (pessoa, família, um único objeto, vários objetos, etc). 7. Processo de amostragem mais adequado: a escolha da técnica de amostragem depende da característica da população. 8. Organização do trabalho de campo: questionário (perguntas abertas, fechadas, etc) e estudo piloto (está ligado com a precisão). 9. Processamento e análise de dados: planejamento da tabulação dos dados e análise. 7.6 7.6.1
Principais processos de amostragem Amostragem Simples ao Acaso ou Amostragem Aleatória Simples (AAS)
A ASA é o processo de amostragem mais simples e é utilizada quando se necessita obter uma amostra representativa cujos elementos da população são todos homogêneos. Normalmente, este processo de amostragem é utilizado em associação com outros processos de amostragem, pois nem sempre é possível de forma imediata identificar todos os elementos da população como sendo homogêneos. Todos os elementos da população têm a mesma probabilidade de pertencer à amostra, ou seja, a probabilidade de selecionar um indivíduo específico da população para uma amostra é 1/N .
• Procedimento para realizar a AAS Enumeram-se todos os indivíduos da população (1, 2, ·· · , N ) e sorteiam-se por meio de um dispositivo aleatório (computador, calculadora, tabela de números aleatórios, etc) os indivíduos que irão fazer parte da amostra. Exemplos de onde deve ou não aplicar a AAS:
• Estudar a opinião de alunos de um determinado curso com relação a necessidade de acrescentar uma disciplina de física na grade curricular; (AAS)
• Estudar a opinião de alunos de uma determinada universidade com relação a necessidade de acrescentar uma disciplina física avançada na grade curricular; (outro tipo de amostragem)
47
7.6.2
Amostragem Estratificada
Quando a variável de interesse apresenta uma heterogeneidade na população e esta heterogeneidade permite a identificação de grupos homogêneos, pode-se dividir a população em grupos (estratos) mutuamente exclusivos, de modo que se tenha o máximo de homogeneidade dentro de cada estrato. Desse modo, para obter a representatividade de cada estrato na amostra, realiza-se uma AAS em cada estrato. Por exemplo, nas pesquisas eleitorais existe uma grande heterogeneidade em relação à intenção de votos, quando considera-se a faixa salarial ou o nível de escolaridade. Então, para este caso é recomendado fazer uma amostragem aleatória simples dentro de cada uma dessas categorias, para se ter uma amostra representativa da população a ser estudada, que neste caso é a intenção de votos. Tipos de estratificação
• Uniforme: Para realizar uma estratificação uniforme o tamanho das amostras de cada estrato
deve ser o mesmo. Esse tipo de estratificação raramente é utilizado, devendo ser recomendado apenas para situações em que os estratos populacionais possuirem tamanhos iguais. Então, o tamanho da amostra de cada estrato pode ser obtido da seguinte forma: nh = n/h, em que n é o tamanho da amostra e h a quantidade de estratos.
• Proporcional: Esta estratificação é recomendada quando o tamanho dos estratos são distintos
e a variabilidade dos estratos é homogênea. Nesse caso, as amostras retiradas em cada estrato é proporcional ao tamanho do estrato. A proporção do estrato h em relação à população é igual ao número de elementos presentes neste estrato ( N h ) dividido pelo tamanho da população N , h multiplicado pelo tamanho desejado da amostra, ou seja, nh = N N n.
7.6.3
Amostragem sistemática
A amostragem sistemática é usada quando os elementos da população são heterogêneos e não podem ser agrupados em subpopulações homogêneas. Sendo assim, para realizar este tipo de amostragem os elementos da população devem estar de alguma maneira ordenados. Procedimento para realizar a amostragem sistemática Enumeram-se todos os elementos da população ( 1, 2, , N ) e sorteia-se um primeiro elemento
· ··
“ i” para formar parte da amostra. Os demais são retirados em uma progressão aritmética, saltando “ k” elementos, até completar o total da amostra ( n). O valor “ k ” é chamado passos de amostragem e é determinado por: k = N/n elementos. O primeiro elemento deve ser sorteado entre os “ k ” primeiros. 7.7
Exemplos
1. Um pesquisador deseja selecionar 30 estudantes que estão ingressando na UFU para avaliar a expectativa quanto a UFU. Que tipo de amostragem poderia ser utilizada? 2. Um hotel mantém um arquivo contendo os registros de antigos hospedes em ordem alfabética, num total de 10.000 fichas das quais serão amostradas 1.000 fichas para verificar a satisfação dos hospedes quanto a hospedagem. Isso poderia ser feito utilizando qual amostragem? 3. Uma estação de TV planeja conduzir uma pesquisa em 4 cidades, para estimar a proporção de moradores que assistem regularmente a determinado programa. Sabendo que as cidades A, B, C e D possuem, respectivamente, 48000, 20000, 12500 e 6500 residências, que tipo de amostragem você indicaria para selecionar uma amostra de tamanho 100? 48
8
Distribuição amostral
Considerem-se todas as amostras possíveis de tamanho “ n” que podem ser retiradas de uma população de tamanho “ N ” (com ou sem reposição). Para cada amostra pode-se calcular uma grandeza estatística, como a média, o desvio padrão etc., que varia de amostra para amostra. Com os valores obtidos para determinada grandeza, pode-se construir uma distribuição de probabilidades, que será denominada de distribuição amostral. Para cada distribuição amostral é possível calcular a sua média, o seu desvio padrão, etc. Dessa forma, por meio das distribuições amostrais, é possível inferir propriedades de um agregado maior (a população) a partir de um conjunto menor (a amostra), ou seja, inferir sobre parâmetros populacionais, dispondo apenas de estatísticas amostrais. Assim, torna-se necessário um estudo detalhado das distribuições amostrais, que são base para intervalos de confiança e testes de hipóteses. 8.1
Distribuição amostral da média
Para entender a distribuição amostral da média, considere uma população N = 3 e a variável aleatória X assumindo os valores 1, 2 e 3. A probabilidade associada a cada um desses valores é 1/3. Dessa forma tem-se que: X 1 2 3 P(X=x) 1/3 1/3 1/3 1,00 Retirando todas as amostras possíveis de tamanho n = 2 com reposição, o número possível de amostras que podem ser selecionadas é dado por: N n = 32 = 9 e cada amostra tem 1/9 de probabilidade de ser selecionada. Com isso tem-se que: Amostras (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3)
x ¯
P (¯ x)
1,0 1,5 2,0 1,5 2,0 2,5 2,0 2,5 3,0
1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9
E a distribuição amostral de x¯ é: x¯ P(x¯)
1 1,5 2 2,5 3 1/9 2/9 3/9 2/9 1/9 1,00
Comparando as duas distribuições ( x e x¯) verifica-se diferenças, conforme pode-se verificar nos gráficos abaixo:
) x ( P
4 . 0
4 . 0
3 . 0
3 . 0 ) x e d a i d é M ( P
2 . 0
2 . 0
1 . 0
1 . 0
0 . 0
0 . 0 1.0
1.5
2.0
2.5
1
3.0
2
3 Média de x
x
49
4
5
Portanto, a partir do comportamento da estatística amostral, pode-se aplicar um teorema muito conhecido na estatística como Teorema do Limite Central. Teorema do Limite Central (TLC): Considere uma população de tamanho N com média µx e variância σx2 . Se for retiradas n possíveis amostras de tamanho n desta população, a média amostral 2 (x¯) terá uma distribuição aproximadamente normal, com µx¯ = µx e σx2¯ = σnx se a amostragem for 2
−n realizada com reposição, ou σx2¯ = σnx N N −1 se a amostragem for realizada sem reposição em uma −n população finita ( população pequena). N N −1 é conhecido como fator de correção para população finita. Essa aproximação torna se progressivamente melhor com o aumento do tamanho da amostra (n).
