Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria oria da Conquista/BA
Exer Ex erc c´ıcios ıci os Resol Res olvid vidos os:: EDO ED O de vari´ avel avel se sepa par´ r´ avel avel Contato: Contato:
nibbledie nibblediego@gm
[email protected] ail.com om
Atualizado em 11/09/2016 cao ˜ao de EDO de vari´aveis aveis separ´aveis aveis pede apenas duas habilidade habilidades: s: Dica: A resolu¸c˜ cao a˜o alg´ al g´ebrica ebr ica;; • manipula¸c˜ ıni o das t´ecnicas ecni cas de integra¸ inte gra¸c˜ cao. a˜o. • dom´ınio
Sendo assim, se vocˆe tˆem em ambas as habilidades habilid ades n˜ao ao ter´a problema com esse tipo de EDO.
Exemplo 1: Encontre as solu¸c˜ c˜oes oes das equa¸c˜ c˜oes oes abaixo, separando as vari´aveis: aveis:
a)
y dy x
b)
dy = e x+y dx
c)
dy 2x + xy + xy 2 = dx 4y + x + x2 y
d)
√ 1 − x2 dy + y3 = 0, y 0, y (1) = 1
e) y e) y
sen(x2 )dx = dx = 0 − sen(
dx
·
sen( sen(x)dx + dx + (y (y2
cos(x)
+ 1)e 1)e
π dy = dy = 0, y 0, y = 1 2
Solu¸ c˜ cao ˜ de A:
y dy x
sen(x2 )dx = dx = 0 − sen( yd y = x = x · sen( sen(x2 )dx ⇒ ydy ydy = x · sen( sen(x2 )dx ⇒ ydy = 2
cos(x2 ) + c + c (sendo (sendo c c uma constante). ⇒ y2 = − 12 cos( Multiplicando Multip licando a equa¸c˜ c˜ao ao acima por 2 em ambos os lados y2 =
cos(x2 ) + 2c 2c −cos(
Chamando Chamando 2c de k ent˜ ao: ao: y 2 + cos( cos(x2 ) = k Solu¸ c˜ cao ˜ de B:
1
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dy = e x+y = e x ey dx
·
dy = e x + ey ⇒ dx Separando as vari´aveis aveis e integrando:
dy ey
=
ex dx
(sendo c uma constante). −e−y + c1 = ex + c2 (sendo c ⇒ −e−y − ex = (c2 − c1) 1)(e−y + ex ) = (c ( c2 − c1 ) ⇒ (−1)(e ( e−y + ex ) = (c1 − c2 ) ⇒ (e chamando (c (c1 − c2 ) de k ent˜ ao: ao: (e−y + ex ) = k
⇒ e1y + ex = k x y ⇒ e · e + 1 = k ey
k ey ⇒ ex · ey + 1 = ke ⇒ ex+y − key = −1 como k ´ como k ´e uma um a constante, co nstante, pois ´e a soma de outras o utras duas contantes, ent˜ ao ao podemos fazer k fazer k = = sem nenhum ne nhum preju pre ju´´ızo. Sendo assim: ex+y
− key = −1 ⇒ ex+y + key = −1
Solu¸ c˜ cao ˜ de C:
dy 2x + xy + xy 2 x(2 + y + y 2 ) = = dx 4y + x + x2 y y (4 + x + x2 ) 2
dy x(2 + y + y ) = ⇒ dx y (4 + x + x2 ) y x dy = dy = dx ⇒ (2 + y + y 2 ) (4 + x + x2 )
(1)
integrando ambos os membros de (1) chegamos a: a`:
2
−k
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1 1 ln( ln( 2 + y + y 2 ) + c + c1 = ln( ln( 4 + x + x2 ) + c + c2 2 2
|
|
|
|
1 ln(|2 + y + y 2 |) = ln( ln(|4 + x + x2 |) + (c ( c2 − c1 ) ⇒ 21 ln( 2 multiplicando a equa¸c˜ c˜ao ao acima por dois (ambos os termos) ln (|2 + y + y 2 |) = ln( ln (|4 + x + x2 |) + 2(c 2(c2 − c1 ) ⇒ ln( exponenciando eln(|2+y
2
|)
2
= e ln(|4+x
|)+2( c2 −c1 )
2
2
⇒ eln(|2+y |) = eln(|4+x |) · e2(c −c ) + y 2 | = |4 + x + x2 | · e2(c −c ) ⇒ |2 + y chamando 2(c 2(c2 − c1 ) de k de k ent˜ ao: ao: + y 2 | = |4 + x + x2 | · ek ⇒ |2 + y 2
2
1
1
Solu¸ c˜ cao ˜ de D:
√ 1 − x2 dy + y + y 3 = 0 dx
dy = −y 3 ⇒ √ 1 − x2 dx dy = −y 3 dx ⇒ √ 1 − x2dy = dx = √ (1) ⇒ −dy 3 y 1 − x2 por substitui¸c˜ cao a˜o trigonom´etrica etrica calcula-se a integral do membro mais a direita da equa¸c˜ c˜aaoo (1). J´ a a integral da esquerda pode ser calculada diretamente (ou seja, pela pr´opria defini¸c˜ cao a˜o de integral). Assim:
−
dy = y3
√ 1dx− x2
= arcsen((x) + c + c2 ⇒ 2y12 + c1 = arcsen arcsen(x) + c + c2 − c1 ⇒ 2y12 = arcsen( Chamando c Chamando c 2 − c1 de k de k arcsen(x) + k + k (1) ⇒ 2y12 = arcsen(
3
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como por hip´otese y otese y(1) (1) = 1 ent˜ ao: ao: 1 = arcsen(1) arcsen(1) + k + k 2(1)2 1 π = + k 2 2 1 π k = − ⇒ k = 2 2 Assim, a equa¸c˜ c˜ao ao (1) pode ser escrita como: 1 1 = arcsen( arcsen(x) + 2 2y 2
− π2
Solu¸ c˜ cao ˜ de E:
y sen( sen(x)dx + dx + (y ( y 2 + 1)e 1)ecos(x) dy = dy = 0
· sen(x)dx = dx = −(y2 + 1)e 1)ecos(x) dy ⇒ y · sen( sen(x) (y dx = dx = − ⇒ sen( cos x ( ) e
2
+ 1) dy y
Integrando ambos os lados da equa¸c˜ c˜ao ao acima (por substitui¸c˜ c˜ao ao de u de u)) chegamos `a: a: e−cos(x) + c1 =
2
ln(|y|) + c + c2 (onde c (onde c ´e uma constant cons tante). e). − y2 − ln(
Fazendo k Fazendo k = c = c 2
ao: − c1 ent˜ao:
2
ln (|y |) + k + k −y2 − ln(
e−cos(x) =
(1)
π como por hip´otese y otese y = 1 ent˜aaoo 2
2
ln (|1|) + k + k −12 − ln(
e−cos(π/ 2) =
+ k ⇒ e0 = − 12 − 0 + k 3 k = ⇒ k = 2 sendo assim, a equa¸c˜ cao a˜o (1) pode ser escrita como: 2
3 ln (|y |) + −y2 − ln( 2 2ln((|y |) = 3 ⇒ e−cos(x) + y2 + 2ln
e−cos(x) =
4
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