ACADEMIA PRE UNIVERSITARIA “VESALIUS”
PROFESOR: Erick Vásquez Llanos
EXCELENCIA 2012 ASIGNATURA: GEOMETRÍA
Nº 06- POLÍGONOS
01. POLÍGONOS
B) SEGÚN LA FORMA DE SUS ELEMENTOS
Se denomina polígono a la figura geométrica formada por la unión de tres o más segmentos de rectas que tienen sus extremos comunes dos a dos. 1.1.
FECHA: 18 – 08 – 2012
-
POLÍGONO CONVEXO: Es aquel polígono cuyos ángulos interiores son convexos. Un polígono es convexo cuando una recta secante lo corta como máximo en dos puntos.
ELEMENTOS
Recta secante 1
2
* Lados: * Vértices: * Ángulos Internos: Externos: * Diagonales: * Perímetro:
AB , BC ,... A, B,...
- POLÍGONO NO CONVEXO: Llamado también cóncavo, es aquel polígono que tiene uno o más ángulos cóncavos. Un polígono es no convexo cuando una recta secante lo corta en más de dos puntos. B
, ... , ...
A
C
CE , DB 2p = AB + BC + … + EA
1
2 G
3
* OBSERVACIÓN: En todo polígono se cumple F
H
E 4
D
# Lados = # Vértices = # Ángulos 1.2.
CLASIFICACIÓN DE LOS POLIGONOS
- POLÍGONO EQUILÁTERO: Todos los lados del polígono equilátero son congruentes. Esto no implica que sus ángulos sean congruentes. B
A) SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS A
Los polígonos se nombran según el número de lados que poseen. Se utilizan para ello los prefijos griegos. NÚMERO DE LADOS 3 lados 4 lados 5 lados 6 lados 7 lados 8 lados 9 lados 10 lados 11 lados 12 lados 15 lados 20 lados
NOMBRE DEL POLIGONO Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Nonágono Decágono Endecágono Dodecágono Pentadecágono Icoságono
C
F
D
E
- POLÍGONO EQUIÁNGULO: Todos los ángulos interiores del polígono equiángulo son congruentes. Esto no implica que sus lados sean congruentes.
A
B
F
E
C
D
- POLÍGONO REGULAR: Los lados y los ángulos interiores del polígono regular son congruentes.
b) Medida de un ángulo exterior
B A
e =
C
360 n
c) Medida de un ángulo central F
c =
D
360 n
E
1.3.
PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS
IMPORTANTE: También debemos saber que la suma de los ángulos centrales es 360°.
Para un polígono de “n” lados se cumple que: a) En todo polígono, la suma de sus ángulos interiores está dado por la siguiente relación :
S Inter.= 180 (n - 2)
2. POLÍGONOS REGULARES Se llama polígono regular al polígono equiángulo y equilátero a la vez.
b) En todo polígono, la suma de sus ángulos exteriores es 360°.
S ext.= 360° c) En todo polígono, el número total de diagonales está dado por la siguiente relación:
N° D =
n (n 3) 2
d) Para calcular el número de diagonales desde un solo vértice se utilizará la siguiente relación: N° de diagonales = n – 3
e) En todo polígono, el número de diagonales medias está dado por la siguiente relación.
3. ELEMENTOS 1. 2.
Centro: O Lado: AB (AB L n )
3.
Apotema: OH (OH an )
4.
N° D.M. =
n ( n 1) 2
f) En todo polígono, el número de diagonales trazadas desde “P” vértices consecutivos está dado por la siguiente relación.
N° d =
P 2
5. 6. 7.
360 Ángulo central: AOB m AOB an n Inradio: OM Circundario: OA (OA R) Triángulo elemental: AOB
2.1. CÁLCULO DEL POLÍGONO REGULAR
(2n – p - 3) – 1 B
Donde “P” = N° de vértices consecutivos.
H Ln
1.4.
APOTEMA
PROPIEDADES ADICIONALES
a) Medida de un ángulo interior
an
O
R
2
A
En el AHO: 2
i =
180(n 2) n
L 2 an 2 n R 2
an
1 4R 2 L n 2 2
DE
UN
6. 2.2. ESTUDIO DE LOS POLÍGONOS REGULARES 1.
DODECÁGONO REGULAR
PRINCIPALES
TRIÁNGULO EQUILÁTERO
L12 R 2 3
L12
O
B R 60º
60º
a3
R
30º 30º
a3
A
R 2
POLÍGONOS
C
1. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono si al aumentar en siete su número de lados, su ángulo central es los tres décimos de su valor original?
CUADRADO
a) 2 d) 0
C
B
L4 R 2 O a4
a12
30º
120º
2.
R 2 3 2
L3 R 3
L3 O
a12
a4
L4
45º R
R 2 2
D
A 90º
b) 9 e) 14
c) 5
2. ¿Cuál es el polígono convexo en el que la suma de su número de diagonales y su número de lados es 435? Indicar el número de lados. a) 25 b) 15 c) 30 d) 29 e) 20 3. La medida del ángulo interior y exterior de un
3.
