7 - En un proceso de extracción se estudia la relación entre tiempo de extracción y rendimiento. Los datos obtenidos se encuentran en la siguiente tabla. Tiempo (min)
Rendimiento Rendimient o (%)
10
64
15
81.7
20
76.2
8
68.5
12
66.6
13
77.9
15
82.2
12
74.2
14
70
20
76
19
83.2
18
85.3
a) ¿En este problema cual variable se considera independiente independiente y cual independiente?
-
Se debe considerar el tiempo de extracción como variable independiente (x) y al rendimiento como la variable dependiente (y), dado que el rendimiento siempre va a variar conforme el tiempo y no viceversa.
b) Mediante un diagrama de dispersión analice la relación entre estas dos variables. ¿Qué tipo de relación observa y cuales son algunos hechos especiales?
Existe correlación lineal positiva ya que conforme aumenta el tiempo de extracción también aumenta el rendimiento, es razonable suponer que la rel ación entre estas variables la explique un modelo de regresión lineal simple.
c)
Haga un análisis de regresión (ajuste una línea recta a estos datos, aplique pruebas de hipótesis y verifique residuos)
Para ajustar la mejor recta que pasa más cerca de todos los puntos y para calcular estimadores, se usa método de mínimos cuadrados, se resumen los cálculos en la hoja de Excel: X
X
2
Y
Xy
Y estimado
e
2
E
Rendimiento (%)
Tiempo (min)
Suma
2
y
10
64
100
4096
640
69.93
-5.93
35.1649
15
81.7
225
6674.89
1225.5
75.88
5.82
33.8724
20
76.2
400
5806.44
1524
81.83
-5.63
31.6969
8
68.5
64
4692.25
548
67.55
0.95
0.9025
12
66.6
144
4435.56
799.2
72.31
-5.71
32.6041
13
77.9
169
6068.41
1012.7
73.5
4.4
19.36
15
82.2
225
6756.84
1233
75.88
6.32
39.9424
12
74.2
144
5505.64
890.4
72.31
1.89
3.5721
14
70
196
4900
980
74.69
-4.69
21.9961
20
76
400
5776
1520
81.83
-5.83
33.9889
19 18
83.2 85.3
361 324
6922.24 7276.09
1580.8 1535.4
80.64 79.45
2.56 5.85
6.5536 34.2225
176
905.8
2752
68910.36
13489
Para ajustar la recta, se calcula:
) ∑ (∑ )(∑ ) = 13489 – [(176) (905.8) /12] = 203.93 ) (∑ ∑ [ ] = 2752 – [(176) /12] = 170.66 ) (∑ ∑ [ ] = 68910.36 – [(905.8) /12] = 537.55 2
2
Para encontrar los estimadores:
̂ = 203.93 / 170.66 = 1.19492187 ̂ ̅ = 1.19492187 ( 75.48333333 -
14.66666667) = 57.9578125
Por lo tanto, la línea recta ajustada está dada por:
293.8764
Con esta ecuación podemos graficar la recta de regresión lineal:
Por lo que se observa, se concluye que los errores están distribuidos aleatoriamente, la prueba de hipótesis de interés plantea que la pendiente es significativamente diferente de 0. En ambos casos H 0 se rechaza si > t ( / 2 , n -2 )
||
Para β 1 H 0 β 1 = 0 H A β 1≠ 0
H 0 β 1 = 0 H A β 1 ≠ 0
t 0 β 1 /
Para β 0 H 0 β 0= 0 H A β 0≠ 0
F0= CMR / CME
H 0 se rechaza si > F( , n -2 )
||
̅ t β √CME 0
0
Estadísticos obtenidos, Minitab: Con 5% de significancia para el análisis de regresión, es obvio que para los dos estimadores el estadísticos son mayores (9.22; 2.88) que el del criterio de rechazo (2.2281) Para el análisis de Varianza es lo mismo 8.29 > 4.965 Por lo tanto se rechazan las hipótesis nulas establecidas y se aceptan las alternativas, las cuales indican que el modelo es significativo
d) ¿La calidad del ajuste es satisfactoria? Argumente
Determinemos si el modelo permite hacer estimaciones con una precisión aceptable: Coeficiente de determinación 2
R = SCR / Syy = 243.68 / 537.55 = 0.4533 El 45 % de la variación observada en el rendimiento es explicada por el modelo, la calidad de ajuste no es satisfactorio, veamos su ajuste… Coeficiente de determinación ajustado
R
2
aj =
CMtotal - CME / CMtotal =48.8681 – 29.38 / 48.8681 = 0.3987
Para fines de predicción se recomienda un coeficiente de determinación ajustado de 0.7 este es otro indicador de que nuestro modelo no hace estima ciones con precisión. Coeficiente de Correlación
r = Sxy / √SxxSyy = 203.93 / √ (170.66) (537.55) = 0.6732 Observemos las gráficas 4 en uno del modelo de regresión:
Se observa que en la gráfica de probabilidad normal la mayor parte de los puntos tienden a ajustarse a la línea recta pero en la de residuo contra valor ajustado hay cierto patrón, el modelo registra falla.
