Mecánica I Curso 2012-13 2012-13
Relación Relación 6: Ondas Ondas
1. La figura muestra un pulso en una cuerda de lon-
5. Una cuerda de piano de longitud L, se encuentra
gitud 199 m con los extremos fijos. El pulso viaja hacia la derecha sin deformarse a una velocidad de 40 m/s. (a) Dibuje un esquema de la variación de la velocidad transversal con la distancia a lo largo de la cuerda en el instante en el que el pulso se encuentra en la posición indicada en la figura. (b) Determine de forma aproximada el valor máximo de la velocidad transversal. (c) Si la masa de la cuerda es de 2 kg, determine el valor de la tensión a la que está sometida. (d) Escriba una ecuación para y(x, t) que describa una onda sinusoidal de longitud de onda 5 m, amplitud 0, 2 m que viaje en el sentido negativo de la dirección x en una cuerda muy larga hecha del mismo material y sometida a la misma tensión.
fija por los dos extremos. La cuerda tiene una densidad de masa µ y se encuentra sometida a una tensión τ . τ . (a) Determine la solución para las vibraciones de la cuerda y encuentre las frecuencias y longitudes de onda permitidas. (b) En el instante inicial, la cuerda es separada por su centro una distancia h (h L), de manera que su forma es la de un triángulo isósceles, y luego se suelta. Encuentre el movimiento subsecuente de la cuerda.
≪
6. Suponga una cuerda de densidad de masa unifor-
me µ y longitud L. La cuerda se encuentra libre por uno de sus extremos y por el otro se encuentra sujeta a un eje vertical que gira con velocidad angular ω (se desprecia la gravedad). Determine la ecuación para pequeñas oscilaciones transversales en la cuerda, y encuentre las frecuencias posibles. 7. Una cuerda flexible de densidad de masa unifor-
2. Considere que las oscilaciones de presión en un
tubo hueco de longitud L vienen vienen descritas descritas por: p( p(z, t) = [A coskx + B sen kx]cos kx]cos ωt Determine los valores de A, B , k and ω si el tubo está abierto por los dos extremos y p(x = L/2 L/2, t = 0) = p0 . 3. Considere la función de onda: i(kx −ωt)
Ψ(x, Ψ(x, t) = Ae
en donde ω y v son cantidades complejas y k real: ω = α + iβ v = u + iw Demuestre que la onda decrece con el tiempo. Utilice la relación k 2 = ω2 /v 2 para obtener unas expresiones de α y β en función de u y w. Determine la velocidad de fase. 4. Una cuerda de guitarra de 80 cm de largo tiene
una frecuencia fundamental de 400 Hz. En su modo fundamental el máximo desplazamiento, en el centro de la cuerda, es de 2 cm. Si la tensión es de 106 din, determine el valor máximo de la componente vertical de la fuerza en el extremo de la cuerda.
me µ y longitud L se encuentra colgando libremente sujeta por uno de sus extremos. (a) Determine la ecuación diferencial que describe las pequeñas oscilaciones transversales en la cuerda. (b) Resuelva la ecuación diferencial utilizando el método estándar de las serie de potencia. (c) Determine de forma aproximada las frecuencias de los modos más bajos. 8. Una cuerda flexible tiene una densidad de masa uniforme µ y longitud L. La cuerda se encuentra fi ja por sus extremos en x = 0 y X = L sujeta a una tensión τ . τ . Por la cuerda se propagan pequeñas vibraciones transversales pero hay presente una fuerza de fricción dependiente de la velocidad: la fuerza de fricción es kv∆ kv ∆x en donde v es la velocidad transversal de un pequeño elemento de cuerda de longitud ∆x y k es una constante. (a) Demuestre que la ecuación de onda puede escribirse como:
−
∂ 2 y ∂y ∂ 2 y +a =b 2 ∂t 2 ∂t ∂x y determine los valores de a y b. (b) Determin Determinee las soluciones soluciones de la forma: forma: y (x, t))X ))X (x)T ( T (t)
(c) Suponga que las condiciones iniciales son: y(x, 0) = 0 3πx 5πx + B sen L L en donde A y B son constantes. Determine y(x, t). (d) Suponga ahora que a = 0 y que las condiciones iniciales son:
13. Resuelva el problema anterior si la cuerda si la
deformación inicial de la cuerda es de forma triangular pero con el pico a una distancia L/5 de su extremo final.