• Observações 1. Quanto maior o n (tamanho da amostra), melhor a aproximação normal. 2. Se n ≥ 30 a aproximação normal é adequada, qualquer que seja a distribuição populacional. 3. A amostragem sem reposição é recomendada quando (n/N > 0,05), e neste caso, deve-se fazer 2 −n a seguinte correção para população finita: σx2¯ = σnx N N −1 −n 4. Quando N é muito maior do que n, a relação N N −1 tende a 1.
Diante do exposto, temos duas situações:
∼ ∼
i) População infinita: x ¯ ii) População finita: x ¯
N µx¯ =
µx , σx2¯
µx , σx2¯
N µx¯ =
=
=
σx2 n
σx2 N −n n N −1
Portanto, considerando a distribuição amostral de médias, quando se conhece a variância ou a amostra é grande (n ≥ 30), utiliza-se a estatística z da distribuição normal vista anteriormente, independente da distribuição da população. Então, por meio do TLC, a estatística será dada por: z=
8.2
x ¯
− µx¯ σx¯
Distribuição amostral da diferença entre médias para amostras grandes (n1 e n2 30)
≥
(¯ x1
− x¯2) ∼ N
µx¯1 −x¯2 = µx1
− µx ; σx2¯ −x¯ 2
1
2
σx21 σx22 = + n1 n2
• Exemplo: 1. Um tratamento químico A garante duração média de uma peça de 1400h com desvio padrão de 200h. O tratamento B, garante duração média de 1200h com desvio padrão de 100h. Se forem ensaiadas amostras aleatórias simples de 125 elementos de cada tratamento químico: a) Qual a probabilidade de um elemento selecionado do tratamento A durar mais de 1600h? b) Qual a probabilidade da média da amostra A ser maior que 1420h? c) Qual a probabilidade dos elementos de A ter vida média superior a B em pelo menos 160h? 50
8.3
Distribuição amostral da média em pequenas amostras (n < 30)- Distribuição t-Student
Muitas das vezes não se conhece σ 2 e trabalha-se com amostras pequenas, ou seja, menores ou iguais a 30. Nestes casos, conhece-se apenas a estimativa s do desvio padrão populacional σ , denominado de desvio padrão amostral. Substituindo σ por seu estimador s, na expressão da variável padronizada, obtém-se a variável: t=
x ¯
− µx¯ = x¯ −√ µx , s2x¯
sx / n
a qual segue uma distribuição t de Student com ( n − 1) graus de liberdade. Assim, tem-se que: x ¯
s2 t µx¯ = µx , s2x¯ = x n
∼
A distribuição t apresenta as seguintes características:
.
• é simétrica em relação à média, que é zero; • tem forma campanular (semelhante à normal); • quando n tende para infinito, a distribuição t tende para a distribuição normal, na prática, a aproximação é considerada boa quando n ≥ 30; • possui ν = n − 1 graus de liberdade. Para aprender a utilizar a tabela t, vamos calcular algumas probabilidades.
• Exemplos: 1. Dado os valores de t encontre as probabilidades: a) P (t > 1,093) com 10 graus de liberdade b) P (t < −2,086) com ν = 20 c) P (1,341 < t < 2,131) n = 16 d) P (t > −1,325) n = 21 e) P (−1,071 < t < 1,071) ν = 16 f) P (−1,476 < t < 2,571) ν = 5 2. Dados os valores de probabilidade encontre o valor de t: a) P (t > t 1 ) = 0,010 com ν = 13 b) P (t < t1 ) = 0,95 com ν = 20 c) P (t < t1 ) = 0,10 com ν = 8 3. A temperatura média em uma certa região tem sido de 26 0 C em certo mês do ano. Se o desvio padrão de uma amostra aleatória de 16 dias for igual a 5 0 C: a) Qual a probabilidade da média da amostra: a1 ) Ser maior do que 23,3360 C ? a2 ) Estar entre 22,316 e 29,684? b) Qual é o valor de x¯ que deixa uma probabilidade de 1% de ocorrência acima dele?
51
8.4
Distribuição amostral das proporções
Dada uma população X que tem A elementos com uma certa característica e X − A elementos com outra característica. A proporção pˆ na amostra de tamanho n, com a característica A, é dada por: pˆ = An e tem distribuição binomial com parâmetros p sucessos e q fracassos. Pela aproximação da distribuição normal a binomial, podemos escrever a distribuição de pˆ como: pˆ
∼ N
• Exemplo:
µ pˆ =
p, σ p2ˆ
pq = . n
1. Acredita-se que 30% das encomendas feitas a uma firma são provenientes de clientes que compram pela primeira vez. Uma amostra aleatória simples de 100 pedidos será usada para estimar a proporção de clientes que compram pela primeira vez. a) Qual a probabilidade de a proporção amostral estar entre 0,20 e 0,40? b) Qual é a probabilidade de a proporção amostral ser maior do que 0,35? 8.5
Distribuição amostral da diferença das proporções
Suponha que temos duas populações 1 e 2, com proporções p1 e p2 . Destas populações retiram-se amostras n1 e n2 , então: (ˆ p1
− pˆ2) ∼ N
E a estatística é dada por:
µ pˆ1 − pˆ2 = p1 z=
• Exemplo:
(ˆ p1
−
p2 ; σ p2ˆ1 − pˆ2
p1 q 1 p2 q 2 = + n1 n2
− pˆ2) − ( p1 − p2)
p1 q1 n1
+
p2 q2 n2
1. As especificações técnicas do medicamento A informa que 95% das pessoas que fazem uso desse medicamento ficam curadas, já as especificações do medicamento B diz que 85% dos usuários são curados. Qual a probabilidade de se realizar uma pesquisa com 100 indivíduos de cada grupo e a diferença entre as proporções de curados ser de no máximo 5%? 8.6
Distribuição amostral da variância - Distribuição de Qui-Quadrado (χ2 )
Ao retirar uma amostra de n elementos de uma população normal com media µ e variância tem-se que a distribuição amostral da variância amostral ( s2 ) segue uma distribuição de χ2 (qui-quadrado) com n − 1 graus de liberdade. A variável da estatística de qui-quadrado será dada por: σ2,
χ2 =
(n
− 1)s2 σ2
tem distribuição de χ2 com n − 1 graus de liberdade. Esta distribuição parte sempre da origem, é assimétrica e está associada a n − 1 graus de liberdade.
• Exemplos: 1. Para aprender a utilizar a tabela χ2 , calcule as seguintes probabilidades: a) P(χ2 > 17,275) b) P(χ2 < 11,345) c) P(12,592 < χ2 < 18,548) 52
2. Uma máquina está regulada para encher pacotes de macarrão com desvio padrão de 10g e média de 500g. Em uma amostra de 16 pacotes, qual a probabilidade da variância ser: a) Maior que 48,407g 2? b) Menor que 121,63g2 ? 3. O tempo de vida de um certo aparelho apresenta distribuição normal com média de 480 horas e desvio padrão de 50 horas. Em uma amostra de 25 aparelhos, qual a probabilidade de se obter uma variância maior que 2448 horas? R: 0,5 8.7
Distribuição amostral de duas variâncias - Distribuição F
A distribuição de F de Snedecor corresponde à distribuição da razão de duas variâncias. Temos, então, duas populações que apresentam variâncias populacionais e delas são retiradas amostras, nas quais são calculadas variâncias amostrais. A relação entre essas variâncias é que nos dá a distribuição de F . A estatística da distribuição é apresentada a seguir: F =
σ22 s21 , σ12 s22
com ν = n1 − 1 e ν = n2 − 1 graus de liberdade, sendo n1 e n2 os tamanhos amostrais retirados da população 1 e 2, respectivamente. A distribuição F sempre parte da origem, é assimétrica e apresenta uma tabela específica para cada valor de probabilidade ( α). Se F α (ν 1 , ν 2) é o valor de F com ν 1 e ν 2 graus de liberdade, temos que: F 1−α (ν 1 , ν 2 ) = F α (ν 12,ν 1 ) .