Se concluye que aunque el modelo es significativo, la intensidad de la relación lineal entre las variables no es muy fuerte
e) Destaque el valor de la pendiente de la recta e interprételo en términos prácticos
El valor de la pendiente de la recta es: 1.1949, en términos prácticos, tan solo es la cantidad que se incrementa o disminuye la variable Y para cada unidad que se incrementa X.
f)
Estime el rendimiento promedio que se espera a un tiempo de extracción de 25 minutos y obtenga un intervalo de confianza para esta estimación.
El intervalo de confianza está dado por:
Y 0 - t ( / 2 , n -2 )
<=
<= Y 0 + t( / 2 , n -2 ) √
Con X 0 = 25 ; Y 0 = 57.95781 + 1.19492 (25) = 87.83
87.83± 2.2281 √ 0
87.83± 2.2281
87.83± 10.174 Por lo tanto el intervalo de confianza es:
22.-se realizó un experimento para estudiar el sabor del queso panela en función de la cantidad del cuajo y la sal. La variable de respuesta observada es el sabor promedio reportado por un grupo de 5 panelistas que probaron todos los quesos y los calificaron con una escala hedónica. Los datos obtenidos se muestran a continuación:
a) ajuste el modelo
Sal
Cuajo
sabor
6 5.5
0.3 0.387
5.67 7.44
4.5
0.387
7.33
4
0.3
6.33
4.5 5.5
0.213 0.213
7.11 7.22
5
0.3
6.33
5
0.3
6.66
La ecuación de regresión es Y= 7.30 - 0.183 x 1 + 1.26 x2
b) ¿el modelo explica la variación observada en el sabor? Argumente con base en la significancia del modelo, los residuales y el coeficiente de determinación
Para hablar de un modelo que tiene un ajuste satisfactorio es necesario que ambos coeficientes tengan valores superiores a 0.7, y en este caso muestro coeficiente de determinación presento un valor muy bajo del 0.05 (5%) y un coeficiente de determinación ajustado con valor negativo interpretando esto como un 0%. Esto se debe a que en nuestro modelo hay térmi nos que no contribuyen de manera significativa por lo tanto debemos depurar el modelo. Análisis de residuos.- en la gráfica de probabilidad normal los puntos no se ajustan a la recta y presentan un cierto nivel de simetría en el comportamiento de los mismos por l o tanto podemos decir que el modelo no es aceptable. En la gráfica de residuos vs predichos si el modelo es adecuado se espera que en esta grafica los puntos no sigan ningún patrón y que, por lo tanto, estén distribuidos más o menos aleatoriamente a lo largo y ancho de la gráfica. Cuando esto ocurre significa que el modelo se ajusta de cualquier manera a lo largo de los modelos de Y. En el caso de nuestra grafica se observa que los puntos están distribuidos a lo largo del eje de las X de forma constante. Y por último en la gráfica de residuos vs observamos que el comportamiento de los residuos maneja un patrón, lo cual quiere decir que nuestro modelo no es adecuado.
c)
Ajuste un modelo que incluya términos cuadráticos y analice con detalle la calidad del ajuste. 2
2
Y = 5.4 + 4.77 x1 - 70.4 x2 + 0.00 x1x2 - 0.495 x 1 + 119 x 2 Podemos prescindir del cuarto término de la ecuación, ya que su coeficiente es cero, quedando la ecuación de la siguiente manera: 2
Y = 5.4 + 4.77 x1 - 70.4 x2 - 0.495 x 1 + 119 x 2
2
Se analiza la calidad del ajuste en la siguiente cuestión.
d) Compare el error estándar de estimación para ambos modelos
( )
y los coeficientes de determinación
En nuestro primer modelo al calcular los coeficientes de determinación y el ajustado del mismo, nos pudimos dar cuenta de que el modelo no era adecuado para explicar la relación de variables debido a que el valor era demasiado bajo y por lo tanto no era un modelo confiable. Al obtener nuestra ecuación con términos cuadráticos, nos dimos cuenta que este modelo si es significativo debido a los valores que nos arrojó el coeficiente de determinación y su ajustado, al ver una amplia mejoría en los resultados.
Primer modelo 2 R =0.054 = 5% 2 R aj= -0.32 = 0%
Segundo modelo 2 R =0.923 = 93.2% 2 R aj= 0.761 = 76.1%
Error estándar de estimación
Primer modelo
= 0.7127
Segundo modelo
= 0.3029
Es claro que la diferencia entre un modelo y otro es evidente. e) ¿Cuál modelo prefiere para explicar el sabor?
El segundo modelo con términos cuadráticos.
