4
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
4.1.-PROBABILIDAD CONDICIONAL
E
n gran número de problemas prácticos, los eventos de mayor interés son aquellos cuya ocurrencia está condicionada a la ocurrencia de otro evento. De aquí que interese introducir el concepto de probabilidad condicional, esto es, la probabilidad condicionada a que haya ocurrido o pudiese ocurrir cierto evento.
Invocando el criterio de Laplace y apoyándose en el diagrama anterior, puede verse que si el evento B se da por hecho, entonces el espacio muestral condicional es el evento B, constituido por N (B) puntos muestrales, que representan el número de casos posibles; para la ocurrencia del evento A es necesaria necesaria la ocurrencia conjunta A B. Un evento constituido por N ( A B ) puntos puntos muestrales, que representan el número de casos favorables a A. La probabilidad de ocurrencia del evento A, dado que el evento B ocurre, lo cual se expresa con la notación P ( A | B ) está dada por:
Así fue utilizado el concepto de probabilidad condicional por los primeros estudiosos de la probabilidad. El gran mérito de Thomas Bayes consistió en haber expresado la probabilidad condicional en función de la probabilidad conjunta.
Esto es, la probabilidad de A, dado B, definida como la razón de la probabilidad conjunta a la probabilidad del evento B. Nótese que, en general: P ( A | B) P (B | A) , ya que
Las probabilidades condicionales también cumplen con los tres axiomas de probabilidad y con los teoremas derivados de éstos. POR LO TANTO: Cuando se está calculando la probabilidad de un evento A en particular, y se tiene información sobre la ocurrencia de otro evento B, esta probabilidad se conoce como, la cual probabilidad condicional se denota por P A/B , se lee "probabilidad de A dado B" y se define como:
Las probabilidades condicionales satisfacen los axiomas de probabilidad: Axiomas de probabilidad
Sea un espacio muestral y sean A y B dos eventos cualesquiera de este: Axioma1:
Axioma2: Axioma3:
EJEMPLOS TIPOS: I. Un grupo de 500 ejecutivos es clasificado de acuerdo a las características del peso y a la incidencia del peso en la hipertensión. Se da la siguiente tabla:
Hipertenso H
Sobre SP 50
peso Peso normal PN 40
Bajo peso BP
Total
10
100
No hipertenso H 75 225 100 400 Total 125 265 110 500 a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea hipertensa? b) Una persona elegida al azar tiene sobrepeso. ¿Cuál es la probabilidad que también sea hipertensa? c) Una persona elegida al azar no es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga peso normal? RESOLUCION: a) La probabilidad de que una persona sea hipertensa es de 0,20. b) La probabilidad de que una persona con sobrepeso sea también hipertensa es de 0,40. c)
= = ( )
La probabilidad de que una persona no hipertensa tenga también peso normal es de 0,5625.
II.
Se estima que el 0.15 de la población adulta padece hipertensión, pero que el 0.75 de todos los adultos cree no tener este problema. Se estima también que el 0.06 de la población tiene hipertensión pero no es consciente de padecer dicha enfermedad. Si un paciente adulto opina que no es hipertenso ¿cuál es la probabilidad de que la enfermedad, de hecho, exista? Siendo A1 el suceso “el paciente no cree tener la enfermedad” y A2 el suceso “la enfermedad existe”, se nos ha dado que P A1 = 0.75, P A2 = 0.15 y P A1 = 0.75 y P A1 y A2 = 0.06. Pretendemos hallar P A1 A2. Por la definición:
Hay un 0.08 de posibilidad de que un paciente que opine que no tiene problemas de hipertensión padezca, de hecho, la enfermedad. Del mismo modo podemos preguntar: si la enfermedad existe. ¿Cuál es la probabilidad de que el paciente lo sospeche? Es decir. ¿Cuál es P A1 A2? Por lo tanto
A1: no cree que exista la enfermedad A2: la enfermedad existe.