• Exemplos: 1. Para aprender a utilizar a tabela da distribuição F , calcule as seguintes probabilidades: a) P (F > 3,12) com ν 1 = 9 e ν 2 = 15 b) P (F < 4) com ν 1 = 12 e ν 2 = 6 c) P (F > F 1 ) = 0,10 com ν 1 = 5 e ν 2 = 25 d) P (F < F 1 ) = 0,90 com n1 = 6 e n2 = 26 2. Se s21 e s21 representam variâncias de amostras aleatórias de tamanho n1 = 21 e n2 = 31, cuja população tem σ12 = 35 e σ22 = 25, encontre: 2 a) P ( ss12 < 2,702) 2
b) P (0,594 <
s21 s22
< 3,094)
3. Sabe-se que a variância das alturas das mulheres adultas em uma população X é de 100cm2 , já a variância das alturas dos homens nesta mesma população é de 225 cm2 . Retira-se, dessa população, uma amostra de 12 mulheres e uma amostra de 16 homens. Qual a probabilidade de que nesta amostra a variabilidade das alturas dos homens seja 6,12 maior que a das mulheres?
53
9
Teoria da estimação
Um dos principais objetivos da estatística inferencial consiste em estimar os valores de parâmetros populacionais desconhecidos (estimação de parâmetros) utilizando dados amostrais. Então, qualquer característica de uma população pode ser estimada a partir de uma amostra aleatória, desde que esta amostra represente bem a população. Os parâmetros populacionais mais comuns a serem estimados são a média, o desvio-padrão e a proporção. A inferência estatística é de grande relevância, uma vez que na maioria das decisões que um pesquisador deve tomar, estão associadas à utilização de dados amostrais. Essa parte da estatística consiste em tirar conclusões de uma população a partir de amostra representativa dela, tendo uma grande importância em muitas áreas do conhecimento. Antes de abordar a teoria da estimação vamos procurar entender o que vem a ser estimador e estimativa. Um estimador, θˆ, do parâmetro θ é uma função qualquer dos elementos da amostra. Estimativa é o valor numérico assumido pelo estimador quando os valores observados são considerados. n
xi
Assim, x¯ = i=1n , é um estimador da média populacional µ , e x¯ = 150, é por exemplo, uma estimativa da média populacional. 9.1 9.1.1
Tipos de Estimativas Estimativa por ponto ou estimação pontual
Quando a estimativa de um parâmetro populacional é dado por um único valor, tem-se uma estimativa por ponto do parâmetro populacional, ou seja, na estimação por ponto é fornecido como estimativa do parâmetro, apenas um valor numérico. A partir de uma amostra de 800 clientes (escolhidos aleatoriamente entre todos os clientes que abasteceram na primeira quinzena de um determinado mês) de um posto de gasolina que possuem carros populares, verificou-se que o gasto médio de gasolina foi de R$ 200,00 por quinzena, ou seja, x¯ = 200 reais. Logo, 200 é uma estimativa por ponto para µ
• Exemplo:
Do exposto, segue que s2 é uma estimativa por ponto de σ 2 ; s é uma estimativa por ponto de σ ; pˆ é uma estimativa por ponto de p, dentre outras.
• Desvantagem: A estimação pontual não fornece nenhuma ideia de quão próximo é o valor
dessa estimativa em relação ao valor do parâmetro. Sendo assim, essas estimativas por ponto não nos dão uma ideia sobre a confiança e as margens de erro que deveriam ser aplicadas ao resultado. Por exemplo, o que se sabe do gasto médio de gasolina é que ele foi estimado como R$ 200,00 por quinzena, independente do tamanho da amostra e da variabilidade inerente dos dados. Se fosse usado um tamanho grande de amostra e houvesse pouca variabilidade, teria-se grandes razões para acreditar no resultado. Mas não se pode afirmar nada se for conhecido apenas a estimativa pontual. Em função disso, existe outra maneira de obter uma estimativa de um parâmetro, conhecido como estimativa por intervalo ou intervalo de confiança, que procura suprir essa desvantagem.
9.1.2
Estimativa por intervalo ou intervalo de confiança
Na distribuição amostral, ao selecionar k amostras de tamanho n da população, é possível obter k estimativas pontuais de um parâmetro. Estas estimativas seguirão uma determinada distribuição. Conhecida esta distribuição pode-se determinar o limite inferior e o limite superior, dentro do qual se espera que o valor real do parâmetro populacional desconhecido (média, variância, proporção) 54
esteja contido. Quando a estimativa é obtida dessa forma, tem-se a estimativa por intervalo e, ao associar uma probabilidade ou um nível de confiança a este intervalo, obtém-se o intervalo de confiança. Neste caso, pode-se afirmar, por exemplo, com uma confiança de 95%, que o gasto médio com gasolina dos carros populares que abastecem no posto varia entre R$ 180,00 a R$ 220,00. De modo geral as estimativas (pontual ou intervalar) devem ser bastante confiáveis, e para isso é necessário que os estimadores que as fornecerão apresentem boas propriedades, aliado ao fato de serem obtidas a partir de amostras representativas. A seguir serão apresentadas as propriedades de um bom estimador. 9.2
Propriedades dos Estimadores
• Estimador não tendencioso; não viesado ou não viciado : Um estimador θˆ é dito um ˆ = θ. estimador não tendencioso do parâmetro θ se E (θ) n
– Exemplo: x ¯=
xi
i=1 n
é um estimador não tendencioso da média populacional µ.
• Consistência: A consistência é uma propriedade de grande amostras. Um estimador θˆ é dito um estimador consistente do parâmetro θ se: ˆ =θ i) lim E (θ) n→∞
ˆ = 0. ii) lim σ 2 (θ) n→∞
• Eficiência: Se θˆ1 e θˆ2 são dois estimadores não tendenciosos de θ, então, θˆ1 é mais eficiente que θˆ2 se: σ2 (θˆ1 ) < σ2 (θˆ2 ).
– Eficiência Relativa: A eficiência relativa do estimador θˆ1 , em relação ao estimador θˆ2
é dada por:
ER θˆ1 , θˆ2 =
σ 2 (θˆ2 ) σ 2 (θˆ1 )
Observação: Quanto menor for a variância de um estimador maior será a sua eficiência. – Se θˆ1 for menos eficiente que θˆ2 então ER θˆ1 , θˆ2 < 1; – Se θˆ1 for mais eficiente que θˆ1 então ER θˆ1 , θˆ2 > 1.
• Suficiência ou precisão: Um estimador é suficiente se contém o máximo de informação com relação ao parâmetro por ele estimado.
– Quantidade de informação ou precisão =
9.3
1 ˆ σ2 (θ)
Construção dos Intervalos de confiança (IC)
Com uma confiança ( 1 − α) pode-se determinar, com o auxílio das distribuições amostrais, um limite inferior e superior, no qual espera-se que o verdadeiro valor do parâmetro populacional esteja contido. Resumidamente tem-se que:
• Intervalo de confiança para médias em grandes amostras ( n ≥ 30): usa-se a distribuição normal (Z).
• Intervalo de confiança para médias em pequenas amostras ( n < 30): t-Student (t).
