Capítulo
POLÍGONOS REGULARES
13 PO LÍGO NO S REGULA REGULA RES
A
I II II .
H e x ág on o n o R eg eg u l ar ar
º
F
H
l n
B
R º
l n
R
E
º
O
l
En el AO B: 6
A
R
º = 60°
O
R
* *
Pol Polígon ígono o regular ABC ......, ......, de n lados dos C entro : O
*
C ir ircunradi o : R
B
* * *
O ct c t óg óg o no no Re R e g u l ar ar
A
A rco o ) C entral entral :
º
En el AO B:
R
360º n
45°
O
Lado Lado de del políg olígon ono o ins inscrito ito : l n A potem a: O H Ele Elemen mento representativ ativo o : A O B
l
8
l8
R
2
R 2 R 2 2RCos45
2
2R 2 2R 2
l8
B
l8 °
CÁLCULO D EL LADO DE POLÍGON OS REGULARES MÁS USUALES I.
R
C
I V. V.
*
m A B = 60° l6
60°° 60
D
C
=
2 2
R 2 2
= mA B = 45°
C Á L C U L O D E L A P O T EM EM A ( A p )
Tr i án gu gu l o E qu qu i lá l át er er o
En el A O B:
A C º=
En AOB: =
120 20°° l3
R A
l 3
l3
O
mAB = 120°
O
Ap2 R 2
R A pot potema ema
R 3
l n
ln 2
R
60° 60°
Ap
B
30°
Ap2 2
l n2 4
4R 2 - l n2 4 1 2
4R
2
l n2
B
R 3 2
II.
D I V I S I ÓN ÓN D E U N S E G M E N T O E N M E D I A Y E X TR TR E - MA RAZÓN RAZÓN
C u ad r ad o
Por definición : D
= 90°
R
A
=
O
l4
º
mAB = 90 90°°
l4 R
l4
x2 l ( l
En el AO B:
C
l4
B
R
2
entonces, la solución es :
l
A
x
C
( A C> C > C B) B)
x)
B x
l(
5 1) 2
*
sea " x") x" ) es la sec sección ción áurea de A B . A C ( o sea
*
( 5 1) 2
se le denomina número áureo..
1
POLÍGONOS REGULARES
A rco o <) central
Triángulo
120°
l3
R
3
C uadrado
90°
l4
R
2
H exágono
60°
l6
R
Pentágono
72°
l5
O ctógono
45°
l8
D ecágono
36°
l 10
R(
D odecágono Regular
30°
l 12
R
l
A
x
R 2
R
10 2 5 2
2
5 1) / 2 2 3
Si x es la sección áurea de AB. x l ( 5 1) / 2
B R : circunradio
2
L ado
Test de apr endi zaj e preli m in ar 01.
Si: "O ": centro, "T ": punto de tangencia. C alcular: "x".
04.
Si:
AB A
x l
l3 ;
AD
l6
; BC
l4
B
T
C
6
O R D
C A
Entonces, C D es:
02.
05.
D el gráfico, calcular : "x". l
6
Si: A B
l3 ;
CD
l10 .
Entonces, x° mide:
A C
x O
x°
l3
P
D
R
B
03.
C a lcular " x" .
06. l
l5
8
Si : R = 6, AB
l3 ,
entonces, O M mi de :
A
M B O
R
x
3
07.
Calcular: x°, si : AB
l4 ;
AD
.
l3
10.
D el gráfi co, l 4 circunferenci a.
4 , calcular el radio de la
B x
A
C
l
A
B 4
O R
D
08.
En la figura mostrada se cumple: A B // C D , m ) A EC 14 y A B es el lado del pentágono regular inscrito en la circunferencia. H allar m ) A ED .
A
Practi quemos :
B
C
D
11.
¿Cuál es el polígono regular cuyo lado es el doble de su apotema?
12.
C alcular la relación entre el inradio y circunradio de un triángulo equilátero.
13.
En un pentágono regular A BC D E, se traza BE y A C que se intersectan en "F". Si: EF 7 , calcular el lado del pentágono.
E
09. H allar : m ) A BC . l
A
O
3
B
l
4
R C
4
14.