A2
A1
0.69
0.06
0.09
0.16
Observamos el diagrama de ven, tenemos.
Es decir, si el paciente opina que tiene hipertensión, existe un 0.60 de probabilidad de que este en lo cierto. III.
Cuál es la probabilidad de que un niño de entre 8 y 16 años presente sobrepeso u obesidad, dado que ve TV más de 4 horas diarias? Sean los sucesos: M = ve TV más de 4 horas al día S = presenta sobrepeso u obesidad Se tiene que: P (M) = 0,25 P(S y M)= 0,105 Se pide P(S/M) Desarrollando la probabilidad condicional:
La probabilidad de que un niño de entre 8 y 16 años presente sobrepeso u obesidad, dado que ve TV más de 4 horas diarias es 0,42.
IV.
El porcentaje de mujeres que sobreviven a la extirpación y tratamiento de un cáncer de ovario en un estadio inicial es de 0.60 a los dos años, y de un 0.48 a los 6 años. ¿cuál es la probabilidad de que una mujer que ha sobrevivido 2 años sobreviva 6 años? En todo problema de probabilidad conviene comenzar por darle nombre a los sucesos de interés, nombres que conviene que sean simples y sugerentes al problema. Si S2 y S6 designa a los sucesos de que una mujer del tipo estudiado sobreviva 2 y 6 años respectivamente, entonces el problema es calcular
Pero toda mujer que sobreviva 6 años (S6) es seguro que ha sobrevivido 2 años (S2), de modo que S6S2 y S2S6=S6. Con ello
El 0.80 de las que sobreviven 2 años sobreviven también 6 años.
4.2.- PROBABILIDAD INDEPENDIENTE.
Webster define objetos independientes como objetos que actúan “con independencia el uno del otro”. De este modo, dos sucesos son independientes si uno puede producirse con
independencia del otro. Es decir, la realización o no realización de uno no tiene efecto alguno sobre la realización o no del otro. Por ejemplo, los sucesos A, el paciente tiene sinovitis, y B, el paciente tiene apendicitis, son intuitivamente independientes. El hecho que el paciente tenga apendicitis nada tiene que ver con que padezca o no sinovitis, y viceversa. Desde un punto de vista formal, se puede decir que A y B son independientes si la probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B, no sufre modificaciones desde el punto de vista matemático esto se expresa de la siguiente manera:
Conocer que ha sucedido A no modifica la probabilidad de B. Teniendo en cuenta simultáneamente:
Despejando la probabilidad de la intersección:
Esta es la más Utilizada en caso de sucesos independientes y para la comprobación de a independencia de sucesos. Dos sucesos son independientes si y solo si, la probabilidad de su intersección es igual al producto de la probabilidad, esto es lo que expresa matemáticamente la formula. Se debe tener en cuenta que, sean cuales sean el tipo de sucesos, la probabilidad de la intersección de dos conjuntos debe cumplir la siguiente expresión derivada de la regla general de la adición:
Cuando se cumples estas dos decimos que A y B son sucesos independientes. Hay dos conceptos fundamentales en la relaciones que puede haber entre sucesos, uno es el incompatibilidad y6 otro el de independencia, ambos conceptos son importantes y diferentes. Pues si dos suceso son incompatibles P(AB) =0 lo que implica que P(A / B) =0 y por lo tanto P(AB) P(A).P(B) es decir, dos sucesos incompatibles siempre son dependientes, puesto que el conocimiento de que uno de ellos ha sucedido informa de que el otro no puede suceder simultáneamente. Por otra parte, si dos sucesos son independientes, necesariamente deben se ser compatibles, puesto que: P(AB)=P(A).P(B) 0 siempre que P(A) y P(B) sean distintos de 0. EJERCICIOS TIPO: En un centro sanitario de los pacientes intervenidos quirúrgicamente el 0.25 tienen alguna complicación postquirúrgica, el 50 tiene más de 60 años, y el 0.60 tiene más de 60 años o ha padecido alguna complicación postquirúrgica. ¿Los sucesos, tener más de 60 años y padecer alguna complicación postquirúrgica, son independientes? Se considera que el suceso a es padecer alguna complicación postquirúrgica cuya probabilidad es P(A) = 0.25; se considera el suceso B tener más de 60 años cuya probabilidad P(B)=0.5. La probabilidad de que ocurra alguno de los 2 sucesos es P(AB)=0.6. Si los sucesos A y B son independientes debe de cumplirse:
Aplicando la regla general de la adición: De aquí se deduce:
La probabilidad de la intersección entre A y B es 0.15, sea cual sea la relación entre los conjuntos.