55
usa-se a distribuição
• Intervalo de confiança para proporções: usa-se a distribuição normal (Z). • Intervalo de confiança para uma variância: usa-se a distribuição de qui-quadrado (χ2). • Intervalo de confiança para duas variâncias: usa-se a distribuição F . 9.3.1
Intervalo de Confiança para µ de uma população Normal, considerando grandes amostras (n 30):
≥
• Variância Populacional (σ2) conhecida: Para determinar o IC para a média da população µ, considere uma população X da qual será retirada uma amostra n ≥ 30. Das distribuições amostrais, tem-se que: z=
¯ µx x σ/ n
−√
Isolando µx , colocando o sinal de desigualdade e associando uma propriedade P de ocorrência, obtém-se:
−
P x ¯
Z α/2
√
σ σ < µx < x ¯ + Z α/2 n n
√
= (1
− α).
Assim, tem-se que: IC ( µ)1−α : x ± e, sendo e = z α2 √ σn
• Variância Populacional (σ2) desconhecida: IC (µ)1−α : x ± e, sendo e = z α2 √ sn 9.3.2
Intervalo de Confiança para µ de uma população Normal, considerando pequenas amostras (n 30):
≤
IC (µ)1−α : x ± e, sendo e = t(n−1, α2 ) √ sn 9.3.3
Intervalo de Confiança para diferença entre médias, considerando grandes amostras (n 30):
≥
IC (µ1 − µ2 )1−α: (x1 − x2 ) ± e
• Variâncias Populacionais conhecidas: e = z
α 2
• Variâncias Populacionais desconhecidas: e = z 9.3.4
σ12 n1
α 2
+
σ22 n2
s21 n1
+
s22 n2
Intervalo de Confiança para diferença entre médias, considerando pequenas amostras (n 30):
≤
IC (µ1 − µ2 )1−α: (x1 − x2 ) ± e
• Amostras independentes e variâncias populacionais estatísticamente iguais: (n −1)s +(n −1)s e = t s p n1 + n1 ; ν = n1 + n2 − 2 s p = n + n −2 α 2
1
2
56
2 1
1
1
2
2
2 2
• Amostras independentes e variâncias populacionais estatísticamente desiguais: e = t α2
s21 n1
+
s22 n2 ;
2
2 s2 1 + s2 n1 n2
ν =
2
(s21 /n1 ) n1 −1
2
(s2 /n2 ) + 2 n2 −1
• Amostras dependentes, dados aparecem em pares (Ex: antes e depois): n
− di
IC (µD )1−α : (D) ± e
D=
1=1 n
n
9.3.5
n
1=1
n−1
Intervalo de Confiança para uma proporção
IC ( p)1−α : pˆ ± e 9.3.6
em que
e = z α2 .
pˆ ˆq n
Intervalo de Confiança para diferença entre proporções
IC ( p1 − p2 )1−α: (ˆ p1 − pˆ2 ) ± e 9.3.7
em que
e=z . α 2
pˆ1 .ˆ q1 n1
q2 + pˆ2n.ˆ 2
Intervalo de Confiança para uma variância
IC (σ2 ) 9.3.8
1−α
:
(n−1).s2 (n−1).s2 ; χ2 χ2α/2 1−α/2
ν = n
−1
Intervalo de Confiança para duas variâncias
IC
9.4
2
1=1
d2i
sD =
− X 2i
di
n
sD e = t α2 √ n
di = X 1i
σ12 σ22
1−α
:
s21 s21 1 ; F (ν , ν ) 2 s2 F α/2 (ν 2 , ν 1 ) s22 α/2 1 2
Regras de decisão envolvendo intervalo de confiança (IC) para a diferença entre duas médias ou duas proporções:
a) Se o intervalo possui um extremo positivo e outro negativo, ou seja, se o 0 ou p1 = p2 b) Para o IC(µ1 µ2 ) ou IC( p1 p2 ), se os extremos são positivos, temos: µ1 µ2 > 0 µ1 > µ2 ou p1 p2 > 0 p1 > p2
−
−
⇒
−
−
⇒
c) Para o IC( µ1 µ2 ) ou IC( p1 p2 ), se os extremos são negativos, temos: µ1 µ2 < 0 µ1 < µ2 ou p1 p2 < 0 p1 < p2
−
−
⇒
−
−
⇒
57
∈ IC, temos µ1 = µ2
9.5
Regras de decisão envolvendo intervalo de confiança (IC) para duas variâncias:
Dado o IC a) Se 1
σ12 σ22
1−α
, temos:
∈ IC, temos σ12 = σ22;
b) Se os extremos do IC são maiores do que 1, temos: σ12 > σ22 ; c) Se os extremos do IC são menores do que 1, temos: σ12 < σ22 ;
• Exemplos: 1. Uma máquina produz rolamentos que apresentam desvio padrão de 0,042 polegadas em seu diâmetro. Desejando-se conhecer o diâmetro médio dos rolamentos produzidos por esta máquina extraiu-se uma amostra de 100 rolamentos, observando-se uma média igual a 0,824 polegadas. a) Qual é a estimativa por ponto de µ? b) Obter o intervalo de confiança com 0,90 de confiança para o verdadeiro diâmetro médio dos rolamentos. 2. Os conteúdos de ácido sulfúrico em sete contêineres similares são: 9,8; 10,2; 10,4;9,8;10;10,2 e 9,6 litros. a) Qual é a estimativa por ponto da média e da variância dos conteúdos de ácido sulfúrico dos contêineres. b) Utilize um IC de 95% para estimar a média de todos os contêineres. c) Construa um IC de 95% para a variância populacional dos conteúdos de ácido sulfúrico em todos os contêineres. 3. Em uma linha de produção de certa peça mecânica, colheu-se uma amostra de 100 ítens, constatando-se que 4 peças eram defeituosas. Construir o IC para a proporção “ p” das peças defeituosas ao nível de 10%. 4. Foi realizada uma pesquisa para verificar a preferência por recheios de pastéis. Uma amostragem de tamanho 20 revelou que 70% das pessoas entrevistadas preferem o recheio de carne. Uma outra amostragem de tamanho 25, foi realizada em outro local, e mostrou que 87% das pessoas também preferem o recheio esse mesmo recheio. Use um IC de 95% para verificar se existe diferença entre a proporção de pessoas que preferem o recheio de carne no local A e no local B. 5. Para verificar a conservação de um alimento em duas embalagens, um pesquisador utilizou uma amostra de tamanho 36 de cada embalagem. Ele obteve os seguintes resultados para o tempo de conservação, em dias: Embalagem x¯ s2 s A 12 4 2 B 15 7 2,65 Verifique, utilizando um IC de 95%, se existe diferença entre os tempos médios de conservação. 6. Em uma pesquisa sobre dois métodos de ensino, selecionou-se uma amostra aleatória de 15 alunos que receberam o método A e uma amostra aleatória de 10 alunos que receberam o método B. Os resultados são apresentados a seguir. Utilizando um IC de 90%, pode-se dizer que B é estatisticamente superior a A? 58
Método n x¯ s A 15 5,7 0,7 B 10 6,6 1,2 7. Uma companhia fabrica propulsores para uso em motores de turbinas de avião. Uma das operações envolve esmerilhar o acabamento de uma superfície particular para um componente de liga de titânio. Dois processos diferentes para esmerilhar podem ser usados, podendo produzir peças com iguais rugosidades médias na superfície. Uma amostra aleatória de n1 = 11 peças, proveniente do primeiro processo, resulta em um desvio padrão de s1 = 5,1 micro polegadas. Uma amostra aleatória de n1 = 16 peças, proveniente do segundo processo, resulta em um desvio padrão de s1 = 4,7 micro polegadas. Considerando que os dois processos sejam independentes e que a rugosidade na superfície seja normalmente distribuída, encontre um intervalo de confiança de 90% para a razão de duas variâncias. Existe variabilidade da rugosidade da superfície para os dois processos? 8. Um grupo de 10 pessoas é submetido a um tipo de dieta por 10 dias, estando os pesos antes e depois marcados na tabela abaixo. Construa um intervalo de confiança ao nível de 5% de significância. Interprete os resultados. Pessoas Peso antes em kg Peso depois em kg 1 120 116 2 104 102 3 93 90 4 87 83 5 85 86 6 98 97 7 102 98 8 106 108 9 88 82 10 90 85
59
I) INTERVALO DE CONFIANÇA PARA UMA MÉDIA 1o CASO: Amostras grandes (n ≥ 30) i) IC: IC (µ)1−α: x ± e ii) erro da estimativa: e = z α2 . √ σn ; e = z α2 . √ sn 2o CASO: Amostras pequenas (n < 30) i) IC:
IC (µ)1−α: x ± e
ii) erro da estimativa:
e = t α2 . √ sn
II) INTERVALO DE CONFIANÇA PARA DIFERENÇA ENTRE MÉDIAS 1o CASO: Amostras grandes (n ≥ 30) i) IC:
IC (µ1 − µ2)1−α: (x1 − x2) ± e
ii) erro da estimativa:
σ12 n1
e = z α2 .