En una circunferencia de radio R , se tiene una cuerda A B que mide R 3 . ¿D e qué polígono regular el segmento A B es un lado?
15.
U n triángulo equilátero está inscrito en una circunferencia de radi o 6. H allar el lado del hexágono regular inscrito en el triángulo.
16.
D iga cuánto mi de el lado de un hexágono regular circunscrito a una circunferencia de radio igual a 4 3 .
19.
C alcular la longitud de una de las diagonales de un pentágono regular cuyo lado mide 2.
20.
Si el lado de un pentágono regular mide ( 5 1) metros, hallar la suma de las longitudes de todas sus diagonales.
Pr oblemas pr opu esto s 21.
En un triángulo A B C inscrito en una circunferencia, se tiene que : A B = l3; A C = l4. C alcular la medida del lado B C , si la medida del radio de la circunferencia es 2. a)
3 2
d) 2 3 17.
U n cuadrado y un hexágono regular se inscriben en una misma circunferencia; la razón de sus apotemas es:
22.
18.
En una misma circunferencia, el cociente del perímetro del hexágono regular circunscrito entre el perímetro del hexágono regular inscrito, es de:
c)
6
3
Se tiene un octógono regular inscrito en una circunferencia de radio igual a 3 2 . H allar el perímetro de aquel polígono que se obtiene al unir consecutivamente los puntos medios de sus lados. b) 18 e) 48
c) 20
D ado un dodecágono regular inscrito en una circunferencia de radi o 4 cm. H allar el perímetro del polígono que se obtiene al unir los puntos medios de sus lados. a) 12 cm d) 30 cm
24.
6 2
e) 2 3
a) 12 d) 24 23.
b)
b) 18 cm e) 36 cm
c) 24 cm
D ado un cuadrado de lado "L ", a partir de cada vértice y sobre cada lado se toma un segmento "x", de tal manera que al retirarlos y unir los extremos libres se forme un octágono regular. H allar "x" . 2)
b)
L ( 2 1) 2
2 1)
e)
L ( 2
a)
L (2 2
d)
L ( 2
c)
L ( 2 1) 2
2 2) 5
25.
En un hexágono regular ABC D EF de lado 13 , las prolongaciones de la diagonal A C y el lado EF se cortan en "P ". H allar PD . a) 10 d) 13
26.
b) 11 e) 6,5
c) 12
En un polígono regular A BC D EF... se cumple que 7(m ) B AC ) = m ) A BD , A C = 2 5 . C alcular el
32.
radi o de la circunferencia circunscrita a di cho polígono.
27.
a)
10 2 5 b)
d)
5 1
e)
2 3
c)
c)
L 2n
2R 2 R 4R 2 L 2n
d)
L 2n
2R 2 R 4 R
e)
L 2n
2R 2 R 3R
Ln
L 2n 2
U na ventana cuadrada de lado 60 cm tiene la forma del di seño da do. L as curva s son a rcos de circunferencia. Entonces, la longitud de fierro usado en la construcción de la ventana, es:
5 1
10 2 5
U n triángulo equilátero está inscrito en una circunferencia de radio 2m. C alcular la suma de las alturas del triángulo. a) 6 m
b) 6 3 m
d) 9 3 m
e) 8 3 m
c) 9 m
a) 120(1 2 2) m
b) 120( 2 2 ) m
c) 240(1 2 ) m
d) 240( 2 2 2 ) m
e) 120( 2 2 2) m 28.
En un triángulo rectángulo A BC recto en B, se traza la ceviana BF, tal que : AB = FB, m ) FBC = 60°; y AC
33.
medio del lado BC y D es punto medi o del arco A C .
2 2 3 m . H allar la longitud FB .
a) 1 m d) 2 m
b) 2 m e) 2 2 m
c)
En la figura, el triángulo A BC esequilátero, M espunto Si x e y representan las longitudes de los segmentos D M y M E respectivamente, hallar x/y..
3m
A
29.
H allar el lado de un polígono regular inscrito en una circunferencia de radio 5cm, si se sabe que su apotema es la diferencia del lado del polígono con el radio de la circunferencia circunscrita. a) 7 cm d) 6 cm
30.
31.