y(x, ˙ 0) = A sen
y(x, 0)
{
Ax, A(L
0 0
− x),
9. Supongamos una cuerda de longitud L fija por sus
extremos, que comienza a oscilar partiendo del reposo de manera que su forma inicial es:
∂y(x, 0) ∂t
0
=0
0
t=0
∂y(x, 0) ∂t
≤x≤L
≤x≤L
10. Supongamos una cuerda de longitud L fija por sus
extremos. La cuerda se encuentra inicialmente recta e inicia su movimiento con un perfil de velocidades, de manera que sus condiciones iniciales son las siguientes:
15. Determine la transformada de Fourier de la fun-
ción: F (t) =
t=0
0
≤x≤L
Determine la forma de la onda y(x, t). 11. Una cuerda de longitud L fija por sus extremos
comienza a oscilar a partir de las condiciones iniciales: y(x, 0) = A sen(3πx/L) ∂y(x, 0) ∂t
=0
t=0
Determine la forma de la onda y(x, t). 12. Supongamos una cuerda de longitud L fija por
sus extremos comienza a oscilar partiendo del reposo de manera que su forma inicial es: F (x) =
2hx L
x L
(− )
2h 1
≤ x ≤ L2 L x≤L 2 ≤
0
(a) Determine la forma de la onda y(x, t). (b) Determine la energía de las oscilaciones.
βe 0
αt
t 0 t<0
−
≥
ción pulso:
x(t) =
nπx L
= V 0 sen
16. Determine la transformada de Fourier de la fun-
y(x, 0) = 0
=0
t=0
13-7. Una cuerda es estirada verticalmente una distancia h a una distancia 3L/7 de uno de sus extremos. A una distance 3L/7 del otro extremo se estira en sentido contrario una distancia h. Discuta el movimiento de la cuerda.
Determine la onda en la cuerda mediante el método de D’Alembert.
∂y(x, 0) ∂t
Encuentre las frecuencias características y determine la amplitud de modo n.
Determine y(x, t).
nπx L
tud L fija por sus extremos si sus condiciones iniciales son: y(x, 0) = 4x(Lx)/L2
≤ x ≤ L/2 ≤ x ≤ L/2
˙ 0) = 0 y(x,
y(x, 0) = A sen
14. Determine el movimiento de una cuerda de longi-
0 A 0
t < τ /2 τ /2 < t < τ/2 t > τ/2
−
−
17. Determine la transformada de Fourier de la fun-
ción: x(t) = A cos2πω 0 t 18. Determinar la velocidad de grupo y de fase de
las ondas que se propagan en una cuerda discreta, con vector de onda k. 19. El movimiento de la onda de longitud de onda
corta en el agua está controlado por la tensión superficial. La velocidad de fase de estas ondas viene dada por 2πσ v(lambda) = λρ
en donde ρ es la densidad del agua, σ la tensión superficial y λ la longitud de onda. Determinar la velocidad de grupo para un grupo de ondas con longitudes de onda próximas a λ , y explicar cómo se observa el movimiento de este grupo de ondas en la superficie del agua.
20. La relación de dispersión en un cierto medio se
25. La ecuación de ondas de un sistema físico unidi-
indica en la siguiente figura. Explicar de forma cualitativa los valores relativos de las velocidades de grupo y de fase, en el intervalo representado.
mensional viene dada por: 2 ∂ 2 y 2 ∂ y = v ∂t 2 ∂x 2
− γ 2y
donde todas las magnitudes se expresan en el SI. (a) Calcule la relación de dispersion, la velocidad de fase y la velocidad de grupo. (b) Determine para que longitud de onda la velocidad de grupo es igual a la mitad de la velocidad de fase. 26. Un pulso de ecuación:
21. Considere un paquete de ondas en el que la dis-
− x
Ψ(x, t) = Ψ0 sech
x0
tribución espectral es de la forma: A(k) =
1 0
|k − k0| < ∆k
para otros valoes de k
Demuestre que la función de onda es: 2 sen[(ω0 t x)∆k] i(ω e ω0 t x ′
Ψ(x, t) =
′
− −
o
t−k0 x)
22. Una cuerda de piano con cierta rigidez a la fle-
xion tiene una ecuación de evolución para las ondas que se producen al pulsarla dada por: ∂ 2 y v2 2 ∂x
−
∂ 4 y β 2 4 ∂x
∂ 2 y = 2 ∂t
(a) Calcular la relación de dispersion, la velocidad de fase y la velocidad de grupo. (b) Calcular los modos normales de una cuerda de un metro de longitud sujeta por ambos extremos.