+
σ22 n2
; e = z α2 .
s21 n1
+
s22 n2
2o CASO: Amostras pequenas (n < 30), independentes e variâncias populacionais estatisticamente iguais i) IC:
IC (µ1 − µ2)1−α: (x1 − x2) ± e
ii) erro da estimativa: e = t α2 .s p. (n1 −1).s21 +(n2 −1).s22 s p = n1 + n2 −2
1 n1
+ n12 ;
∴
ν = n1 +n2 2
−
3o CASO: Amostras pequenas (n < 30), independentes e variâncias populacionais estatisticamente desiguais i) IC:
IC (µ1 − µ2)1−α: (x1 − x2) ± e 60
ii) erro da estimativa:
s21 n1
e= t . α 2
+
s22 n2
;
∴
ν =
s21 s22 n1 + n2 2
2
(s21/n1) + (s22/n2) n1 −1 n2 −1
2
4o CASO: Amostras dependentes, dados aparecem em pares (Ex.: antes e depois) n
i) IC:
IC (µD )1−α: (D) ± e
∴
D=
di
1=1 n
∴
di = X 1i X 2i
−
− n
di
n
1=1
d2i
ii) erro da estimativa:
t α2 . sDn
e=
√ ;
∴ sD
=
n
1=1
n 1
−
III) INTERVALO DE CONFIANÇA PARA UMA VARIÂNCIA 2
IC (σ )1−α :
(n 1).s2 (n 1).s2 ; χ2 χ2α/2 1−α/2
−
−
;
ν = n
−1
IV) INTERVALO DE CONFIANÇA PARA DUAS VARIÂNCIA IC
σ12 σ22 1 α
−
:
s21 1 . ; 2 s2 F α/2 (ν 2 , ν 1 )
s21 .F (ν , ν ) s22 α/2 1 2
V) INTERVALO DE CONFIANÇA PARA UMA PROPORÇÃO i) IC:
IC ( p)1−α: pˆ ± e
ii) erro da estimativa:
e = z α2 .
61
ˆq pˆ n
2
VI) INTERVALO DE CONFIANÇA PARA DIFERENÇA ENTRE PROPORÇÕES; i) IC:
IC ( p1 − p2)1−α: (ˆ p1 − pˆ2) ± e
ii) erro da estimativa:
e = z α2 .
pˆ1 .ˆ q1 n1
+ pˆ2n.ˆ2q 2 ;
• Regras de decisão envolvendo intervalo de confiança (IC) para a diferença entre duas médias ou duas proporções:
a) Se o intervalo possui um extremo positivo e outro negativo, ou seja, se o 0 IC, temos µ1 = µ2 ou p1 = p2
∈
b) Para o IC(µ1 µ2) ou IC( p1 p2 ), se os extremos são positivos, temos: µ1 µ2 > 0 µ1 > µ2 ou p1 p2 > 0 p1 > p 2
−
−
⇒
−
−
⇒
c) Para o IC(µ1 µ2) ou IC( p1 p2 ), se os extremos são negativos, temos: µ1 µ2 < 0 µ1 < µ2 ou p1 p2 < 0 p1 < p 2
−
−
⇒
−
−
⇒
• Regras de decisão envolvendo intervalo de confiança (IC) para duas variâncias:
Dado o IC a) Se 1
σ12 σ22
1 α
−
, temos:
∈ IC, temos σ12 = σ22;
b) Se os extremos do IC são maiores do que 1, temos: σ12 > σ22 ; c) Se os extremos do IC são menores do que 1, temos: σ12 < σ22 ;
62
9.6
Determinação dos tamanhos das amostras
Uma questão que aparece frequentemente no planejamento de experimentos é “qual deve ser o tamanho da amostra para se ter determinada precisão na estimação da média populacional?” A resposta para essa questão pode ser dada a partir do intervalo de confiança. Da teoria da estimação é possível perceber que o aumento do tamanho da amostra melhora a precisão da estimativa e diminui o comprimento de confiança. Para entender como esse processo de determinação do tamanho de amostras, considere o intervalo de confiança para µ de uma população Normal, considerando grandes amostras ( n ≥ 30) e σ2 conhecida: σ x ¯
± Z α/2 √ n .
A quantidade Z α/2 √ σn é a margem de erro( e). Desse modo, se o pesquisador fixar um erro de estimação e possuir uma estimativa da variância populacional, é possível estimar o tamanho amostral adequado, considerando um coeficiente de confiança 1 − α também fixado. Neste caso, isolando n na expressão da margem de erro, obtém-se a seguinte expressão do tamanho da amostra: n=
2 σ2 zα/2
e2
.
Esse tamanho de amostra fornece a margem de erro desejada, ao nível de confiança escolhido. Essa equação necessita de um valor para o desvio pardrão σ da população. Entretanto, mesmo que σ seja desconhecido, essa equação pode ser utilizada para determinar o tamanho da amostra, desde que se tenha um valor preliminar para σ . Na prática esse valor é obtido por meio de pesquisa passadas, estatísticas (informações) ou amostras piloto. Nas situações que se deseja obter o tamanho da amostra com base na estimativa da proporção populacional, esse tamanho da amostra deve ser encontrado por meio da seguinte expressão: n=
2 pq zα/2
e2
Para utilizar a equação acima é preciso saber quanto vale p e q , para isso deve se substituir p e q por pˆ e qˆ . Mas se estes também forem desconhecidos, deve se substituir pˆ e qˆ por 0,5. Isso possibilita maximimizar o valor do produto p.q e do tamanho da amostra a ser analisado.