6
b) 8 cm e) 5 cm
c) 9 cm B
Se tiene un cuadrado de lado 8 2 . Si a partir de cada vértice se disminuye una cierta longitud "x" se formarán en cada esquina triángulos rectángulo isósceles. Eliminándolos quedará un polígono de 8 lados. H allar "x" para que el polígono resultante sea regular. a) 8( 2 2 )
b) 8( 2 1)
d) 8( 2 1)
e) 8( 2 2 1)
L 2n
2R 2 R 4R 2 L 2n
b)
L 2n
4R 2 L 2n 4R 2
M
C
E
a) 5/3 d) 8/3 34.
b) 2 e) 7/3
c) 4
Los lados AB y BC de un triángulo A BC miden 2m y ( 5
1) m
, respectiva mente. C alcular la m ) A, si :
m ) C = 18°.
c) 8( 2 2 )
U n polígono regular de n lados, cuyo lado mide Ln está inscrito en una circunferencia cuyo radio mide R . C alcular la longitud del lado del polígono regular de doble número de lados que el anterior (L 2n), inscrito en la misma circunferencia. a)
D
a) 20° d) 30° 35.
b) 45° e) 72°
c) 15°
Si el lado del dodecágono regular AB C D EFG H IJK L mide a) 1 m d) 4 m
6 3 3 m , hallar la longitud AE. b) 2 m e) 5 m
c) 3 m
36.
Si el perímetro del rectángulo N ELY es180 cm, indicar el perímetro de la región sombreada. E
42.
AB C D es un cuadrado de lado 2 dm, A, B y D son centros. C alcular el valor de P Q .
L
B
C P
N
37.
Q
Y
a) 35 cm
b) 36 cm
d) 38 cm
e) 37 cm
c) 39 cm A
H allar la longitud del lado de un dodecágono regular sabiendo que el radio de la circunferencia inscrita en él mide 1cm. a) ( 2 3 ) cm
b) ( 2 3 ) cm
c) ( 2 3 ) cm
d) 2( 2 3 ) cm
44.
R B
P
d) 2
e)
d) 2 2 3 dm
2 2 dm
El cateto menor de un triá ngulo rectángulo mi de :
a) 1 m d) 4 m
T
b) 1
c)
2 2 , y es igual a la longitud de la bisectriz interna relativ a a la hipo tenusa. H allar la longi tud de la hipotenusa.
En la figura "P", divide al diámetro A B en media y extrema razón. C alcular PT, si: R 2 5 .
a) 0,5
b)
2
43.
A
2 3 dm
a) 2 2 3 dm
e) ( 5 1) dm
e) ( 2 3 ) cm 38.
D
b) 2 m e) 6 m
c) 3 m
AB C D es un cuadrado cuyo lado mide 4 2 3 . C alcular la distancia de "F" al punto medio "E " del FD. B
C F
c) 1,5
5 E
39.
En un polígono regular ABC DEFG , si: 1 AD C alcular A B. a) 6 d) 9
40.
b) 7 e) 10
1 AC
1. 7
b) 7 m e) 21 m
A
c) 8
En un eneágono regular A BC D EFG H I se cumple que: AB + BD = 14m. Calcular BG . a) 3 m d) 14 m
41.
45.
a) a + b d)
b2 ab
e)
a 2 ab
46. c)
b) 2 2
d) 4
e) 4 3
En un triángulo ABC , donde :
c) 6
m ) A
=
45° y
H allar: Q H , si: AC = 20 m.
c) 11 m
a 2 b2
a) 2
m ) C = 15°, se trazan las alturas A H y C Q .
En un polígono regular de 13 ladosAB C D EFG H IJK M . A D = a, A E = b. C alcular JD . b) ab a b
D
a) 10 m
b) 5 2 m
d) 5 m
e) 10 2 2 m
c) 2( 5
1)
m
D ado un triángulo AB C obtuso en "A ", de tal manera: A B 2 , BC 5 1 y la m ) C 18 . D eterminar la m ) B . a) 18° d) 54°
b) 9° e) 36°
c) 27°
7
47.
C alcular el lado del polígono regular de 16 lados
51.
circunscrito a una circunferencia de radio 2 2 2 .