HEXÁGONO REGULAR B
polígono regular son entre sí como 8 a 1. La medida
C
L6 R
L6 O
A
R
D
a6
R 3 2
a6 F
E
OCTÁGONO REGULAR C D
B L8
L8 R 2 2
A
O
E
R
a8
R 2 2 2
a8 H
b) 15º
d) 25º
e) 30º
[UNT – 10 – II] c) 20º
5. Calcula el número de diagonales de un polígono regular, si se sabe que las mediatrices de dos lados consecutivos forman un ángulo que mide 36. a) 27 b) 35 c) 104 d) 170 e) 175
F G
5.
a) 10º
4. En un pentágono ABCDE, el lado AE es paralelo al lado BC , calcula la suma de los ángulos E, D y C. a) 180° b) 360° c) 324° d) 270° e) 540°
60º
4.
del ángulo exterior es:
45º
6. En un hexágono regular ABCDEF; se ubica el punto medio M de EF ; AC BE {N } y AB=4m. Calcule
DECÁGONO REGULAR
MN. L 10
L10
O R
a10
a10
36º
R 2
5 1
R 10 2 5 4
a) 2 3 m
b) 2 2 m
d) 2 5 m
e) 2 6 m
c) 2 7 m
7. Si un polígono de “n” lados tuviera (n – 3) lados, tendría (n + 3) diagonales menos. ¿Qué polígono es? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 9
8. Pedro dibuja un polígono convexo, luego elige dos vértices consecutivos y traza de ellos todas las diagonales, contando en total 20. El número total de diagonales que puede trazar Pedro en dicho polígono, es: [CEPUNT – 07 – II] a) 54 b) 65 c) 77 d) 90 e) 104 9. En un octágono equiángulo ABCDEFGH, la medida del ángulo que forman las prolongaciones de AB y ED, es: [CEPUNT – 07 – II] a) 30º b) 37º c) 45º d) 53º e) 60º 10. Si el menor ángulo interno de un polígono convexo es 120º y los otros ángulos forman con éste una progresión aritmética cuya razón es 5; entonces el número de diagonales medias que pueden trazarse desde 5 lados consecutivos es: [UNT – EXCEL – 06 – II] a) 70 b) 65 c) 60 d) 55 e) 50 11. En un polígono regular, al aumentar en 5° cada ángulo interior, resulta otro, polígono regular que tiene un lado más que el polígono original. El número de lados del polígono original es: [UNT – EXCEL – 02] a) 8 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13Si
POLÍGONOS REGULARES 15. Hallar “x”
x
6 a) 45° d) 90°
3
b) 60° e) 120°
c) 75°
16. La figura muestra un pentàgono regular y un hexàgono regular, halle « x »
a) 132º
b) 130º
d) 124º
e) 136º
c) 128º
17. En el octógono regular mostrado, calcular el valor de "x".
12. En un icosàgono regular ABCDE … halle la medida del ángulo formado por las mediatrices de los lados AB y CD. a) 30º
b) 36º
d) 45º
e) 60º
c) 40º
a) 75º
b) 60º
d) 30º
e) 53,5º
c) 37,5º
18. Calcular la altura del trapecio ABCD, si R 3 1 , BC = 13. En un decágono convexo, calcule el máximo número de ángulos internos de medida 100º. a) 3
b) 4
d) 6
e) 7
c) 5
14. En un polígono convexo el número de triángulo que se forman al trazar sus diagonales desde uno de sus vértices es al número de diagonales como 4 es a 9.
L6 y AD = L3 a) 3/5 b) 1 c)
3 /2
d)
3 1
e)
3 1
B
C
A
D R
19. Sobre una circunferencia se toman los puntos
Halle el número de lados del polígono,
consecutivos A, B, C y D tal que BC = L5, AD = L3.
a) 4
b) 5
Halle la medida del ángulo formado por las
d) 7
e) 8
c) 6
prolongaciones de las cuerdas AB y DC a) 20º
b) 22,5º
d) 25º
e) 27º
c) 24º
20. En una circunferencia se encuentra inscrito un
26. Se
triángulo equilátero. Hallar el lado del hexágono
b)
d) 4
3
e)
3
c) 3
3
3
27.
2
AC miden 2 y 3, y forman un ángulo que mide 60º. Calcule R a)
21 3
b)
21 4
d)
20 2
e)
20 5
c)
5-1
c)
5 +1
e) 2 2 - 1
23. En un heptágono regular ABCDEFG se cumple:
1 1 1 AC AD 7 El perímetro del heptágono es: [Cepunt – 11 – I] a) 11
b) 14
d) 49
e) 56
ABCDE
y
d) 24º
e) 27º
c) 20º
Un icoságono regular ABC… y un pentadecágono ABMN…
están
ubicados
en
distintos
semiplanos respecto a AB Calcule: mMCB. a) 72º
b) 36º
d) 69º
e) 60º
c) 24º
Tarea domiciliaria
de la longitud de su apotema?
pentágono original. b) 2 2
regulares
1. ¿Cuál es el polígono regular, cuyo lado mide el doble
pentágono regular cuyo lado mide 1. Halle el lado del
d)
b) 45º
21 2
22. Se une los puntos medios de los lados de un
a) 2 2 + 1
a) 72º
regular
21. En una circunferencia de radio R, las cuerdas AB y
polígonos
a AB, Calcule: mUAE.
de la circunferencia es 6.