• Exemplos: 1. Os sistemas de escapamento de uma aeronave funcionam devido a um propelente sólido. A taxa de queima desse propelente é uma característica importante do produto. As especificações requerem que a taxa média de queima seja de 50 cm/s. Sabemos que o desvio-padrão da taxa de queima é σ = 2 cm/s. Suponha que quiséssemos um erro na estimação da taxa média de queima do propelente do foguete menor do que 1,5 cm/s, com uma confiança de 95%. Qual deveria ser o tamanho apropriado da amostra? 2. Suponha que uma amostra aleatória de tamanho 10 da variável renda familiar apresente os seguintes valores: 12, 18, 12, 18, 18, 30, 12, 12, 18, e 30.√ Determine o tamanho da amostra que apresente uma estimativa com erro máximo de 2 e uma confiança de 90%. 3. Uma determinada pessoa está interessada em se candidatar a prefeito de uma cidade. Suponha que ela queira determinar o tamanho da amostra necessária para que a sua porcentagem de eleitores seja estimada com uma precisão de 2 pontos percentuais e com uma probabilidade de acerto de 95%. a) Qual deveria ser o tamanho amostral? 63
b) Suponha que cada entrevista custa R$ 80,00 e que há um custo operacional fixo, de R$50000,00. Quanto custaria a realização dessa pesquisa? Suponha agora que esta pessoa só dispõe de R$180000 para custear a pesquisa. Nestas condições: c) Que tamanho de amostra ele deveria usar? d) Supondo a mesma probabilidade de confiança de 95%, qual a precisão que ele pode conseguir com esse tamanho de amostra?
64
10
Teoria da decisão - Testes de hipóteses
O teste de hipótese é uma regra de decisão para aceitarmos ou rejeitarmos uma hipótese estatística com base nos dados amostrais. O objetivo do teste de hipóteses é fornecer uma metodologia que nos permita verificar se os dados amostrais trazem evidência que apóiem ou não uma hipótese formulada. 10.1
Definições
10.1.1
Hipótese estatística
Trata-se de uma suposição quanto ao valor de um parâmetro populacional, ou quanto à natureza da distribuição de probabilidade de uma variável populacional.
• Exemplos 1) A taxa média de queima de um propelente de sódio é 50 centímetros por segundo; 2) O número de peças defeituosas em uma produção segue a distribuição Poisson; 3) A proporção de eleitores favoráveis a um candidato é de 50%. 10.1.2
Tipos de hipóteses
a) Hipótese nula ou de nulidade: denotada por H 0 é uma afirmação sobre o valor de um
parâmetro populacional. Geralmente é uma igualdade ou afirmativa positiva com relação ao parâmetro. Ex: H 0 : θ = θ0
b) Hipótese alternativa: denotada por H 1 é a afirmação que deve ser verdadeira se a hipótese nula for falsa. Geralmente é uma desigualdade e contradiz H 0 . Ex: H 1 : θ = θ0 ; H 1 : θ < θ0 ou H 1 : θ > θ0
Com base na hipótese alternativa H 1 e no valor obtido na tabela ( Z,t,χ2 , F ) ao nível de significância α, define-se a região de rejeição de H 0 , conhecida como região crítica (RC). Supondo que uma indústria química tem o interesse em verificar se a quantidade média de impurezas presentes em um determinado produto é igual a 16 gramas e, sabendo que essa quantidade de impurezas é normalmente distribuída, então o parâmetro de interesse que deve ser testado é a média, e as hipóteses a serem formuladas, bem como, a determinação da região crítica podem ser definidas de acordo com os seguintes tipos de testes:
• Teste de hipótese bilateral H 0 : µ = 16 g
Se −Z α2 ≤ Z c ≤ Z α2 −→ não se pode rejeitar H 0 . Se Z c > Z α2 ou Z c < Z α2 −→ rejeita-se H 0
H 1 : µ = 16 g
• Teste de hipótese unilateral à direita H 0 : µ = 16 g
Se Z c < Z α Se Z c > Z α
H 1 : µ > 16 g
• Teste de hipótese unilateral à esquerda H 0 : µ = 16 g H 1 : µ < 16 g
65
−→ não se pode rejeitar H 0 −→ rejeita-se H 0
Se Z c > −Z α Se Z c < −Z α
−→ não se pode rejeitar H 0 −→ rejeita-se H 0
10.2
Tipos de erros
Existem dois possíveis erros associados ao teste de uma hipótese estatística, comumente denominados de erros do tipo I e II. Pode-se rejeitar uma hipótese quando ela é verdadeira ou aceitar quando ela é falsa. A rejeição de uma hipótese verdadeira é chamada erro Tipo I. A não rejeição de uma hipótese falsa constitui o erro Tipo II. As probabilidades de ocorrência do erro tipo I e II são denotadas, respectivamente por α e β . Sendo assim tem-se que: α = P (erro tipo I) = P (rejeitar H 0/H 0 é verdadeira). α é um valor determinado pelo pesquisador e é conhecido como “nível de significância” do teste de hipótese. O complementar do nível de significância é chamado de nível de confiança e é dado por 1−α. β = P (erro tipo II) = P (não rejeitar H 0 /H 0 é falsa). Desse modo, quando se realiza um teste de hipótese, busca-se reduzir ao mínimo as probabilidades de cometerem os erros tipo I e II, que são relacionados, ou seja, uma redução na probabilidade de um geralmente resulta num aumento da probabilidade do outro. Uma maneira de reduzir simultâneamente esses dois erros é aumentando o tamanho da amostra. Um outro conceito muito importante que se relaciona com as probabilidades de erro é a noção de poder de um teste. O poder de um teste é a probabilidade de se rejeitar H 0 dado que H 0 é falsa. Na Tabela a seguir relacionam-se os dois tipos de erros e as decisões corretas com as respectivas probabilidades: TABELA 1: Tipos de erros e probabilidades associadas.
Realidade Decisão Não rejeitar H 0 Rejeitar H 0 10.3
H 0 verdadeira Decisão correta (1 α) Erro Tipo I (α)
−
H 0 falsa
Erro Tipo II (β ) Decisão correta (1 − β )
Algoritmo para a realização de um teste de hipóteses
1. Estabelecer a hipótese nula ( H 0 : θ = θ0 ) 2. Estabelecer a hipótese alternativa ( H 1 : θ = θ0 ; H 1 : θ < θ0 ou H 1 : θ > θ0 ) 3. Determinar o nível de significância (α) 4. Selecionar a estatística do teste 5. Determinar a região crítica (RC) 6. Calcular a estatística 7. Concluir 10.4
Testes de hipóteses para médias, variâncias e proporções
• Exemplos: 1. A vida média de uma amostra de 100 lâmpadas produzidas por uma firma foi calculcada em 2570 horas, com desvio padrão de 120 horas. Sabe-se que a duração das lâmpadas dessa firma tem distribuição normal com média de 1600 horas. Ao nível de 1% testar se houve alteração na duração média das lâmpadas.
