ACADEMIA PRE UNIVERSITARIA “VESALIUS”
EXCELENCIA 2012 ASIGNATURA: GEOMETRÍA
PROFESOR: Erick Vásquez Llanos
FECHA: 11 – 08 – 2012
Nº 05- CIRCUNFERENCIA I.
CIRCUNFERENCIA – CONCEPTOS BÁSICOS
Es el lugar geométrico de los puntos de un plano, dichos puntos equidistan de un punto interior
( MP : flecha)
R L1
5.
6.
A
A
llamado
t
CENTRO. La distancia de un punto cualquiera de la circunferencia al centro se denomina RADIO.
P
o
t
R
B
P
B
ELEMENTOS Centro: O Radio : OB R
E
C
Diámetro: AB 2R
F A
Si: PA y PB son tangentes PO : bisectriz
Cuerda: BC
B
O
Si: A y B son punto de tangencia PA = PB
7. TRIÁNGULO DE PITHOT
Flecha: EF
m
Arcos: AC, CE …
T
a
Cuadrante: BOT
b
a+b=m+ n
Longitud: 2R n
01. PROPIEDADES 1.
8. TRIÁNGULO DE PONCELET
2.
B
A C
B
a+b = c+2R
C
b
D
a
R
c
A
D II.
Si: AB // CD
Si: AB = CD mAB mCD
mAC mBC
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
1. Ángulo Central Ejm:
3.
80º
4.
A M
a
o
L1
P
Si: R AB AM = MB
x
T
a B
R
O R
x=
o R
Si: “T” es punto de tangencia
x O x = .....
III.
CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE EN UNA CIRCUNFERENCIA: Un cuadrilátero será inscriptible si cumple por lo menos una de las siguientes condiciones:
2. Ángulo Inscrito Ejm: 100º
x
x
1. Que la suma de las medidas de los ángulos internos opuestos sea 180°.
x = .....
x= 2
B
C
3. Ángulo Semi – inscrito
T
x
A
Es decir:
x
x= 2
Si, + = 180°, entonces el
T
240º
D
2. Que la medida de un ángulo interior sea igual a la medida del ángulo exterior opuesto.
x = .....
B
4. Ángulo Interior
C
80º x
x
A
60º x= 2
Si, = , entonces
x = .....
ABCD es inscriptible.
3. Que las medidas de los ángulos determinados por las diagonales con los lados opuestos sean de igual medida.
B
x= 2
60º
D
Es decir:
5. Ángulo Exterior
x
ABCD es inscriptible.
A
T
x
30º
100º
D
Es decir: x
Si, = , entonces el
120º x = .........
C
ABCD es inscriptible.
Circunferencia - Propiedades x = .........
01.
En una circunferencia de 20 cm de diámetro, la longitud de la cuerda que limita un arco
6. IMPORTANTE:
de 60°, en cm, es: t x
t
x+ =180º
a) 9
b) 10
d) 12
e) 13
02.
[CEPUNT – 09 – I] c) 11
Se da una circunferencia inscrita a un triángulo rectángulo cuyos lados miden 18 cm, 24 cm y 30 cm. El diámetro de dicha circunferencia, en cm, es:
a) 12
b) 15
d) 18
e) 20
[CEPUNT – 09 – I] c) 16
03. Sobre una circunferencia se toman tres puntos A, B y C tal que AB=BC=15m y AC=24m. Entonces la longitud de la circunferencia, en metro, es: a) 20 d) 24
b) 22
[UNT – 11 – I] c) 23
e) 25
AB 8; BC 11; CD 10 =10 y O es el centro de la circunferencia. Si
AO 5 , entonces el inradio del
triángulo AMO es: [UNT – 10 – I] a) 9
b) 7
d) 3
e) 1
c) 5
04. Si en una circunferencia, se observa que dos cuerdas Ángulos en la circunferencia
PQ y RS se cortan perpendicularmente en un punto M de modo que: PM = MS = 21m y RM = MQ = 3m entonces el radio de dicha circunferencia, en
08. Calcular “x” a) 60º
metros es: [Cepunt – 11 – I]
a) 10
b) 15
d) 20
e) 25
c) 18
120º
b) 80º c) 70º
x
d) 30º
140º
e) 40º 05. Haciendo centro en los vértices de un triángulo ABC, se trazan circunferencias tangentes dos a dos. Si AB =
09. Del gráfico, calcule m APB
5, AC =7 y BC =8, entonces el radio de la
B
P
circunferencia menor es: a) 1,0
b) 2,0
d) 2,5
e) 4,0
40°
[UNT – 11 – II] c) 3,0
A O
06. En la figura mostrada, si AC = 26 y BC = 22, halle R, siendo “T” punto de tangencia y “=” el centro
a) 80°
b) 100°
d) 150°
e) 160°
c) 120°
10. En el gráfico, calcular “x”. R 50° P Q x
a) 10 d) 14 07. En la figura
b) 12 e) 15
c) 13
a) 20°
b) 25°
d) 35°
e) 40°
c) 30°
11. En el gráfico, calcule m PQB Q
P 50° A
a) 100°
b) 150°
d) 200°
e) 180°
O
c) 160°
B
16.