Como la probabilidad de la intersección es distinta del producto de las probabilidades los sucesos A y B no son independientes. Observe que la probabilidad de la intersección de A y B, es 0.15, si además el producto de las probabilidades fuera igual a 0.15, lo que no ocurre en este caso, los dos sucesos serían independientes.
Este concepto puede extenderse a n sucesos. Si n sucesos son independientes A1,A2,A3,……An, siendo n un numero natural finito, cualquier posible combinación de lso mismos dbe cumplir: P(A1A2……Ak ) = P(A1)*P(A2)……..P(Ak )
k n
E J E M P L O : En
una muestra de 1000 individuos elegidos al azar, entre una población de enfermos de osteoporosis 760 eran mujeres.
¿Cuál es la probabilidad de que elegido un individuo de la población sea hombre: P(Hombre)=P(Mujer )=1-0,76=0,24 ’
Se sabe de otros estudios que entre los individuos con osteoporosis, aprox. la cuarta parte de las mujeres y la tercera parte de los hombres fuman. Elegimos a un individuo al azar de la población de enfermos.
¿Qué probabilidad hay de que sea mujer fumadora? P(Mujer ∩ Fumar) = P(Mujer) P(Fumar|Mujer) = 0,76 x 0.25 = 0,19
¿Qué probabilidad hay de que sea un hombre fumador?
P(Hombre ∩ Fumar) = P(H ombre) P(Fumar|Hombre) = 0,24 x 1/3 = 0,08
CONCLUSIONES
El agente no tiene acceso a toda la verdad acerca de su ambiente, pero que de todas maneras, el agente deberá tomar decisiones actuando bajo condiciones de incertidumbre. Estas decisiones se basarán en la teoría de las probabilidades. Los sistemas de razonamiento basados en modelos de redes y con base en las leyes de la teoría de la probabilidad son empleados para razonar en situaciones de incertidumbre. La probabilidad es un formalismo riguroso cuando existe incertidumbre sobre el conocimiento. La distribución de probabilidad especifica la probabilidad para cada evento atómico. La teoría de las probabilidades caracteriza aquello en lo que deberá creer un agente en base en lo que le dicen las evidencias.
BIBLIOGRAFIA: Morales A, ESTADISTICA Y PROBABILIDADES, Chile 2012, disponible:http://dme.ufro.cl/clinicamatematica/pdf/Estadistica%20y %20Probabilidad.pdf TEORÍA DE PROBABILIDADES Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, disponible en http://novella.mhhe.com/sites/dl/free/8448159969/566203/A03.pdf Cáceres R. ESTADÍSTICA APLICADA A LAS CIENCIAS DE LA SALUD, disponible en http://books.google.com.pe/books?id=V2ZosgPYI0kC&pg=PA107& lpg=PA107&dq=probabilidad+en+ciencias+de+la+salud&source=bl &ots=C1CiczKaEi&sig=P0HijMoyCqAFcoyA7RYyUpvoFpE&hl=e s&sa=X&ei=MVaLU_arDKPLsQSi3YHAAQ&ved=0CCcQ6AEwA A#v=onepage&q=probabilidad%20en%20ciencias%20de%20la%20 salud&f=false BIOESTADÍSTICA PARA LAS CIENCIAS DE LA SALUD Escrito por A. Martín Andrés,Juan de Dios Luna del Castillo