66
2. Um fabricante de lajotas de cerâmica introduz um novo material em sua fabricação e acredita que aumentará a resistência média, que é de 206kg. A resistência das lajotas tem distribuição normal com desvio padrão de 12kg. Retira-se uma amostra de 30 lajotas, obtendo x¯ = 210kg . Ao nível de 10%, pode-se o fabricante aceitar que a resistência média de suas lajotas tenha aumentado? 3. Uma máquina é projetada para fazer esferas de aço de 1cm de raio. Uma amostra de 10 esferas é produzida e tem o raio médio de 1,004cm, com s = 0,003. Há razões para suspeitar que a máquina esteja produzindo esferas com raio menor que 1cm, ao nível de 10%? 4. Dois tipos de tinta foram testados sob as mesmas condições meteorológicas. O tipo A registrou uma média de 80 com um desvio padrão de 5 em 5 partes. O tipo B, uma média de 83 com um desvio padrão de 4 em 6 partes. Adotando α = 0,05, testar a hipótese de que a tinta A possui média inferior a tinta B, considerando que as populações possuem variâncias iguais. 5. Um teste para verificar a emissão de poluentes no ar, foi realizada com 6 automóveis que utilizaram o gás A como combustível, e 13 carros que utilizaram a gás B. Mediu-se a quantidade de monóxido de carbono CO (g/mi). Os resultados foram: Gás n x ¯ s A 6 3,7 0,5 B 13 4,55 1,2 Existe diferença significativa na emissão de CO, entre os dois combustíveis? Use α = 0,05 6. Realizou-se um estudo para investigar a eficácia do hipnotismo na redução da dor. A tabela a seguir nos fornece os resultados de 8 pessoas selecionadas. Ao nível de 5% de significância, teste a afirmação de que as medidas sensoriais são inferiores após o hipnotismo, ou seja, o hipnotismo é eficaz na redução da dor. (Os valores se referem a antes e depois da hipnose, medidas em centímetros em uma escala de dor) Pessoas 1 2 3 4 5 6 7 8
Antes 6,6 6,5 9,0 10,3 11,3 8,1 6,3 11,6
Depois 6,8 2,4 7,4 8,5 8,1 6,1 3,4 2,0
7. Sabe-se por experiência que 5% da produção de um determinado artigo é defeituosa. Um novo empregado é contratado. Ele produz 600 peças do artigo com 82 defeituosas. Ao nível de 15%, verificar se o novo empregado produz peças com maior índice de defeitos que o existente. 8. Avaliou-se em 240 kg o desvio padrão de tensões de ruptura de certos cabos produzidos por uma fábrica. Depois de ter sido introduzida uma mudança no processo de fabricação desses cabos, as tensões de ruptura de uma amostra de 8 cabos apresentaram o desvio padrão de 300kg. Investigar a significância do aumento aparente da variância, ao nível de 5%. 10.5
Testes Não Paramétricos
A maioria dos procedimentos para testes de hipóteses vistos até o momento é baseada na suposição de que amostras aleatórias são selecionadas de populações normais. E mesmo que pequenos 67
desvio da normalidade sejam detectados, a maioria destes testes ainda é confiável quando o tamanho amostral é grande. Tradicionalmente, esses procedimentos de testes são chamados de métodos paramétricos. Na sequencia serão apresentados alguns testes alternativos que podem ser considerados, chamados de métodos de livres distribuição ou não parámetricos, que frequentemente presume-se não ter conhecimento sobre as distribuições que fundamentam as populações. 10.6
Teste de Qui-Quadrado (χ2 ) para independência entre variáveis e aderência
A estatística de χ2 é muito utilizada para verificar independência e aderências de dados experimentais. O teste baseia-se na ideia de que, se as variáveis são independentes ou se um conjunto de dados se ajusta a uma certa distribuição, a diferença ao quadrado entre a frequência observada ( fo) e a frequência esperada ( fe), tende a zero. Para verificar independência ou aderência utiliza-se as seguintes hipóteses devem ser formuladas:
• Para independência: H 0 : a variável X é independente da variável Y . H 1 : a variável X é dependente da variável Y .
• Para aderência: H 0 : a variável X segue determinada distribuição. H 1 : a variável X não segue determinada distribuição.
Com base nas hipóteses e no nível de significância α, determina-se a estatística e a região crítica do teste: k
• Aderência:
χ2
=
i=1
(foi
− fei)2 , em que k é o número de classes ou colunas; ν = k − p − 1
fei
sendo p o número de parâmetros estimados na distribuição e fe = np. k
χ2
(foi
− fei)2 , em que k é o número de classes ou colunas;
• Indepêndencia: = fei i=1 da coluna) (k − 1)(h − 1) sendo p o número de linhas e fe = (Total da linha)(Total . (Total geral)
ν =
• Região Crítica dos testes de aderência e de independência: {χ2 > χ2α(ν )} • Exemplos: 1. Um estudo sobre acidentes de trabalho numa indústria revelou que, 150 acidentes ocorreram nos seguintes dias da semana: Dia fo
S T Q Q S Total 32 40 20 25 33 150
Testar a hipótese de que os acidentes ocorrem com igual frequência nos diferentes dia da semana, considerando α = 5%
68
2. O impacto das bombas V-1 na Segunda Guerra Mundial foi avaliado em várias regiões do Sul de Londres, onde verificou-se o número de impactos em cada região. Um indíviduo acredita que o número de impactos nas regiões, segue uma distribuição de Poisson e calculou o número esperado de regiões com um determinado número de impactos (frequências esperadas). Com base nos resultados apresentados, teste se as frequências observadas se ajustam a uma distribuição de Poisson, usando α = 5%. Número de ataques de bomba 0 1 2 3 4 ou mais Número real de regiões 229 211 93 35 8 Número esperado de regiões (Poisson) 227,5 211,4 97,9 30,5 8,7 3. Uma pesquisa realizada para analisar os perigos das profissões foi realizada envolvendo 490 pessoas, fornecendo os resultados do quadro abaixo. Verificar se existe dependência entre a profissão e a causa da morte, utilizando α = 10%. Causa da morte Polícia Caixa Taxistas Guardas Total Homicídio 82 107 70 59 318 Não homicídio 92 9 29 42 172 Total 174 116 99 101 490 4. Um estudo foi realizado com 150 pessoas para verificar a preferência pelo tipo de cerveja em relação ao sexo do consumidor. Os resultados foram: Sexo Light Comum Escura Total Masculino 20 40 20 80 Feminino 30 30 10 70 Total 50 70 30 150 Ao nível nominal de significância de 5%, verifique por meio de um teste de independência se a preferência pelo tipo de cerveja independe do sexo do consumidor.
69
10.7
Regressão Linear Simples
10.7.1
Diagrama de dispersão
Antes de realizar a análise de regressão, é comum construir um gráfico bidimensional denominado, diagrama de dispersão, para identificar padrões que possibilitem verificar:
• Se há evidência de correlação entre as variáveis; • Caso exista correlação, qual é a sua força e direção; • Possível ajuste de um modelo de regressão aos dados, de maneira a descrever o relacionamento entre as variáveis.
Cada valor das variáveis X e Y é marcado em função das coordenadas x e y do plano cartesiano. 10.8
Modelo de regressão linear simples
O modelo de regressão linear simples relata o estudo de como a variável dependente y se relaciona com uma variável independente x. O modelo estatístico de uma regressão linear simples é: (1)
yi = β 0 + β 1 xi + i ,
em que: yi é o valor da variável dependente na i-ésima observação; β 0 é o primeiro parâmetro da equação de regressão, denominado intercepto ou coeficiente linear, o qual indica o valor de y quando x = 0; β 1 é o segundo parâmetro da equação de regressão, chamado coeficiente angular de regressão, que indica a inclinação da reta; xi é o valor especificado da variável independente na i-ésima observação, i = 1,2, ·· · , n; i é o erro não observável associado a i-ésima observação;
• Pressuposições do modelo de regressão 1) A relação entre x e y é linear; 2) Os valores de x são fixos, isto é, x não é uma variável aleatória; 3) A média do erro é zero, isto é, E( i )= 0, i = 1,2,
∀
· ·· , n;
4) Para um dado valor de x, a variância do erro i é sempre constante, isto é, V( i )= σ 2 , 1,2, ,n. Diz-se, então, que o erro é homocedástico;
···
∀i=
5) Cov(i , j ) = 0, i = j ;
6) O erro tem distribuição Normal com média zero e variância constante ( σ 2 ), isto é, i
∼ N(0,σ2);
• Estimação dos parâmetros O objetivo na regressão é determinar estimadores de β 0 e β 1 de tal forma que as distâncias médias entre a reta de regressão e os valores observados sejam minimizadas, ou seja, o erro cometido deve ser o menor possível. A partir do modelo (1) pode-se definir o erro da seguinte forma: 70
i = yi
(2)
− β 0 − β 1xi.