vt
se propaga por una cuerda de densidad lineal de masa y tensión τ . Sabiendo que x0 = 1 m, τ = 10 N y la amplitud del pulso es Ψ0 = 1 cm, calcular la energía que transporta el pulso. 27. Un pulso gaussiano de ecuación :
Ψ(x, t) = Ψ0 e
(x−vt )2 /x20
−
se propaga por una cuerda de densidad lineal de masa y tensión τ . Calcular la energía que transporta el pulso. Evaluar dicha energía sabiendo que x0 = π/2, τ = 10 N y la amplitud del pulso es Ψ0 = 1 mm.
√
28. La relación de dispersión de ondas superficiales
en aguas profundas es: ω2 = gk +
σ 3 k ρ
23. La ecuación de ondas de un sistema físico unidi-
mensional es: 2 4 ∂ 2 y 2 ∂ y 2 ∂ y = α β γ 2 y ∂t 2 ∂x 2 ∂x 4 Determine la longitud de onda para que la velocidad de fase y de grupo coincidan.
−
−
24. La ecuación de ondas de un sistema viene dada
por:
∂ 2 y
∂ 2 y
∂ 4 y
= +α 4 ∂t 2 ∂x 2 ∂x donde α es una constante con las dimensiones adecuadas. Determine: (a) La relación de dispersion. (b) La velocidad de fase. (c) La velocidad de grupo. (d) La longitud de onda para que la velocidad de fase y de grupo coincidan.
en donde g es la gravedad, σ la tensión superficial del agua y ρ la densidad. Cuando se realizan experimentos en agua pura σ = 70 din/cm se observa que para una cierta longitud de onda λc las velocidades de fase y de grupo son iguales. Al añadir jabón al agua cambia la tensión superficial pero la densidad prácticamente no se modifica. Entonces se observa que las velocidades de fase y de grupo son iguales para una longitud de onda igual a λc / 2. Calcular la tensión superficial del agua jabonosa y la longitud de onda crítica.
√
29. Consideremos una cuerda formada por dos por-
ciones de diferentes densidades, ρ1 en la región 1 where x < 0 and ρ1 en la región 2 where x > 0. Un tren de ondas continuo incide desde la izquierda (desde los valores negativos de x). Determine la relación de los cuadrados de las amplitudes de la onda reflejada y transmitida en relación con la onda incidente.
30. Una cuerda larga de densidad de masa µ y tensión
34. Calcular la energía necesaria para hacer que una
τ se encuentra unida por uno de sus extremos a una argolla de masa despreciable m 0. La argolla puede deslizar sobre un alambre vertical y experimenta en su movimiento una fuerza:
cuerda de longitud L y masa m, cuyos extremos están fijos y esta sometida a una tension τ , vibre con un único nodo y una amplitud A = L/π.
→
F y )
− b ∂y ∂t
(a) Determine la condición de contorno en el extremo de la cuerda unida a la argolla. (b) Demuestre que la condición de contorno es satisfecha para un pulso incidente f (x vt) y un pulso reflejado g(x + vt). Determine g en función de f . (c) Demuestre que el resultado es correcto en los límites b 0 (movimiento libre de la argolla) y b infty (argolla fija).
−
→
→
35. Un detector acústico de movimiento emite una
señal de 50 kHz y recibel la señal del eco. Un objeto se detecta si la señal de eco es mayor que la emitida al menos 100 Hz. Si la velocidad del sonido en el aires es de 330 m/s, determine la velocidad con la que un objeto debe moverse para poder ser detectado. 36. La velocidad de la sangre en una arteria puede
ser medida utilizando el efecto Doppler. Suponga que un sonido de frecuencia 1, 5 106 Hz es reflejado por el flujo sanguíneo que se mueve a 1 m/s. Asumiendo que la velocidad del sonido en los tejidos es de 1500 m/s y que el sonido incide a un ángulo muy pequeño (despreciable), determine el corrimiento en frecuencia entre la señal incidente y la reflejada.