3
los
ABPQRSTU, ambos en un mismo semiplano respecto
regular inscrito en el triángulo equilátero. Si el radio
a) 2
tienen
c) 28
a) Octógono
b) Decágono
c) Cuadrado
d) Hexágono
e) Triángulo equilátero 2. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono regular si su ángulo interior es el triple de su ángulo central? a) 9 b) 14 c) 20 d) 27 e) 35 3. Si se quintuplica el número de lados de un polígono convexo la suma de las medidas de sus ángulos internos quedaría multiplicada por siete. ¿Cuál es el polígono? a) cuadrilátero b) pentágono c) hexágono d) octógono e) heptágono 4. Se tienen dos polígonos cuyo número de lados están en la razón de 5 a 3 y además la suma de sus
24. En un hexágono regular ABCDEF de lado a, las
números de diagonales es 117, calcular la diferencia
prolongaciones de AE y CD se cortan en el punto K.
del número de diagonales que se pueden trazar desde
halle KB.
un solo vértice en dichos polígonos.
a) a 11
b) a 12
d) a 14
e) a 15
c) a 13
a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
5. ¿Cuántos lados tiene el polígono en el cual su número 25. En un hexágono equiángulo ABCDEF, AB = CD =
de diagonales excede en 18 a su número de vértices?
EF, BC = DE = AF, BF = 16. Halle la distancia del
a) 7
b) 8
vértice D a la diagonal BF.
d) 13
e) 15
a) 8 3
b) 9 3
d) 9
e) 4
c) 8
c) 9
6. Hallar el número de diagonales de un polígono, cuya suma de sus ángulos interiores es 900°. a) 13 d) 15
b) 13 e) 16
c) 14
7. Hallar el número de diagonales de un polígono regular cuyo ángulo externo mide 40°. a) 18 b) 20 c) 27 d) 30 e) 32
14. Calcule la suma de las medidas de los ángulos internos de un Polígono Regular ABCDE…, de “n” lados; si AC CE a) 540º b) 720º c) 1080º d) 1200º
8. La suma de los ángulos interiores de un polígono equivale a 56 ángulos rectos, cuántos lados tiene dicho polígono. a) 23 b) 28 c) 30 d) 32 e) 35 9. ABCDEF es un hexágono regular. ¿Cuánto vale la suma: mCAE + mCFE? a) 110° b) 115° c) 120° d) 125° e) 135°
e) 1260º
15. La suma de las medidas de cinco ángulos internos de un polígono convexo es 760º.Calcule la suma de las medidas de los ángulos externos correspondientes a los vértices restantes. a) 190º b) 200º c) 220º d) 225º
e) 230º
16. Si ABCDE y ABP son polígonos regulares, halle mDPE
10. En un polígono regular de “n” lados ABCDE... las prolongaciones de AB y ED se cortan en “R”. Hallar “n”, si mBRD = 126°. a) 9º b) 14º c) 20º d) 27º e) 35º 11. En un polígono se cumple que el número de diagonales medias, menos el número de diagonales es a. ¿En cuánto debe disminuir el número de lados para que la diferencia anterior sea b? 2a b a) 2
d)
ab 2
b) 3a – b
c) a – b
a) 60º d) 90º
b) 65º e) 94º
c) 84º
17. Sea el hexágono regular ABCDEF de lado 8, halle la
e) 2a – b
distancia de P al lado BD.
12. El polígono equiàngulo ABCDE … es de «n» lados y el polígono equiàngulo MNCDP … es de (n – 2) lados. Halle « n»
a) 10
b) 11
d) 14
e) 18
c) 12
13. En un polígono desde los (n – 4) primeros vértices se han trazado (3n – 3) diagonales, halle el número de lados del polígono. a) 1 b) 8 c) 9 d) 10
e) 11
a) 1,5
b)
d)
e) 2 2
3
2
c) 2
18. En un dodecágono equiángulo ABCDE…. halle el ángulo formado por las mediatrices de los lados AB y DE a) 60º
b) 72º
d) 98º
e) 100º
c) 90º
19. Halle el número de lados de un polígono, si de 4 vértices consecutivos se trazan 17 diagonales. a) 5
b) 6
d) 9
e) 9,5
c) 8
20. En un polígono equiángulo ABCD…. La suma de las medidas de sus ángulos interiores es igual al triple de la suma de las medidas de sus ángulos exteriores. Halle AC, si AB = 6 2 y BC = 2. a) 9
b) 5 2
d) 4 3
e) 4 2
c) 10