O método que será utilizado para determinar os estimadores de β 0 e β 1 é denominado de Método de Mínimos Quadrados. Esse método consiste em minimizar a soma de quadrados do erro ou resíduo do modelo (1) ao longo de todos os n pares (xi , yi ). A partir da equação (2) pode-se definir a soma de quadrados dos resíduos (Q) como: n
Q=
n
2i
=
i=1
(yi
i=1
− β 0 − β 1xi)2
(3)
Para obter os estimadores de mínimos quadrados basta derivarmos a expressão (3) em relação aos parâmetros β 0 e β 1 e posteriormente, igualarmos essas derivadas parciais a zero. Primeiramente, vamos obter as derivadas parciais (Sistema de Equações Normais, SEN):
n ∂Q ∂β 0
=
− − 2
(yi
− β 0 − β 1xi)
(yi
− β 0 − β 1xi)xi
i=1 n
∂Q ∂β 1
=
2
i=1
ˆ0 e β ˆ1 Igualando essas derivadas a zero e substituindo β 0 e β 1 , pelos respectivos estimadores β tem-se: n
− − 2
(yi
i=1 n
2
(yi
i=1
n
− β ˆ0 − β ˆ1xi) = 0
n
⇔
− β ˆ0 − β ˆ1xi)xi = 0
(yi
i=1 n
(yi
i=1
− β ˆ0 − β ˆ1xi) = 0
n i=1
i=1 n
− β ˆ0 − β ˆ1xi)xi = 0
ˆ0 na primeira equação de (4) tem-se que: Isolando β
⇔ i=1
n
yi
− nβ ˆ0 − β ˆ1 n
xi yi
− β ˆ0
i=1
xi = 0
i=1
xi
− β ˆ1
(4)
n
x2i = 0
i=1
n
yi
−
ˆ0 nβ
−
ˆ1 β
ˆ0 = β
i=1
n
xi = 0
i=1
n
yi
n
xi
− β ˆ1 i=1n
ˆ0 será: Logo, o estimador de mínimos quadrados para β ˆ0 = y¯ β
− β ˆ1x¯.
71
(5)
ˆ1 obtém-se: Substituindo o resultado (5) na segunda equação de (4), e resolvendo em relação a β n
n
xi yi
i=1
n
− i=1 n
xi yi
i=1
n
xi yi
−
i=1
yi
i=1
n
n
i=1 n
− β ˆ1
x2i = 0
i=1
xi
−
ˆ1 β
x2i = 0
i=1
n
ˆ1 β
−
x2i = 0
i=1
n
n
xi
n
xi yi
−
i=1
i=1
− i=1
i=1
xi
=
n
i=1
ˆ1 β
n
xi
xi yi
− − − −
yi
n
n
2
n
i=1
ˆ1 + β
n
yi
xi
n
i=1
ˆ1 = β
n
i=1
x2i
n
i=1
n
n
xi
n
xi yi
i=1
yi
i=1
n
i=1
ˆ1 = β
x2i
i=1 2
n
n
x2i = 0
2
i=1
n
i=1
xi
ˆ1 + β
xi
−
ˆ1 β
n
ˆ1 i=1 β n
n
xi
n
xi
−
xi
i=1
yi
n
i=1
n
n
i=1
n
i=1 n
− (¯y − β ˆ1x¯)
xi yi
n
−
ˆ0 β
2
n
xi
n
x2i
i=1
i=1
n
ˆ1 é: Logo, o estimador de mínimos quadrados para β n
n
− − − − xi
n
xi yi
ˆ1 = β
i=1
yi
(xi
n
i=1
2
n
=
x2i
x¯)(yi
i=1
− y¯)
n
(xi
xi
n
i=1
n
i=1
2
x ¯)
=
SPxy SQx
i=1
i=1
n
Portanto, os estimadores de mínimos quadrados para β 0 e β 1 são respectivamente: ˆ0 = y¯ β
− β ˆ1x¯
ˆ1 = SPxy , β SQx
e 72
(6)
n
xi
i=1 n
em que: x¯ =
é a média da variável independente x;
n
y¯ =
yi
i=1 n
é a média da variável dependente y ; n
n
− − xi
n
SPxy =
xi yi
i=1
i=1
é a soma de produtos entre x e y e
n
i=1
2
n
xi
n
SQx =
yi
x2i
i=1
i=1
n
é a soma de quadrados de x.
Substituindo no modelo de regressão apresentado em (1), os parâmetros, β 0 e β 1, pelos seus ˆ0 e β ˆ1 , obtém-se a equação de regressão estimada: respectivos estimadores, β ˆ0 + β ˆ1 xi , yˆi = β
(7)
sendo que yˆ é o estimador de y , e representa para um dado valor de x o valor médio de y.
• Observação: 1. A estimação da variável dependente só pode ser feita dentro da faixa de valores da variável independente originalmente amostrada(não há fundamento estatístico assumir que a linha de regressão é apropriada fora destes limites)
• Exemplo: 1. Uma empresa realizou um estudo para determinar qual a função que ligava a distância (km) e o tempo (em dias) de entrega de suas mercadorias, transportadas por caminhão. Foram selecionados aleatoriamente 10 carregamentos recentes para ser analisados, conforme os dados apresentados a seguir. Com base nestes dados, obtenha a equação de regressão estimada que possa ser usada para prever o tempo de entrega a partir da hora que o carregamento está disponível para ser transportado. Tempo de entrega (y) Distância (x)
3,5 825
1 215
4 1070
2 550
1 480
3 920
4,5 1350
1,5 325
3 670
5 1215
Ao analisar o gráfico de dispersão dos dados acima, pode-se tirar as seguintes conclusões prévias:
• Valores maiores de distância tendem a se relacionar com maiores tempo de entregas de mercadorias;
• Relação entre a distância percorrida e o tempo de entrega parece aproximar de um linha reta, ou seja, uma relação linear positiva é indicada entre x e y.
• Informações necessárias: 73
n = 10;
10
10
xi = 7620;
i=1
y¯ = 2,85
x2i
= 7.104.300;
i=1
10
10
yi = 28,5;
i=1
xi yi = 26370;
x ¯ = 762;
i=1
• Cálculo de β ˆ0 e β ˆ1 n
(
n
ˆ1 = SPxy = β SQx
n
− − xi )(
i=1
xi yi
yi )
i=1
(7620)(28,5) − 4653 10 = = = 0,00358 0,0036 (7620) 1297860 7.104.300 − 10
n
i=1
26370
2
n
2
xi
n
i=1
x2i
n
i=1
ˆ0 = y¯ β
− β ˆ1x¯ = 2,85 − 0,0035851 × 762 = 0,1181
• Equação de regressão linear simples estimada
yˆi = 0,1181 + 0,0036xi
Espera-se que com o aumento de cada unidade de distância percorrida, ocorra um aumento estimado no tempo médio de entrega das mercadorias de 0,0036 dias. 10.9
Coeficiente de determinação
O coeficiente de determinação nos dá uma medida da eficiência (ou da qualidade) do ajuste do modelo, ou seja, indica o quanto da variação de y (variação total) que é “explicada” pelo modelo de regressão ajustado. Portanto, o coeficiente de determinação pode ser utilizado como um avaliador do modelo ajustado. O coeficiente de determinação, denotado por R2 , é dado por: (SPxy)2 R = , SQxSQy 2
n
em que: SPxy =
xi yi
i=1 n
n
é a soma de produtos entre x e y e
xi
x2i
i=1
n
i=1
é a soma de quadrados de x;
2
n
yi
n
SQy =
i=1
yi
2
n
SQx =
i=1
2
≤ R ≤ 1,
n
xi
n
− − −
0
yi2
i=1
i=1
n
é a soma de quadrados de y;
• Exemplo: 74