C alcular la flecha correspondiente a una cuerda que subtiende un arco de 144° en una circunferencia de 8 unidades de diámetro. a) 2( 2 1)
a) 4 2 2 2
b)
c) 2 2 2 2
d) 2 2 2 2
e) 48.
49.
d)
2 2 2 52.
2 2 2
En un octógono regular A BC D EFG H inscrito en una circunferencia en el arco BC , se ubica el punto "P" de manera que: PD y PF miden "m" y n 2 . H allar: "PH". a) 2n + m
b) m + n
mn d) m n
e) 2n - m
5 5 . (B, punto de tangencia).
54.
B
e)
2 2
aR 2 2R e) a
R 2 a2
b)
d) R a 2
En la figura, calcular AB, si : BC =
5 1
c) 2 2
Se tiene un polígono regular inscrito en una circunferencia de radio R, cuyo apotema mide "a" unid ades. C alcular el apotema de otro polí gono regular del doble número de lados que el anterior, si cuyos perímetros son iguales. a)
53.
c) 2m - n
b) 5 5
c)
Ra
L a sección áurea del segmento A B es BC , la sección de A C es A M , la sección áurea de A M es A F.. Si : BC = 4, calcular AF. a) 2( 5 1)
b) 2( 5
d)
e) 3( 5 1)
5 1
1)
c) 4( 5
2)
En un dodecágono regular AB CD EFG H IJKL , A E y C F se intersectan en P. C alcular PE , si : B C = 2 2 .
18º
A
50.
C
a) 1 d)
a)
5 1 2
b)
5 1
c)
3( 5 1)
d)
5( 5 1)
e)
2 ( 5 1) 2
55.
56.
N
D
57.
A
e)
5
c)
3 2
En un romboide ABC D, se cumple que BC = AC ,
a)
2 m
b) 2 3 m
d)
13 m
e) 2 6 m
5 2 3m .
c) 3 2 m
En un triángulo rectángulo A BC , el ángulo "C " mi de 11°15' y la hipotenusa A C es igual a 2 4 2 2 m . H allar la menor altura del triángulo.
C M
2
hallar: BD , si: m ) CA D = 30° y A D
En la figura, A BC D E esun pentágono regular. C alcular EP, si : M N = 2.
B
3
b)
P
E
a) 2( 5 2)
b) 2( 5
1)
c) 4( 5 1)
d) 8( 5
a) 1 m
b) 2 m
d) 2 2 m
e)
c)
2m
2 2 m
Si A BC D es un cuadrado cuyo lado mide 180 cm, hallar el perímetro de la región sombreada. B
C
A
D
2)
e) 4( 5 1) 8
58.
a) 53 cm
b) 55 cm
d) 57 cm
e) 58 cm
c) 56 cm
60.
E n la fi gura, O P C alcular BC .
Se tiene un octógono regular A BC D EFG H inscrito en una circunferencia de radio R . H allar la distancia de A al punto medio de ED .
a)
R 2
10 3 2
c) 2R 2 2
R 2
2 2 2 .
B A
11°15'
P
O
b) 2R 2 2 d)
C
83 2
e) 2R 2 59.
En un triángulo A BC , se trazan las cevianas C F y A E cumpliéndose que: m ) A FC m ) A EC 135 y,, m ) B 120 . C alcular EF, si : A C = 2 2 .
a)
2 2 2
b) 4 2 2
c)
2 2
d) 2 2 2 2
e) 2 2 a)
3 2
b) 2 2 3
c)
2 3
d)
2 3
e) 2 2 3
9
aves Clav es
10
21.
b
4 1.
e
22.
d
4 2.
d
23.
c
4 3.
b
24.
a
4 4.
d
25.
d
4 5.
a
26.
a
4 6.
c
27.
c
4 7.
c
28.
a
4 8.
e
29.
b
4 9.
e
30.
b
5 0.
a
31.
c
5 1.
b
32.
b
5 2.
d
33.
e
5 3.
c
34.
d
5 4.
b
35.
c
5 5.
d
36.
e
5 6.
a
37.
d
5 7.
a
38.
d
5 8.
a
39.
b
5 9.
e
40.
d
6 0.
d