12. En el gráfico calcule la m AB.
Según el gráfico el valor de “x” si arcoBC.
arco AB =
B A 50°
a) 20° d) 40°
b) 30° e) 50°
c) 45°
13. Halle el valor de “x” en la figura siguiente:
a) 35 d) 65
17.
14.
a) 45°
b) 36°
d) 27°
e) 18°
c) 30°
b) 45 e) 75º
c) 55
Según la figura mostrada. Calcular el arcoQP si: arcoDE = 80º
a) b) c) d) e)
80 160 150 75 185
Según el gráfico, calcular arcoAB (P, Q y T son puntos de tangencia) 18.
a) 140º
Hallar “x”.
b) 150º c) 180º d) 160º e) 135º
15.
Según el gráfico, calcular “x”. Si O’ y P son puntos de tangencia.
a) 100º
b) 120º
d) 150º
e) 160º
19.
A) 15º B) 18º C) 20º D) 22º30’ E) 30º
a) 15 d) 30
b) 20 e) 40
c) 25
Hallar “x”, si L1 // L2
c) 140º
24. En la figura el valor de “a” es: Cuadrilátero inscriptible 20.
a) 10º b) 15º
En la figura calcular “x”
c) 22º30’ d) 37º e) 30º
25. En la figura, calcular “x” siendo UNCP un cuadrado. a) 1 d) 5
21.
b) 2º e) 6°
c) 3°
En la figura calcular “x” a) 14° b) 28° c) 32° d) 62° e) 24°
a) 15º d) 45º
b) 30º
c) 40º
e) 90º
22. Calcular mCAB en: 26. En la figura, calcular “x”
a) 27º d) 31º
b) 28º e) 32º
c) 30º
23. Del gráfico, calcular “x” em función de “”
a) 25º
b) 27º
d) 36º
e) 45º
c) 30º
27. En la figura mostrada, calcular “”
a) 90º- c) 90º + d) 45º +
b) 60º + e)
a) 9º d) 15º
b) 10º e) 18º
c) 12º
5.
Tarea domiciliaria 1.
Hallar “R”, si AB = BC = 6 cm.
En el trapecio rectangular ABCD, recto en A y B, DT = 8cm y CT = 2 cm, el perímetro de dicho trapecio, en centímetros, es: A) 3 cm B) D) 6 cm E)
6.
3 cm C) 4 3 cm 3 3 cm
Hallar “x”, si: m AB = 80º. a) 20º b) 40º
[UNT – 11 – II] a) 16
b) 18
d) 27
e) 30
c) 50º
c) 36
d) 60º e) 80º
2.
De la figura mostrada, calcule “x”
7.
Hallar AE, si m CDF = m FDB y
AD = 5cm
a) 70º b) 110º
a) 2cm
c) 140º
b) 3cm
d) 100º
c) 5cm
e) 105º
d) 7cm e) 12cm
3.
Según la figura arcoBAD = 12m ABN. Calcular m BCD. a) b) c) d) e)
4.
8.
En la figura mostrada AB = r. Hallar la relación correcta.
100º 110º 135º 140º 144º
a)
b
d
e
Según el gráfico r = 20 y arco OA = 74º. Calcular AB. (T es punto de tangencia) 9. En la figura: Calcular “x”. a) 60º b) 80º c) 50º d) 30º e) 40º a) 16 d) 35
b) 17 e) 36
c) 32
c
10.
En el gráfico calcular “x”; si
15.
m AB = m BC = m CP
Hallar xº.
a) b) c) d) e)
a) 120º b) 130º c) 140º
60º 80º 70º 50º 40º
d) 150º e) 160º
11.
16. a) b) c) d) e)
Si m AP = m PQ = m QB y AO =2 3 .
Hallar PR. a)
3
b)
3 /2
Hallar xº, si: m AB = 40º
17.
50º 60º 70º 80º 65º
Calcular “x” si AB=BC y m FDC=
c) 2 d) 3 e) 1
12.
En la figura m a – m c = 40º, m y n son puntos medios de los arcos, hallar x.
a) 60º b) 70º c) 80º
a) 90º+ d) 45º +
18.
b) 60º + e)
c) 90º -
Calcular “x” en
d) 50º e) 90º
13.
Hallar R. Si: CH = 5u y CE = 4u. a) 10º d) 50º
a) 7u b) 8u c) 9u
19.
b) 20º e) 80º
c) 30º
En la figura “O” ES centro, T es un punto de tangencia y
m TC = 40º. Calcule “x”
d) 10u e) 12u 14. a) b) c) d) e)
Hallar xº. 40º 50º 60º 72º 45º a) 60º
b) 65º
d) 75º
e) 80º
c) 70º
20.
En el cuadrado ABCD, P y Q son puntos de tangencia. Hallar mPCH
a) 10º
b) 15º
d) 37º
e) 30º
c) 22º30’