×
37. La velocidad del sonido en la atmósfera es 300
31. Considere una cuerda infinitamente larga con
densidad lineal de masa ρ1 para x < 0 y para x > L, y densidad ρ2 > ρ1 para 0 < x < L Si un tren de ondas con frecuencia angular ω incide desde la izquierda sobre la región de densidad ρ2 , determine las intensidades transmitidas y reflejadas en las diferentes regiones de la cuerda. Encuentre el valor de L que hace que la transmisión sea máxima hacia la zaona de densidad alta.
m/s. Un avión viaja con velocidad 600 m/s a una altitud de 8000 m sobre un observador. ¿A qué distancia se encontrará el avión del observador cuando éste oye el estampido? 38. Se deja caer un diapasón vibrante de 440 Hz des-
de una torre de 100 m de altura. (a) Determine la frecuencia escuchada en lo alto de la torre en función del tiempo. (b) Determine la longitud recorrida por el diapasón cuando se oye un sonido de frecuencia 400 Hz. 39. Un globo aerostático asciende con velocidad cons-
32. Considere una cuerda infinitamente larga someti-
da a una tensión τ . En la posición x = 0 se encuentra situada una masa M . Si un tren de ondas con velocidad ω/k incide desde la izquierda, demuestre que en x = 0 se produce reflexión y transmisión y que los coeficientes de reflexión R y transmisión T vienen dados por: R = sen2 θ T = cos2 θ
tante v y lleva una bocina que emite un sonido de frecuencia f . Un observador en el suelo se encuentra a una distancia d del punto de partida del globo. (a) Calcule la frecuencia percibida por el observador al cabo de τ segundos. (b) Suponga que el observador se aleja con velocidad constante w desde su posición inicial. Determine la frecuencia percibida por el observador al cabo de τ segundos. 40. Un observador se encuentra en lo alto de una to-
en donde: tan θ =
M ω2
2kτ Determine el cambio de fase de las ondas reflejada y transmitida. 33. Determine la energía y la potencia transportada
por una onda estacionaria de ecuación: Ψ = Ψ 0 sen kx cos ωt donde k es el vector de onda y ω la frecuencia angular, en una cuerda de densidad lineal de masa µ.
rre de altura h. A una distancia d del pie de la torre una automóvil que se dirige hacia ella con velocidad constante v hace sonar una bocina que emite un sonido de frecuencia f . Si el aire se mueve con velocidad w en dirección contraria a la del automóvil, determine la frecuencia percibida por el observador situado en lo alto de la torre. 41. Determine la intensidad de los tres primeros má-
ximos subsidiarios, en términos de la intensidad I (0) del máximo central, del patrón de difracción de una rendija rectangular larga y estrecha.
42. Demuestre que la intensidad de los máximos sub-
sidiarios, en términos de la intensidad I (0) del máximo central, del patrón de difracción de una rendija rectangular larga y estrecha pueden aproximarse por: I n = I (0)
[
1 n + 12 π
( )
]
2
43. Derive una expresión aproximada para la anchu-
ra angular de intensidad mitad del máximo central del patrón de difracción de una rendija rectangular larga y estrecha. 44. Determine el número de franjas brillantes que
existen dentro del máximo central de difracción del patrón de intensidad de un sistema de doble rendija
si la relación entre las anchuras de las rendijas, a y la separación entre ellas d es d = 3a. 45. Dibuje el esquema correspondiente a la distribu-
ción de la intensidad a una distancia muy grande para un sistema de doble rendija si la anchura de cada una de ellas es a = 0, 1 mm y están separadas una distancia d = 0, 6 mm. 46. Determine la posición de los máximo principales,
los máximos subsidiarios y los mínimos de intensidad del patrón de difracción (en campo lejano) de un sistema de N rendijas. 47. Dibuje un esquema del patrón de difracción (en
campo lejano) de un sistema de 6 rendijas paralelas separadas una distancia d tal que d = 4a, en donde a es la anchura de cada rendija.
